3导数—瞬时变化率
新高考视角下的导数新授课：导数的概念及其意义
第一节：导数的概念与几何意义课时1.导数的概念一．知识梳理 1.平均变化率一般地，函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --,如果函数的自变量的“增量”为x ∆，且21x x x ∆=-，相应的函数值的“增量”为y ∆，21()()y f x f x ∆=-，则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆- 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 2. 导数的概念（瞬时变化率）（1）函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()0000limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0|x x y ='，()()()00000lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆＝ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． （2）求导数值的一般步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③求极限，得导数：00000()()'()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆． 二．典例分析 例1．函数()31f x x =-+在区间[]1,2-上的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-【解析】由题，函数()31f x x =-+在区间[]1,2-上的平均变化率为()()()()()332111213213f f -+-⎡⎤-⎣⎦-+--==---，故选：D 例2．某物体的运动路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数()21s t t t =++表示，则该物体在1t =s 时的瞬时速度为（ ）A ．0m/sB ．1m/sC ．2m/sD ．3m/s【解析】该物体在时间段[]1,1t +∆上的平均速度为()()()()()22111111113t t s t s s t t t t+∆++∆+-+++∆-∆===+∆∆∆∆，当Δt 无限趋近于0时，3t +∆无限趋近于3，即该物体在1t =s 时的瞬时速度为3m/s ．故选：D变式3．（2022·全国·高二单元测试）设函数()1f x ax =+，若()12f '=，则=a （ ） A ．2B ．2-C ．3D ．3-【解析】∵()()()()()0111111limlim x x f x f a x a f a x x∆→∆→+∆-∆++-+'===∆∆，且()12f '=，∴2a =． 例4．已知函数()243f x ax ax b =-+，()11f '=，()12f =，求实数a ，b 的值. 【解析】()()()0111lim x f x f f x ∆→+∆-'=∆()()20441133lim x a x a x b a a b x∆→⎛⎫+∆-+∆+--+ ⎪⎝⎭=∆()2002223lim lim 133x x a x a x a x a a x ∆→∆→∆+∆⎛⎫==∆+== ⎪∆⎝⎭，∴32a =.又()4123f a a b =-+=，∴52b =. 故32a =，52b =. 下面的问题主要考察了导数定义深层次的理解例5．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若(3)(3)lim4x f x f x x∆→-∆-+∆=∆，则()3f '=（ ）A ．0B ．2-C ．1D ．12-【解析】因为0(3)(3)lim1x f x f x x ∆→-∆-+∆=∆，所以0(3)(3)(3)(3)lim x f x f f f x x∆→-∆-+-+∆∆，0(3)(3)(3)(3)limlim 2(3)4x x f x f f x f f x x'-∆→∆→-∆-+∆-=--=-=-∆∆，故()3 2.f '=-故选：B 例6．已知函数()f x 的导函数为(),(2)2f x f -'=-'，则0(24)(2)lim x f x f x∆→--∆--=∆（ ）A ．8-B ．2-C ．2D ．8【解析】由导数定义和()22f '-=-，得0(24)(2)(24)(2)lim(4)lim 4(2)84x x f x f f x f f x x∆→∆→--∆----∆--'=-⨯=--=∆-∆.故选：D.三．习题演练习题1．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()15f '=，则()()121lim x f x f x∆→+∆-=∆（ ） A ．2B ．52C ．5D ．10【解析】因为()15f '=，所以()()()()()012121102121lim 2limx x f x f f xf x f x∆→∆→+∆-=-'=∆+∆=∆，故选：D.习题2．已知函数()21f x x =+，则()()22limx f x f x x∆→+∆--∆=∆（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】因为()21f x x =+，所以()()()()2200222121lim lim x x f x f x x x x x ∆→∆→+∆--∆+∆+--∆-=∆∆ 08lim8x xx∆→∆==∆故选：D习题3．设函数()f x 在=1x 处存在导数为2,则()()11lim3x f x f x∆→+∆-=∆=_______________．【解析】由极限的运算法则结合导函数的定义可得： ()()011lim3x f x f x ∆→+∆-∆=()()0111lim 3x f x f x∆→+∆-∆=()31213f '⨯=.故答案为：23习题4．（2022·重庆市璧山来凤中学校高二阶段练习）已知()0f x m '=，则()()0003limx f x x f x x∆→-∆-=∆_________．【解析】∵()0f x m '=，∴原式()()00Δ03Δ3lim 3Δx f x x f x x →--=-- ()033f x m ='-=-．故答案为：3m -课时2.导数的几何意义一．基本原理1.平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数()y f x =的平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-的几何意义是表示连接函数()y f x =图像上两点割线的斜率．如图所示，2121()()A B AB A B y y f x f x yk x x x x x--∆===--∆．这样，平均变化率的正负与割线斜率正负一致.2.导数的几何意义——曲线的切线定义：如图，当点00(,)Q x x y y +∆+∆沿曲线无限接近于点00(,)P x y ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．T 也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．备注：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关． （2）切线斜率的本质———函数在0x x =处的导数． （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性． ①若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的导数不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直．②0()0f x '>，切线与x 轴正向夹角为锐角，()f x 瞬时递增；0()0f x '<，切线与x 轴正向夹角为钝角，()f x 瞬时递减；0()0f x '=，切线与x 轴零度角，瞬时无增减．（4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点；为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？” 过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线C 都用“与C 有且只有一个公共点”来定义C 的切线呢？如图的曲线C 是我们熟知的正弦曲线sin y x =的一部分，直线l 2显然与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 有不止一个公共点，但我们可以说直线l 1是曲线C 在点N 处的切线．3. 曲线的切线的求法（导数法）（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点00(,())x f x 的坐标；②求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x ' ③得切线方程00()()()y f x f x x x '-=- 二．典例分析例1．（2022·全国·高二课时练习）曲线()2f x x=-在点()1,2M -处的切线方程为______．【解析】因为()()2211211f x f x x x x-++∆-+∆==∆∆+∆，当0x ∆→时，()()112f x f x+∆-→∆， 所以()12f '=，即切线的斜率2k =，所以切线方程为()221y x +=-，即240x y --=． 故答案为：240x y --= 例2．2(5)3lim2,(3)32x f x f x →--==-，()f x 在(3,(3))f 处切线方程为（ ）A ．290x y ++=B ．290x y +-=C ．290x y -++=D ．290x y -+-=【解析】由已知，2(5)3lim2,(3)32x f x f x →--==-，令2x x ∆=-，∴()()033lim x f x f x∆→-∆-∆＝()()()033lim32x f x f f x ∆→-∆--'==-∆，解()32f '=-，∴()f x 在(3,(3))f 处切线方程为32(3)y x -=--，即290x y +-=．故选：B ．例3．（2022·全国·高二课时练习）曲线23y x x =-的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________.【解析】设切点坐标为()00,x y ，()()()22200000003323lim lim231x x x x x x x x x x x x k x xx∆→∆→+∆-+∆-+∆-∆+∆===-=∆∆，解得02x =，20262y =-=-.切点为()2,2-. 故答案为：()2,2-.例4．如图，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是9y x =-+，则()()55f f '+=（ ）A ．-2B ．3C ．2D ．-3【解析】因为函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是9y x =-+，所以()()5594,51f f '=-+==-，所以()()55413f f '+=-=，故选：B.例5．已知函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则（ ）A ．(4)(2)(2)(4)2f f f f '<'-<B ．(4)(2)(4)(2)2f f f f -<<'' C ．(4)(2)(2)(4)2f f f f -<<'' D ．(4)(2)(4)(2)2f f f f ''-<< 【解析】如图所示，根据导数的几何意义，可得(2)f '表示曲线在A 点处的切线的斜率，即直线1l 的斜率1l k ，(4)f '表示曲线在B 点处的切线的斜率，即直线2l 的斜率2l k ，又由平均变化率的定义，可得(4)(2)2f f -表示过,A B 两点的割线的斜率l k ，结合图象，可得12l l l k k k <<，所以(4)(2)(2)(4)2f f f f '<'-<.故选：A. 题型：过某点的曲线的切线 例6．试求过点(1,3)P -且与曲线2yx 相切的直线的斜率．【解析】设切点坐标为()00,x y ，则有200y x =．因为2200()limlim 2x x y x x x y x x x∆→∆→∆+∆-'===∆∆，所以02k x =．切线方程为()0002y y x x x -=-，将点(1,3)-代入，得02200322x x x --=-，所以200230x x --=，得01x =-或03x =．当01x =-时，2k =-；当03x =时，6k =．所以所求直线的斜率为2-或6．例7．已知函数()32y f x x x ==+-，直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．【解析】设切点为()00,x y ，因为()()()()()3300000022y x x x f x f x x x x x =+-=+++--+∆∆∆-∆()()()20320313x x x x x =+++∆∆∆，所以()2200313x x y x x x ∆∆+∆+∆=+．当x ∆趋于0时，y x∆∆趋于2031x +，即()20031f x x '=+，所以切线方程为()()()320000231y x x x x x -+-=+-，因为切线过原点，所以()()320000231x x x x -+-=-+，所以3022x =-，解得01x =-，所以()14f '-=，故直线l 的方程为4y x =，又()14f -=-，所以切点的坐标为()1,4--．课时3. 复习与习题讲评一．基本原理知识点1（易错点）. 在点求切线与过点求切线1. 求曲线在某点（切点))(,(00x f x ）处的切线方程的步骤：2.切线过点))(,(11x f x ，求切线的方法：(要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点)，求法步骤：①设切点()()00,x f x ，②建立切线方程00()()()y f x f x x x '-=-，③代入点))(,(11x f x 到切线方程中，利用此时切点在切线且在曲线上，即同时满足方程：⎪⎩⎪⎨⎧--==01010'00)()()()(x x x f x f x f x f y解出切点坐标，从而写出切线方程． 知识点2.导函数的概念由函数()f x 在0x x =处求导数的过程可以看到，当时，0()f x '是一个确定的数，那么，当x 变化时，便是x 的一个函数，我们叫它为f （x ）的导函数．记作：()f x '或y '， 即：0()()()limx f x x f x f x y x ∆→+∆-''==∆注：（1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．（2）函数的导数，是指某一区间内任一点x 而言的，也就是函数()f x 的导函数． （3）函数()f x 在点0x 处的导数()f x '就是导函数()f x '在0x x =处的函数值． 在点00(,())x f x 处的切线与过点00(,)x y 的切线的区别．在点00(,())x f x 处的切线是说明点00(,())x f x 为此切线的切点；而过点00(,)x y 的切线，则强调切线是过点00(,)x y ，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点00(,)x y 的切线方程时，先应判断点00(,)x y 是否为曲线()f x 上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点11(,())x f x ，求过此切点的切线方程111()()y y f x x x '-=-，再将点00(,)x y 代入，求得切点11(,())x f x 的坐标，进而求过点00(,)x y 的切线方程．知识点3.证明：在定义域R 上，奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数 二．典例分析例1．曲线()1y f x x ==在点P 处的切线与直线14y x =垂直，则点P 的坐标为______． 【解析】易知曲线在点P 处的切线的斜率为4-，设001,P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，因为()()()()00000000111f x x f x x x x x x x xx x x x x x -+∆-+∆-∆===-∆∆∆+∆+∆， 当0x ∆→时，()()00201f x x f x x x +∆-→-∆，所以02011=42x x --⇒=±，则点P 的坐标为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 故答案为：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.例2．设函数()f x 在2x =处的导数存在，则()122f '-=（ ）. A ．()()022lim2x f x f x∆→+∆-∆B ．()()022lim2x f f x x∆→-+∆∆C ．()()022lim 2x f x f x∆→-∆-∆D ．()()022lim 2x f f x x∆→--∆∆【解析】因为函数()f x 在2x =处的导数存在，所以()()()()()00222211limlim 2222x x f f x f x f f x x ∆→∆→-+∆+∆-'=-=-∆∆，故B 正确.又∵()()()()()00222211limlim 2222x x f x f f x f f x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆，所以C 正确. 故选：BC.例3函数()f x 的定义域为R ，()31f x -为奇函数，且()1f x -的图像关于1x =对称．若曲线()f x 在1x =处的切线斜率为2，则曲线()f x 在2023x =处的切线方程为（ ） A ．24046y x =-+ B ．24046y x =+ C ．24046y x =-D ．24046y x =--【解析】因为()31f x -为奇函数，即()()3131f x f x --=--， 所以，函数()f x 的图像关于点()1,0-对称，即()()2f x f x --=-，因为()1f x -的图像关于1x =对称，所以()f x 的图像关于0x =对称，即()()=f x f x -， 所以，()()()22f x f x f x --=+=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，所以曲线()f x 在2023x =处的切线斜率等于曲线()f x 在=1x -处的切线斜率，因为曲线()f x 在1x =处的切线斜率为2，图像关于0x =对称，所以，曲线()f x 在=1x -处的切线斜率为2-，因为()()11f f =-，()()11f f -=--，所以()()110f f =-=，所以()()120230f f =-=，所以曲线()f x 在2023x =处的切线方程为()022023y x -=--，即24046y x =-+.故选：A变式2．（2022·陕西安康·高二期末（文））为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c 与时间t 的关系为()c f t =，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t 变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（ ）A ．在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B ．在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；C ．在[]23,t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D ．在[]12,t t ，[]23,t t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．【答案】D【解析】A 选项，根据图象可知，在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A 选项结论正确.B 选项，根据图象以及导数的知识可知，在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同， B 选项结论正确.C 选项，根据图象可知，在[]23,t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，C选项结论正确.,t t这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于D选项，根据图象可知，在[]12,t t这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率在[]23D选项结论错误.故选：D。
江苏省涟水县2019年高一数学 第三章 第3课 瞬时变化率—导数(瞬时速度和瞬时加速度)教学案
江苏省涟水县第一中学高中数学第三章第3课瞬时变化率—导数（瞬时速度和瞬时加速度）教学案苏教版选修1-1班级：高二（）班姓名：____________教学目标：1．理解并掌握瞬时速度的定义；2．会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度；3．理解瞬时速度的实际背景，培养学生解决实际问题的能力．教学重点：会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度．教学难点：理解瞬时速度和瞬时加速度的定义．教学过程：一、问题情境1．问题情境．平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度.问题一 平均速度反映物体在某一段时间段内运动的快慢程度.那么如何刻画物体在某一时刻运动的快慢程度？问题二 跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设t 秒后运动员相对于水面的高度为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10,试确定t＝2s时运动员的速度.2．探究活动(1)计算运动员在2s到2.1s (t∈[2,2.1])内的平均速度.(2)计算运动员在2s到（2＋△t）s(t∈[2,2＋△t])内的平均速度.(3)如何计算运动员在更短时间内的平均速度.探究结论：时间区间△t平均速度[2，2.1] 0.1-13.59[2,2.01]0.01-13.149[2,2.001]0.001-13.1049[2,2.0001]0.0001-13.10049[2,2.00001]0.00001-13.100049[2,2.000001]0.000001-13.10000491.130-→→∆vx时，当．该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度.即t＝2s时，高度对于时间的瞬时变化率.二、建构数学1．平均速度和瞬时速度．设物体作直线运动所经过的路程为)(tfs=,以0t为起始时刻，物体在∆t时间内的平均速度为00()()=f t t f t s v t t+∆-∆=∆∆．v 可作为物体在0t 时刻的速度的近似值，∆t 越小，近似的程度就越好.所以当∆t →0时，v 极限就是物体在0t 时刻的瞬时速度.2.平均加速度和瞬时加速度设物体作直线运动的速度为v ＝f(t)，以0t 为起始时刻，物体在∆t 时间内的平均加速度为： 00()()f t t f t v a t t+∆-∆==∆∆a 可作为物体在0t 时刻的加速度的近似值，∆t 越小，近似的程度就越好.所以当∆t →0时，a 极限就是物体在0t 时刻的瞬时加速度.三、数学运用例1 物体作自由落体运动，运动方程为221gt S =，其中位移单位是m ，时间单位是s ，210m/s g ＝，求：（1）物体在时间区间[]2,2.1s 上的平均速度；（2）物体在时间区间[]2,2.01s 上的平均速度；（3）物体在2s t =时的瞬时速度.解： 2001()()2()2s s t t s t g tg t ＝＋－＝＋∆∆∆∆__0()()12()2s t t s t s v gg t t t＋－＝＝＝＋∆∆∆∆∆ （1）将∆t ＝0.1代入上式，得：__v ＝2.05g ＝20.5m/s ．（2）将∆t ＝0.01代入上式，得：__v ＝2.005g ＝20.05m/s ．（3）当∆t →0，2＋∆t →2，从而平均速度__v 的极限为瞬时速度.：__0lim lim2g 20m/s.→→t t sv v t＝＝＝＝∆∆∆∆例2 设一辆轿车在公路上作直线运动，假设t s 时的速度为3)(2+=t t v ，求当0t t =s 时轿车的瞬时加速度a .2．某物体做匀速运动，其运动方程是s ＝5t ＋4，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．3．一辆汽车按规律s ＝3t2＋1做直线运动，则这辆汽车在t ＝3秒时的瞬时速度的大小为________．4.一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23s t t =-，则物体的初速度是5.已知质点按规律245s t t =-+作直线运动，则在第秒的瞬时速度为零6.已知质点按规律23s t t =+（位移单位是m ，时间单位是s ）作直线运动，则在第2秒末的瞬时速度为1.已知质点按规律224s t t =+作直线运动（位移单位是m ，时间单位是s ），若质点运动开始时0t =，求：(1)质点在1s 到3s 的平均速度；(2)求t=1s 时的瞬时速度。
瞬时变化率——导数
以初速度 v0(v0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为 s(t)＝ v0t－12gt2，则物体在 t0 时刻的瞬时速度为________．
[答案] v0－gt0
[解析] 因为Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt20) ＝(v0－gt0)Δt－21g(Δt)2， 所以ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt， 所以当Δt无限趋近于0时，ΔΔst无限趋近于v0－gt0， 故物体在时刻t0的瞬时速度为v0－gt0.
第一章
1.1 导 数 第2课时 瞬时变化率与导数
复习 平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1, x2 ]的平均变化率为
f (x1) f (x2 ) y
x1 x2
x
平均速度
v s t
平均速度反映了在某一段时间内
运动的快慢程度,那么,如何刻画在
某一时刻运动的快慢程度呢?
实例:
小明去蹦极,假设小明下降的运动
重要结论:
x 0
平均变化率
瞬时变化率
二、瞬时变化率与导数
设函数 y＝f(x)在 x0 附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近的 改变量为 Δx 时，函数值相应地改变 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
如果当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0趋 近于一个常数 l，那么常数 l 称为函数 f(x)在点 x0 处的瞬时变化 率当．Δ记x→作0：时，fx0＋ΔΔxx－fx0→l.上述过程通常也记作 Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0＝l.函数在点 x0 处的瞬时变化率通常称为 f(x)在 x＝x0 处的导数，这时，记作 f′(x0)，即 f′(x0)＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0，也可记作 y′|x＝x0.
导数——平均变化率与瞬时变化率
导数——平均变化率与瞬时变化率本讲教育信息】⼀. 教学内容：导数——平均变化率与瞬时变化率⼆. 本周教学⽬标：1、了解导数概念的⼴阔背景，体会导数的思想及其内涵．2、通过函数图象直观理解导数的⼏何意义．三. 本周知识要点：（⼀）平均变化率1、情境：观察某市某天的⽓温变化图2、⼀般地,函数f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．（⼆）瞬时变化率——导数1、曲线的切线如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上⼀点作割线PQ，当点Q 沿着曲线c⽆限地趋近于点P，割线PQ⽆限地趋近于某⼀极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线割线PQ的斜率为，即当时，⽆限趋近于点P的斜率．2、瞬时速度与瞬时加速度1）瞬时速度定义：运动物体经过某⼀时刻（某⼀位置）的速度，叫做瞬时速度.2）确定物体在某⼀点A处的瞬时速度的⽅法：要确定物体在某⼀点A处的瞬时速度，从A点起取⼀⼩段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表⽰物体经过A点的瞬时速度.当位移⾜够⼩时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度．我们现在已经了解了⼀些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律⽤函数表⽰为s＝s（t），也叫做物体的运动⽅程或位移公式，现在有两个时刻t0，t0+Δt，现在问从t0到t0+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs＝s（t0+Δt）－s（t0）（Δt称时间增量）平均速度根据对瞬时速度的直观描述，当位移⾜够⼩，现在位移由时间t来表⽰，也就是说时间⾜够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t0到t0+Δt，这段时间是Δt. 时间Δt⾜够短，就是Δt⽆限趋近于0．当Δt→0时，位移的平均变化率⽆限趋近于⼀个常数，那么称这个常数为物体在t＝ t0的瞬时速度同样，计算运动物体速度的平均变化率，当Δt→0时，平均速度⽆限趋近于⼀个常数，那么这个常数为在t＝ t0时的瞬时加速度．3、导数3、导数设函数在（a,b）上有定义，．若⽆限趋近于0时，⽐值⽆限趋近于⼀个常数A，则称f（x）在x＝处可导，并称该常数A为函数在处的导数，记作．⼏何意义是曲线上点（）处的切线的斜率．导函数（导数）：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每⼀个，都对应着⼀个确定的导数，从⽽构成了⼀个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作．【典型例题】例1、⽔经过虹吸管从容器甲中流向容器⼄，t s后容器甲中⽔的体积（单位：），计算第⼀个10s内V的平均变化率．解：在区间[0，10]上，体积V的平均变化率为即第⼀个10s内容器甲中⽔的体积的平均变化率为．例2、已知函数，，分别计算在区间[－3，－1]，[0，5]上函数及的平均变化率．解：函数在[－3，－1]上的平均变化率为在[－3,－1]上的平均变化率为函数在[0，5]上的平均变化率为在[0，5]上的平均变化率为例3、已知函数，分别计算函数在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均变化率．解：函数在区间[1，3]上的平均变化率为函数在[1，2]上的平均变化率为函数在[1，1.1]上的平均变化率为函数在[1，1.001]上的平均变化率为例4、物体⾃由落体的运动⽅程s＝s（t）＝gt2，其中位移单位m，时间单位s，g＝9.8 m/s2. 求t＝3这⼀时段的速度.解：取⼀⼩段时间［3，3+Δt］，位置改变量Δs＝g（3+Δt）2－g·32＝（6+Δt）Δt，平均速度g（6+Δt）当Δt⽆限趋于0时，⽆限趋于3g＝29.4 m/s．例5、已知质点M按规律s＝2t2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），（1）当t＝2，Δt＝0.01时，求.（1）当t＝2，Δt＝0.01时，求.（2）当t＝2，Δt＝0.001时，求.（3）求质点M在t＝2时的瞬时速度.分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，即平均速度，当Δt越⼩，求出的越接近某时刻的速度.解：∵＝4t+2Δt∴（1）当t＝2，Δt＝0.01时，＝4×2+2×0.01＝8.02 cm/s．（2）当t＝2，Δt＝0.001时，＝4×2+2×0.001＝8.002 cm/s．（3） Δt0，（4t+2Δt）＝4t＝4×2＝8 cm/s例6、曲线的⽅程为y＝x2+1，那么求此曲线在点P（1，2）处的切线的斜率，以及切线的⽅程．解：设Q（1+，2+），则割线PQ的斜率为：斜率为2∴切线的斜率为2．切线的⽅程为y－2＝2（x－1），即y＝2x．【模拟试题】1、若函数f（x）＝2x2+1，图象上P（1,3）及邻近点Q（1+Δx,3+Δy），则＝（）A. 4B. 4ΔxC. 4+2ΔxD. 2Δx2、⼀直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么时，为（）A. 从时间到时，物体的平均速度；B. 在时刻时该物体的瞬时速度；C. 当时间为时物体的速度；D. 从时间到时物体的平均速度3、已知曲线y＝2x2上⼀点A（1，2），求（1）点A处的切线的斜率.（2）点A处的切线⽅程.4、求曲线y＝x2+1在点P（－2，5）处的切线⽅程．5、求y＝2x2+4x在点x＝3处的导数．6、⼀球沿⼀斜⾯⾃由滚下，其运动⽅程是s＝s（t）＝t2（位移单位：m，时间单位：s），求⼩球在t＝5时的瞬时速度7、质点M按规律s＝2t2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），求质点M在t＝2时的瞬时速度．【试题答案】1、B2、B3、解：（1）时，k＝∴点A处的切线的斜率为4.（2）点A处的切线⽅程是y－2＝4（x－1）即y＝4x－24、解：时，k＝∴切线⽅程是y－5＝－4（x+2），即y＝－4x－3.5、解：Δy＝2（3+Δx）2+4（3+Δx）－（2×32+4×3）＝2（Δx）2+16Δx，＝2Δx+16∴时，y′|x＝3＝166、解：时，瞬时速度v＝（10+Δt）＝10 m/s.∴瞬时速度v＝2t＝2×5＝10 m/s.7、解：时，瞬时速度v＝＝（8+2Δt）＝8cm/s。
高二数学选修课件第章瞬时变化率导数
在求解一些优化问题时，可以利用微分进行近似计算，如求解最小 值、最大值等问题。
05
高阶导数及其性质探讨
Chapter
高阶导数定义及计算方法
高阶导数定义
高阶导数是指函数导数的导数，即多次求导得到的导数。例如，函数f(x)的一阶导数为f'(x)，二阶导数 为f''(x)，以此类推，n阶导数为f^n(x)。
最值
函数在某一区间内的最大值或最小值称为该函数在该区间内的最值。通过求导并 令导数为零，可以求得函数的驻点，进而判断驻点是否为最值点。
极值
函数在某一点处的极大值或极小值称为该函数在该点的极值。极值是函数局部性 质的一种表现，通过研究函数的极值可以了解函数的整体性质。
04
微分概念及其在近似计算中应 用
06
总结回顾与拓展延伸
Chapter
本章知识点总结回顾
导数的定义与几何意义
导数描述了函数在某一点处的瞬 时变化率，其几何意义是函数图 像在该点处的切线的斜率。
高阶导数
二阶及二阶以上的导数统称为高 阶导数，表示函数的变化率的变 化率。
01 02 03 04
导数的计算法则
包括基本初等函数的导数公式、 导数的四则运算法则、复合函数 的求导法则等。
若f(x) = log_a x（a > 0，a ≠ 1），则 f'(x) = 1 / (x ln a)
常数函数
若f(x) = c（c为常数 ），则f'(x) = 0
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
若f(x) = a^x（a > 0 ，a ≠ 1），则f'(x) = a^x ln a
瞬时变化率——导数课件
随着数学与其他学科的交叉融 合，导数的应用将更加深入和 广泛，为解决实际问题提供更 加有效的工具。
THANKS
感谢观看
隐函数导数计算
总结词
掌握隐函数的求导方法
详细描述
隐函数的导数可以通过对等式两边同 时求导来获得，注意处理复合变量和 函数之间的关系。
高阶导数计算
总结词
理解高阶导数的概念和计算方法
详细描述
高阶导数表示导数在研究函数的极值、拐点等问题中有重 要应用。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率。
详细描述
在二维平面坐标系中，函数图像上某一点的切线斜率即为该点的导数值。导数可 以用来判断函数在该点的增减性以及变化趋势。
导数与瞬时速度的关系
总结词
导数与瞬时速度之间存在密切联系。
详细描述
在物理和工程领域中，瞬时速度的概念常常用到。瞬时速度可以理解为物体在某一时刻的运动速度，这个速度是 通过物体在该点的加速度与时间的变化率来计算的，而加速度的变化率即为该点的导数。因此，导数可以用来描 述瞬时速度的变化趋势。
要点二
详细描述
在实际问题中，经常需要解决一些优化问题，如最大利润 、最小成本等。通过建立数学模型，将实际问题转化为数 学问题，并利用导数研究函数的性质，可以找到最优解， 为实际问题的解决提供有效的途径。
04
导数的物理意义与经济学意义
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体运动的速度和 加速度，例如自由落体运动中，物体 的速度和加速度可以通过对高度关于 时间的函数求导得到。
导数在其他领域的应用
工程学
在工程学中，导数可以用来描述机械运动的 规律，例如在机械振动中，物体的振动频率 和振幅可以通过对位移关于时间的函数求导 得到。
高中数学-瞬时变化率—导数导学案
高中数学-瞬时变化率—导数导学案学习目标：1.理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点) 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．曲线上一点处的切线设曲线C 上的一点P ，Q 是曲线C 上的另一点，则直线PQ 称为曲线C 的割线；随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S (t )对于时间t 的导数，即v (t )＝S ′(t )． 3．瞬时加速度运动物体的速度v (t )对于时间t 的导数，即a (t )＝v ′(t )． 4．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在点x ＝x 0处可导，并称常数A为函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．5．导函数若函数y ＝f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．6．函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．[基础自测]1．判断正误：(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( ) (2)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( ) (3)在导数的定义中，ΔyΔx＞0.( )【解析】 (1)√.Δx 是自变量的增量，可正可负，函数f (x )在x ＝x 0处的导数与它的正负无关．(2)×.Δy 可以为0，如常数函数． (3)×.ΔyΔx 也可能是负数或0.【答案】 (1)√ (2)× (3)×2．函数f (x )＝x 2在点(1,1)处切线的斜率是________． 【解析】 k ＝1＋Δx2－1Δx ＝2＋Δx ，当Δx →0时，k →2，故所求的切线的斜率是2.【答案】 23．一辆汽车运动的速度为v (t )＝t 2－2，则汽车在t ＝3秒时加速度为__________． 【解析】 a ＝ΔvΔt＝3＋Δt2－2－9－2Δt＝6＋Δt ，当Δt →0时，a →6，故汽车的加速度为6. 【答案】 6[合 作 探 究·攻 重 难]求瞬时速度与瞬时加速度(1)t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．(2)设一辆汽车在公路上做加速直线运动，其在t s 时的速度为v (t )＝t 2＋1，求汽车在t ＝1 s 时的加速度.【导学号：95902184】[思路探究] (1)设时间变化量Δt →求位移增量Δs →求平均速度Δs Δt →令Δt →0→结论.(2)设时间变化量Δt →求速度增量Δv →求平均加速度ΔvΔt →令Δt →0→结论【自主解答】 (1)设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt →8，所以这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.(2)设这辆车在t ＝1附近的时间变化量为Δt ，则速度的增量Δv ＝[(1＋Δt )2＋1]－(12＋1)＝(Δt )2＋2Δt ，Δv Δt ＝Δt ＋2，当Δt →0时，ΔvΔt→2，所以汽车在t ＝1 s 时的加速度为2.[规律方法](1)求瞬时速度的步骤：①求位移增量Δs ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； ②求平均速率v －＝ΔsΔt；③求瞬时速度：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于v . (2)求瞬时加速度的步骤： ①求平均加速度ΔvΔt ；②令Δt →0，求瞬时加速度. [跟踪训练]1．若一物体的运动方程为S ＝7t 2＋8，则其在t ＝__________时的瞬时速度为1.【解析】 因为Δs Δt＝7t 0＋Δt2＋8－7t 20＋8Δt＝7Δt ＋14t 0，所以当Δt →0时，Δs Δt 趋近于14t 0，即14t 0＝1，t 0＝114. 【答案】 114求函数在某一点处的导数求函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数.【导学号：95902185】[思路探究] 方法一：先求Δy ，再求出ΔyΔx ，令Δx →0，可求f ′(1)，先求出f ′(x )，再求出f ′(x )在x ＝1处的值．方法二：先求出ΔyΔx ，当Δx 无限趋于0时，即可求出f ′(x )在x ＝1处的值．【自主解答】 方法一：∵Δy ＝(1＋Δx )＋11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＝Δx －1＋11＋Δx＝Δx －1Δx ＋1＋11＋Δx ＝Δx 21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx→0，∴f ′(1)＝0.方法二：Δy Δx＝fx ＋Δx －f xΔx＝x ＋Δx ＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x Δx＝1－1x ＋Δx x，当Δx 无限趋于0时，1－1x ＋Δx x 无限趋近于1－1x2，即f ′(x )＝1－1x2，故f ′(1)＝0.函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数为1－112＝0.[规律方法] 由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)求当Δx →0时，ΔyΔx 的值，即f ′(x 0).[跟踪训练]2．根据导数的定义求下列函数的导数： (1)求y ＝x 2在x ＝1处的导数；(2)求y ＝x 2＋1x ＋5在点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，192处的导数．【解】 (1)∵Δy ＝(1＋Δx )2－12＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx2Δx＝2＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx ＝2＋Δx 无限趋近于2，所以f ′(1)＝2.(2)∵Δy ＝(2＋Δx )2＋12＋Δx ＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋5＝4Δx ＋(Δx )2－Δx22＋Δx，∴Δy Δx ＝4＋Δx －14＋2Δx， ∴当Δx →0时，Δy Δx →4－14＝154，故f ′(2)＝154.导数的几何意义及应用[探究问题] 1．平均变化率f x 0＋Δx －f x 0Δx的几何意义是什么？【提示】 平均变化率f x 0＋Δx －f x 0Δx的几何意义是过点P (x 0，f (x 0))和Q (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))割线的斜率．2．在探究1中，若让Δx →0，割线PQ 是如何变化的？【提示】 当点Q 沿着曲线无限接近点P ，即Δx →0时，割线PQ 有一个极限位置PT ，我们把直线PT 称为曲线在点P 处的切线．3．根据探究2的答案，导数的几何意义是什么？【提示】 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝f ′(x 0)．4．我们在初中学过圆的切线，圆是一种特殊曲线，圆的切线与圆只有一个公共点，其他曲线和它的切线也只有一个公共点吗？【提示】 曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．求双曲线y ＝1x 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12的切线方程. 【导学号：95902186】[思路探究] 由导数的几何意义先求出斜率，再求方程.【自主解答】Δy Δx＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝12＋Δx －12Δx ＝－122＋Δx，当Δx →0时，Δy Δx →－14，即k ＝f ′(2)＝－14.所以由直线方程的点斜式知切线方程为：y －12＝－14(x －2)，即y ＝－14x ＋1.[规律方法]1．求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程．即点P 的坐标既适合曲线方程，又适合切线方程，若点P 处的切线斜率为f ′(x 0)，则点P 处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；如果曲线y ＝f (x )在点P 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)，可由切线定义确定切线方程为x ＝x 0.2．若切点未知，此时需设出切点坐标，再根据导数的定义列关于切点横坐标的方程，最后求出切点坐标或切线的方程，这种情况下求出的切线方程往往不止一条．[跟踪训练]3．已知直线y ＝3x ＋a 和曲线y ＝x 3相切，求实数a 的值． 【解】 设切点为M (x 0，y 0)，则Δy Δx ＝x 0＋Δx3－x 3Δx＝3x 20＋3x 0(Δx )＋(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，3x 20＋3x 0(Δx )＋(Δx )2无限趋近于3x 20. 由题意得，3x 20＝3，解得x 0＝1或x 0＝－1. 所以切点坐标为(1,1)或(－1，－1)． 将点(1,1)代入直线y ＝3x ＋a ，可得a ＝－2； 将点(－1，－1)代入直线y ＝3x ＋a ，可得a ＝2. 综上可知，a ＝－2或a ＝2.[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则f ′(x 0)＝________.【解析】 ∵f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝a Δx ＋b Δx2Δx ＝a ＋b ·Δx ，当Δx →0时，f x 0＋Δx －f x 0Δx→a ，∴f ′(x 0)＝a .【答案】 a2．已知曲线y ＝13x 3＋43，则以点P (2,4)为切点的切线方程是________.【导学号：95902187】【解析】 ∵Δy Δx＝13[x ＋Δx3－x 3]Δx＝x 2＋13(Δx 2)＋Δx ·x ，当Δx →0时，Δy Δx →x 2，所以f ′(x )＝x 2，∴k ＝f ′(2)＝4，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即y ＝4x －4. 【答案】 y ＝4x －43．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________. 【解析】 Δy Δx＝f－1＋Δx －f －1Δx＝a －1＋Δx3＋2－a －13－2Δx＝3a－3a Δx ＋a (Δx )2当Δx →0时，ΔyΔx →3a ，所以f ′(－1)＝3a ＝3，即a ＝1.【答案】 14.如图313所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝x ＋5，则f (3)－f ′(3)＝__________.图313【解析】 由导数的几何意义知f ′(3)＝－1，又f (3)＝－3＋5＝2， ∴f (3)－f ′(3)＝2－(－1)＝3. 【答案】 35．以初速度v 0 (v 0＞0)做竖直上抛运动的物体，t 时刻的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0时的瞬时速度.【导学号：95902188】【解】 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→v 0－gt 0， ∴物体在时刻t 0时的瞬时速度为v 0－gt 0.。
第3章 3.1 3.1.2 瞬时变化率——导数 (共37张PPT) 2017-2018学年高中数学(苏教)选修1-1 名师ppt课件
(x0，f(x0)) 导数 f ′ ( x ) 的几何意义就是曲线 y ＝ f ( x ) 在点 0 几何 意义 处的 切线的斜率
2．导函数的概念 (1)导函数的定义： 若 f(x)对于区间(a，b)内 任一点 都可导，则 f(x)在各点的导数 也随着自变量 x 的变化而变化， 因而也是 自变量 x 的函数， 该函数 称为 f(x)的导函数，记作 f′(x) ． 在不引起混淆时，导函数 f′(x)也简称为 f(x)的导数． (2)f′(x0)的意义： f(x)在点 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x＝x0 处 的 函数值 ．
问题 2：下表是 Δt 选取不同数值时相应的平均速度.
Δt v
2 4g
1
0.5
0.25
0.1
0.05g 3.125g 3.05g 3.025g 3.01g 3.005g
上表的平均速度中最接近 t＝3 时这一时刻的速度的是哪一个？
提示：Δt→0 时的平均速度即这一时刻的速度，v＝3.005 g.
3.1
3.1. 2
瞬时 变化 率 导数
理解教材 新知
知识点一
知识点二 知识点三 考点一 考点二 考点三
第 3 章
导 数 的 概 念
把握热点 考向
应用创新 演练
考点四
3.1
导数的概念
3．1.2 瞬时变化率——导数
曲线上一点处的切线
你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄 奇， 感受到“会当凌绝顶， 一览众山小”的豪迈， 当爬到“十八盘” 时，你感觉怎样？ 问题 1：陡峭程度能反映山坡高度变化的快与慢吗？
vt0＋Δt－vt0 如果 Δt 无限趋近于 0 时， 无限趋近于一个常数， 那么这 Δt 个常数称为物体在 t＝t0 时的 瞬时加速度 ，瞬时加速度就是 速度 对 于时间的瞬时变化率．
瞬时变化率
y y=f(x) l1 l2
·P
O x
直线PQ称为曲线的割线
y
y=f(x)
Q
l 切线
P O x
当Q点无限逼近P点时,直线PQ最终就成 为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称 为曲线在P点处的切线.
③当Δx 趋向于0时，求 为切线斜率)
y x
趋向于某个常数k(即
④由斜率k及切点P(x0,y0)的切线方程.
瞬时变化率的物理背景
S（t o t） S (to ) 平均速度：v t
如何精确刻画物体在某一时刻运动的快 慢程度呢？
例：跳水运动员从10米跳台腾空到入水的过 程中，不同时刻的速度是不同的.假设t秒后 运动员相对水面的高度为 H (t ) 4.9t 2 6.5t 10 . 试确定t=2时运动员的速度.
一般地，如果Δt趋向于0时，运动物 S（t o t） S (to ) 体位移S(t)的平均变化率 t 无限趋向于一个常数，那么这个常数称为 物体在t=t0时的瞬时速度（即位移相对于 时间的瞬时变化率）. 例：已知一辆轿车在公路上作加速直线运动， 假设t秒时速度为v(t)=t2+3，求当t=t0秒时 轿车的瞬时加速度a.
Байду номын сангаас
例1.(1)已知f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=2 处的切线的斜率. (2)已知曲线C：f(x)=x3，求曲线C在点 (1,1)处的切线方程.
求曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程： ①设点Q(x0+Δx，f(x0+Δx))
瞬时变化率-导数
3.1.2瞬时变化率---导数
s s ff ((tt00 tt)) ff ((tt00)) v 。 v 。 tt tt
s 近似的程度就越好。所以当t0时，比值 t
就是物体在t0时刻的瞬时速度，即
f (t0 t ) f (t0 ) v在t0的瞬时速度 t
解:
v f (t0 t ) f (t0 ) a ． t t
2t 0 x
当t无限趋于0时， a无限趋于2t 0 ,即a 2t 0
H ( 2.1) H ( 2) v 13.59( m / s ) 2.1 2
(2)计算运动员在2s到2+⊿t s(t∈[2,2+⊿t])
内的平均速度。
时间区间 [2，2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.0001] [2,2.00001] [2,2.000001] 当△t→0时，
数学运用：
例2 设一辆轿车在公路上作直线运动，假设t s时
v(t ) t 2 3 ，求当 的速度为
t t0 s时轿车的瞬时
加速度．
分析:
1 s s(t0 t ) s(t0 ) 2 g t g (t ) 2 2 __ s s(t0 t ) s(t0 ) 1 v 2 g g ( t ) t t 2
v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值， t 越小，
当t 0时
1.曲线在某一点切线的斜率
y
y=f(x)
Q
割 线
T
回顾
P
切线
o
x
k PQ
f ( x x) f ( x) ) x
(当x无限趋限0时, k PQ无限趋限趋近点P处切 斜率)
3.物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度. （即t=t0时速度相对时间的瞬时变化率） 以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过 取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速 度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
2021年高中数学第三章导数及其应用3.1.2瞬时变化率_导数课件11苏教版选修1_1
思维启迪 解析 探究提高
求函数的导数，首先要搞清函数 的结构；若式子能化简，可先化 简再求导．
题型分类·深度剖析
题型二
导数的运算
【例 2】 求下列函数的导数： 思维启迪 解析 (解(23(((())1234∵y))))＝yyyy(y1＝ ＝ ＝ ＝＝s)inyxexsl′ 23nix＋2n·x(＝ lx222n1＋＋x2＋(x＋eπ3x； 1xxx1＋·＝2＋l5，n)π312．xx∴1－)3；′y12；′c＝o＝se4x3lxnx＋2x－3＋ 2πx23e..x·1x＝ex(ln x＋1x)．
线可能有多条．
根底知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
5．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
2.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0) 处的切线〞与“过点P(x0，y0 的切线〞的区别与联系
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
4．基本初等函数的导数公式
(1)(xα)＝ αxα－1 (α 为常数)；
(2)(ax)′＝ axln a (a>0 且 a≠1)；
1
1
(3)(logax)′＝ xlogae ＝ xln a
(a>0，且 a≠1)；
(4)(ex)′＝ ex ； 1
(5)(ln x)′＝ x ；
(6)(sin x)′＝ cos x ；
(3) gfxx′＝ f′xgx－fxg′x
g2x
(g(x)≠0)．
(1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0) 处的切线是指 P 为切点，切 线 斜 率 为 k ＝ f′(x0) 的 切 线，是唯一的一条切线．
新教材高中数学第5章导数及其应用瞬时变化率_导数课件苏教版选择性必修第一册ppt
3．瞬时加速度 一般地，如果当 Δt 无限趋近于 0 时，运动物体速度 v(t)的平均 变化率vt0＋ΔΔtt－vt0无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体 在 t＝t0 时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的_瞬__时__变__化__率_．
1．一辆汽车运动的速度为 v(t)＝t2－2，则该汽车在 t＝3 时的加速度为________．
知识点 2 瞬时速度与瞬时加速度 1．平均速度 在物理学中，运动物体的位移与_所_用__时__间__的比称为平均速度． 2．瞬时速度 一般地，如果当 Δt 无限趋近于 0 时，运动物体位移 S(t)的平均 变化率St0＋ΔΔtt－St0无限趋近于一__个__常__数__，那么这__个__常__数__称为物体 在_t_＝__t0_时的瞬时速度，也就是位移对于时间的_瞬__时__变__化__率_．
2．导数的几何意义 导数 f′(x0)的几何意义就是曲线 y＝f(x)在点___P_(_x_0，__f_(x_0_)_)____处 的切线的斜__率__．
3．导函数 (1)若 f(x)对于区间(a，b)内任__一__点__都可导，则 f(x)在各点处的导 数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自__变__量__x_的函数，该函数 称为 f(x)的导函数，记作_f′_(_x)_____．在不引起混淆时，导函数 f′(x)也 简称为 f(x)的导__数__． (2)f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在 x＝x0 处的 _函__数__值_．
则物体在 4 s 时的瞬时速度为 9 m/s．
求运动物体瞬时速度的三个步骤 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为 s＝s(t)，则 求物体在 t＝t0 时刻的瞬时速度的步骤如下： (1)写出时间改变量 Δt，位移改变量 Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))． (2)求平均速度： v ＝ΔΔst． (3)求瞬时速度 v：当 Δt→0 时，ΔΔst→v(常数)．
苏教版选择性5.1.2瞬时变化率——导数(3)课件(30张)
【解析】
(1)
因为
Δy Δx
＝
f1＋Δx－f1 Δx
＝
1＋Δx2＋2－12＋2 Δx
＝2＋
Δx，
所以当Δx→0时，2＋Δx→2，
即 lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
(2＋Δx)＝2，
故f(x)在x＝1处的导数为2，即f′(1)＝2.
(2) 因为ΔΔyx＝fa＋ΔΔxx－fa＝a＋Δx2＋Δ2x－a2＋2＝2a＋Δx，
例 3 已知 f(x)＝2x3－1，f′(x0)＝6，求 x0 的值． 【解析】 因为ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0
＝2x0＋Δx3－Δx1－2x30－1
＝6x20＋6x0(Δx)＋2(Δx)2，
所以当 Δx→0 时，ΔΔyx→6x20，
即 lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0[6x20＋6x0(Δx)＋2(Δx)2]＝6x20，
【解析】 若 f′(x0)＝0，则函数 f(x)在 x＝x0 处的切线斜率为 0，存在 切线，故 A 错误；如函数 f(x)＝x3－3x 在 x＝1 处的切线为 y＝－2，与函数 的图象还有一个公共点(－2，－2)，故 B 正确；因为曲线 y＝f(x)在 x＝1 处 的切线方程为 2x－y＝0，所以 f′(1)＝2.又Δlxi→m 0 f1 －2Δf1x＋Δx＝－12 Δlxi→m 0 f1＋ΔΔxx－f1＝－12f′(1)＝－1≠1，故 C 错误；因为函数 f(x)的导数 f′(x)＝x2－2，所以 f′(1)＝12－2＝－1.又 f(1)＝2，所以切点坐标为(1,2)， 切线的斜率为－1，所以切线方程为 y－2＝－(x－1)，即 x＋y－3＝0，故 D 正确．故选 BD.
【答案】 BD
4.
瞬时变化率-导数
Dt 0, Ds 2 g 19.6(m / s) Dt
s
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s).
当时间间隔Dt 逐渐变小时,平均速度 v就越接近
t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
瞬时速度
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物 体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规 律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是
3.1 瞬时变化率 与导数
1． 瞬时速度 平均速度的概念
这段时间内汽车的平均速度为
v
经过的路程 所有的时间
s t
150 10
54(km
/
h)
平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了
解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度—
—瞬时速度．
已知物体作变速直线运动，其运动方程为
s＝s(t)(ｓ表示位移，t
4.9Dt 13.1 13.1
导数的概念 一般地，函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变化 率是
当Dx 0，f (x0 Dx) f (x0 ) A Dx
我们称A它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数，
记为 f (x0 ) 或 y xxo
说明：
（1）函数 f (x) 在点 x0 处可导，是指 Dx 0 时，
Dy 有极限．如果 Dy 不存在极限，就说函数在
Dx
Dx
点 x0 处不可导，或说无导数． （2）Dx是自变量x在 x0 处的改变量，Dx 0，而
Dy 是函数值的改变量，可以是零．
由导数的定义可知，求函数 y f (x) 在 x0 处的
导数的步骤:
（1）求函数的增量: Df f (x0 Dx) f (x0 ) ；
高中数学第三章导数及其应用3.1.2瞬时变化率导数7111数学
第一页，共二十二页。
学习目标：
1、理解(lǐjiě)导数的概念，学会求函 数在一点处的导数的方法； 2、理解掌握开区间内的导数概念， 会求一个函数的导数；
3、了解导数与导函数的关系。
第二页，共二十二页。
课前自主学案
温固夯基
1．函数f(x)在区间(qū jiān)[x1，x2]上的平均变化率为
是自变量x的函数，该函数称为f(x)的_______，导也简函称数
_____，记导作数_______． f′(x)
(hánshù)
第七页，共二十二页。
问题探究
1．“Δx无限趋近于0”的含义是什么？ 提示：Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以(kěyǐ)小 于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
第十一页，共二十二页。
课堂互动讲练
求函数在x＝x0处的导数(dǎo shù) 确定函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般(yībān)有两种方
法：一是应用导数定义法；二是导函数的函数值法。
第十二页，共二十二页。
例 1、已知函数 y x2 ，求（1）在 x 1处的导数，
（2）在 x a 处的导数， （3） y 。
导数。1、理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法。2、理解掌握开区间内的导数概念，会求 一个函数的导数。斜率为kPQ＝______________＝_______________.。2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值是Δx＝
No 0时的平均变化率吗。确定函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般有两种方法：一是应用导数定义(dìngyì)法。二是导
(dǎo shù)
第六页，共二十二页。
(2)几何意义：导数____f′__(_x的0) 几何意义就是曲线y＝f(x)
高二数学瞬时变化率 导数教案 苏教版
高二数学瞬时变化率 导数教案教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。
从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。
2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：xx f x x f k ∆-∆+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。
3、瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2) 位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤：1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆2.再求平均速度ts v ∆∆= 3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，t s ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00 (5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，t t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率三、数学应用例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。
高中数学 3.1 瞬时变化率——导数学案(无答案)苏教版选修1(2021年整理)
江苏省镇江市丹徒镇高中数学3.1 瞬时变化率——导数学案（无答案）苏教版选修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省镇江市丹徒镇高中数学3.1 瞬时变化率——导数学案（无答案）苏教版选修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省镇江市丹徒镇高中数学3.1 瞬时变化率——导数学案（无答案）苏教版选修1的全部内容。
瞬时变化率——导数●三维目标1．知识与技能了解导数概念的实际背景;理解函数在某点处导数以及在某个区间的导函数的概念；会用定义求瞬时速度和函数在某点处的导数．2．过程与方法用函数的眼光来分析研究物理问题；经历由平均速度与瞬时速度关系类比由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,体会数形结合、特殊到一般、局部到整体的研究问题的方法．3．情感、态度与价值观通过导数概念的形成过程,体会导数的思想及其内涵；激发学生兴趣：在从物理到数学，再用数学解决物理问题的过程中感悟数学的价值．●重点难点重点：函数在某一点处的导数的概念及用导数概念求函数在一点处的导数．难点:从实例中归纳、概括函数瞬时变化率的定量分析过程,及函数在开区间内的导函数的理解．【知识一】曲线上一点处的切线【问题导思】如图，当点P n（x n，f（x n）)（n＝1，2，3,4）沿着曲线f（x）趋近于点P（x0，f(x0）)时，割线PP n的变化趋势是什么?设曲线C上的一点P,Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的；当点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越．当点Q时,直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的．【知识二】瞬时速度、瞬时加速度【问题导思】在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m)与起跳后的时间t(单位:s）存在关系h（t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，那么我们就能计算起跳后任意一段时间内的平均速度v，通过平均速度v来描述运动员的运动状态，但用平均速度一般不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度．1．怎么求运动员在t0时刻的瞬时速度？2．当Δx趋于0时，函数f（x)在（x0,x0＋Δx)上的平均变化率即为函数f（x）在x0处的瞬时变化率，你能说出其中的原因吗？1．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数,即v（t）＝．2．瞬时加速度运动物体的速度v（t)对于时间t的导数,即a（t）＝．【知识三】导数及导数的几何意义【问题导思】在函数y＝f（x）的图象上任取两点A（x1，f(x1)），B(x1＋Δx，f(x1＋Δx）)．1。
高中数学第三章导数及其应用3.1.2瞬时变化率导数2111数学
第十页，共十三页。
课堂练习
1．已知曲线 y 2x2 上一点 A(1,2)，求
(1) 点 A 处的切线的斜率. (2)点 A 处的切线的方程. 2．求曲线 y x2 1在点 P(-2，5)处的切线 方程与法线方程．
12/9/2021
第十一页，共十三页。
课后拓展
(tuò zhǎn)
已知曲线y x2 2x在 某点的切线斜率为2, 求此点坐标.
12/9/2021
第七页，共十三页。
练习 :P61,4
(liànxí)
12/9/2021
第八页，共十三页。
例2:求曲线(qūxiàn)f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方 程.
解: P(1,2),Q(1 x,(1 x)2 1),则
kPQ
(1 x)2 1 (1 x) 1
2
2
x
当x无限趋近于0时, kPQ无限趋近于常数 2 所以点P(2,4)处的切线斜率为 2
12/9/2021
第十二页，共十三页。
内容(nèiróng)总结
曲线上一点处的切线。一般的，函数 在区间上
的平均变化率为。结论:当Q点无限逼近P点时,
此时直线PQ就是P点处的切线.。P60-61:1,2,3。例2:求曲线f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.。因此,切线方程
No 为y-2=2(x-1),即y=2x.。1、先利用直线斜率(xiélǜ)的定义求出割线线的斜率(xiélǜ)。求曲线在某点处的切线方
曲线 上一点处的切线 (qūxiàn)
12/9/2021
第一页，共十三页。
复习
(fùxí)
平均 变化率 (píngjūn)
一般(yībān)的，函数f ( x) 在区间上[x1, x2 ]的平均变化率为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
此极限为函数y=f (x)在点x0处的导数(瞬时变化率），
记作
f
(x0 ), y
，dy xx0 dx
或者
x x0
df (x) ，即 dx xx0
y |xx0 f x0
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
导数概念
三点强调
一可导与不可导
如果
lim y x0 x
牛顿
Newton 1642—1727
英国物理学家 和数学家．他在 物理学上最主要 的成就是发现了 万有引力定律.数 学上，他与德国 莱布尼兹创建了 “微积分学”
思考与探索
假设你准备用10万元进行投资，现有A、B两
个投资项目，经过市场分析，获悉其预期收益是
固定的：项目A在2个月内的收益为0.6万元，项
变 化
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
率 问
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
题
导数概念
若函数在点x0处的增量 y f x0 x f x0
与引起这个增量的自变量增量
x 比值当 x 0
时的极限 lim y lim f (x0 x) f (x0 ) 存在，则称
x x0
x 0
t 0
t
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，
然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到
瞬时速度的精确值。
引例
曲线的切线斜率
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
y
y f (x) N
CM
T
切线 MT 的斜率
lim tan
割线 M N 的斜率
k lim f (x) f (x0 ) xx0 x x0
t t 0
t 0
t
v(t0 ) T t0
进一步的练习
练习 求函数
的导数.
解:
lim f (x h) f (x) lim ln(x h) ln x
h0
h
h0
h
lim 1
h0 h
x 11
lim
hx
h0
lim
ln e
即 (ln x) 1
h0
x
总结
1、导数的概念
y
xx0
lim y lim
背景
阿基米德
Archimedes 前287—前212 古希腊数学家 和物理学家．在 数学上，他利用 穷竭法解决了许 多复杂的曲线或 曲面围成的平面 图形或立方体的 求积问题．
费尔马
Pierre de Fermat 1601—1665
法国数学家． 律师．业余研究 数学．解析几何 的创始人．有著 名的“费尔马大 定理” ．1638年 发现求极值的方 法，是微积分学 的先驱．
存在，则称
y
f x
在
x0
处可导
如果
lim
x0
y x
不存在，则称
y
f x在
x0 处不可导
三点强调
二：导函数
如果函数f (x)在区间(a,b)内每一点都有导数，函数f (x)
在区间(a,b)内有一导函数，即 f 'x lim f x x f x
x0
x
也可记作 y ，ddyx ，dfd(xx)
在区间 a,b 上
O
tan
x0 x x
f (x) f (x0 ) x x0
瞬时速度 切线斜率
f (t0)
O t0
f (t)
t
s
y
y f (x) N
两个问题的共性:
CM
T
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . O x0 x x 类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限
目B在3个月内的收益为0.8万元，问：
你会选择哪个项目投资？
03 02 04数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度．
引例
变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
导数—瞬时变化率
公共基础教学部 数学教研室 郭鑫
背景
历史上，导数概念产生于以下两个实际问题的 研究． 第一：求曲线的切线问题； 第二：求非均速运动的速度． 作曲线的切线问题——是微分学的基本问题． 这一概念打开了通向数学知识与真理的巨大宝 库之门。
背景
恩格斯（F.Engles,德，1820-1895） “在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下 半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜 利了.”
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
自由落体运动
s
1 2
gt
2
f (t0)
O t0
f (t)
t
s
引例
汽车的行驶速度
单位时间通过 的路程
若物体作匀速直线运动，则其速度为常量
v Δs Δt
例如：小王驱车到80km外的一个小镇，共用了2个
小时，v Δs 80 40 (km/h)为汽车行驶的平均 Δt 2
x 0 时的极限 k tg lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
进一步的练习
练习2 [电流强度]
设有非稳恒电流通过导线．从某一时刻开始到时刻 t0
通过该导线横截面的电量为Q, 则Q为t 的函数Q Qt.
求时刻t0 的电流强度 I t0 .
I t0
lim
x1
f x1
x2
f x2
x
f x
三点强调
三导数与导函数的区别与联系
区别： f (x0 ) 是一常数。
f x 是一函数。
联系：函数 f (x)在点 x0处的导数 f (x0) 就是导函数
f x 在 x x0处的值，即 f (x0 ) f x xx0
注：通常，导函数也简称为导数．
导数例子
y f x =x2 为例观察导数演示
x x0
x0
f (x0 x) f (x0) x
2、导数的几何意义
函数 f x在点 x0 处的导数 f x0 就是函数 所表示的曲线在点 x0, y0 处切线斜率
3、导数的概念的应用 电流强度 、 冷却速度等
总结
先以割线代替切线，算出割线的 斜率，然后通过取极限，从割线过渡到切线， 斜率，然后通过取极限，从割线过渡到切线， 变化联系起来，局部以均匀代替非均匀。
速度，然而车速器显示的速度（瞬时速度）却在
不停地变化，因为汽车作的是变速运动，如何计算 汽车行驶的瞬时速度呢?
引例
一般地： 设S是某一物体从某一选定时刻到时刻t 所走过的 路程，则S是t 的一个函数
S S (t)
下面讨论物体在任一时刻t0 的瞬时速度。
引例
[t0 ,t0 t]
S St0 t St0
进一步的练习
练习1 [切线斜率]
求曲线 y f x在点x0处的 切线的斜率.
当曲线y = f(x)的割线PQ上点Q沿曲线无限接近P点时，
割线PQ的极限位置就是曲线 在P点的切线．
割线PQ的斜率为 tg y f (x0 x) f (x0 )
x
x
曲线在P(x0,y0)点处的切线的 斜率就是割线的斜率当
O st0 st0 t s
t内的平均速度为 v S St0 t St0
t
t
t 很小时，速度的变化不大，可以以匀速代替。
引例
t 越小，平均速度 v 就越接近于时刻t0 的瞬时速度
令 t 0 取极限，得到瞬时速度 vt0 。
v t0
lim v t 0
lim S t0 t
lim S t0 t S t0
y 平均变化率x
瞬时变化率 lim y
x0 x
总结
一般地, (1) x0, x0 x y f x0 x f x0
(2)
y x
(3) lim y lim f x0 x f x0
x x0
x0
x
t 0
Q t
lim Qt0
t 0
t Qt0
t
I t0 Qt0
进一步的练习
练习3 [冷却速度] 当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就会
不断冷却。若物体的温度T与时间t 的函数关系为
T=T(t) 请表示出物体在时刻t0 的冷却速度？
v t0
lim T lim T t0 t T t0