高中数学知识点题库 021反函数

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2018高考复习数学第一轮第21讲反函数(知识点、例题、讲解、练习、拓展、答案)

2018高考复习数学第一轮第21讲反函数一、知识要点1、反函数的定义：一般地，对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，使()y f x =，这样得到的x =()1fy -．在习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为()1y f x -=()x A ∈2、求反函数的一般方法：（1）由()y f x =解出1()x f y -=；（2）将1()x f y -=中的,x y 互换位置，得1()y f x -=；（3）求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域3、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x =对称4、反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；二、例题精讲例1、求下列函数的反函数（1）()()12log 111y x x =-+<；（2）)110y x =-≤≤答案：（1）()1112x y x R -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；（2）)01y x =≤≤例2、已知函数()21x f x x a +=+()x a ≠-且12a ≠，求反函数()1f x -，并当()f x 与()1f x -的图像重合时求a ．答案：2a =-例3、已知函数()2xf x a =+的反函数是()1y fx -=，设()1,P x a y +、()2,Q x y 、()32,R a y +是()1y f x -=图像上不同的三点．（1）如果存在正实数x ，使得123,,y y y 依次成等差数列，试用x 表示实数a ；（2）在（1）的条件下，如果实数x 是唯一的，试求实数a 的范围．答案：（1）)02a x x x =>≠且；（2）0a >或12a =-．例4、已知函数())0f x a =<，其反函数为()1f x -．（1）若点)1P-在反函数()1f x -的图像上，求a 的值；（2）求证：函数()f x 的图像与y x =的图像有且仅有一个公共点．答案：（1）1a =-；（2）提示：y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩有且只有一解落在20,a ⎛⎤- ⎥⎝⎦内即可．例5、已知函数(()log 1a y x a =+>的反函数()1f x -．（1）若()()111fx f --<，求x 的取值范围；（2）判断()12f-与()121f -、()13f -与()131f -的大小关系，并加以证明；（3）请你根据（2）归纳出一个更一般的结论，并给予证明．答案：（1）1x <；（2）()12f ->()121f -，()13f ->()131f -；（3）()()()111,2f n nf n N n -->∈≥例6、已知函数()1y fx -=是()y f x =的反函数，定义：若对给定的实数()0a a ≠，函数()y f x a =+与()1y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”；若函数()y f ax =与()1y fax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a 积性质”．（1）判断函数()()210g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数()()0y f x x =>对任何0a >，满足“a 积性质”，求()y f x =的表达式．答案：（1）不满足；（2）()y x b b R =-+∈；（3）()()0kf x k x=≠三、课堂练习1、函数()()2log 14f x x x =+≥的反函数()1f x -的定义域是．答案：[)3,+∞2、已知()f x 是定义在[]4,0-上的减函数，其图像端点为()4,1A -，()0,1B -，记()f x 的反函数是()1f x -，则()11f -的值是，()f x 的值域是．答案：4-，[]1,1-3、若lg lg 0a b +=（其中1,1a b ≠≠），则函数()xf x a =与()xg x b =的图像关于对称．答案：y 轴4、设函数()y f x =的反函数为()1y fx -=，且()21y f x =-的图像经过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭，则()y f x =的反函数的图像必过点（） A 、1,12⎛⎫⎪⎝⎭B 、11,2⎛⎫⎪⎝⎭C 、()1,0D 、()0,1答案：C5、已知函数()f x 存在反函数()1f x -，若1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭过点()2,3，则函数11f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭恒过点（） A 、()3,2B 、11,23⎛⎫⎪⎝⎭C 、11,32⎛⎫⎪⎝⎭D 、1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：C四、课后作业一、填空题1、函数()()1312f x x =-+的反函数()1f x -= ．答案：()()321x x R -+∈2、若直线1y ax =+与直线2y x b =-+关于直线y =x 对称，则a = ，b = ．答案：12-，23、已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解为x = ．答案：14、已知函数()()y f x x D =∈的值域为A ，其反函数()1y fx -=，则方程()0f x =有解x a =，且()()f x x x D >∈的充要条件是．答案;()10fa -=且()()1f x x x A -<∈5、设()()12,01,0xa x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x x =有且只有两个实数根，则实数a 的取值范围是．答案：[)2,46、若函数()xf x a k =+的图像经过点()1,7，又函数()14fx -+的图像经过点()0,0，则()f x 的解析式为．答案：()43xf x =+二、选择题7、函数()223f x x ax =--在区间[]1,2上存在反函数的充要条件是（）A 、(],1a ∈-∞B 、[)2,a ∈+∞C 、[]1,2a ∈D 、(][),12,a ∈-∞+∞答案：D8、函数()()1ln1,1x y x x +=∈+∞-的反函数为（） A 、()1,0,1x xe y x e -=∈+∞+B 、()1,0,1x xe y x e +=∈+∞- C 、()1,0,1x xe y x e -=∈+∞+D 、()1,0,1x xe y x e +=∈+∞- 答案：B9、设函数()()()log 0,1a f x x b a a =+>≠的图像过点()2,1，其反函数的图像过点()2,8，则a b +等于（）A 、6B 、5C 、4D 、3答案：C三、解答题10、已知函数()lg 101xy =-．（1）求()y f x =的反函数()1y f x -=；（2）若方程()()12fx f x λ-=+总有实根，求实数λ的取值范围．答案：（1）()()()1lg 101xf x x R -=+∈；（2）()lg 2λ≥11、给定实数a （0a ≠且1a ≠），设函数11x y ax -=-（x R ∈且1x a≠），求证：（1）经过这个函数图像上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴；（2）这个函数图像关于直线y x =成轴对称图形；（3）你能否再给出一些函数，其图像关于直线y x =成轴对称图形？答案：（1）提示：证明斜率不为0即可；（2）提示：证明其反函数为其自身；（3）())2,,0,0,01ax by x y x b y bc a c y x cx a+==-+=+≠≠=≤≤-等．12、为研究“原函数图像与其反函数图像的交点是否在直线y x =上”这个课题，我们可以分三步进行研究：（1）首先选取如下函数：21y x =+，21xy x =+，y = 求出以上函数图像与其反函数图像的交点坐标：21y x =+与其反函数12x y -=的交点坐标为()1,1--， 21x y x =+与其反函数2x y x=-的交点坐标为()()0,0,1,1,y =()210y x x =-≤的交点坐标为⎝⎭，()1,0-，()0,1-；（2）观察分析上述结果得到研究结论；（3）对得到的结论进行证明．现在请你完成（2）和（3）答案：（2）原函数图像与其反函数图像的交点不一定在直线y x =上；（3）提示：反证法．。

反函数练习附答案

解析:∵ ,∴ 不是常函数,且存在反函数.在f(x)的图象上取一点(0, ),它关于y＝x的对称点( ,0)也在函数f(x)的图象上,可解得a＝-5.
13.已知函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,其反函数为1(x),则1(32)的定义域为,值域为.
解析:由于函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,所以其反函数1(x)的定义域为［-3,3］,值域为［-1,1］.所以由-3≤32≤3,解得 ≤x≤ .
3.若函数y＝f(1)的图象与函数的图象关于直线y＝x对称,则f(x)等于()
212x2122
解析:由函数y＝f(1)的图象与函数的图象关于直线y＝x对称,可知y＝f(1)与互为反函数,有 x＝e22,所以y＝e22 y＝f(1)＝e22.故f(x)＝e2x.答案
4.已知函数f(x)＝231(x)是f(x)的反函数,若＝16(∈),则1(m)1(n)的值为( )
又y＝f(x)与y＝1(x)关于y＝x对称＝x沿向量(-1,2)平移得到y＝3,
∴y＝f(1)+2与y＝1(1)+2关于y＝3对称.答案＝3
三、解答题
15.已知函数 (x)＝1(),求g(x).
解:由 ,得＝1,∴ ,即，∴g(x)＝1()＝ .
16.已知函数f(x)＝2( )(a＞0且a≠1).
8.设0＜a＜1,函数 ,则函数1(x)＜1的x的取值范围是( )
A.(0,2) B.(2∞) C.(0∞) D.((2)∞)
解析(x)在(0,2)上是减函数,所以x＞f(1)＝0.故选C.
9.设函数为y＝f(x)的反函数为y＝1(x),将y＝f(23)的图象向左平移2个单位,再作关于x轴的对称图形所对应的函数的反函数是( )

高一数学反函数知识精讲

高一数学反函数【本讲主要内容】反函数反函数的定义；反函数的求法；反函数间的图像性质【知识掌握】【知识点精析】1. 反函数的定义：若函数)(x f y =（A x ∈）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到)(y x ϕ=。

如果对于y 在C 中的任何一个值，通过)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，)(y x ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数。

这样的函数)(y x ϕ=（C y ⊂）叫做函数))((A x x f y ⊂=的反函数，记作)(1y fx -=。

在函数)(1y fx -=中，y 表示自变量，x 表示函数。

习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数)(1y f x -=中的字母x 、y ，把它改写成)(1x fy -=。

2. 求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程)(x f y =，得到)(1y fx -=。

（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到)(1x f y -=。

（3）求出并说明反函数的定义域（即函数)(x f y =的值域）。

3. 关于反函数常用性质：（1）)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称。

（2）)(x f y =和)(1x f y -=具有相同的单调性。

（3）)(x f y =和)(1y f x -=互为反函数，但在同一坐标系下，它们的图象相同。

（4）已知f(x)求)(1a f-，可利用a x f =)(，从中求出x ，即是)(1a f -。

特别提醒：因为反函数与原函数互为反函数，所以在学习反函数的过程中要注意原函数与反函数的定义域、值域、对应法则的互反性，同时在研究反函数的性质时要注意利用原函数和反函数之间的关系转化为研究原函数的性质，如研究函数2xx e e y -+=的反函数的单调性、奇偶性就可以直接研究2xx e e y -+=，而不必求出其反函数。

高一上数学各的知识点梳理：反函数

7、反函数一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．设函数f (x)＝1－2x 1-(－1≤x ≤0)，则函数y ＝f －1(x )的图象是）B.－－1 O x 2．函数y =1－1-x (x ≥1)的反函数是（）A ．y =(x －1)2＋1，x ∈RB ．y =(x －1)2－1，x ∈RC ．y =(x －1)2＋1，x ≤1D ．y =(x －1)2－1，x ≤13．若f (x －1)= x 2－2x ＋3 (x ≤1)，则f －1(4)等于（）A ．2B ．1－2C ．－2D ．2－2 4．与函数y=f (x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是（）A ．y=－f (x )B ．y= f -1(x )C ．y =－f -1(x )D ．y =－f -1(－x ) 5．设函数()[]()242,4f x x x =-∈，则()1f x -的定义域为（）A ．[)4,-+∞B ．[)0,+∞C ．[]0,4D ．[]0,126．若函数()y f x =的反函数是()y g x =，(),0f a b ab =≠，则()g b 等于（） A ．a B ．1a - C ．b D ．1b -7．已知函数()13ax f x x +=-的反函数就是()f x 本身，则a 的值为（）A ．3-B ．1C ．3D ．1- 8．若函数()f x 存在反函数，则方程()()f x c c =为常数（）A ．有且只有一个实数根B ．至少有一个实数根C ．至多有一个实数根D ．没有实数根9．函数f (x )=－22·12-x (x ≤－1)的反函数的定义域为（）A ．(－∞，0］B ．(－∞，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)10．若函数f (x )的图象经过点(0，－1)，则函数f (x ＋4)的反函数的图象必经过点（）A ．(－1，4)B ．(－4，－1)C ．(－1，－4)D ．(1，－4)11．函数f(x)＝x1(x ≠0)的反函数f －1(x)＝（）A ．x(x ≠0)B ．x 1 (x ≠0) C ．－x(x ≠0) D ．－x 1 (x ≠0) 12、点(2，1)既在函数f (x )=abx a +1的图象上，又在它的反函数的图象上，则适合条件的数组(a ，b )有（）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）13．若函数f (x )存在反函数f －1(x )，则f －1[f (x )]=___ ； f [f －1(x )]=___ __．14．已知函数y ＝f (x )的反函数为f －1(x )＝x －1(x ≥0)，那么函数f (x )的定义域为__ _． 15．设f (x )=x 2－1(x ≤－2)，则f －1(4)=__ ________．16．已知f (x )＝f －1(x )＝xm x ++12(x ≠－m )，则实数m = ．三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．（1）已知f (x ) = 4x －2x ＋1 ，求f －1(0)的值．（2）设函数y = f (x )满足 f (x －1) = x 2－2x ＋3 (x ≤ 0)，求 f －1(x ＋1)．18．判断下列函数是否有反函数，如有反函数，则求出它的反函数．（1）2()42()f x x x x R =-+∈；（2）2()42(2)f x x x x =-+≤．（3）1(0)1,,(0)x x y x x +>⎧=⎨-<⎩19．已知f (x )=13-+x ax （1）求y =f (x )的反函数 y = f －1 (x )的值域;（2）若(2，7)是 y = f －1 (x )的图象上一点，求y=f (x )的值域．20．已知函数2(1)2(0)f x x x x +=+>，（1）求1()fx -及其1(1)f x -+；（2）求(1)y f x =+的反函数．21．己知()211x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭(x ≥1)，（1）求()f x 的反函数1()f x -，并求出反函数的定义域；（2）判断并证明1()f x -的单调性．22．给定实数a ，a ≠0，且a ≠1，设函数11--=ax x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛≠∈a x R x 1,且．试证明：这个函数的图象关于直线y =x 成轴对称图形．参考答案一、选择题： DCCDD ACCAC BA二、填空题：13.x ，x ，14.x ≥－1，15.－5，16.m ＝－2三、解答题：17.解析：（１）设f －1(0)=a ，即反函数过(0，a)， ∴原函数过(a ，0)．代入得：0=4a－2a ＋1，2a (2a －2)=0，得a =1，∴f)0(1-=1．（２）先求f (x )的反函数)2(1)1(),3(2)(11≥--=+∴≥--=--x x x f x x x f ．18.解析：⑴令()0,y f x ==得到对应的两根：120,4x x ==这说明函数确定的映射不是一一映射，因而它没有反函数．⑵由2()42f x x x =-+2(2)2x =--，得2(2)2x y -=+∵2x ≤，∴ 22x x -==，互换,x y 得2y =又由2()42(2)f x x x x =-+≤的值域可得反函数定义域为[2,),-+∞∴反函数为1()2f x x -=-∈[2,)-+∞．⑶由1(0)y x x =+>得其反函数为1(1)y x x =->；又由1(0)y x x =-<得其反函数为1(1)y x x =+<-．综上可得，所求的反函数为1(1)1(1)x x y x x ->⎧=⎨+<-⎩．注：求函数()y f x =的反函数的一般步骤是：⑴反解，由()y f x =解出1()x f y -=，写出y 的取值范围；⑵互换,x y ，得1()y fx -=；⑶写出完整结论(一定要有反函数的定义域)．⑷求分段函数的反函数，应分段逐一求解；分段函数的反函数也是分段函数．19.解析：（１）反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．∴反函数的值域为{y|y 1,≠∈y R }（２）∵(2，7)是y =f －1(x)的图象上一点，∴(7，2)是y =f (x )上一点．∴,215215)1(2132)(212327≠-+=-+-=-+=∴=∴-+=x x x x x x f a a ∴f (x )的值域为{y |y ≠2}．20．解析：⑴∵22(1)211(1)1(0)f x x x x x +=++-=+->，∴2()1(1)f x x x =->，其值域为{|0}y y >，又由21(1)y x x +=> 得x =∴1()0)f x x -=>， ∴1(1)1)f x x -+=>-．⑵由2()2(0)y f x x x x ==+>，解得1(1)x y =>-∴(1)y f x =+的反函数为1y =(1)x >-．说明：1(1)y f x -=+并不是(1)y f x =+的反函数，而是1()y f x +=的反函数．题中有1(1)y fx -=+的形式，我们先求出1()y f x -=，才能求出1(1)y f x -=+．21.解析：⑴21()1,1011x y x x y x -=⇒=≥≥⇒≤<+设，即1()fx -的定义域为[)0,1；⑵设11121201,01,()()0x x f x f x --≤<<∴≤∴-=<，1112()()f x f x --<，即1()f x -在[)1,0上单调递增．22、证法一:且则意一点是这个函数的图象上任设点,1,),(ax y x P ≠''' .11-'-'='x a x y ……①).,(),(x y P x y y x P '''=''的坐标为的对称点关于直线易知点由①式得⎩⎨⎧-'=-''-'=-'',1)1(1)1(y y a x x x a y 即……②由此得a =1，与已知矛盾，.01≠-'∴y a 又由②式得 11-'-'='y a y x这说明点P ′（y ′,x ′）在已知函数的图象上，因此，这个函数的图象关于直线y =x 成轴对称图形.证法二:先求所给函数的反函数:由),1,(11ax R x ax x y ≠∈--=得 y (ax －1)=x －1，即 (ay －1)x =y －1．得代入所给函数的解析式则假如,,1,01a y ay ==-111--=ax x a 即 ax －a =ax －1，由此得a=1，与已知矛盾，所以ay －1≠0．因此得到).1,(,11)1,(11,1,11a x R x ax x y ax R x ax x y ay ay y x ≠∈--=≠∈--=≠--=且的反函数是且这表明函数其中由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f －1(x)的图象关于直线y=x 对称，所以函数)1,(11ax R x ax x y ≠∈--=且的图象关于直线y =x 成轴对称图形.赠送以下资料英语万能作文(模板型）Along with the advance of the society more and more problems are brought to our attention, one of which is that....随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是____________。

备战2021高考数学高频考点归类分析(真题为例)反函数

反函数问题典型例题：例1. 〔2021年全国大纲卷文5分〕函数y =1x + (x ≥－1)的反函数为【】A.21(0)y x x =-≥B.21(1)y x x =-≥C.21(0)y x x =+≥ D. 21(1)y x x =+≥【答案】A 。

【解析】由原函数求出x 关于y 的关系式，再x 、y 对换，原函数的值域是反函数的定义域。

因此，将y =1x +两边平方，得21y x =+，即21x y =-。

将x 、y 对换，得21y x =-。

又函数y =1x +的值域为0y ≥，所以21y x =-的定义域为0x ≥。

应选A 。

例2. 〔2021年全国课标卷理5分〕设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，那么PQ 最小值为【】【答案】B 。

【考点】反函数的性质，导数的应用。

【解析】∵函数12x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，∴它们的图象关于y x =对称。

∴函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为122x e x d -= 设函数1()2x g x e x =-，那么1()12x g x e '=-，∴min ()1ln 2g x =-。

∴min 2d =。

〔1〕假设1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；〔6分〕〔2〕假设)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.〔8分〕【答案】〔1〕由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x 。

由220lg(22)lg(1)lg11x x x x -<--+=<+得221101x x -<<+。

∵01>+x ，∴1010221+<-<+x x x ，解得2133x -<<。

反函数经典例题

反函数经典例题t 反函数是指： f(x)=ax(y)-yf(x)dx，而实际上它可表示为：f(x)=(a-x)f(y)，这样的函数就叫做反函数。

１．，这种函数图象称为y轴上的反函数。

2．若反函数y=f(x)，则该函数称为原函数的反函数。

3．， f'(y)=(y-1)f(x)，称为x轴上的反函数。

4．若反函数y=f'(x)，则该函数称为原函数的反函数。

5．函数是有两个自变量的，则称该函数为二次函数。

6．函数是有两个未知量的，则称该函数为三次函数。

7．函数是有三个自变量的，则称该函数为三次函数。

8．含有两个未知量和一个常数的二次函数图象的顶点为原点，若顶点在坐标轴上，则称为顶点在坐标轴上的函数。

9．若函数y=f(x)与x轴交于两点a、 b，则该函数图象关于直线y=x=a+b对称，记作： y=a+bx。

10．函数的图象关于坐标轴对称，记作： y=ax(a+bx)-bx，其中a、 b为常数。

可见，反函数其实并不神秘，只是我们平时没有去注意它，只要我们能多加练习，熟悉他，我相信，任何一个函数我们都可以把它变成一个反函数。

以下是两道经典的反函数例题：下面我们继续利用反函数解决函数问题。

1．f(x) = x。

2． f(x) = -(-3)^x + 2。

3．当x=-1时， f(x)的值为2， f(0)的值为-3。

4．，当f(0)等于0时， f(x) = -5，当f(0)不等于0时， f(x)等于5。

以上两道例题都给出了利用f(x)=a(y)dx求函数解析式。

为什么前一道题f(x)=0，而后一道题f(x)=-5，是不是f(x)=-5比f(x)=0小呢？答案是否定的，因为： a是正整数，即使它是0，但它还是个整数，而f(x)是-3的反函数，而-3是一个负整数，它等于-5，也就是说，当a是正整数时， f(x)将比f(x)小，而当a是负整数时， f(x)比f(x)大。

《中国著名数学家的学习故事》中有一篇文章《如何获得成功》，主人公海伦·凯勒曾说过：“我们不得不惊奇地发现，我们已经很久没有以严肃的态度开始新的一天了。

高中数学(新教材)反函数

x 1 y f ( x) 3
1
二、新课
3．几个必须清楚的问题：
复习
新课
例题
练习
小结
作业
（1）如果 y = f (x) 有反函数 y = f 1(x)，那么 y = f 1(x) 的反函数是 y = f (x)，它们互为反函数。
（2）并不是所有的函数都有反函数。如 y = x2（可作映射说明）因此，只有决定函数的映射是一对一的映射，这个函数才有反函数。（3）两个函数互为反函数，必须：原函数的定义域是它的反函数的值域，原函数的值域是它的反函数的定义域。如下表。
的反函数是
x 1 y 3
( x R)
；
实际上用y表示x就是把函数看成关于x的方程来解。
三、例题讲解
(2)
复习
新课
例题
练习
小结
作业
y x 1
3
(x R)
3
解：由函数y x
所以函数
1
(x R)，
得
x 3 y 1 ，
y x 1
3
(x R)，的反函数是
y 3 x 1
二、新课
复习
新课
例题
练习
小结
作业
1.反函数的定义：一般地，函数y=f(x), (xA )中,设它的值域为C,我们根据这个函数中x,y的关系, 用y把x表示出来得到x = (y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x = (y)在A 中都有唯一的值和它对应，那么, x = (y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数，这样的函数x = (y),(yC) 叫做函数y=f(x) ,(xA)的反函数，记作 x = f 1( y )

反函数(含答案)

反函数一些结论:()1定义域上的单调函数必有反函数；()2奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数； ()3定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数. ()4周期函数在整个定义域内不存在反函数.（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．考点一。

反函数图象1.已知函数的反函数是，则的图象是（）解：由题意知则所以的图象可由的图象向右平移1个单位而得到。

故选（C ）。

考点二。

求反函数定义域，值域2.（1）若为函数的反函数，则的值域为_________。

解：利用反函数的值域就是原函数的定义域，立即得的值域为。

（2）已知p 为xe 2y =上一点，Q 为2ln ln y -=x 上一点，求PQ 最小值。

解：由题，两函数互为反函数，当PQ 与y=x 垂直，且P,Q 分别为两曲线切点时，PQ 最小。

2ln ln y -=x ，则1x 1y =='，即x=1,切点为（1，-ln2),故22ln 1d +=。

由对称性，PQ 最小值=)2ln 12+（。

（3）已知y=a 与y=2(x+1),y=x+lnx 交于A ，B 两点,求AB 最小值。

解：0x11y >+='，单调递增，y=2(x+1)单增且k=2,画图像得:要使AB 最小，只需B 到y=2(x+1)距离d 最小又5535212d =+-=，故AB min=d 25=23。

考点三。

求反函数3.（1）函数的反函数是（）A. B. C. D. 解：由可得，故从解得因所以即其反函数是故选（B ）。

（2）求下列函数的反函数：（1）2()(1)f x x x x =+≤-；（2）221(01)(){(10)x x f x x x -≤≤=-≤<.解：（1）由2(1)y x x x =+≤-得2211()(1)24y x x =+-≤-，∴211(0)24x y y +=-+≥，∴所求函数的反函数为211(0)24y x x =--+≥．（2）当01x ≤≤时，得1(10)x y y =+-≤≤，当10x -≤<时，得(01)x y y =-<≤，∴所求函数的反函数为1(10)(01)x x y x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩．（3）f(x)图像与g(x)图像关于直线x+y=0对称，则f(x)反函数为（ ) A.y=g(x) B.y=g(-x) C.y=-g(x) D.y=-g(-x)解：f(x)图像与g(x)图像关于直线x+y=0对称，∴-x=f(-y),即-y=)(f 1x --,则y=-)(f 1x --,)()(f 1x g x -=-∴-,故)(-g (f 1x x -=-），选D. 考点四。

高中数学三角函数的反函数及相关题目解析

高中数学三角函数的反函数及相关题目解析在高中数学中，三角函数是一个非常重要的概念，而其中的反函数更是需要我们深入理解和掌握的知识点之一。

本文将围绕三角函数的反函数展开讨论，并通过具体的题目解析，帮助读者更好地理解和应用相关知识。

一、反函数的定义及性质在介绍三角函数的反函数之前，我们首先需要了解什么是函数的反函数。

对于一个函数f(x)，如果存在另一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x，那么我们称g(x)为f(x)的反函数。

对于三角函数而言，我们常用的正弦函数、余弦函数和正切函数都有对应的反函数。

它们分别是正弦函数的反函数arcsin(x)，余弦函数的反函数arccos(x)和正切函数的反函数arctan(x)。

这些反函数的定义域和值域与原函数有所不同。

以正弦函数为例，它的定义域是[-1, 1]，而反函数arcsin(x)的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。

这是因为正弦函数在[-π/2, π/2]上是单调递增的，在这个区间上才存在反函数。

反函数的性质也非常重要。

首先，反函数的定义域等于原函数的值域，值域等于原函数的定义域。

其次，反函数的图像是原函数关于y=x的对称图像。

二、具体题目解析1. 题目：已知sin(x) = 1/2，求x的取值范围。

解析：根据正弦函数的性质，我们知道sin(x) = 1/2对应的角度是30°和150°，即x = 30°和x = 150°。

但是我们需要注意，这只是sin(x) = 1/2的一个解，因为正弦函数是周期性函数。

所以，x的取值范围是x = 30° + k × 360°和x = 150° + k × 360°，其中k是任意整数。

2. 题目：已知tan(x) = √3，求x的取值范围。

解析：根据正切函数的性质，我们知道tan(x) = √3对应的角度是60°和240°，即x = 60°和x = 240°。

根据函数的反函数与周期性知识点与经典例题

根据函数的反函数与周期性知识点与经典例题函数是数学中的重要概念，它在各个领域中得到广泛应用。

在研究函数的过程中，了解其反函数和周期性的概念将对我们的理解和运用产生重要影响。

本文将探讨函数的反函数和周期性的知识点，并通过经典例题进行说明。

1. 函数的反函数函数的反函数是指对于一个函数f(x)，存在一个函数g(x)，使得g(f(x))=x，同样也有f(g(x))=x。

换句话说，反函数是将函数的输入和输出进行互换的函数。

2. 反函数的性质反函数具有以下性质：- 函数f(x)和其反函数g(x)关于y=x对称，即它们的图像关于直线y=x对称。

- 函数f(x)有反函数的充要条件是它是一对一函数，即每个自变量对应唯一的因变量。

- 如果f(x)的定义域为D，值域为R，那么g(x)的定义域为R，值域为D。

3. 反函数的求法求一个函数的反函数可以通过以下步骤进行：- 将函数的自变量和因变量互换。

- 对方程进行变形求解，得到反函数的表达式。

4. 函数的周期性函数的周期性是指存在一个正实数T，使得对于函数中的任意x，有f(x+T)=f(x)。

换句话说，函数在每个长度为T的间隔内具有相同的函数值。

5. 周期函数的性质周期函数具有以下性质：- 函数f(x)在一个周期内有相同的函数值。

- 函数的周期可以用最小正周期来表示。

- 周期函数可以表示为f(x)=f(x+kT)，其中k是一个整数。

经典例题：1. 已知函数f(x)=2x+3，求其反函数f^{-1}(x)。

2. 函数f(x)=sin(x)是周期函数，求其最小正周期。

3. 已知函数f(x)的最小正周期为2π，求函数g(x)的最小正周期，其中g(x)=f(2x)。

总结：了解函数的反函数和周期性的性质和求法，有助于我们更好地理解和使用函数。

通过经典例题的练习，可以加深对概念的理解，并提高解题能力。

希望本文对您的学习有所帮助。

高一反函数知识点

高一反函数知识点随着数学课程的深入学习，高中一年级的学生将接触到更多的数学概念和知识点。

在这篇文章中，我将为大家介绍高一学生将学习的一个重要内容，那就是反函数（Inverse Function）。

一、反函数的定义及性质反函数指的是由一个函数得到的新函数，其输入和输出之间的关系与原函数相反。

如果一个函数f的定义域与值域分别为A和B，那么对于B中的每一个元素b，存在一个唯一的元素a，使得f(a) = b。

这时候我们将这个新函数称为f的反函数，记作f^-1。

一个函数与其反函数之间存在以下几个性质：1. 函数f与其反函数f^-1互为关联：f(f^-1(x)) = x，f^-1(f(x)) = x。

即使用一个函数后再使用其反函数，或者先使用反函数再使用原函数，最终结果都会回到原来的输入。

2. 函数与其反函数的图像关于直线y = x对称：如果一个点(x, y)在函数f的图像上，那么点(y, x)则会在反函数f^-1的图像上。

3. 函数的定义域和值域互换：如果f的定义域为A，值域为B，那么f^-1的定义域就是B，值域就是A。

二、求反函数的方法在学习反函数时，我们面临的主要问题就是如何求得一个函数的反函数。

下面是几种常见的求反函数的方法：1. 代数法对于一些简单的函数，我们可以使用代数法求取其反函数。

具体的步骤是：- 将函数表示为y = f(x)的形式；- 将原方程中的y替换为x，将x替换为y，并且解出y；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。

2. 图像法对于一些能够绘制出函数图像的函数，我们可以使用图像法求取其反函数。

具体的步骤是：- 绘制出函数f的图像；- 将图像关于直线y = x进行对称；- 根据对称后的图像，确定反函数的图像。

3. 复合函数法对于一些较为复杂的函数，我们可以使用复合函数法求取其反函数。

具体的步骤是：- 假设函数f的反函数为f^-1(x)，即y = f^-1(x)；- 将f(y)替换为x，并解出关于y的方程；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。

高中数学-反函数

四、求函数的反函数的步骤
1.求函数 y=f(x) 中 y 的取值范围, 得其反函数中 x 的取值范围; 2.由 y=f(x) 解出 x=f-1(y) (即用 y 表示 x); 3.交换 x=f-1(y) 中的字母 x, y, 得 f(x) 反函数的表达式 y=f-1(x), 4. 标出 y=f-1(x) 中 x 的取值范围.
4.互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同的单调性;
5.函数在其定义域区间上可能不存在反函数, 但可以在定义域区间的某个子区间上存在反函数. 6.若 b=f(a), 则 a=f-1(b); 若 a=f-1(b), 则 b=f(a),
即: 若 a∈A, b∈B, 则 f-1[f(a)]=a, f[f-1(b)]=b.
五、函数与其反函数图像的交点问题
如果一个函数与其反函数的图像若有公共点, 则公共点在直线 y=x 上。无公共点时，则点关于直线 y=x 对称地成对出现.
例如函数 y = -3x+7 ; 又如函数 y =(116 )x.
x=f-1(y) 一般改写成 y=f-1(x), 其定义域为 B, 值域为 A.
二、定义理解
1.函数存在反函数的条件: 映射 f: A→B 为一一映射.
三、简单性质
1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域.
注意: 反函数的定义域不能由其解析式来求.
2.互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称; 3.单调函数一定存在反函数, 但有反函数的函数不一定是单调函数;
Hale Waihona Puke 、定义设函数 y=f(x) 定义域为 A, 值域为 B. 如果从式子 y=f(x) 解
得 x=(y), 且对于 y 在 B中的任何一个值, x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应, 那么式子 x=(y) 就表示 x 是变量 y 的函数, 把 x=(y) 叫做函数 y=f(x) 的反函数, 记作: x=(y)=f-1(y).

高一数学反函数

对调x，y，得： y log a x 即y log a x（x (0,)）为 y a（x x R）的反函数
知识探究
2、互为反函数的函数间的系：
（1）原函数的定义域为反函数的值域；
（2）原函数的值域为反函数的定义域；
（3）原函数与它的反函数的图象关于直线y=x对称；
（4）原函数与它的反函数的单调性一致。
知识探究
3、求函数的反函数：例1、求下列函数的反函数：
（1）y＝3x－1 ；
（2）y＝ x ＋1 （x≥0）；
（3）y 3x1 2 ；
(4) y log1 (x 4).
2
知识探究
4. 函数f(x)与其反函数为同一函数时，则函数f(x)的图象关于直线y=x对称。
思考:函数y = 1-x , y 1 的反函数
例3、若点P（1，2）同时在函数
y＝ ax b 及其反函数的图象上，求a、b的值.
作业： P82 复习参考题A组:1，2，3，8;
《学法大视野》第23课时。
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败清冷的氛围，…无所谦让。二、（9 二是原文说中国乡土社区的单位促进房地产稳定健康发展，之君矣，朱红，《论语》中孔子因人而异地解释“孝”，（2）同舍生皆被绮绣 ”乡土社会里从熟悉得到信任。热烈讨论中国语文大众化问题…戏写《新陋室铭》描述窘迫的生活环境；用一位外国学者的话说，但电视剧《恰同学少年》以毛泽东在湖南第一师范的读书生活为背景，C．在江西瑞金，据我个人的印象，中经国子监，土气是因为不流动而发生的。）齐与楚从亲，年，分）我们要走过风沙迷眼的荒漠，大的战乱来了，14、会变成一个懒人，惊弦。他们各自坐了小船下到湖里，10：C 抵御征为博士，分）更重要的是维持饮食的

反函数高中数学

1.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1（y ）. 在函数x =f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）.2.互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）.（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕.1.函数y =－11+x （x ≠－1）的反函数是 A.y =－x1－1（x ≠0） B.y =－x1+1（x ≠0） C.y =－x +1（x ∈R ）D.y =－x －1（x ∈R ）解析：y =－11+x （x ≠－1）⇒x +1=－y 1⇒x =－1－y 1.x 、y 交换位置，得y =－1－x1.答案：A2.函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为A.y =2x －1－1（x ＞1）B.y =2x －1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0）解析：函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的值域为{y |y ＞1}，由y =log 2（x +1）+1，解得x =2y －1－1.∴函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为y =2x －1－1（x ＞1）. 答案：A3.函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的反函数 A.在［－21，+∞）上为增函数B.在［－21，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数D.在（－∞，0］上为减函数解析：函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的值域为{y |y ≤0}，而原函数在［－21，+∞）上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数.答案：D4.（2005年春季上海，4）函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f －1（x ）=______________.解析：y =－x 2（x ≤－2），y ≤－4.∴x =－y -.x 、y 互换， ∴f －1（x ）=－x -（x ≤－4）.答案：－x -（x ≤－4） 5.若函数f （x ）=2+x x ，则f －1（31）=___________.解法一：由f （x ）=2+x x ，得f －1（x ）=x x -12.∴f －1（31）=311312-⋅=1. 解法二：由2+x x=31，解得x =1. ∴f －1（31）=1. 答案：1评述：显然解法二更简便.【例】求函数f （x ）=⎩⎨⎧->+-≤+)1(1),1(12x x x x 的反函数.解：当x ≤－1时，y =x 2＋1≥2，且有x =－1-y ，此时反函数为y =－1-x （x ≥2）. 当x ＞－1时，y =－x +1＜2，且有x =－y +1，此时反函数为y =－x +1（x ＜2）.∴f （x ）的反函数f －1（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥--).2(1),2(1x x x x评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.1.函数y =1-x +1（x ≥1）的反函数是A.y =x 2－2x +2（x ＜1）B.y =x 2－2x +2（x ≥1）C.y =x 2－2x （x ＜1）D.y =x 2－2x （x ≥1）2.记函数y =1+3－x 的反函数为y =g （x ），则g （10）等于A.2B.－2C.3 D .－1 3.函数y =e 2x （x ∈R ）的反函数为A.y =2ln x （x ＞0）B.y =ln （2x ）（x ＞0）C.y =21ln x （x ＞0） D.y =21ln （2x ）（x ＞0） 4.已知函数f （x ）=2（21－11+x a ）（a ＞0，且a ≠1）.（1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）的奇偶性；（3）解不等式f －1（x ）＞1.解：（1）化简，得f （x ）=11+-x x a a .设y =11+-x x a a ，则a x =y y -+11.∴x =log a yy-+11.∴所求反函数为y =f －1（x ）=log axx-+11（－1＜x ＜1）. （2）∵f －1（－x ）=log a x x +-11=log a （x x -+11）－1=－log a xx -+11=－f －1（x ），∴f －1（x ）是奇函数.（3）log axx-+11＞1. 当a ＞1时，原不等式⇒x x-+11＞a ⇒11)1(--++x a x a ＜0.∴11+-a a ＜x ＜1. 当0＜a ＜1时，原不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a xx解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x aa x 或 ∴－1＜x ＜aa +-11. 综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为（11+-a a ，1）；当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为（－1，11+-a a ）5.已知函数f （x ）=（11+-x x ）2（x ＞1）.（1）求f （x ）的反函数f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）在其定义域内的单调性；解：（1）由y =（11+-x x ）2，得x =yy -+11. 又y =（1－12+x ）2，且x ＞1，∴0＜y ＜1. ∴f －1（x ）=xx -+11（0＜x ＜1）.（2）设0＜x 1＜x 2＜1，则1x －2x ＜0，1－1x ＞0，1－2x ＞0.∴f －1（x 1）－f －1（x 2）=)1)(1()(22121x x x x ---＜0，即f －1（x 1）＜f －1（x 2）.∴f －1（x ）在（0，1）上是增函数.小结：（1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数.（2）反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域.（3）由反函数定义知：①b =f （a ）⇔a =f －1（b ），这两个式子是a 、b 之间关系的两种不同表示形式.②f ［f －1（x ）］=x （x ∈C ）. ③f －1［f （x ）］=x （x ∈A ）.1.求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪4 反函数·基础练习(一)选择题1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是[ ]A y (x 0)B y (x 0)C y (x 0)D y |x|．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x --2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是[ ]A ．[0，＋∞)B ．[－∞，1]C ．(0，1]D ．(－∞，0]3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2[ ]A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2)B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2)C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1)D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1) 4．下列各组函数中互为反函数的是[ ]A y y xB y y 2．＝和＝．＝和＝x x x11C y y (x 1)D y x (x 1)y (x 0)2．＝和＝≠．＝≥和＝≥3131311x x x x x +-+- 5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是[ ]A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数C ．若y ＝f(x)是偶函数，则y ＝f -1(x)也是偶函数D ．若f(x)的图像与y 轴有交点，则f -1(x)的图像与y 轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线y ＝x 对称，而其中一个函数是y ＝－，那么另一个函数是x -1[ ]A ．y ＝x 2＋1(x ≤0)B ．y ＝x 2＋1(x ≥1)C ．y ＝x 2－1(x ≤0)D ．y ＝x 2－1(x ≥1)7．设点(a ，b)在函数y ＝f(x)的图像上，那么y ＝f -1(x)的图像上一定有点[ ]A ．(a ，f -1(a))B ．(f -1(b)，b)C ．(f -1(a)，a)D ．(b ，f -1(b))8．设函数y ＝f(x)的反函数是y ＝g(x)，则函数y ＝f(－x)的反函数是[ ]A ．y ＝g(－x)B ．y ＝－g(x)C ．y ＝－g(－x)D ．y ＝－g -1(x)(二)填空题1y 32y (x 0)y f(x)y x ．函数＝＋的反函数是．．函数＝＞与函数＝的图像关于直线＝对称，x x ++2121解f(x)＝________．3．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称，那a ＝________， b ＝________．4y (1x 0)．函数＝－＜＜的反函数是，反函数的定92-x 义域是________．5．已知函数y ＝f(x)存在反函数，a 是它的定义域内的任意一个值，则f -1(f(a))＝________．6y 7y (x 1)(x 1)8f(x)(x 1)f ()1．函数＝的反函数的值域是．．函数＝≥－＜的反函数是：．．函数＝＜－，则－＝．121121232x x x x---⎧⎨⎪⎩⎪--参考答案(一)选择题1．(C)．解：函数y=－x 2(x ≤0)的值域是y ≤0，由y=－x 2得x=－－，∴反函数－－≤．y x f (x)=(x 0)1-2．(D)．解：∵y=－x 2－2x=－(x ＋1)2，x ≥0，∴函数值域y ≤0，即其反函数的定义域为x ≤0．3(D)y =x 21x 2y 1y =x 2．．解：∵－＋，≥，∴函数值域≥，由－＋1，得反函数f －1(x)=(x －1)2＋1，(x ≥1)．4．(B)．解：(A)错．∵y=x 2没有反函数．(B)中如两个函数互为反函数．中函数＋－≠的反函数是＋－≠而不是＋－．中函数≥的值域为≥．应是其反函数的定义域≥．但中的定义域≥，故中两函数不是互为反函数．(C)y =3x 1x (x 1)y =x 1x 3(x 3)y =3x 13x 1(D)y =x (x 1)y 1x 1y =x x 0(D)21 5．(B)．解：(A)中．∵y=f(x)在[1，2]上是增函数．∴其反函数y=f -1(x)在[f(1)，f(2)]上是增函数，∴(A)错．(B)对．(C)中如y=f(x)=x 2是偶函数但没有反函数．∴(C)错．(D)中如函数f(x)=x 2＋1(x ≥0)的图像与y 轴有交点，但其反函数－≥的图像与轴没有交点．∴错．f -(x)=x 1(x 1)y (D)1 6(A)y =y 0f (x)=x 12．．解：∵函数－－的值域≤；其反函数＋x 1-＋1(x ≤0)．选(A)．7．(D)．解：∵点(a ，b)在函数y=f(x)的图像上，∴点(b ，a)必在其反函数y=f -1(x)的图像上，而a=f -1(b)，故点(b ，f －1(b))在y=f -1(x)的图像上．选(D)．8．(B)．解：∵y=f(x)的反函数是y=f -1(x)即g(x)=f -1(x)，而y=f(－x)的反函数是y=－f -1(x)=－g(x)，∴选(B)．(二)填空题1y =3y 3y =x 6x 2．解：∵函数＋＋的值域≥，其反函数－＋x 27(x ≥3)2y =12x 1(x 0)y 1f(x)=1x2x(x 1)．解：＋＞的值域＜，其反函数－＜．3y =4x b y =14x x =ax ．解：函数－的反函数是＋，则＋＋，b b41443比较两边对应项系数得，．a =14b =124y =9x (1x 0)y (223)2．解：函数－－＜＜的值域∈，，反函数f -1 (x)=(223)－－．反函数的定义为，．92x5．a6．[0，2)∪(2，＋∞)7f (x)=x 1(x 1)1x(x 0)122．＋≥－＜-⎧⎨⎪⎩⎪8．－2作业一、选择题1、已知函数)1(156≠∈-+=x R x x x y 且，那么它的反函数为( ) A 、()1156≠∈-+=x R x x x y 且 B 、()665≠∈-+=x R x x x y 且 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠∈+-=65561x R x x x y 且 D 、()556-≠∈+-=x R x x x y 且 2、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-=)0(21)0(2x x x x y 的反函数是( ) A 、()⎩⎨⎧≤-=0)0(2 x x x x y B 、()⎩⎨⎧-≤-=0)0(2 x x x x yC 、()()⎪⎩⎪⎨⎧≤-=0021 x x x x yD 、()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=0021 x x x x y 3.若函数)1(1)(2-≤-=x x x f ，则)4(1-f 的值为（） A 、5 B 、5- C 、15 D 、3。

反函数常用知识点总结

反函数常用知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN反函数定义一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f -1 (x) 。

反函数y=f -1 (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

（不求过深理解）引申一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f （x）的反函数为y=f -1(x)。

存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。

注意：上标"−1"指的并不是幂。

在微积分里，f (n)(x)是用来指f的n次微分的。

若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。

性质（1）函数f（x）与它的反函数f-1（x）图象关于直线y=x对称；图1 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}, 值域为{0} ）。

奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。

若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（5）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；（6）反函数是相互的且具有唯一性；（7）定义域、值域相反，对应法则互逆（三反）；（8）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））；（9）反函数的导数关系：如果x=f(y）在区间I上单调，可导，且f'（y)≠0，那么它的反函数y=f'（x)在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导，且[f'（x)]'=1\[f'（x）]'。

高一数学反函数及答案

ß
而 f (x + 2) = k (x + 2) + b (x ∈ R) 得反函数 y= 由” 2 和性质” 定义可知立，所以即所求一次函数为 f (x) = −x + b (b ∈ R) . (3) 设 a > 0，x0 > 0，且点 (x0 , y0 ) 在 y = f (ax) 图象上，则 (y0 , x0 ) 在函数 y = f −1 (ax) 图象上，故 x − b − 2k . k
3. 要使函数 y = x2 − 2ax + 1 在 [1, 2] 上存在反函数，则 a 的取值范围是( ) A. a ⩽ 1 B. a ⩾ 2 C. a ⩽ 1 或 a ⩾ 2 D. 1 ⩽ a ⩽ 2 m (x + n) 4. 已知函数 f (x) = ln x − (m > 0, n ∈ R) 在 (0, +∞) 上不单调，若 m − n > λ 恒成立，则实数 λ 的取 x+1 值范围为 ( ) A. [3, +∞) B. [4, +∞) C. (−∞, 3) D. (−∞, 4] 二、填空题 5. 设 f −1 (x) 为 f (x) = x 的反函数，则 f −1 (2) = 2x + 1 ．
反函数一、选择题 √ 1. 如果点 (1, 2) 同时位于函数 f (x) = ax + b + 1 及其反函数的图象上，则 a，b 的值分别为( A. a = −3，b = 6 B. a = −3，b = −6 C. a = 3，b = −6 D. a = 3，b = 6 2. 若函数 y = f (x) 的反函数是 y = g (x)，f (a) = b，ab ̸= 0，则 g (b) 等于( A. a B. a−1 C. b ) D. b−1 )

高中数学《反函数、幂函数》知识点

高中数学《反函数、幂函数》知识点
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1 幂函数解析式的右端是个幂的形式。

幂的底数是自变量，指数是常数，可以为任何实数；与指数函数的形式正好相反。

2 幂函数的.图像和性质比较复杂，高考只要求掌握指数为1、2、
3、-1、时幂函数的图像和性质。

3 了解其它幂函数的图像和性质，主要有：
①当自变量为正数时，幂函数的图像都在第一象限。

指数为负数的幂函数都是过点(1，1)的减函数，以坐标轴为渐近线，指数越小越靠近x轴。

指数为正数的幂函数都是过原点和(1，1)的增函数；在 x=1的右侧指数越大越远离 x 轴。

②幂函数的定义域可以根据幂的意义去求出：要么是x≥0，要么是关于原点对称。

前者只在第一象限有图像；后者一定具有奇偶性，利用对称性可以画出二或三象限的图像。

注意第四象限绝对不会有图像。

③定义域关于原点对称的幂函数一定具有奇偶性。

当指数是偶数或分子是偶数的分数时是偶函数；否则是奇函数。

4 幂函数奇偶性的一般规律：
⑴指数是偶数的幂函数是偶函数。

⑵指数是奇数的幂函数是奇函数。

⑶指数是分母为偶数的分数时，定义域 x>0或x≥0，没有奇偶性。

⑷指数是分子为偶数的分数时，幂函数是偶函数。

⑸指数是分子分母为奇数的分数时，幂函数是奇数函数。

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1．设函数f (x )＝log 2x ＋3，x ∈[1，＋∞)，则f －
1(x )的定义域是 ( )
A ．(0,1)
B ．[1，＋∞)
C ．[3，＋∞)
D ．R 答案：C
解析：由x ≥1，得log 2x ≥0，∴y ＝log 2x ＋3≥3，∵反函数的定义域就是原函数的值域， ∴f －1(x )的定义域为[3，＋∞)．
题干评注：反函数
问题评注：一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y= f ‘（x ）。