根与系数的关系练习题
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一元二次方程根与系数的关系习题
主编：闫老师
[准备知识回顾]： 1、一元二次方程
)
0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为
)04(2422≥--±-=ac b a
ac b b x 。
2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆
（1） 当0>∆时，方程有两个不相等的实数根。 （2） 当0=∆时，方程有两个相等的实数根。 （3） 当0<∆时，方程没有实数根。
反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。 [韦达定理相关知识]
1若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和，那么
=+21x x ，=•21x x 。我们把这两个结论称为一元
二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。
2、如果一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和，则=+21x x ，
=•21x x 。
3、以21x x 和为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212=•++-x x x x x x
4、在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，有一根为0，则=c ；有一根为1，则=++c b a ；有一根为1-，则=+-c b a ；若两根互为倒数,则=c ；若两根互为相反数，则=b 。
5、二次三项式的因式分解(公式法)
在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程
)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果
方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用]
例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ，
=k 。 解：
变式训练：
1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？
2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？
例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：
（1）2
22
1x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2
11
1x x + （4）221)(x x -
变式训练：
1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根，求满足下列条件的k 值： （1）有两个实数根。 （2）有两个正实数根。 （3）有一个正数根和一个负数根。 （4）两个根都小于2。
2、已知关于x 的方程022=+-a ax x 。 （1）求证：方程必有两个不相等的实数根。 （2）a 取何值时，方程有两个正根。
（3）a 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。 （4）a 取何值时，方程到少有一根为零？
选用例题：
例3：已知方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之比为1：2，判别式的值为1，则b a 与是多少？
例4、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m 的值。
例5、若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，求m 的值。
基础训练：