空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识总结(高考必备!)
y k iA(x,y,z)O jxz 空间向量与立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k（单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．二、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（3）//a b b a λ⇔= 112233()b a b a R b aλλλλ=⎧⎪⇔=∈⎨⎪=⎩三、空间向量直角坐标的数量积1、设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量><b a b a ,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，即b a ⋅＝><b a b a ,cos |||| 规定：零向量与任一向量的数量积为0。
立体几何与空间向量知识点归纳总结材料
立体几何与空间向量知识点归纳总结材料一、立体几何知识点归纳总结：1.点、线、面的几何特性：-点：没有大小和形状，只有位置；两个不同的点确定一条直线，三个不共线的点确定一个平面。
-线：有长度但没有宽度和厚度；平行线、垂直线、相交线等性质。
-面：有长度和宽度但没有厚度；平面的平行关系、垂直关系、相交关系等。
2.空间几何形体的特性：-点：在空间中指定位置的几何实体。
-直线：长度无限延伸的几何实体。
-射线：以一个端点和无限延伸的直线为基础的几何实体。
-平面：无限延伸的、具有长度和宽度的几何实体。
-多面体：由平面构成的立体图形，如三角形、四面体、五棱柱等。
-圆锥、圆柱、圆球等。
3.空间几何的距离公式：-两点之间的距离公式：设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)，则AB 的距离为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]。
-点到直线的距离公式：设直线L的方程为Ax+By+Cz+D=0，点P(x0,y0,z0)，则点P到直线L的距离为d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A²+B²+C²)。
二、空间向量知识点归纳总结：1.空间向量的定义：空间中具有大小和方向的有向线段。
2.空间向量的表示方法：-定点表示法：以一个固定点为起点，用一条线段的另一端点表示向量。
-坐标表示法：向量的起点为原点O，终点坐标为(x,y,z)，则向量的坐标表示为(x,y,z)。
-分解表示法：将向量沿着坐标轴分解成若干个坐标分量的和。
3.空间向量的运算：-向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即向量的和等于它们的起点相同的两个边相加的结果。
-向量的减法：向量的减法等于将减向量取反后与被减向量相加。
-向量的数乘：向量的数乘等于向量的每个分量与一个常数的乘积。
4.向量的数量积和向量积：-数量积（点积）：设向量A(x1,y1,z1)和向量B(x2,y2,z2)，则数量积AB=A·B=x1x2+y1y2+z1z2，具有交换律和分配律。
空间向量与立体几何知识点归纳总结52783
空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 (2) 向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)⑵加法结合(a b) c 二 a (b c)⑶数乘分配律：(a b) a • ■ b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a II b 。
(2) 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b ( b 半0 ), a /I b 存在实数入使a = (3) 三点共线：A 、B 、C 三点共线v=>AB 二■ AC<=> OC = xOA yOB(其中 x y = 1)(4)与a 共线的单位向量为士 44. 共面向量(1) 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
， 一(2) 共面向量定理x, y 使 p 二 xa yb 。
(3) 四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面v=>AP-xAB yAC学习资料收集于网络，仅供参考:如果两个向量a,b 不共线，p 与向量a,b 共面的条件是存在实数 运算律：⑴加法交换律：a b a<二>OP = xOA yOB zOC(其中x y z = 1)T ,专一45. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一* * * 4个唯一的有序实数组x,y, z，使p = xa • yb • zc o学习资料学习资料收集于网络，仅供参考呻若三向量a,b,c 不共面，我们把｛a,b,c ｝叫做空间的一个基底，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
高中数学空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结.知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向线段表示*同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
(2)向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。
\r0B = 0A+ AB = a + b ； BA= OA- OB 二 运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a⑵加法结合律：(a + b).+ C = a + (b + C) ⑶数乘分配律：A (a + b) = + A b 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、 3. 共线向量。
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直 线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a//b(2) 共线向量定理：空间任意两个向量i(3) 三点共线：A 、B 、C 三点共线v=>AB = kAC<=> OC xOA yOB(其中(+ y= 1) a(4) 与a 共线的单位向量为±二 4.共面向量(1) 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
. 斗(2) 共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线，p 与向量a,b 共面的条件是存在实数X, y 使 P - xa + yb 。
(3)四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面v=>AP=xAB+yAC平行六面体法则线平行或重合，那么这些向量也叫做共b (b 工0), a //b 存在实数 入 使a =7b 。
A<=> OP 二xOA + yOB + zOC(其中■i I •・x+y+z=1) 45.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组x,y, z，使P =xa+yb+zc。
屮.若三向量a,b,C不共面，我们把｛a,b,C｝叫做空间的一个基底，a,b,C叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结在空间直角坐标系中，一个向量可以表示为三个坐标的有序三元组，分别表示在x轴、y轴、z轴上的投影长度。
2）坐标系的建立：选择三个不共面的向量作为基向量，建立起一个空间直角坐标系。
3）向量在坐标系中的表示：向量的坐标表示为它在基向量上的投影长度所组成的有序三元组。
7.向量的数量积与向量积。
1）数量积：定义为两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值，表示为___或ab。
2）性质：⑴交换律：a·b=b·a；⑵结合律：(ka)·b=k(a·b)；⑶分配律：(a+b)·c=a·c+b·c。
3）向量积：定义为两个向量所在平行四边形的面积乘以一个垂直于这个平行四边形的单位向量，表示为a×b。
4）性质：⑴反交换律：a×b=-(b×a)；⑵结合律：a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c；⑶分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。
二．练题。
1.已知向量a(1,2,3)，b(4,5,6)，c(7,8,9)，求向量a-b+2c的坐标。
解：a-b+2c=(1-4+14,2-5+16,3-6+18)=（11,13,15）。
2.已知向量a(2,1,-3)，b(1,2,1)，c(3,-1,2)，判断向量a,b,c 是否共面，并说明理由。
解：由四点共面定理，a,b,c共面，当且仅当存在实数x,y,z，使得x·a+y·b+z·c=0.代入向量坐标，得到方程组2x+y+3z=0，x+2y-z=0，-3x+y+2z=0.解得x=-1，y=1，z=-1，满足方程组，因此a,b,c共面。
3.已知向量a(1,2,3)，b(2,-1,1)，求向量a与b的数量积和向量积。
解：a·b=1×2+2×(-1)+3×1=-1；a×b=(5,1,-5)。
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点;1. 空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量;注：1向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量;2向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算;定义：与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下如图;OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量;1如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a平行于b ,记作b a //;2共线向量定理：空间任意两个向量a、b b≠0 ,a b a bAC AB λ=)1(=++=y x OB y OA x OC 其中aa ±共面向量1定义：一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量; 说明：空间任意的两向量都是共面的;2共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线,p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y使p xa yb =+;3四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++;若三向量,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底,,,a b c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底;推论：设,,,O A B C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数,,x y z ,使OP xOA yOB zOC =++;6. 空间向量的直角坐标系： 1空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使zk yi xi OA ++=,有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标;注：①点Ax,y,z 关于x 轴的的对称点为x,-y,-z,关于xoy 平面的对称点为x,y,-z.即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反;②在y 轴上的点设为0,y,0,在平面yOz 中的点设为0,y,z2若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用{,,}i j k 表示;空间中任一向量k z j y i x a ++==x,y,z3空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则112233(,,)a b a b a b a b +=+++,112233(,,)a b a b a b a b -=---,123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈,112233a b a b a b a b ⋅=++,112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈, 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=;②若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =---;一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标;③定比分点公式：若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,PB AP λ=,则点P 坐标为)1,1,1(212121λλλλλλ++++++z z y y x x ;推导：设Px,y,z 则),,(),(22211,1z z y y x x z z y y x x ---=---λ,显然,当P 为AB 中点时,)2,2,2(212121z z y y x x P +++ ④),,(),,,(,,,333222111z y x C z y x B ）z y ，A（xABC 中∆,三角形重心P 坐标为)2,2,3(321321321z z z y y y x x x P ++++++⑤ΔABC 的五心：内心P ：内切圆的圆心,角平分线的交点;AC AB AP +=λ单位向量外心P ：外接圆的圆心,中垂线的交点;==垂心P ：高的交点：PC PB PC PA PB PA ⋅=⋅=⋅移项,内积为0,则垂直重心P ：中线的交点,三等分点中位线比)(31AC AB AP += 中心：正三角形的所有心的合一;4模长公式：若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+5夹角公式：2cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+; ΔABC 中①0>•AC AB <=>A 为锐角②0<•AC AB <=>A 为钝角,钝角Δ 6两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则2||(AB AB ==,或,A B d = 7. 空间向量的数量积;1空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ,在空间任取一点O ,作,OA a OB b ==,则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角,记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤,显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=,则称a 与b 互相垂直,记作：a b ⊥;2向量的模：设OA a =,则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模,记作：||a ;3向量的数量积：已知向量,a b ,则||||cos ,a ba b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积,记作a b ⋅,即a b⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>;4空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<>;②0a b a b ⊥⇔⋅=;③2||a a a =⋅; 5空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅;②a b b a ⋅=⋅交换律;③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅分配律;④不满足乘法结合率：)()(c b a c b a ⋅≠⋅二．空间向量与立体几何1．线线平行⇔两线的方向向量平行1-1线面平行⇔线的方向向量与面的法向量垂直 1-2面面平行⇔两面的法向量平行2线线垂直共面与异面⇔两线的方向向量垂直 2-1线面垂直⇔线与面的法向量平行 2-2面面垂直⇔两面的法向量垂直3线线夹角θ共面与异面]90,0[O O ⇔两线的方向向量2,1n n 的夹角或夹角的补角,><=2,1cos cos n n θ3-1线面夹角θ]90,0[O O ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP 与面的法向量n 的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补角；再求其余角,即是线面的夹角.><=n AP ,cos sin θ3-2面面夹角二面角θ]180,0[OO ：若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量2,1n n 的夹角；法向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补角.><±=21,cos cos n n θ4．点面距离h ：求点()00,P x y 到平面α的距离： 在平面α上去一点(),Q x y ,得向量PQ ;； 计算平面α的法向量n;.h =4-1线面距离线面平行：转化为点面距离 4-2面面距离面面平行：转化为点面距离 典型例题1．基本运算与基本知识例1. 已知平行六面体ABCD －D C B A '''',化简下列向量表达式,标出化简结果的向量;⑴AB BC +； ⑵AB AD AA '++；⑶12AB AD CC '++； ⑷1()3AB AD AA '++;例2. 对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ,问满足向量式：OP xOA yOB zOC =++其中1x y z ++=的四点,,,P A B C 是否共面例3 已知空间三点A0,2,3,B －2,1,6,C1,－1,5;⑴求以向量,AB AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量,AB AC 垂直,且|a |＝3,求向量a 的坐标; 2．基底法如何找,转化为基底运算 3．坐标法如何建立空间直角坐标系,找坐标 4．几何法例 4. 如图,在空间四边形OABC中,8OA =,6AB =,4AC =,5BC =,45OAC ∠=,60OAB ∠=,求OA 与BC 的夹角的余弦值;说明：由图形知向量的夹角易出错,如,135OA AC <>=易错写成,45OA AC <>=,切记例5. 长方体1111ABCD A B C D -中,4AB BC ==,E 为11A C 与11B D 的交点,F 为1BC 与1B C 的交点,又AF BE ⊥,求长方体的高1BB ; 模拟试题1. 已知空间四边形ABCD ,连结,AC BD ,设,M G 分别是,BC CD 的中点,化简下列各表达式,并标出化简结果向量：1AB BC CD ++；21()2AB BD BC ++； 31()2AG AB AC -+;2. 已知平行四边形ABCD ,从平面AC 外一点O 引向量;,,,OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD ====;1求证：四点,,,E F G H 共面；2平面AC //平面EG ;3. 如图正方体1111ABCD A B C D -中,11111114B E D F A B ==,求1BE 与1DF 所成角的余弦; 5. 已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中,4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=,60BAA DAA ''∠=∠=,求AC '的长;参考答案1. 解：如图,1AB BC CD AC CD AD ++=+=；2111()222AB BD BC AB BC BD ++=++;AB BM MG AG =++=；31()2AG AB AC AG AM MG -+=-=;2. 解：1证明：∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AC AB AD =+,∵EG OG OE =-, ∴,,,E F G H 共面；2解：∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅,又∵EG k AC =⋅, ∴//,//EF AB EG AC ; 所以,平面//AC 平面EG ; 3.解：不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系O xyz -,则(1,1,0)B ,13(1,,1)4E ,(0,0,0)D , 11(0,,1)4F ,∴11(0,,1)4BE =-,11(0,,1)4DF =, ∴11174BE DF ==, 11111500()114416BE DF ⋅=⨯+-⨯+⨯=;111515cos ,17BE DF ==; 4. 分析：⑴1(2,1,3),(1,3,2),cos 2||||AB AC AB AC BAC AB AC ⋅=--=-∴∠== ∴∠BAC ＝60°,||||sin 6073S AB AC ∴== ⑵设a ＝x,y,z,则230,a AB x y z ⊥⇒--+= 解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1,∴a ＝1,1,1或a ＝－1,－1,－1;5. 解：22||()AC AB AD AA ''=++所以,||85AC '=。
立体几何和空间向量综合知识点(高中数学)
立体几何与空间向量一．空间几何体的体积与表面积：1.简单几何体的侧面积、体积及相关性质： 棱柱、棱锥、台体的表面积：柱体、椎体、台体的侧面积：h c S h c c S ch S '=''+==21,)(21,锥侧台侧柱侧（其中c c ',分 别为上下底面周长，h 为高，h '为斜高或母线长）圆柱的表面积 ：222r rl S ππ+=； 圆锥的表面积：2r rl S ππ+=；圆台的表面积：22R Rl r rl S ππππ+++=（r,R 分别为上下底面圆的半径）； 球的表面积：24R S π=； 扇形的面积：222121360r lr R n S απ===扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 空间几何体的体积柱体的体积：h S V ⨯=底；锥体的体积：h S V ⨯=底31； 台体的体积：h S S S S V ⨯+⋅+=)(31下下上上 ；球体的体积：334R V π=。
2.空间几何体直观图斜二测画法要领： 横相等，竖减半，倾斜45°，面积为原来的42，平行关系不变。
3.棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似 相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；4.立体几何中常见模型的性质： 长方体：（1）长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c ，则体对角线长为222c b a ++，全面积为2ab+2abc+2ac ，体积V=abc 。
（2）已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为γβα,,，则有1cos cos cos 222=++γβα或2sin sin sin 222=++γβα。
（3）长方体外接球的直径是长方体的体对角线长222c b a ++。
高中数学必修2--空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a共线的单位向量为a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
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空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
;;OB OA AB a b =+=+ BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：ba b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。
ab b a //（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λa bb 0 a b a。
b （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ= <=>)1(=++=y x y x 其中（4）与共线的单位向量为a 4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实,a b p ,a b数使。
,x y p xa yb =+（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>ACy AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存,,a b cp 在一个唯一的有序实数组，使。
,,x y z p xa yb zc =++若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，,,a b c {,,}a b c,,a b c 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
立体几何空间向量公式知识点归纳总结
立体几何空间向量公式知识点归纳总结 1、空间向量的概念： （1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．（2）向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．（3）向量的大小称为向量的模（或长度），记作．（4）模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量．（5）与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、空间向量的加法和减法：（1）平行四边形法则．（2）三角形法则．3、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍．4、分配律：；结合律：．5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．8、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则．AB AB 01a a a -λa a λ0λ>a λa 0λ<a λa 0λ=a λ0a λa λ()a b a b λλλ+=+()()a a λμλμ=a ()0b b ≠//a b λa b λ=P C AB x y x y C AP =AB +A O x y C OP =OA +AB +A P A B C ()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：．10、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作． 11、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为．12、等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 13、若，为非零向量，为单位向量，则有；； ，，； ； ． 14、量数乘积的运算律： ； ； ．15、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得．16、三个向量，，不共面，则所有空间向量组成的集合是．这个集合可看作是由向量，，生成的，称为空间的一个基底，，，称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．17、设，，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，，的公共起点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方a b O a OA =b OB =∠AOB a b ,a b 〈〉[],0,a b π〈〉∈a b ,2a b π〈〉=a b a b ⊥a b cos ,a b a b 〈〉a b a b ⋅cos ,a b a b a b ⋅=〈〉0a b ⋅a a b a cos ,b a b 〈〉a b e ()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉()20a b a b ⊥⇔⋅=()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向2a a a ⋅=a a a =⋅()4cos ,a ba b a b ⋅〈〉=()5a b a b ⋅≤()1a b b a ⋅=⋅()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅a b c p {},,x y z p xa yb zc =++a b c {},,,p p xa yb zc x y z R =++∈a b c {},,a b c a b c 1e 2e 3e O 1e 2e 3e O 1e 2e 3e x y z向建立空间直角坐标系．则对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．把，，称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作．此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标．18、设，，则（1）．（2）．（3）．（4）．（5）若、为非零向量，则．（6）若，则．（7）（8）（9），，则19、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有．20、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，．为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，就确定了平面的位置．21、直线垂直平面，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量．22、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，，则，．23、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且， xyz O p {},,x y z 123p xe ye ze =++x y z p 1e 2e 3e (),,p x y z =p P xyz O (),,x y z ()111,,a x y z =()222,,b x y z =()121212,,a b x x y y z z +=+++()121212,,a b x x y y z z -=---()111,,a x y z λλλλ=121212a b x x y y z z ⋅=++a b 12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=0b ≠121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===21a a a x =⋅=+21cos ,x a b a b a b x ⋅〈〉==+()111,,x y z A ()222,,x y z B =(d x AB =AB =l l A A l a l l P ta AP =ααO a b P α(),x y xa yb OP =+O a b αl αl a a αa b a b ////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=a a αn a α⊄则，．24、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则，．25、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有．26、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有．27、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．28、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为．29、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为．////a a αα⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅=//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=αβa b ////a b αβ⇔⇔a b λ=0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=a b θa b ϕcos cos a b a bθϕ⋅==l l αn l αθl n ϕsin cos l n l nθϕ⋅==1n 2n l αβ--αβ1n 2n l αβ--θ1212cos n n n n θ⋅=l P A l n A l cos ,nd n n PA⋅=PA 〈PA 〉=P αA αn αP αcos ,n d n n PA⋅=PA 〈PA 〉=。
高考数学知识点总结之空间向量与立体几何
高考数学知识点总结之空间向量与立体几何一、考点概要：1、空间向量及其运算(1)空间向量的基本知识：①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有巨细和偏向的量叫做向量，而且仍用有向线段表示空间向量，且偏向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。
②空间向量基本定理：ⅰ定理：要是三个向量不共面，那么敷衍空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。
且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。
ⅱ正交基底：要是空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。
ⅲ 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。
ⅳ 空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中恣意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。
③共线向量(平行向量)：ⅰ定义：要是表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。
ⅱ准则：零向量与恣意向量共线;ⅲ共线向量定理：对空间恣意两个向量平行的充要条件是：存在实数，使。
④共面向量：ⅰ定义：一般地，能平移到联合平面内的向量叫做共面向量;空间的恣意两个向量都是共面向量。
ⅱ向量与平面平行：要是直线OA平行于平面或在内，则说向量平行于平面，记作。
平行于联合平面的向量，也是共面向量。
ⅲ共面向量定理：要是两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。
ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于鉴定时，还需要证明此中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。
ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或敷衍空间恣意一定点O，有。
⑤空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作， (两个向量的开始一定要相同)，则叫做向量与的夹角，记作，且。
⑥两个向量的数量积：ⅰ定义：已知空间两个非零向量、，则叫做向量、的数量积，记作，即：。
空间向量与立体几何的知识点总结
空间向量与立体几何空间向量及其线性运算知识点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 -a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量注意：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．知识点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝OA＋AB＝OB减法a－b＝OA－OC＝CA数乘当λ>0时，λa＝λOA＝PQ；当λ<0时，λa＝λOA＝MN；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.共线向量与共面向量知识点一 共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量． 知识点二 共面向量 1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .推论：1.已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，存在有序实数对(x ，y )，满足关系AC y AB x OA OP ++=，则点P 与点A ，B ，C 共面。
空间向量与立体几何知识点
空间向量与立体几何知识点第一篇：空间向量1. 空间向量的表示方法空间向量可以用有向线段、坐标和向量分量等多种方式进行表示。
其中，有向线段表示空间向量的长度、方向和起点，坐标表示空间向量的左端点和右端点的坐标，向量分量表示空间向量在三个坐标轴上的投影。
2. 空间向量的加减法空间向量的加减法与二维向量的加减法类似，可以通过将两个向量的分量逐一相加或相减得到结果向量的分量。
也可以通过平移法、三角法、正交分解等方法进行计算。
3. 空间向量的数量积和向量积空间向量的数量积和向量积都具有几何意义和物理意义。
数量积表示两个向量之间的夹角余弦值和向量长度的乘积，通常用于计算向量的投影和求解平面或直线的方程。
向量积表示两个向量所在平行四边形的面积和法向量，通常用于计算向量的叉积、平面或直线的法向量以及计算空间中两个平面的夹角。
4. 空间向量的共线、垂直和平行空间向量的共线、垂直和平行是三种基本关系。
当两个向量共线时，它们所在直线相交或重合；当两个向量垂直时，它们的数量积为0，而向量积为一个与它们垂直的向量；当两个向量平行时，它们的向量积为0，而数量积为它们长度的乘积。
5. 应用举例空间向量广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
例如，通过计算物体的重心和质量分布情况，可以求解物体的转动惯量和稳定性问题；通过计算矢量场中的散度和旋度，可以分析流体的运动状态和变化规律；通过计算三维空间中的距离和夹角，可以在计算机图形学中进行三维模型的建模和渲染。
第二篇：立体几何1. 立体几何的基本概念立体几何是研究三维空间中的基本几何对象和它们的性质、关系的数学分支。
它包括点、线、面、体和空间角等多个基本概念，用于描述和分析三维物体的形状、大小和位置关系。
2. 立体几何的基本公理立体几何的基本公理是欧几里得几何的扩展，是指空间中的点、线、面、体和空间角等基本几何对象应满足的性质和约束。
这些公理包括点的唯一性、直线的唯一性、平面的唯一性、线段长度的可加性、平面的无限性、等角推移原理等。
空间向量与立体几何知识点
空间向量与立体几何知识点空间向量与立体几何是数学中的重要分支，它们在解决三维空间问题中发挥着关键作用。
以下是该领域的一些核心知识点：1. 空间向量的概念：空间向量是具有大小和方向的几何对象，可以表示为有序数对或有序数组。
2. 空间向量的表示：空间向量通常用箭头表示，箭头的起点和终点分别代表向量的起点和终点。
3. 空间向量的坐标：空间向量可以通过三个坐标值来表示，这些值分别对应于向量在三个正交坐标轴上的投影。
4. 向量的加法：两个空间向量可以通过平移和连接的方式相加，结果向量的方向和大小由这两个向量决定。
5. 向量的数乘：一个向量可以通过与一个标量相乘来缩放，结果向量的方向保持不变，但大小会按比例变化。
6. 向量的点积（内积）：两个向量的点积是一个标量，它反映了这两个向量的夹角和大小的关系。
7. 向量的叉积（外积）：两个向量的叉积是一个向量，它垂直于原来的两个向量，并且其大小等于原来两个向量构成的平行四边形的面积。
8. 向量的模：一个向量的模是其长度，可以通过勾股定理计算得到。
9. 向量的单位化：将一个向量除以其模，可以得到一个方向相同但长度为1的单位向量。
10. 空间中的点、线、面：在空间中，点由坐标确定，线由两个点确定，面由三个不共线的点确定。
11. 空间直线的参数方程：空间直线可以通过参数方程来表示，其中参数表示直线上点的位置。
12. 空间平面的方程：空间平面可以通过一个方程来表示，该方程描述了平面上所有点的坐标关系。
13. 点到直线的距离：可以通过向量的点积和叉积来计算点到直线的最短距离。
14. 直线与平面的关系：直线可以与平面相交、平行或在平面内。
15. 立体几何体：空间中的几何体如多面体、圆柱、圆锥等，可以通过空间向量来描述其顶点、边和面。
16. 体积和表面积：空间几何体的体积和表面积可以通过积分或向量方法来计算。
17. 空间几何的对称性：空间几何体的对称性可以通过向量和坐标变换来分析。
空间向量与立体几何知识点归纳总结56734
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1。
空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算.定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）.OB OA AB a b =+=+；BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律:a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律:b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //.（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ,使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线〈=〉AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4。
共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明:空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=〉)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量与立体几何知识点
空间向量与立体几何知识点TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-立体几何空间向量知识点总结知识网络：知识点拨：1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广．2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ⋅=⇔⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．3、公式cos ,a ba b a b⋅<>=⋅是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等．4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题．5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．（2）线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ⋅=⇔⊥． （3）线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．（5）面面平行①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题．（6）面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题．6、运用空间向量求空间角（1）求两异面直线所成角利用公式cos,a ba ba b⋅<>=⋅，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，故实质上应有：cos cos,a bθ=<>．（2）求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．（1）点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．（2）点与面的距离点面距离的求解步骤是：①求出该平面的一个法向量；②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．备考建议：1、空间向量的引入，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，应体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力．2、灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．3、在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时，直线的方向向量与平面的法向量有着举足轻重的地位和作用，它的特点是用代数方法解决立体几何问题，无需进行繁、难的几何作图和推理论证，起着从抽象到具体、化难为易的作用．因此，应熟练掌握平面法向量的求法和用法．4、加强运算能力的培养，提高运算的速度和准确性．第一讲空间向量及运算一、空间向量的有关概念1、空间向量的定义在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量．注意空间向量和数量的区别．数量是只有大小而没有方向的量．2、空间向量的表示方法空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用有向线段的方向表示向量的方向．若向量a 对应的有向线段的起点是A ，终点是B ，则向量a 可以记为AB ，其模长为a或AB．3、零向量长度为零的向量称为零向量，记为0．零向量的方向不确定，是任意的．由于零向量的这一特殊性，在解题中一定要看清题目中所指向量是“零向量”还是“非零向量”．4、单位向量模长为1的向量叫做单位向量．单位向量是一种常用的、重要的空间向量，在以后的学习中还要经常用到． 5、相等向量 长度相等且方向相同的空间向量叫做相等向量．若向量a 与向量b 相等，记为a =b .零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关． 6、相反向量长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量．a 的相反向量记为－a 二、共面向量 1、定义平行于同一平面的向量叫做共面向量． 2、共面向量定理若两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y,使得p =xa yb +。
空间向量与立体几何知识点
空间向量知识要点1. 空间向量的概念：在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量是既有大小，又有方向的量。
（2）向量具有平移不变性 2. 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．注：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。
相等向量：长度相等且方向相同的向量． 3. 空间向量的运算。
<向量加法运算>定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ； ②结合律：()()a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++<向量减法运算>⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--．<向量数乘运算>⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ．①a a λλ=；②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ= ．⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ==baCB Aa b C C -=A -AB =B<向量的数量积>⑴ 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,O A a O B b == ，则A O B ∠叫做向量a与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥。
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空间向量与立体几何知识点归纳总结1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）运算律：⑴加法交换律：a b b a⑵加法结合律：（a b ） c a (b c)⑶数乘分配律：（a b ）a b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。
（1） 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a//b 。
（2） 共线向量定理：空间任意两个向量 a 、b （ b 丰0 ）, a//b 存在实数入，使a =A b 。
（3） 三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>ABACi i■.1<=> OC xOA yOB （其中（ y 1）—*■一a （4）与a共线的单位向量为 —a4. 共面向量（1） 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2） 共面向量定理：如果两个向量 a,b 不共线，p 与向量a,b 共面的条件是存在实数 x, y 使uOw A go购Bgorarap xa yba- r b r b rb •7d3a d 3a3a2aR（3）四点共面：若A 、B 、c 、P 四点共面<=> AP xAB yAC<=>OP xOA yOB zOC （其中 x y z 1）r ,r r r5. 空间向量基本定理：如果三个向量 a,b,C 不共面，那么对空间任一向量 P ，存在一个唯一的有r i r r 1 r r 1 r若三向量a,b,c 不共面，我们把｛a,b,c ｝叫做空间的一个基底，a,b,c 叫做基向量，空间任意 三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设o,代B ,C 是不共面的四点，则对空间任一点 P ，都存在唯一的三个有序实数x, y, Z ， uuuuuu uuu uuur使 OP xOA yOB zOC 。
6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz 中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组（X, y, z ）,使OA xi yi zk ，有序实数组（x,y,z ）叫作向量 A 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，记作 A （x, y, z ）， x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为（x,-y,-z ）,关于xoy 平面的对称点为（x,y,-z ）.即点关于什么轴 /平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。
②在y 轴上的点设为（0,y,0）,在平面yOz 中的点设为（0,y,z ）r r r（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用｛i, j, k ｝表■*■=*-示。
空间中任一向量a xi y j zk = （x,y,z ）（3）空间向量的直角坐标运算律：rrr r①若 a@"283），b（dbb ），则 a b佝 t t ,a 2 b 2,a 3 b.），r序实数组x, y, z ，使pryba b a 1b l a 2b 2 0。
uuu② 若 A(X i ,y i ,z i ) , B(X 2,y 2,Z 2)，则 AB (x ?儿，y ?WZ zj 。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
③ 定比分点公式：若A(X i ,y i ,Z i )， B(x 2,y ?,Z 2)， AP PB ，则点P 坐标为z X iX 2 y i y Z iZ 2、( --------- , --------- , --------- )。
推导：设 P (x,y,Z )则(x X i,y y i ，Z Z i ) 化 x,y ? g Z ),i i i显然，当P 为AB 中点时，P(X i生律立，勺勻2 2 2④ABC 中，A (X i ，y i ，Z i )弋区，丫2，勺)2&3, 丫3乙)，三角形重心P 坐标为X i X 2 X 3 y iy 2 y 3 J 兀 B 、(3 ， 2 ，2)⑤厶ABC 的五心：内心P :内切圆的圆心，角平分线的交点。
AP(| A BA B 1AC )(单位向量)AC 外心P :外接圆的圆心，中垂线的交点。
PAPBP C垂心P ：高的交点：PA PB PA PC PB PC (移项，内积为0，则垂直)i重心P ：中线的交点，三等分点(中位线比) AP 3(AB AC)3中心：正三角形的所有心的合一。
(4) 模长公式：若a△ ABC 中①AB?AC 0 <=>A 为锐角②AB?AC 0 <=>A 为钝角，钝角△(6)两点间的距离公式：若 A(x i , y i ,Z i )， B(X 2,y 2,Z 2)， .(X 2 X i )2 (y 2 y i )2 (Z 2 Z i )2，(5)夹角公式:：'22 2\ a i a 2 a3XI r b r a XIr |b|.b bP3aa b 22 b3uuu /uuur 则 | AB | ABr b r a2 b22 a2或d A,B .(X2 x)2(y2 y i)2(Z2 Z i)2 7. 空间向量的数量积uuu r uuu r（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b ，在空间任取一点o,作OA a,OB b ，二.空间向量与立体几何 1 •线线平行 两线的方向向量平行1-1线面平行 线的方向向量与面的法向量垂直1- 2面面平行 两面的法向量平行 2线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2- 1线面垂直 线与面的法向量平行 2-2面面垂直 两面的法向量垂直3线线夹角 （共面与异面）[0°,90°]两线的方向向量n 1, n 2的夹角或夹角的补角，cos cos n1,n23- 1线面夹角[0°,90°]:求线面夹角的步骤：先求线的方向向量 AP 与面的法向量n 的夹角，若为锐 角角即可，若为钝角，贝U 取其补角；再求其余角，即是线面的夹角 .sin cos AP,n 3- 2面面夹角（二面角） [0°,180°]:若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n 1,n 2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角• cos cos口，口2则 AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作r b ra,;且规定0显然有r b ra,ra，则称a 与b 互相垂直，记作：a b2LUU rLUU r r（2）向量的模：设OA a ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：|a|（3） 向量的数量积：已知向量 a,b ，r r r r r r 即a b |a| |b| cos a,b 。
叫做a,b 的数量积，记作a b ,r r , r, r r r① a e | a | cos a,e 。
② abr r 2 r r a b 0。
③|a | a a（5） ①（r ③a空间向量数量积运算律: r b \) rarara,2.rarc rc ra — b（分配律）④不满足乘法结合率:(a b)c a(b c)r ab a （交换律）一一uuu ,- 4. 点面距离h :求点P x°,y°至V平面的距离：在平面上去一点Q x, y，得向量PQ .;计算例 3 已知空间三点 A （0, 2, 3）, B （ — 2, 1, 6）, C （1,— 1, 5）uuu uur⑴求以向量AB,AC 为一组邻边的平行四边形的面积 S ;ruuu uuLT r lr⑵若向量a 分别与向量AB, AC 垂直，且|a|= . 3，求向量a 的坐标2. 基底法（如何找，转化为基底运算）平面的法向量n ;. hPQ ? n|n4-1线面距离（线面平行） :转化为点面距离 4-2面面距离（面面平行） :转化为点面距离 【典型例题】 1. 基本运算与基本知识例1.已知平行六面体ABCD — A B CD ，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量uuu uuu uuu uuur ⑴ AB BC ; (2) AB ADuuu uuur 1 uuiu 1 uuu ⑶ AB AD -CC ；⑷一(AB 23例2.对空间任一点O 和不共线的三点A,B,C ，问满足向量式:uuu uuu uiur OP xOA yOBuurzOC (其中x yz 1）的四点P,代B,C 是否共面?3•坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）4 •几何法例 4.如图，在空间四边形 OABC 中，OA 8, AB 6, AC 4 , BC 5 , OAC 45°, OAB 60°, 求OA 与BC 的夹角的余弦值。
说明：由图形知向量的夹角易出错，女口 OA,AC 135°易错写成 OA,AC 45°，切记!例5.长方体ABCD AB i C i D i 中，AB BC 4 , E 为AG 与的交点，F 为BC i 与BC 的交点，又 AF BE ，求长方体的高BB 1。
【模拟试题】1.已知空间四边形ABCD ，连结AC,BD ，设M,G 分别是BC,CD 的中点，化简下列各表达式，并标uuu uuu uuur出化简结果向量：（1）AB BC CD ；2.已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量 uuu uuu uuu uuu ULLT UUUULLT UULT OE kOAOF kOB,OG kOC, OH kOD 。
uuu 1 uur uuu(2) AB (BD BC)；UULT 1 uuu UULT (3) AG (AB AC)(1)求证：四点E,F,G,H共面;(2)平面AC //平面EG 。
3. 如图正方体ABCD A1B1C1D1中，B.E,1 D1F1 - AB1，求BE1与DF1所成角的余弦。
45. 已知平行六面体ABCD ABCD中，AB 4, AD 3, AA 5, BAD 900，0 BAA DAA 60 0，求AC的长3. ［参考答案］ 1.解：如图, (1) UUU AB unu uuur uuur BC CD AC uu ur CD uur AD 7 (2) UUU AB 1 uur -(BD 2 UUL BC) UUU AB 1 UUL BC 2 1 UU LT -BD 2 UU U AB uuuu BM uuuu MG uuur AG ; (3) UUL T AG 1 UUU — (AB uiur AC) uur AG uuuu AM uuur MG 。