第三章空间力系

MO( F ) = [MO( F )]x i + [MO( F )]y j + [MO( F )]z k
= (yZ － zY) i + (zX － xZ) j + (xY － yX) k
而
M x ( F ) = yZ － zY M y ( F ) = zX － xZ M z ( F ) = xY － yX
Fxy
O
B
h
A Fxy
力对轴的矩等于零的情形：
① 力与轴相交( h = 0 )
② 力与轴平行( Fxy = 0 ) 一句话: 只要力与轴在同一 平面内,力对轴的矩等于零。
力对轴的矩之解析表达式
z
Z
F
设空间中有一个力 F
力作用点 A（ x，y，z ）;
F 在三轴的投影分别为 X，Y，Z ;
A(x, y, z) YY X
要使 | MO (F ) | = 0， 就有r×F =0，得：
1） r = 0 或 r 与 F 共线，即力通过矩心； 2） F = 0
力对点的矩采用行列式可得如下形式：
由： r = x i + y j + z k 和 F = X i + Y j + Z k
可得：
i jk
MO(F) r F x y z XYZ
F Fz
Fxy
y x
力对轴的矩之定义
力对轴的矩是力使刚体绕 该轴转动效果的度量，是一 个代数量，其绝对值等于该 力在垂直于该轴的平面上的 投影对于此平面与该轴的交 点的矩的大小。逆着坐标轴 正向看，力使物体绕轴逆时 针旋转为正。
即 Mz( F ) = M O( Fxy) = ± Fxy h
z
F
Fz
cos M x (F )
MO (F )
cos M y (F )
MO (F )
cos M z (F )
MO (F )
例 3-
1：
手柄 ABCE 在平面 Axy内，在D 处作用
一个力F，它垂直y轴，偏离铅垂线的角度为α，若
CD = a，BC∥x轴，CE ∥y轴，AB = BC = l。求力F
对x、y和z三轴的矩。
,
k
)
Fz FR
例：P=1000N ,各杆重不计。求：三根杆所受力。
FOB sin 45 FOC sin 45 0
FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0 FOA sin 45 P 0
§3－2 力对点的矩和力对轴的矩
The moment of a force about a point or an axis
= ( y Z - z Y ) i + ( z X - x Z ) j + ( x Y - y X )k
z
二、 力对轴的矩
度量力对绕定轴转动物 体的作用效果 以门为例：
门上作用一个力 F 假定门绕 z 轴旋转
将力 F 向 z 轴和 xy 面分 解成两个分力 Fz 和Fxy， 显然力 Fxy 使门绕 z 轴 旋转。
解法2
z
直接套用力对
轴之矩的解析表
达式：
A
力在 x、y、z
轴的投影为
X = F sin α
x
Y=0
Z = - F cos α
C D
E
Fx α
B
Fz
F
y
M x( F ) = yZ － zY = ( l + a )(- Fcosα) - 0 = - F( l + a )cosα M y ( F ) = zX － xZ = 0 - ( -l ) (- Fcosα) = - Flcosα M z ( F ) = xY － yX = 0 - ( l + a ) ( Fsinα) = -F( l + a )sinα
第三章 空间力系
主要内容
空间汇交力系的合成与平衡； 力对点的矩和力对轴的矩； 空间力偶； 空间任意力系的简化---主矢和主矩； 空间任意力系的平很问题和平衡方程； 物体重心的确定
§3-1 空间汇交力系 Concurrent force system in space
1、力在直角坐标轴上的投影
例3-2: 图中力F 的大小为10kN，求的力 F 在 x、
y、z三坐标轴的投影，以及对三坐标轴的矩和对
O点的矩。(长度单位为m)
解：
z
k iO j x
4
1、先求F的三个方向余弦
3 F 5 A(4,9,5)
根据合力矩定理，得
Mz( F ) = M O( Fxy)
O
y
x
= MO( X ) + MO ( Y ) = xY － yX
xy X
Y Fxy
按同类方法求得其他两式：
M x ( F ) = y Z －z Y
M y ( F ) = z X－x Z
三、 力对点的矩和力对轴的矩的关系
力对点的矩矢量可以写成：
结论： 力对点的矩矢
在通过该点的某轴
可得
[MO( F )] x = M x ( F ) [MO( F )] y = M y ( F ) [MO( F )] z = M z ( F )
上的投影，等于力 对该轴的矩。
如果力对通过O点的直角坐标轴 x、y、z 的矩
是已知的，则力对点O的矩的大小和方向余弦为： MO (F) [M x (F)]2 [M y (F)]2 [M z (F )]2
z
A
y
z
解法1
将力F沿坐标
轴分解为Fx 和Fz。
A
由合力矩定理可得： x
C D
E
Fx α
B
Fz
F
y
M x ( F ) = M x ( Fz ) = -F z (AB+CD) = - F ( l + a )cosα M y ( F ) = M y ( Fz ) = - F z (BC) = - Fl cosα M z ( F ) = M z ( Fx) = -F x (AB+CD) = -F ( l + a )sinα
z
X = Fcosα Y = Fcosβ Z = Fcosγ
Zi
Fi
γ
α
β Yi
z Zi
γ
Fi
Yi
Xi
y
x
X = Fsinγcosφ Y = Fsinγsinφ Z = Fcosγ
Xi
φ
y
x
2、空间汇交力系的合成与平衡条件：
合力的大小
cos(FR ,
j)
Fy FR
空间汇交力系的平衡方程:
cos( FR
一、空间力对点的矩
n
B
z
F
MO(F)
A rr O
h
x
1）矢量的模等于力矩的 大小；
| M O (F) | = F h
2）矢量的方位与力矩作
用面的法向同，矩心
y
为矢起端；
3）矢量的指向确定了转
向，按右手法则。
矢量记作 MO (F) ，且 MO (F) = r×F —— 定位矢量
力对点的矩为零的条件：