倒立摆实验报告
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3） 时，阶跃响应波形如下：
由上图可以看出超调量为 =10.1%，调节时间为 =0.65s.
来自百度文库综上可得下面表格
编号/参数
(%)
(s)
1
100
800
10
17.6
0.8
2
150
800
10
17.8
0.5
3
150
900
15
10.1
0.65
由上表数据可以得出以下结论：
比例系数Kp增大，闭环系统的灵敏度增加，稳态误差减小，系统振荡增强；积分系数Ki增大，可以提高系统的型别，使系统由有差变为无差；微分系数Kd增大，预测系统变化趋势的作用增强，会使系统的超调量减小，响应时间变快。因此需要合理选取PID各参数值，使系统性能达到要求。
2） 时，K=[-100.000 -51.4535 136.0814 27.0435]，摆杆运动的位置和角度情况如下
3） 时，K =[-89.4427 -46.5479 128.4999 23.6271]，摆杆运动的位置和角度情况如下
由上面波形图可以看出，LQR极点配置法较好地实现了对摆杆角度以及位置的控制，其中角度控制的稳定精度和动态性能都较高，而位置控制相对较低一些，动态稳定后，位置还存在一定的摆动，而在满足要求的情况下我们认为完成了控制任务。
四、总结
摆是进行控制理论研究的典型实验平台，可以分为倒立摆和顺摆。由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，因此对倒立摆的研究可能加深对控制理论的理解。对于学过自动控制理论的学生，通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便。
本实验中加入PID控制器后的SIMULINK模型如下：
通过不断尝试整定PID参数，得到以下3组比较满意的参数以及相应的波形图。
1） 时，阶跃响应波形如下：
由上图可以看出超调量为 =17.60%，调节时间为 =0.8s.
2） 时，阶跃响应波形如下：
由上图可以看出超调量为 =17.8%，调节时间为 =0.5s
在控制器设计部分，关于PID以及LQR参数的仿真均可以使用里面的仿真模型。在完成了以上仿真后，就可以着手进行倒立摆实物实验。这里有关实验环境以极点配置实验为例进行介绍，有关PID控制的实验与此实验相似，不再赘述。
LQR控制结构图如下：
双击Controller模块，可以将第二部分（控制器设计部分）仿真得到的参数输入对话框内，下载控制程序到控制卡，然后点击运行，观察摆杆的运动情况并记录相应的数据。具体操作步骤参考实验指导书，这里不一一说明。下面给出PID和LQR实物控制实验的波形图。
num=[2.35655 0];
den=[1 0.0883167 -27.9169 -2.30942];
sys=tf(num,den);
[z,p,k]=tf2zp(num,den);
spk=zpk(z,p,k)
》Zero/pole/gain:
2.3565 s
------------------------------------------
（1-3）
2.传递函数模型
对方程组（1-3）进行拉普拉斯变换，得到
（1-4）
推导传递函数时假设初始条件为0。
整理后得到传递函数：
其中：
3.状态空间方程
对方程组(3)解代数方程，得到解如下：
整理后得到系统状态空间方程：
若考虑到存在以下关系：
则有：
至此，系统建模完成。
4.开环系统仿真
倒立摆系统的模型参数如下：
下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
分析小车水平方向所受的力，可得以下方程：
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：
通过上面三幅波形图可以看出：Q矩阵中增加Q11和Q33使稳定时间和上升时间变短，并且摆杆的角度变化减小。如果再增大Q11和Q33，系统的性能还能得到改善。但在保证Q11和Q33足够小的情况下，满足系统的性能要求即可。
3.两种控制器控制效果比较
从控制器结构来看，PID是单入单出控制，只能实现对摆角的控制，而LQR是多输入多输出控制，可以同时实现对摆杆位置和角度的控制。从抗干扰性能来看，在存在外在干扰的情况下，LQR控制可以迅速恢复到稳定状态。因此，LQR控制器要明显优于PID控制。
（1-1）
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
力矩平衡方程如下：
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
（1-2）
设 （φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ远远小于1，可以进行近似处理：
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：
1）传递函数阶跃响应曲线、开环波特图、零极点
num=[2.356550];
den=[10.0883167-27.9169-2.30942];
sys=tf(num,den);
step(sys)
从上图可以看出，开环阶跃响应在仿真结束时刻趋于无穷(即发散)，系统不稳定。
由开环波特图可以看出系统无截止频率（与0dB线无交汇），且带宽非常小，系统特性非常恶劣。因此必须加入控制环节进行调节。
(s-5.281) (s+5.286) (s+0.08272)
显然，有一极点s=5.281，位于右半平面，系统不稳定。
2）状态方程阶跃响应
A=[ 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0];
B=[ 0 1 0 3];
C=[ 1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[ 0 0 ];
本实验LQR控制的SIMULINK模型如下：
通过选取不同的Q、R阵可得出以下仿真波形图：
1） 时，K=[-70.7107 -37.8344 105.5295 20.9238]，阶跃响应波形如下
2） 时，K=[-100.000 -51.4535 136.0814 27.0435]，阶跃响应波形如下
3） 时，K =[-89.4427 -46.5479 128.4999 23.6271]，阶跃响应波形如下
step(A, B ,C ,D)
单位阶跃响应下，小车位置和摆杆角度均发散，因此需要加入控制环节来改善系统特性。
二、控制器设计改善系统性能
1.PID控制器设计
PID控制是最早发展起来的线性控制策略之一，至今已有半个多世纪的历史，在工程实践领域运用十分广泛。PID控制由比例(Proportional)环节、积分(Integral)环节和微分(Differential)环节组成，其典型结构图下图所示：
2.LQR控制实验结果
通过选取不同的Q、R阵可得出以下仿真波形图：
1） 时，K=[-70.7107 -37.8344 105.5295 20.9238]，摆杆运动的位置和角度情况如下
（注：右图位置图波形数值为负值是由于摆杆初始位置竖直向下，运行程序后，人为逆时针摆到竖直向上位置引起，若顺时针摆到竖直向上位置则示数为正，这里只考虑其数值大小及波形，不考虑正负。）
1.PID控制实验结果
1） 时，摆杆运动的位置和角度情况如下：
2） 时，摆杆运动的位置和角度情况如下：
3） 时，摆杆运动的位置和角度情况如下：
由上面波形图可以看出，PID控制基本很好地实现了对摆杆角度的控制，而位置则没有进行控制，这是PID单入单出的缘故。对于角度而言，其稳态精度以及动态性能均满足要求。
三、（固高）实物控制实验验证
本次实验使用的倒立摆系统是固高公司生产的直线一级倒立摆实验系统。厂商已经将实际倒立摆系统与MATLAB之间进行了链接，这使得我们可以在MATLAB环境中进行控制器参数的设定，然后将MATLAB程序下载到硬件实时内核中进行实时控制。因此，实验的主要工作是在MATLAB的SIMULINK环境下进行的。由于倒立摆实验系统中的计算机已经安装固高公司的MATLAB工具箱，因此倒立摆实验室计算机中的SIMULINK环境比一般SIMULINK环境多了一个工具箱“Googol Education Products”，如下图所示
2、LQR控制器设计
线性二次最优控制LQR基本原理为如下：
对于线性时不变系统，x ̇(t)=Ax(t)+Bu(t)，确定最佳控制向量的矩阵K使得状态反馈控制向量 ，同时满足性能指标泛函
取极小值。其中Q是半正定实对称状态加权矩阵，R是正定实对称控制加权矩阵。结构图如下
根据期望性能指标选取Q和R，利用MATLAB命令lqr（K=lqr（A，B，Q，R））就可以得到反馈矩阵K的值，改变矩阵Q和R值，可以得到不同的响应效果。选取最佳Q和R值达到使性能指标最优，从而达到最优控制的目的。
连续控制系统PID控制规律可以由如下公式表示
式中， 为比例系数， 为积分系数， 为微分系数， 为积分时间常数， 为微分时间常数。
对实际系统运用PID控制时，并不是所有参数都必须有 ，有的采用PI控制，有的采用PD控制，有的采用PID控制，根据系统的具体控制要求来选择组合形式。其中，由PD控制器构成的超前校正，可以提高系统的稳定裕度，并获得足够的快速性，但稳态精度可能会受到影响；由PI控制器构成的滞后校正，可以保证稳态精度，却是以牺牲系统的快速性换取的；用PID控制器可以实现滞后-超前校正兼有的优点，可以全面提高系统的控制性能，但具体实现与调试要复杂一些。
小车质量M=1.096Kg，摆杆质量m=0.109Kg，小车摩擦系数b=0.1N/m/sec，摆杆转动轴心到杆质心的长度 =0.25m，摆杆的转动惯量 =0.0034Kg*m*m.
分别带入上述模型得：
传递函数模型：
状态空间方程模型：
仿真实验基于MATLAB的SIMULINK平台，鉴于本科阶段已经接触并使用本平台，在本实验中不再对其进行详细介绍。
线性控制系统实验报告
——倒立摆实验
院系航空学院
学号2013200097
姓名冀小龙
一、倒立摆模型的建立
1.数学模型
直线一级倒立摆系统可以抽象成小车和匀质杆组成的系统，忽略空气阻力以及各种摩擦，如下图1-1所示：
其中，M表示小车质量，m表示摆杆质量，b表示小车摩擦系数，l表示摆杆转动轴心到杆质心的长度，I表示摆杆的转动惯量，F表示加在小车上的外力，x表示小车的位置， 表示摆杆与垂直向上方向的夹角， 表示摆杆与垂直向下方向的夹角（初始方向）。
由上图可以看出超调量为 =10.1%，调节时间为 =0.65s.
来自百度文库综上可得下面表格
编号/参数
(%)
(s)
1
100
800
10
17.6
0.8
2
150
800
10
17.8
0.5
3
150
900
15
10.1
0.65
由上表数据可以得出以下结论：
比例系数Kp增大，闭环系统的灵敏度增加，稳态误差减小，系统振荡增强；积分系数Ki增大，可以提高系统的型别，使系统由有差变为无差；微分系数Kd增大，预测系统变化趋势的作用增强，会使系统的超调量减小，响应时间变快。因此需要合理选取PID各参数值，使系统性能达到要求。
2） 时，K=[-100.000 -51.4535 136.0814 27.0435]，摆杆运动的位置和角度情况如下
3） 时，K =[-89.4427 -46.5479 128.4999 23.6271]，摆杆运动的位置和角度情况如下
由上面波形图可以看出，LQR极点配置法较好地实现了对摆杆角度以及位置的控制，其中角度控制的稳定精度和动态性能都较高，而位置控制相对较低一些，动态稳定后，位置还存在一定的摆动，而在满足要求的情况下我们认为完成了控制任务。
四、总结
摆是进行控制理论研究的典型实验平台，可以分为倒立摆和顺摆。由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，因此对倒立摆的研究可能加深对控制理论的理解。对于学过自动控制理论的学生，通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便。
本实验中加入PID控制器后的SIMULINK模型如下：
通过不断尝试整定PID参数，得到以下3组比较满意的参数以及相应的波形图。
1） 时，阶跃响应波形如下：
由上图可以看出超调量为 =17.60%，调节时间为 =0.8s.
2） 时，阶跃响应波形如下：
由上图可以看出超调量为 =17.8%，调节时间为 =0.5s
在控制器设计部分，关于PID以及LQR参数的仿真均可以使用里面的仿真模型。在完成了以上仿真后，就可以着手进行倒立摆实物实验。这里有关实验环境以极点配置实验为例进行介绍，有关PID控制的实验与此实验相似，不再赘述。
LQR控制结构图如下：
双击Controller模块，可以将第二部分（控制器设计部分）仿真得到的参数输入对话框内，下载控制程序到控制卡，然后点击运行，观察摆杆的运动情况并记录相应的数据。具体操作步骤参考实验指导书，这里不一一说明。下面给出PID和LQR实物控制实验的波形图。
num=[2.35655 0];
den=[1 0.0883167 -27.9169 -2.30942];
sys=tf(num,den);
[z,p,k]=tf2zp(num,den);
spk=zpk(z,p,k)
》Zero/pole/gain:
2.3565 s
------------------------------------------
（1-3）
2.传递函数模型
对方程组（1-3）进行拉普拉斯变换，得到
（1-4）
推导传递函数时假设初始条件为0。
整理后得到传递函数：
其中：
3.状态空间方程
对方程组(3)解代数方程，得到解如下：
整理后得到系统状态空间方程：
若考虑到存在以下关系：
则有：
至此，系统建模完成。
4.开环系统仿真
倒立摆系统的模型参数如下：
下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
分析小车水平方向所受的力，可得以下方程：
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：
通过上面三幅波形图可以看出：Q矩阵中增加Q11和Q33使稳定时间和上升时间变短，并且摆杆的角度变化减小。如果再增大Q11和Q33，系统的性能还能得到改善。但在保证Q11和Q33足够小的情况下，满足系统的性能要求即可。
3.两种控制器控制效果比较
从控制器结构来看，PID是单入单出控制，只能实现对摆角的控制，而LQR是多输入多输出控制，可以同时实现对摆杆位置和角度的控制。从抗干扰性能来看，在存在外在干扰的情况下，LQR控制可以迅速恢复到稳定状态。因此，LQR控制器要明显优于PID控制。
（1-1）
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
力矩平衡方程如下：
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
（1-2）
设 （φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ远远小于1，可以进行近似处理：
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：
1）传递函数阶跃响应曲线、开环波特图、零极点
num=[2.356550];
den=[10.0883167-27.9169-2.30942];
sys=tf(num,den);
step(sys)
从上图可以看出，开环阶跃响应在仿真结束时刻趋于无穷(即发散)，系统不稳定。
由开环波特图可以看出系统无截止频率（与0dB线无交汇），且带宽非常小，系统特性非常恶劣。因此必须加入控制环节进行调节。
(s-5.281) (s+5.286) (s+0.08272)
显然，有一极点s=5.281，位于右半平面，系统不稳定。
2）状态方程阶跃响应
A=[ 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0];
B=[ 0 1 0 3];
C=[ 1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[ 0 0 ];
本实验LQR控制的SIMULINK模型如下：
通过选取不同的Q、R阵可得出以下仿真波形图：
1） 时，K=[-70.7107 -37.8344 105.5295 20.9238]，阶跃响应波形如下
2） 时，K=[-100.000 -51.4535 136.0814 27.0435]，阶跃响应波形如下
3） 时，K =[-89.4427 -46.5479 128.4999 23.6271]，阶跃响应波形如下
step(A, B ,C ,D)
单位阶跃响应下，小车位置和摆杆角度均发散，因此需要加入控制环节来改善系统特性。
二、控制器设计改善系统性能
1.PID控制器设计
PID控制是最早发展起来的线性控制策略之一，至今已有半个多世纪的历史，在工程实践领域运用十分广泛。PID控制由比例(Proportional)环节、积分(Integral)环节和微分(Differential)环节组成，其典型结构图下图所示：
2.LQR控制实验结果
通过选取不同的Q、R阵可得出以下仿真波形图：
1） 时，K=[-70.7107 -37.8344 105.5295 20.9238]，摆杆运动的位置和角度情况如下
（注：右图位置图波形数值为负值是由于摆杆初始位置竖直向下，运行程序后，人为逆时针摆到竖直向上位置引起，若顺时针摆到竖直向上位置则示数为正，这里只考虑其数值大小及波形，不考虑正负。）
1.PID控制实验结果
1） 时，摆杆运动的位置和角度情况如下：
2） 时，摆杆运动的位置和角度情况如下：
3） 时，摆杆运动的位置和角度情况如下：
由上面波形图可以看出，PID控制基本很好地实现了对摆杆角度的控制，而位置则没有进行控制，这是PID单入单出的缘故。对于角度而言，其稳态精度以及动态性能均满足要求。
三、（固高）实物控制实验验证
本次实验使用的倒立摆系统是固高公司生产的直线一级倒立摆实验系统。厂商已经将实际倒立摆系统与MATLAB之间进行了链接，这使得我们可以在MATLAB环境中进行控制器参数的设定，然后将MATLAB程序下载到硬件实时内核中进行实时控制。因此，实验的主要工作是在MATLAB的SIMULINK环境下进行的。由于倒立摆实验系统中的计算机已经安装固高公司的MATLAB工具箱，因此倒立摆实验室计算机中的SIMULINK环境比一般SIMULINK环境多了一个工具箱“Googol Education Products”，如下图所示
2、LQR控制器设计
线性二次最优控制LQR基本原理为如下：
对于线性时不变系统，x ̇(t)=Ax(t)+Bu(t)，确定最佳控制向量的矩阵K使得状态反馈控制向量 ，同时满足性能指标泛函
取极小值。其中Q是半正定实对称状态加权矩阵，R是正定实对称控制加权矩阵。结构图如下
根据期望性能指标选取Q和R，利用MATLAB命令lqr（K=lqr（A，B，Q，R））就可以得到反馈矩阵K的值，改变矩阵Q和R值，可以得到不同的响应效果。选取最佳Q和R值达到使性能指标最优，从而达到最优控制的目的。
连续控制系统PID控制规律可以由如下公式表示
式中， 为比例系数， 为积分系数， 为微分系数， 为积分时间常数， 为微分时间常数。
对实际系统运用PID控制时，并不是所有参数都必须有 ，有的采用PI控制，有的采用PD控制，有的采用PID控制，根据系统的具体控制要求来选择组合形式。其中，由PD控制器构成的超前校正，可以提高系统的稳定裕度，并获得足够的快速性，但稳态精度可能会受到影响；由PI控制器构成的滞后校正，可以保证稳态精度，却是以牺牲系统的快速性换取的；用PID控制器可以实现滞后-超前校正兼有的优点，可以全面提高系统的控制性能，但具体实现与调试要复杂一些。
小车质量M=1.096Kg，摆杆质量m=0.109Kg，小车摩擦系数b=0.1N/m/sec，摆杆转动轴心到杆质心的长度 =0.25m，摆杆的转动惯量 =0.0034Kg*m*m.
分别带入上述模型得：
传递函数模型：
状态空间方程模型：
仿真实验基于MATLAB的SIMULINK平台，鉴于本科阶段已经接触并使用本平台，在本实验中不再对其进行详细介绍。
线性控制系统实验报告
——倒立摆实验
院系航空学院
学号2013200097
姓名冀小龙
一、倒立摆模型的建立
1.数学模型
直线一级倒立摆系统可以抽象成小车和匀质杆组成的系统，忽略空气阻力以及各种摩擦，如下图1-1所示：
其中，M表示小车质量，m表示摆杆质量，b表示小车摩擦系数，l表示摆杆转动轴心到杆质心的长度，I表示摆杆的转动惯量，F表示加在小车上的外力，x表示小车的位置， 表示摆杆与垂直向上方向的夹角， 表示摆杆与垂直向下方向的夹角（初始方向）。