定积分的换元法和分部积分法

2
0
1
1 cos2
x
d (cos
x)
arctan(cos
2
x )0
( ) 2 . 2 44 4
15
二、分部积分公式
设函数u( x) 、v( x)在区间 a,b 上具有
连续导数，则有
b
a udv
uv b a
b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
推导
uv uv uv,
b
a (uv
第三节 定积分的换元法和分部积分法
不定积分
换元积分法 分部积分法
换元积分法 定积分
分部积分法
一、换元公式 二、分部积分公式 三、小结 思考题
1
一、换元公式
定理 假设 f ( x)在[a,b]上连续，函数x (t )
满足条件：
（1） ( ) a ， ( ) b；
（2） (t)在[ , ]（或 , ）上具有连续导数， 且其值域R a, b；
14
0 xf (sin x)dx 0 f (sin t)dt 0 tf (sin t)dt
0 f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx,
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin x cos2
x
dx
2
0
1
sin x cos2
x
dx
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
f (x)d x
(令 x (t))
a
或配元
(t) (t)
(t) d(t)
配元不换限
5
例1 计算 2 cos5 x sin xdx. 0
解 令 t cos x, dt sin xdx,
1
0
xf
(2 x )dx
1 2
1
0
xdf
(2
x)
1 2
xf
(2 x)10
1 2
1
f (2x)dx
0
1 2
f
(2)
1
4
f
(2 x )10
5 1 f (2) f (0) 2.
24
34
思考题2
指出求 2 dx 的解法中的错误，并写出正确
2 x x2 1
的解法.
解 令 x sect, t : 2 3 , dx tan t sectdt,
解：右端 1
b
( x a)( x b)d f ( x)
2a
分部积分积分
1 ( x a)( x b) f ( x) b
2
a
1
b
f ( x)(2x a b)dx
2a
再次分部积分
1
(2 x
a
b)
f
( x)
b
b f ( x) dx = 左端
2
a
a
30
三、小结
定积分的换元法
b
a
f ( x)dx
)dx
b
uv a
,
uv
b a
b
a
uvdx
b
a
uvdx,
b
udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
16
1
例8 计算 2 arcsin xdx. 0
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
1
x2 0
1 2
0
1
4、1 x ln xdx _____________；
5、
1
x arctan xdx ____________ .
0
二、计算下列定积分：
1、 e sin(ln x) dx ； 1
2、
e 1
ln x
dx ；
e
37
3、J (m) x sinm xdx，（m 为自然数） 0
1
0 xf ( x)dx
11
2 0
f ( x)d( x2 )
1 2
x2
f
(
x)
1 0
1 2
1
0
x
2df
(
x
)
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
20
f
(
x)
x2
1
sin t
t
dt ,
f
(1)
1 sin
1 t
t
dt
0,
f
( x)
sin x2 x2
2x
2sin x
x2
,
1
0
xf
( x)dx
4
1 2 2
,
2
,
n为正偶数 n为大于1的正奇数
n n2 5 3
证 设 u sinn1 x, dv sin xdx,
du (n 1)sinn2 x cos xdx, v cos x,
22
In
sinn1 x cos x
2
0
(n
1)
2 sinn2 x cos2 xdx
0
0
1 sin2 x
ln 2 1 1 1 dx
3 0 2 x 1 x
11 1 x 2 x
ln 2 3
ln(1
x)
ln(2
x)10
5 ln 2 3
ln
3.
19
例11
x2 sin t
设 f (x)
dt, 求
1
xf ( x)dx.
1t
0
解 因为sin t 没有初等形式的原函数，
t
无法直接求出 f ( x)，所以采用分部积分法
则
有 b a
f
(
x)dx
f [ (t)] (t)dt .
2
证 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
b
a f ( x)dx F (b) F (a),
(t) F[(t)],
(t) dF dx f ( x) (t) f [(t )](t),
dx dt
(t)是 f [ (t )] (t )的一个原函数.
思考与练习
换元必换限 配元不换限 边积边代限
1. d x sin100( x t ) d t _s_i_n_10_0_x__ dx 0 提示: 令 u x t , 则
x
sin100( x t ) d t 0
sin100 u
25
2. 设 解法1
f (x3)
解法2 对已知等式两边求导, 得
① f ( x)为偶函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
a
20 f (t)dt;
② f ( x)为奇函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
0.
11
例6
计算
1
2x2 x cos x dx.
In
(n
1) 2 0
sin n 2
xdx
(n
1) 2 0
sin n
xdx
(n 1)In2 (n 1)In
In
n1 n In2
积分I n关于下标的递推公式
I n2
n n
3 2
In4
, 直到下标减到0或1为止
23
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 5 26
3 4
1 2
I0,
(m 1,2,)
1 1 1 x2
解
原式
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
1
40
x
2(1 1 (1
1
x x2)
2
)
dx
1
40
(1
4 .
1
x2
)dx
4
1
40
1 x2dx
单位圆的面积
12
例 7 若 f ( x)在[0,1] 上连续，证明
思考: 若改题为
提示: 两边求导, 得
26
3. 设 求
解:
(分部积分)
27
作业
P249 1 (4) , (10) , (16) ; 6 ; 11 (4), (9), (10)
28
备用题
1. 证明 证：
是以 为周期的函数. 令u t
是以 为周期的周期函数.
29
2. 设 f ( x)在 [a,b] 上有连续的二阶导数, 且 f (a) f (b) 0, 试证
3
3
e4
e
d(ln x)
e4
ln x (1 ln x) 2 e
3
2 arcsin(
ln x)
e4 e
. 6
d ln x 1 ( ln x)2
8
例4
a
计算
0 x
1
dx.
a2 x2
(a 0)
解 令 x a sin t, dx a cos tdt,
x a t , x 0 t 0,
f
[(t )](t )dt
()
(),
3
( ) a、( ) b,
( ) ( ) F[( )] F[( )]
F(b) F(a),
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
(
)
(
)
f [ (t)](t)dt.
4
(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ , ] 时， 定理 1 仍成立 .
34
2
2 x
dx x2 1
3 4
1
sec t tan tdt
2 3
sec t tan t
3
4 dt
.
2 3
12
35
思考题2解答
计算中第二步是错误的. x sect
t
2 3
,
34,
tant 0,
x2 1 tant tant.
正确解法是
2 dx
x sec t
3 4
1
sec t tan tdt
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
12
1Hale Waihona Puke 1 x220
3 1.
12 2
17
例9 计算 4
xdx .
0 1 cos 2x
解 1 cos 2x 2cos2 x,
4
xdx
0 1 cos 2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
0
xdtan x
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
1 2
1
0
2
x
sin
x 2dx
1 2
1
0
sin
x
2dx 2
1 2
cos x2
1 0
1 (cos1 1). 2
21
例12 证明定积分公式
In
2 sinn xdx
0
2 cosn xdx
0
n n
n
1 1
n n n
3 2 3
3 4
2
1 2
x
tan
x
4
0
1 2
4
0
tan xdx
8
1 2
ln
sec
x
4 0
ln 2 . 84
18
1 ln(1 x)
例10 计算 0 (2 x)2 dx.
解
1
0
ln(1 (2
x
x) )2
dx
1 0
ln(1
x)d
2
1
x
ln(1 x 2 x
)1 0
1
0
2
1
x
d
ln(1
x)
I2m1
2m 2m
1
2m 2m
2 1
6 7
4 5
2 3
I1 ,
I0
2
dx
,
0
2
I1
2 sin xdx 1,
0
于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 5 26
3 4
1 2
, 2
I2m1
2m 2m
1
2m 2m
2 1
6 7
4 5
2. 3
24
内容小结
换元积分法 基本积分法
分部积分法
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx ;
0
0
（2）
xf (sin x)dx
f (sin x)dx .
0
20
由此计算
x sin x 0 1 cos2 x
dx .
证 （1）设 x t dx dt, 2
x 0 t ,
2
x t 0, 2
13
2 f (sin x)dx
0
0
2
f
sin
2
t
dt
2 f (cos t)dt 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）设 x t dx dt,
x 0 t ,
x t 0,
0
0 xf (sin x)dx ( t) f [sin( t)]dt
0 ( t) f (sin t)dt,
f [ (t)](t)dt
几个特殊积分、定积分的几个等式
31
定积分的分部积分公式
b udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
（注意与不定积分分部积分法的区别）
32
思考题1
设 f ( x) 在 0,1 上 连 续 ， 且 f (0) 1 ，
f
(2)
3，
f
(2)
5
，求 1 0
xf
(2
x )dx
.
33
思考题1解答
2
原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
2 0
cos t dt sin t cos t
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin cos
t t
dt
1 2
2
1 2
ln
sin
t
cos
t
2 0
. 4
9
例 5 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
2 x x2 1