高考中数学文化试题共16页
高中数学文化试题及答案
高中数学文化试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是函数y=2x^2的图像？A. 经过原点的抛物线B. 经过原点的直线C. 经过原点的双曲线D. 经过原点的椭圆答案：A2. 圆的一般方程是：A. (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2B. x^2 + y^2 = r^2C. x^2 + y^2 + r^2 = 0D. (x-a)^2 + (y-b)^2 = 0答案：A3. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B等于：A. {1,2}B. {2,3}C. {1,3}D. {3,4}答案：B4. 若f(x)=x^2-4x+3，则f(2)的值为：A. 1C. 3D. 5答案：A5. 等差数列{an}的前三项分别为1, 4, 7，则该数列的公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B6. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的导数为：A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B7. 已知向量a=(2,3)，b=(1,k)，若a⊥b，则k的值为：A. 2B. -2C. 3D. -3答案：B8. 函数y=sinx在区间[0,π]上的最大值为：B. 1C. πD. -1答案：B9. 圆的半径为5，圆心在原点，该圆的方程为：A. x^2 + y^2 = 25B. (x-5)^2 + y^2 = 25C. x^2 + y^2 - 5^2 = 0D. x^2 + y^2 + 5^2 = 0答案：A10. 函数f(x)=x^2-6x+8的顶点坐标为：A. (3, -1)B. (-3, 1)C. (3, 1)D. (-3, -1)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 等比数列{an}的首项为2，公比为3，其第五项为______。
答案：1622. 抛物线y^2=4x的焦点坐标为______。
答案：(1,0)3. 直线l的斜率为-1，且经过点(2,3)，则直线l的方程为______。
(2024年高考真题)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(文) 试卷 全国甲卷(含部分解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文） 试卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。
做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。
1.集合{1,2,3,4,5,9}A =，{1}B x x A =+∈∣，则A B =( ) A.{1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，4}2.设z =，则z z ⋅=( ) A.2B.2C.2D.23.若实数x ，y 满足约束条件（略），则5z x y =-的最小值为( ) A.5B.12C.2-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=( ) A.2-B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.236.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(0,4)(0,4)F F -、，且经过点(6,4)P -，则双曲线C 的离心率是( )A.135B.137C.2D.37.曲线6()3f x x x =+在 (0,1)-处的切线与坐标轴围成的面积为( )A.16B.2 C.12D.28.函数()2()e e sin x x f x x x -=-+-的大致图像为( ) 9.已知cos cos sin ααα=-an 4πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.3B.1-C.3-D.1310.直线过圆心，直径11.已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面：①若m α⊥，n α⊥，则//m n ；②若m αβ=，//m n ，则//n β；③若//m α，//n α，m 与n 可能异面，也可能相交，也可能平行；④若m αβ=，n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，以上命题是真命题的是( )A.①③B.②③C.①②③D.①③④12.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=( )A.13B.13C.2D.1313.略14.函数()sin f x x x =，在[0,π]上的最大值是_______. 15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =_______. 16.曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为_______.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{} n S 的通项公式. 18.题干略.19.如图，己知//AB CD ，//CD EF ，2AB DE EF CF ====，4CD =，10AD BC ==，23AE =，M 为CD 的中点.（1）证明：//EM 平面BCF ； （2）求点M 到AD E 的距离. 20.已知函数()(1)ln 1f x a x x =--+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点3(1,)2M 在椭圆C 上，且MF x ⊥轴.（1）求椭圆C 的方程；（2）(4,0)P ，过P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若||2AB =，求a 的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 实数a ，b 满足3a b +≥. （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥.2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文）答案1.答案：A解析：因为{}1,2,3,4,5,9A =，{1}{0,1,2,3,4,8}B x x A =+∈=∣，所以{1,2,}3,4A B =，故选A. 2.答案：D解析：因为z =，所以2z z ⋅=，故选D. 3.答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：(0,1)-、3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1 3,2⎛⎫⎪⎝⎭，经检验都符合约束条件.代入目标函数可得：min 72z =-，故选D.4.答案：D解析：令0d =，则9371291,,99n n S a a a a ===+=，故选D.5.答案：B解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，81243P ==，故选B. 6.答案：C解析：12212F F ce a PF PF ===-，故选C.7. 答案：A解析：因为563y x '=+，所以3k =，31y x =-，1111236S =⨯⨯=，故选A.8.答案：B解析：选B.9. 答案：B解析：因为cos cos sin ααα=-tan 1α=，tan 1tan 141tan πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，故选B.10.答案：直径解析：直线过圆心，直径. 11. 答案：A解析：选A. 12.答案：C 解析：因为π3B =，294b ac =，所以241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得：22294b ac ac ac =+-=，即：22134a c ac +=，221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，sin sin 2A C +=，故选C.13. 答案：略解析： 14.答案：2解析：π()sin 2sin 23f x x x x ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当5π6x =时取等号.15. 答案：64解析：因为28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，所以()()22log 1log 60a a +-=，而1a >，故2log 6a =，64a =.16. 答案：(2,1)-解析：令323(1)x x x a -=--+，则323(1)a x x x =-+-，设32()3(1)x x x x ϕ=-+-，()(35)(1)x x x ϕ+'=-，()x ϕ在(1,)+∞上递增，在（0，1）上递减.因为曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，(0)1ϕ=，(1)2ϕ=-，所以a 的取值范围为(2,1)-. 17.答案：见解析解析：（1）因为1233n n S a +=-，所以12233n n S a ++=-，两式相减可得：121233n n n a a a +++=-，即：2135n n a a ++=，所以等比数列{}n a 的公比53q =，又因为12123353S a a =-=-，所以11a =，153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）因为1233n n S a +=-，所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.18.答案：见解析解析：（1）22150(70242630) 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯，没有99%的把握；（2）p p >+. 19.答案：见解析解析：（1）由题意：//EF CM ，EF CM =，而CF 平面ADO ，EM 平面ADO ，所以//EM 平面BCF ；（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则OA DM ⊥，OE DM ⊥，3OA =，OE =而AE =，故OA OE ⊥，AOE S =△因为2DE =，AD =AD DE ⊥，AOE S △DM 设点M 到平面ADE 的距离为h ，所以1133M ADE ADE AOE V S h S DM -=⋅=⋅△△，h ==，故点M到ADE 的距离为5. 20.答案：见解析解析：（1）()(1)ln 1f x a x x =--+，1()ax f x x-=，0x >. 若0a ≤，()0f x <，()f x 的减区间为(0,)+∞，无增区间； 若0a >时，当10x a <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为2a ≤，所以当1x >时，111e ()e (1)ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令1()e 2ln 1x g x x x -=-++，则11()e 2x g x x -'=-+.令()()h x g x '=.则121()e x h x x-'=-在(1,)+∞上递增，()(1)0h x h ''>=，所以()()h x g x '=在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ''>=，故()g x 在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g >=，即：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.答案：见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为1F ，则12F F =，3||2MF =.因为MF x ⊥轴，所以152MF =，12||4a MF MF =+=，解得：24a =，2213b a =-=，故椭圆C 的方程为：22143x y +=； （2）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ，AP PB λ=，则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得：1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-，结合上式可得：25230x λλ-+=.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--，故AQ y ⊥轴.解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244y y x x =--，即：()1221214x y x y y y -=-，所以()()()2222222211*********21213444433y x y x y x y x y x y x y y y ⎛⎫-+=-=+-+ ⎪⎝⎭()()()()212121122144y y y y y y x y x y =-+=-+，即：122121x y x y y y +=+，2112253x y y y =-.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则21212112335252Q y y y y y x y y x ===--，故AQ y ⊥轴.22.答案：（1）221y x =+ （2）34解析：（1）因为cos 1ρρθ=+，所以22(cos 1)ρρθ=+，故C 的直角坐标方程为：222(1)x y x +=+，即221y x =+；（2）将x ty t a =⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得：222(1)10t a t a +-+-=，12||2AB t =-==，解得：34a =. 23.答案：见解析解析：（1）因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+. （3）222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+=22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b +-+≥+-+=++-≥.高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。
历年高考真题(数学文化).doc
历年高考真题（数学文化）1. （2009 湖北· 理）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数，如他们研究过图 1 中的 1， 3， 6， 10，，由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1， 4，9，16这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）2. （ 2011 湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为A．1升B ．67升C ．47升D ．37升66 44 333. （ 2011 湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共4 升，则第 5 节的容积为升.4.（ 2012? 湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径 d 的一个近似公式 d 3 16 = .. 判断，V .人们还用过一些类似的近似公式．根据π9下列近似公式中最精确的一个是（）A. d 3 16d 3 2V C. d 3300d 321 V B. V D. V 9 157 115. （ 2013? 湖北）在平面直角坐标系中，若点P（x， y）的坐标 x，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L．例如图中△ ABC是格点三角形，对应的S=1， N=0， L=4．（Ⅰ）图中格点四边形 DEFG对应的 S，N， L 分别是 ________；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c 其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18，则 S=________（用数值作答）．6.（ 2014? 湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V1 L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式236V L2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）75A. 22B. 25C. 157D. 3557 8 50 1137.(2015湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为PA． 134 石B． 169 石C． 338石D． 1365 石F E8. （ 2015 湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一D CA B第19题图条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马 P ABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD ，且 PD CD ，过棱 PC 的中点 E ，作 EFPB 交 PB 于点 F ，连接 DE, DF, BD, BE.（Ⅰ）证明： PB平面 DEF ．试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为π，3求 DC的值． BC9. （ 2004 上海春季卷）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为2 : 3.10. （ 2013 上海）在 xOy 平面上，将两个半圆弧 ( x － 1) 2＋ y 2＝ 1( x ≥ 1) 和( x － 3) 2＋ y 2＝1( x ≥ 3) 、两条直线 y ＝ 1 和 y ＝－ 1 围成的封闭图形记为，如图中阴影部分．记 D 绕 y 轴旋转一D周而成的几何体为 Ω. 过 (0 ， y )(| y | ≤ 1) 作 Ω的水平截面，所得截面面积为 4 1 y 2 ＋ 8π. 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为 ______．11. （ 2009 福建） . 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100 个数时，甲同学拍手的总次数为________.12. （ 2003 全国卷·理）如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）13. （ 2015 全国Ⅰ卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何“其意思为：在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少已知 1 斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）A．14 斛B． 22 斛C．36 斛D．66 斛14.（2015 全国Ⅱ卷）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a,b 分别为14，18，则输出的 a =（）A． 0B．2C． 4D．1415.（2016 全国Ⅱ卷）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图. 执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的 a 为 2， 2， 5，则输出的s=（A）7（B）12（C）17（D）34。
专题03 数列与数学文化-高考中的数学文化试题 (解析版)
专题03 数列与数学文化纵观近几年高考，数列以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新。
同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开。
本专题通过对典型高考问题的剖析、数学文化的介绍、及精选模拟题的求解，让考生提升审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文理解，发展数学核心素养。
【例1】 (2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这 个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ） A 32B 322C ．1252D ．1272【答案】D【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为{}n a ，则第八个单音频率为128171282)2a f -=⋅=，故选D ．【试题赏析】本题以《律学新说》中的“十二平均律”为背景，考查等比数列的应用，既考查了等比数列的相关知识，又展示了我国古代在音乐、数学、天文等方面的成就．【例2】（2017新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍 加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一 层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B【解析】设塔顶共有灯1a 盏，根据题意各层等数构成以1a 为首项，2为公比的等比数列，∴77171(12)(21)38112a S a -==-=-，解得13a =．选B ． 【试题赏析】《算法统宗》是由明代数学家程大位写的数学巨著，它是一部应用数学书， 反映了中华文明源远流长，中国古代为世界数学做出了杰出的贡献。
高考中的数学文化(解析版)
高考中的数学文化一、单选题1．1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V 、E 和F 表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：2V E F -+=.已知正十二面体有20个顶点，则正十二面体有（）条棱A ．30B ．14C ．20D ．26【答案】A 【分析】由已知条件得出20V =，12F =，代入欧拉公式2V E F -+=可求得E 的值，即为所求.【详解】由已知条件得出20V =，12F =，由欧拉公式2V E F -+=可得22012230E V F =+-=+-=.故选：A.2．龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足u ，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数和阴数中分别随机抽出2个和1个，则被抽到的3个数的数字之和超过16的概率为（）A ．1340B ．720C ．14D ．310【答案】A 【分析】由题可求出所有情况共40种，再求出满足条件的情况即可求出概率.【详解】依题意，阳数为1、3、5、7、9，阴数为2、4、6、8，故所有的情况有215440C C =种，其中满足条件的为()7,8,9，()7,6,9，()7,4,9，()7,2,9，()5,8,9，()5,6,9，()5,4,9，()3,8,9，()3,6,9，()1,8,9，()7,8,5，()7,6,5,，()7,8,3，共13种，故所求概率1340P =.故选：A ．3．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（）A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项【答案】D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数.【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤，所以该数列的项数共有135项.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱与底面外接圆半径的比为（）A ．12cos αB ．12sin αC ．sin 3πsin8αD ．cos 3πcos8α【答案】A 【分析】根据正六棱锥的底面为正六边形计算可得结果.【详解】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为R ，则底面正边形的边长为R ，因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，所以侧棱长为2cos 2cos RR αα=，所以侧棱与底面外接圆半径的比为12cos 2cos RR αα=.故选：A 【点睛】关键点点睛：掌握正六棱锥的结构特征是解题关键.5．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（）A ．12尺布B ．518尺布C ．1631尺布D ．1629尺布【答案】D 【分析】设该女子第()Nn n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值.【详解】设该女子第()Nn n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D.6．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（）A ．3斤B ．6斤C ．9斤D ．12斤【答案】C 【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++.【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=，中间三尺为234339a a a a ++==.故选：C 【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型.7．古希腊时期，人们把宽与长之比为512-的矩形称为黄金矩形，把这个比值512称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均近似为黄金矩形.若A 与D 间的距离大于18.7m ，C 与F 间的距离小于12m ．则该古建筑中A 与B 间的距离可能是（）（参考数据：510.6182-≈，70.6180.38≈，30.6180.236≈）A ．29mB ．29.8mC ．30.8mD ．32.8m【答案】C 【分析】由矩形ABCD 和EBCF 是黄金矩形，由边长的比求出AB 范围即可得．【详解】由黄金矩形的定义可知0.618AD AB ≈，20.6180.38BC CF CFAB BC AB⋅=≈≈，所以18.730.260.6180.618AD AB m ≈>≈，1231.580.380.38CF AB m ≈<≈，即()30.26,31.58AB ∈，对照各选项，只有C 符合．故选：C ．【点睛】本题考查数学文化，考查学生的阅读理解能力，转化与化归能力，创新意识．属于基础题．8．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36o 的等腰三角形（另一种是顶角为108 的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin126= （）A ．1254-B．38+C ．154+D ．458+【答案】C 【分析】计算出51cos 724-= ，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出sin126cos36= 的值，即可得出合适的选项.【详解】因为ABC 是顶角为36o 的等腰三角形，所以，72ACB ∠= ，则1512cos 72cos 4BCACB AC-=∠==，()sin126sin 9036cos36=+= ，而2cos722cos 361=-，所以，51cos364+====.故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周四尺.高三尺.何积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为4尺.米堆的高为3尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）A ．7斛B ．3斛C ．9斛D ．12斛【答案】B 【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，则42r π=，解得8r π=，故米堆的体积为2118163433ππ⎛⎫⨯⨯⨯⨯≈ ⎪⎝⎭，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴161.6233÷≈，故选：B ．【点睛】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．10．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A ．2B ．242+C ．42+D ．442+【答案】D 【分析】利用三视图还原原几何体，结合三视图中的数据可计算出该“堑堵”的侧面积.【详解】由三视图还原原几何体如下图所示：2的等腰直角三角形，且直三棱柱的高为2，因此，该“堑堵”的侧面积为()22224+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的侧面积，一般要求还原原几何体，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.11．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法.如图是查找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元2041年，即输入2041N =，执行该程序框图，运行相应的程序，输出58x =，从干支表中查出对应的干支为辛酉.我国古代杰出数学家秦九韶出生于公元1208年，则该年所对应的干支为（）六十干支表（部分）56789戊辰己巳庚午辛未壬申5657585960己未庚申辛酉壬戌癸亥A ．戊辰B ．辛未C ．已巳D ．庚申【答案】A 【分析】输出1208N =，计算输出结果，查表可得结果.【详解】输入1208N =，1i =，第一次循环，120836011145x =--⨯=，2i =，60x ≤不成立；第二次循环，120836021085x =--⨯=，3i =，60x ≤不成立；第三次循环，120836031025x =--⨯=，4i =，60x ≤不成立；由上可知，每执行一次循环后，x 的值对应地在上一次循环后x 的值中减去60，则输出的x 的值为1205除60后的余数，120620605=⨯+ ，则输出的x 的值为5，因此，公元1208年对应的干支为戊辰.故选：A.【点睛】本题考查数学文化中的“干支纪年法”，考查程序框图的应用，考查计算能力，属于中等题.12．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形ABCDEFGH ）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如下平面直角坐标系，设1OA =.则下述四个结论：①以直线OH 为终边的角的集合可以表示为32,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；②以点O 为圆心、OA 为半径的圆的弦AB 所对的弧长为4π；③22OA OD ⋅= ；④(BF = 中，正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据终边相同的角的定义可判断命题①的正误；利用扇形的弧长公式可判断命题②的正误；利用平面向量数量积的定义可判断命题③的正误；利用平面向量的坐标运算可判断命题④的正误.【详解】对于命题①，以直线OH 为终边的角的集合可以表示为3,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，命题①错误；对于命题②，4AOB π∠=，以点O 为圆心、OA 为半径的圆的弦AB 所对的弧长为4π，命题②正确；对于命题③，由平面向量数量积的定义可得3cos 42OA OD OA OD π⋅=⋅=- ，命题③错误；对于命题④，易知点22,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,22F ⎛-- ⎝⎭，所以，(BF = ，命题④正确.故选：B.【点睛】本题以数学文化为背景，考查了终边相同的角的集合、扇形的弧长、平面向量数量积的定义以及平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.二、填空题13．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的.若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为______米.【答案】29714【分析】作出图形，设球体的半径为R ，根据几何关系可得出关于R 的等式，进而可解得R 的值.【详解】如下图所示：在正四棱锥P ABCD -中，设M 为底面正方形ABCD 的对角线的交点，则PM ⊥底面ABCD ，由题意可得21PM =，30AB =，2302BD ==，则152BM =设该球的半径为R ，设球心为O ，则O PM ∈，由勾股定理可得222OB OM BM =+，即()(22221152R R =-+，解得29714R =.故答案为：29714.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.14．明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为______.【答案】1532【分析】设大圆面积为1S ，小圆面积2S ，求得116S π=，2S π=，进而求得黑色区域的面积，结合面积比，即可求解.【详解】设大圆面积为1S ，小圆面积2S ，则21416S ππ=⨯=，221S ππ=⨯=，可得黑色区域的面积为()1211522S S π⨯-=，所以落在黑色区域的概率为()121115232S S P S -==.故答案为：1532.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A P N =求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为______立方寸.（注：一丈=10尺=100寸，53.14,sin 22.513π≈≈ ，答案四舍五入，只取整数．．．．．．．．．．．）【答案】317【分析】根据弓形的锯口深1寸，锯道长1尺，求出圆的半径，从而求出弓形（阴影部分）面积后，由柱体体积公式得木材体积【详解】如图，设圆半径为r 寸（下面长度单位都是寸），连接,OA OD ，已知152AD AB ==，1OD OC CD r =-=-，在Rt ADO 中，222AD OD OA +=，即2225(1)r r +-=，解得13r =，由5sin 13AD AOD AO ∠==得22.5AOD ∠=︒，所以45AOB ∠=︒，图中阴影部分面积为S S =扇形214131012 6.332522AOB S πππ-=⨯⨯-⨯⨯≈△（平方寸），镶嵌在墙体中木材是以阴影部分为底面，以锯刀长为高的柱体，所以其体积为 6.332550317V Sh =≈⨯≈（立方寸）故答案为：317．【点睛】本题考查柱体的体积，关键是求底面面积，方法是由扇形面积减去相应三角形面积得弓形面积，属基础题．16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为______1-【分析】从图形中作一个最大的水平截面，它是一个正八边形，八个顶点都在边长为铁正方形边上，由此可计算出棱长．【详解】作出该图形的一个最大的水平截面正八边形ABCDEFGH ，如图，其八个顶点都在边长为1的正方形上，设“半正多面体”棱长为a ，则2212a a ⨯+=，解得1a =-，1-．【点睛】本题考查学生的空间想象能力，抽象概括能力，解题关键是从“半正多面体”中作出一个截面为正八边形且正八边形的八个顶点都在边长为1的正方形上，由此易得棱长．。
专题05 立体几何与数学文化-高考中的数学文化试题 (解析版)
专题05 立体几何与数学文化纵观近几年高考，立体几何以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新。
同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开。
本专题通过对典型高考问题的剖析、数学文化的介绍、及精选模拟题的求解，让考生提升审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文理解，发展数学核心素养。
【例1】（2019课标2）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．【答案】26，21．【解析】中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有81+，个面，下层也有81+个面，故共有26个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的2cos452=倍．该半正多面体共有888226+++=个面，设其棱长为x，则221x x=，解得21x．【试题赏析】本题以金石文化为背景，考查了球内接多面体，体现了对直观想象和数学运算素养的考查。
【例2】（2018课标Ⅲ）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A ．【试题赏析】本题以中国古建筑借助榫卯将木构件为背景，考查了简单几何体的三视图的画法。
【例2】 (2019浙江高考) 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V sh 柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A ．158B ．162C ．182D ．324【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解， 即()()114632632722ABCDE S =+⨯++⨯=五边形，高为6，则该柱体的体积是276162V =⨯=．故选：B ． 【试题赏析】本题以祖暅原理为背景，考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体。
高考数学卷里的亮点———“数学文化”题
哈尔滨师范大学附属中学刘冰2017年，高考考试大纲修订内容中增加了对数学文化的要求，但是高考数学试题中早就出现过以数学文化为背景的新颖命题，经过持续发展，在2018年高考中呈现出了求新、求变的效果.把历史和文化内容引入高考数学，为高考数学题打上了文化的烙印.教师应在平时的教学中弘扬中国传统文化，吸收世界文化的精华，引导学生胸怀祖国，放眼世界.例1（2018年全国新课标I，理10）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，A C.△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自I，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3解析：设AB=a，A C=b，BC=a2+b2，√设整个图形的面积为S则p1=ab2S，p2=1S｛π（a2）22+π（b2）22-［π（a2+b2√2）22-1 2ab］｝=ab2S=p1故选A.【数学文化】古希腊数学家希波克拉底发现的一条平面几何里应用广泛的优美定理———月牙定理，指以直角三角形两条直角边为直径向外做两个半圆，以斜边为直径向内做半圆，则三个半圆所围成的两个月牙型面积之和等于该直角三角形的面积.本题依据这一定理考查几何概型问题.例2（2017年全国卷II，理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏解析：设顶层灯数为a1，q=2，s7=a1（1-27）1-2=381，解得a1=3.故选B.【数学文化】《算法统宗》，又名《直指算法统宗》《新编直指算法统宗》，明代数学家程大位撰，共17卷.1592年编成《算法统宗》共列算题595道，以珠算为主要的计算工具，卷一介绍数学常识，卷二介绍珠算，卷三以后分别为方田、粟布、衰分、少广、分田截积、商功、均输、盈亏、方程、勾等，第十七卷附以难题杂法，又列有14个纵横图.本题以数学史中《算法统宗》的一个问题为包装，考查数列问题.例3（2016年全国新课标II，理8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，实现该算法的程序框图见下页.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=.（A）7（B）12（C）17（D）34解析：第一次运算：s=0×2+2=2，第二次运算：s=2×2+2=6，第三次运算：s=6×2+5=17，故选C.【数学文化】秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.在著作《数书九章》中提出了这一先进的多项式简化算法.一般一元n次多项式的求值需要经过n（n+1）2次乘. All Rights Reserved.a ，ba ≠ba ＞ba =a -bb =b-aa法和n 次加法，而秦九韶算法只需要n 次乘法和n 次加法.在人工计算时，大大简化了运算过程.本题以数学史中《秦九韶算法》的问题为背景，考查程序框图问题.例4（2015年全国卷II，理8）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a =.（A ）0（B ）2（C ）4（D ）14解析：逐次运行程序，直至程序结束得出a .a=14，b =18.第一次循环：14≠18且14＜18，b =18-14=4；第二次循环：14≠4且14＞4，a=14-4=10；第三次循环：10≠4且10＞4，a=10-4=6；第四次循环：6≠4且6＞4，a=6-4=2；第五次循环：2≠4且2＜4，b =4-2=2；第六次循环：a=b =2，跳出循环，输出a=2，故选B.【数学文化】更相减损术出自《九章算术》中的求最大公约数的算法，原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合.本题将更相减损术与程序框图相结合，加大了该问题的考查难度.考生若能看出此程序框图的功能，便很容易解决.例5（2015年湖北卷，理2）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓有人送来米1534石，验得米内夹谷，254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（A ）134石（B）169石（C）338石解析：254粒和1534致相同的，设1534解得x =169，故这批米内夹谷约为169石.【数学文化】中的“米谷粒分”问题，体.本题以《数书九章》为载体，例6（2018年全国新课标II，理8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A.112B.114C.115D.118解析：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有n =C 210=45种不同的情况，其中和等于30的有7+23=30，11+19=30，13+17=30，共m =3种不同的情况，则所求的概率p =m n =345=115，故选C.【数学文化】在1742年给欧拉的信中，哥德巴赫提出了如下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个素数之和.但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明.1966年，陈景润证明了“1+2”成立，即“任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和”.本题依据这一定理，考查古典概型问题.“数学文化”题是经典与创新的完美结合，也是近几年全国及各省份高考数学题中的一大亮点.我们在教学中应引导学生多多了解中国数学史及世界数学史，以便学生在高考中更好地发挥.编辑/王一鸣E-mail：***************考试KAOSHI. All Rights Reserved.。
专题04 算法、推理与数学文化-高考中的数学文化试题 (解析版)
专题04 算法、推理与数学文化纵观近几年高考，算法、推理部分以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新。
同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开。
本专题通过对典型高考问题的剖析、数学文化的介绍、及精选模拟题的求解，让考生提升审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文理解，发展数学核心素养。
【例1】（2016•新课标Ⅱ）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝（）A．7 B．12 C．17 D．34【答案】C【解析】∵输入的x＝2，n＝2，当输入的a为2时，S＝2，k＝1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S＝6，k＝2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S＝17，k＝3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故选：C．【试题赏析】本题以秦九韶算法为文化背景，考查程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．【例2】(2015·全国卷Ⅱ) 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝（）A．0 B．2 C．4 D．14【答案】B【解析】(方法一)逐次运行程序，直至程序结束得出a值．输入a＝14，b＝18.第一次循环，14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循环，14≠4且14>4，a＝14－4＝10；第三次循环，10≠4且10>4，a＝10－4＝6；第四次循环，6≠4且6>4，a＝6－4＝2；第五次循环，2≠4且2<4，b＝4－2＝2；第六次循环，a＝b＝2，跳出循环，输出的a＝2，故选B.(方法二)此程序的功能是求18,14的最大公约数，因为18,14的最大公约数为2，所以输出的a＝2，选B. 【试题赏析】此题源于《九章算术·方田》，后人称之为“更相减损术”．“更相减损术”实质上是用来求两数的最大公约数，国外的欧几里得算法也可以解决这个问题．此题以“更相减损术”为载体，考查程序框图的应用，这样的设计，不仅可以让学生了解数学文化，形成理性思维，同时也能使学生感受我国古代数学的成就，增强民族自豪感.【例3】（2019课标Ⅱ文）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙【答案】A【解析】由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲＞乙．乙：丙＞乙且丙＞甲．丙：丙＞乙．∵只有一个人预测正确，∴分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确．如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙＞乙，乙＞甲，∵乙预测不正确，而丙＞乙正确，∴只有丙＞甲不正确，∴甲＞丙，这与丙＞乙，乙＞甲矛盾．不符合题意．∴只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，甲＞乙，乙＞丙．故选：A．【试题赏析】本题以“一带一路”为文化背景，考查合情推理，因为只有一个人预测正确，所以本题关键是要找到互相关联的两个预测入手就可找出矛盾．从而得出正确结果．【例4】（2014•陕西）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数（V）棱数（E）三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是．【解析】凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，①正方体：F＝6，V＝8，E＝12，得F+V﹣E＝8+6﹣12＝2；②三棱柱：F＝5，V＝6，E＝9，得F+V﹣E＝5+6﹣9＝2；③三棱锥：F＝4，V＝4，E＝6，得F+V﹣E＝4+4﹣6＝2．根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+V﹣E＝2再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立．因此归纳出一般结论：F+V﹣E＝2，故答案为：F+V﹣E＝2【试题赏析】本题以欧拉公式为文化背景，考试通过观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识．1．《孙子算经》《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．成书大约在四、五世纪，也就是大约一千五百年前．全书共分三卷：上卷详细地讨论了度量衡的单位和筹算的制度和方法．中卷主要是关于分数的应用题，包括面积、体积、等比数列等计算题．下卷对后世的影响最为深远，如下卷第31题即著名的“鸡兔同笼”问题，后传至日本，被改为“鹤龟算”．2．《数书九章》《数书九章》成书于1247年，是南宋数学家秦九韶唯一的数学著作，在长期艰苦的环境中写成的．全书共十八卷，分“大衍”“天时”“田域”“测望”“赋役”“钱谷”“营建”“军旅”“市物”等九类，每类九个问题，共81题．《数书九章》是一部划时代的巨著，内容丰富，精湛绝伦．秦九韶在《数书九章》中所发明的“大衍求—术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方数学家高斯建立的同余理论早500多年，被西方称为“中国剩余定理”．此外，秦九韶还创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，也是中世纪世界数学的最高成就，秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳的同样解法早500多年．1. (2019洛阳模拟) 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为4,3，则输出v的值为（）A．20 B．61 C．183 D．548【答案】C【解析】由程序框图知，初始值：n＝4，x＝3，v＝1，i＝3，第一次循环：v＝6，i＝2；第二次循环：v＝20，i＝1；第三次循环：v＝61，i＝0；第四次循环：v＝183，i＝1.结束循环，输出当前v的值183.2.(2019青岛联考)如图所示的程序框图的算法数学思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数)，若输入的m，n分别为495,135，则输出的m＝（）A．0 B．5 C．45 D．90【答案】C【解析】该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的结果是45.3．（2019四川模拟）我国古代数学名著《孙子算经》有鸡兔同笼问题，根据问题的条件绘制如图的程序框图，则输出的x，y分别是（）A．12，23 B．23，12 C．13，22 D．22，13【答案】B【解析】由程序框图，得：x＝1，y＝34，S＝138；x＝3，y＝32，S＝134；x＝5，y＝30，S＝130；x＝7，y＝28，S＝126；……，x＝23，y＝12，S＝94．输出x＝23，y＝12．故选：B．4.（2019黄石二模）公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π.他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，……的面积，这些数值逐步地逼近圆的面积，刘徽一直计算到正3072边形，得到了圆周率π的近似值3.1416.刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无限．这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图．若运行该程序(参考数据：3≈1.732，sin 15°≈0.2588，sin 7.5°≈0.1305)，则输出的n 的值为（ ）A ．48B ．36C ．30D ．24【答案】D【解析】输入n 的值为6；第一次循环，S ＝3sin 60°＝332<3.10，n ＝12； 第二次循环，S ＝6sin 30°＝3<3.10，n ＝24；第三次循环，S ＝12sin 15°≈3.1056>3.10，退出循环，则输出的n 的值为24.5．（2019汉中联考）1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出i 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】A【解析】3a =，1a =不满足，a 是奇数满足，10a =，2i =，10a =，1a =不满足，a 是奇数不满足，5a =，3i =，5a =，1a =不满足，a 是奇数满足，16a =，4i =，16a =，1a =不满足，a 是奇数不满足，8a =，5i =，8a =，1a =不满足，a 是奇数不满足，4a =，6i =，4a =，1a =不满足，a . 是奇数不满足，2a =，7i =，2a =，1a =不满足，a 是奇数不满足，1a =，8i =，1a =，1a =满足，输出8i =，故选A ．6. (2019深圳模拟)中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而等长．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一样高？如图是源于其思路的一个程序框图，若输入的x ＝5，y ＝2，输出的n 为4，则程序框图中判断框中应填入( )A ．y ≤x?B ．x ≤y?C ．y <x?D ．x ＝y?【答案】B【解析】根据程序框图，输入x ＝5，y ＝2，n ＝1.第一次循环，x ＝5＋52＝152，y ＝4，此时y <x ；第二次循环，n ＝2，x ＝152＋154＝454，y ＝8，此时y <x ； 第三次循环，n ＝3，x ＝454＋458＝1358，y ＝16，此时y <x ；第四次循环，n ＝4，x ＝1358＋13516＝40516，y ＝32，此时y ≥x ，输出n 的值4.由此可知，应填的条件是x ≤y ？.7. (2019包头模拟)我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文化，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0.这蕴含了进位制的思想．如图所示的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”．执行该程序框图，若输入a＝110011，k＝2，n＝6，则输出b的值为（）A．19 B．31 C．51 D．63【答案】C【解析】(方法一)输入a＝110011，k＝2，n＝6，输入b＝0，i＝1.第一次循环，输入t＝1，b＝0＋1×20＝1，i＝2,2>6不成立；第二次循环，输入t＝1，b＝1＋1×21＝3，i＝3,3>6不成立；第三次循环，输入t＝0，b＝3＋0×22＝3，i＝4,4>6不成立；第四次循环，输入t＝0，b＝3＋0×23＝3，i＝5,5>6不成立；第五次循环，输入t＝1，b＝3＋1×24＝19，i＝6,6>6不成立；第六次循环，输入t＝1，b＝19＋1×25＝51，i＝7,7>6成立，退出循环，输出b的值为51.(方法二)将二进制数化为十进制数，a＝110011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝51.故b的值为51.8．（2019长沙模拟）如图，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片.若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面.设移完片金片总共需要的次数为，可推得.求移动次数的程序框图模型如图所示，则输出的结果是（）A．1022 B．1023 C．1024 D．1025【答案】B【解析】记个金属片从号针移动到号针最少需要次；则据算法思想有：；第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，，…，第九次循环，，输出，故选B.9．（2019•九江三模）2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为n（x）的结论（素数即质数，lge≈0.43429）．根据欧拉得出的结论，如下流程图中若输入n的值为100，则输出k的值应属于区间（）A．（15，20] B．（20，25] C．（25，30] D．（30，35]【答案】B【解析】该流程图是统计100以内素数的个数，由题可知小于数字x的素数个数大约可以表示为n（x）≈；则100以内的素数个数为：n（100）≈＝＝＝50lge≈22．故选：B．10．（2019银川二模）原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天？（）A．1 326 B．510 C．429 D．336【答案】B【解析】由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510. 11．（2019•天河区校级三模）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如右图所示的0﹣1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第2n﹣1行；则第61行中1的个数是（）A．31 B．32 C．33 D．34【答案】B【解析】由已知图中的数据第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…∵全行都为1的是第2n﹣1行；∵n＝6时，26﹣1＝63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，第61行共有32个1．故y＝32，故选：B．12．（2019•成都模拟）“幻方’’最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”是由前，n2个正整数组成的﹣个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如表所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）8 1 63 5 74 9 2A．75 B．65 C．55 D．45【答案】B【解析】由1，2，3，4…24，25的和为＝325，又由“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”的定义可得：“5阶幻方”的幻和为＝65，故选：B．13．（2019•龙泉驿区模拟）如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有255个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到255个正方形，则有1+2+…+2n﹣1＝255，∴n＝8，∴最小正方形的边长为×（）7＝．故选：A．14．（2019•拉萨三模）英国统计学家E．H．辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论．有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉．记录这些被上述案件的终审结果如表所示（单位：件）：记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为x1，x2和x，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为y1，y2和y，则下面说法正确的是（）A．x1＜y1，x2＜y2，x＞y B．x1＜y1，x2＜y2，x＜yC．x1 ＞y1，x2 ＞y2，x＞y D．x1 ＞y1，x2＞y2，x＜y【答案】D【解析】由图表可知：x1＝＝0，90625，y1＝＝0，9，即x1＞y1，x2＝≈0.85，y2＝＝0.8，即x2＞y2，x＝＝0.86，y＝＝0.88，即x＜y，即x1＞y1，x2＞y2，x＜y，故选：D．15．（2019株洲二模）高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便。
高三数学高考试卷文科
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 函数$f(x) = \frac{1}{x-2} + \frac{2}{x+1}$的图像与x轴的交点个数是：A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个2. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5 = 20$，$S_9 = 72$，则$a_7$的值为：A. 6B. 8C. 10D. 123. 下列命题中正确的是：A. 函数$y = x^2 + 2x + 1$的图像是开口向上的抛物线B. 向量$\vec{a} = (1, 2)$与向量$\vec{b} = (2, 1)$垂直C. 等比数列$\{a_n\}$的公比$q$满足$|q| < 1$时，数列$\{a_n\}$是递减数列D. 直线$3x - 4y + 5 = 0$与圆$x^2 + y^2 = 9$相切4. 已知复数$z = 1 + i$，则$|z^2|$的值为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 在$\triangle ABC$中，$a = 5$，$b = 7$，$c = 8$，则$\sin B$的值为：A. $\frac{7}{24}$B. $\frac{8}{24}$C. $\frac{9}{24}$D.$\frac{10}{24}$6. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的图像开口向上，且$f(1) = 2$，$f(2) = 5$，则$a + b + c$的值为：A. 3B. 4C. 5D. 67. 在直角坐标系中，点P的坐标为$(2, -3)$，点Q在直线$x - 2y + 1 = 0$上，且$\angle PQO = 90^\circ$，则点Q的坐标为：A. $(1, -1)$B. $(1, 1)$C. $(3, -1)$D. $(3, 1)$8. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 3^n - 2^n$，则数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$为：A. $3^n - 1$B. $3^n - 2^n$C. $3^n - 3 \cdot 2^n$D. $2^n -1$9. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 2$，公差$d = 3$，则$a_{10}$与$a_{15}$的差是：A. 21B. 24C. 27D. 3010. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$，则$f'(x)$的值为：A. $3x^2 - 6x + 4$B. $3x^2 - 6x + 3$C. $3x^2 - 6x$D. $3x^2 - 3x$二、填空题（每小题5分，共50分）1. 函数$y = \frac{1}{x}$的反函数是__________。
高考数学文化题集锦含答案.docx
历年高考数学文化题集锦一. 数学名著中的立几题，例如：2015年全国1卷文6理6题6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书屮有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问''积及为米几何？”其意思为广在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）（A） 14斛（B） 22 斛（C） 36斛（D） 66 斛答案：B2012年湖北理科数学第10题10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积〃，求其直径〃的一个近似公式d 珂尹.人们还用过一些类似的近似公式.根据71=3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是A. B. d =何 C・d = J型7—vV 9 V157考点分析：考察球的体积公式以及估算.解析：由卩二彳龙上几削二:胚‘设选项中常数为纟，则好④；力中代入得好空=3.375,3 2 V 7C b a163中代入得K空=3, C中代入得好空卫=3.14,科代入得好空丄3.142857,2 300 21曲于I）中值最接近加勺真实值，故选择D。
二、数学名著中的数列题，例如：2011年湖北卷文9理13题;13.《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为【解析】设该数列的杵项为公筮为依题总应该疇（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术"。
执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18,则输出的玄= ___________【答幻B晦】師atWTil®中，a, 6的值依次为a = 14. 6 = 18； 6 = 4； a = 10； a = 6； a=2 b = 2・d匕时a = b = 2程牌抹,输岀a的值为2・故选B・数学名著中的统计题，例如：2015年湖北卷文2理2题2. （5分）（2015-湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（A. 134 石)B. 169 石C. 338 石D. 1365 石升。
以数学文化背景的高考数学命题
数学文化背景的高考试题背景一：杨辉三角杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了。
1.如图，一个类似杨辉三角的数阵，则（1）第9行的第2个数是66；（2）若第n（n≥2）行的第2个数为291，则n=18．2.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页．而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如图所示，从莱布尼茨三角形可以看出：排在第10行从左边数第3个位置上的数值是（）A．B．C．D．3.[2006湖北L-15]将杨辉三角（如图（1））中的每一个数都换成分数，就得到一个如图（2）所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．从莱布尼茨三角形可以看出：，其中x=r+1．背景二：古希腊多边形数教材背景：必修⑤数列引入1.[2009湖北L-W-10]古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。
比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。
下列数中既是三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.13782.[2012湖北W-17]传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。
他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：（Ⅰ）b 2012是数列{an}中的第______项；（Ⅱ）b 2k-1=______。
（用k 表示）3.[2013湖北L-14]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。
如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+。
记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n =五边形数 ()231,522N n n n =-六边形数 ()2,62N n n n =- ……可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = 。
高考中数学文化试题《精选》.ppt
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12
• 正方形边长为2
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13
五：算法中的数学文化题
• 例：公元263年左右，我国数学家刘徽发现 当圆内接正多边形的边数无限增加时，多 边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立 了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率 精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是 著名的徽率，如图是利用刘徽割圆术思想 设计的一个程序框图，其中P=3.1，则输出 的n的值为（参考数据：sin15°≈0.2588， sin7.5°≈0.1305）
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• 例2：我国南北朝时期数学家，天文学家祖 暅，提出了著名的祖暅定理：幂势既同， 则积不容异。幂是截面积，势是几何体的 高。意思是两等高立方体，若在每一处等 高处的截面积都相等，则两立方体体积相 等。已知某不规则几何体与如图对应的几 何体满足幂势同，则该不规则几何体的体 积是
• A：4-π/2 B:8-4π/3 C:8-π D：8-2π
• 高考中 数学文化试题
周朋权
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在世界文化史的宝库里，数学史也是闪闪发 光的部分。国外的如牛顿莱布尼茨定理，高 斯函数，欧拉公式等。中国的如秦九韶算法， 祖暅（gèng）定理，刘徽割圆术等。
在高考中渗透数学史文化的内容，彰显数学 的人文特征，丰富了高考数学的内涵。中国 古代有着灿烂的数学文化，以中国数学家的 成就为背景命制的题目，极大激发了学生的 爱国热情，激励他们为实现中国的数学大国 梦而不断努力
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• 在其他省份中也相继出现过角谷猜想，割 圆术，斐波那契数列，毕德哥拉斯形数， 数字黑洞，蝴蝶定理，费马点，阿波罗尼 圆，狄利克雷函数，杨辉三角，赵爽弦图， 皮克定理，泰勒公式，将军饮马问题等。
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2018年高考文科数学北京卷含答案
以第八单音的频率为 f (12 2)7 12 27 f .
【考点】数学文化与等比数列 6.【答案】C
【解析】根据三视图可以还原该几何体为正方体中的一个四棱锥 D1 APC D ，其中 P 为 AB 的中点，所以四棱锥 D1 APC D 中的侧面为直角三角形的有 △ D1C D ，
2.【答案】D
【解析】 1 1 i
(1 i) (1 i)(1 i)
1i 1 i2
1 2
1 2
i
，所以其共轭复数为
1 2
1 2
i
，在复平面内对
应点为
1 2
,
1 2
，位于第四象限。
【考点】复数的四则运算与共轭复数的概念
3.【答案】B
【 解 析 】 k 1 ， s 1 ， s 1 (1)1 1 1 ， k 2 ， 不 满 足 k≥3 ， 继 续 循 环
毕业学校_____________姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -----------------------------------
新高考题型：数学文化(精选100题)-数学附答案
“ 4 − 78 ”，1周角等于 6000 密位，记作1周角= 60 − 00 ，1直角= 15 − 00 ．如果一个
半径为 2 的扇形，它的面积为 7 π ，则其圆心角用密位制表示为（ ） 6
A．12 − 50
B．17 − 50
C． 21− 00
D． 35 − 00
2．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、
10
5
15
过剩近似值，即 27 < e < 41 ，若每次都取最简分数，那么第二次用“调日法”后可得 e 10 15
的近似分数为（ ）
68
A．
25
41
B．
15
27
C．
10
14
D．
5
6．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其 甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五 方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取 3 个数，则选取 的 3 个数之和为奇数的方法数为（ ）
半球时取正值，直射南半球时取负值).设第 x 天时太阳直射点的纬度值为 y, 该科研小 组通过对数据的整理和分析.得到 y 与 x 近似满足 y = 23.4392911sin0.01720279x .则
每 400 年中，要使这 400 年与 400 个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为
(精确到1)（ ）
A．30
B．40
C．44
D．70
7．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子
在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦
以数学文化背景的高考数学命题
数学文化背景的高考试题背景一：杨辉三角杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了。
1.如图，一个类似杨辉三角的数阵，则（1）第9行的第2个数是66；（2）若第n（n≥2）行的第2个数为291，则n=18．2.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页．而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如图所示，从莱布尼茨三角形可以看出：排在第10行从左边数第3个位置上的数值是（）A．B．C．D．3.[2006湖北L-15]将杨辉三角（如图（1））中的每一个数都换成分数，就得到一个如图（2）所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．从莱布尼茨三角形可以看出：，其中x=r+1．背景二：古希腊多边形数教材背景：必修⑤数列引入1.[2009湖北L-W-10]古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。
比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。
下列数中既是三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.13782.[2012湖北W-17]传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。
他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：（Ⅰ）b 2012是数列{an}中的第______项；（Ⅱ）b 2k-1=______。
（用k 表示）3.[2013湖北L-14]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。
如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+。
记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n =五边形数 ()231,522N n n n =-六边形数 ()2,62N n n n =- ……可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = 。
江苏省2024年中职职教高考文化统考数学试题
江苏省2024年中职职教高考文化统考数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑）1. 设集合M={x|x≥1,x∈R},m=√2，则下列关系中正确的是（）A.m<MB.m>MC.m∉MD.m∈M2. 若复数z=1−2ⅈ，则z⋅ⅈ3等于（）A.2+ⅈB.−2−ⅈC.−1+2ⅈD.1−2ⅈ3. 已知向量a⃗=(−2,3),b⃗⃗=(1,−k)，若a⃗‖b⃗⃗，则实数k的值是（）A.−32B.−23C.32D. 34. 下列逻辑运算正确的是（）A.A+B̅̅̅̅̅̅̅̅=A⋅B̅ B.A⋅(A+B)=AC.AB̅̅̅̅+B̅=A+B̅ D.A+B⋅C=A⋅(B+C)5. 已知长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是V，点P,Q分别在侧棱CC1和DD1上，且CP=D1Q，则四棱锥A−CPQD的体积是（）A.16V B.14V C.13V D.12V6. 已知一个扇形的周长为16，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度是（）A. 1B. 2C. 4D. 57. 若(√x−2x )n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则该展开式中第4项的系数是（）A.−960B.−8C. 960D. 33608. 题图是某项工程的网络图（单位：天），则该工程的关键路径是（）A.A→C→E→H→IB.A→C→F→G→IC.B→D→F→G→ID.B→D→E→H→I9. 已知双曲线y 2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=√33x，且该双曲线的一条准线和抛物线y=14x2的准线重合，则该双曲线的标准方程是（）A.y 24−x212=1 B.y212−x24=1 C.y2−x23=1 D.y23−x2=110. 已知正实数x,y满足2x+2y−xy=0，若不等式x+4y−m≥0恒成立，则实数m的最大值是（）A. 9B. 13C. 18D. 26二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. 题图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的S值是_________．12. 已知sⅈn (38π+θ)=13，则cos (74π+2θ)=_________.13. 在数列{a n }中，a 1=34,a n =3an+13−a n+1，则数列{a n }的通项公式为_________. 14. 若动点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)分别在直线l 1:x −y +4=0和直线l 2:x −y +8=0上移动，点P 是线段MN 的中点，则圆(x −2)2+y 2=1上的点到P 点的最小距离是_________．15. 已知函数f (x )={x 2+2x −2,x <1−log 122x ,x >1，若函数f (x )在区间[m,n ]上的值域为[−3,6]，则n −m 的取值范围是_________.三、解答题（本大题共8小题，共90分）16. 已知一次函数f (x )=ax +1−a 的图象经过第一、二、三象限．（1）求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式a 3x ≤(1a )x 2−4．17. 已知函数f (x )是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，点(2,4)在函数f (x )的图象上，当x <0时，f (x )=x 2+bx .（1）求实数b 的值；（2）求函数f (x )的解析式；（3）若f (a )=5，求实数a 的值.18. 学校准备从2名教师、4名男同学、3名女同学中随机选5人参加一项志愿者服务活动.求下列事件的概率：（1）A ={女同学全部被选中}；（2）B ={男同学甲被选中，且至少1名教师被选中}；（3）C ={既有男同学又有女同学被选中}.19. 在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且ΔABC 的面积S =a 2+c 2−b 24． （1）求角B 的大小；（2）设函数f (x )=√3cos (2x −π3)−2sⅈn x cos x ，若f (A 2)=√32,b =√6，求a ．20. 近年来，电商行业蓬勃发展拓宽了农产品的销售渠道.某农户将成本价20元/千克的有机大米按36元/千克的价格进行线上销售，每天可售出80千克.经统计发现，若将有机大米的售价每提高1元/千克，则日销售量减少4千克；若将有机大米的售价每降低1元/千克，则日销售量增加8千克.不考虑其他因素，问有机大米的售价定为多少元时，每日获得的利润最大？并求出最大利润.21. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，20是S2与S5的等差中项，且a3=7．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=1a n⋅a n+1．①求数列{b n}的前n项和T n;②若C n=43n+12T n，求数列{Cn}的前n项和M n．22. 某地区计划种植两种具有空气净化功能的树：松树和樟树．每种植一株松树每年可吸收3千克二氧化硫和2千克氮氧化物，每种植一株樟树每年可吸收2千克二氧化硫和4千克氮氧化物．目前，该地区的空气质量监测数据显示，全年至少需吸收6000千克二氧化硫和8000千克氮氧化物，方能改善空气质量．假设种植一株松树的成本为800元，种植一株樟树的成本为1000元．不考虑其他因素，请制定一份植树计划，确定应种植多少株松树和樟树，就能以最低的成本满足空气质量改善需求？并求出最低成本．23. 已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(−2,−1)，且离心率为√32．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆D:2x 2a2+2y2b2=1，点M(1,t)(t>0)在椭圆D上，射线OM交椭圆C于点N．①求点N的坐标；②若直线l与椭圆C有两个交点E,F，且与椭圆D有且仅有一个交点．证明：ΔEOF的面积是定值．。
2023高考题数学文化试题
2023高考题数学文化试题2023年高考题数学文化试题数学一直以来都是学生们心中的拦路虎，尤其是对于高中生来说，数学的难度增加了不少。
2023年的高考数学文化试题也不例外，考查了许多复杂的数学问题，让考生们感受到了数学的魅力和挑战性。
首先，试题中出现了一道关于平面几何的问题。
考生们需要证明一个给定的三角形是等腰三角形。
这道题考查了考生对于几何形状和性质的理解和应用能力。
通过构造辅助线、运用角平分线的性质等方法，考生们可以得到结论并完成证明。
这道题目对于考生们的思维能力和逻辑推理能力提出了较高的要求。
其次，试题中还涉及了一道关于概率的问题。
考生们需要计算一个事件发生的概率，并将结果化为最简形式。
这道题目考查了考生们对于概率概念的理解和概率计算的能力。
通过列出样本空间、计算有利事件的个数、总事件的个数以及简化计算结果等方法，考生们可以得到最终的结果。
这道题目对于考生们的计算能力和逻辑思维能力提出了一定的挑战。
此外，试题中还出现了一道关于函数的问题。
考生们需要求解一个函数的零点和极值点，并画出函数的图像。
这道题目考查了考生们对于函数性质的理解和函数运算的能力。
通过求解方程、求导、研究函数的增减性和凹凸性等方法，考生们可以得到函数的零点和极值点，并画出函数的图像。
这道题目对于考生们的数学运算能力和图像分析能力提出了一定的要求。
最后，试题中还涉及了一道关于数列的问题。
考生们需要求解一个数列的通项公式，并计算数列的和。
这道题目考查了考生们对于数列性质的理解和数学计算的能力。
通过观察数列的规律、构造递推式、计算数列的和等方法，考生们可以得到数列的通项公式和数列的和。
这道题目对于考生们的观察和计算能力提出了一定的考验。
综上所述，2023年高考数学文化试题涉及了几何、概率、函数和数列等多个数学领域的知识和技能。
这些题目考查了考生们的思维能力、逻辑推理能力、计算能力和分析能力等方面的综合素质。
通过解答这些问题，考生们可以加深对于数学知识的理解和应用，提高数学解决问题的能力。
全国高考数学试卷扫描版
---全国普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）考试时间：150分钟总分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把所选项前的字母涂黑。
）1. 已知函数f(x) = ax² + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a、b、c的符号关系为（）A. a > 0, b > 0, c < 0B. a > 0, b < 0, c > 0C. a < 0, b > 0, c < 0D. a < 0, b < 0, c > 02. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°3. 若log₂(x + 1) + log₂(x - 1) = 3，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列函数中，在其定义域内是奇函数的是（）A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = x⁴D. f(x) = x² + 15. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 55，S20 = 165，则数列的公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意的实数x，都有x² ≥ 0B. 函数y = 2x在定义域内是增函数C. 等差数列的通项公式一定是an = a1 + (n - 1)dD. 对数函数y = logₐx（a > 0，a ≠ 1）在其定义域内是单调函数7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 6，S6 = 24，则数列{an}是（）A. 等差数列B. 等比数列C. 幂函数数列D. 无规律数列8. 若复数z = 3 + 4i的共轭复数为z'，则|z + z'|的值为（）A. 5B. 10C. 17D. 259. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S10的值为（）A. 140B. 150C. 155D. 16010. 若函数f(x) = ax² + bx + c（a ≠ 0）的图像与x轴的交点坐标为(1, 0)和(3, 0)，则函数的对称轴方程为（）A. x = 2B. x = 1C. x = 3D. x = 4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。