最短路径与选址问题
【精品】数学建模第二轮-选址最短路问题及巡视路线问题
【精品】数学建模第二轮-选址最短路问题及巡视路线问题
选址最短路问题及巡视路线问题是数学建模中常见的问题之一，关于这两个问题的具体描述以及解决方法如下：
1. 选址最短路问题：
选址最短路问题是指在一片区域内选择一个或多个点作为设施的位置，使得到其他所有点的距离之和最小。
这个问题往往在物流配送、设施规划、网络布置等领域中得到应用。
对于选址最短路问题，可以使用以下方法进行建模和求解：
- 首先，将区域划分为格点，每个格点代表一个可能的设施位置。
- 然后，计算每个格点到其他格点的距离，并构建距离矩阵。
- 接下来，可以使用数学规划方法（如整数规划）或启发式算
法（如贪婪算法、遗传算法）来求解最短距离并确定最佳设施位置。
2. 巡视路线问题：
巡视路线问题是指寻找一条最优路线，使得沿途经过给定的一组点后，总路程最短或总时间最短。
这个问题在旅行路线规划、货物配送、巡逻路线规划等领域中具有重要意义。
对于巡视路线问题，可以使用以下方法进行建模和求解：
- 首先，将问题抽象为图论问题，将给定的一组点作为图的节点，节点之间的路径作为边。
- 接下来，可以使用图论中的最短路径算法（如Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法）来求解最短路径，并确定最优路线。
需要注意的是，选址最短路问题和巡视路线问题的具体求解方法可能因问题的规模和约束条件的不同而不同。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法进行建模和求解。
最短路径问题例题与讲解
13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如下图：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不管题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)假设要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如下图，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，从C 到B 应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想方法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D 的路线行走，所走的总路程最短．利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如下图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如下图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA －CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
4.鼓励学生积极参与评价，培养学生的评价能力和批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过一个有趣的现实生活中的选址问题，如“如何在两个村庄之间建一座桥，使得两地之间的距离最短？”引起学生的兴趣。
2.学生尝试用自己的知识解决此问题，教师引导学生思考问题的方法论。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
一、案例背景
人教版数学八年级上册13.4课题学习“最短路径造桥选址实验教学”探究优秀教学案例，是基于学生在学习了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等知识的基础上，对“线性规划”的初步认识。此章节内容旨在让学生通过实验探究，掌握线性规划的基本方法，解决实际问题。
在教学过程中，我以“最短路径造桥选址”为例，让学生结合生活实际，探讨如何在一个城市中选择最佳的桥梁建设位置，以达到连接两个区域、节省路程、提高效率的目的。通过对问题的探究，引导学生运用所学的数学知识，解决实际问题，提高学生的实践能力和创新能力。
在教学设计上，我充分考虑了学生的认知规律和兴趣，将抽象的数学知识与具体的生活情境相结合，以实验教学为主线，让学生在动手操作、观察分析、合作交流的过程中，掌握线性规划的方法。同时，我注重引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
4.全面提高学生的数学素养：通过对实际问题的解决，本节课不仅使学生掌握了线性规划的基本方法，还培养了学生的观察力、动手能力、思维能力、沟通能力和团队协作能力，全面提高了学生的数学素养。
5.教学策略灵活多样：教师根据学生的认知规律和兴趣，采用了情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高了教学效果。
最短路径问题常见解题策略
最短路径问题常见解题策略
（一）利用轴对称解决最短路径问题
（二）用平移解决造桥选址问题
例1，如图，a//b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，当点N 在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
由于MN的长度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。
这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
详解：将AM沿与a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A’，则AA’=MN,AM+NB=A’N+NB.这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A’N+NB 最小？
如图，在连接A’,B两点的线中，线段A’B最短。
因此，线段A’B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的。
13.4.最短路径(2)—造桥选址问题电子教案
13.4.最短路径(2)—
造桥选址问题
精品资料
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13.4造桥选址问题
一．学习目标：
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.
2、在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 二．重点难点：
学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题. 学习难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题． 三．合作探究：（同学合作，教师引导） 1．温故知新：
前面我们研究过最短路径问题，求最短路径的依据有：
（1） . （2） . 2．探究新知： 问题2 造桥选址问题
如图,A 和B 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
思维分析：
1.如右图假定任选位置造桥MN,连接AM 和BN,从A 到B 的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?
2.利用上面的“求最短路径的依据”解决问题:我们遇到了什么障碍呢?
四．感悟与反思：
A ·
· B
A ·
· B。
最短路径(将军饮马+造桥选址)
为ＡM＋MN＋ＮＰ＋Ｐ
B
Ｑ＋ＱＢ．
11/24/2019
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方
A
向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿 A1
垂直于第二条河岸方向平移
Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1
M
分别交A、B的对岸于N、P 两点，建桥MN和PQ.
N P
最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为
AA1+A1B1+BB1.
Q B
M N P Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
11/24/2019
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
A A1
B
11/24/2019
最短路径 问题
将军饮马 造桥选址
问题
问题
郧西县河夹中学
段廉洁
最短路径问题
①垂线段最短。
B L
A
②两点之间，线段最短。
A L
C B
问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马
人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
A C
B
L
两种情形
① 点A，B分别是直线l异 侧的两个点
a
A
M
b
N
B
解决问题 2
① 作图
A A′
M N
a b
B
② 证明
A A′
a
M′
b
M
N′
N
B
店铺选址最短路径与选址问题课件
对于城市规划和商业发展而言，应注重优化交通网络布局，提高道路网络密度，以增加店铺选址的自由度和灵活性。
THANKS
感谢您的观看。
实验结果
通过对最优解进行分析，可以发现这些解在租金、人流量、竞争情况等方面都取得了较好的平衡，可以为店铺选址提供参考。
结果分析
07
CHAPTER
总结与展望
验证了在不同交通网络布局下，店铺选址的最短路径算法的有效性和可行性。
发现了不同交通网络布局对店铺选址的影响程度存在差异，具体表现为：道路网络密度越高，对店铺选址的限制越小，最短路径的选择余地也越大。
基于遗传算法的店铺选址最短路径问题求解
遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机制，寻找问题的最优解。
基本构成：遗传算法包括个体、种群、基因、染色体、适应度函数、选择算子、交叉算子和变异算子等基本要素。
工作流程：遗传算法的工作流程包括编码、初始种群、适应度评估、选择、交叉和变异等步骤。
竞争环境
店铺的选址需要考虑租金成本，不同的地段租金差异可能较大，需要根据自身经济状况进行选择。
租金成本
这类问题主要涉及确定店铺的位置，以最大化顾客流量、销售量及利润等为目标。
定位选址问题
路线规划问题
约束满足问题
这类问题主要涉及如何规划最短路径或最优路径，以便在最低成本下满足顾客需求。
这类问题主要涉及满足某些特定条件下的选址和路径规划，如时间限制、车辆限制等。
最短路径问题定义
在给定图中，寻找从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
1
2
3
该算法是一种贪心算法，通过不断扩展当前节点到目标节点的最短路径来求解最短路径问题。
迪杰斯特拉算法
10.2最短路径与选址问题
对于许多地理问题，当它们被抽象为图论意义下的网络 图时，问题的核心就变成了网络图上的优化计算问题。其中，
最为常见的是关于路径和顶点的优选计算问题。
在路径的优选计算问题中，最常见的是最短路径问题； 而在顶点的优选计算问题中，最为常见的是中心点和中位点 选址问题。
一、最短路径问题
（一）最短路径的含义 （1）“纯距离”意义上的最短路径。 例如，需要运送一批物资从一个城市到另一个城市，选 择什么样的运输路线距离最短？ （2）“经济距离”意义上的最短路径。 例如，某公司在10大港口C1，C2，…，C10设有货栈， 从Ci到Cj之间的直接航运价格，是由市场动态决定的。
如果两个港口之间无直接通航路线，则通过第三个港口
T(v7)＝min[T(v7)，P(v6)+w67]＝min[14，8+5]=13
② 目前只有v7是T标号，故令：P(v7)＝13。
从城镇v1到v7之间的最短路径为(v1，v2，v3，v5，v6，v7)，
最短路径长度为13。
二、选址问题
选址问题，是现代地理学的分支学科——区位论 研究的
主要方向之一。选址问题涉及人类生产、生活、文化、 娱乐等各个方面。
3 0 3 4 5 7
6 3 0 3 2 4
3 4 3 0 5 7
6 5 2 5 0 2
4 7 4 7 2 0
第二步：求每一个顶点的最大服务距离。显然，它们分别
是矩阵D中各行的最大值，即： e(v1)＝6，e(v2)＝7，e(v3)＝6， e(v4)＝7，e(v5)＝6，e(v6)＝7。
第一步：
① v1是刚得到P标号的点。因为(v1，v2)，(v1，v3)，(v1，v4)∈E， 而且v2，v3，v4是T标号，所以修改这三个点的T标号为： T(v2)＝min[T(v2)，P(v1)+w12]＝min[ +∞，0+2]＝2 T(v3)＝min[T(v3)，P(v1)+w13 ]＝ min[ +∞，0+5]＝5 T(v4)＝min[T(v4)，P(v1)+w14 ]＝ min[ +∞，0+3]＝3 ② 在所有T标号中，T(V2)＝2最小，于是令P(V2)＝2。
最短路径与选址问题
➢最短路径问题 ➢选址问题
对于许多地理问题，当它们被抽 象为图论意义下的网络图时，问题的核 心就变成了网络图上的优化计算问题。 其中，最为常见的是关于路径和顶点的 优选计算问题。
在路径的优选计算问题中，最常见 的是最短路径问题；而在顶点的优选计 算问题中，最为常见的是中心点和中位 点选址问题。
图10.2.3
解：第1步：用标号法求出每一个顶点vi至其他各个
顶点vj的最短路径长度dij（i，j ＝ 1，2，…，7），并 将其写成如下距离矩阵
d11
d 21
d
31
D d41
d
51
d d
61 71
d12 d 22 d 32 d 42 d 52 d 62 d 72
d13 d 23 d 33 d 43 d 53 d 63 d 73
图10.2.2
解：第1步：用标号法求出每一个顶点vi至其 他各个顶点vj的最短路径长度dij（i，j ＝ 1，2 ，…，6），并将它们写成如下的距离矩阵
d11 d12 d13 d14 d15 d16 0 3 6 3 6 4
d21 d22 d23 d24 d25 d26 3 0 3 4 5 7
d14 d 24 d 34 d 44 d 54 d 64 d 74
d15 d 25 d 35 d 45 d 55 d 65 d 75
d16 d 26 d 36 d 46 d 56 d 66 d 76
d17
d 27
d 37
d 47
d 57
d d
67 77
0
3
5
6.3
9.3
4.5
7
S (v6 ) a(v j )d6 j 72.8 j 1 7
2020年中考数学专题突破专题十一：最短路径——造桥选址问题
【导例引入】
导例：如图 1，已知正方形 ABCD 边长为 3，点 E 在 AB 边上且 BE=1，点 P，Q 分别是边 BC，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形 AEPQ 的周长取最小值时，四边形 AEPQ 的面积 是．
【方法指引】
（1）如图，在直线 l 上找 M、N 两点（M 在左），使得 A M+MN+NB 最小，且 MN= d 。
7．矩形 OABC 在直角坐标系 中的位置如图所示，A、C 两点的坐标分别为 A（6，0）、C （O，3），直线 y= x 与与 BC 边相交于点 D．
（1）求点 D 的坐标； （2）若抛物线 பைடு நூலகம்=ax2+bx 经过 D、A 两点，试确定此抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴是否存在点 P，使四边形 ABDP 的周长最小，并求出最 小值；
【例题精讲】
类型一：两定点两动点形成最短路径型 例 1 如图 1，已知 A(0, 2)、B(6, 4)，E(a， 0)，F(a＋1, 0)，求 a 为何 值时，四边 形 ABFE 周长最小请说明理由．
【分析】四边 ABFE 的四条边中，AB，EF 的长度固定，只要 AE+BF 最小，则四边形周长 将取得最小值，将 B 点向左平移一个单位长（EF 的长度），得到点 M，再作 A 关于 x 轴的对 称点 A′，连接 A′M，可得点 E 的位置，从而问题得解．
连接 CE，CF，则 △CEF 周长的最小值为
．
3.在平面直角坐标系中，已知点 A（-2，0），点 B（0，4），点 E（0，1），将
△AEO 沿 x 轴向右平移得到△A′E′O′，连接 A′B，BE′，则当 A′B+BE′取最小
店铺选址最短路径与选址问题
，这样可以吸引更多的顾客。
交通便利性：该快餐店需要选择一个交通便利的地点， 以便顾客可以方便地到达店铺。
周边环境：该快餐店需要考虑周围的商业环境和居民区 的情况，以便选择一个适合开设快餐店的地点。
案例三：某服装店的选址问题
1. 背景介绍：某服装店需要在城市中选择一个 合适的地点开设新店。
人流量：该服装店需要选择一个每天人流量较 大的地点，这样可以吸引更多的顾客。
选址问题在店铺选址中的实际应用
01
在实际应用中，选址问题被广泛应用于零售、餐饮和其他服务 业的店铺选址决策中。
02
通过使用整数规划和其他优化销售额和利润。
选址问题的实际应用还包括城市规划、物流和供应链管理等领
03
域的优化问题。
05
案例分析
案例一：某便利店的选址问题
1. 背景介绍：某便利店需要在城市中选择一个 合适的地点开设新店。
人流量：该便利店需要选择一个每天人流量较 大的地点，这样可以吸引更多的顾客。
2. 在选择店铺地址时，该便利店需要考虑多个 因素，包括人流量、竞争情况、交通便利性等 。
3.
竞争情况：该便利店需要评估周围的竞争情况 ，包括其他便利店、超市等，以避免过度竞争 。
交通便利性：该便利店需要选择一个交通便利 的地点，以便顾客可以方便地到达店铺。
案例二：某快餐店的选址问题
1. 背景介绍：某快餐店需要在城市中选择一个合适的地 点开设新店。
2. 在选择店铺地址时，该快餐店需要考虑多个因素， 包括人流量、交通便利性、周边环境等。
3.
人流量：该快餐店需要选择一个每天人流量较大的地点
使用Dijkstra算法解决最短路径问题
• Dijkstra算法是一种经典的解决最短路径问题的算法。它通过逐步计算从起点到各个节点的最短距离，从而 找到从起点到终点的最短路径。在店铺选址中，我们可以使用Dijkstra算法来计算从一个现有的店铺位置到 潜在的新的店铺位置的最短路径。
2020年中考数学专题突破专题十一：最短路径——造桥选址问题
专题十一：最短路径——造桥选址问题【导例引入】导例：如图1，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上且BE=1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ 的周长取最小值时，四边形AEPQ 的面积是．【方法指引】（1）如图，在直线l 上找M 、N 两点（M 在左），使得AM+MN+NB 最小，且MN=d 。
方法：将点A 向右平移d 个单位到A ′，作A ′关于直线l 的对称点A"，连接A"B 交直线l 于点N ，将点N 向左平移d 个单位到M ，点M 、N 即为所求，此时AM+MN+NB 最小为A"B 。
（2）如图，1l ∥2l ，1l ，2l 之间距离为d ，在1l ，2l 分别找M 、N 两点，使得MN ⊥1l ，且AM+MN+NB 最小。
方法：将点A 向下平移d 个单位到A ′，连接A ′B 交直线2l 于点N ，将点N 向上平移d 个单位到M ，点M ，N 即为所求，AM+MN+NB 的最小值为A ′B+d 。
（3）如图，点P ，Q 在∠AOB ，分别在OA ，OB 上找点C ，点D ，使四边形PCDQ 的周长最小.方法：分别作P，Q关于OA，OB的对称点P′，Q′,连接P′Q′分别交OA，OB与点C，D，则此时四边形PCDQ的周长最小本质为转化思想：（1）化同侧为异侧（对称变换），（2）平移定距离（平移变换），（3）化折线为直线（两点之间线段最短）“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
【例题精讲】类型一：两定点两动点形成最短路径型例1 如图1，已知A(0, 2)、B(6, 4)，E(a，0)，F(a＋1, 0)，求a为何值时，四边形ABFE周长最小？请说明理由．【分析】四边ABFE的四条边中，AB，EF的长度固定，只要AE+BF最小，则四边形周长将取得最小值，将B点向左平移一个单位长（EF的长度），得到点M，再作A关于x轴的对称点A′，连接A′M，可得点E的位置，从而问题得解．类型二：两定点一定角形成最短路径型例2．如图，在∠POQ部有两点M，N，∠MOP＝∠NOQ.(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；(2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．【分析】分别作M关于射线OP的对称点M′,点N关于射线OQ的对称点N′，连接N′M，连接M′N，即可得到答案.【专题过关】1.如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 .2, 2.如图，正方形的ABCD的边长为6，E，F是对角线BD上的两个动点，且，EF=2连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为．3.在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），点B（0，4），点E（0，1），将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B，BE′，则当A′B+BE′取最小值时，点E′的坐标为.4.直线l外有一点D，点D到直线l的距离为5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，tan∠CAB=，边AB在直线l上滑动，则四边形ABCD周长的最小值为.5．如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ 最小，此时PA+BQ=．6.如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x ＋c的图象交x轴于另一点B.(1)二次函数的解析式为；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F,E的坐标．7．矩形OABC 在直角坐标系中的位置如图所示，A 、C 两点的坐标分别为A （6，0）、C （O ，3），直线y=x 与与BC 边相交于点D ．（1）求点D 的坐标；（2）若抛物线y=ax 2+bx 经过D 、A 两点，试确定此抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴是否存在点P ，使四边形ABDP 的周长最小，并求出最小值；8. 如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点O 为坐标原点，点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，四边形OCEF 为矩形，且OF ＝2，EF ＝3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB 交EF 于点M ，连接AM 交OC 于点R ，连接AC ，求△ACR 的周长；(3)设G (4，－5)在该抛物线上，P 是y 轴上一动点，过点P 作PH ⊥EF 于点H ，连接AP ，GH ，问AP ＋PH ＋HG 是否有最小值？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．10. 已知，如图，二次函数()2230y ax ax a a =+-≠的图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点（B 在A 点右侧），点H 、B 关于直线l ：333y x =+对称. （1）求A ，B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M ，N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN ，NM ，MK ，求HN+NM+MK 和的最小值.10(备用).在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－3,0)、B (0，3)、C (1，0)三点．(1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标；(2)若点P 、Q 分别是抛物线的对称轴l 上两动点，且纵坐标分别为m ，m ＋2，当四边形CBQP 周长最小时，求出此时点P 、Q 的坐标以及四边形CBQP 周长的最小值．备用图答案：例1 .在四边形ABEF 中，AB ，EF 为定值，求AE ＋BF 的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点．如图6-2，将线段BF 向左平移两个单位，得到线段ME ．如图6-3，作点A 关于x 轴的对称点A ′，MA ′与x 轴的交点E ，满足AE ＋ME 最小． 由△A ′OE ∽△BHF ，得'OE HF OA HB =．解方程6(2)24a a -+=，得43a =．例2．(1)图略，点A ，B 即为所求．画法：①作点M 关于射线OP 的对称点M ′；②连接M ′N 交OP 于点A ；③作点N 关于射线OQ 的对称点N ′；④连接N ′M 交OQ 于点B.(2)AM ＋AN ＝BM ＋BN.【专题过关】1.80°.2.2254 .3.（，1）. 4．18 .5． 4 ．作PE ⊥l 1于E 交l 2于F ，在PF 上截取PC=8，连接QC 交l 2于B ，作BA ⊥l 1于A ，此时PA+AB+BQ 最短．作QD ⊥PF 于D ．在Rt △PQD 中，∵∠D=90°，PQ=4，PD=18， ∴DQ==，∵AB=PC=8，AB ∥PC ，∴四边形ABCP 是平行四边形，∴PA=BC ，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===4 ．6.(1)y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)如图①，图①∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，∴由二次函数的解析式为y＝－x2＋4x＋5得，点B的坐标B(5，0)，设直线BC解析式为y＝kx＋b，∵直线BC过点B(5，0)，C(0，5)，∴505k bb+=⎧⎨=⎩，解得15kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC解析式为y＝－x＋5，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的坐标为(n，－n＋5)，D点的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，则d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)| . 由题意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－52)2＋254，∴当n＝52时，线段ND长度的最大值是25 4；（3）∵点M(4，m)在抛物线y＝－x2＋4x＋5上，∴m＝5，∴M(4，5)．∵抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴顶点坐标为H(2，9)，如图②，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(－2，9)；作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，－5)，连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求的点．图②设直线H1M 1的函数解析式为y＝mx ＋n ，∵直线H1M1过点H1(－2，9)，M1(4，－5)，∴9254m nm n=-+⎧⎨-=+⎩，解得73133mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y＝－73x＋133.∴当x＝0时，y＝133，即点E坐标为(0，133)；当y＝0时，x＝137，即点F坐标为(137，0) .故所求点F，E的坐标分别为(137，0)，(0，133)．7．（1）由题知，直线y=x与BC交于点D（x，3）．把y=3代入y=x中得，x=4，∴D（4，3）；（2）抛物线y=ax2+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，把x=4，y=3；x=6，y=0，分别代入y=ax2+bx中，得解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（3）如图1：作D（4，3）点关于对称轴x=3的对称点E（2，3），连接AE交对称轴于点P，直线AE的解析式为y=kx+b，图象经过点A，点E，得解得，直线AE的解析式为y=﹣x+. 当x=3时，y=﹣×3+，即P（3，）．四边形ABDP周长的最小值=AB+DB+DP+AP=AB+DB+A E=3+2+=3+2+5=10.8. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长；(3)设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，∴C点坐标为(0，3)，E点坐标为(2，3)．将C、E点坐标代入抛物线解析式y＝－x2＋bx＋c得：解得∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3；(2)由(1)得y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0.解得x1＝－1，x2＝3.∴A(－1，0)，B(3，0) .∵AO＝1，CO＝3，在Rt△AOC中，AC＝＝.∵CO＝BO＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.∴FM＝BF＝1.∵RO∥MF，∠RAO＝∠MAF，∴△ARO∽△AMF.∴，即＝.解得RO＝.∴CR＝OC－OR＝3－＝,AR＝＝＝，∴△ACR的周长为：AC＋CR＋AR＝＋＋＝；（3）如解图①，取OF中点A′，连接A′G交直线EF的延长线于点H，过点H作HP′⊥y 轴于点P′，连接AP′.图①则当P在P′处时，使AP＋PH＋HG最小，∵A′为OF中点，∴A′坐标为(1，0) . 设直线A′G的解析式为y＝kx＋a，将点G(4，－5)，A′(1，0)分别代入,得解得∴直线A′G的解析式为：y＝－x＋.令x＝2，得y＝－＋＝－，∴点H的坐标为(2，－) .∴符合题意的点P的坐标为(0，－)．9. （1）依题意，得ax2+2ax-3a=0（a≠0），解得x1=﹣3，x2=1，∵B点在A点右侧，∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0）证明：∵直线l：333y x=+，当x=﹣3时，3-33y=⨯+（3）＝0，∴点A在直线l上.（2）∵点H、B关于过A点的直线l：333y x=+对称，∴AH=AB=4.过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，则AC=AB=2，HC＝2. ∴顶点H(－1，2)，代入二次函数解析式，解得a=-.∴二次函数解析式为2-3333-+22y x x =； （3）直线AH 的解析式为=333y x +.直线BK 的解析式为=33y x -，由3=33= 33y x y x ⎧+⎪⎨⎪-⎩ ，解得=3=23 x y ⎧⎪⎨⎪⎩，即()323K ，，则BK =4，∵点H 、B 关于直线AK 对称，()323K ，，∴HN +MN 的最小值是MB .过K 作KD ⊥x 轴于点D ，作点K 关于直线AH 的对称点Q ，连接QK ，交直线AH 于点E ，==23KD KE ，则QM =MK ，==23QE EK ，AE ⊥QK ， ∴根据两点之间线段最短得出BM +MK 的最小值是BQ ，即BQ 的长是HN +NM +MK 的最小值，∵BK ∥AH ，∴∠BKQ =∠HEQ =90°.由勾股定理得()2222423238QB BK QK =+=++=，∴HN +NM +MK 的最小值为8.(备用)9.(1)将A ，B ，C 的坐标代入函数解析式，得，解得 ∴ 抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，即顶点坐标为(－1，4)；（2）如解图②，将B 点向下平移两个单位，得D 点，连接AD 交对称轴于点P ，作BQ ∥PD 交对称轴于Q 点，∵PQ ∥BD ，BQ ∥PD ，∴四边形BDPQ 是平行四边形.∴BQ ＝PD ，PQ ＝BD ＝2.∴BQ ＋PC ＝PD ＋AP ＝AD .由勾股定理，得AD ＝＝＝，BC ＝＝＝. ∴四边形CBQP 周长的最小值为BC ＋BQ ＋PQ ＋PC ＝BC ＋PQ ＋(BQ ＋PC )＝BC ＋PQ ＋AD＝＋2＋＝2＋2.设AD 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A ，D 点坐标代入得，301k b b -+=⎧⎨=⎩，解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AD 的解析式为y ＝x ＋1. 当x ＝－1时，y ＝，即P (－1，) .由|PQ |＝2，且Q 点纵坐标大于P 点纵坐标得Q (－1，)，故当四边形CBQP 周长最小时，点P 的坐标为(－1，)，点Q 的坐标为(－1，)，四边形CBQP 周长的最小值是2＋2.。
最短路径在中心选址中的应用研究
数 学模型 ， 并举例说明如何在城 区中选择 建学校的地 址， 使得各居 民区的学生到学校的路径最短 。
中 图分 类 号 ：Ｐ ０ Ｔ３１ ６
Ｔｈ ｈ ｒｅ ｔ ｔ ｅＣｅ ｔ ｒＬｏ ａ ｉｎ ｏ ｅＡｐ ｌ ａ ｉｎ Ｒｅｅ ｒ ｈ ｅＳ ｏ ｔｓ ｈｉ Ｔｈ ｎ ｅ ｃ ｔ ｆ Ｐａ ｎ ｏ Ｔｈ ｐ ｉ ｔ ｓａ ｃ ｃ ｏ
ａｅ ｓ ｏｆｔ ｈ ｔ ｓ ｔ ． ｒ ａ ｈｅ ｓ ｏｒｅ ｔｐａｈ
Ｋｅ ｒ ｓ ｔｅ ｈ ｒ ｓｐｔ； ｉｓ ｒ ｌｏｉ ｍ；ｅｔｒｏａ ｏ ｙｗｏｄ ： ｏｔ ｔ ａ ｄｋｔ ｇｒｈ ｃｎｅ ｌｃｔ ｎ ｈ ｓ ｅ ｈ ｊ ａａ ｔ ｉ
对于许多地理问题 ，当它们被抽象为图论意义下 的网络图时 ，问题的核心就变成了网络 图上 的优化计 算 问题。 中， 其 最为常见 的是关于路径和顶点的优选计 算问题。 在路径的优选计算问题 中， 最常见的是最短路 径 问题 ， 最短 路径 可 能是单 源最 短路 径 ， 也可 能 是各 点 问的最短路径 。 而在顶点的优选计算问题中 ， 最为常见
的是 中心点选 址 问题 。
带权图上的最短路径问题 。不同意义下 的距离都可以
被抽象为网络图中边 的权值。权——这种权值既可以 代表“ 纯距离 ”又可 以代表“ ， 经济距 离” 也可 以代表 ｉ ｔ 算法是一种求解最短路径方法。 ｋａ 它是一个 按路径长度递增的顺序产生最短路径的算法 ，其基本 思想是【 设图中所有顶点集合为 Ｖ， ・ 】 ： 另设置两个顶 点
ｔ ｅ ａ ｏ ｔ ｍ ｏ ｓ ｌ ｅ ｔ ｅ ｌｃ ｔ ｎ ｏ ｅ ｓｈ ｏ．Ｔｈ ｓｐ ｐ ｒ ｇｖ ｓ ｔ ｅ ￣ｈ ｏ ｈ ｏ ａ ｏ ｆ ｔ ｅ ｍａ ｈ ｍａ ｃ ｌｍｏ ｅ，ａ ｄ ｈ ｇ ｒ ｈ ｔ ｏ ｖ ｈ ｏ ａ ｏ ｆ ｔ ｃ ｏ １ ｉ ａ ｅ ｉ ｅ ｈ ｌ ｉ ｉ ｈ ｏ ｌｔ ｅ ｌｃ ｔ ｎ ｏ ｔ ｅ ｔ ａ ｄ ｌ ｎ ｉ ｈ ｉ ｅ ｐａ ｘ ｌｉ ｈ ｗ ｏ ｃ ｏ ｓ ｈ ｓｈ ｏ ｆ ｔ ｅ ａ ｄ ｅ ｓ ｉ ｈ ｉ ｏ ｂ ｉ ，ｍａ ｅ ｔ ｅ ｓ ｄ ｎ ｓ ｔ ｏ ｔ ｃ ｏ ｌ ｉ ｅ ｉ ｅ ｔ ｌ ｍ ｏ ｔ ｈ ｏ ｅ ｔ ｅ ｃ ｏ ｌ ｏ ｈ ｄ ｒ ｓ ｎ ｔ ｅ ｃｔ ｔ ｕｌ ｙ ｄ ｋ ｔ ｅ ｔ ｏ ｇ ｏ ｓ ｈ ｏ ｎ ｒ ｓ ｎ ａ ｈ ｕ ｄ ｉ
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图10.2.3
解 ： 第 1步： 用标号法求出每一个顶点vi 至其他各个 步
顶点vj的最短路径长度dij（i，j ＝ 1，2，…，7），并 将其写成如下距离矩阵
d11 d21 d 31 D = d41 d 51 d61 d71
3 5 d12 d13 d14 d15 d16 d17 0 0 2 d 22 d23 d 24 d25 d 26 d 27 3 2 0 d32 d33 d34 d35 d36 d37 5 = d 42 d43 d 44 d45 d 46 d 47 6.3 3.3 2 9.3 6.3 5 d52 d53 d54 d55 d56 d57 4.5 1.5 3.5 d62 d63 d64 d65 d66 d67 6 3 5 d72 d73 d74 d75 d76 d77
最短路径与选址问题
最短路径问题 选址问题
对于许多地理问题，当它们被抽 象为图论意义下的网络图时，问题的核 心就变成了网络图上的优化计算问题。 其中，最为常见的是关于路径和顶点的 优选计算问题。 在路径的优选计算问题中，最常见 的是最短路径问题；而在顶点的优选计 算问题中，最为常见的是中心点和中位 点选址问题。
第3步：① v4是刚得到P标号的点。因为(v4，v5)∈E， 步 而且v5是T标号，故修改v5的T标号为 T(v5)＝min[T(v5)，P(v4)+w45]＝min[+∞，3+5]＝8 ② 在所有的T标号中，T(v3)＝4最小，故令P(v3)＝4。
第4步：① v3是刚得到P标号的点。因为(v3，v5)， 步 (v3，v6)∈E，而且v5 和v6 为T标号，故修改v5 和v6 的T标 号为 T(v5)＝min[T(v5)，P(v3)+w35]＝min[8，4+3]＝7 T(v6)＝min[T(v6)，P(v3)+w36]＝min［9，4+5]＝9 ② 在所有的T标号中，T(v5)＝7最小，故令 P(v5)＝7。
T(v2)＝min[T(v2)，P(v1)+w12]＝min[ +∞，0+2]＝2 T(v3)＝min[T(v3)，P(v1)+w13 ]＝ min[ +∞，0+5]＝5 T(v4)＝min[T(v4)，P(v1)+w14 ]＝ min[ +∞，0+3]＝3
② 在所有T标号中，T(V2)＝2最小，于是令P(V2)＝2。
第2步：① v2是刚得到P标号的点。因为(v2，v3)， 步 ① (v2，v6)∈E，而且v3, v6是T标号，故修改v3和v6的T标 号为 T(v3)＝min[T(v3)，P(v2)+w23]＝min[5，2+2]＝4 T(v6)＝min[T(v6)，P(v2)+w26]＝min[+∞，2+7]＝9 ② 在所有的T标号中，T(v4)＝3最小，于是令P(v4)＝3。
S (vi 0 ) = min S (vi ) = min ∑ a (v j )d ij
i i j =1 n
例 3：某县下属7个乡镇，各乡镇所拥有的人口数 a(vi)（i=1，2，…，7），以及 各 乡镇 之 间 的 距离 wij（i，j=1，2，…，7）如图所示。现在需要设立 一个中心邮局，为全县所辖的7个乡镇共同服务。 问该中心邮局应该设在哪一个乡镇（顶点）？
图10.2.2
解 ：第 1步 ： 用标号法求出每一个顶点vi 至其 第 步 他各个顶点vj的最短路径长度dij（i，j ＝ 1，2 ，…，6），并将它们写成如下的距离矩阵
d11 d12 d 21 d 22 d d 32 31 D= d 41 d 42 d 51 d 52 d 61 d 62
d13 d 23 d 33 d 43 d 53 d 63
d14 d 24 d 34 d 44 d 54 d 64
d15 d 25 d 35 d 45 d 55 d 65
d16 0 d 26 3 d 36 6 = d 46 3 d 56 6 d 66 4
vj ② 若G中没有T标号，则停止。否则，把点 的T标号修改为P标号，然后再转入①。 其中，v j0 满足
0
T (v j0 ) = min T (v j )
例1：在图10.2.1所示的赋权有向图中，每一个顶点vi （i=1，2，…，n）代表一个城镇；每一条边代表相 应两个城镇之间的交通线，其长度用边旁的数字表 示。试求城镇v1到v7之间的最短路径。
（二）最短路径的算法
标号法 1959年E.W.Dijkstar 提出的标号法是最短路径 问题最好的求解方法 。 标号法优点 不仅可以求出起点到终点的最短路径及其长度， 而且可以求出起点到其他任何一个顶点的最短路径 及其长度；同时适用于求解有向图或无向图上的最 短路径问题。.
标号法的基本思想 设G是一个赋权有向图，即对于图中的每一条边， 都赋予了一个权值。在图G中指定两个顶点，确定为起 点和终点，不妨设v1为起点，vk为终点。 首先从v1 开始，给每一个顶点标一个数，称为标 号。这些标号，又进一步区分为T标号和P标号两种类 型。其中，每一个顶点的T标号表示从起点v1到该点的 最短路径长度的上界，这种标号为临时标号；P标号表 示从v1到该点的最短路长度，这种标号为固定标号。 在最短路径计算过程中，对于已经得到P标号的顶 点，不再改变其标号；对于凡是没有标上P标号的顶点， 先给它一个T标号；算法的每一步就是把顶点的T标号 逐步修改，将其变为P标号。 那么，最多经过k-1步，就可以求得到从起点v1到 每一个顶点的最短路径及其长度。
图10.2.1 赋权有向交通网络图
解：首先给v1标上P标号P(v1)=0，表示从v1到v1的最 短路径为零。其他点(v2，v3，…，v7)标上T标号T(vj) ＝+∞（j＝2，3，…，7）。 第1步：① v1是刚得到P标号的点。因为(v1，v2)， 步 ① (v1，v3)，(v1，v4)∈E，而且v2，v3，v4是T标号，所 以修改这3个点的T标号为
6.3 9.3 4.5 3.3 6.3 1.5 2 0 3 5 3 0 3.5 1.8 4.8 0
1.8 4.8
3.3 6.3 1.5
6 3 5 3.3 6.3 1.5 0
第 2 步 ： 以各顶点的载荷（人口数）加权，求每 一个顶点至其他各个顶点的最短路径长度的加权和
第6步：① v6是刚得到P标号的点。因为(v6，v7)∈E， 步 而且v7为T标号，故修改它的T标号为 T(v7)＝min[T(v7)，P(v6)+w67]＝min[14，8+5]=13
② 目前只有v7是T标号，故令：P()＝13。
从城镇v1到v7之间的最短路径为(v1，v2，v3，v5，v6， v7)，最短路径长度为13。
标号法具体计算步骤 开始，先给v1标上P标号P(v1)＝ 0，其余各 点标上T标号T(vj)＝+∞（j≠1）。 ① 如果刚刚得到P标号的点是vi，那么，对于 所有这样的点 {v j (v i , v j )∈ E , 而且 v j 的标号是 T 标号 } 将其T标号修改为：min[T(vj)，P(vi)+wij]。
一、最短路径问题
（一）最短路径的含义 “纯距离”意义上的最短路径 纯距离” 例如，需要运送一批物资从一个城市到另 一个城市，选择什么样的运输路线距离最短？ 经济距离” “经济距离”意义上的最短路径 例如，某公司在10大港口C1，C2，…， C10设有货栈，从Ci到Cj之间的直接航运价格， 是由市场动态决定的。如果两个港口之间无直 接通航路线，则通过第三个港口转运。那么， 各个港口之间最廉价的货运线路是什么？
“时间”意义上的最短路径 时间” 例如，某家经营公司有一批货物急需从一个 城市运往另一个城市，那么，在由公路、铁路、 河流航运、航空运输等4种运输方式和各个运输线 路所构成的交通网络中，究竟选择怎样的运输路 线最节省时间？ 以上3类问题，都可以抽象为同一类问题， 即赋权图上的最短路径问题。 不同意义下的距离都可以被抽象为网络图中 边的权值。 权——这种权值既可以代表“纯距离 ”， 又可以代表“经济距离 ”，也可以代表“时间 距离 ”。
第5步：① v5是刚得到P标号的点。因为(v5，v6)， 步 (v5 ，v7)∈E，而且v6和v7都是T标号，故修改它们的T 标号为 T(v6)＝min[T(v6)，P(v5)+w56]＝min[9，7+1]= 8 T(v7)＝min[T(v7)，P(v5)+w57]＝min[+∞，7+7]=14 ② 在所有T标号中，T(v6)＝8最小，于是令： P(v6)＝8。
（一）中心点选址问题
中心点选址问题的质量判据 使最佳选址位置所在的顶点的最大服务 距离为最小。 中心点选址问题适宜于医院、消防站点 等一类服务设施的布局问题。 例 ：某县要在其所辖的6个乡镇之一修建一 个消防站，为6个乡镇服务，要求消防站至 最远乡镇的距离达到最小。
中心点选址问题的数学描述 设G＝（V，E）是一个无向简单连通赋权图，连 接两个顶点的边的权值代表它们之间的距离，对于每 一个顶点vi，它与各个顶点之间的最短路径长度为di1， di2，…，din。这些距离中的最大数称为顶点vi的最大 服务距离，记为e(vi)。 那么，中心点选址问题，就是求网络图G的中心 点
（二）中位点选址问题
中位点选址问题的质量判据 使最佳选址位置所在的顶点到网络图中 其他各个顶点的最短路径距离的总和（或者 以各个顶点的载荷加权求和）达到最小。
中位点选址问题的数学描述 设G＝（V，E）是一个简单连通赋权无 向图，连接两个顶点的边的权值为该两顶点 之间的距离；对于每一个顶点vi（i＝1， 2，…，n），有一个正的负荷a(vi)，而且它 与其他各顶点之间的最短路径长度为di1， di2，…，din。那么，中位点选址问题，就是 求图G的中位点 vi 0 ，使得