2019年全国高中数学联赛一试A卷(word版)
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4. 设为椭圆 的长轴顶点，为 的两个焦点， ，
为 上一点，满足 ，则的面积为.
5. 在 中随机选出一个数，在 中随机选出一个数
，则被 整除的概率为.
6. 对任意闭区间 ，用 表示函数在 上的最大值.若正数满足
， 则的 值为.
7. 如图，正方体 的一个截面经过顶点
及棱 上一点 ，且将正方体分成体积比为的两部分，
2019 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分.
1. 已知正实数满足 ，则 的值为.
2. 若实数集 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则的值为.
3. 平面直角坐标系中，是单位向量，向量满足 ，且 对任意
实数成Hale Waihona Puke Baidu，则的取值范围是.
则 的值为.
8.将 个数 按任意次序排成一行，拼成一个 位数（首位不为 ），则产生的不同的 位数的个数为.
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9. 在中，， ， .若是与的等比中项，且是
与的等差中项，求 的值.
10. 在平面直角坐标系 中，圆 与抛物线 恰有一个公共点，且圆 与轴相切于 的焦点 .求圆 的半径.
为 上一点，满足 ，则的面积为.
5. 在 中随机选出一个数，在 中随机选出一个数
，则被 整除的概率为.
6. 对任意闭区间 ，用 表示函数在 上的最大值.若正数满足
， 则的 值为.
7. 如图，正方体 的一个截面经过顶点
及棱 上一点 ，且将正方体分成体积比为的两部分，
2019 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分.
1. 已知正实数满足 ，则 的值为.
2. 若实数集 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则的值为.
3. 平面直角坐标系中，是单位向量，向量满足 ，且 对任意
实数成Hale Waihona Puke Baidu，则的取值范围是.
则 的值为.
8.将 个数 按任意次序排成一行，拼成一个 位数（首位不为 ），则产生的不同的 位数的个数为.
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9. 在中，， ， .若是与的等比中项，且是
与的等差中项，求 的值.
10. 在平面直角坐标系 中，圆 与抛物线 恰有一个公共点，且圆 与轴相切于 的焦点 .求圆 的半径.