因式分解双十字交乘

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因式分解双十字交乘

十字相乘法是利用x 2 (a b)x ab =(x a)(x - b)这个公式，写成两排形式，把二次项 系数的约数和常数项的约数进行十字交叉相乘，它们的和凑成一次项系数，那每一排即位多 项式的一个因式，因为呈十字交叉相乘，故称为十字相乘法。

运用双十字乘法对Ax 2 - Bxy Cy 2 Dx Ey F 型的多项式分解因式的步骤： 1用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；

2、在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字 的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含

y 的一次项的系数 E ，

同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含 x 的

一次项的系数Db

一、用双十字相乘法分解多项式

我们先看一下两个多项式相乘的计算过程： 计算(2x_3y 5)(3x y -1)。

2x_J3y +5 〉，)3x • y /

(2x -3y 5)(3x y -1) =6x 2 -7xy -3y 2 13x 8y —5

6x 2 _9xy

-+I5x

2xy _3y 2

亠5y

从计算过程可以发现，乘积中的二次项 6x 2-7xy-3y 2只和乘式

2x 3y_5

6x 2 _7xy —3y 2 出3乂 +8y _5

中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项 13x 8y ，只和

乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。

根据因式分解与整式乘法是相反变形的关系，我们来寻求多项式 6x -7xy -3y 13x • 8y -5的分解因式的方法是

1先用十字相乘法分解6x 2-7xy-3y 2。

2、 再将常数项一5的两个因数写在第二个十字的右边。 2x 3x 5

3、 由于第2列与第3列交叉相乘之积的和等于8y 。再看第1列与第 3xX. y 、_1 3列交叉相乘之

积的和等于13x ，那么原式就可以分解成—5y 3y=8y

(2x _3y 5)(3x y _1)。

综上可知，双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意 它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案

例 1、分解因式 20x 2 9xy -18y 2 -18x ，33y -14。 ••• 4X 6- 15=9,— 3X ( -7)+2 X 6=33,— 28+10=— 18,

2x

—3y

v 3

3x ，

、 y

_9xy 亠 2xy = -7xy

• 20x2 9xy「18y2_18x 33y「14 二(4x「3y 2)(5x 6y「7)。

评注：在使用双十字相乘法时，不必标出x,y，只需写出x,y的系数就

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可以了。即第1列是x 的系数的两个因数；第2列是y 的系数的两个因数；第3列是常数项 的两个因数。

例2、分解因式15x 2 -20xy —x 細-2。

2

T 3X ( — 2)+5 X 仁—6+5=— 1 ,二 15x -20xy -x 8y -2=(3x -4y 1)(5x -2)。

例 3、分解因式 9x 2 -16y 2 - 18x 40y _16。 •/ 3X ( — 2)+3 X 8=— 6+24=18,

2 2

9x -16y

18x 40y -16 =(3x 一 4y 8)(3x 4y - 2)。

例 4、分解因式 6x 2 - 5xy - 6y 2 - 2xz - 23yz - 20z 2。 ••• 2X 5+3X ( — 4)=10 — 12=— 2,

2 2 2

6x -5xy-6y - 2xz-23yz - 20z = (2x-3y - 4z)(3x 2y 5z)。

评注：注意本题中的第3列是- 20z 2的两个因式，不要丢掉z 例 5、分解因式 6x 2 -13xy 2y 2 - 16x • y - 6。 解法1:

2 2

• 6x -13xy 2y 16x y _6 = (x -2y 3)(6x _y 「2) 解法 2: 6x 2 -13xy 2y 2

16x y - 6 = 6x 2 -(13y -16)x (2y 2 y -6)

= 6x 2 -(13y -16)x (y 2)(2y 一3) =(x —2y 3)(6x — y -2)。

解法 3: 6x 2 -13xy 2y 2

16x y - 6

二(x -2y)(6x _y) (16x y)「6 = (x -2y m)(6x - y n) 1... -(2y -3) 6

"■■■■- -(y 2) =6x 2 -13xy 2y 2 (6m n)x -(m 2n)y mn

-12y 18 -y -2 =16 -13y

6m n =16

• m 2n = -1 解之，得 m = 3, n = -2

mn = -6

• 6x 2「13xy 2y 2 16x y _6 = (x 「2y 3)(6x _y 「2)。

评注：解法1是使用双十字相乘法分解因式；解法 2将原多项式化成关于x 的二次三项 式分解因式；解法3则使用了待定系数法。

练一练：用多种方法分解下式：2x 2 - xy - y 2 - 3y - 2。

6 -2 -3

1-2

4-3=1

答案：(x -y -1)(2x y 2)