冶金传输原理【周俐】第七章课后习题及解答

第七章 相似原理与模型研究方法例7-1 验证伯努利方程的量纲齐次性。

解： 沿流线的伯努利方程为C gz P V =++ρρ221把长度L ，质量m ，时间t 的量纲L ，M ，T 取为基本量纲，则上述方程中的各物理量的量纲分别为[][]33-==ML l m ρ [][]1-==LT t l V [][]21--==T ML A ma P []2-=LT g[]L z =方程左边各项的量纲分别为：21223221----==⎥⎦⎤⎢⎣⎡T ML T L ML V ρ []21--=T ML P[]2123----==T ML L LT ML gz ρ故左边各项的量纲是相同的，并可断定方程右边的量纲也是21--TML 。

例7-2 试将定常的不可压缩粘性流体运动微分方程无量纲化。

解： 定常的不可压缩粘性流体运动方程在直角坐标系中x 方向分量式为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂2222221z u y u x u x pg z u u y u u x u u x x x x x z x y x x νρ 取特征量V （特征速度）、l （特征长度）、P ∆（特征压差），g （重力加速度），各量可化为无量纲量。

lz z l y y l x x V u u V u u V u u z z y y x x======******,,,,, gg g p p p xx =∆=**, 带入方程中，整理后得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∆-=∂∂+∂∂+∂∂2**22**22**2**22**********z u y u x u Vl x P V P V gl g z u u y u u x u u xx x x x z x y x xνρ即为无量纲化的定常不可压缩粘性流体运动方程。

其中出现的无量纲系数分别表示为：Re ,,1122==∆=Vl Eu V P Fr V gl νρ y 、z 方向的分量式可按相同方法无量纲化，出现的无量纲数相同。

例7-3 设圆管中粘性流动的管壁切应力τ与管径d ，粗糙度ε，流体密度ρ，粘度μ，流速V 有关，试用量纲分析法求它们的关系式。

解： 根据题意，切应力与有关量的关系式为 ()0=εμρτ,,,,,d V f 取基本量：d V ,,ρ切应力的量纲可表示为： [][][][]111zyxd V ρτ=[][][]1111321z y x L LT ML TML ----=对M ：11x =对L ：11131z y x ++-=- 对T ：12y -=-解得：021111===z y x ,, 所以2121V ρτπ=再由 [][][][]222zy xd V ρμ=22222311y z y x x T L M TML -++---=对M ：21x =对L ：22231z y x ++-=- 对T ：21y -=-解出：111222===z y x ,, 所以Re ==μρπVd2（雷诺数） 再由[][]d =ε得dεπ=3（相对粗糙度）由π定理可得无量纲方程 ()0321=πππ,,f或写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d Vd F V εμρρτ,221所求的关系式为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=d F V ερτRe,221 例7-4 试用量纲分析法确定钝体在粘性可压缩流体内作恒速运动时所受阻力的表达式。

解： 本题要考虑流体的可压缩性，根据题意 （1）确定变量：R （阻力），ρ，V ，L （特性尺寸），μ及E （流体弹性模量），设其关系式为：()0=E R L V f ,,,,,μρ（1） 取基本量：ρ、V 、L（2） 用基本量量纲表示导出量量纲。

[][][][]()()1111111321z y x zy x LLT ML MLT l V R ---==ρπ[][][][]()()22222213112z y x zy x LLT ML T ML l V u ----==ρπ[][][][][][][]23333V P l V E zy x ρρπ∆==ρEa =解出Ne l V R ==22121ρπ（牛顿数）Re ==μρπVl2 222231M V a V E ===ρπ（M 为马赫数）（3） 列无量纲方程()0321=πππ,,f或 ()M F l V RNe Re,==2221ρ若流体为不可压缩0→M 则()Re F l V R 2221ρ=例7-5 按1：30比例制成一根与空气管道几何相似的模型管，用粘性为空气的50倍，而密度为800倍的水做模型实验。

（1）若空气管道中流速为6m/s ，问模型管中水速应多大才能与原型相似？ （2）若在模型中测得压降为226.8kPa ，试求原型中相应的压降为多少？ 解：（1）根据相似原理，对几何相似管（包括相对粗糙度dε相等），当流动Re 数相等时，流动达到力学相似，（P 表示原型，m 表示模型）。

则 mP lV lV ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛μρμρ 模型管水速应为sm l l V V p mm p m P p m /.2511815615013080016=⨯=⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μμρρ（2）由Eu 数相等mP V P V P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆222121ρρ 原型压降：2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∆=∆mp m P m P V V P P ρρ Pa 6480158800110822623..=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯= 对本例，若在模型管中仍以空气为介质，由Re 数相等，得到模型管中的空气流速应达到s m V m /180=，这时空气压缩性就不能忽视，则与原型的流动不同了，但用介质水后，s m V m /.2511=，便达到了动力相似。

例7-6 一油池通过直径mm d 250=的管路以s l /140的流量输送运动粘性系数s cm /.2750=ν的石油，为了确定避免油面发生旋涡将空气卷入管道的最小油深m in h ，在1：5的模型中作实验。

问：（1） 模型中液体的m ν和流量m Q 为多少？（2） 模型中观察到的m in h 为60mm 时原型中的m in h 应为多少？解： 本问题涉及粘性流动与液面运动，相应的相似准则为Re 数和Fr 数，通过选取模型中液体适当的m ν值，实现Re 数与Fr 数均相等的力学相似 （1） 由Fr 数相等m p gh V gh V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22 得pmPmh h V V = 由Re 数相等 mp Vd Vd ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛νν几何关系： 51==p m p m d d h h 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p m p m p pm pm p m d d h h V d d V V V V scm V p /067.05175.05122323=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=因为 24d V Q π⋅=所以 222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=⋅⋅=p m p m p p m p m P m d d h h Q d d V V Q Q s l /.525114025=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=（2）由几何关系相似，便可获得原型中的最小油深：()()mm h h p p 3005605=⨯=⨯=m in m in例7-7 已知光滑管中不可压缩流动的沿程水头损失f h 决定于管路直径d 、长度l 、流体密度ρ、动力粘性系数μ、平均流速V 和重力加速度g 。

试用因次分析法建立f h 的物理方程式形式。

解：因次分析法 ()l g d V f h f ,,,,,μρ=取ρ、V 、d 三个物理量为基本量推导无因次π项：[][][][]321αααρμd V =[][][][]3211311αααL LT ML T ML---=M ： 11α= 11=∴α T ：21α-=- 12=∴α L ： 32131ααα+-=- 13=∴αRe ==μρπVd1 [][][][]321βββρd V g =[][][][]321132βββL LT ML LT --=M ： 10β= 01=∴β T ： 22β-=- 22=∴β L ： 32131βββ++= 13-=∴βgdV 22=π由于f h 是和l 成正比，则写成⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=gd V f l h f2Re 其实，lh f 也是一个π项。

试验证明：l h f和gd V 2成正比，故gV d L h f 22λ=()Re f =λ例7-8 某蓄水库几何比尺225=l C 的小模型，在开闸后4分钟可放空库水，问原型中放空库水需多长时间？ （答：60分钟）解：重力比尺：Cv 2=Cl*Cg 得到Cv=15 由Ho 准数Cv=Cl/Ct 得到： Ct=15*4=60例7-9 将下列一组参数组成无因次综合数：（1）g V P ,,,γ∆； （2）νρ,,,L F ； （3）σρ,,,L V例7-10 检查以下各综合数是否为无因次数： （1）2l Q P ⋅∆ρ； （2）2Pl Q∆ρ； （3）2PQ l ∆ρ； （4）ρlQ P ⋅∆； （5）2l Q P ⋅∆ρ。