一元函数微积分基本练习题与答案
高等数学：一元函数微分学习题含答案
第二章一元函数微分学一、选择题1．设)(x f y =可导，则)()2(x f h x f -+等于（）.A．)()(h o h x f +'B．)()(h o h x f +'C．)()(h o h x f +'-D．)()(2h o h x f +'2．设)(x f 在0x 处可导，且4)()2(lim000=--→xx f x x f x ，则)(0x f '等于（）.A．0B．1-C．1D．2-3．设)(x f 在0x 处可导，则下列命题中不正确的是（）.A．00)()(limx x x f x f x x --→存在B．00)()(limx x x f x f x x --→不存在C．00)()(lim 0x x x f x f x x --+→存在D．00)()(lim 0x x x f x f x x ---→存在4．已知)(x f y =在0=x 处可导且0)0(=f ，则当0≠t 时，有=→xtx f x )(lim 0（）.A.)(t f B.)0(f 'C．)0(f t 'D．不存在5．函数)(x f 在0x x =处连续，是)(x f 在0x 处可导的（）.A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件6．函数x x f =)(在0=x 处（）.A．连续但不可导B．连续且可导C．极限存在但不连续D．不连续也不可导7．设0)0(=f ，且x x f x )(lim→存在，则xx f x )(lim 0→等于（）.A．)(x f 'B．)0(f 'C．)0(f D．)0(21f '8．设21)1(+=+x x f ，则)(x f '等于（）.A．2)1(1--x B．2)1(1+-x C．11+x D．11--x9．设x x f sin )(=，则0=x 处（）.A．1)0(,1)0(='='-+f f B．1)0(,1)0(-='='-+f f C．1)0(,1)0(-='-='-+f f D．1)0(,1)0(='-='-+f f 10．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1132)(23x xx xx f 在1=x 处（）.A．左右导数均存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左右导数均不存在11．设周期函数)(x f 在()+∞∞-,内可导，周期为2，又12)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线斜率为（）.A．21B．1C．2-D．212．设函数⎩⎨⎧≤<--+≤=10,110,sin )(x x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处满足（）.A．0)0(='f B．1)0(='f C．3)0(='f D．)0(f '不存在13．已知⎩⎨⎧≤+>-=221)(2x b ax x x x ϕ，且)2(ϕ'存在，则常数b a ,的值为（）.A．1,2==b a B．5,1=-=b a C．5,4-==b a D．3,3-==b a 14．函数)(x f 在),(+∞-∞上处处可导，且有1)0(='f ，此外，对任何的实数x ，y 恒有xy y f x f y x f 2)()()(++=+，那么=')(x f （）.A．xe B．xC．12+x D．1+x 15．设xe x g x xf =+=)(),1ln()(2，则[]='))((x g f （）.A．x xe e 2212+B．x xe e 221+C．xxe e 2212-D．xxe e 221-16．设2)(-=x xf ，则)2(f '满足（）.A．值为2-B．值为2C．值为1D．不存在17．设)(x f y =的导数2)0(='f ，则=-→xx f f x 2)()0(lim 0（）.A．1B．2-C．1-D．218．设⎩⎨⎧<+≥+=0,,1sin )(x b x x x a x f ，要使)0(f '存在，则b a ,的值分别是（）.A．1,1==b a B．0,1==b a C．0,0==b a D．1,1-=-=b a 19．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处的性质是（）.A．连续且可导B．连续但不可导C．既不连续也不可导D．可导但不连续20．设2arcsin cosxy =，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'23y （）.A．21-B．21C．23-D．2321．函数xe y sin =，则y ''等于（）.A．xesin B．)sin (sin x ex-C．[]2sin cos x e xD．]sin )[(cos 2sin x x ex-22．函数x x x f )2()(+=的导数为（）.A．1)2(-+x x x B．1)2(-+x x C．)2ln()2(++x x x D．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++)2ln(2)2(x x xx x23．已知x x y ln =，则)12(y 等于（）.A．111x -B．111x C．11!10x D．11!10x -24．设xxe e y --=，则)2016(y等于（）.A．xxee -+B．xxee --C．xxee ---D．xx ee -+-25．已知函数)(x f 具有任何阶导数，且[]2)()(x f x f ='，则当n 为大于2的正整数时，)(x f 的n 阶导数)()(x f n 是（）.A．[]1)(!+n x f n B．[]1)(+n x f n C．[]nx f 2)(D．[]nx f n 2)(!26．由方程1sin =-y xy 所确定的隐函数()x f y =的导数=xyd d （）.A．yy x -cos B．xy y -cos C．yx y cos -D．yx x -cos 27．由方程x y x e y=++)ln(所确定的隐函数)(x f y =的导数=xy d d （）.A．()11++--y x e y x y B．()11-++-y x e y x y C．()11++-+y x e y x y D．()11-+-+y x e y x y 28．设)(x y y =由方程)cos(sin y x x y -=所确定，则=')0(y （）.A．12+πB．12+-πC．12-πD．12--π29．设由方程组⎩⎨⎧=++-=0112y te t x y 确定了y 是x 的函数，则==0d d t x y（）.A．21e B．e21-C．e1-D．e2-30．曲线22x e y x+=上横坐标0=x 处的切线方程是（）.A．012=-+-y x B．012=-+y x C．012=+-y x D．012=-+y x 31．曲线222)2ln(x x y +-=上对应于1=x 处的法线方程是（）.A．)1(22-=-x y B．)1(212--=-x y C．)1(22-=+x y D．)1(212--=+x y 32．曲线01cos 22=--y e x上点)3,0(π处的切线方程是（）.A．332π+=x y B．332π+-=x y C．332π--=x y D．xy 32-=33．曲线⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 在4π=t 处的切线方程是（）.A．)222222-=-x y B．)2222-=x y C．)22(22--=x y D．y 22=34．设1212+=x y ，则当01.0,1=∆=x x 时，y d 与y ∆分别为（）.A．2,01.0d =∆=y y B．01.0,201.12d =∆-=y y C．21)01.1(21,01.0d 2-=∆=y y D．1,01.0d =∆=y y 35．若函数)(x f y =有21)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函数在0x x =处的微分y d 是x∆的（）.A．等价无穷小B．同阶但不等价的无穷小C．低阶无穷小D．高阶无穷大36．xx y 1=在e x =处取得（）.A．极大值B．最大值C．极小值D．最小值37．下列函数在[]e ,1满足拉格朗日中值定理的是（）.A．xx sin ln ln +B．xln 1C．)2ln(+x D．)2ln(2x -38．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，则下列命题正确的是（）.A．)(x f 在[]b a ,上一定有最大值和最小值B．)(x f 必在区间内部取得最小值C．)(x f 必在区间端点处取得最大值D．若)(x f 在[]b a ,内有极值，则此值必为最值39．设1)()()(lim2-=--→a x a f x f ax ，则在a x =处)(x f （）.A．可导且1)(-='a f B．)(a f 是)(x f 的极小值C．不可导D．)(a f 是)(x f 的极大值40．设函数c bx ax x x f +++=23)(，且0)0()0(='=f f ，则下列结论不正确的是（）.A．0==c b B．当0>a 时，)0(f 为极小值C．当0<a 时，)0(f 为极大值D．当0≠a 时，())0(,0f 为拐点41．函数2332)(x x x f -=在区间[]4,1-上的最小值是（）.A．0B．1-C．80D．5-42．若当0→x 时，)1(2++-bx ax e x是比2x 高阶的无穷小，则（）.A．1,1==b a B．1,21==b a C．1,21=-=b a D．1,1-=-=b a 43．（数二）已知某产品的需求函数为510QP -=，则当30=Q 时的边际收益为（）.A．2-B．3-C．2D．344．（数二）若总成本函数是二次函数c bQ aQ Q C C ++==2)(，其中0,0,0≥≥>c b a ，当产量=Q （）时，平均成本最低？A．a cB．ca C．ac D．ca 二、填空题45．设)(x f 在0x 处可导，且A x f =')(0，则hx f h x f h )()2(lim000-+→用A 的代数式表示为_______．46．设2)3(='f ，则=-+→h f h f h 2)3()3(lim_______．47．设xe xf 1)(=，则=--→h f h f h )2()2(lim_______．48．设2)(x x f =，则=--→2)2()(lim2x f x f x _______．49．))...(2)(1()(n x x x x x f +++=，则=')0(f _______．50．设432)4()3()2)(1()(----=x x x x x f ，则=')1(f _______．51．设1)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f h x f hh _______．52．设215)()5(lim5-=--→x x f f x ，则=')5(f _______．53．设)(x f 在点0x 处可导，且41)()2(lim000=--→x f h x f h h ，则=')(0x f _______．54．已知)(x f 在0=x 处可导，且0,6)0(≠='h f ，则=--→xhx f hx f x 3)()(lim_______．55．若1)1(2-=-x x f ，则=')(x f _______．56．曲线xe x y +=在点()1,0处的切线方程是_______．57．已知x x y arctan )1(2+=，则=''y _______．58．已知)1ln(2x x y ++=，则=''y _______．59．设曲线方程为⎩⎨⎧+=++=tt y tt x cos sin 2，则='y _______．60．设)1sin(2+=x e y x，则=y d _______．61．求=--→xx e x x 630sin 1lim 3_______．62．设)7)(5)(1)(13()(----=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有_______个实根．63．函数x y sin =在区间[]π,0满足罗尔定理的=ξ_______．64．函数x x y -=22在[]2,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ_______．65．曲线x x x y 23123+-=的拐点为_______．66．曲线35)2(-=x y 的拐点为_______．67．（数一）曲线x x y -=12的垂直渐近线方程是．68．（数一）1)(22-=x x x f 有条渐近线．69．（数一）111)(-+=x e x f 有条渐近线．70．已知)4,2(是曲线c bx ax x y +++=23的拐点，且曲线在3=x 处有极值，=a ，=b ，=c .71．（数二）已知某产品的总成本函数C 与产量x 的函数关系为2000102.0)(2++=x x x C ，则当产量10=x 时，其边际成本是．72．（数二）已知某商品的收入函数为2312Q Q R -=，则当=Q 时边际收入为0．73．（数二）设某种产品的单位成本y 是产量x 的函数，xx y 164++=（元），若产品以每件1000元的价格销量，当产量=x 时总利润最大．74．（数二）生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x C ，固定成本1000)0(=C ，求生产x 个产品的总成本函数.75．（数二）设边际收入函数为q q R 32)(+='，且0)0(=R ，则平均收入函数为__________.76．（数二）某公司在一个生产周期内制造x 台电冰箱的成本22.02008000)(xx x C -+=)4000(≤≤x 第251台电冰箱的实际制造成本为.三、计算题77．设)1ln(cos )(2x x f -=，求)(x f '．78．4312)(+-=xx x f ，求)(x f '．79．221cos 5ln x x y -+=，求y '及y d ．80．设x ey x3cos -=，求y '．81．设xy 1cosln =，求y '．82．设1133+-=x x y ，求y '．83．设2x xee y +=，求1.00 d =∆=x x y．84．设x x y +=，求y '．85．设)32(2+-=-x x ey x，求y '．86．设212arcsintty +=，求y '．87．设⎪⎭⎫⎝⎛+-=2323x x f y ，且2arcsin )(x x f ='，求d d =x x y ．88．设134)1(2++=+x x x f ，)()(xe f x g -=，求)(x g '．89．求b a ,的值，使⎩⎨⎧>+≤-=1,ln 1),1(sin )(x b x x x a x f ，在1=x 处可导．90．设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=0,0,11)(x bx a x x xx f 处处可导，求a 和b 的值．91．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,1)(1x x e xx f x ，求)0(-'f ，)0(+'f ，同时讨论)0(f '是否存在．92．已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)(x f '．93．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==0,00,1sin )(2x x xx x f y 的导数．94．设)(x ϕ在a 点的某领域内连续，)()()(x a x x f ϕ-=，求)(a f '．95．设)(x f ''连续，0)0(=f ，记⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0),0(0,)()(x f x x x f x F ，证明)(x F '连续．96．设函数)(x f 处处可导，[]{})(x f f f y =，求x yd d ．97．设x x y ln 22+=，求y ''．98．设xx y +-=11，求)(n y ．99．设x x y ln =，求)(n y ．100．设)1ln(2x x y ++=，求y ''．101．[])(ln x f y =，求y ''102．)2(2x x f y +=，其中f 二阶可导，求y ''．103．设)(x f ''存在，)(x xe f y -=，求y ''．104．求由方程32y x e xy +=所确定的隐函数)(x f y =的微分y d ．105．求方程)sin(y x y +=确定的隐函数的二阶导数．106．已知222222b a y a x b =+，求y ''107．求由方程232-+=y x e xy 确定的隐函数)(x f y =在点)1,0(处的切线方程．108．设)(x y y =由方程e xy e y =+确定，求)0(y '．109．用对数求导法求函数xx x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1的导数．110．用对数求导法求函数54)1()3(2+-+=x x x y 的导数．111．设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧==t e y t e x t t cos sin 所确定，求3d d π=t x y ．112．设曲线)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 所确定，求曲线在4π=t 处的切线方程．113．设函数)(x f y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 1 22，求22d d x y ．114．设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos 确定，22d d ,d d x yx y ．115．求方程⎩⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 表示的函数的二阶导数．116．x xx x 20tan )1ln(lim -+→．117．x x x 2cot 2lim 2⎪⎭⎫⎛-→ππ．118.xx x cos 1120)1(lim -→-．119．求⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x ．120．求()x x x ln 31102sin lim +→+．121．求x x x 2sin 231lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→．122.ax a x a x --→sin sin lim .123．xx x 5tan 3sin lim π→.124．22)2(sin ln lim x x x -→ππ.125．)0(lim ≠--→a a x a x nn mm a x .126．xx x 2tan ln 7tan ln lim 0+→.127．x xx 3tan tan lim 2π→.128．xarc x x cot 11ln lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→.129．x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→.130．x x x 2cot lim 0→.131．2120lim x xe x →.132．⎪⎭⎫⎝⎛---→1112lim 21x x x .133．122231lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+++x x x x a .134．x x x sin 0lim +→.135．x x x tan 01lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→.136．求7186223---=x x x y 的单调区间．137．求3)3)(1(+-=x x y 的单调区间．138．求函数x x y -=在区间[]1,0上的最小值．139．求函数)1ln(21arctan 2x x y +-=的极值点和极值．140．求函数32)1(2--=x y 的极值点和极值．141．设x x a y 3sin 31sin +=在点3π=x 处取得极小值，求a 的值．142．求曲线)1ln(2+=x y 的拐点．143．设函数)(x f y =由方程1222223=-+-x xy y y 所确定，求)(x f y =的极值．144．求曲线21x xy +=的凹凸区间及拐点．145．设函数x bx x a x f 3ln )(2-+=在1=x 和2=x 处取得极值，求b a ,的值．146．已知点)4,2(是曲线c bx ax x y +++=23的拐点，且曲线在3=x 处取得极值，求b a ,c 的值．147．求函数12+=x x y 的极值．148．求函数x e x x f -=2)(在]3,1[-上的最大值与最小值．149．设曲线方程为462++=x x y ，求曲线在)4,2(--处的切线方程．150．求等边双曲线x y 1=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程．151．求曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 22在0=t 处的切线方程和法线方程．152．求曲线0)ln(22=++yxe y x 在0=x 处的切线方程．153．确定c b a ,,的值，使c bx ax x y +++=23在点)1,1(-处为拐点，且在0=x 处有极大值为1，并求此函数的极小值．154.设函数)(x f 在[]a ,0上二阶可导，0>a 且0)(>''x f ，0)0(=f ，证明xx f x g )()(=在[]a ,0上单调增加．155．求函数26323-+-=x x x y 在区间[]1,1-上的最值．156．求函数322)1()2(+-=x x y 在区间[]2,2-上最大值和最小值．157．求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23与曲线21x y =相切的直线方程．158．求曲线01322=+++y xy x 在点)1,2(-处的切线和法线方程．159．设甲船以km/h 6的速率向东行驶，乙船以8km/h 的速度向南行驶，在中午十二点整时，乙船位于甲船之北16km 处，问下午一点整时两船相离的速率为多少？160．已知曲线2x y =与3x y =的切线平行，求x 的取值．161．求椭圆12222=+by a x 在点),(11y x M 处的切线方程．162．设甲、乙两船同时从一码头出发，甲船以km/h 30的速度向北行驶，乙船以km/h 40的速度向东行驶，求两船间的距离增加的速度．163．已知曲线的参数方程⎩⎨⎧==-232t t e y e x ，证明0d d d d 21222=+x y x y e t .164．（数一）求曲线2)1(42--=xx y 的水平和垂直渐近线．165．设曲线cx bx ax y ++=23上点)2,1(处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求该曲线方程．166．设点)2,1(-是曲线123-+=bx ax y 上的一个拐点，求a 和b 的值．167．设函数3)(4-+=bx ax x f 在1-=x 点处取得极小值0，求a 和b 的值．168．设函数)(x f 满足)()(x f x f ='，且1)0(=f ，求证:x e x f =)(．169．求函数xe y x+=1的单调区间和极值．170．设)1ln(21arctan )(arctan 21222x x x x x y ++-+=，求y d ．171．求函数3223x x y -=在区间[]1,1-上的最大值与最小值．172．已知曲线2x y =与直线cx y =)10(<<c 所围成图形的面积为1S ，曲线2x y =与直线cx y =)10(<<c 及直线1=x 所围城图形的面积为2S ，求21)(S S c S +=的最小值.173．求内接于半径a的球的长方体体积的最大值.174．用32cm长的一根铁丝围成一个矩形小框，试问：当矩形的长和宽各为多少时，围成的矩形面积最大？175．用薄铁板做一体积为V的有盖圆柱形桶，问桶底直径与桶高应有怎样的比例，才能使所用材料最省.176．已知某船的耗油费用与其速度的立方成正比，若每小时行驶10海里的耗油费为25元，其余费用每小时100元，求最经济的速度．177．欲做一个容积为3m V 的无盖圆柱形储粮桶，底用铝制，侧壁用木板制，已知每平方米铝价是木板价的5倍，问怎样做才能使费用最少．178．窗子的上半部为半圆，下半部为矩形，如果窗子的周长L 固定，试问当圆的半径r 取何值时，能使窗子的面积最大．179．欲围一个面积为2m 150的矩形场地，所用材料的造价是正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元，问场地的长，宽各为多少米时，才能使所用材料费最少．180．设甲船位于乙船东75海里，以12海里每小时的速度向西行驶，而乙船则以6海里每小时的速度向北行驶，问经过多长时间，两船相距最近？181．用a 万元购料，建造一个宽于深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面积材料费的5.1倍，求水池长与宽（深）各是多少，才能使容积最大.（地面单位面积材料费为1万元）.182．在曲线26x y -=)0(>x 上确定一点，使该点处的切线与两坐标轴围城的平面图形的面积最小，并求最小值.183．已知函数x x x f 2)(3+=在区间[]1,0上满足拉格朗日定理，求相关的ξ值．184．（数二）设某工厂生产某种商品的固定成本为200（百元），每生产一个单位商品成本增加5（百元），且已知需求函数P Q 2100-=（其中P 为价格，Q 为产量）.这种商品在市场上市场上畅销的．（1）试分别列出该商品的总成本函数)(P C 和总收益函数)(P R 的表达式．（2）求出使该商品的总利润最大时的产量．185．（数二）某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，每多生产一吨该产品，成本增加5万元，该产品的边际收益函数为Q Q R 02.010)(-='，其中Q (单位：吨)为产量.试求：（1）该产品的边际成本函数；（2）该产品的总收入函数；（3）Q 为多少时，该厂总利润L 最大？最大利润是多少？186．（数二）某工厂生产某产品时，每日总成本为C 元，其中固定成本为50元，每多生产一单位产品，成本增加2元，该产品的需求函数为505Q p =-，求Q 为多少时，工厂日总利润L 最大？最大利润是多少？187．（数二）某商品的需求函数为275)(p p f Q -==，（1）求5=p 时的边际需求；（2）当p 为何值时，总收益最大？最大的总收益为多少？31第二章一元函数微分学1.D 。
一元函数微积分综合练习参考解答
§4、一元函数微积分综合练习【例1】已知数列}{n x 满足).,2,1(sin ,011Λ==<<+n x x x n n π(Ⅰ)证明n n x ∞→lim 存在，并求其极限值；(Ⅱ)求极限211)(lim n x nn n x x +∞→．〖解〗（Ⅰ）∵1|sin |||1≤=+n n x x ，),2,1(sin 1Λ=<=+n x x x n n n ，∴n x 单调有界，由单调有界准则可得：n x 收敛。
设a x n n =∞→lim ，在n n x x sin 1=+两边同时取极限可得a a sin =，0=a ，故0lim =∞→n n x 。
（Ⅱ）}1lim exp{}lnlimexp{)(lim 2121112nnn n n n n n x nn n x x x x x x x x n −==+∞→+∞→+∞→}sin lim exp{}sin lim exp{}lim exp{30331t tt x x x x x x t x t n n n n n n n n n −=−=−=→=∞→+∞→6120}61exp{}31cos lim exp{−→=−=−=e t t t 。
■【例2】试确定常数c b a ,,，使得30sin lim0ln(1)x x b ax xc t dtt →−=≠+∫．〖解〗∵0)1ln(sin lim30≠=+−∫→c dtt t xax x b x ，且0)sin (lim 0=−→x ax x ，∴0)1ln(lim 30=+∫→xbx dt t t ，从而，0=b 。
原式)1ln()cos (lim)1ln(cos lim )1ln(sin lim 303030x x a x x x x a dt t t x ax x x rule L x b x +−=+−=+−=→→−→∫c x x a x x a x a x x ==−=−==→→21cos lim )cos (lim 12030，即21,0,1===c b a 。
一元微积分_函数、数列及其极限练习题(1)
习题课 1函数、数列及其极限1. 函数的简单性质 ● 增减性（单调性）● 设函数)(x f y =定义域为X ，若X x x ∈∀21,，当21x x <时有)()(21x f x f ≤，则称)(x f y =在X 上为增函数（非严格），而当21x x <时有)()(21x f x f <，则称)(x f y =在X 上为严格单调增函数。
类似可给出单凋减函数的定义。
● 奇偶性函数)(x f y =在对称的定义域内满足)()(x f x f =-，则称)(x f y =为偶函数； 函数)(x f y =在对称的定义域内满足)()(x f x f -=-时，则称)(x f y =为奇函数。
● 周期性：若存在一个正数T ，使函数)(x f y =在定义域内满足)()(x f T x f =+，则称)(x f y =为周期函数。
这里的正数T 对一个周期函数来说不是唯一的（事实上有无穷多），一般情况下，称其中最小正数称为周期。
● 有界性：设函数)(x f y =在X 上有定义，若存在一个正数M 使得对任意X x ∈有M x f ≤)(，则称函数)(x f y =在X 上有界。
连续函数的有界性，后面还将具体讨论。
例：任何函数都可以写成奇函数与偶函数的和。
解： [][])()(21)()(21)(x f x f x f x f x f --+-+=例1：已知2)1()(2x x f x f =-+, 求)(x f 表达式。
2. 数列1) ()n n n nn +--+∞→222322lim2) 221lim n nn +++∞→3) 321lim2-+∞→n n n4) 设11>=a a ，a 为常数，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n a a a a 1121，),2,1( =n ，证明极限 n n a ∞→lim 存在，并求此极限。
5) 求极限 ()nn nn 1321lim +++∞→6) 求极限∑+∞→+nk n kn k12lim 。
高等数学一元微积分学课后练习题含答案
高等数学一元微积分学课后练习题含答案概述高等数学一元微积分是大学数学中的重要课程，掌握好微积分理论和应用，对于理解和学习后续相关数学课程都有非常重要的作用。
在学习一元微积分的过程中，做好练习题也是非常重要的一环。
因此，本文档提供了一些高等数学一元微积分学课后练习题和答案，供大家练习和参考，希望能够帮助大家更好地掌握这门课程。
练习题与答案题目 1已知点A(0,1)和点B(2,5)，则过点 A 且斜率为 3 的直线方程为？答案利用两点式，设所求直线方程为y=kx+1，则有：$$ k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{5 - 1}{2 - 0} = 2 $$因为所求直线的斜率为 3，所以有k=3，代入上式得：y=3x+1所以答案为y=3x+1。
题目 2已知函数f(x)=x3−6x2+11x−6，求其零点。
答案为了求出函数f(x)的零点，我们需要通过解方程f(x)=0来得到。
对于一个三次函数，我们可以通过因式分解或利用根的判别式来求解。
首先，我们尝试对f(x)进行因式分解：f(x)=x3−6x2+11x−6=(x−1)(x−2)(x−3)因此，函数f(x)的零点为x=1,2,3。
题目 3求函数f(x)=x3−3x+2在[−1,2]上的最大值和最小值。
答案为了求出函数f(x)在[−1,2]上的最大值和最小值，我们需要使用微积分中的极值定理。
首先，求出函数f(x)的导数：f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)f′(x)在[−1,1]上是负数，在(1,2]上是正数，因此，f(x)在x=1处取得极大值，f(x)在x=−1和x=2处取得极小值。
当x=−1时，有f(−1)=(−1)3−3(−1)+2=6，即最小值为 6。
当x=1时，有f(1)=13−3(1)+2=0，即最大值为 0。
当x=2时，有f(2)=23−3(2)+2=4，即最小值为 4。
因此，函数f(x)在[−1,2]上的最大值为 0，最小值为 4。
一元函数微积分基本练习题及答案
一、极限题1、求.)(cos lim 21x x x → 2、6sin )1(lim22xdt e x tx ⎰-→求极限。
3、、)(arctan sin arctan lim 20x x xx x -→ 4、210sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→ 5、⎰⎰+∞→xt xt x dte dt e 020222)(lim 6、)1ln(1lim -→+x e x x7、xx x e x cos 1120)1(lim -→+ 8、 xx x x xx ln 1lim 1+--→9、)1ln()2(sin )1)((tanlim2302x x e x x x +-→ 10、10lim()3x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞→xx e x 12、)cot 1(lim 220x x x -→ 13、[])1(3sin 1lim 11x e x x ---→14、()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0021)(3x A x x x f x在0=x 点连续，则A =___________二、导数题1、.sin 2y x x y ''=，求设2、.),(0y x y y e e xy yx'==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(23的单调区间与极值求函数-=x x x f4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小，这时底直径与高的比是多少？5、)()2)(1()(n x x x x f ---= .求)()(x fn6、yxy x = 求dy 7、⎰=x xdt t x F 1sin 12sin )( 求)(x F '8、设⎩⎨⎧≤+>+=0401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导.9、设)(x f 可导且1)1()0(==f f .若)2(sin 2sin 2)2(x f x f y = 求0=x dy10、设xxxee e y 221ln arctan +-=, 求y '. 11、设yy x =, 求dy .12、设xn e n x x x x f -++++=)!!21()(2 ，n 为正整数，求)(x f 的极值. 13、设)(x f 在0=x 点连续，0)0(≠f ，又)(2x f 在0=x 点可导且)0(|])([02f x f x ='=，求)0(f '.14、设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，0)1()0(==f f ，1)21(=f . 证明：)1,0(∈∃ξ使1)(='ξf15、设函数0)(>x f 且二阶可导，)(ln x f y =，则=''y __________ 16、0)cos(sin =--y x x y ，则=dy __________ 17、xxy sin =，求y '18、求函数21x xy +=的极值19、()y x y +=sin ，求22dxyd20、()xx y cos sin =，求dxdy 21、求过原点且与曲线59++=x x y 相切的切线方程。
02一元函数微分学练习试题.docx
第二部分一元函数微分学[ 选择题 ]1. 若f x点 x x0处可导，则下列各式中结果等于f x0的是 [].f x0 f x0x（ B）lim f x0x f x0（ A）limx0x x0xf x0 2 x f x0（ D）lim f x0 2 x f x0x（ C）limx xx0x02.下列结论错误的是 [ ]（ A）如果函数f x 在点 x x0处连续，则f x 在点 x x0处可导（ B）如果函数f x 在点 x x0处不连续，则 f x 在点 x x0处不可导（ C）如果函数f x 在点 x x0处可导，则f x 在点 x x0处连续（ D）如果函数f x 在点 x x0处不可导，则 f x 在点 x x0处也可能连续x 2x 0x 在点x0 处[ ]3. 设f x1，则 fx3x＞0（A）左导数不存在，右导数存在（B）右导数不存在，左导数存在（C）左、右导数都存在（D）左、右导数都不存在4.若曲线 y x2ax b 和 y x3x 在点（1，2）处相切（其中a, b是常数），则a, b之值为 [ ].（ A）a2, b1（ B）a 1, b3（ C）a0, b2（ D）a3, b 15.设 f x cosx,则 lim f a f ax[]x0x（ A）sin a（B）sin a（ C）cosa（ D）cosa6. 设f x二阶可导，y f 1nx , 则y[]（ A ） f ' ' 1nx（ B ） f '' 1nx 1x 2（ C ）1f ' ' nxf ' nx1f ''1nx f'1nxx 211（D ）x 27. 若 f u可导 , 且 yf (e x ) 有 dy []（ A ） f 'e xdx（B ） f ' e x de x （ C ） f e xde x（ D ） f e x ' e x dx8．设函数 yf (x)在点 x 0 处可导， y f ( x 0 h) f ( x 0 ) ，则当 h 0 时，必有 [ ].(A) dy 是 h 的同价无穷小量 . (B)y - dy 是 h 的同阶无穷小量。
880题一元函数微分学26题解析
880题一元函数微分学26题解析一、引言在高等数学中，一元函数微分学是的重要组成部分，它既有理论价值，又有实际应用。
为了帮助大家更好地掌握一元函数微分学的知识点，本文将对880题一元函数微分学26题进行解析，以供大家学习和参考。
二、一元函数微分学基本概念回顾1.导数与微分的定义导数和微分是描述函数在某一点变化率的数学概念。
导数表示函数在某一点的变化率，微分则表示函数在某一点附近的增量。
它们分别为：f"(x) = lim(h→0) [(f(x + h) - f(x))/h]f(x) = f(x0) + ∫[f"(μ)dμ]（从x0到x的积分）2.导数与微分的性质（1）线性性质：f"(c) = (f(x) - f(c))/(x - c)（2）可积性：若f"(x)可积，则f(x)在[a, b]上可积。
（3）泰勒公式：f(x) = f(x0) + f"(x0)(x - x0) + o(x - x0)3.常见函数的导数与微分对于常见的基本函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，我们可以通过公式或表格查询它们的导数与微分。
三、题型解析1.求导题（1）常见函数的求导对于幂函数、指数函数、对数函数等，我们可以直接应用它们的导数公式进行求导。
（2）复合函数、反函数的求导复合函数的导数遵循链式法则，即f"(g(x)) = f"(g) * g"(x)。
反函数的求导可以通过交换f(x)和x的位置，然后求导。
（3）隐函数的求导隐函数的求导方法是将隐函数表示为显函数，然后利用求导公式进行求导。
（4）高阶导数的求解高阶导数的求解方法是将函数表示为幂级数，然后逐阶求导。
2.微分题（1）常见函数的微分对于幂函数、指数函数、对数函数等，我们可以直接应用它们的微分公式进行计算。
（2）微分在实际问题中的应用微分在实际问题中的应用主要包括求极值、最值问题、曲率等。
《一元函数微积分习题1-1到1-9》答案
《一元函数微积分》习题1—11．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；解：要使函数有意义，则：092>-x 即 3>x 或3-<x .所以函数定义域：),3()3,(+∞⋃--∞.（2）x y a arcsin log =；解：要使函数有意义，则0arcsin >x ，即10≤<x .所以函数定义域：(0,1].（3）2111x x y --+=； 解：01012≠+≥-x x 且，即111-≠≤≤-x x 且.所以函数定义域：(-1,1].（4）)32(log 213-+-=x x y a ； 解：03202>-≠-x x 且，即232>≠x x 且.所以函数定义域：),2()2,23(+∞⋃. （5）)4(log 21arccos2x x y a -+-=； 解：0412112>-≤-≤-x x 且，则2231<<-≤≤-x x 且。
所以函数定义域：)2,1[- （6）xy πsin 1=. 解：0sin ≠x π,则Z k k x ∈≠,.(其中是Z 整数集),函数定义域：_Z 或}{Z k k x x ∈≠,. 2.求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1sin x x x y 的定义域和值域,并求⎪⎭⎫ ⎝⎛π2f 和)0(f . 解:定义域:),(+∞-∞.当0≠x 时,01≠x ,故11sin 1≤≤-x. 所以值域:[-1,1]. 12sin )2(==ππf ,0)0(=f .3.下列各题中,函数)(x f 和)(x g 是否相同,为什么?(1) 2)(,)(x x g x x f ==;解: 不同 因为||)(2x x x g ==,即)(x g 的值域是全体非负实数,而)(x f 的值域是全体实数.(2) 2sin21)(,cos )(2x x g x x f -==; 解: 相同 因为)(x f 和)(x g 的定义域均为实数R ,值域为[-1,1],且)(cos 2sin 21)(2x f x x x g ==-= (3)1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ; 解: 不同 因为)1(111)(2≠-=+-=x x x x x f .两函数的定义域不同. (4)0)(,)(x x g x x x f ==. 解: 相同 因为)0(1)(),0(1)(0≠==≠==x x x g x x x x f 定义域均为非零实数,在定义域内函数值恒等于1.4.设x x f sin )(=, 证明:)2cos(2sin 2)()(x x x x f x x f ∆+∆=-∆+. 证明: 由三角函数知:)2cos(2sin2sin )sin()()(x x x x x x x f x x f ∆+∆=-∆+=-∆+.5.设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ,试确定a , b 的值.解: 因为 5)(2++=bx ax x f故)5()2(5)1()1()1(22+++++=++++=+b a x b a ax x b x a x f由题设3852)()1(+=++=-+x a ax x f x f所以有:82=a 且3=+b a得:1,4-==b a .6.下列函数哪些是偶函数? 哪些是奇函数?哪些既非奇函数又非偶函数?(1) )1(22x x y -=;解: 定义域:),(+∞-∞ )()1(])(1[)()(2222x f x x x x x f =-=---=-所以函数是偶函数.(2)323x x y -=;解: 定义域:),(+∞-∞ 32323)()(3)(x x x x x f +=---=-,)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-.所以函数既非奇函数又非偶函数. (3)2211x x y +-=; 解: 定义域:),(+∞-∞)(11)(1)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=- 所以函数是偶函数.(4))1)(1(+-=x x x y解: 定义域:),(+∞-∞x x x x x x f -=+-=3)1)(1()(,)()()()(33x f x x x x x f -=+-=---=-.所以函数是奇函数.(5)1cos sin +-=x x y ;解: 定义域:),(+∞-∞1cos sin 1)cos()sin()(+--=+---=-x x x x x f ,则)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠- 所以函数既非奇函数又非偶函数. (6)2xx a a y -+=. 解: 定义域:),(+∞-∞)(2)(x f a a x f xx =+=-- 所以函数是偶函数.7.设)(x f 为定义在),(+∞-∞上的任意函数,证明:(1))()()(1x f x f x F -+=为偶函数; (2) )()()(2x f x f x F --=为奇函数.证明: 由题设)(x f 为定义在),(+∞-∞的函数, 则)(),(21x F x F 的定义域也为),(+∞-∞(1) )()()()()()()(111x F x f x f x F x f x f x F =+-=-⇒-+= ,. 故)(1x F 是偶函数.(2) )()()()()()()(222x F x f x f x F x f x f x F -=--=-⇒--= ,.故)(2x F 为奇函数.8. 证明: 定义在),(+∞-∞上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和. 证明: 设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的任意函数.由7题知 )()()(1x f x f x F -+=为偶函数,)()()(2x f x f x F --=为奇函数.且 )(21)(21)(21x F x F x f +=. 故命题成立.9. 设)(x f 为定义在),(L L -上的奇函数,若)(x f 在),0(L 上单增, 证明: )(x f 在)0,(L -上也单增.证明: 由题设知对于任意),(L L x -∈有:)()(x f x f -=-不妨设任意的1x ,2x 满足021<<<-x x L , 则012>-<->x x L . )(x f 在),0(L 上单增, 则)()(21x f x f ->- ，)(x f 奇函数)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-∴ 即 )()(21x f x f ->-)()(21x f x f <所以)(x f 在)0,(L -上也单增.10. 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期:(1) )2cos(-=x y ;解:)2cos()22cos(-=+-x x π, 函数是周期函数且周期π2=T .(2) x y 4cos =;解: x x x 4cos )24cos()2(4cos =+=+ππ, 函数是周期函数且周期2π=T .(3) x y πsin 1+=;解: )2(sin 1)2sin(1sin 1++=++=+x x x ππππ,函数是周期函数且周期2=T .(4) x x y cos =;解: 非周期函数(5) x y 2sin =;解: )](2cos 1[21)]22cos(1[21)2cos 1(21sin 2ππ+-=+-=-=x x x x , 函数是周期函数且周期π=T .(6) x x y tan 3sin +=解: )32(3sin )23sin(3sin ππ+=+=x x x , )tan(tan π+=x x ,故原函数的周期为两函数x x tan ,3sin 的周期π32和π最小公倍数. 所以周期为π2=T .11. 下列各组函数中哪些不构成复合函数? 把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定义域.(1) 3x y =,t x sin =;解: 构成复合函数t y 3sin =, 定义域: ),(+∞-∞.(2) u a y =,2x u =;解: 构成复合函数2x a y =, 定义域: ),(+∞-∞.(3) u y a log =,232+=x u ;解: 构成复合函数)22(log 2+=x y a , 定义域: ),(+∞-∞. (4) u y =,2sin -=x u ;解: 不构成复合函数u y =要求0≥u , 但是2sin -=x u 的值域:]1,3[--. (5) u y =,3x u =;解: 构成复合函数3x y =, 定义域: ),0[+∞.(6) u y a log =, 22-=x u .解: 构成复合函数)2(log 2-=x y a , 定义域: ),2()2,(+∞⋃--∞.12. 下列函数是由哪些简单函数复合而成的? (1) 321)1(++=x y ;解: 3u y =,1)1(2++=x u .(2) 2)1(ln 3+=x y ;解: u y 3=, 2v u =, 1ln +=x v .(3) )13(sin 3+=x y ;解: 3u y =, v u sin =, 13+=x v . (4) 32cos log x y a =.解: 3u y =, v u a log =, 2w v =, x w cos =.13. 求下列函数的反函数:(1) x y sin 2=;]2,2[ππ-∈x 解: 原函数的定义域:]2,2[ππ-∈x , 值域:]2,2[-. 反解: 2arcsin y x =. 得反函数: 2arcsin x y =. (2) )2(log 1++=x y a ;解: 原函数的定义域: ),2(+∞-, 值域:),(+∞-∞. 反解: 21-=-y ax . 得反函数: 21-=-x a y反函数的定义域),(+∞-∞:, 值域: ),2(+∞-. (3) 122+=x xy . 解: 121112112122+-=+-+=+=x x x x x y 由于112>+x , 则11210<+<x . 原函数的定义域: ),(+∞-∞, 值域:.)1,0( 反解: yy x -=12, y y x -=1log 2.得反函数: xx y -=1log 2 反函数的定义域: )1,0(, 值域: ),(+∞-∞.14. 某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元;当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元;当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元;当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;设x 是销售量, y 是总价, 试建立总价y 和销售量x 之间的函数关系式,并作出它的图形. 解: 由题知: 当200≤≤x 时, x y 5.2=;当5020≤<x 时, 43.2)20(3.2205.2+=-+⨯=x x y ;当10050≤<x 时, 192)50(2)2050(3.2205.2+=-+-⨯+⨯=x x y ;当100>x 时, 398.1)100(8.1219+=-+=x x y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤<+≤<+≤≤=100398.110050192502043.22005.2x x x x x x x x y 图形(略)15. 设某商品的市场供应函数p p S Q 480)(+-==, 其中Q 为供应量, p 为市场价格. 商品的单位生产成本是1.5元, 试建立总利润L 与市场价格p 的函数关系式.解: 供应函数p p S Q 480)(+-==则总利润120864)480)(5.1()5.1(2+-=+--=-=p p p p Q p L .16. 用p 代表单价, 某商品的需求函数为p p D Q 500007)(-==, 当Q 超过1 000时成本函数为Q C 2500020+=, 试确定能达到损益平衡的价格 (提示: 当总收入=总成本时,便达到损益平衡).解: 当1000>Q 时 1000500007)(>-==p p D Q 则价格120<p .达到损益平衡, 则 C pQ =即: )500007(25000202500020)500007(p Q p p -+=+=-039001652=+-p p 得282.107165±=p 又因为价格120<p , 故59.28=p答: 当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.17. 在半径为r 的球内嵌入一个内接圆柱, 试将圆柱的体积V 表示为圆柱的高h 的函数, 并求此函数的定义域.解: 设圆柱的半径为R, 则满足4)2(22222h r h r R -=-= 圆柱的体积: 3222241)4(h h r h h r h R V ππππ-=-==. 定义域: )2,0(r18. 已知华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 在101325帕(一个标准大气压)下, 水的冰点温度不32F 或0℃, 水的沸点温度为212F 或100℃.(1) 写出华氏温度F 与摄氏温度℃的函数关系;(2) 画出该函数的图形;(3) 摄氏20℃相当于华氏几度?解: (1)由华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 设当摄氏温度为x ℃时, 华氏温度为y F , 则有关系式 b ax y += 其中a , b 为常数.由题知:⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=+⋅=328.1100212032b a b a b a 函数关系: 328.1+=x y (其中x 的度量单位是℃, y 的度量单位是F)(2) 函数图形(略)(3) 摄氏20℃时, y =1.8⨯20℃+32=68(F)习题1－21．（1）0；（2）1；（3）-1；（4）发散2．（1）证明：0>∀ε，要使ε<=-+n n 1111，即ε1>n 。
一元函数微积分基本练习试题包括答案.docx
一、极限题12 1、求 lim (cos x) x.x 03、、limx arctan xxsin x 2(arctan x)(x t 2dt ) 2e5、 xlimxe 2 t2dtx 2e x)117、 lim (1cos xx 0(tanx )( e x2 1)9、 lim3x2 x ) ln( 1 x 2 )(sin111、 lim (2x1)(ex1)x13、 lime x 1 1x)x1sin 3(13x 2(e t 21)dt2、 求极限 lim 0sin x6。
xsin x1 4、 limx 2xx 016、 lim xln( e x1)x8、 limxx xxln xx1110、 lim( axbxcx1) x， (a, b, c 0, 1)x312、 lim (1cot 2x)xx214、 f ( x)1 2 x xx0 点连续，则 A=___________A x 在 x二、导数题1、 设 yx 2 sin x ，求 y .2、 已知方程 xye x e y0确定了隐函数 yy( x), 求 y .3、 求函数 f (x) x 3 ( x 5) 2 的单调区间与极值 .4、要造一圆柱形油罐，体积为 V ，问底半径 r 和高 h 等于多少时，才能使表面积最小，这时底直径与高的比是多少？—5、 f ( x) (x 1)( x 2) (x n) .求 f ( n) ( x)6、 xxy y求 dy7、 F ( x)1x1sin t 2 dt 求 F ( x)sin x8、设 f ( x)e x 1 x 0求 a , b 使 f ( x) 在 x0 点可导 .4axb x 09、设f (x) 可导且 f (0)f (1)1 .若 yf (2sin2 x )2 f (sin 2 x)求dy x 010、设 yarctanex lne 2x, 求 y .1 e2 x11、设 xy y , 求 dy .12、设 f ( x)(1 xx 2x n )e xf (x) 的极值 . 2!n! ， n 为正整数，求13、设 f ( x) 在 x 0 点连续， f (0)0 ，又 f 2 ( x) 在 x0 点可导且 [ f 2 (x)] |x 0 f (0) ，求 f (0) .14、设 f (x) 在 [0,1] 上连续， (0,1)内可导， f (0) f (1) 0 ， f ( 1) 1. 证明：(0,1)2使 f ( ) 115、设函数 f ( x) 0 且二阶可导， yln f ( x) ，则 y __________16、 y sin x cos( xy) 0 ，则 dy__________17、 yx sin x ，求 y18、求函数 yx的极值x 2119、 ysin x yd 2 y，求dx 2 20、 ycos xdysin x，求dx21、求过原点且与曲线 x 9相切的切线方程。
高等数学一元函数微积分学题目与答案A
三、一元函数积分学 练习题（ A ） 一．选择题1. =+⎰dx x )1(cos （ ）C x x A ++sin . C x x B ++-s i n . C x x C ++c o s . C x xxD ++-cos .2.=⎰dx x 41（ ） C x A +-331. C x B +331. C x C +31. C xD +-31.3. 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中()f x 的原函数是（ ） A 21x - B 21x + C 22x x - D 22x x +4. 已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = （ ）A 1B -1C 0D x5. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '=（ ） A1x B 21x- C ln x D ln x x 6. 定积分⎰1221ln xdx x 值的符号为（ ）.A 大于零 .B 小于零 .C 等于零 .D 不能确定7. 曲线)2)(1(--=x x x y ,x 轴所围成的图形的面积可表示为（ ）.A ⎰--10)2)(1(dx x x x ； .B ⎰--20)2)(1(dx x x x ；.C ⎰⎰-----2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x ；.D ⎰⎰--+--2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x8. 已知dt t x F x ⎰+=021)(，则=)('x F （ ）212.x x A + 11.2++x B 21.x C + 11.2-+x D 9.=⎰-dx x 115（ ）2.-A 1.-B 0.C D .110.若()211x x F -='，()231π=F ，则()=x F （ ） A.x arcsin B. c x +arcsin C.π+x arccos D. π+x arcsin二．填空题1. 写出下列函数的一个原函数 (1) 52x 的原函数为 (2) cos x -的原函数为 (3)12t的原函数为(4) 221x--的原函数为2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立（1）dx = (51)d x -；（2）xdx = 2(2)d x -； （3）3x dx = 4(32)d x +； （4）2x e dx -= 2()x d e -；（5）219dxx =+ (a r c t a n 3d x ； （6）212dxx =+ (a r c t a n 2)d x ； （7）2(32)x dx -= 3(2)d x x -； （8）dxx= (3l n )d x ；（9）21dx x=- (2a r c si n d x -； （10）21xdx x =- 21d x -.3. 若()1x f e x '=+,则()f x =4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小 （1）120x dx ⎰130x d x⎰（2）1x e dx ⎰10(1)x dx +⎰5. _________3=⎰dx e x6.__________1=⎰dx e x 7. ⎰+dx xxln 1=_____________ 8. 已知一阶导数 2(())1f x dx x '=+⎰ ，则(1)f '= 9. 当x = 时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值.10. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，()⎰20dx x f =11. 已知⎰=xdt t xf y 0)(，则=dxdy12. dt ttx x x )1sin (1lim3-⎰→=三．计算题 1.不定积分的计算 （1）1xxedx e +⎰ （2）12xe dx x ⎰（3）ln dx x x ⎰ （4）211x dx x --⎰（5）3431x dx x-⎰ （6）12dx x -⎰（7）223x dx x -⎰ （8）3x a dx ⎰（9）sin tdt t⎰ （10）2cos ()x dx ωϕ+⎰（11）2cos ()sin()x x dx ωϕωϕ++⎰ （12）22(arcsin )1dxx x-⎰（13）3tan sec x xdx ⎰ （14）sec (sec tan )x x x dx -⎰ （15）11cos 2dx x+⎰ （16）2(4)x x dx -⎰（17）32(32)x dx -⎰ （18）221dx xx-⎰（19）1231dx x -+⎰ （20）sin x xdx ⎰（21）x xe dx -⎰ （22）arcsin xdx ⎰（23）2t te dt -⎰ （24）2arcsin 1x dx x-⎰（25）sin cos x xe dx ⎰ （26）1cos sin xdx x x++⎰（27）dxx 43-⎰ （28）dx x 122-⎰（29）dxx xe e --⎰ （30）e 32x dx +⎰（31）()232xx dx +⎰ （32）1252+⎰x dx（33） sin 5xdx ⎰ （34）cos 25xdx ⎰（35）()()244522x dxx x +++⎰ （36）x dx x 23412-⎰（37）sin cos sin cos x x x x dx +-⎰3 （38）dxx x (arcsin )221-⎰（39）dxx x 222-+⎰ （40）sin cos sin x xx dx 14+⎰（41）2xxe dx ⎰ （42）23523x xxdx ⋅-⋅⎰2.定积分的计算（1）10e x x dx -⎰ （2）e1ln x xdx ⎰（3）41ln x dx x ⎰ （4）324sin xdx xππ⎰（5）220e cos x xdx π⎰ （6）221log x xdx ⎰（7）π2(sin )x x dx ⎰ （8）e1sin(ln )x dx ⎰（9）121ln(1)x x dx -++⎰ （10）41xdx ⎰（11）dx x x x )1(241+⎰ （12）dx xx ⎰+10241 （13）dx x⎰+20241（14）dx x x ⎰40tan sec π（15）xdx ⎰242cot ππ （16）⎰--112d x x x（17）dx ⎰2121)-(3x1 （18）dx ⎰+3ln 0x x e 1 e（19）dx x x ⎰-123 （20）⎰1arctan xdx x3.反常积分的计算 （1）2048dxx x +∞++⎰ （2）21arctan x dx x+∞⎰ （3）11(1)dx x x -⎰ （4）1ln e dx x x ⎰4. 比较下列各对积分的大小：（1）⎰40arctan πxdx 与⎰402)(arctan πdx x（2）⎰43ln xdx 与⎰432)(ln dx x（3）dx x ⎰-+1141与dx x ⎰-+112)1(（4）⎰-2)cos 1(πdx x 与⎰2221πdx x四．综合题 1.求导数（1）201x d t dt dx +⎰ （2）5ln 2x t d t e dt dx -⎰（3）cos 20cos()x d t dt dx π⎰ （4）sin x d t dt dx tπ⎰ (0x >).2. 验证下列等式 (1) 2311d 2-=-+⎰x x C x ； (2) (sin cos )cos sin x x dx x x C +=-++⎰.3. 求被积函数()f x . (1) 2()ln(1)f x dx x x C =+++⎰；(2) 21()1f x dx C x=++⎰.4 求由下列曲线所围成的平面图形的面积： (1) 2y x =与22y x =-(2) x y e =与0x =及y e =(3) 24y x =-与0y =(4) 2y x =与y x =及2y x =5. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积： (1) ,1,4,0y x x x y ====，绕x 轴；(2) 3,2,y x x x==轴，分别绕x轴与y轴；(3) 22,y x x y==，绕y轴；(4) 22(5)1x y-+=，绕y轴．(5).32y x=，x=4 ,绕y轴．6. 当k 为何值时，反常积分+2(ln )kdxx x ∞⎰收敛?当k 为何值时，这反常积分发散?7. 设13201()()1f x x f x dx x =++⎰，求10()f x dx ⎰．8. 求函数2()(1)x t f x t e dt -=-⎰的极值．9. 设()f x 在[],a b 上连续，且()1baf x dx =⎰，求()baf a b x dx +-⎰．10. 设曲线通过点(0,1)，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为x e -，求此曲线方程．11. 设3()1x x f e e '=+,且(0)1f =,求()f x .12. 设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ.13. 设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x，求()⎰-21dxx f .14. 已知222(sin )cos tan 01f x x x x '=+<< ，求()f x .三、一元函数积分学 练习题（ A ） 参考答案 一．选择题1. A2. A3. D4. A5. B6. B7. C8. C9. C 因为5x 为奇函数 10. D二．填空题1. 写出下列函数的一个原函数(1) 613x (2) sin x - (3) t (4) 2arcsin x -2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立（1）51；（2）21-；（3）121；（4）21-；（5）31；（6）21；（7）1-（8）31；（9）1-；（10）1-3. ()(1ln )ln f x x dx x x C =+=+⎰4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小 （1）11230x dx x dx >⎰⎰；∵ 当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,又2x 3x ,所以11230x dx x dx >⎰⎰（2）11(1)x e dx x dx >+⎰⎰；令()1,()1x x f x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1x e x ≥+，所以11(1)x e dx x dx >+⎰⎰5. C e x+33 6. C e x +-- 7. c x x ++2ln 21ln 8. 229. 0. 10.3811. )()(0x xf dt t f x+⎰ 12. 181-三．计算题 1.不定积分的计算（1）1(1)ln(1)11x x x x x e dx d e e C e e=+=++++⎰⎰ （2）11121xxx e dx e d e C x x =-=-+⎰⎰（3）ln ln ln ln ln dx d xx C x x x==+⎰⎰ （4）211(1)ln 11(1)(1)1x x d x dx dx x C x x x x --+===++-+-+⎰⎰⎰（5）3444444333(1)3ln 1141414x dx d x dx x C x x x -==-=--+---⎰⎰⎰ （6）1(12)1ln 12122122dx d x x C x x -=-=--+--⎰⎰ （7）22222211(23)123263232323xdx d x dx x C x x x -==-=--+---⎰⎰⎰（8）33311(3)33ln x x x a dx a d x a C a==+⎰⎰ （9）sin 2sin 2cos tdt td t t C t==-+⎰⎰ （10）21cos(22)cos ()2x x dx dx ωϕωϕ+++=⎰⎰11 cos(22)(22)24x x d x ωϕωϕω=+++⎰ 11sin(22)24x x C ωϕω=+++ （11）221cos ()sin()cos ()cos()x x dx x d x ωϕωϕωϕωϕω++=-++⎰⎰31cos ()3x C ωϕω=-++ （12）222arcsin 1(arcsin )arcsin (arcsin )1dxd x C x xx x ==-+-⎰⎰（13）32231tan sec tan sec (sec 1)sec sec sec 3x xdx xd x x d x x x C ==-=-+⎰⎰⎰（14）2sec (sec tan )(sec sec tan )tan sec x x x dx x x x dx x x C -=-=-+⎰⎰（15）221111sec tan 1cos 22cos 22dx dx xdx x C x x ===++⎰⎰⎰ （16）515173222222228(4)(4)473x x dx x x dx x dx x dx x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰⎰（17）33522211(32)(32)(32)(32)25x dx x d x x C -=---=--+⎰⎰（18）令sin ()22x t t ππ=-<<，则cos dx tdt =，所以22222cos 1csc cot sin cos 1dxtdt x tdt t C C t t x xx-===-+=-+⋅-⎰⎰⎰ （19）令23x t -=,则23,2t x dx tdt +==,所以 11(1)ln(1)11231tdt dx dt t t C t t x ==-=-++++-+⎰⎰⎰23ln(231)x x C =---++（20）sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰ （21）x x x x x x xe dx xde xe e dx xe e C ------=-=-+=--+⎰⎰⎰ （22）222111arcsin arcsin arcsin (1)211xdx x x x dx x x d x x x =-⋅=+---⎰⎰⎰ 2arcsin 1x x x C =+-+ （23）2222221111122224t tt t t t te dt tde te e dt te e C ------=-=-+=--+⎰⎰⎰ （24）22arcsin 1arcsin arcsin arcsin 21xdx xd x x C x ==+-⎰⎰（25）sin sin sin cos sin x x x xe dx e d x e C ==+⎰⎰ （26）1cos (sin )ln sin sin sin x d x x dx x x C x x x x ++==++++⎰⎰（27）dx x 43-⎰=1(43)1ln 434434d x x C x -=-+-⎰。
一元函数微积分2
第一章 极限与连续习题解答习题1—1一、二、１．x 4cos -，)12(2sin 2-x ； ２．x y tan 1ln +=；３．12,32+==xu u y ；４．42,tan π+==x u u y ； ５．231,1x u uy -==； ６．,2,32v u y u ==x v c o s =； ７．23,arctan 1,x v v u u y =+==； ８．1112+-xx；９．16+x ； 10．)1,0(1≠-x xx ；三、1．某罐头厂要生产容积为v 的圆柱形罐头盒，试建立罐头盒表面积与底半径之间的函数关系式．解：设罐头盒底面半径为r ，高为h ，则体积h r V 2π= 2,rVh π=表面积222r rh S ππ+=2222r rVr πππ+⋅=222r rV π+= )0(>r２．有一边长为a 的正方形铁片，从它的四个角截去相等的小方块，然后折起各边做成一个无盖的小盒子，求它的容积与截去小方块边长之间的函数关系式．解：设截去小方块的边长为x ，则容积为)20(,)2(2a x x a x V <<-=．３．一物体作直线运动，已知阻力f 的大小与物体运动的速度υ成正比，但方向相反．当物体以１s m /的速度运动时，阻力为N 21096.1-⨯，建立阻力与速度之间的函数关系．解：因为kv f -=，所以221096.111096.1--⨯-=⨯-=-=vf k故)(,1096.12+∞<<-∞⨯-=-v v f ． ４．电压在某电路上等速下降，在实验开始时，电压为12v ，经过８秒后降到６．４v ．试把电压v 表成时间t 的函数.解：b kt u +-=当0=t 时，v u 12=，则b k +⨯-=012，所以v b 12= 当s t 8=时，v u 4.6=，则1284.6+⨯-=k 求出7.0=k所以127.0+-=t u ，()0≥t5.已知一个单三角脉冲电压，其波形如图所示，试建立电压)(v u 与时间)(s t μ之间的函数关系式．解：由图可知，2t 0π≤≤时，t EE kt u ττ22===，ττ≤<t 2，()()τττ--=-'=-t Et k u 20τ>t ，0=u ．所以，u 与t 的函数关系为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<-≤≤=.,0,2,22,20,2ττττττt t t E E t t E u 6.某运输公司规定一吨货物的运价为：在a 公里内，每公里k 元；超过a 公里，每增加一公里为k 54元．试建立一吨货物的运价y 和运程s 之间的函数关系．解：依题意，当a s ≤时，运价为ks y = a s >时，运价为()a s k ka y -+=54所以，运价y 和运程s 之间的函数关系为⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤=.,)(54,0,a s a s k ka a s ks y 习题１－２一、二、１．４； ２．０； ３．１； ４．１； ５．０； ６．不存在； ７．２；８．０； ９．2π-； 10．１； 11．１； 12．不存在；三、１．Ｃ； ２．Ｄ；四、作出函数图象，观察写出极限1．设⎩⎨⎧<≥+=,0,1,0,1)(x x x x f ，写出当0→x 时，)(x f 的左、右极限，并判别当0→x 时，)(x f 的极限是否存在？第5题图解：因为()11lim lim 0==--→→x x x f ，()()11lim lim 0=+=++→→x x f x x所以()1lim 0=→x f x2．设⎩⎨⎧-<-≥=,1,1,1,)(2x x x x f ，写出)01(+-f 和)01(--f ，并判别当1-→x 时，)(x f 的极限是否存在？解：因为()1lim lim211==++-→-→xx f x x ，()11lim lim 11==--→→x x x f所以()1lim 1=-→x f x3．设1|1|)(--=x x x f ，写出)01(-f 和)01(+f ，并判别当1→x 时，)(x f 的极限是否存在？解：因为()111lim lim11=--=++-→-→x x x f x x ，()()111limlim 11-=---=--→→x x x f x x所以()x f x 1lim →不存在．习题１－３一、７∞+；８．－４； ９．21； 10．０； 11．∞； 12．１； 13．３； 14．52；15．21e ； 16．2e ； 17．2e ； 18．1-e ；四、1. ()()()()613124lim 131212412lim 15618lim2212212321=-++=+-++-=+--→→→x x x x x x x x x xx x x x2.()()221321311131lim131lim)1311(lim x x x x x xx x xxx x x ++--++=--++=---→→→()112lim21-=+++-=→xx x x3．221limnnx +++∞→ ()2121lim2=+=∞→nn n x4．n nx 31913112141211lim++++++++∞→ 34311211lim22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→x5．求无穷递缩等比数列的和：（１） ,271,91,31,1；解：1=q ，23311lim 233113111lim=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=∞→∞→n n nn s（２） ,641,161,41,1--；解：1=q ，()54411lim 544114111lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=∞→∞→n n nn s （３）)1|(|,,,,132<--x x x x ．解：1,<-=x x q ，xxx s nn +=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=∞→111111lim6．将循环小数化为分数：（１）3.0 ． 解：311011103100031003103003.003.03.0333.03.0=-=+++=++==（２）512.0 ．解：371335.02.0100111000152.000015.0015.02.021515.0512.0=+=-+=++== 7．nxmx x sin tan lim→nm nxmxnx mxmx mxx =⋅⋅=→sin tan lim8．xx x x sin cos 1lim-→212lim2=⋅=→x x xx 9．xxx arcsin lim→解：令t x =a r c s i n ，则t x s i n =，于是1s i n limarcsin lim0==→→t txxx x10．2cos lim2ππ-→x x x 122sin lim2-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=→πππx x x11．x x x)31(lim -∞→333331lim ---∞→=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=ex x x12．xx x 1)31(lim +→3331)31(lim e x xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→ 13．xx x sec 52)cos 1(lim +→π5512)cos 1(lim e x coxx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→π14．5)1(lim --∞→+x x xx e e xxxx =⋅=+⋅+=∞→551)11()11(lim15．2)13(lim +∞→-+x x x x 314111lim +-∞→⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=x x x434344114111lim 4111lim e e x x x x x =⋅=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=∞→-∞→ 16．xxx cos 12tan lim2-→422lim22==→xx x17．xx x x cos 13tan sin lim-→623lim2=⋅=→xx x x习题１－４一、二、１．)(x x x x ∆+∆-； ２．（１）1.29；（２）－８；（３）2021x x -；（４）202x x -；３．)(0x f ；（１）定义；（２）存在；（３） )(0x f ； ４．无定义；间断；５．不存在；间断； ６．３；≠；间断； ７．２；＝；连续．三、四、1．23lim2+-→x x x 220302=+⨯-=2．)3cos 2ln(lim 9x x π→01ln )43cos 2ln(==⨯=π3．2sin2coscos lim2x x x x -→π222222sin 2cos lim 2sin 2cos 2sin2cos lim2222=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=→→x x x xxx x x ππ4．24lim-+→x x x ()()()()424lim242424lim=++=++-+++=→→x x x x xx x５．n x e 1lim ∞→10==e６．]ln )1[ln(lim x x x x -++∞→1ln 11ln lim )1ln(lim ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+∞→+∞→e x x x x xx x７．xx x sin lnlim 0→01ln sin limln 0===→xx x五、讨论函数在指定点的连续性 （1）654)(22++-=x x x x f 在3-=x 处．解：因为 ()()()()322322654)(22+-=++-+=++-=x x x x x x x x x x f 在3-=x 处()x f 无意义所以()x f 在3-=x 是间断的。
一元微积分数学函数题库有答案
一元微积分数学函数题库有答案一元微积分学数学（1） 函数一、 填空题： 1． 函数 y=arcsin 92-x定义域是:310103-≤≤-⋃≤≤x x2.设y=f (x)的定义域是[0，1]，则复合函数f (sinx)的定义域是:z k k x k ∉+≤≤,22πππ.3．函数33+=x y 的值域是 0≤y ≤+∝ . 4．函数)1,0(11≠>+-=a a ax ax y 的反函数是:axa xy +-=1. 5．函数12+-=x y 在区间 ]0,(-∞ 内是单调增加的.在区间)0[∞+，内是单调减少.6．设21)1(x x x f ++=，（x>o ）,则)(x f =xx 211++.7．设1)(-=x x x f ,则))(((x f f f =1-x x, ))((x f f = x . 8．函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<-∞=x x x x x y x 4,241,1,2的反函数y=⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤≤≤<<-∞.16,log ,161,,1,2x x x x x x. 二．选择题：1． 在同一直角坐标系中，函数 与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D ）(A) 关于y 轴对称; (B) 关于x 轴对称; (C)重合； (D) 关于直线y=x 对称.2.下列几对函数中，)(x f 与)(x g 相同的是（C ）.（A ）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(= （B ）x x f =)(与2)(x x g = （C ）2)(x x g =与2)(x x g = （D ）1)(=x f 与xxx g =)( 3．已知的定义域为则的定义域是（C ）（A ）[-a,3a] (B) [a,3a] (C) {a} (D) {-a} 4．如果1)(-=x x x g ，那么))(1(x f f 的表达式是（B ）(A) x-1 (B)1-x (C)xx 1- (D) 都不是 三．设函数)(x f y =是线性函数，已知,3)1(,1)0(-==f f 求此函数. 解：设f(x)=ax+b,则有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.四．证明函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界.证明：f(x)的定义域为R.xx x x1112+=+因为2111,21≤+≥+xx xx 所以所以： 函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界 五．试讨论函数21121)(+-=xx f 的奇偶性. 解：21121)(+-=xx f 21121)(+-=--xx f 211211+-=x 212211+-=xx 21212+-=x x 2121211+-+-=xx 212111+-+-=x21211--=x )(x f -= 所以 21121)(+-=xx f 偶函数. 一元微积分学题库（2） 数列的极限一．判断题：1．如果数列{n u }以A 为极限，那么在数列｛n u ｝增加或去掉有限项之后，说形成的新数列｛n u ｝仍以阿A 为极限． ( T )2．如果0lim =∞→n n n v u ，则有0lim =∞→n n u 或0lim =∞→n n v( F )3．如果a a n n =∞→lim ，且存在自然数N ，当n>N 时恒有n a ＜０，则必有a<０． ( F )4．如果n n a ∞→lim ，n n b ∞→lim 均不存在，则有)(lim n n n b a +∞→必不存在． ( F )一元微积分学题库（3） 函数的极限，无穷大，无穷小一． 选择题：下列题中其条件对其结论来说是（Ａ）充分但非必要条件； （Ｂ）必要但非充分条件； （Ｃ）充分必要条件： （Ｄ）既非充分又非必要条件； １．条件a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim .结论b a b a n n n +=+∞→)(lim （A ）２．条件)(lim 0x f a n -→和)(lim 0x f a n +→都存在.结论)(lim x f an →存在 （B ）３．条件)(lim x f an →和)(lim x g an →都存在.结论 )]()([lim x g x f an +→存在. （A ）４．条件f(x)在a 的某个邻域内单调有界．结论)(lim x f an →存在． （D ）三．求0)(,)(→==x xx x g x xx f ，当时的左右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在？解：xxx f =)(=1，所以1)(lim 0=→x f x .⎩⎨⎧><-==.0,1,0,1)(x x x xx g 所以 1)(lim 00-=-→x g x ， 1)(lim 00=+→x g x 显然≠-→)(lim 00x g x )(lim 00x g x +→，故)(lim 0x g x →不存在.五．证明：函数 xx y 1cos 1=在区间（０，１］上无界，但当x →＋０时，这函数不是无穷大．证明：1. 取+∞→∈=k N k k x 当),(21π时，x x y 1cos 1==+∞=πk 2 所以 x x y 1cos 1=在区间（０，１］上无界.2.取0),(21+→+∞→∈+=x k N k k x 时，当ππ， x x y 1cos 1==021⋅+ππk =0 即在0的任何邻域都不可能有M xx y >=1cos 1（M>0）成立. 所以当x →＋０时，这函数不是无穷大．一元微积分学题库（4） 极限的求法一． 判断题：下列运算是否正确：0)(lim .12=∞-∞=--∞→x x x n(F).1)53(lim )32(lim 5332lim .24343=∞∞=++=++∞→∞→∞→x x x x x x x(F)0lim 2lim 1lim )21(lim .3222222=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++∞→∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n （F ）二．计算下列极限：１．x x xx x x 2324lim 2230++-→解：xx x x x x 2324lim 2230++-→ =23124lim 20++-→x x x x =21 ２．)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→解：)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→=211)21(1lim--∞→nn =2３．)1111(lim 31xx x ---→ 解：设31111)(x x x f ---=，则311111)(1x x x f ---=因为2313111lim 11111lim )(1lim x x x x x x f x x x +-=---=→→→=0，所以∞=→)(lim 1x f x即：∞=---→)1111(lim 31xx x 从而时，当,10,1lim .40-∞→-→→x x x arctgx 从而时，当,10,21lim 0+∞→+→-=-→x x x arctgx π)(.1lim ,21lim 00T xarctg x arctgx x 不存在所以→+→=π４．x x x 11lim-+→ 解：xx x 11lim-+→ =)11()11()11(lim++⋅++⋅-+→x x x x x=)11(lim++⋅→x x x x=111lim++→x x=21 ５．xarctgxx ∞→lim解：因为 22ππ<<-arctgx 所以arctgx 为有界函数.而 xx 1lim∞→=0， 由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.xarctgxx ∞→lim =0６．)(lim x x x x x -+++∞→解：)(lim x x x x x -+++∞→=xx x x x x x x x x x x x ++++++⋅-+++∞→)()(lim=xx x x x x x x x +++-+++∞→)(lim=xx x x x x x +++++∞→lim=xxx 111111lim+++++∞→=21 ７．)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→解：)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→=x x x x x n n -+⋅⋅⋅++-∞→1)1()1)(1)(1(lim 2=xx n n --∞→11lim 2=x-11 三．已知a x f x a x x x x f x 存在，求且)(lim ,3,3,3)(3→⎩⎨⎧<+≥-= 解：)(lim 03x f x +→=3lim3-+→x x =0，)(lim 03x f x -→=)(lim 03a x x +-→=3+a,)(lim 3x f x →存在，即：)(lim 03x f x +→=a x f x +==-→3)(lim 003所以. 3-=a .一元微积分学题库（5）极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较一、 判断题：1． 因为0→x 时，tgx~x,sinx~x,所以 0lim sin lim 330=-=-→→xxx xtgx x x x （F ） 2． 222)21(lim )2(lim e xx x xx x x =+=+•∞→∞→ (T)3． 1sin lim )sin (lim sin lim=⋅=⋅=→→→x xx tgx x x x tgx x tgx x x x πππ (F)二、计算下列极限1. xxx 5sin 2sin lim 0→解：x x x 5sin 2sin lim 0→=)525sin 522sin (lim 0⋅⋅→x x x x x =⋅→x x x 22sin lim 0⋅→x x x 5sin 5lim 052=522. xctgx x 0lim →解：xctgx x 0lim →=)cos sin (lim 0x x x x ⋅→=)sin (cos lim 0x x x x ⋅→=⋅→x x cos lim 0xxx sin lim 0→=13. xx xx sin 2cos 1lim0-→解：x x x x sin 2cos 1lim 0-→=xx x x sin sin 2lim 20⋅→=x x x sin 2lim 0→=x x x sin lim 20→⋅=24. xx x 1sin lim ∞→解：x x x 1sin lim ∞→=x x x 11sinlim∞→=xx x11sinlim 01→=1. 5. kx x x)11(lim -∞→解：kx x x )11(lim -∞→=)()()11(lim k x x x -•-∞→--+=k x x x --∞→--+])11[(lim =ke - 6. xx x x )11(lim -+∞→ 解：x x x x )11(lim -+∞→=x x x x ]12)1([lim -+-∞→=x x x )121(lim -+∞→=1221)2111(lim +•-∞→-+x x x=)]2111()2111[(lim 221-+⋅-+•-∞→x x x x =2e . 二、 证明：当x →0时，下列各对无穷小量是等价的 1.x arctgx ~证明：设A=arctgx,则 x=tgA, 当0→x 时，0→A . xarctgx x 0lim→=tgA AA 0lim →=12.1-cosx ~ 22x证明：2cos 1lim 20x x x -→=2)2sin(2lim 220x xx ⋅→=2202)2(2)2sin(2lim x x x ⋅⋅→=2202)2()2sin(lim x x x →=1. 四、证明：0)2124321(lim =-⋅⋅⋅⋅∞→nn n 用两边夹法则：（解法一）设F(n)= nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 则2)2124321()(nn n F -⋅⋅⋅=22222)2()12(4321n n -⋅⋅⋅⋅=1)2()12(14312122222--⋅⋅⋅-⋅-<n n )12()12()12(75353122+⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n n121+=n 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.（解法二）：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 因为 nn n n 112-<--（n 为自然数）， 所以有F(n)< 12254322124321+⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n n=n21 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.另解：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅( 0<F(n)<1 )， 则F(n+1)= 122)(+⋅n nn F ，有F(n+1)<F(n).所以F(n)为单调有界数列，由极限存在准则II 知F(n)有极限.设A n F n =∞→)(lim .则有)1(lim +∞→n F n =))(1(lim n F n nn ⋅+∞→ )1(lim +∞→n F n =1+n n)(lim n F n ∞→⋅A=1+n nA , A=0. 即0)(lim =∞→n F n .证毕.五、设2112,,2,1,10n n n x x x n x -=⋅⋅⋅=<<+，证明数列}{n x 的极限存在，并求其极限.证明： 212n n n x x x -=+ 2211n n x x -+-=2)1(1n x --= ]))1(1(1[1221-----=n x 221)1(1---=n x 322)1(1---=n x = (1)21)1(1---=k x因为 ,101<<x 所以 ,10<<n x 因为 212n n n x x x -=+所以)1(1n n n n x x x x -=-+>0 即： n n x x >+1 所以}{n x 为单调有界数列，由极限存在准则II 知}{n x 有极限. A x n n =∞→lim ， 则有 )2(lim lim 21n n n n n x x x -=∞→+∞→，A=2A--2A ，解得：A=1 或A=0（舍去，因为}{n x 为递增数列且01>x .）所以 1lim =∞→n n x一元微积分学题库（6） 函数的连续性一． 判断题1．21))12)(12(1...5*313*11(lim =+-+++∞→n n n （ T ） 2.设)(x f 在0x 点连续，则)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=（ T ）3．如果函数)(x f 在],[b a 上有定义，在],[b a 上连续，且<)(*)(b f a f 0，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)(ξf = 0（ T ）4．若)(x f 连续，则)(x f 必连续. （ T ）5．若函数)(x f 在],[b a 上连续且恒为正，则)(1x f 在],[b a 上必连续. （ T ）6．若a x f x x =→)(lim 0,且0>a ，则在0x 的某一邻域内恒有0)(>x f .（ F ）7．0=x 是函数xx x f 1sin )(=的振荡间断点.（ F ）二． 填空题：1．-→ππx xx sin lim(1-) 2. =∞→x xx sin lim( 0 ) 3. =+--+-→123lim2312x x x x x x ( ∞ ) 4. 0=x 是xe xf 1)(=的第（二）类间断点.三． 求xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→解：xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=()()1sin 1tan 1lim sin 1sec cot 0==++→ee x x xxx x 四． 求函数4tan()1()(π-+=x xx x f 在)2,0(π内的间断点，并判断其类型.解：)(x f 在()π2,0内的间断点有：4π=x ，43π=x ，45π=x ，47π=x因为 ),(lim 4x f x π→)(lim 45x f x π→不存在，,1)(lim 43=→x f x π1)(lim 47=→x f x π所以43π=x ，47π=x 是)(x f 的第一类（可去）间断点; 4π=x ，45π=x 是)(x f 的第二类间断点.五． 设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f ，（1）求)(x f ；（2）当)(x f 连续时，求b a ,的值.解：(1) n n n n xx bx ax x f 2122231lim )(---∞→+++= ∴ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+-=-+-=++>=112112111)(2x bx ax x b a x b a x x x f(2) )(x f 连续21)1(11lim)(lim 0101ba f x x f x x ++====+→+→1=+⇒b a 21)1(11lim )(lim )01()01(b a f x x f x x -+-====--→--→1-=-⇒b a∴⎩⎨⎧==1b a .一元微积分学题库（7） 连续函数的性质一．计算下列极限： 1．2321lim4--+→x x x 解：原式= )321)(4()2)(921(lim4++-+-+→x x x x x =321)2(2lim4+++→x x x =342．22011lim xx x +-→ 解：原式=2220)11(lim x x x x ++→=)11(lim 20x x ++→=2 3．x x x sin lnlim 0→ 解：原式=)sin limln(0xxx →=01ln = 4．ctgx x tgx )31(lim 0+→解：原式=tgxx tgx 33)31(lim +→=331])31(lim [tgx x tgx +→=3e5．145lim1---→x xx x解：原式=)45)(1()1(4lim1x x x x x +---→=xx x +-→454lim1=26．xe x x 1lim 0-→解：令t e x =-1，得)1ln(+=t x ，当0,0→→t x 时 原式=)1ln(limt tt +→=tt t 10)1ln(1lim+→=])1(lim ln[110tt t +→=1ln 1=e二．证明方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根（其中0,0>>b a ）. 证明：设x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在],0[b a +上连续. 又0)0(>=b f ，0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f . 若0)(=+b a f ，则结论成立.若0)(<+b a f ，则由零点定理0)(),0(=+∈∃ξξf b a 使得. 三．设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得ξξ=)(f .证明：设x x f x F -=)()(，则)(x F 在]1,0[上连续. 又0)0(0)0()0(≥=-=f f F ,01)1()1(≤-=f F 若0)1(0)0(==F F 或，则结论成立.若0)1(0)0(<>F F 或，则由零点定理0)()1,0(=∈∃ξξf 使得.四．设)(x f 在),(b a 上连续，且B x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim 00，又存在),(1b a x ∈使 B x f >)(1.证明)(x f 在),(b a 上有最大值. 证明：取),(1B x f -=ε1δ∃, 当10δ<-<a x 时, B x f B x f -<-)()(1. 即 当),(1δ+∈a a x 时，)()(1x f x f <.2δ∃, 当02<-<-b x δ时, B x f B x f -<-)()(1. 即 当),(2b b x δ-∈时，)()(1x f x f <.若21δδ->+b a ,)(1x f 为最大值),(1b a x ∈.若21δδ-≤+b a ,)(x f 在],[21δδ-+b a 上连续,必有最大值. )()(10x f x f ≥, ],[210δδ-+∈b a x .∴在),(b a 上)(x f 取得最大值)(0x f .一元微积分学题库（8） 导数的概念一． 选择题：1． 设f ′ (x)存在，a 为常数，则ha h x f a h x f h )()(lim0--+→等于（C ）. (A) f ′(x) ; (B) 0 ; (C) )('2x f a; (D) )('2x f .2. 在抛物线23x y =上，与抛物线上横坐标11=x 和22-=x 的两点连线平行的切线方程是（B ）.(A) 12x-4y+3=0; (B)12x+4y+3=0; (C) 4x+12x+3=0; (D)12x+4y+1=0.3. 将一个物体铅直上抛，设经过时间t 秒后，物体上升的高度为22140gt t s -=，则物体在3秒时的瞬时速度为（B ）.(A) g 2340-; (B) 40-3g ; (C) 0 ; (D) g 29120-.4. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在x=0处 (B). (A) 连续且可导； （B ）连续，不可导；（C ）不连续； （D ）都不是.二．设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f 在处x=1可导，求a 和b. 解：)(x f 在x=1处可导∴)(x f 在x=1处连续，可得 )(lim )(lim 0101x f x f x x -→+→= 即 1=+b a (1)又)(x f 在x=1处可导, 可得1)1()(lim 1)1()(lim0101--=---→+→x f x f x f x f x x 即 211lim 11lim20101=--=--+-→+→x x x b ax x x (2) 由(1),(2)得 2=a , 1-=b . 三．设5323)(xx x x f =，求)('x f .解: 67)(x x f =, 由幂函数的导数公式可得6167)('x x f =.四．已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)('x f .（提示：分段点x=0处的导数用导数的定义求）解: 当x=0时, 令0-=x h , 1sinhlim )0()0(lim 00==-+--→→hh f h f h h ;1lim )()0(lim00==-+++→→h hhx f h f h h . 所以 1)0('=f∴ ⎩⎨⎧≥<=0,10,cos )('x x x x f 五．设f(x)在),(+∞-∞上有连续导函数.证明f(x)为偶函数的充要条件是：)('x f 为奇函数（充分性的证明用到不定积分的概念，只证必要性）.证明: 对于∀ ),(0+∞-∞∈x 则有),(0+∞-∞∈-x 依题意 令0x x h -=有 h x f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→;hx f h x f x f h )()(lim)('0000--+-=-→;)(x f 为偶函数).(')()(lim)('00000x f hx f h x f x f h -=--=-∴→一元微积分学题库（9） 求导法与复合函数求导一． 填空题：1． 曲线xx y 1-=与x 轴交点的切线方程是)1(2±=x y .2． 曲线2sin 2x x y +=在横坐标x=0点处的切线方程是x y 2=,法线方程是x y 21-=.3． 设x x y ln 1ln 1+-=，则2)ln 1(2'x x y +-=. 4． 设x x y 2sin =，则22sin 2cos 2'xxx x y -=. 5． 设)(cos )(sin 22x f x f y +=，则x x f x x f y 2sin )(cos '2sin )(sin ''22-=. 二． 求下列函数的导数. 1. 52322+-=xx y .解: 3222246)'2()'3()'523('x x x x x x y +=-=+-=.2. x x y cos 2=.解: )'(cos cos )()'cos ('222x x x x x x y +==x x x x sin cos 22-=. 3. x x y cos sin ⋅=.解: x x x x y 2cos )'2sin 21()'cos (sin '==⋅=.4. )13(2+-=x x e y x .解: )'13()13('22+-++-=x x e x x e y x x )3213(2-++-=x x x e x )2(2--=x x e x .5. 110110+-=x x y .解: 2)110()110(10ln 10)110(10ln 10'+--+=x x x x x y2)110(10ln 102+⋅=x x . 三.求导数:1. x y 2ln 1+=,求'y . 解: x x x x x y 222ln 1211ln 2ln 121)'ln 1('+⋅⋅=+⋅+= xx x 2ln 1ln +=.2. 2ln x tgy =,求dx dy. 解: x x x x x x tg y csc sin 12cos 2sin 212sec 2121'2==⋅=⋅⋅=.3. t t y cos 1sin 1-+=,求dtdy.解: 2)cos 1()'cos 1()sin 1()cos 1()'sin 1('t t t t t y --⋅+--⋅+=222)cos 1(sin cos sin cos t t t t t ----= 2)cos 1(1sin cos t t t ---=. 四.已知)2523(+-=x x f y ,2arctan )('x x f =,求0=x dx dy. 解: 令2523+-=x x u ,则 22)2523()25()23(5)25(3)('''+-⋅+--+=⋅=x x arctg x x x u f u y ===140arctg dxdy x π.一元微积分学题库(10) 复合函数求导(二) 高阶导数一. 求下列函数的导数: 1. )21arcsin(2x y -=. 解：2222124)21(11)'21('xx x x x y --=--⋅-=.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--<<--=01,1210,1222x xx x2．xe y arcsin=.解： xxe xxe x y arcsinarcsin1121)'(arcsin '⋅-⋅=⋅=2arcsin2xx e x -=.3．3212tt arctgy +=. 解： 1444)21()21(82)212(11)'212('23623233233++++⋅+-=++⋅+=t t t t t t tt tty 1444822363+++-=t t t t .4．242arcsinx xx y -+=. 解： 22422)2(11212arcsin 'xx xx x y ---⋅⋅+=)4242(22arcsin 22x x x x ---+=2arcsin x =. 5．xey 1sin 2-=.解： x xe x x xe x y 1sin 21sin 222)1cos 1sin 2(1)'1sin ('--⋅⋅-⋅-=⋅-=x e x x 1sin 222sin-⋅=.二. 求下列函数的二阶导数:1. )1ln(2x y -=.解： 212'x x y --=, 222222)1()1(2)1(22)1(2''x x x x x x y -+-=-⋅---=. 2. arctgx x y )1(2+=.解： 1211)1(2'22+=+⋅++=xarctgx x x xarctgx y , 2122''xx arctgx y ++=. 3. x xe y =.解： x x xe e y +=', x x x x x xe e xe e e y +=++=2''. 三. 求函数x x y ln =的n 阶导数. 解： 1ln '+=x y ，x y 1''=，21'''x y -=，3)4(2x y =， 一般地，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--=+=-2,)!2()1(1,1ln 1)(n x n n x y n n n . 四. 设)()()(2x a x x f ϕ-=,其中)('x ϕ在点a 的邻域内连续,求)(''a f . 解： )(')()()22()('2x a x x a x x f ϕϕ-+-=.ax x a x x a x a x a f x f a f a x a x --+-=--=→→)(')()()22(lim )(')('lim )(''2ϕϕ)('x ϕ在点a 的邻域内连续 ∴)(')('lim a x ax ϕϕ=→∴0)(lim )(')(')(lim2=-=--→→a x a ax x a x a x a x ϕϕ. )(20)(2lim )(''a x a f ax ϕϕ=+=→.一元微积分学题库(11) 隐函数求导法一. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy. 1. y xe y -=1.解： )'('yye xy e y +-=, 即 yyxee y +-=1' 其中y 是由方程y xe y -=1所确定的隐函数. 2. )(y x tg y +=.解： )(sec )'1('2y x y y +⋅+=, 即 221'yy y +-=. 其中y 是由方程)(y x tg y +=所确定的隐函数. 3. 0922=+-xy y .解： 0'22'2=--xy y y y , 即 xy y y -='. 其中y 是由方程0922=+-xy y 所确定的隐函数. 二. 用对数函数求导法求下列函数的导数'y : 1. 22x ctg xtg y =.解： 先两边取对数(假定422πππk x k +<< . ,2,1,0±±=k ) 得 x tg xctg y 2ln 2ln ⋅=. 则)2ln 2csc 21222sec 2('122x tg xx ctg x ctg x y y -⋅⋅=. )2ln 2csc 21222sec 2(2'222x tg xx ctgx ctg x x tg y xctg -⋅⋅=. 当2)1(42πππ+<<+k x k 时,用同样的方法可得与上面相同的结果. 2. 55225+-=x x y .解： 先两边取对数(假定5>x ) 得)]2ln(51)5[ln(51ln 2+--=x x y .对上式两边对x 求导，得)2125151(51'12+⋅⋅--=x x x y y .即 ])2(5251[2551'2552+--+-=x xx x x y . 当5<x 时,用同样的方法可得与上面相同的结果.三. 求下列函数的二阶导数22dxyd .1. ⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos .解： t a bt a t b dtdx dt dy dx dy cot sin cos -=-==,t a b t a t a b dtdx t a b dt d dx y d 32222sin sin 1csc 1)cot (-=-⋅=⋅-=.2. 已知⎩⎨⎧-==)()(')('t f t tf y t f x 这里)(''t f 存在且不为零.解： )(''t f 存在且不为零 ∴t t f t f t tf t f dx dy =-+=)('')(')('')(', )(''122t f dxy d =. 四. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=tt t y tt x 4522,证明y=y(x)在t=0时dx dy 存在,并求其值. 证明： 原方程可化为 02=-x y . 当0=t 时0=x ,.0)0()(lim lim )0()(lim 0200=-==--+→→→hf h f h h h f h f h h h 一元微积分学题库(12) 微分一. 选择题:1. 已知x y 2tan =,则dy 等于(C).(A) 2tgxdx ; (B)tgxdx x212+ ; (C) xdx tgx 2sec 2 ; (D) x tgx 2sec 2. 2． 一元函数连续是可导的（A ）；一元函数可导是可微的（C ）. （A ）必要条件； （B ）充分条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分条件又非必要条件. 2. 函数x x x x x f ---=32)2()(不可微点的个数是（B ）. （A ） 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0. 二．填空题：1． 已知函数2)(x x f =在点x 处的自变量的增量2.0=∆x ，对应的函数增量y ∆的线性主部是8.0-=dy ，那末自变量的始值为2-. 2． )](ln ln[ln 32x y =，则dx xx dy ln ln ln 2-=.3. xdx c x d 3cos )sin 31(=+; dx e c e d xx22)2(--=+-;dx xc xd 1)2(=+; dx x c x d 11))1(ln(-=+-. 三． 利用微分求近似值：ο59cos .解： 180359ππο-=. 这里x ∆较小应用(p150)(2)式,得1803sin3cos)1803cos(59cos πππππο⋅+≈+=5151.01802321=⋅+=π. 四． 已知测量球的直径D 时有1%的相对误差，问用公式36D V π=计算球的体积时，相对误差有多少？解： 我们把测量D 时所产生的误差当作自变量D 的增量D ∆，那么，利用公式36D V π=来计算V 时所产生的误差就是函数V 的对应增量V ∆.当V∆很小时，可以利用微分dV 近似地代替增量V ∆，即D D D V dV V ∆⋅=∆⋅=≈∆22'π.其相对误差 %3)(3=∆=∆=D VV V s v . 五． 求由方程t t s st =-+)ln()sin(所确定的隐函数s 在t=0处的微分ds .解： 对方程两边关于t 求导，得11')cos()'(=--++t s s st s t s . 当 t=0时, 得 1'2++-=s s s .又对原方程, 当 t=0时, 得 0ln =s 即 s=1.1111=++-=∴dt ds一元微积分学题库（13）中值定理一．选择题：1．下列函数中，满足罗尔定理条件的是（B ）.(A)()[];1,1,132-∈-=x x x f (B)()()[];8,0,42∈-=x x x f(C)()];3,1[,3-∈=x x x f(D)()[].1,10,00,1sin 2-∈⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f 2.对于函数()332x x f -=，在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的点ξ是(A).(A)21; (B)31±; (C)31; (D)1. 二. 应用导数证明恒等式：()112arccos arcsin ≤≤-=+x x x π.（注意：对1±=x处的讨论）证：令()x x x f arccos arcsin +=当()1,1-∈x 时，()()()01111'arccos 'arcsin '22=---=+=xxx x x f()C x f =∴（C 为常数）. 特别地，取0=x ,则求得()20π==f C当1-=x 时，()221πππ=+-=-f当1=x 时，()2021ππ=+=f∴ 当[]1,1-∈x 时，2arccos arcsin π=+x x三. 设0>>b a ，证明：bba b a a b a -<<-ln .证：设()x x f ln =，在],[a b 上利用拉格朗日中值定理，有：()()a b b a b a <<==--ξξξ1'ln ln lnba 111<<ξ∴bba b a a b a -<<-ln . 四. 证明：不论b 取何值，方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.证：反证法.设()b x x x f +-=33，且在区间[]1,1-上有两个以上实根，其中两个分别记为21,x x ，不妨设1121≤<≤-x x ，则()()021==x f x f ，由罗尔定理，在()1,1-内至少有一点ξ，使()0'=ξf . 而()33'2-=x x f 在()1,1-内恒小于0，矛盾.命题成立.五. 构造辅助函数，证明不等式e e ππ>.证：设()x x f ln =，则在区间[]π,e 上，()ππln =f ，().1=e f 根据拉格朗日中值定理，在()π,e 内至少存在一点ξ使()()()()πξξξππ<<==--e f e e f f ,1'即()ξππe -+=1ln 又πξ<<e()()e e e ππξππ=-+<-+=∴11lnππ<∴ln e 即ππe e <六. 设函数()x f 和()x g 在[]b a ,上存在二阶导数，且(),0''≠x g()()()()0====b g a g b f a f ，证明 （1） 在(a,b)内()0≠x g ；（2） 在(a,b)内至少存在一点ξ，使()()()()ξξξξ''''g f g f =. 证：（1）反证法.设（a,b ）内存在一点1x 使0)(1=x g ，则在[]1,x a 上有g(a)=g(x 1)=0,由罗尔定理知在(a,x 1)内至少存在一点ξ1使'g (ξ1)=0. 同理在(x 1,b)内也至少存在一点ξ2使'g (ξ2)=0. ∵'g (ξ1)='g (ξ2)=0∴由罗尔定理，在(ξ1,ξ2)内至少存在一点3ξ使0)(''3=ξg ,这与0)(''≠x g 矛盾，故在()b a ,内()0≠x g . （3） 令)(')()(')()(x f x g x g x f x F -=由题设条件可知，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，存在()b a ,∈ξ使得()0'=ξF 即()()()()0''''=-ξξξξg f g f 由于()()0'',0≠≠ξξg g ，故()()()()ξξξξ''''g f g f =. 一元微积分学题库（14）罗必塔法则一. 求下列极限：1. xe e x x x cos 12lim 0--+-→解：原式=2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x 2. 0lim→x xxx 3sin arcsin -解：原式=0lim →x cos sin 311122=--x x x 0lim →x ()()xx x x x sin cos 9sin 321212232+---- =0lim→x xx sin 0lim→x ()xx 2232cos 931+----=61- 3．0lim →x xctgx解：原式=0lim→x x xsin 0lim →x x cos =1 4．tgxx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→1lim 0 解：令tgxx y ⎪⎭⎫⎝⎛=1，则ctgx x x tgx y ln ln ln -=-= 0lim +→x =y ln 0sin lim csc 1lim ln lim 20200===-+→+→+→xx x x ctgx x x x x ∴lim +→x y=e 0=1 5．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x xx ln 11lim 1 解：原式=()()21111lim 1ln 11ln lim ln 11ln lim 2111=+=-+-+=---→→→xx xx x x x x x x x x x x x 一元微积分学题库（15）函数的单调性一． 填空题：1．函数y=(x-1)(x+1)3在区间)5.0,(-∞内单调减少，在区间),5.0(+∞内单调增加.2．函数2x ax x y -= （a>0）在区间)43,0(a 内单调增加，在区间),43(a a 内单调减少.3．函数7186223---=x x x y 在区间),3()1,(+∞⋃--∞内单调增加，在区间（-1， 3）内单调减少. 4. 函数xx x y 6941023+-=在区间（0.5，1）内单调增加，在区间()),1()5.0,0(0,+∞∞- 内单调减少.二. 证明下列不等式： 1. 当4>x 时，22x x >.证：令22)(x x f x -=，则0)4(=f .x x f x 22ln 2)('-=，082ln 16)4('>-=f2)2(ln 2)(''2-=x x f ，显然，当4>x 时，0)(''>x f )('x f ∴在区间),4(+∞内单调增加. 又0)4('>f)('x f ∴在区间),4(+∞内恒大于零. 又0)4(=f)(x f ∴在区间),4(+∞内大于零.即当4>x 时，02)(2>-=x x f x 即22x x >. 2. 当20π<<x 时，x tgx x 2sin >+.证：令x tgx x x f 2sin )(-+= 2sec cos )('2-+=x x x f)1sec 2(sin sec 2sin )(''32-=+-=x x x tgx x x f 显然，当20π<<x 时，0)(''>x f)('x f ∴在)2,0(π内单调增加.又)0('f =0)('x f ∴在)2,0(π内大于零.)(x f ∴在)2,0(π内单调增加.而)0(f =0 )(x f ∴在)2,0(π内恒大于零. 即当20π<<x 时，02sin )(>-+=x tgx x x f即.2sin x tgx x >+ 3. 当20π<<x 时，x x x <<sin 2π证：令x x x f sin )(=，则2sin cos )('x xx x x f -=. 令x x x x g sin cos )(-=，则)20(0sin )('π<<<-=x x x x g .)(x g ∴在此区间内单调减少.)('x f ∴在此区间内也单调减少.而()02sin lim sin cos lim0'020=-=-=→→x xx xx x x f x x )('x f ∴在)2,0(π内小于0.)(x f ∴在)2,0(π内单调减少.∴xxx f sin )(=在区间的两端取得极大极小值.即ππ2)2(1sin lim)0(0===→f xxf xx x x <<∴sin 2π三. 证明方程sinx=x 只有一个根.证：令x x x f -=sin )(，则01cos )('≤-=x x f . )(x f ∴在),(+∞-∞内单调减少.∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0, 0)(=∴x f 有且只有一个根. 即方程sinx=x 只有一个根.一元微积分学题库（16）函数的极值一. 填空题：1. 函数3443x x y -=在1=x 处取得极小值.2. 已知函数322)1()5(+-=x x y 当=x -1或5时，y=0为极小值；当x=0.5时， y=318881为极大值. 3．已知bx ax x x f ++=23)(在x=1处有极值-2，则a=0,b=-3,y=f(x)的极大值为2； 极小值为-2.二. 求下列函数的极值： 1. ()()23321--=x x y解：)12)(32()1(5'2++-=x x x y)188)(1(10''2-+-=x x x y令0'=y 得三驻点：5.0,5.1,1321-=-==x x x . 当1>x 时，0'>y ，当15.0<<-x 时，0'>y . 11=∴x 处为非极值点.当5.12-=x 时，,0''<y 取得极大值，其值为0. 当5.03-=x 时，0''>y ，取得极小值，其值为-13.5. 2. x e y x cos =解：)sin (cos 'x x e y x -=，令0'=y ，得驻点4ππ+=k x （k 为整数）.x e y x sin 2''-=∴当42ππ+=k x 时，,0''<y x 在该处取得极大值，其值为4222ππ+=k ey 当452ππ+=k x 时，,0''>y x 在该处取得极小值，其值为45222ππ+-=k ey 三. 试问a 为何值时，函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值.解：x x a x f 2cos 32cos )('+=，令0)('=x f ，则02cos 32cos =+x x a即x x a cos /2cos 32-=3π=x 时)(x f 取得极值.323cos /32cos 32=-=∴ππax x x x a x f 2sin 34sin 322sin 34sin )(''--=--=0332sin 343sin 32)3(''<-=--=πππf)(x f ∴在3π=x 处取得极大值，其值为23. 四. 设q px x x f +-=3)(，q p ,为实数，且0>p(1) 求函数的极值.(2) 求方程03=+-q px x 有三个实根的条件.解：(1) p x x f -=23)('，令0)('=x f 得3p x ±=，而x x f 6)(''= 31px =∴处取得极小值，其值为q p +-23)3(231px -=处取得极大值，其值为q p +23)3(2 (2)由上述的讨论我们可以看出，)(x f 仅有 ),3(),3,3(),3,(+∞---∞p p p p 三个单调区间，由介值定理及区间 单调性知：方程要有三个实根，必须满足在这三个单调区间上各有一个实根，也就是说，极小值应小于或等于0同时极大值应大于或等于0（等于0时含重根）.即0320322323≥+⎪⎭⎫⎝⎛≤+⎪⎭⎫⎝⎛-q p q p即当23233232⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-p q p 时，方程有三个实根.五. 一个无盖的圆柱形大桶，已规定体积为V,要使其表面积为最小，问圆 柱的底半径及高应是多少？解：设圆柱的底半径为R,高为h ，则h R V 2π=,R V R Rh R S /2222+=+=πππ表0/222=-=R V R dRdS π表则3πVR =32/RV R V h ==π 六. 设)(x f 在[]1,0上二阶可微，0)1()0(==f f ，且2)(max 10=≤≤x f x .证明存在 )1,0(∈ξ，使得()16''-≤ξf .证：将)1(),0(f f 在x 取得极大值处展开一阶泰勒公式（设此时0x x =）201000)0(!2)('')0(!1)(')()0(x f x x f x f f -+-+=ξ，010x <<ξ202000)1(!2)('')1(!1)(')()1(x f x x f x f f -+-+=ξ，120<<ξx 0)1()0(,0)(',2)(00====f f x f x f ，两式相加得：8)1)(('')(''202201-=-+x f x f ξξ令()(){}21'',''min )(''ξξξf f f =，则16212128)(''8)122)((''20020-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤-≤+-x f x x f ξξ一元微积分学题库 (17) 最大值 最小值 凹凸性 拐点一、求下列函数的最大值和最小值： 1.)41( 3223≤≤--=x x x y-11234-2-11函数在所给区间内可导，因此可令 066)(2=-='='x x x f y 解得 1 ,0==x x而 104)4( ,1)1( ,0)0( ,5)1(=-==-=-f f f f 所以函数在区间]4,1[-上的最大值、最小值分别为104和-5. 2. )41( 718x -6223≤≤+-=x x x y-1123456-50-25255075100函数在所给区间内可导，因此可令18126)(2=--='='xxxfy解得)(1,3舍去-==xx而33)4(,47)3(,15)1(-=-=-=fff所以函数在区间]4,1[上的最大值、最小值分别为-47和-15.二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设宽为)200(<<xx米，则长为x220-米，因此，面积为xxS)220(-=显然，当5=x时，面积取最大值502m.三、求数项),2,1(=nnn中的最大项.解：246810121.11.21.31.4令 0)(x )(1>=xx x f 则 )ln 1()(21x xx f x-='-解得唯一驻点，e x = ，并且)(x f 在区间e] ,0[上单调递增，在区间] ,[∞+e 上单调递减，而332<所以数项),2,1( =n n n 中的最大项为33. 四、求下列函数的凹凸区间与拐点： 1. 53x 523++-=x x y 解：-2246-20-101020函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 3106)(2+-='='x x x f y 1012)(-=''=''x x f y因此，当)65 ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) ,65(∞+∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，点)216995,65(是曲线的拐点. 2. )1ln(2+=x y解：-4-2240.511.522.53函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 12)(2+='='x xx f y 22)1()1)(1(2)(x x x x f y ++-=''='' 因此，当)1- ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) 1 ,1(-∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，当) ,1(∞+∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，点)ln2 ,1(±是曲线的拐点.五、证明112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上. 证明：-4-224-1.5-1-0.5函数在定义域) ,(∞+-∞内二阶导数存在，并且。
《高等数学(一元函数微分学)》例题解析【参考答案】
《高等数学（一元函数微分学）》例题解析【参考答案】1. ⑴连续； ⑵ dxx f x )1(1'2-； ⑶ 41π+； ⑷ 1>a ； ⑸ 2-e ； ⑹ ()t t t t sin cos -； ⑺()!1--n 。
2. ⑴ 解：因为0(0)=f ，2(0)='f所以202020tan cos -1lim (0))tan cos -1()cos -(0)](1-)cos -1([lim tan )cos -1(limx xf x x x f x f x x f x x x →→→'==1212=⋅= ⑵ dx xxexx x x ]11)2([21222+++++；⑶ ]ln cot -)ln 2-sin ln (1[)sin (ln x x x x xx x x ⋅； ⑷ 解：tt dt dx sin cos =，t e t e dt dy y ysin -1cos =，t e t e dt dx dt dy dx dy y y sin -1sin == ⑸ 解：方程1=-y xe y 两边同时对x 求导，得 0--=''y y e y x e y当0=x 时，1=y ，所以e y ='(0)；在方程0--=''y ye y x ey 两边继续对x 求导，得0)(-2-2=''+'''''y y y e y x e y x y e y ，所以22(0)e y =''⑹ 解：1-1-2-12312x x x x y =+-=，1n n(n))2-(!)1(-)2-1(+=x n x ，1n n(n))1-(!)1(-)1-1(+=x n x ， 所以])1(1-)2(1[!(-1)11n )(++=n n n x-x-n y。
3. 解：2112t dt dx ++=，2123-t tdt dy ++=，3223-3-22++==t t t dt dx dt dy dx dy ， 当3=x 时，0=t ，2=y ，故1-|3==x dxdy，因此曲线在3=x 处的切线方程为 )3--(2-x y =，即05=-+y x 。
一元函数微分学练习题（答案）
一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限：1．9325235lim 222-=-+=-+→x x x2．01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4．0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x 6．x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7．00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8．943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11．01sin lim 20=→xx x （无穷小的性质）12．0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x （无穷小的性质）13．51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14．xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15．2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16．mn x x x )(sin )sin(lim 0→（n 、m 为正整数） ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17．32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x （等价替换）18．31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19．413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20．2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21．1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x （等价替换）注：也可用洛必达法则22．535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23．)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24．nm n m a x nn m m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25．xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26．1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim22022022020==+=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 27．a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28．2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数： 1．531-=x y 2．x x e y x+=13．1004)13(-=x y 4．122-+-=x xe y5．bx e y ax sin =（b a ,为常数） 6．3cos 12e ey x x ++= 7．xxy --+=1111 8．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9．)1lg()1(22x e x y x -++=- 10．)1ln(2x x y ++= 11．xy 1tan 2= 12． 322)13(+=x y13．4)sin(=++xy e y x （求y '） 14．4)sin(=++xy e y x （求y '）答案：1．2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2．x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3．99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4．1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5．)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6．x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7．xxx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x xxx y -+-=-'----='--='8．)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9．])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10．])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11．)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12．3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13．4)sin(=++xy e y x解：方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14．（与13同）三、确定下列函数的单调区间： 1．7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增，在]3,1[-内单调递减。
一元函数微积分基本练习题及答案
一、极限题１、求.)(cos lim 21x x x → ２、6sin )1(lim22xdt e x tx ⎰-→求极限。
3、、)(arctan sin arctan lim 20x x xx x -→ 4、210sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→ 5、⎰⎰+∞→xt xt x dte dt e 020222)(lim ６、)1ln(1lim -→+x e x x7、xx x e x cos 1120)1(lim -→+ ８、 xx x x xx ln 1lim 1+--→９、)1ln()2(sin )1)((tanlim2302x x e x x x +-→ 10、10lim()3x x x x x a b c →++ , (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞→xx e x12、)cot 1(lim 220x x x -→ １3、[])1(3sin 1lim 11x e x x ---→１4、()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0021)(3x A x x x f x在0=x 点连续，则A =＿＿_________二、导数题1、.sin 2y x x y ''=，求设2、.),(0y x y y e e xy yx'==+-求确定了隐函数已知方程 ３、.)5()(23的单调区间与极值求函数-=x x x f4、要造一圆柱形油罐,体积为V ，问底半径r 和高ｈ等于多少时，才能使表面积最小，这时底直径与高的比是多少？５、)()2)(1()(n x x x x f ---= ．求)()(x fn6、yxy x = 求dy 7、⎰=x xdt t x F 1sin 12sin )( 求)(x F '8、设⎩⎨⎧≤+>+=0401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导。
9、设)(x f 可导且1)1()0(==f f 。
一元微积分数学函数题库有答案
一元微积分数学函数题库有答案一元微积分学数学（1） 函数一、 填空题： 1． 函数 y=arcsin 92-x定义域是:310103-≤≤-⋃≤≤x x2.设y=f (x)的定义域是[0，1]，则复合函数f (sinx)的定义域是:z k k x k ∉+≤≤,22πππ.3．函数33+=x y 的值域是 0≤y ≤+∝ . 4．函数)1,0(11≠>+-=a a ax ax y 的反函数是:axa xy +-=1. 5．函数12+-=x y 在区间 ]0,(-∞ 内是单调增加的.在区间)0[∞+，内是单调减少.6．设21)1(x x xf ++=，（x>o ）,则)(x f =x x 211++.7．设1)(-=x x x f ,则))(((x f f f =1-x x, ))((x f f = x . 8．函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<-∞=x x x x x y x 4,241,1,2的反函数y=⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤≤≤<<-∞.16,log ,161,,1,2x x x x x x. 二．选择题：1． 在同一直角坐标系中，函数 与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D ）(A) 关于y 轴对称; (B) 关于x 轴对称; (C)重合； (D) 关于直线y=x 对称.2.下列几对函数中，)(x f 与)(x g 相同的是（C ）.（A ）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(= （B ）x x f =)(与2)(x x g = （C ）2)(x x g =与2)(x x g = （D ）1)(=x f 与xxx g =)( 3．已知的定义域为则的定义域是（C ）（A ）[-a,3a] (B) [a,3a] (C) {a} (D) {-a} 4．如果1)(-=x xx g ，那么))(1(x f f 的表达式是（B ）(A) x-1 (B)1-x (C)xx 1- (D) 都不是 三．设函数)(x f y =是线性函数，已知,3)1(,1)0(-==f f 求此函数. 解：设f(x)=ax+b,则有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.四．证明函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界.证明：f(x)的定义域为R.xx x x1112+=+因为2111,21≤+≥+xx xx 所以所以： 函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界 五．试讨论函数21121)(+-=x x f 的奇偶性.解：21121)(+-=x x f21121)(+-=--x x f211211+-=x 212211+-=xx 21212+-=x x 2121211+-+-=xx 212111+-+-=x21211--=x )(x f -= 所以 21121)(+-=xx f 偶函数. 一元微积分学题库（2） 数列的极限一．判断题：1．如果数列{n u }以A 为极限，那么在数列｛n u ｝增加或去掉有限项之后，说形成的新数列｛n u ｝仍以阿A 为极限． ( T )2．如果0lim =∞→n n n v u ，则有0lim =∞→n n u 或0lim =∞→n n v( F )3．如果a a n n =∞→lim ，且存在自然数N ，当n>N 时恒有n a ＜０，则必有a<０． ( F )4．如果n n a ∞→lim ，n n b ∞→lim 均不存在，则有)(lim n n n b a +∞→必不存在． ( F )一元微积分学题库（3） 函数的极限，无穷大，无穷小一． 选择题：下列题中其条件对其结论来说是（Ａ）充分但非必要条件； （Ｂ）必要但非充分条件； （Ｃ）充分必要条件： （Ｄ）既非充分又非必要条件； １．条件a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim .结论b a b a n n n +=+∞→)(lim （A ）２．条件)(lim 0x f a n -→和)(lim 0x f a n +→都存在.结论)(lim x f an →存在 （B ）３．条件)(lim x f an →和)(lim x g an →都存在.结论 )]()([lim x g x f an +→存在. （A ）４．条件f(x)在a 的某个邻域内单调有界．结论)(lim x f an →存在． （D ）三．求0)(,)(→==x xx x g x xx f ，当时的左右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在？ 解：xxx f =)(=1，所以1)(lim 0=→x f x .⎩⎨⎧><-==.0,1,0,1)(x x x xx g 所以 1)(lim 00-=-→x g x ， 1)(lim 00=+→x g x 显然≠-→)(lim 00x g x )(lim 00x g x +→，故)(lim 0x g x →不存在.五．证明：函数 xx y 1cos 1=在区间（０，１］上无界，但当x →＋０时，这函数不是无穷大．证明：1. 取+∞→∈=k N k k x 当),(21π时，x x y 1cos 1==+∞=πk 2 所以 x x y 1cos 1=在区间（０，１］上无界.2.取0),(21+→+∞→∈+=x k N k k x 时，当ππ，x x y 1cos 1==021⋅+ππk =0即在0的任何邻域都不可能有M xx y >=1cos 1（M>0）成立. 所以当x →＋０时，这函数不是无穷大．一元微积分学题库（4） 极限的求法一． 判断题：下列运算是否正确：0)(lim .12=∞-∞=--∞→x x x n(F).1)53(lim )32(lim 5332lim .24343=∞∞=++=++∞→∞→∞→x x x x x x x(F)0lim 2lim 1lim )21(lim .3222222=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++∞→∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n （F ）二．计算下列极限：１．x x xx x x 2324lim 2230++-→解：xx x x x x 2324lim 2230++-→ =23124lim 20++-→x x x x =21 ２．)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→解：)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→=211)21(1lim--∞→nn =2３．)1111(lim 31x x x ---→ 解：设31111)(x x x f ---=，则311111)(1x x x f ---=因为2313111lim 11111lim )(1lim x x x x x x f x x x +-=---=→→→=0，所以∞=→)(lim 1x f x即：∞=---→)1111(lim 31xx x 从而时，当,10,1lim .40-∞→-→→xx x arctg x 从而时，当,10,21lim 0+∞→+→-=-→x x x arctgx π)(.1lim ,21lim 00T xarctg x arctgx x 不存在所以→+→=π４．x x x 11lim-+→ 解：xx x 11lim-+→ =)11()11()11(lim++⋅++⋅-+→x x x x x=)11(lim++⋅→x x x x=111lim 0++→x x=21 ５．xarctgxx ∞→lim解：因为 22ππ<<-arctgx 所以arctgx 为有界函数.而 xx 1lim∞→=0， 由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.x arctgxx ∞→lim =0６．)(lim x x x x x -+++∞→解：)(lim x x x x x -+++∞→=xx x x x x x x x x x x x ++++++⋅-+++∞→)()(lim=xx x x x x x x x +++-+++∞→)(lim=xx x x x x x +++++∞→lim=xxx 111111lim+++++∞→=21 ７．)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→解：)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→=x x x x x n n -+⋅⋅⋅++-∞→1)1()1)(1)(1(lim 2=xx n n --∞→11lim 2=x-11 三．已知a x f x a x x x x f x 存在，求且)(lim ,3,3,3)(3→⎩⎨⎧<+≥-=解：)(lim 03x f x +→=3lim3-+→x x =0，)(lim 03x f x -→=)(lim 03a x x +-→=3+a,)(lim 3x f x →存在，即：)(lim 03x f x +→=a x f x +==-→3)(lim 003所以. 3-=a .一元微积分学题库（5）极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较一、 判断题：1． 因为0→x 时，tgx~x,sinx~x,所以 0lim sin lim 330=-=-→→xxx xtgx x x x （F ） 2． 222)21(lim )2(lim e xx x xx x x =+=+•∞→∞→ (T)3． 1sin lim )sin (lim sin lim=⋅=⋅=→→→x xx tgx x x x tgx x tgx x x x πππ (F)二、计算下列极限1. xxx 5sin 2sin lim 0→解：x x x 5sin 2sin lim 0→=)525sin 522sin (lim 0⋅⋅→x x x x x =⋅→x x x 22sin lim 0⋅→x x x 5sin 5lim 052=522. xctgx x 0lim →解：xctgx x 0lim →=)cos sin (lim 0x x x x ⋅→=)sin (cos lim 0x x x x ⋅→=⋅→x x cos lim 0xxx sin lim0→=1 3. xx xx sin 2cos 1lim0-→解：x x x x sin 2cos 1lim 0-→=x x x x sin sin 2lim 20⋅→=x x x sin 2lim 0→=xx x sin lim 20→⋅=24. xx x 1sin lim ∞→解：x x x 1sin lim ∞→=x x x 11sinlim∞→=xx x11sinlim 01→=1.5. kx x x)11(lim -∞→解：kx x x )11(lim -∞→=)()()11(lim k x x x -•-∞→--+=k x x x --∞→--+])11[(lim =ke -6. xx x x )11(lim -+∞→解：x x x x )11(lim -+∞→=x x x x ]12)1([lim -+-∞→=xx x )121(lim -+∞→=1221)2111(lim +•-∞→-+x x x=)]2111()2111[(lim 221-+⋅-+•-∞→x x x x =2e . 二、 证明：当x →0时，下列各对无穷小量是等价的 1.x arctgx ~证明：设A=arctgx,则 x=tgA, 当0→x 时，0→A . xarctgxx 0lim→=tgA A A 0lim →=1 2.1-cosx ~ 22x证明：2cos 1lim 20x x x -→=2)2sin(2lim 220x x x ⋅→=2202)2(2)2sin(2lim x x x ⋅⋅→=222)2()2sin(lim x x x →=1. 四、证明：0)2124321(lim =-⋅⋅⋅⋅∞→nn n 用两边夹法则：（解法一）设F(n)= n n 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 则2)2124321()(nn n F -⋅⋅⋅= 22222)2()12(4321n n -⋅⋅⋅⋅=1)2()12(14312122222--⋅⋅⋅-⋅-<n n )12()12()12(75353122+⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n n121+=n 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.（解法二）：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 因为 n n n n 112-<--（n 为自然数）， 所以有F(n)< 12254322124321+⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n n=n21 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.另解：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅( 0<F(n)<1 )， 则F(n+1)= 122)(+⋅n nn F ，有F(n+1)<F(n).所以F(n)为单调有界数列，由极限存在准则II 知F(n)有极限.设A n F n =∞→)(lim .则有)1(lim +∞→n F n =))(1(lim n F n nn ⋅+∞→ )1(lim +∞→n F n =1+n n)(lim n F n ∞→⋅A=1+n nA , A=0. 即0)(lim =∞→n F n .证毕.五、设2112,,2,1,10n n n x x x n x -=⋅⋅⋅=<<+，证明数列}{n x 的极限存在，并求其极限.证明： 212n n n x x x -=+ 2211n n x x -+-=2)1(1n x --= ]))1(1(1[1221-----=n x 221)1(1---=n x 322)1(1---=n x = (1)21)1(1---=k x因为 ,101<<x 所以 ,10<<n x 因为 212n n n x x x -=+所以)1(1n n n n x x x x -=-+>0 即： n n x x >+1 所以}{n x 为单调有界数列，由极限存在准则II 知}{n x 有极限. A x n n =∞→lim ， 则有 )2(lim lim 21n n n n n x x x -=∞→+∞→，A=2A--2A ，解得：A=1 或A=0（舍去，因为}{n x 为递增数列且01>x .）所以 1lim =∞→n n x一元微积分学题库（6） 函数的连续性一． 判断题1．21))12)(12(1...5*313*11(lim =+-+++∞→n n n （ T ） 2.设)(x f 在0x 点连续，则)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=（ T ）3．如果函数)(x f 在],[b a 上有定义，在],[b a 上连续，且<)(*)(b f a f 0，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)(ξf = 0（ T ）4．若)(x f 连续，则)(x f 必连续. （ T ）5．若函数)(x f 在],[b a 上连续且恒为正，则)(1x f 在],[b a 上必连续. （ T ）6．若a x f x x =→)(lim 0,且0>a ，则在0x 的某一邻域内恒有0)(>x f .（ F ）7．0=x 是函数xx x f 1sin )(=的振荡间断点.（ F ）二． 填空题：1．-→ππx xx sin lim (1-)2. =∞→x x x sin lim ( 0 )3. =+--+-→123lim2312x x x x x x ( ∞ ) 4. 0=x 是xe xf 1)(=的第（二）类间断点.三． 求xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→解：xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=()()1sin 1tan 1lim sin 1sec cot 0==++→ee x x xxx x 四． 求函数4tan()1()(π-+=x xx x f 在)2,0(π内的间断点，并判断其类型.解：)(x f 在()π2,0内的间断点有：4π=x ，43π=x ，45π=x ，47π=x因为 ),(lim 4x f x π→)(lim 45x f x π→不存在，,1)(lim 43=→x f x π1)(lim 47=→x f x π 所以43π=x ，47π=x 是)(x f 的第一类（可去）间断点; 4π=x ，45π=x 是)(x f 的第二类间断点.五． 设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f ，（1）求)(x f ；（2）当)(x f 连续时，求b a ,的值.解：(1) n n n n xx bx ax x f 2122231lim )(---∞→+++= ∴ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+-=-+-=++>=112112111)(2x bx ax x b a x b a x x x f(2) )(x f 连续21)1(11lim)(lim 0101ba f x x f x x ++====+→+→1=+⇒b a21)1(11lim )(lim )01()01(ba f x x f x x -+-====--→--→ 1-=-⇒b a∴⎩⎨⎧==1b a .一元微积分学题库（7） 连续函数的性质一．计算下列极限： 1．2321lim4--+→x x x 解：原式= )321)(4()2)(921(lim4++-+-+→x x x x x =321)2(2lim4+++→x x x =342．22011lim xx x +-→ 解：原式=2220)11(lim x x x x ++→=)11(lim 20x x ++→=2 3．x x x sin lnlim 0→ 解：原式=)sin lim ln(0xxx →=01ln =4．ctgx x tgx )31(lim 0+→解：原式=tgxx tgx 33)31(lim +→=331])31(lim [tgx x tgx +→=3e5．145lim1---→x xx x解：原式=)45)(1()1(4lim1x x x x x +---→=xx x +-→454lim1=26．xe x x 1lim 0-→解：令t e x =-1，得)1ln(+=t x ，当0,0→→t x 时 原式=)1ln(limt tt +→=tt t 10)1ln(1lim+→=])1(lim ln[110tt t +→=1ln 1=e二．证明方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根（其中0,0>>b a ）. 证明：设x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在],0[b a +上连续. 又0)0(>=b f ，0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f . 若0)(=+b a f ，则结论成立.若0)(<+b a f ，则由零点定理0)(),0(=+∈∃ξξf b a 使得. 三．设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得ξξ=)(f .证明：设x x f x F -=)()(，则)(x F 在]1,0[上连续. 又0)0(0)0()0(≥=-=f f F ,01)1()1(≤-=f F 若0)1(0)0(==F F 或，则结论成立.若0)1(0)0(<>F F 或，则由零点定理0)()1,0(=∈∃ξξf 使得. 四．设)(x f 在),(b a 上连续，且B x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim 00，又存在),(1b a x ∈使 B x f >)(1.证明)(x f 在),(b a 上有最大值. 证明：取),(1B x f -=ε1δ∃, 当10δ<-<a x 时, B x f B x f -<-)()(1. 即 当),(1δ+∈a a x 时，)()(1x f x f <.2δ∃, 当02<-<-b x δ时, B x f B x f -<-)()(1. 即 当),(2b b x δ-∈时，)()(1x f x f <.若21δδ->+b a ,)(1x f 为最大值),(1b a x ∈.若21δδ-≤+b a ,)(x f 在],[21δδ-+b a 上连续,必有最大值. )()(10x f x f ≥, ],[210δδ-+∈b a x .∴在),(b a 上)(x f 取得最大值)(0x f .一元微积分学题库（8） 导数的概念一． 选择题：1． 设f ′ (x)存在，a 为常数，则ha h x f a h x f h )()(lim0--+→等于（C ）. (A) f ′(x) ; (B) 0 ; (C) )('2x f a; (D) )('2x f .2. 在抛物线23x y =上，与抛物线上横坐标11=x 和22-=x 的两点连线平行的切线方程是（B ）.(A) 12x-4y+3=0; (B)12x+4y+3=0; (C) 4x+12x+3=0; (D)12x+4y+1=0.3. 将一个物体铅直上抛，设经过时间t 秒后，物体上升的高度为22140gt t s -=，则物体在3秒时的瞬时速度为（B ）.(A) g 2340-; (B) 40-3g ; (C) 0 ; (D) g 29120-.4. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在x=0处 (B). (A) 连续且可导； （B ）连续，不可导；（C ）不连续； （D ）都不是.二．设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f 在处x=1可导，求a 和b. 解：)(x f 在x=1处可导∴)(x f 在x=1处连续，可得 )(lim )(lim 0101x f x f x x -→+→= 即 1=+b a (1)又)(x f 在x=1处可导, 可得1)1()(lim1)1()(lim0101--=---→+→x f x f x f x f x x 即 211lim 11lim20101=--=--+-→+→x x x b ax x x (2) 由(1),(2)得 2=a , 1-=b . 三．设5323)(xx x x f =，求)('x f .解: 67)(x x f =, 由幂函数的导数公式可得6167)('x x f =.四．已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)('x f .（提示：分段点x=0处的导数用导数的定义求）解: 当x=0时, 令0-=x h , 1sinhlim )0()0(lim 00==-+--→→hh f h f h h ;1lim )()0(lim 00==-+++→→h hh x f h f h h .所以 1)0('=f∴ ⎩⎨⎧≥<=0,10,cos )('x x x x f五．设f(x)在),(+∞-∞上有连续导函数.证明f(x)为偶函数的充要条件是：)('x f 为奇函数（充分性的证明用到不定积分的概念，只证必要性）.证明: 对于∀ ),(0+∞-∞∈x 则有),(0+∞-∞∈-x 依题意 令0x x h -=有 h x f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→;hx f h x f x f h )()(lim)('0000--+-=-→;)(x f 为偶函数).(')()(lim )('00000x f hx f h x f x f h -=--=-∴→一元微积分学题库（9） 求导法与复合函数求导一． 填空题：1． 曲线xx y 1-=与x 轴交点的切线方程是)1(2±=x y .2． 曲线2sin 2x x y +=在横坐标x=0点处的切线方程是x y 2=,法线方程是x y 21-=.3． 设x x y ln 1ln 1+-=，则2)ln 1(2'x x y +-=. 4． 设xxy 2sin =，则22sin 2cos 2'x x x x y -=. 5． 设)(cos )(sin 22x f x f y +=，则x x f x x f y 2sin )(cos '2sin )(sin ''22-=. 二． 求下列函数的导数.1. 52322+-=xx y .解: 3222246)'2()'3()'523('x x x x x x y +=-=+-=.2. x x y cos 2=.解: )'(cos cos )()'cos ('222x x x x x x y +==x x x x sin cos 22-=. 3. x x y cos sin ⋅=.解: x x x x y 2cos )'2sin 21()'cos (sin '==⋅=.4. )13(2+-=x x e y x .解: )'13()13('22+-++-=x x e x x e y x x )3213(2-++-=x x x e x )2(2--=x x e x .5. 110110+-=x x y .解: 2)110()110(10ln 10)110(10ln 10'+--+=x x x x x y2)110(10ln 102+⋅=x x . 三.求导数:1. x y 2ln 1+=,求'y . 解: xx x x x y 222ln 1211ln 2ln 121)'ln 1('+⋅⋅=+⋅+= xx x 2ln 1ln +=.2. 2ln x tgy =,求dx dy. 解: x x x x x x tg y csc sin 12cos 2sin 212sec 2121'2==⋅=⋅⋅=.3. t t y cos 1sin 1-+=,求dt dy.解: 2)cos 1()'cos 1()sin 1()cos 1()'sin 1('t t t t t y --⋅+--⋅+=222)cos 1(sin cos sin cos t t t t t ----= 2)cos 1(1sin cos t t t ---=. 四.已知)2523(+-=x x f y ,2arctan )('x x f =,求=x dx dy .解: 令2523+-=x x u ,则 22)2523()25()23(5)25(3)('''+-⋅+--+=⋅=x x arctg x x x u f u y ===140arctg dxdyx π.一元微积分学题库(10) 复合函数求导(二) 高阶导数一. 求下列函数的导数: 1. )21arcsin(2x y -=. 解：2222124)21(11)'21('xx x x x y --=--⋅-=.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--<<--=01,1210,1222x xx x2．x e y arcsin =.解： x xe xxe x y arcsin arcsin1121)'(arcsin '⋅-⋅=⋅=2arcsin2xx e x -=.3．3212ttarctgy +=. 解： 1444)21()21(82)212(11)'212('23623233233++++⋅+-=++⋅+=t t t t t t tt tty 1444822363+++-=t t t t .4．242arcsin x xx y -+=.解： 22422)2(11212arcsin'xx xx x y ---⋅⋅+=)4242(22arcsin22xx x x ---+=2arcsin x=.5．xey 1sin 2-=.解： xx e x x xe x y 1sin 21sin 222)1cos 1sin 2(1)'1sin ('--⋅⋅-⋅-=⋅-=xe xx 1sin 222sin-⋅=. 二. 求下列函数的二阶导数:1. )1ln(2x y -=.解： 212'x x y --=, 222222)1()1(2)1(22)1(2''x x x x x x y -+-=-⋅---=. 2. arctgx x y )1(2+=.解： 1211)1(2'22+=+⋅++=xarctgx x x xarctgx y , 2122''xxarctgx y ++=. 3. x xe y =.解： x x xe e y +=', x x x x x xe e xe e e y +=++=2''. 三. 求函数x x y ln =的n 阶导数. 解： 1ln '+=x y ，x y 1''=，21'''x y -=，3)4(2xy =， 一般地，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--=+=-2,)!2()1(1,1ln 1)(n x n n x y n n n . 四. 设)()()(2x a x x f ϕ-=,其中)('x ϕ在点a 的邻域内连续,求)(''a f . 解： )(')()()22()('2x a x x a x x f ϕϕ-+-=.ax x a x x a x a x a f x f a f a x a x --+-=--=→→)(')()()22(lim )(')('lim )(''2ϕϕ)('x ϕ在点a 的邻域内连续 ∴)(')('lim a x ax ϕϕ=→∴0)(lim )(')(')(lim2=-=--→→a x a ax x a x a x a x ϕϕ. )(20)(2lim )(''a x a f ax ϕϕ=+=→.一元微积分学题库(11) 隐函数求导法一. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy. 1. y xe y -=1.解： )'('yye xy e y +-=, 即 yyxee y +-=1' 其中y 是由方程y xe y -=1所确定的隐函数. 2. )(y x tg y +=.解： )(sec )'1('2y x y y +⋅+=, 即 221'yy y +-=.其中y 是由方程)(y x tg y +=所确定的隐函数. 3. 0922=+-xy y .解： 0'22'2=--xy y y y , 即 xy y y -='. 其中y 是由方程0922=+-xy y 所确定的隐函数. 二. 用对数函数求导法求下列函数的导数'y : 1. 22x ctg xtg y =.解： 先两边取对数(假定422πππk x k +<< . ,2,1,0±±=k ) 得 x tg xctg y 2ln 2ln ⋅=. 则)2ln 2csc 21222sec 2('122x tg xx ctg x ctg x y y -⋅⋅=. )2ln 2csc 21222sec 2(2'222x tg xx ctgx ctg x x tg y xctg -⋅⋅=. 当2)1(42πππ+<<+k x k 时,用同样的方法可得与上面相同的结果. 2. 55225+-=x x y .解： 先两边取对数(假定5>x ) 得)]2ln(51)5[ln(51ln 2+--=x x y .对上式两边对x 求导，得)2125151(51'12+⋅⋅--=x x x y y .即 ])2(5251[2551'2552+--+-=x x x x x y . 当5<x 时,用同样的方法可得与上面相同的结果.三. 求下列函数的二阶导数22dxyd .1. ⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos .解：t a b t a t b dtdx dt dy dx dy cot sin cos -=-==, t a b t a t a b dtdx t a b dt d dx y d 32222sin sin 1csc 1)cot (-=-⋅=⋅-=.2. 已知⎩⎨⎧-==)()(')('t f t tf y t f x 这里)(''t f 存在且不为零.解： )(''t f 存在且不为零 ∴t t f t f t tf t f dx dy =-+=)('')(')('')(', )(''122t f dx y d =. 四. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=tt t y tt x 4522,证明y=y(x)在t=0时dx dy 存在,并求其值. 证明： 原方程可化为 02=-x y . 当0=t 时0=x ,.0)0()(lim lim )0()(lim 0200=-==--+→→→hf h f h h h f h f h h h 一元微积分学题库(12) 微分一. 选择题:1. 已知x y 2tan =,则dy 等于(C).(A) 2tgxdx ; (B)tgxdx x212+ ; (C) xdx tgx 2sec 2 ; (D) x tgx 2sec 2. 2． 一元函数连续是可导的（A ）；一元函数可导是可微的（C ）. （A ）必要条件； （B ）充分条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分条件又非必要条件. 2. 函数x x x x x f ---=32)2()(不可微点的个数是（B ）. （A ） 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0. 二．填空题：1． 已知函数2)(x x f =在点x 处的自变量的增量2.0=∆x ，对应的函数增量y ∆的线性主部是8.0-=dy ，那末自变量的始值为2-. 2． )](ln ln[ln 32x y =，则dx xx dy ln ln ln 2-=.3. xdx c x d 3cos )sin 31(=+; dx e c e d xx22)2(--=+-;dx xc xd 1)2(=+; dx x c x d 11))1(ln(-=+-. 三． 利用微分求近似值：ο59cos .解： 180359ππο-=. 这里x ∆较小应用(p150)(2)式,得1803sin 3cos )1803cos(59cos πππππο⋅+≈+= 5151.01802321=⋅+=π. 四． 已知测量球的直径D 时有1%的相对误差，问用公式36D V π=计算球的体积时，相对误差有多少？解： 我们把测量D 时所产生的误差当作自变量D 的增量D ∆，那么，利用公式36D V π=来计算V 时所产生的误差就是函数V 的对应增量V ∆.当V∆很小时，可以利用微分dV 近似地代替增量V ∆，即D D D V dV V ∆⋅=∆⋅=≈∆22'π.其相对误差%3)(3=∆=∆=DVV V s v . 五． 求由方程t t s st =-+)ln()sin(所确定的隐函数s 在t=0处的微分ds .解： 对方程两边关于t 求导，得11')cos()'(=--++t s s st s t s . 当 t=0时, 得 1'2++-=s s s .又对原方程, 当 t=0时, 得 0ln =s 即 s=1.1111=++-=∴dt ds一元微积分学题库（13）中值定理一．选择题：1．下列函数中，满足罗尔定理条件的是（B ）.(A)()[];1,1,132-∈-=x x x f (B)()()[];8,0,42∈-=x x x f(C)()];3,1[,3-∈=x x x f(D)()[].1,10,00,1sin 2-∈⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f 2.对于函数()332x x f -=，在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的点ξ是(A).(A)21; (B)31±; (C)31; (D)1. 二. 应用导数证明恒等式：()112arccos arcsin ≤≤-=+x x x π.（注意：对1±=x处的讨论）证：令()x x x f arccos arcsin +=当()1,1-∈x 时，()()()01111'arccos 'arcsin '22=---=+=xxx x x f()C x f =∴（C 为常数）.特别地，取0=x ,则求得()20π==f C当1-=x 时，()221πππ=+-=-f当1=x 时，()2021ππ=+=f∴ 当[]1,1-∈x 时，2arccos arcsin π=+x x三. 设0>>b a ，证明：bba b a a b a -<<-ln .证：设()x x f ln =，在],[a b 上利用拉格朗日中值定理，有：()()a b b a b a <<==--ξξξ1'ln ln lnba 111<<ξ ∴bba b a a b a -<<-ln . 四. 证明：不论b 取何值，方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.证：反证法.设()b x x x f +-=33，且在区间[]1,1-上有两个以上实根，其中两个分别记为21,x x ，不妨设1121≤<≤-x x ，则()()021==x f x f ，由罗尔定理，在()1,1-内至少有一点ξ，使()0'=ξf . 而()33'2-=x x f 在()1,1-内恒小于0，矛盾.命题成立.五. 构造辅助函数，证明不等式e e ππ>.证：设()x x f ln =，则在区间[]π,e 上，()ππln =f ，().1=e f 根据拉格朗日中值定理，在()π,e 内至少存在一点ξ使()()()()πξξξππ<<==--e f e e f f ,1'即()ξππe -+=1ln 又πξ<<e()()e e e e ππξππ=-+<-+=∴11lnππ<∴ln e 即ππe e <六. 设函数()x f 和()x g 在[]b a ,上存在二阶导数，且(),0''≠x g()()()()0====b g a g b f a f ，证明（1） 在(a,b)内()0≠x g ；（2） 在(a,b)内至少存在一点ξ，使()()()()ξξξξ''''g f g f =. 证：（1）反证法.设（a,b ）内存在一点1x 使0)(1=x g ，则在[]1,x a 上有g(a)=g(x 1)=0,由罗尔定理知在(a,x 1)内至少存在一点ξ1使'g (ξ1)=0. 同理在(x 1,b)内也至少存在一点ξ2使'g (ξ2)=0. ∵'g (ξ1)='g (ξ2)=0∴由罗尔定理，在(ξ1,ξ2)内至少存在一点3ξ使0)(''3=ξg ,这与0)(''≠x g 矛盾，故在()b a ,内()0≠x g . （3） 令)(')()(')()(x f x g x g x f x F -=由题设条件可知，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，存在()b a ,∈ξ使得()0'=ξF 即()()()()0''''=-ξξξξg f g f 由于()()0'',0≠≠ξξg g ，故()()()()ξξξξ''''g f g f =. 一元微积分学题库（14）罗必塔法则一. 求下列极限：1. xe e x x x cos 12lim 0--+-→解：原式=2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x 2. 0lim→x xxx 3sin arcsin -解：原式=0lim →x cos sin 311122=--x x x 0lim →x ()()xx x x xsin cos 9sin 321212232+---- =0lim →x xx sin 0lim→x ()xx 2232cos 931+----=61-3．0lim →x xctgx解：原式=0lim→x x xsin 0lim →x x cos =1 4．tgxx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→1lim 0 解：令tgxx y ⎪⎭⎫⎝⎛=1，则ctgx x x tgx y ln ln ln -=-= 0lim +→x =y ln 0sin lim csc 1lim ln lim 20200===-+→+→+→xx x x ctgx x x x x ∴lim +→x y=e 0=1 5．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x xx ln 11lim 1 解：原式=()()21111lim 1ln 11ln lim ln 11ln lim 2111=+=-+-+=---→→→xx xx x x x x x x x x x x x 一元微积分学题库（15）函数的单调性一． 填空题：1．函数y=(x-1)(x+1)3在区间)5.0,(-∞内单调减少，在区间),5.0(+∞内单调增加.2．函数2x ax x y -= （a>0）在区间)43,0(a 内单调增加，在区间),43(a a 内单调减少.3．函数7186223---=x x x y 在区间),3()1,(+∞⋃--∞内单调增加，在区间（-1， 3）内单调减少.4. 函数xx x y 6941023+-=在区间（0.5，1）内单调增加，在区间()),1()5.0,0(0,+∞∞- 内单调减少.二. 证明下列不等式： 1. 当4>x 时，22x x >.证：令22)(x x f x -=，则0)4(=f .x x f x 22ln 2)('-=，082ln 16)4('>-=f2)2(ln 2)(''2-=x x f ，显然，当4>x 时，0)(''>x f )('x f ∴在区间),4(+∞内单调增加. 又0)4('>f)('x f ∴在区间),4(+∞内恒大于零. 又0)4(=f)(x f ∴在区间),4(+∞内大于零.即当4>x 时，02)(2>-=x x f x 即22x x >. 2. 当20π<<x 时，x tgx x 2sin >+.证：令x tgx x x f 2sin )(-+= 2sec cos )('2-+=x x x f)1sec 2(sin sec 2sin )(''32-=+-=x x x tgx x x f 显然，当20π<<x 时，0)(''>x f)('x f ∴在)2,0(π内单调增加.又)0('f =0)('x f ∴在)2,0(π内大于零.)(x f ∴在)2,0(π内单调增加.而)0(f =0 )(x f ∴在)2,0(π内恒大于零. 即当20π<<x 时，02sin )(>-+=x tgx x x f即.2sin x tgx x >+ 3. 当20π<<x 时，x x x <<sin 2π证：令x x x f sin )(=，则2sin cos )('xxx x x f -=. 令x x x x g sin cos )(-=，则)20(0sin )('π<<<-=x x x x g .)(x g ∴在此区间内单调减少.)('x f ∴在此区间内也单调减少.而()02sin lim sin cos lim0'020=-=-=→→x xx xx x x f x x )('x f ∴在)2,0(π内小于0.)(x f ∴在)2,0(π内单调减少.∴xxx f sin )(=在区间的两端取得极大极小值.即ππ2)2(1sin lim)0(0===→f xxf xx x x <<∴sin 2π三. 证明方程sinx=x 只有一个根.证：令x x x f -=sin )(，则01cos )('≤-=x x f . )(x f ∴在),(+∞-∞内单调减少.∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0, 0)(=∴x f 有且只有一个根. 即方程sinx=x 只有一个根.一元微积分学题库（16）函数的极值一. 填空题：1. 函数3443x x y -=在1=x 处取得极小值.2. 已知函数322)1()5(+-=x x y 当=x -1或5时，y=0为极小值；当x=0.5时， y=318881为极大值. 3．已知bx ax x x f ++=23)(在x=1处有极值-2，则a=0,b=-3,y=f(x)的极大值为2； 极小值为-2.二. 求下列函数的极值： 1. ()()23321--=x x y解：)12)(32()1(5'2++-=x x x y)188)(1(10''2-+-=x x x y令0'=y 得三驻点：5.0,5.1,1321-=-==x x x . 当1>x 时，0'>y ，当15.0<<-x 时，0'>y . 11=∴x 处为非极值点.当5.12-=x 时，,0''<y 取得极大值，其值为0. 当5.03-=x 时，0''>y ，取得极小值，其值为-13.5. 2. x e y x cos =解：)sin (cos 'x x e y x -=，令0'=y ，得驻点4ππ+=k x （k 为整数）.x e y x sin 2''-=∴当42ππ+=k x 时，,0''<y x 在该处取得极大值，其值为4222ππ+=k e y 当452ππ+=k x 时，,0''>y x 在该处取得极小值，其值为45222ππ+-=k e y 三. 试问a 为何值时，函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值.解：x x a x f 2cos 32cos )('+=，令0)('=x f ，则02cos 32cos =+x x a即x x a cos /2cos 32-=3π=x 时)(x f 取得极值.323cos /32cos 32=-=∴ππax x x x a x f 2sin 34sin 322sin 34sin )(''--=--=0332sin 343sin 32)3(''<-=--=πππf)(x f ∴在3π=x 处取得极大值，其值为23. 四. 设q px x x f +-=3)(，q p ,为实数，且0>p(1) 求函数的极值.(2) 求方程03=+-q px x 有三个实根的条件. 解：(1) p x x f -=23)('，令0)('=x f 得3p x ±=，而x x f 6)(''=31px =∴处取得极小值，其值为q p+-23)3(231px -=处取得极大值，其值为q p+23)3(2 (2)由上述的讨论我们可以看出，)(x f 仅有 ),3(),3,3(),3,(+∞---∞p p p p 三个单调区间，由介值定理及区间 单调性知：方程要有三个实根，必须满足在这三个单调区间上各有一个实根，也就是说，极小值应小于或等于0同时极大值应大于或等于0（等于0时含重根）.即0320322323≥+⎪⎭⎫⎝⎛≤+⎪⎭⎫⎝⎛-q p q p即当23233232⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-p q p 时，方程有三个实根.五. 一个无盖的圆柱形大桶，已规定体积为V,要使其表面积为最小，问圆 柱的底半径及高应是多少？解：设圆柱的底半径为R,高为h ，则h R V 2π=,R V R Rh R S /2222+=+=πππ表0/222=-=R V R dRdS π表则3πV R = 32/RV R V h ==π 六. 设)(x f 在[]1,0上二阶可微，0)1()0(==f f ，且2)(max 10=≤≤x f x .证明存在 )1,0(∈ξ，使得()16''-≤ξf .证：将)1(),0(f f 在x 取得极大值处展开一阶泰勒公式（设此时0x x =）201000)0(!2)('')0(!1)(')()0(x f x x f x f f -+-+=ξ，010x <<ξ202000)1(!2)('')1(!1)(')()1(x f x x f x f f -+-+=ξ，120<<ξx 0)1()0(,0)(',2)(00====f f x f x f ，两式相加得：8)1)(('')(''20221-=-+x f x f ξξ 令()(){}21'',''m in )(''ξξξf f f =，则16212128)(''8)122)((''20020-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤-≤+-x f x x f ξξ一元微积分学题库 (17) 最大值 最小值 凹凸性 拐点一、求下列函数的最大值和最小值： 1.)41( 3223≤≤--=x x x y-11234-2-11函数在所给区间内可导，因此可令 066)(2=-='='x x x f y 解得 1 ,0==x x而 104)4( ,1)1( ,0)0( ,5)1(=-==-=-f f f f 所以函数在区间]4,1[-上的最大值、最小值分别为104和-5. 2. )41( 718x -6223≤≤+-=x x x y-1123456-50-25255075100函数在所给区间内可导，因此可令18126)(2=--='='xxxfy解得)(1,3舍去-==xx而33)4(,47)3(,15)1(-=-=-=fff所以函数在区间]4,1[上的最大值、最小值分别为-47和-15.二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设宽为)200(<<xx米，则长为x220-米，因此，面积为xxS)220(-=显然，当5=x时，面积取最大值502m.三、求数项),2,1(=nnn中的最大项.解：246810121.11.21.31.4令 0)(x )(1>=xx x f 则 )ln 1()(21x xx f x-='-解得唯一驻点，e x = ，并且)(x f 在区间e] ,0[上单调递增，在区间] ,[∞+e 上单调递减，而332<所以数项),2,1( =n n n 中的最大项为33. 四、求下列函数的凹凸区间与拐点： 1. 53x 523++-=x x y 解：-2246-20-101020函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 3106)(2+-='='x x x f y 1012)(-=''=''x x f y因此，当)65 ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) ,65(∞+∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，点)216995,65(是曲线的拐点.2. )1ln(2+=x y 解：-4-2240.511.522.53函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 12)(2+='='x xx f y 22)1()1)(1(2)(x x x x f y ++-=''='' 因此，当)1- ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) 1 ,1(-∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，当) ,1(∞+∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，点)ln2 ,1(±是曲线的拐点.五、证明112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上. 证明：-4-224-1.5-1-0.5函数在定义域) ,(∞+-∞内二阶导数存在，并且。
高等数学：一元函数积分学习题含答案
1第三章一元函数积分学一、选择题1．由定积分的几何意义，可知=-⎰ax x a 022d （）.A．22aπB．2aπC．221a πD．241a π2．若)()(x f x F ='，则（）成立．A．⎰+='C x f x x F )(d )(B．⎰+=C x F x x f )(d )(C．⎰+=Cx f x x F )(d )(D．⎰+='Cx F x x f )(d )(3．已知)(x F 是)(x f 的一个原函数，则（）.A．⎰=)(d )(x F x x f B．)()(x F x f ='C．Cx F x x f +=⎰)(d )(D．Cx f x F +=')()(4．下列四式中正确的是（）.A．)(d )(x f x x f ba ='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰B．0d )(='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ba x x f C．)()(d )(a f b f x x f ba-=⎰D．)(d )(x f x x f ='⎰5．若x x 2sin +是)(x f 的一个原函数，则[]=-⎰x x f d 1)(（）.A．C x x x +-+2cos 21212B．C x x x +--2cos 21212C．Cx +2sin D．Cx +2sin 216．若函数)(x f 的导数是xa ，则)(x f 的一个原函数是（）.A．Cxaa x+2ln B．xa a x+2ln C．Caa x+2ln D．2ln 2+a a x7．函数2)(x xe x f =的一个原函数=)(x F （）.2A．2x eB．xeC．221x e D．x ln 8．已知)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数，则⎰=+xat a t f d )2(（）.A．)()(a F x F -B．)3()2(a F a t F -+C．)3()2(a F a x F -+D．)()(a F t F -9．设x ln 是)(x f 的一个原函数，那么下列函数中也是)(x f 的原函数的是（）.A．axln B．ax aln 1C．a x +ln D．2)(ln 21x 10．设)(x f 为连续函数，则x x f xad )(⎰是（）.A．)(x f '的一个原函数B．)(x f 的全体原函数C．)(x f 的一个原函数D．)(x f '的全体原函数11．下列等式中正确的是（）.A．xx f x x f d )(d )(d =⎰B．)(d )(x f x x f ='⎰C．C x f x x f x +=⎰)(d )(d dD．)()(d x f x f =⎰12．设xe xf =)(，则⎰='x xx f d )(ln （）.A．Cx +B．Cx +-C．C x+1D．C x+-113．设)(x f 的一个原函数是xxln ，则⎰='x x f x d )(（）.A．C xx+ln B．C x x++2ln 1C．C x+1D．C xx+-ln 2114．下列函数中，在区间[]1,1-上不可积的是（）.A．⎩⎨⎧=-=<<-=1,1,011,1)(x x x x f B．xx f =)(C．121)(-=x x f D．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f315．设)(x f 在),(+∞-∞是连续的，则=++⎰⎰⎰212332d d )(d )(x t t f x x f （）.A．2-B．1-C．0D．116．=⎰204d cos πx x （）.A．π83B．π163C．83D．16317．='⎰bax x f d )3(（）.A．)]3()3([31a f b f -B．)3()3(a f b f -C．[])3()3(3a f b f -D．)3()3(a f b f '-'18．设⎰=121d x x I ，⎰=132d x x I ，则（）.A．21I I =B．21I I >C．21I I <D．无法确定19．⎰=+20d )2sin(ππx x （）.A．2-B．1-C．1D．220．=⎰207d cos πx x （）.A．3516B．π358C．π3516D．356421．⎰-=12d ||3x x x （）.A．－7B．37-C．21D．922．设常数0>a ，则=-⎰-aax x a d 22（）.A．2a πB．24a πC．22a πD．aarcsin 23．⎰=+x xx d 12（）.A．C x +arctan B．Cxx +++21ln C．Cx ++21D．C x ++)1ln(21224．⎰='xat t f d )3(（），其中f '连续．4A．[])()(3a f x f -B．)3()3(a f x f -C．[])3()3(3a f x f -D．[])3()3(31a f x f -25．若⎰⎰-=x x x x x x xf d sin sin d )(，则=)(x f （）.A．x sin B．x cos C．xx sin D．xx cos 26．=''⎰x x f x d )(（）.A．C x f x +')(B．Cx f x f x +-')()(C．Cx f x +')(212D．C x f x +'+)()1(27．)(x f 为[]b a ,上的连续函数，则⎰⎰-babat t f x x f d )(d )(的值是（）.A．小于0B．大于0C．等于0D．不确定28．⎰-=+112d 1x x x（）.A．0B．1C．πD．2π29．=⎰xt x0d 2sin d d （）.A．2sin B．2cos C．0D．2sin x 30．设t t x x xd 1)(0⎰+=Φ，则=Φ')(x （）.A．xx +1B．⎰+++xxx dt t 011C．t x +1D．⎰+xdtt 0131．已知⎰+=22d 2)(xt t x f ，则=')1(f （）.A．3-B．63-C．36-D．332．设()=x ϕ⎰xt t f 20d )(，则()='x ϕ（）.A．)(2x f B．)4(x f C．)2(x f D．)2(2x f 33．设⎰=Φ2d )(x t te x ，则=Φ')1(（）.A．0B．eC．e 2D．e434．设⎰=Φ1d sin )(xt t x ，则=Φ')(x （）.A．xsin B．xsin -C．xcos D．xcos -535．设函数)(x f 在),0(+∞上连续，且⎰+=)1(02d )(x x x t t f ，则=)2(f （）.A．5B．3C．1D．5136．设⎰+=Φ031d )(xtt x ，则=Φ')(x （）.A．3213x x +B．－3213x x +C．311x +D．－311x +37．=⎰→2d sin limxt t x x （）.A．∞B．0C．21D．138．=⎰→xt t xx 020d cos lim（）.A．∞B．1-C．0D．139．=-+⎰→xtt x x cos 1d )1ln(lim（）.A．0B．1-C．1D．∞40．设⎰+=Φ2sin 2d 11)(x t t x ,则=Φ')(x （）.A．x 2sin 11+B．xx 2sin 1cos +C．xx 2sin 1cos +-D．x2sin 11+-41．设3022d )(x t t f x=⎰,则：=⎰10d )(x x f （）.A．1B．2C．3D．442．极限=⎰→42d sin limx t t x x （）.A．21-B．1-C．1D．2143．广义积分⎰+∞1d xx （）.6A．发散B．收敛C．收敛于2D．敛散性不能确定44．下列反常积分收敛的是（）.A．⎰+∞d 2xx B．⎰+∞d xe x C．⎰+∞d xx D．⎰+∞+02d 11x x 45．下列反常积分中发散的是（）.A．xe x d 0⎰+∞-B．⎰+∞12d 1x xC．⎰+∞ex xx d ln 1D．⎰+∞+02d 11x x46．下列反常积分中收敛的是（）.A．⎰+∞132d 1xx B．⎰+∞d xe xC．⎰+∞ex xx d ln 1D．⎰+∞14d 1x x 47．广义积分x x x kd )(ln 12⎰+∞（k 为常数）收敛，则k 满足（）.A．1<k B．1≤k C．1>k D．1≥k 48．广义积分⎰-112d 1x x （）.A．收敛B．敛散性不能确定C．收敛于2-D．发散49．广义积分⎰+∞∞-+x x xd 122（）.A．发散B．收敛C．收敛于πD．收敛于2π50．广义积分⎰+∞12d 1x x （）.A．收敛于1B．发散C．敛散性不能确定D．收敛于251．广义积分⎰+∞22)ln (d x x x（）.A．发散B．收敛于1C．收敛于2ln 1D．的敛散性不能判定52．下列广义积分中发散的是（）.A．⎰+∞-0d xe x B．⎰+∞+02d 11x xC．⎰+∞1d 1x xD．⎰1d 1x x53．广义积分⎰+∞-=1d 2x xe x （）.7A．e21B．e21-C．e D．∞+54．下列广义积分收敛的是（）.A．⎰+∞1d xx B．⎰-22)1(d x x C．⎰+∞+1d 11x xD．⎰-axa x 022d )0(>a 55．广义积分⎰+∞d px x当（）.A．1>p 时收敛，1≤p 时发散B．1≥p 时收敛，1<p 时发散C．1<p 时收敛，1≥p 时发散D．1≤p 时收敛，1>p 时发散56．如果广义积分⎰+∞-02d x x P 收敛，则（）.A．1>P B．1<P C．3>P D．3<P 57．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 绕x 轴旋转得到的旋转体的体积1V 和绕y 轴旋转得到的旋转体的体积2V 之间的关系为（）.A．21V V >B．21V V <C．21V V =D．213V V =58．有连续曲线)(x f y =，直线a x =，b x =，)(b a <及x 轴所围成的平面图形的面积（）.A．xx f bad )(⎰B．xx f bad )(⎰C．xx f bad )(⎰D．[]),)()((b a a b f ∈-ξξ59．曲线x y =2，x y =，3=y 所围图形的面积是（）.A．⎰-312d )(yy y B．⎰-31d )(x x x C．⎰-12d )(yy y D．yy y d )(32⎰-60．由曲线x y ln =，a x =，b x =，)0(b a <<及x 轴所围成的曲边梯形的面积为（）.A．⎰baxx d ln B．⎰bax x d ln C．xa b ln )(-D．⎰baxx d |ln |二、填空题861．说明定积分x x d 1112⎰--的几何意义，并求其值__________．62．设)(x f 是函数x sin 的一个原函数，则=⎰x x f d )(__________．63．设)(x f 的一个原函数为xe x，则='⎰x x f x d )(__________．64．⎰+=-C ex x x f x2d )(，则=)(x f __________．65．若x cos 为)(x f 的一个原函数，则⎰='x x f x d )(___________.66．=+-⎰x x x xx d sin cos sin cos __________．67．⎰=x e xx d 32__________．68．⎰=--2d 2x x x__________．69．设)(x f '在[]b a ,上连续，则='⎰x x f bad )2(__________．70．设)(x f 是连续函数，则[]⎰-=--aax x f x f x d )()(2__________．71．=+⎰--x e x x xd )2(22__________．72．设xe xf =)(，则⎰='''1d )()(x x f x f __________．73．⎰-=--+112d ))()()((2x x f x f e x x __________（其中)(x f 为连续函数）74．=-⎰-2223d 1ππx x x ___________．75．⎰-=+212123d 1x x x __________．76．⎰-=+-1123d 11)sin 1(x x x __________．77．⎰-=+1122d )1(x x x__________．978．=+⎰-x xx d 2112__________．79．⎰-=113d x x _________．80．⎰=ex x 1d ln ______．81．=⎰θθπd tan 402______．82．=⎰-x x d 221______．83．⎰=2121d x x ex______．84．=⎰x x xe d ln cos 11______．85．{}=⎰-x x d ,1max 33______．86．设⎰=+123d )3(x ax x ，则a =_______．87．设)(x f 在[]b a ,上连续，0x 是()b a ,内任一定点，则=⎰t t f xx a d )(d d 0______．88．=⎪⎭⎫⎝⎛⎰102d d d x xe x x ______．89．=⎰-xx t t f xd )(d d ______．90．设⎰=xt t x f 0d sin )(，则()='x f ________．91．设⎰+=Φ031d )(xtt x ，则=Φ')(x ___________．92．求极限=+⎰⎰→02d d )2sin (limxxx tt tt t t ___________．93．无穷限反常积分⎰+∞1d p xx收敛，则p 的取值范围为_________．94．无穷限反常积分⎰+∞-05d x e x =________．1095．无穷限反常积分⎰+∞-=0d x xe x ________．96．⎰∞-=02d x e x ______．97．=-+⎰-1123d 12x xx ______．三、计算题98．θθθd sin cos ⎰．99．⎰-x xx d 22．100．⎰-x xx x d 1arcsin 2．101．⎰-x x d )2(25．102．⎰x a x d 3．103．x xx d cos 2cos 2⎰+．104．x x d sin 3⎰．105．x x x x d )31)(21)(1(⎰---．106．y y n m d ⎰．107．x x x d 1⎰-．108．x x x x d )1()1(3+-+⎰．109．⎰+-x x x e x x x d 323．110．⎰+x x x d 122．111．⎰-x x x d 1ln 2．112．x x x x d 32532⎰⋅-⋅．113．x e e x xd 1⎰+．114．⎰-+te e t t d 1．115．⎰+x x d 9412．116．⎰+--x x x x d 83322．117．⎰+1d 2x x x ．118．x x x d 2532⎰+．119．⎰+1d 32x x x ．120．x x d 3cot 2⎰．121．⎰x x d 3sin 3．122．x x d 32cos ⎰．123．⎰x x x xd sin cos 2cos 22．124．x x xd 2cos 1cos 12⎰++．125．⎰+x x d sin 11．126．⎰x e e x x d )(cos ．127．x x e x d 2⎰-．128．⎰+x x x d sin 1cos 2．129．x xx d 1)(arctan 22⎰+．130．x x x d cos sin 53⎰．131．x x d sec 3⎰．132．x x d tan 4⎰．133．x x e xd sin ⎰．134．x x d arctan ⎰．135．⎰x x d arccos ．136．x x x x d cos sin ⎰．137．⎰+x x x d )1ln(2．138．⎰+x x d )1ln(2．139．⎰x x d tan 4．140．⎰t t td sin 2cos 4．141．⎰+x x xx d sin 1cos sin 4．142．⎰x x x d cos 2．143．x x d cos 3⎰．144．⎰x x x x d sin cos 3．145．⎰+x x x cos sin d ．146．x x x d cos cos ln 2⎰．147．⎰+x x x x d sin cos 2cos ．148．⎰x x x d cos ．149．⎰+x x xx d 1arctan 2．150．x x x x d cos sin 12cos ⎰+．151．x x d tan 4⎰．152．x x xx d sin 1cos sin 22⎰+．153．x x xd arcsin 2⎰．154．⎰-2251d x x．155．⎰-2169d x x．156．⎰+294d x x．157．⎰-44d x xx ．158．⎰-222d x a xx ．159．x xa x d 22⎰-．160．⎰-9d 22x x x ．161．⎰-1d 4x x ．162．⎰-24d x x x ．163．⎰--6d 2x x x ．164．x x x d 11)(3⎰++.165．x x x d 1⎰-．166．⎰+x x x d 122．167．x x x d 922⎰-．168．x x x d )1(43⎰+．169．⎰++x x d 111．170．⎰-x x x d )1(1002．171．⎰-+x ee e x x xd ．172．⎰xe x x d 112．173．⎰-x e x d 52．174．x e e e e x x x x d ⎰--+-．175．x x x d ln 2⎰+．176．⎰+x x x d 33．177．⎰+-x x d )32(112．21178．⎰++544d 2x x x．179．⎰-+223d x x x．180．⎰+2323)1(d x x x ．181．⎰--169d 2x x x．182．⎰+-x x x d 9132．183．⎰+t t21d ．22184．⎰-x x x d 125．185．⎰+)1(d 2x x x ．186．⎰--t e e t t d 112．187．x x x x d ⎰．188．x x x d 1⎰+．189．⎰+x x x d )1ln(3．23190．⎰+22)1(d x x．191．⎰-ax x a 0d (．192．⎰+33121d x x．193．⎰2021d x x ex．194．x x x d 23502⎰+-．195．⎰10d t te t．24196．⎰303d x e x ．197．⎰+ex x x 1d ln 1．198．⎰+10d 1x e e x x．199．⎰+102d 1x x x ．200．⎰-103d 2x xe x ．201．⎰2713d xx ．202．x x ed ln 1⎰．25203．⎰+1023d 1x x x ．204．⎰-51d 1u u u ．205．x x a x a d 0222⎰-．206．⎰+31ln 1d e x x x．207．⎰-212d 1x xx ．208．⎰2121d x xe x ．26209．⎰-+1122)1(d x x x ．210．⎰-++02222d x x x ．211．⎰--20)2)((d aa x a x x ．212．⎰+213d x x x ．213．x x x d cos cos 223⎰--ππ．214．⎰403d tan πθθ．27215．⎰-2102d 1arcsin x x x．216．⎰π0d sin x x x ．217．x x e x d cos 20⎰π．218．x x x d sin 03⎰π．219．x x x d 2cos 212⎰⎪⎭⎫⎝⎛．220．x x d sin 20⎰π．28221．⎰-404d 2cos 1πx x ．222．⎰+ωπϕω002d )(sin t t ．223．⎰π0d cos sin x x x x ．224．x x d 2sin 02⎰π．225．⎰-60d )12cos 2(πθθ．226．x x d 2cos 02⎰π．227．⎰402d tan πθθ．29228．⎰6822cos d ππx x．229．x x x d sin 202⎰π．230．x x e x d sin 20⎰π．231．⎰+∞15d x x．232．⎰+∞-0d x e x．233．⎰+∞-0d x xe x．234．⎰+∞e x x xd ln ．30235．⎰+∞e x x x 2)(ln d ．236．⎰+∞+12)1(d x x x ．237．⎰+∞12d arctan x x x ．238．⎰+∞-04d x e x x ．239．⎰205d sin cos πx x x ．240．⎰+212d 1x x x ．241．⎰+-10ln 2d 2x e xx ．242．⎰+∞++0222d x x x．243．x xe xd 10⎰-．244．x x xe d ln 111⎰+．245．⎰--+1122d )1(x x x ．246．⎰+10.d 11x e x .247．计算⎰20d )(x x f ，其中⎩⎨⎧≤<≤≤=21,510,2)(x x x x f .248．⎰10d arctan x x x ．249．⎰-31d 2x x .250．⎰242d csc ππx x x ．251．⎰-++222d 2||x x x x 252．⎰+202d sin 1cos πx xx .253．⎰+∞+32d 91x x 254．设)(x f 为连续函数，且满足x x f x x x f d )(3)(102⎰-=，求)(x f ．255．证明：若)(x f 在[]1,0上有二阶连续导数，则x x f x x f f x x f d )()1(212)1()0(d )(1010⎰⎰''--+=256．200d arctan lim x t t x x ⎰→．257．求由2x y =，x y =及x y 2=所围成的平面图形的面积及该图形绕x 轴旋转所生成的旋转体的体积．258．求由曲线2=xy 与直线3=+y x 所围成图形的面积．259．求曲线2x y =与直线x y 2=所围成的平面图形的面积A 以及该平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得旋转体的体积x V 和y V ．260．求由抛物线542+-=x x y ，横轴及直线3=x ，5=x 所围成图形的面积．261．求由曲线2x xe y -=，横轴及直线0=x ，1=x 所围成图形的面积．262．求由曲线2=xy 与直线3=+y x 所围图形的面积．263．求由抛物线223x x y --=与横轴所围成图形的面积．264．求抛物线342-+-=x x y 及其在点)3,0(-和点)0,3(处的切线所围成的面积．265．求由曲线x e y =，x e y -=及直线1=x 所围成图形的面积．266．求由抛物线)1(42+=x y 及)1(42x y -=所围成图形的面积．267．求由曲线xy 1=与直线2,==x x y 所围成图形的面积．268．求曲线2x y =，直线12-=x y 及x 轴所围成的图形的面积．269．求曲线2x y =，2y x =绕x 轴旋转所产生的旋转体的体积．270．求曲线x y =与1=x ，4=x ，0=y 所围成图形绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积．271．求由曲线xy 1=，直线x y 4=及2=x 所围成的平面图形的面积．272．设平面图形由xe y =，e y =，0=x 所围成，求此平面图形的面积．273．求椭圆12222=+by a x 绕x 轴旋转所得旋转体体积．274．求抛物线)2(x x y -=与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．275．求由曲线1=xy 与直线2=y ，3=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积．276．求曲线3x y =与直线2=x ，0=y 所围的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积．277．求由曲线xe y =与直线e y =，y 轴所围成平面图形的面积．278．求由抛物线ax y 42=)0(>a 及直线0x x =)0(0>x 所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．279．计算由椭圆12222=+by a x 所围成的图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．280．求曲线xy 1=与直线1=x ，2=x 及0=y 所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．281．求由曲线xy 1=，直线x y 4=及2=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转而得的旋转体积．282．由曲线xe y =，y 轴与直线ex y =所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体的体积．283．一曲边梯形由12-=x y ，x 轴和直线1-=x ，21=x 所围成，求此曲边梯形的面积．284．求由x y =，0=y ，4=x 围成的平面图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．285．计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积.286．求由曲线24x x y -=与直线x y 2=所围成的平面图形的面积及此图形绕x 轴旋转的体积．287．（数一）在一个带q +电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处)(b a <，求电场力所作的功．288．（数一）在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S 的活塞从点a 处移动到点b 处(如图),求移动过程中气体压力所作的功.289．（数一）一蓄满水的圆柱形水桶高为5m ，底圆半径为3m ，试问要把桶中的水全部吸出需作多少功？290．（数一）一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为ρ的液体,求桶的一个端面所受的侧压力．291．（数一）一圆柱形的储水桶高为5米，底半径为2米，桶内水深为3米，试问要把桶内的水全部吸出需做多少功？（其中水的密度为3/米千克ρ）第三章一元函数积分学1.D2.B3.C4.B5.C6.B7.C8.C9.A 10.C 11.A 12.D 13.D 14.C 15.D 16.A 17.A 18.B 19.C 20.A 21.A 22.C 23.C 24.D 25.B 26.B 27.C 28.A 29.A 30.B 31.A 32.D 33.C 34.B 35.D 36.D 37.C 38.D 39.C 40.C 41.C 42.D 43.A 44.D 45.C 46.D 47.C 48.D 49.A 50.A 51.C 52.C 53.A 54.D 55.A 56.C57.B58.C59.A60.D61.2π62.21sin C x C x ++-63.()C xx e x +-264.()x xex--265.C x x x +--cos sin 66.Cx x ++sin cos ln 67.()C e x++23ln 3268.C x x ++-12ln 3169.()()[]a f b f 2221-70.071.262--e72.()1212-e 73.074.075.076.2π77.078.079.80.181.41π-82.583.ee -84.1sin 85.886.487.088.089.()()x f x f -+90.xsin 91.311x +-92.3-93.1>p 94.5195.196.2197.π298.C+θsin 299.()C x+--2122100.Cx x x ++--arcsin 12101.()Cx +--27272102.C aa x+ln 33103.C x +3sin 2arcsin 22104.C x x ++-3cos 31cos 105.Cx x x x +-+-432233113106.C nym y nm n+++107.()Cx x +---1arctan 12108.C x x x x +++-25235223109.Cx e x x++---ln 3223110.Cx x +-arctan 111.C xx+-ln 112.C x x+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-3ln 2ln 3252113.()C e x++1ln 114.Ce t+arctan 115.C x +32arctan 62116.()Cx x ++-83ln 2117.()Cx ++1ln 212118.()Cx ++5632158119.C x ++1323120.C x x +--3cot 31121.C x x +-6sin 1212122.C x +32sin 23123.()C x x ++-tan cot 124.C x x ++2tan 21125.C x x +-sec tan 126.Ce x+sin 127.C e x +--331128.()Cx +sin arctan129.()C x +3arctan 31130.C x x +-68cos 61cos 81131.()C x x x x +++tan sec ln tan sec 21132.C x x x ++-tan tan 313133.()C x x e x+-cos sin 21134.()Cx x x ++-21ln 21arctan 135.Cx x x +--21arccos 136.Cx x x ++-2sin 812cos 41137.()()C xx x x x +-+-++3691ln 131233138.()C x x x x ++-+arctan 221ln 2139.C x x x ++-tan tan 313140.C t t ++-cot cot 313141.()C x +2sin arctan 21142.C x x x x +++2cos 812sin 41412143.Cx x +-3sin 31sin 144.Cx x x x +---21cot 21cot 22145.Cx x+--+-21tan 21tan ln 2222146.C x x x x +-+tan cos ln tan 147.C x x ++cos sin 148.Cx +sin2149.()C x x x x +++-+221ln arctan 1150.()C x ++2sin 2ln 151.C x x x ++-tan tan 313152.C x x +-sin arctan sin 153.Cxx x x +--+-211ln arcsin 1154.C x +5arcsin 51155.C x +34arcsin 41156.C x +32arctan 62157.C x +2arcsin 212158.C x a x a x a +--2222arcsin 2159.Cxaa a x +--arccos 22160.C xx +-9912161.C x x x +-+-arctan 2111ln 41162.C x x x ++-+11ln 211163.Cx x ++-23ln 51164.Cx x x ++-32322165.()Cx x +---1arctan 12166.Cx x x x ++-++-+12112112ln167.Cxx x x +---+99ln 22168.C x x x x x +++++61717658133611243256136113169.()Cx x +++-+11ln 212170.()()()Cx x x +-+---979899119711149111991171.()Ce x ++1ln 212172.Ce x+-1173.C e x +-5221174.()Cee xx ++-ln 175.()C x ++2ln 221176.()C x x x x ++-+-3ln 27923323177.()C x ++32arcsin 21178.C x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+21arctan 41179.C x +-21arcsin 180.C x x x +-+-arctan 2111ln 41181.C x x x +--+-16913ln 312182.()C x x +-+3arctan 319ln 232183.C t ++21ln 21184.()()Cx x x +---+--523221511321185.Cx x x +-+11ln 2186.Ct e t++187.C x x x x +158188.()()C x x ++-+2325132152189.()()()Cx x x x x x x +-+--++--+312arctan 231ln 4121ln 431ln 22232190.Cx x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++1arctan 212191.62a 192.6π193.ee -194.()63b a -195.1196.()13-e 197.23198.()2ln 1ln -+e 199.2ln 21200.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--31e 123201.12202.1203.()26ln 2521-204.()2arctan 22-205.416a π206.2207.33π-208.e e -209.0210.1211.23ln 1a 212.58ln 21213.41π-214.()2ln 121-215.722π216.π217.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1212πe 218.()62-ππ219.2d 2cos 02ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰x x 220.4221.81645-π222.ω2T223.4π-224.225.623π-226.2π227.41π-228.()1321-229.41162+π230.()1212+xe 231.41232.1233.1234.∞235.1236.2ln 1-237.2ln 214+π238.!4239.61240.34ln 241.()2e 141--242.4π243.e21-244.()12232-245.2246.()2ln 1ln 1++-e 247.6248.()241-π249.1250.2ln 214+π251.3ln 252.4π253.12π254.2332x x +-255.略256.21257.π1559,67258.2ln 223-259.ππ38,1564,34===y x V V A 260.332261.⎪⎭⎫ ⎝⎛-e 1121262.2ln 223-263.332264.49265.2e1e -+266.316267.2ln 23-268.121269.103π270.π8.24271.2ln 2215-272.1273.234ab π274.π1516275.π325276.π7128277.1278.279.b a 234π280.202ax π281.281π282.2e 62ππ-283.2427284.5128π285.18286.34,π532287.akq 288.a bk ln289.3462≈（KJ ）290.332R g ρ291.g πρ42（J ）。
一元函数积分学试题
套题3：一元函数积分学测试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分1.当0x →时，下列无穷小中阶数最高的是（）（A-（B ）345345x x x -+（C ）2cos x e x-（D ）21cos 0sin xt dt t-⎰2.设sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a⎰等于（）（A ）3sin ax C a x +（B ）2sin ax C a x +（C ）sin ax C ax +（D ）sin axC x+3.若反常积分0+∞1(1+pB 收敛，则（）A a<1且b>1B a>1且b>1C a<1且a+b>1D a>1且a+b>14.设I =−π2π2(1+x)21+x 2dx ,J =−π2π21+x e xdx ,K =−π2π2(1+cosx )dx ,则I ,J ,K 的大小关系为A I >J >KB I >K >JC K >I >JD K >J >I5.设⎰==πk x k k xdx e I 0)3,2,1(sin 2，则有()312132123321)()()()(I I I D I I I C I I I B I I I A <<<<<<<<二、填空题1.=-++⎰dx xx x 11-221122.设）（0)()2(0>⎰=--a dt ex f t a t xa ，则=⎰dx x f a)(03..极限=-+⎰→xxxt x dt e sin 122])1(1[lim ⎰-=⎪⎭⎫⎝⎛++22cos 1sin .4ππdx x x x ⎰===10)('')2,1(2)0,0()()(.5dx x xf y x f y x f x 处相切，则在点且与曲线过点曲线具有二阶连续导数，若设函数三、简答题1.计算：设函数)(x f 连续，且0)0(≠f ，求极限dtt x f x dtt f t x x xx ⎰⎰--→0)()()(lim。
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一、极限题
1、求.)(cos lim 21
0x x x → 2、600sin )1(lim 2
2
x
dt e x t x ⎰-→求极限。
3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、21
0sin lim x x x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛→ 5、⎰⎰+∞→x
t x t x dt e dt e 020
222)(lim 6、)1ln(10lim -→+x e x x
7、x x x e x cos 1120)1(lim -→+ 8、 x
x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、)
1ln()2(sin )
1)((tan lim 23
02
x x e x x x +-→ 10、10lim()3x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1
--+∞
→x x e x 12、)cot 1(lim 220x x x -→ 13、[]
)1(3sin 1lim 11x e x x ---→ 14、
()
⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0021)(3x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________
二、导数题
1、.sin 2
y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y
x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2
3的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？
5、)()2)(1()(n x x x x f ---=Λ .求)()(x f
n 6、y x y x = 求dy
7、⎰=x x dt t x F 1
sin 1
2sin )( 求)(x F '
8、设⎩⎨⎧≤+>+=0
401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导. 9、设)(x f 可导且1)1()0(==f f .若)2(sin 2sin 2)2(x f x f y = 求0=x dy
10、设x x
x e
e e y 221ln arctan +-=, 求y '. 11、设y y x =, 求dy .
12、设x n
e n x x x x
f -++++=)!
!21()(2Λ，n 为正整数，求)(x f 的极值. 13、设)(x f 在0=x 点连续，0)0(≠f ，又)(2x f 在0=x 点可导且)0(|])([02f x f x ='=，
求)0(f '.
14、设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，0)1()0(==f f ，1)21(=f . 证明：)1,0(∈∃ξ使1)(='ξf
15、设函数0)(>x f 且二阶可导，)(ln x f y =，则=''y __________
16、0)cos(sin =--y x x y ，则=dy __________
17、x x y sin =，求y '
18、求函数2
1x x y +=的极值 19、()y x y +=sin ，求22dx
y d 20、()x x y cos sin =，求
dx
dy 21、求过原点且与曲线59++=x x y 相切的切线方程。
22、x x y ln )(ln =，求y '
23、设⎩
⎨⎧≤>+=1,1,)(2x x x b ax x f 试求b a ,使)(x f 在1=x 点连续、可导. 24、设f 可导，
)(sin )(sin x x f e f e y =，求dx dy 25、设)cos(22y x e xy y +=+ ， 求dy
26、设21arccos x y -=，则='y
27、设)2)(1()(--=x x x x f …)100(-x ，则=')0(f
28、设)(x f 二阶可导，.0)0(,0)(=>''f x f 证明：x
x f )(在()0,∞-和()+∞,0上都单增. 29、设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0201)(x b x x x a x f 在0=x 点可导， 求b a , .
30、设x
a x a x a a a x y ++= ， 求 y ' .
31、设函数)(x y y =由方程0)cos(=-+xy e y x 确定，则 ==0x dy
32、设)1ln()(x x f += ，则 =)0()10(f
33、设u u f 是)(的已知可导函数，求函数)()(x f x b
a f y =的导数，其中a 与
b 均为不等于1的正数。
34、求满足关系式⎰⎰-+=x
x
dt t x tf x dt t f 00)()(的可微函数)(x f 35、设0)(>x f 在),0(∞内可导且1)(lim =+∞→x f x .若x h h e x f hx x f 110))
()((lim =+→，求)(x f . 36、设)sin arcsin(x a y = ，求y '及y ''
37、设⎰=x
x dt t f x F 101
)()(, 其中)(t f 连续，求)(x F '
38、2
sin x y =
，则 y ’ =___________ 39、设 ⎰
-=-x x x dt x t f 02)23sin()( ，其中f 连续，求)(x f
40、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0
0,sin 1)(2x x x x x f 求)2(πf ' ， )0(f ' 41、计算⎰+4241x x t
dt dx d
三、积分题
1、求arccos xdx ⎰.
2、⎰
++.412dx x x 求 3、求
0⎰ 4、⎰-+x x x e e dx e 5、⎰-+1
021x x dx 6、⎰+)
1(x x dx 7、⎰+
dx x )1ln( 8、求心形线)cos 1(θ+=a r 在第二象限所围成的面积. 9、证明曲线)0(323232
>=+a a
y x 上任一点的切线介于两坐标轴间的一段长度为常数。
10、求333+-=x x y 的极值，并求出该曲线介于极值点间的曲边梯形面积。
11、计算
⎰-+=2221cos ππdx e x e I x x 12、dx e e x x ⎰-1
2 13、计算dx x x ⎰+)1ln( 14、⎰-9
22x x dx
15、已知1)0(=f ，3)2(=f ，5)2(='f ，计算dx x f x I ⎰''=10)2(
16、求x y sin =)0(π≤≤x 与x 轴所围图形绕1=y 的旋转体积。
17、⎰
xdx x arctan 18、dx x
x ⎰-229 19、⎰+)1(x x dx 20、⎰--22
3cos cos ππdx x x
21、⎰-dx x x 2)1(ln 22、⎰-+221)1(x x xdx
23、2sin 12
0dx x ⎰-π
24、求圆 16)5(22=-+y x 绕x 轴旋转所成环体的体积V
25、⎰=+dx x x x )
1(arctan 26、求 ⎰dx x x 2sin sin ln 27、求x y sin =与x y 2sin =在[]π,0上所围图形的面积
28、若x 2sec 是)(x f 的一个原函数，则=⎰
dx x f x )( 29、
dx x ⎰--2
2228 30、⎰+dx x
x )ln 1ln (ln 31、在曲线x e y -= )0(≥x 上找一点，使过该点的切线与两坐标轴所夹平面图形的面积最
大，并求出该面积值。
四、证明题
1、.1xe e x x
>>时，证明不等式：当 2、证明 x x
x f )11()(+=在),0(∞+ 内严格单增 3、 . )( )1( ]1,
0[ ,...,3,2),1()0(]1,0[)(n n n ξξξf n
f n n n f f x f =+-∈==使得，存在试证，对于上连续，且在设函数 4、的值。
试求的高阶无穷小量，是时，其中当处的增量为在任一点设函数 )1( .y(0) x 0x ,x
1x y y )( 2y x x y y παα=∆→∆++∆⋅=
∆= 5、设0)0(=f ，0)(<''x f ，证明：0,21>∀x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +<+。
6、设()()()()()4321----=x x x x x f ，则方程()0'=x f 有几个不同的实根？ 并证明之。
7、设)(t f 为连续的奇函数，试问⎰=x
dt t f x g 0)()( 的奇偶性如何，并证明你的结论. 8、试证：当0>x 时，2
arctan 1π->x x （9分） 9、证明不等式 x x x
x <+<+)1ln(1 ， 0>x （本题10分） 10、设函数[]1,0)(在x f 连续，在)1,0(可导，且满足)2
1
()(51
5
4
f dx x f =⎰ 求证：存在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈1,21ξ使0)(='ξf 。