数理方程课件一
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数理方程第1讲-课件
x xy y 3
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。
小学数学方程的课件ppt课件ppt
几何方程的应用
几何方程是代数方程在几何领域中的应用。通过几何方程 ，我们可以表示几何图形中的未知量，并求解未知量的值 。
在小学数学中，学生将学习如何使用几何方程解决实际问 题，例如计算角度、距离等。此外，学生还将学习如何使 用几何方程解决一些简单的几何问题，例如计算三角形的 面积等。
实际生活中的方程应用
二维坐标系
提供二维坐标系的练习题，如求 点(2,3)到点(4,5)的距离，求点 (3,4)关于直线y = x + 1的对称 点等，让学生熟悉二维坐标系中
的几何问题。
实际生活中的方程练习题
购物问题
提供购物问题的练习题，如小明去超市买了10个苹果，每个苹果2元，他给了收银员20元 ，应找回多少钱？等，让学生将数学知识应用到实际生活中。
小组讨论
与同学一起讨论，互相学 习，共同进步。
02
方程的基本概念
方程的定义
总结词
方程是数学中表示数量关系的一种基本工具，它由等号和等号两边的数学表达 式组成。
详细描述
方程是数学中表示数量关系的一种基本工具，它由等号和等号两边的数学表达 式组成。通过将未知数和已知数放在等号的两边，方程能够清晰地表达出数量 之间的关系。
方程的表示方法
总结词
方程可以用各种数学符号来表示，如加、减、乘、除、括号等。
详细描述
方程的表示方法多种多样，可以使用加、减、乘、除、括号等各种数学符号来表 示。通过这些符号，我们可以将未知数和已知数联系起来，形成一个数学模型。
方程的分类
总结词
根据方程中包含的未知数的个数和方程的形式，可以将方程 分为一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等类型。
学习一元一次方程的解法，掌 握移项、合并同类项、去括号 的技巧。
数理方程第1讲
CDx
v+Dv
x+Dx
10
L—每一回路单位的串联电感; C—每一单位长度的分路电容. i LDx v x CDx i+Di
v+Dv x+Dx
11
i v (v Dv) LDx t v i L x t
i LD x v x CDx i+Di
(1.4)
v+Dv x+Dx
12
div D (1.11) J—传导电流面密度,—电荷的体密度.
26
D rot H J t B rot E t div B 0 div D
(1.8) （ 1.9) (1.10) (1.11) (1.12)
D E B H J E
(1.13) (1.14)
1
第一章 一些典型方程和定解条件的推导 §1.1 基本方程的建立
2
例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦, 平衡时沿直线拉紧, 而且除受不随时间而变的张力作用外, 不受外 力影响. 下面研究弦作微小横向振动的规律. 所谓"横向"是指全部运动出现在一个平面上, 而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动. 所谓"微小"是指的振动的幅度及弦在任意位 置处切线的倾角都很小, 以致它们的高于一次 方的项都可略而不计.
32
例4 热传导方程 在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记 作V. 假设在时刻t区域V内点M(x,y,z)处的温度 为u(x,y,z,t), n为曲面元素DS的法向(从V内指向 V外). 由传热学中傅里叶实验定律可知, 物体在无穷 小时间段dt内, 流过一个无穷小面积dS的热量 dQ与时间dt, 曲面面积dS, 以及物体温度u沿曲 面dS的法线方向的方向导数三者成正比
东南大学版《数理方程》课件
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u 2u 2u ( A B) AB 2 0 2 xy x y
u u u u u A B x x x
y Ax
y Bx
2 2 2u u u u u 2u 2 u 2 u A B A B A 2 AB B 2 2 x x x 2 u u u u u y y y
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1 2
1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
e
( x at ) 2
]
1 2
x at x at
x at
2ase
s 2
ds
( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x atቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx at s 2
e
s 2
ds2
e ( xat )
x at
数学物理方程与特殊函数
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2 2 u2 u2 2 a f ( x, t ), x , t 0 2 t 2 x u ( x, 0) 0, u2 ( x, 0) 0, x 2 t 利用齐次化原理，若 满足：
数理方程-第1章第2章-研究生ppt课件
张力为 F T(x,t),F T(x d x,t)与x轴夹角为 1 , 2 . 用 表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件
P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
第16页/共87页
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
第14页/共87页
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
数理方程课件
详细描述
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
数理方程复习数理方程课件
复习
3. 在扇形区域内求下列定解问题
u 0,
0 ,r a
u(r,0) u(r, ) 0, r a
u(a, ) f ( ),
0
r2 r 0 0
u(0,)
(0)(r) ()(r) 0
u(r, ) (r)( )
(0) () 0
1 r
r
r
1 r2
0
1 r
1 r2
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
X X 0, 0 x l
X (0) 0,
X (l) 0
0
X 0 X (x) Ax B A B 0 X (x) 0
2 0 X 2 X 0
X (x) Acosx Bsin x
X (0) A 0 , X (l) Bsin l 0
0
l
l n
l
n
xd sin
0
l
x
2
n
x sin n
l
x |l0
2
n
l n
sin xdx
0
l
2l n
n2 2 cos l
x
|l0
2l
n2
2
(1)n 1
0, 4l
n2
2
,
n为偶数 n为奇数
u l
2 n1
2n
4l 1
2
2
e
2
n12
l2
2a2
t
cos
2n 1 x
l
HUST 数学物理方程与特殊函数
Bn
sin
n
Cnr
Байду номын сангаас
n
En
sin
《数理方程》课件
a2
2u x2
f
(x,t)
其中 f (x,t) F
也称上式为一维（非齐次）波动方程
16
二、热传导问题
1. 问题描述 考察均匀且各向同性的导热体内温度分布情况。
2. 模型分析 ➢ 均匀：介质密度相同，为常数； ➢ 各项同性：物体的比热、热传导系数为常数； ➢ 体：三维问题; ➢ 物理规律：能量守恒定律、Fourier热传导实验定律 3. 导出方
❖ Chapter 1
1. PDE基础知识（阶，线性，齐次，分类等）； 2. 定解问题的提法：基本概念，三类边界条件； 3. PDE解的基本性质。
1
❖ Chapter 2
1. ODE及Fourier级数的补充知识； 2. 定解问题的三类基于分离变量的求法：分离变量，特征函数，
边界条件齐次化； 3. Laplace方程的极坐标形式及其分离变量求解。
5
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1. 前言 2. 基本方程的建立 3. 初始条件与边界条件 4. 定解问题的提法
6
1. 前言
1.1 课程特点及其研究对象
数学物理方程，是指从物理学、力学及其他自然科学、 技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程，微分积分方程，甚至常微分方程等。
1. Laplace方程边值问题四种提法； 2. 第一、第二Green公式； 3. 调和函数的基本性质； 4. 特殊区域上的Green函数及其求解定解问题。
4
所需知识
高等数学 常微分方程 积分变换
课程评价(Grading Policies)
期末考试成绩 (80%左右)
平时成绩 (20%左右)
x
ds 1 ux 2 dx dx
数理方程
,
3.Helmholtz
– Typeset by FoilTEX –
Page 7
(r, θ, z) , v(r, θ, z) = R(r)Θ(θ)Z(z), 1 1Θ Z 2 r (rR ) + 2 + + k = 0. R r Θ Z Z + µZ = 0, µ ≥ 0, 2 Θ + σΘ = 0 σ = ν 1 σ 2 (rR ) + k − µ − 2 R = 0. r r
§3.1
Bessel Legendre 1. Helmholtz 2 utt = a ∆3u
ut = a ∆3 u . u = T (t)v(x, y, z), T ∆3 v T ∆3 v = = . a2T v a2T v
– Typeset by FoilTEX – Page 4
2
t
– Typeset by FoilTEX –
+ k 2 = 0.
−µ
R
1 1 (sin θΘ ) 1 Φ + 2 + 2 r sin θ Θ sin θ Φ
−λ Φ
Φ + µΦ = 0
– Typeset by FoilTEX –
Page 9
(r, θ, ϕ) , R(r)Θ(θ)Φ(ϕ),
Laplace ∆3v = 0.
– Typeset by FoilTEX –
Page 5
t 2 2 2 2 T +a k T =0 T +a k T =0 Helmholtz 2 ∆3v + k v = 0. k = 0,
Laplace ∆3v = 0.
– Typeset by FoilTEX –
3.Helmholtz
– Typeset by FoilTEX –
Page 7
(r, θ, z) , v(r, θ, z) = R(r)Θ(θ)Z(z), 1 1Θ Z 2 r (rR ) + 2 + + k = 0. R r Θ Z Z + µZ = 0, µ ≥ 0, 2 Θ + σΘ = 0 σ = ν 1 σ 2 (rR ) + k − µ − 2 R = 0. r r
§3.1
Bessel Legendre 1. Helmholtz 2 utt = a ∆3u
ut = a ∆3 u . u = T (t)v(x, y, z), T ∆3 v T ∆3 v = = . a2T v a2T v
– Typeset by FoilTEX – Page 4
2
t
– Typeset by FoilTEX –
+ k 2 = 0.
−µ
R
1 1 (sin θΘ ) 1 Φ + 2 + 2 r sin θ Θ sin θ Φ
−λ Φ
Φ + µΦ = 0
– Typeset by FoilTEX –
Page 9
(r, θ, ϕ) , R(r)Θ(θ)Φ(ϕ),
Laplace ∆3v = 0.
– Typeset by FoilTEX –
Page 5
t 2 2 2 2 T +a k T =0 T +a k T =0 Helmholtz 2 ∆3v + k v = 0. k = 0,
Laplace ∆3v = 0.
– Typeset by FoilTEX –
数理方程重点总结PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
对于c 点周围足够小旳 0 ，弦段 c , c
冲量
I
t2
Fd t
t1
上旳动量变化，即为冲量，于是有
冲量：力旳时间作用效应 。
2 u( x , 0) k , (c x c )
动量定理
I mv2 mv1
t
质量
速度
受冲击时旳
动量定理：动量旳变化=冲量旳作用。
初位移
T a2T 0 （时间变量的微分方程 ）
X X 0 （空间变量的微分方程 ）
二、空间变量常微与边 界条件捆绑，构成本征 值问题。（解本征值问 题）
X X 0
(1)
u x
u
0,
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
2u u
t
2 2xt
xt x
解 把方程写成
(t u 2u) 2xt x t
对 x 积分，得
t u 2u x2t F (t) t
或
u 2u x2 F (t)
t t
t
上式还可以写成
(t 2u) x2t 2 t F(t) t
再对 t 积分，得
t 2u 1 x2t 3 t F (t )d t H ( x) 1 x2t 3 G(t ) H ( x)
由开初时，在 x c 处受到冲量 k 旳作用知
对于c 点周围足够小旳 0 ，弦段 c , c
x
上旳动量变化，即为冲量，于是有
第2 题
u (x ,t)
k
为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知
c
c
x
0
冲量
I
t2
Fd t
t1
上旳动量变化，即为冲量，于是有
冲量：力旳时间作用效应 。
2 u( x , 0) k , (c x c )
动量定理
I mv2 mv1
t
质量
速度
受冲击时旳
动量定理：动量旳变化=冲量旳作用。
初位移
T a2T 0 （时间变量的微分方程 ）
X X 0 （空间变量的微分方程 ）
二、空间变量常微与边 界条件捆绑，构成本征 值问题。（解本征值问 题）
X X 0
(1)
u x
u
0,
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
2u u
t
2 2xt
xt x
解 把方程写成
(t u 2u) 2xt x t
对 x 积分，得
t u 2u x2t F (t) t
或
u 2u x2 F (t)
t t
t
上式还可以写成
(t 2u) x2t 2 t F(t) t
再对 t 积分，得
t 2u 1 x2t 3 t F (t )d t H ( x) 1 x2t 3 G(t ) H ( x)
由开初时，在 x c 处受到冲量 k 旳作用知
对于c 点周围足够小旳 0 ，弦段 c , c
x
上旳动量变化，即为冲量，于是有
第2 题
u (x ,t)
k
为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知
c
c
x
0
方程教学ppt课件ppt课件
学习建议
熟练掌握方程的基本 概念和解法，是解决 复杂数学问题的关键 。
注意理解方程的几何 意义，将代数与几何 结合起来，加深对数 学的理解。
通过大量的练习和实 践，提高解决实际问 题的能力。
习题答案与解析
习题一答案：x = 2 解析：将方程中的常数项移至等号的
右边，得到 x = 2。 习题二答案：x = -3
04
多元一次方程组
多元一次方程组的定义
总结词
详细描述多元一次方程组的定义，包 括其数学表达形式和基本概念。
详细描述
多元一次方程组是由多个一次方程组 成的方程组，每个一次方程包含多个 未知数。这些未知数和方程中的其他 元素都是实数。
多元一次方程组的解法
总结词
介绍多元一次方程组的解法，包括消元法、 代入法、矩阵法等。
详细描述
解多元一次方程组的方法有多种，其中最常 用的是消元法和代入法。消元法是通过加减 消元或代入消元的方式，将多元一次方程组 转化为一元一次方程来求解。代入法则是通 过逐个求解每个未知数，再将其代入其他方 程中求解。此外，矩阵法也是求解多元一次 方程组的一种方法，通过矩阵的运算来求解
。
多元一次方程组的应用
方程教学 PPT 课件
目 录
• 方程的基本概念 • 一元一次方程 • 二元一次方程组 • 多元一次方程组 • 总结与回顾
01
方程的基本概念
方程的定义
总结词
方程是数学中表示数量关系的一 种基本工具。
详细描述
方程是数学中表示数量关系的一 种基本工具，它通过等号将等号 两边的数学表达式联系起来，表 示等号两边的数学量相等。
二元一次方程组的应用
总结词
二元一次方程组在日常生活和科学研究中有着广泛的应 用。
数理方程复习课件
x x x c1 e xe e dx c1
x e x xe x e x c1 x 1 c1 e
dy x 1 c1 e x dx
y x 1 c1 e x dx
所以原微分方程的通解为
n
性质5的推论常被当做级数发散的充分条件来使用。
即 lim un 0 级数 n 1 2n 1
n 1 因为lim un lim ， n n 2n 1 2
n 所以，级数 是发散的。 n 1 2n 1
三、 常数项级数的敛散性判别法
1、收敛准则：
定理 1 : 正项级数 un 收敛的充分必要条件
2、比较判别法: 定理 2 比较判别法 设 un 与 v n都是
正项级数, 且un v n n 1,2,
则 1) 当级数 v n 收敛时, un 也收敛 ;
2) 当级数 un 发散时, v n 也发散。
则微分方程的通解为 y e P x dx Q x e P x dx dx c
e
1 dx x
1 dx 1 x e dx c ln x
1 x dx c x ln x
三、通过适当的代换求解
dy x y 5 例 求 的通解 . dx x y 2
解
dy du 1 令 x y u, dx dx du u 5 代入原方程 1 dx u 2
解得u 2 14x C ,
2
2 代回u x y, 得 ( x y 2) 14x C1 ,
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
3、拉普拉斯方程
稳定的温度分布导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程 即变为下列拉普拉斯方程和泊松方程.
∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z
∂2u ∂2u ∂2u 1 + 2 + 2 = − 2 f (x, y, z) ∂x2 ∂y ∂z a
如果在位移方向上还受外力的作用， 如果在位移方向上还受外力的作用，设单位长度上受 的外力为 f, 则
单位质量所受外 力，力密度
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
说明： 说明：
• 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t为 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t 自变量的常微分方程； 自变量的常微分方程； • 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 x,t的函数 x,t 量的偏微分方程。 量的偏微分方程。 • uxx项反映弦上的各个质点彼此相联 。 • utt项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。 项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。
第1章 典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
一、 基本方程的建立
导出步骤： 导出步骤：
1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻 确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分， 近部分与它的相互作用。 近部分与它的相互作用。 2、根据物理规律，以算式表达这个作用。 根据物理规律，以算式表达这个作用。 3、化简、整理。 化简、整理。
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
经典的定解问题举例
热传导方程的混合问题
∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x , t ), t > 0,0 < x < L ∂x ∂t u ( x , t ) = ϕ ( x ) t =0 u ( x , t ) x ) x = L = h (t )
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
2、热传导方程
分析： 分析：
热流 x x x+dx
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
1.热学问题：温度u(x,t)是根本量 1.热学问题：温度u(x,t)是根本量 热学问题 u(x,t) 2.能量守恒定律和热传导定律 2.能量守恒定律和热传导定律 q是单位时间垂直流过单位面积的热 热流强度）； 为导热率， ）；k 量(热流强度）；k为导热率，与材料 有关，温度范围不大时，视为常数。 有关，温度范围不大时，视为常数。 dt时间内小段 温度升高所需热量: 时间内小段dx温度升高所需热量 （1） dt时间内小段dx温度升高所需热量: Q=c(ρsdx)[u(x,t+dt)-u(x,t)] dt很小 dt很小 Q=cρsu dx dt t 时间内流入小段dx热量 （2） dt时间内流入小段 热量： 时间内流入小段 热量： Q=-kux(x,t)sdt-(-kux(x+dx,t)sdt)=ksdtuxx dx
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
何为适定性？ 何为适定性？
存在性 唯一性 连续依赖性（稳定性） 连续依赖性（稳定性） 稳定性： 稳定性：只要定解条件的偏差足够小，相 应的定解问题解的偏差也将非常小． 若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已 知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为 稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的。 适定性
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况 、边界条件——描述系统在边界上的状况 ——
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x =0 = 0,
或： u (a, t ) = 0
第一类边界条件
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。 第二类边界条件 ∂u ∂u u x ( a, t ) = 0 =0 T =0 ∂x x = a ∂x x = a (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支 第三类边界条件 承。 ∂u ∂u +σu =0 或 T = −k u x =a ∂x x=a ∂x x = a
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值
u |s = f
(2) 绝热状态
S——给定区域v 的边界
第一类边界条件 第二类边界条件
(3)热交换状态
∂u =0 ∂n s
牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
∂u dQ = k1 (u − u1 )dSdt = −k dSdt ∂n
(dx) 2 + (du ) 2 ≈ dx
于是有： 于是有：
弦中各点的张力相等
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
于是有： 于是有：
弦的线密度
即：
令
于是：
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第1章 典型方程和定解条件的推导
由于B是任选的，所以方程适用于弦上的各处， 由于B是任选的，所以方程适用于弦上的各处，称为 弦的振动方程 utt - a2uxx=0 (a2=T/ρ)
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
经典的定解问题举例
波动方程的初值问题（一维）
∂ u 2 ∂ u + f ( x , t ), t > 0, x ∈ R 2 =a 2 ∂t ∂x u ( x , t ) = ϕ ( x ) t =0 ∂u ( x, t ) = ψ ( x ) ∂t t =0
Lui = f i
∑f
i
=f
∑u ∑u
i
i
=u
Lu = f
Lu = 0
k1交换系数；1周围介质的温度 u
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
∂u + σ u = σ u1 S ∂n S
σ=
k1 k
第三类边界条件
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
三、定解问题的概念
1、定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解 条件结合在一起，就构成了一个定解问题。 (1) 初值问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
PDE中对所含未知函数及其各阶导数的 线性PDE： 全体都是线性的。例如： 线性
n ∂ 2u ∂u aij ( x1 ,L , xn ) + ∑ b j ( x1 ,L , xn ) + c( x1 ,L , xn )u = f ( x1 ,L , xn ), ∑1 ∂xi ∂x j j =1 ∂x j i, j= n
α = 1, β = 0 α = 0, β = 1 α > 0, β > 0
第一边值问题（Dirichlet） 第二边值问题（Neumann） 第三边值问题（Robin）
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
2、偏微分方程的基本概念
x = ( x1 , x2 ,L , xn ) u ( x) = u ( x1 , x2 ,L , xn )
2 2
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
经典的定解问题举例
拉普拉斯方程的边值问题 边值问题
∂ 2u ∂ 2u + 2 = 0, ( x , y ) ∈ Ω ⊂ R 2 2 ∂x ∂y (α ( x ) u + β ( x ) ∂ u ) = g ( x ) ∂ n ∂Ω
1、波动方程的导出 、
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
u T2 θ2
均匀弦的微小横振动
分析： 分析：
θ1
B
1 .力学问题：位移 力学问题： 力学问题 位移u(x,t)是根本量 是根本量 2. 在弦上取微元 考虑邻近相 在弦上取微元,考虑邻近相
T1 x x+dx x
互作用,找物理规律 互作用 找物理规律------遵循牛顿第二定律 找物理规律 遵循牛顿第二定律 3 .弦是柔软的：张力沿弦的切线方向 弦是柔软的： 弦是柔软的 4. 轻弦：重力是张力的几万分之一，不考虑 轻弦：重力是张力的几万分之一， 5.只在横向有位移，纵向没有位移 只在横向有位移， 只在横向有位移
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
内无热源， 内无热源，二者相等 Q=cρsutdx dt =ksdtuxx dx ut-a2uxx=0 a2=k/(cρ) -----此即一维热传导方程 此即一维热传导方程 若杆内有热源,热源密度（单位时间单位体积放热量) 若杆内有热源,热源密度（单位时间单位体积放热量)为f(x,t) 则方程变为 ut-a2uxx=f/ρc 若考虑的是三维,六个面都有热传递, 若考虑的是三维,六个面都有热传递,则 ut-a2∆u=0 a2=k/(cρ)
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
常见的线性边界条件分为三类： 常见的线性边界条件分为三类： 第一类边界条件:直接给出了所研究的物理量在边界上的数值； 第一类边界条件:直接给出了所研究的物理量在边界上的数值； 第二类边界条件:给出了所研究的物理量在边界外法线方向 上方向导数的数值； 第三类边界条件:给出了所研究的物理量及其外法向导数的 线性组合在边界上的数值. .