第十五章狭义相对论基础

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第十九章 狭义相对论基础

§15-1相对论运动学

【基本内容】

一、洛仑兹变换

1、伽利略变换和经典力学时空观

（1）力学相对性原理：一切惯性系，对力学定律都是等价的。

理解：该原理仅指出：力学定律在一切惯性系中，具有完全相同的形式。对其它运动形式（电磁运动、光的运动）并未说明。 （2）伽利略变换

分别在两惯性系S 和S '系中对同一质点的运动状态进行观察，P 点的坐标为：

),,(:),,,(:z y x S z y x S ''''

S 系中： S '系中 t t t u x x '

='

+'=

t

t ut

x x ='-='

上式S 与S '的坐标变换关系叫伽利略坐标变换。 （3）经典力学时空观

在伽利略变换下：（1）时间间隔是不变量t t '∆=∆。（2）空间间隔是不变量r r ∆='∆。

在任何惯性系中，测量同一事件发生的时间间隔和空间间隔，测量结果相同。

经典力学时空观： 时间和空间是彼此独立，互不相关的，且独立于物质的运动之外的东西。

2、洛仑兹变换 （1）爱因斯坦假设

相对性原理：物理学定律与惯性系的选择无关，一切惯性系都是等价的。 光速不变原理：一切惯性系中，真空中的光速都是c 。 （2）洛仑兹变换

在两惯性系S 和S '下中，观察同一事件的时空坐标分别为：),,(:),,,(:z y x S z y x S ''''

洛仑兹正变换：

洛仑兹逆变换

)

()

(2x c

u

t t t u x x '+'='+'=γγ

)

()

(2x c

u

t t ut x x -='-='γγ

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其中

22/1/1c u -=γ 或2/11γ-=c u

二、狭义相对论的时空观

1.一般讨论

设有两事件A 和B ，其发生的时间和地点为：

S 系中观测：

S /

系中观测：

)(,A A x t A

)(,B B x t B

)(,A A x t A '' )(,B B x t B ''

时间间隔： A B t t t -=∆

A B t t t '-'='∆

空间间隔：

A B x x x -=∆

A B x x x '-'='∆

目的：寻求的关系与和与x x t t '∆∆'∆∆ 方法：由洛仑变换和逆变换可得其关系。

)()(2

x c u

t t t u x x ∆-

∆='∆∆-∆='∆γγ

)()(2

x c u

t t t u x x '∆+

'∆=∆'∆+'∆=∆γγ 2.空间间隔的相对性——长度收缩 原长（固有长度）0l ：观察者与物体相对静止时所测物体的长度。

长度收缩：观察者与被测物体相对运动时，被测物体的长度沿其运动方向缩短了，但垂直于运动方向

不会缩短。

22

1c

u l l -=

3.时间间隔相对性——时间膨胀

原时（固有时）0τ：事件发生的地点与观察者相对静止的惯性系中所测量的时间。

时间膨胀:事件发生的地点与观察者相对运动的惯性系中所测量的时间。比原时0τ长一些。

2

2

/1c

u -=

ττ

4.同时性的相对性

设有两事件A 、B ，在S 、S /系中观察其发生的时间间隔分别为Δt 和Δt ’，由洛仑兹变换有：

)(t u x x ∆-∆='∆γ,由此可知:

(1)A 、B 两事件在S 系中不同地点同时发生，则在S /系中观察就不同时。(2)A 、B 两事件在S 系中不同地点不同时发生，则在S /系中观察结果可能同时。（3）A 、B 两事件在S 系中同地点同时发生，则在S /系中观察就必定同时。

【典型例题】

【例题1】 从银河系最遥远的恒星发出的光传到地球需要10５

年。一个人要想在50年内飞到那里，

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需要多高的恒定速度?

【解】 本题可用长度收缩和时间膨胀两种方法求解 法一：长度收缩

地球上的观测者看来，光在10５

年内传播的距离为

c t c S 50010=∆=（设c 的单位为千米/年)

如果另一观测者以速度v 相对于地球运动，按长度收缩，地球与恒星的距离(也即飞行距离)缩短为

20)/(1c v S S -=

而可用于这一飞行距离的时间为Δt ＝５０年，因此飞行的恒定速度为

50/)/(110/25c v t S v -=∆=

即

2251050v c v -=

解此方程得：v ＝０．９９９９９９８７５c 法二：时钟膨胀

在飞船上的观测者看来，从地球起飞到恒星着陆，为同一地点发生两件事，其时间间隔即原时为0τ=50年，由于时间膨胀，地球上的观测者看来，飞船飞行的时间

2

2

/1c

v t -=

∆τ

由于地球上观测者测得飞船飞行的距离为0S ，飞船的速度为v ，则飞船飞行的时间

v

S t 0

=

∆ 比较上面两式可求出飞船的速率。

【讨论】从本题可以看出，长度收缩和时间膨胀是相互统一的。关键是弄清楚原时和原长的定义。

【例题2】 甲和乙两观察者分别静止于惯性系K 、K ’中。甲测得同一地点发生的两事件的时间间隔为4S ，而乙测得为5S ，求

（1）K ’相对于K 运动的速度； （2）乙测得两事件发生地点的距离。

【解】 本题（1）问可用洛仑兹变换和时间膨胀两种方法求解 法一：洛仑兹变换

在K ’系中该两事件发生的时空间隔分别为：

0,4=∆=∆x s t

在K 系中该两事件发生的时空间隔分别为：

?,5''=∆=∆x s t

由洛仑兹变换得：

)('t u x x ∆-∆=∆γ

)(2'x c

u

t t ∆-

=∆γ u x γ4'-=∆

4/545=⇒=γγ