影响局部均值分解算法分解精度的若干因素

影响局部均值分解算法分解精度的若干因素

局部均值分解LMD （Local mean decomposition ）是一种新的自适应时频分析方法。LMD 可以自适应地将任何一个复杂信号分解为若干个瞬时频率具有物理意义的PF （Product function ）分量之和，从而获得原始信号完整的时频分布，其本质上是将多分量的信号自适应地分解为若干个单分量的调幅—调频信号（包络信号和纯调频信号）之和，非常适合处理非平稳、非线性信号，特别是多分量的调幅—调频信号。局部均值分解的基本理论和算法很容易理解，在许多文献上都给出了详细的介绍，在这里不做过多的阐述，重点讨论影响局部均值分解算法的一些问题。

局部均值分解作为一种新提出的时频分析方法，有许多问题有待于进一步研究，如原始信号的采样频率、求局部均值函数和包络函数用到的滑动平均算法以及端点效应。采样频率不同会影响LMD 分解精度，尤其对瞬时频率影响较大，采用不同的滑动跨度和端点处理方法就会得到不同的分解结果，有时甚至会造成算法的不收敛。下面将以具体实例分析二者对滑动平均算法的影响。具体信号如下：

()[10.5cos(/100)]cos[/22cos(/50)]4sin(/2500)sin(6/50),0,1...,600

x t t t t t t t πππππ=+++= 1. 采样频率对LMD 分解精度的影响

上面两个图是采样间隔为0.2s 时得到的PF 分量、包络信号分量和对应的瞬时频率分量

下面两个图是采样间隔为1s 时得到的PF 分量、包络信号分量和对应的瞬时频率分量

2. 滑动平均跨度选择对LMD 分解精度的影响

滑动平均的跨度不仅关系到LMD 分解精度，如果滑动平均跨度选择不合理，有可能造成LMD 算法不收敛。这是因为局域包络函数容易受到滑动平均算法的影响，滑动平均的跨度不同，局域包络函数就会不一样。在求解每个PF 分量时采用的是纯调频信号的判据，即要求局部包络函数1(1)n a +满足1(1)11n a δδ+-≤≤+，因此局域包络函数不同，循环迭代次数也就不同。其中增减量δ的取值范围，需要根据不同的信号和不同的精度要求来设定，δ的值越小，计算量就越大，LMD 分解的精度越高，根据经验δ一般取0.001~0.01。

以上述信号为例，在消除端点影响的前提下，研究滑动平均跨度对LMD 分解的影响。分别采用不同的滑动平均跨度方法求取PF1，观察其循环次数和滑动平均跨度的关系，如下如图所示：

滑动平均跨度（Moving Average Span ）和循环次数（Loop Times ）关系图

当滑动跨度为5点时，循环7次结束，当滑动跨度超过5时，循环次数逐步增加，直到滑动跨度超过11点（循环16次）时，循环次数显著增加。当滑动跨度为13点时，循环需要63次才能结束。当滑动跨度为15点时，循环超过100次时仍未求出纯调频信号，由程序强制结束。可见，滑动平均跨度的选择会对循环产生一定的影响，当选择不合理时会增加计算量，甚至使算法不收敛。但是由图也可以看出，对具体信号而言，在某一范围内，滑动平均跨度对PF1分量影响并不是很大，仅仅是影响局部包络函数的个数（循环次数）。从另一方面讲，在合理的取值范围内，LMD 分解精度是与计算量成正比的。所以滑动平均跨度的选择要综合考虑分解精度和计算量的影响。（对该信号如果采样时间间隔为0.2s 时，跨度选择在25点左右时较为合理，不会对分解结果产生大的影响，当跨度超过33点时波形会产生明显的误差）。

根据经验滑动平均跨度的选择一般采用两种方法，一是取相邻极值点最长距离的三分之一；二是设定为相邻极值点的最短距离。两种方法对不同的振动信号分解精度也不相同，对具体信号应采用何种方法来选择滑动平均跨度一般很难确定。但是无论采用哪一种方法分解精度不会相差太大。对于任何一个信号序列，当采样频率和采样点数确定以后，其相应的滑

动平均跨度的最合理取值就可以通过提出的两种方法计算得到。经过大量实验的证明，我们发现在这个最合理的跨度值附近取值就不会对LMD 算法造成大的影响。

图a 七点滑动平均 图b 九点滑动平均 图c 十一点滑动平均

以上面提到的信号为例。由于我们已经对端点做了镜像处理，所以端点处数据不会产生大的变形，对于该信号，横坐标为500左右的数据极值点相对其它地方较稀疏，信号在处理时会发生变化，可以选择该段作为观察重点部分。其最合理的跨度取值为7点（采样间隔较长、每周期采样点数较少，跨度就相对较小），采用7点滑动平均得到的结果如图a 所示。将滑动跨度改为3点、5点、9点我们可以发现图形并没有大的变化，即在这些值之间选择滑动平均跨度均不会对LMD 分解产生大的误差，在这里我们选择跨度为9点时的图形（图b ）与之比较。将跨度值进一步增加，取跨度值为11点，图形如图c 所示。跨度超出了其合理取值范围，分解结果产生了一定的误差。当继续增加跨度值时，误差会更明显，使信号严重失真。

LMD 算法在采用滑动平均平滑数据时，不能事先定义滑动跨度的值。对不同的信号或者同一信号不同的采样频率其最合理的滑动跨度值是不同的。这个值可以用上述提到的两种方法求得。一般来说对同一信号，采样时间间隔越短，即一个周期采样点数越多，其跨度值就会越大。

3. 端点效应对LMD 分解精度的影响

由于实际分析的信号序列其长度总是有限的，无法知道端点以外的信号，所以端点附近的局域均值函数和局域包络函数只能根据已知信号推测，这样就不可避免的会产生误差。LMD 是通过相邻极值点（一个极大值和一个极小值），计算得到局域均值函数，再经过若干次滑动平均得到光滑的局域均值函数。由求解局部均值函数公式：

111,2,3 (2)

i i i i i n n m n n i +++== ，、为相邻极值点， 可以看出在信号左端点至第一个极值点（n 1）之间，局域均值函数是一段未知信号，如下图 箭头至左端点部分所示（为突出端点，截取了原始信号端点附近的部分信号）。同理，右端点部分也存在同样的问题。