金融数学试卷及答案

一、填空（每空4分，共20分）

1．一股股票价值100元，一年以后，股票价格将变为130元或者90元。假设相应的衍生产

品的价值将为U=10元或D=0元。即期的一年期无风险利率为5%。则t=0时的衍生产品 的价格_______________________________。（利用博弈论方法)

2．股票现在的价值为50元，一年后，它的价值可能是55元或40元，一年期利率为4%，

则执行价为45元的看跌期权的价格为___________________。（利用资产组合复制方法）

3．对冲就是卖出________________， 同时买进_______________。

4．Black-Scholes 公式_________________________________________________。

5．我们准备卖出1000份某公司的股票期权，这里.1,30.0,05.0,40,500=====T r X s σ

因此为了对我们卖出的1000份股票期权进行对冲，我们必须购买___________股此公司 的股票。（参考8643.0)100.1(,8554.0)060.1(==N N ）

二、计算题

1．（15分）假设股票价格模型参数是：.120,8.0,7.10===S d u 一个欧式看涨期权到期时间,3=t 执行价格,115=X 利率06.0=r 。请用连锁法则方法求出在0=t 时刻期权的价格。

2．（15分）假设股票价格模型参数是：85.0.100,9.0,1.10====p S d u 一个美式看跌期权到期时间,3=t 执行价格,105=X 利率05.0=r 。请用连锁法则方法求出在0=t 时刻期权的价格。

3.（10分）利用如下图的股价二叉树，并设置向下敲出的障碍为跌破65元，50=X 元，.06.0=r 求0=t 时刻看涨期权的价格。

4.（15分）若股票指数点位是702，其波动率估计值,4.0=σ指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格结算。期货合约的价格是715美元。若执行价是740美元，短期利率为7%，问这一期权的理论价格应是多少（参考

,5279.0)071922.0(,4721.0)071922.0(==-N N 3936.0)271922.0(=-N ，6064.0)271922.0(=N ）

5.（15分）根据已知条件1,05.0,1414.0,40,43=====T r X S σ年，求出期权的价格C （由 Black-Scholes 公式），∆，Γ和Θ。3周后，若股票价格44=S ，则根据看涨期权的微分方程

2)(2

1dS dS dt dC Γ+∆+Θ≈求出期权的价格新C 。（参考175.0)9358.0(,825.0)9358.0(=-=N N 212.0)7944.0(,788.0)7944.0(=-=N N ）

三、证明题(10分)

设),(t S G 是下面方程的解：0212222=∂∂+∂∂+∂∂S G rS S

G S t G σ。该方程不是Black-Scholes 方程， 因为它没有最后一项，.rG - 证明：),(),(t S G e t S V rt =满足Black-Scholes 方程。

一、填空（每空4分，共20分）

1．元 2．元 3．一分期权、∆股股票 4．)()(210d N Xe d N S V rT --= 5．855

二、计算题（共70分）

1．（15分）

股票价格的二叉树图

-d u ------------------------------------7分

期权价格的二叉树图

2．（15分）

股票价格的二叉树图

7564.0=--=d u d e q r τ，])1([b q qa e V r -+=-τ（连锁法则）

------------------------------------7分

期权价格的二叉树图

3.（10分） 25.1705.87==u ， 8.070

56==d

-d u ------------------------------------4分

期权价格的二叉树图

4.（15分）

根据 ,715=F 25.0=-τT ， 4.0=σ， 740=X ， 07.0=r 有 ,9662.0=X F 2.0=-τσT ------------------------2分

071922.0)2()ln(2

1-=++=σττσr X F d ，271922.012-=-=τσd d -----------------------6分

得 ,4721.0)(1=d N 3936.0)(2=d N -------------------------10分

48.45))()((21=-=-d XN d FN e G r τ美元

-------------------------15分

5.（15分）

根据已知条件得 ,9358.01=d 7944.02=d 。 -------------------------2分

依据Black-Scholes 公式 49.5=C 。 ------------------------4分

,825.0)(1==∆d N

,042.022121=-=Γd e T s πσ

.2819.221)(222-=Γ--=Θ-S d XN re rT σ ------------------------10分 3周后，若股票价格 44=S ，这里 ,523

=dt 1=dS , .21.6)(21

2=Γ+∆+Θ+=dS dS dt C C old new

-------------------------15分

三、证明题(10分)

把 ),(),(t s V e t s G rt -= 代入到已知方程得

s V rse s V e s t V e t s V re

rt rt rt rt ∂∂+∂∂+∂∂+-----222221),(σ 0)21(2222=-∂∂+∂∂+∂∂=-rV s V rs s

V s t V e rt σ ∴0212222=-∂∂+∂∂+∂∂rV s V rs s

V s t V σ 故 V 满足Black-Scholes 方程。