排列组合概率专题讲解教学内容

专题五： 排列、组合、二项式定理、概率与统计
【考点分析】
1． 突出运算能力的考查。

高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数
值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。

2． 有关排列、组合的综合应用问题。

这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两 3． 个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有
多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。

4． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。

这种问题重点考查运算能力，特
别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。

5． 有关概率的实际应用问题。

这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求
对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。

6． 有关统计的实际应用问题。

这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌
握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。

【疑难点拨】 1． 知识体系：
2．知识重点：
（1） 分类计数原理与分步计数原理。

它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。

（2） 排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。

排列数公式
的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。

（3） 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。

二项式定理的
推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法（令1±=x ）的应用。

（4） 等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独
立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。

互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。

（5） （理科）离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列、期望和方差。

（6） 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。

2． 知识难点：
(1) 排列、组合的综合应用问题。

突破此难点的关键在于：在基本思想上强调两个基本原
理（分类相加计数原理和分步相乘计数原理）在本章知识中的核心地位；在通法上要求，首先要认真审题，分清是排列（有序）还是组合（无序），或二者兼而有之；其次要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”，分类时要不重不漏，分步时要独立连续。

在两个公式的应用中要深刻理解其定义中的“所有”的含义，特别是组合数“m
n
C ”已包含了m 个元素“所有”可能的组合的个数，故在平均分堆过程中就会产生重复，而平均分配给不同的对象过程中就不用再排序。

同时在本节中要注意强调转化化归数学思想的应用。

(2) 二项式定理的计算。

突破此难点的关键在于：熟记指数的运算法则和二项展开式的通项公式，深刻理解“第k 项”“常数项”“有理项”“二项式系数”“系数”等基本概念的区别与联系。

(3) 概率、分布列、期望和方差的计算。

突破此难点的关键在于：首先要运用两个基本原
理认真审题，弄清楚问题属于四种类型事件中的哪一种，然后准确地运用相应的公式进行计算，其中要注意排列、组合知识的应用。

（理科）对于分布列要熟记一个基本
型（ζ）和三个特殊型（b a +=ζη，二项分布，几何分布）的定义和有关公式；此类问题解题思维的的流程是：要求期望，则必先求分布列，而求分布列的难点在于求概率，求概率的关键在于要真正弄清每一个随机变量“k =ζ”所对应的具体随机试验的结果。

【经典题例】
例1：将8名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方法共有多少种？
[思路分析] 根据宿舍的人数，可分为三类：“62+”型不同的分配方法有2
228A C 种；
“53+”型不同的分配方法有2
23
8A C 种；“44+”型不同的分配方法有4
8C 种。

则由加法
原理得，不同的分配方法共有2384
822382228=++C A C A C 种。

[小结] 本题体现了“先选后排”通法的应用，属于排列组合混合问题。

要注意（不）平均分配与（不）平均分堆的联系与区别。

例2：在正方形ABCD 中，H G F E ,,,分别为各
边的中点，O 为正方形中心，在此图中的九个点
中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形
中，
互不全等的三角形共有多少个？
[思路分析] 根据三角形的类型分为三类：直角三
角
形有DAB Rt DAE Rt HAE Rt ∆∆∆,,共3种；以边
AB 为底的三角形GAB OAB ∆∆,共2种；过中点和中心的三角形有,,HGB DGB GBO ∆∆∆ 共3
种。

由加法原理得，共有3238++=种不同类型的三角形。

[小结] 本题体现了“转化化归数学思想”的应用，属于排列组合中的几何问题，在具体方法上是运用了“穷举法（将所有的情形全部列出）”。

例3：在多项式65(1)(1)x x +-的展开式中，含3x 项的系数为多少？
[思路分析]
解1 652323(1)(1)(161520)(151010)x x x x x x x x +-=++++-+-+L L ，所以含3x 项的系数为 1060515205-+-⨯+=-。

解2 652512
2455(1)(1)(1)(1)(1)(1)
x x x x C x C x x +-=-+=-+-+L ，所以含3
x 项的系
数为
1515
C -⋅=-。

解3 由组合原理
03312221130
065656565(1)(1)(1)(1)5
C C C C C C C C -+-+-+-=-。

[小结] 本题重点考查对二项式定理的本质的理解和运算能力。

例4：从数字0,1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于6的概率为多少？
[思路分析] 本题的基本事件是由6个不同的数字允许重复而且含0的条件下组成三位数，根据乘法原理可知基本事件的全体共有566180⨯⨯=个。

设三个数字之和等于6的
事件为A ，则A 分为六类：数码(5,1,0)组成不同的三位数有21
22A C
个；数码(4,2,0)组成
不同的三位数有2122
A C 个；数码(4,1,1)组成不同的三位数有1
3C
个；数码(3,3,0)组成不同
的三位数有
12
C 个；数码(3,2,1)组成不同的三位数有3
3A
个；数码(2,2,2)组成不同的三位
数有1个，根据加法原理，事件A 共有
21211132222323
120
A C A C C C A +++++=个。

故
201()1809P A =
=。

[小结] 本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，重点在于利用排列组合知识求各个基本事件的总数。

例5：若
1002100012100(12)(1)(1)(1),,1,2,3,,
i x e e x e x e x e R i +=+-+-++-∈=L L 则
012100e e e e ++++=L ，
012100e e e e ++++=
L 。

[思路分析] 将条件等式的左右两边比较，可知变形
[]
100
100(12)3(2)(1)x x +=+--。

利用赋值法，令(1)1x -=，则有100012100(321)1e e e e ++++=-⨯=L ；
令(1)1x -=-，则有[]100
100
1210032(1)5e e e e ++++=-⨯-=L 。

[小结] 本题考查二项展开式系数的性质，在具体方法上是运用了通法“赋值法”。

例6：从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的不同四位数共有 个。

[思路分析] 由已知，此四位数的末位只能是0或5，且0不能在首位，故0,5为特殊元素，
而且二者中至少要选一个。

根据题意，可分三类：有5无0，不同的四位数有123
343C C A
个；有0无5，不同的四位数有2
1
3
343C C A
个；0,5同时存在，当0在末位时，不同的四位数有
113343
C C A 个，当5在末位时，不同的四位数有1112
3422C C C A
个。

所以满足条件的不同的四位
数共有1232131131234334334322()300
C C A C C A C C A C A +++=个。

[小结] 本题考查有两个受条件限制的特殊元素的排列组合混合问题，基本解题模型为：分为三类。

第一类，两个中一个都不考虑；第二类，两个中考虑一个；第三类，两个都考虑。

注意在具体求解中其中“先选后排”“位置分析法”等通法的运用。

例7：鱼塘中共有N 条鱼，从中捕得t 条，加上标志后立即放回塘中，经过一段时间，再从塘中捕出n 条鱼，发现其中有s 条标志鱼。

（1）问其中有s 条标志鱼的概率是多少？（2）由此可推测塘中共有多少条鱼（即用,,t n s 表示N ）？
[思路分析] （1）由题意可知，基本事件总数为
n N
C 。

鱼塘中的鱼分为两类：有标志的鱼t
条，无标志的鱼()N t -条，从而在捕出n 条鱼中，有标志的s 条鱼有s
t C
种可能，同时无
标志的()n s -条鱼有n s
N t C --种可能，则捕出n 条鱼中有s 条鱼共有
s n s t N t C C --种可能。

所以概率为
s n s
t N t
n
N C C C --。

（2）由分层抽样可知，,s n nt N t N s =∴=（条）。

[小结] 本题考查等可能性事件的概率和统计知识，重点要注意“鱼”的不同的分类以及
抽样方法中各个元素被抽取概率的相等性。

例8：某宾馆有6间客房，现要安排4位旅游者，每人可以进住任意一个房间，且进住各房间是等可能的，求下列事件各的概率：（1）事件A ：指定的4个房间各有1人；（2）事件B ：恰有4个房间各有1人；（3）事件C ：指定的某房间中有2人；（4）事件D ：一号房间有1人，二号房间有2人；（5）事件E ：至少有2人在同一个房间。

[思路分析] 由于每人可以进住任一房间，进住哪一个房间都有6种等可能的方法，根据
乘法原理，4个人进住6个房间有46种方法，则（1）指定的4个房间中各有1人有4
4A 种方法，
4
441
()654A P A ==。

（2）恰有4个房间各有1人有4464
C A 种方法，44
6445
()618C A P B ==。

（3）从4人中选2人
的方法有24C 种，余下的2
人每人都可以去另外的5个房间中的任一间，有25种方法，
2244525
()6216C P C ⋅==。

（4）从4人中选1人去一号房间的方法有1
4C 种，从余下3人中选2
人去二号房间的方法有
2
3C ，再余下的1人可去4
个房间中的任一间，
12434
41
()627C C P D ⋅==。

（5）从正面考虑情形较复杂，正难则反，“至少有2人在同一个房间”的反面是“没有2人在同一个房间，即恰有4个房间各有1人”，
13()()1()18P E P B P B ==-=。

[小结] 本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，注意排列组合知识的运用。

例9：甲、乙、丙三人独立解某一道数学题，已知该题被甲解出而乙解不出的概率为1
4，
被乙解出而丙解不出的概率为112，被甲、丙两人都解出的概率是2
9。

（1）求该题被乙独立解出的概率；
（2）（文科）求该题被解出的概率。

（理科）求解出该题人数ζ的分布列和数学期望。

[思路分析]（1）设,,A B C 分别为甲、乙、丙三人各自独立解某一数学题的事件。

由已知则有
1(),41(),122().9P A B P B C P A C ⎧⋅=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩即1()(1()),4
1()(1()),122()().9P A P B P B P C P A P C ⎧
⋅-=⎪⎪
⎪⋅-=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩由此方程组解得1(),31(),
42().3P A P B P C ⎧=⎪⎪⎪
=⎨⎪⎪
=⎪⎩所以该题被乙
独立解出的概率为1
()4P B =。

（2）（文科）记D 为该题被解出，它对应着甲、乙、丙三人
中至少
有
一
人
解
出
该
题
，
则
2315
()1()1(1())(1())(1())13436P D P D P A P B P C =-=----=-⋅⋅=。

（理科）
1(0)()()()6P P A P B P C ζ===，1
(3)()()()18P P A P B P C ζ===
， 17
(1)()()()()()()()()()36P P A P B P C P A P B P C P A P B P C ζ==++=
， 11
(2)()()()()()()()()()36P P A P B P C P A P B P C P A P B P C ζ==++=。

ζ
期望为
012363636184E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯=。

[小结] 本题考查相互独立事件的概率和互斥事件的概率，同时考查函数方程数学思想和运算能力。

理科还考查分布列和数学期望，在解题过程中特别要注意，真正弄清每一个随机变量“k =ζ”所对应的具体随机试验的结果。

例10：某一汽车前进途中要经过3个红绿灯路口。

已知汽车在第一个路口，遇到红灯和遇
到绿灯的概率都是12；从第二个路口起，若前次遇到红灯，则下一次遇到红灯的概率是1
3，
遇到绿灯的概率是23；若前一次遇到绿灯，则下一次遇到红灯的概率是3
5，遇到绿灯的概
率是2
5。

求：
（1）汽车在第二个路口遇到红灯的概率是多少？ （2）（文科）在三个路口中，汽车遇到一次红灯，两次绿灯的概率是多少？ （理科）汽车在经过三个路口过程中，所遇到红灯的次数的期望是多少？
[思路分析] 根据相互独立事件同时发生的概率的乘法公式可得，（1）
1
11137232515P =⨯+⨯=。

（2）（文科）
21221321233423525325575P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=。

（理科）要求期望，则必须先求分布列。

设汽车所遇到红灯的次数为随机变量ζ，则有
1222(0)25525P ζ==⨯⨯=，1111
(3)23318P ζ==⨯⨯=
， 12213212334
(1)23525325575P ζ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
， 11212313137
(2)23323525390P ζ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
所以
012325759018450E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯=。

[小结] 本题重点考查相互独立事件的概率乘法公式的本质——同时发生，同时还考查互斥事件的概率。

在具体解题中注意与递推有关的概率的计算。

【热身冲刺】
一、 选择题：
1．用0,1,2,3,4,这五个数字组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第 （ D ） ()6A 个 ()8B 个 ()9C 个 ()10D 个
2．从5位男教师和4位女教师中，选出3位教师分别担任3个班级的辅导员，每班一位辅导员，要求这3位辅导员中男、女老师都要有，则不同的选派方案共有 （ B ） ()210A 种 ()420B 种 ()630C 种 ()840D 种
3．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位。

现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同的排法的种数是
（ B ）
()234A ()346B ()350C ()363D
4．长方体8个顶点中，以任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形共有 （ A ） ()8A 个 ()12B 个 ()16C 个 ()20D 个
5．从编号为1,2,3,4,5,6的六的小球中任取4个，放在标号为,,,A B C D 的四个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在B 盒中，4号球不能放在D 号盒中，则不同的放法种（ C ） ()96A ()180B ()252C ()280D
6．2321
(2)x x +
-展开式中的常数项是 （ C ）
()15A ()15B - ()20C - ()20D
7．某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5。

现用分层抽样
方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号产品有16件，则此样本的容量为
（ B ）
()40A ()80B ()160C ()320D
8．某校高三年级举行一次演讲比赛，共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其他班级有5位。

若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学没有被排在一起，而二班的2位同学恰好被排在一起（指演讲的序号相连）的概率是 （ A ）
1()
12A 1()16B 1()20C 1
()
24D 9．某人射击一次命中目标的概率是1
3，则此人射击5次，有3次命中目标且恰有两次连续命中的概率是 （ D ）
80()243A 64()243B 40()243C 24()
243D 10．在17世纪的一天，保罗与梅尔进行赌钱游戏。

每人拿出6枚金币，然后玩骰子，约定谁先胜三局谁就得到12枚金币（每局均有胜负）。

比赛开始后，保罗胜了一局，梅尔胜了两局，这时一件意外的事情中断了比赛，于是他们商量这12枚金币应该怎样分配才合理。

据此，你认为合理的分配方案是保罗和梅尔分别得到金币 （ D ）
()6A 枚，6枚 ()5B 枚，7枚 ()4C 枚，8枚 ()3D 枚，9枚 二、 填空题： 11．若2005220050122005(12),()
x a a x a x a x x R -=++++∈L ，则
010202005()()()a a a a a a ++++++=
L 。

（2003）
12．口袋内装有10个相同的小球，其中5个小球标有数字0，5个小球标有数字1。

若从中摸出5的小球，那么摸出的5个小球所标数字之和小于2或大于3的概率
是 。

（13
63）
13．抛掷一枚硬币若干次，每次正面向上得1分，反面向上得2分。

（文科）则恰好得到3分的概率为 。

（58）（理科）则恰好得到5分的概率为 。

（2132）
14．已知从甲地到乙地的海底光缆有15个接点，其中有一个接点发生故障，为了及时排除故障，需要尽快断定故障发生点。

以,,A B C 三个接点为例，检查接点B 的方法如下：在
接点B 处分别检查,AB BC 两段，若两段都有问题，则可断定B 点存在问题；若只有一段存在问题，则接点正常。

设至少需要检查的接点数为x 个，则x 的最大值为 。

（3）
三、解答题：
15．某仪器显示屏上的每个指示灯均以红色或蓝色来表示两种不同的信号，已知一排有10个指示灯。

求分别满足下列条件时，显示屏共能显示的不同的信号数的种数。

（1）要求每次显示其中的3个，且恰好有2个相邻的同时显示； （2）要求每次显示其中的4个，且恰有2个相邻的同时显示。

简解 （1）2382448
A =或
213
822448
C C =； （2）
314
7321680
C C =。

16
．已知
23)n
x 展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大992。

（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项。

简解 由题意，
2
1045233
15
5
(131)2992,5,()
(3)3r n n
r r
r r
r r n T C x x C x
+-++⨯-=∴===，
（1）展开式中二项式系数最大的项是
182
2
6
3
35
390T C x
x
==，
22223
33
3
45
3270T C x
x
==；
（2）由115511
5533,33.k k k k k k k k C C C C --++⎧≥⎨≥⎩解得26264433553.5 4.5,4,3405k k T C x x ≤≤∴=∴==为所求的
系数最大的项。

17．甲、乙两人参加一次测试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能
答对其中的8道题，规定每次测试都从备选题中随机抽取出3题进行测试，至少答对2题才算合格。

（1）（文科）分别求甲、乙两人测试合格的概率；（理科）求甲答对测试题数ζ的概率分布及数学期望；
（2）求甲、乙两人中至少有一人考试合格的概率。

简解 （1）（文科）甲合格的概率为
21364613
1023C C C P C +==，乙合格的概率为213
82823
101415C C C P C +==
所以
01233010265E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯=。

（2）两人中至少有一人合格的概率为
12
21444
1(1)(1)1(1)(1)31545P P P =---=---=。

18．设掷一颗均匀的正方体玩具两次，此玩具的六个表面分别刻有数字1,2,2,3,3,3。

（文科）求掷得的点数之和小于5的概率。

（理科）设ζ为掷得的点数差的绝对值，求E ζ。

111213225
226666666612P =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=
所以
0123636369E ζ=⨯+⨯+⨯=。

19．在n 个大小相同的均匀的球中，有白球m 个。

（1）不放回地逐个抽取s 个小球，求其中恰有t 个白球的概率；
（2）每次抽取后又放回地逐个抽取s 个小球，求其中恰有t 个白球的概率。

（3）（理科）每次抽取后又放回地逐个抽取s 个小球，求其中白球个数ζ的期望和方差。

简解 12()(1);(2)()(1)t s t t s t
t t s t t m n m
s s s s
n C C m m m n m P P C C C n n n -----==-=；
2()
(3)(,),,(1)m m sm m m sm n m B s E s D s n n n n n n ζζζ-∴=⋅==⋅⋅-=
Q :。

20．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.5，被甲解出而乙解不出的概率为0.05。

（1）求该题被乙独立解出的概率；
（2）（文科）求恰有1人能解出这道题目的概率。

（理科）求解出该题人数
ζ的期望与方差。

简解(1)0.9;(2)（文科）0.5。

（理科） 1.4,0.34
E D
ζζ
==。