一元函数微积分基本练习题与答案

一、极限题

1、求.)(cos lim 21

0x x x → 2、600sin )1(lim 2

2

x

dt e x t x ⎰-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、21

0sin lim x x x x ⎪⎭

⎫ ⎝⎛→ 5、⎰⎰+∞→x

t x t x dt e dt e 020

222)(lim 6、)1ln(10lim -→+x e x x

7、x x x e x cos 1120)1(lim -→+ 8、 x

x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、)

1ln()2(sin )

1)((tan lim 23

02

x x e x x x +-→ 10、10lim()3x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1

--+∞

→x x e x 12、)cot 1(lim 220x x x -→ 13、[]

)1(3sin 1lim 11x e x x ---→ 14、

()

⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0021)(3x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________

二、导数题

1、.sin 2

y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y

x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2

3的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？

5、)()2)(1()(n x x x x f ---=Λ .求)()(x f

n 6、y x y x = 求dy

7、⎰=x x dt t x F 1

sin 1

2sin )( 求)(x F '

8、设⎩⎨⎧≤+>+=0

401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导. 9、设)(x f 可导且1)1()0(==f f .若)2(sin 2sin 2)2(x f x f y = 求0=x dy

10、设x x

x e

e e y 221ln arctan +-=, 求y '. 11、设y y x =, 求dy .

12、设x n

e n x x x x

f -++++=)!

!21()(2Λ，n 为正整数，求)(x f 的极值. 13、设)(x f 在0=x 点连续，0)0(≠f ，又)(2x f 在0=x 点可导且)0(|])([02f x f x ='=，

求)0(f '.

14、设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，0)1()0(==f f ，1)21(=f . 证明：)1,0(∈∃ξ使1)(='ξf

15、设函数0)(>x f 且二阶可导，)(ln x f y =，则=''y __________

16、0)cos(sin =--y x x y ，则=dy __________

17、x x y sin =，求y '

18、求函数2

1x x y +=的极值 19、()y x y +=sin ，求22dx

y d 20、()x x y cos sin =，求

dx

dy 21、求过原点且与曲线59++=x x y 相切的切线方程。 22、x x y ln )(ln =，求y '

23、设⎩

⎨⎧≤>+=1,1,)(2x x x b ax x f 试求b a ,使)(x f 在1=x 点连续、可导. 24、设f 可导，

)(sin )(sin x x f e f e y =，求dx dy 25、设)cos(22y x e xy y +=+ ， 求dy

26、设21arccos x y -=，则='y

27、设)2)(1()(--=x x x x f …)100(-x ，则=')0(f

28、设)(x f 二阶可导，.0)0(,0)(=>''f x f 证明：x

x f )(在()0,∞-和()+∞,0上都单增. 29、设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0201)(x b x x x a x f 在0=x 点可导， 求b a , .

30、设x

a x a x a a a x y ++= ， 求 y ' .

31、设函数)(x y y =由方程0)cos(=-+xy e y x 确定，则 ==0x dy

32、设)1ln()(x x f += ，则 =)0()10(f

33、设u u f 是)(的已知可导函数，求函数)()(x f x b

a f y =的导数，其中a 与

b 均为不等于1的正数。

34、求满足关系式⎰⎰-+=x

x

dt t x tf x dt t f 00)()(的可微函数)(x f 35、设0)(>x f 在),0(∞内可导且1)(lim =+∞→x f x .若x h h e x f hx x f 110))

()((lim =+→，求)(x f . 36、设)sin arcsin(x a y = ，求y '及y ''

37、设⎰=x

x dt t f x F 101

)()(, 其中)(t f 连续，求)(x F '

38、2

sin x y =

，则 y ’ =___________ 39、设 ⎰

-=-x x x dt x t f 02)23sin()( ，其中f 连续，求)(x f