1单自由度系统振动 (1)

例：串联系统 在质量块上施加力P
弹簧1变形： 弹簧2变形：
总变形：
根据定义： 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向 上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。
例：并联系统
在质量块上施加力P 两弹簧变形量相等：λ 受力不等： 由力平衡： 根据定义： 并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向 上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度
特征根： 振动解： c1、c2：初始条件决定
两个不等的负实根
为双曲正弦 其中
双曲余弦
设初始条件为 解为
响应图形
一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生
1 第三种情况，临界阻尼： 特征根： 为二重根
振动解 设初始条件： 则：
c1、c2：初始条件决定
响应图为
仍然是按指数规律 衰减的非周期运动， 但比过阻尼衰减快 些
c1、c2：初始条件决定 设初始条件：
则：
或：
其中： 振动解为 阻尼固有频率 阻尼自由振动周期 T0：无阻尼自由振动的周期
阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期
振动解： 欠阻尼是一种振幅逐渐衰 减的振动 不同阻尼，振动衰减的 快慢不同：
阻尼大，则振动衰减快
阻尼小，则衰减慢 减幅系数 ：评价阻尼对振幅衰减快慢的影响，定义 为相邻两个振幅的比值：
库伦力
库伦阻尼
摩擦力一个周期内所消耗地能量：
等效粘性阻尼系数
（2）平方阻尼 工程背景：低粘度流体中以较大速度运动的物体， 阻尼力与相对速度地平方成正比，方向相反 摩擦力 阻力系数 在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：
等效粘性阻尼系数：
粘性阻尼力与相对速度称正比，即： c：为粘性阻尼系数，或阻尼系数 单位：Ns/m 粘性阻尼又称为线性阻尼 建立平衡位置，并受力分析
动力学方程：
或写为：
固有频率
相对阻尼系数
动力学方程：
令： 特征方程： 特征根
三种情况：
1 欠阻尼 第一种情况：
特征根： 振动解： 阻尼固有频率：有阻尼自由振动频率 为两个共轭复数根
，称为固有频率，单位为rad/s
为常数，由系统的初始条件决定 称为振幅
为初相位
0 ：系统固有的数值特
征，与系统是否正在振 动着以及如何进行振动 的方式都毫无关系 A，ϕ ：不是系统的固有属性的数字特征，与 系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所 处的状态有关
考虑系统在初始扰动下的自由振动 设t=τ时的初始位移和初始速度为：
绳中的最大张力等于静张力与 因振动引起的动张力之和：
由于
为了减少振动引起的动张力，应当降 低升降系统的刚度。
例：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞。梁长 L，抗弯刚度EJ
求：梁的自由振动频率和最大挠度
解：取平衡位置，以梁承受 重物时的静平衡位置为 坐标原点建立坐标系Ox 静变形为：λ
由材料力学：
η与t无关，任意两个 相邻振幅之比均为η
衰减振动的频率为 d ，振幅衰减的快慢取决于 0 ， 这两个重要的特征反映在特征方程的特征根的实部 和虚部
减幅系数η
实验求解ζ
利用相隔j个周期的两个峰值 进行求解
含有指数项，不便于工 程应用；实际中常采用 对数衰减率Λ： 可得
第二种情况：过阻尼 1
0
17 m m 35
48 EI k 3 l
0
k 33 m m 140
等截面悬臂梁的固有频率为 ：
第四节 等效质量和等效刚度
方法1 选定广义位移坐标后，将系统的动能、势能写成 如下形式：
、x分别取最大值时： 当 x
则可得出：
Ke：简化系统的等效刚度
M： 运动方程：
第二节 能量法
对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系 统，也可以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方 程，或直接求出系统的固有频率。 无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能T 和势能V之和保持不变，即：
或
弹簧质量系统 动能
势能
重力势能 弹性势能
不可能恒为零
解法1 广义坐标θ ，平衡位置1 动能 势能
解法2 动能
平衡位置2
势能
第三节 Reilly法
利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计 算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质 量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限。 这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程 问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的 比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。
解：取广义坐标θ，受力分析
列出力矩式平衡方程
无阻尼固有频率为
阻尼固有频率
第六节 等效粘性阻尼
•阻尼在所有振动系统中是客观存在的； •大多数是非粘性阻尼，其性质各不相同； •非粘性阻尼的数学描述比较复杂 处理方法之一：采用能量方法将非粘性阻尼简化为等 效粘性阻尼 原则：等效粘性阻尼在一个周期内消耗的能量等于 要简化的非粘性阻尼在同一周期内消耗的能量
例：阻尼缓冲器 静载荷P 去除后质量块越过平衡位置得最大位移 为初始位移的10％
求：缓冲器的相对阻尼系数ζ
解：由题知，初始条件为 解为：
求导
设在时刻t1质量越过平衡位置到达最大位移，这时速 度为0：
即经过半个周期后出现第一个振幅x1
由题知 解得：
例：小球质量m，刚杆质量不计。几何尺寸如图
求：（1）写出运动微分方程； （2）临界阻尼系数，阻尼固 有频率
如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取在 弹簧为自由长时的位置 动能 势能
设新坐标
如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位 置， 那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中 就不会出 现重力项 考虑两个特殊位置上系统的能量 静平衡位置上，系统势能为 零，动能达到最大
x是广义的对于转动：
例：如图所示是一个倒置的摆。摆球质量m，刚杆质量 忽略，每个弹簧的刚度 k 2 求：倒摆作微幅振动时的固有频率。
l
x 微段 d 的动能为 1 d 2 l
2
整个弹簧的动能为： T 0 1 2
l
1 l 2 1 m 2 x d x 2 3 2 3 l
1 m 2 m x 2 3
x
2
m l
从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总 包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件 是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯 量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力 的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。 同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而 若刚度增加，则固有频率增大。
例：杠杆系统
杠杆是不计质量的刚体 求：系统对于坐标x的等效质 量、等效刚度、固有频率 解法1：能量法 动能： 等效质量： 等效刚度： 势能：
固有频率
可否选择其他坐标为广义坐标
解法2：定义法 设使系统在x方向产生单位加 速度需要施加力P，则在m1、 m2上产生惯性力，对支座取 矩：
则在m1、m2上产生单位位移需 加P，对支座取矩：则在k1、k2 处将产生弹性恢复力，对支点 取矩：
自由振动频率为：
撞击时刻为零时刻，则t=0时，有：
则自由振动振幅为：
梁的最大扰度：
例：已知扭转刚度 k ，转动惯量I
k 为轴的扭转刚度，定义为使得圆 盘产生单位转角所需的力矩
求固有频率？ 解：在圆盘的静平衡位置上任意选 一根半径作为角位移的起点位置 由牛顿第二定律：
扭转固有频率为
由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动 与直线振动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧 质量系统中将m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹 簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不 加特别声明时，弹簧质量系统是广义的
例：复摆，刚体质量m，重心C。 对悬点的转动惯量I0
求：复摆在平衡位置附近作微振 动时的微分方程和固有频率 解：由牛顿定律： 因为微振动： 则有： 固有频率：
若已测出物体的固有频率 0 ，则可求出IO，再由移轴 定理，可得物质绕质心的转动惯量：
实验测定绕质心转动惯量的方法之一。
例：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动 斜面倾角 30 ，质量m=1kg， 弹簧刚度k=49N/cm；重力加 速度取9.8，开始时弹簧无伸 长，且速度为零 求：系统的运动方程 解：以静平衡位置为坐标原点 建立坐标系，振动固有频率：
3EI m l3
例：提升机系统
重物重量 图示位置时，钢丝绳的弹簧刚度
重物以 度均匀下降 的速
求：绳的上端突然被卡住时， （1）重物的振动频率，
（2）钢丝绳中的最大张力。
解：振动频率为：
W
重物匀速下降时处于静平衡 位置，若将坐标原点取在绳 被卡住瞬时重物所在位置， 初始条件为：
t=0时
由 振动解为
例如：弹簧质量系统 设弹簧的动能:
系统最大动能：
系统最大势能：
若忽略mt，则0 增大
如何计入弹簧的质量？ 假定一个系统的振动形式：假 定弹簧各截面在振动过程任一 瞬时和一根等直杆在一端固定， 另一端受轴向载荷作用下各截 面的位移一样。
x 距固定端 处的位移为： l x 处相应微段 d 的相应速度为
这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能 分别相等
例：倒置摆 选定θ为广义坐标。 动能
势能
方法2：定义法 等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位 位移而需要在此坐标方向上施加 的力，叫做系统在这个坐标上的 等效刚度 等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位 加速度而需要在此坐标方向上施 加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效质量
第一章 单自由度系统的自由振动
教学内容