换元积分法和分部积分法
换元积分法与分部积分法
d
xn
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
2022年9月29日8时31分
21
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思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同?
(1)
dx 4 x
(2)
4
d
x x
2
(3)
x 4 x2
dx
1 2
d(4 x2 ) 4 x2
13
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例10 求
解法1
cos x cos2 x
dx
1
d
sin x sin2 x
1 2
1 1 sin
x
1 1 sin
x
d
sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2 1 ln 1 sin x C
2 1 sin x
2022年9月29日8时31分
ax t
a2 x2
26
例17 求
解
令
x
a
tan
t
,
t
(
2
,
2
)
,
则
x2 a2 a2 tan2 t a2 a sect
dx a sec2 t d t
∴ 原式
a sec2 a sec t
t
d
t
sec t
d
t
ln sect tan t C1
ln
x2 a2
x a
C1
x2 a2
不定积分是求导运算的逆运算, 相应 于复合函数求导数的链式法则和乘法 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 部积分法.
2换元积分法和分部积分法.pdf
a
a
意常数，因此
∫ dx = ln x + x2 − a 2 + C
x2 − a2
a
= ln| x + x2 − a 2 |− lna + C
= ln | x + x2 − a2 | + C 。
类似地可求得
∫
dx = ln | x +
x2 + a2
x2 + a2 | + C 。
若被积函数中含有诸如 a2 − x2 ， x2 − a2 ， x2 + a2 这样形式的 根式，可以分别考虑将变换取为 x = a sin t ，x = a sec t 和 x = a tant 以化去 根号。
⎟⎟⎠⎞
+
C
= (2x −1)101 ⎜⎛ 2x −1 + 1 ⎟⎞ + C 。
4 ⎝ 102 101⎠
有许多题目，既可以采用第一类换元积分法，也可以采用第二 类换元积分法，代换的函数形式也可以大不相同，要根据具体情况 灵活运用。
例 6.2.10
求∫ x2
dx 1+ x2
。
解法一 用第一类换元积分法。当 x > 0 时，原式可变形为
(cos x)′dx cos x
=
−∫
du u
=
−
ln
|u|+
C
= − ln | cos x | + C 。
（作变量代换 u = cos x ） （用 u = cos x 代回）
等熟练之后，只要将代换 u = g(x) 默记在心，就可以直接写出
∫
tan
xdx
=
∫
分部积分法与换元积分法
§2 分部积分法与换元积分法(一) 教学目的：掌握分部积分法与第一、二换元积分法． (二) 教学内容：分部积分法，第一、二换元积分法；．基本要求：熟练掌握分部积分法和换元积分法. (三) 教学建议：(1) 讲解足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题． (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．一、分部积分法我们讲导数时，知道)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='从而有⎰⎰'+'=dx x v x u dx x v x u x v x u )()()()()()(移项得⎰⎰'-='dx x v x u x v x u dx x v x u )()()()()()(或 ⎰⎰-=)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u 我们称这个公式为分部积分公式。
当 ⎰'dx x v x u )()( 不容易积分，但⎰'dx x v x u )()( 容易积分时，我们就可以用分部积分把不容易积分的 ⎰'dx x v x u )()( 计算出来。
例1 求⎰xdx x cos解：若令 x v x v x u sin cos ,=⇒='= ， 代入分部积分公式⎰⎰++=-=C x x x xdx x x xdx x cos sin sin sin cos但若令 2/,cos 2x v x v x u =⇒='= ， 代入分部积分公式dx x x x x xdx x ⎰⎰+=sin 21cos 2cos 22 比原积分还复杂由此可知，在用分部积分公式时，u, v 的选择不是随意的，那个作u , 那个作 v ，应适当选取，否则有可能计算很复杂甚至计算不出来。
分析分不积分公式，我们可总结出下面一个原则：一般应把（相比之下）容易积分，积分后比较简单的函数作为 v '，积分较难或积分后比较复杂的函数作为u例2 求⎰xdx ln⎰xdx ln ⎰⎰+-=⋅-=-=C x x x dx x x x x x xd x x ln 1ln ln ln或解：令t e x t x ==,ln原式C x x x C e te dt e te tde tt t t t +-=+-=-==⎰⎰ln例3 求 ⎰xdx x ln解：⎰⎰=2ln 21ln xdx xdx x [][]C x x x C x x x xdx x x x d x x x +-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=⎰⎰222222241ln 2121ln 21ln 21ln ln 21例4 求 ⎰xdx x arctan解：⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x[][]C x x x x dx x x x dx x x x x x d x x x ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=⎰⎰⎰arctan arctan 21)111(arctan 211arctan 21arctan arctan 2122222222分部积分公式也可以连续用多次例5 求 ⎰dx e x x 2解：xx de x dx e x ⎰⎰=22Ce xe e x dx e xe e x dx xe e x dx e e x x x x x x x x x x x ++-=--=-=-=⎰⎰⎰22)(2222222例6 求⎰bxdx e axcos解： dx bx e a b bx e abxdx e ax x ax ⎰⎰+=sin cos 1cos 再分部积分一次]cos sin 1[cos 1dx bx e a b bx e aa b bx e a ax ax x ⎰-+= 出现循环将上式最后一项移到左端合并整理，得C ba bx a bxb e bxdx e bx a b x a e dx bx e a b ax ax ax ax +++⋅=+=+⎰⎰22222cos sin cos )sin cos 1(cos )1(分部积分使用的类型：一般说下面类型的不定积分dx arctgbx xaxdx xbxdx xdx e xdx x xkkkax km k⎰⎰⎰⎰⎰,cos ,sin ,,log等常用分部积分来计算。
微积分中的积分法
微积分中的积分法在微积分学中，积分是一种非常重要的数学运算，它可以用来求某一曲线下的面积，同时也可以求出曲线的长度、体积等等。
而积分法是指一种方法，可以用来解决复杂的积分运算，包括定积分和不定积分。
定积分是指在一定范围内求函数值的平均值，而不定积分则是求导数的反向运算。
要想求解积分，就需要掌握积分法，其中最常用的积分法包括换元积分法、分部积分法和三角函数积分法。
一、换元积分法换元积分法是一种通过变量代换来简化积分的方法。
对于形如f(g(x))g'(x)的积分式，可以将g(x)看作一个新的变量u，从而将积分式变为f(u)du的形式，然后再求解该积分式。
例如，对于以下的积分式：∫(x^2 + 1)^(3/2)xdx我们通过令u = x^2 + 1来进行变量代换，那么导数du / dx = 2x，dx = (1 / 2x)du。
代入原式中，得到：∫(x^2 + 1)^(3/2)xdx = (1 / 2)∫u^(3/2)du = (1 / 2) * (2 / 5)u^(5/2) + C = (1 / 5)(x^2 + 1)^(5/2) + C通过变量代换，我们成功地将原式变成了一个更容易求解的积分式，同时也提高了计算的精度和效率。
二、分部积分法分部积分法是一种将积分式分解成多个子积分式的方法，通过对每个子积分式进行积分，最终得到整个积分式的解。
对于形如uv'的积分式，可以利用分部积分法，将其拆分为u∫v'dx和∫u'vdx两个积分式，然后再分别进行计算。
例如，对于以下的积分式：∫xe^xdx我们可以选择令u = x，v' = e^x，从而求解u∫v'dx和∫u'vdx，得到：∫xe^xdx = xe^x - ∫e^xdx= xe^x - e^x + C通过分部积分法，我们进一步简化了积分式，将其分解成了多个小的子式，从而更方便地进行求解。
三、三角函数积分法三角函数积分法是一种针对包含三角函数的积分式的特殊方法。
换元积分法和分部积分法
1 2 x 2 2 a arcsin x a x C . 2 a
例8 求
a2 x2 π 解 设 x a tan t , | t | . 2 dx a sec2 tdt a 2 x 2 a sec t
sec tdt ln | sec t tan t | C
(解法二) sec xdx
sec x(sec x tan x ) dx sec x tan x
d(sec x tan x ) ln | sec x tan x | C . sec x tan x
f (a 2 x 2 ), f (a 2 x 2 ), 第二类换元积分法常用在
例2 解
x d( ) x dx 1 a （令 u ） 2 2 x a a a x 1 ( )2 a 1 du 1 arctan u C 2 a a 1 u
dx a 2 x 2 (a 0).
对换元积分法较熟练后，可以不写出换元变量 ， 而直接使用公式（1） 例3 求
一、 换元积分法
由复合函数求导法，可以导出换元积分法。 设 g( u)在 [ , ] 上有定义， u ( x ) 在 [a , b]上可导，且 ( x ) , x [a, b] 并记 f ( x ) g( ( x )) ( x ), x [a, b]. (i) 若 g ( u) 在 [ , ] 上存在原函数 G( u) ,则 f ( x ) 在 [a , b] 上也存在原函数F ( x ), F ( x ) G( ( x )) C , 即
第一换元积分法亦称为凑微分法, 即
g( ( x )) ( x )dx g( ( x ))d ( x ) G( ( x )) C ,
8.2换元积分法与分部积分法
解
(解法一)
sec xdx
cos x
cos2 x dx
d(sin x)
1 sin2 x
1 ln 1 sin x C. 2 1 sin x
(解法二)
sec
xdx
sec x(sec x tan sec x tan x
x)
dx
d(sec x tan x sec x tan x
a2
1
x 2 dx .
解
a2
1
x 2 dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
想到公式
1
d
u u
2
arctan u C
1 a
1
1
x a
2
d
x a
1 arctan a
x a
C.
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例7 求 解:
dx
a
1
(
x a
)2
(5) sin sin 2sin cos
2
2
(6) sin sin 2cos sin
2
2
(7) cos cos 2cos cos
2
2
(8) cos cos 2sin sin
则得第二类换元积分法 .
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(4)
4
x
2
x
2
5.3 定积分的换元法和分部积分法
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
数学分析8.2换元积分法与分部积分法(讲义)
第八章 不定积分2 换元积分法与分部积分法(讲义)一、换元积分法定理8.4：(换元积分法)设g(u)在[α,β]上有定义，u=φ(x)在[a,b]上可导，且α≤φ(x)≤β，x ∈[a,b]，并记f(x)=g(φ(x))φ’(x), x ∈[a,b].1、(第一换元积分法)若g(u)在[α,β]上存在原函数G(u)，则f(x)在[a,b]上也存在原函数F(x)，且F(x)=G(φ(x))+C ,即 ∫f(x)dx=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(u )du=G(u)+C=G(φ(x))+C .2、(第二换元积分法)若φ’(x)≠0, x ∈[a,b]，则命题1可逆，即f(x)在[a,b]上存在原函数F(x)时，g(u)在[α,β]上也存在原函数G(u)，且G(u)=F(φ-1(u))+C, 即∫g(u )du=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C=F(φ-1(u))+C. 证：1、∵dxdG(φ(x))=G ’(φ(x))φ’(x)=g(φ(x))φ’(x)=f(x)， ∴∫f(x)dx=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(u )du=G(u)+C=G(φ(x))+C . (亦可简写为：∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(φ(x))d φ(x)=G(φ(x))+C .) 2、若φ’(x)≠0, x ∈[a,b]，则u=φ(x)有反函数x=φ-1(x)，且du dx =(x)φx 1-(x)φ1=',∴dx d F(φ-1(u))=F ’(x)·(x)φ1'=f(x)·(x)φ1'=g(φ(x))φ’(x)·(x)φ1'=g(φ(x))=g(u). ∴∫g(u )du=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C=F(φ-1(u))+C.例1：求∫tanxdx. 解：∫tanxdx=∫cosx sinx dx=-∫cosx1d(cosx). 令u=cosx ，则 ∫tanxdx=-∫u1du=-ln|u|+C=-ln|cosx|+C.例2：求∫22xa dx+(a>0). 解：∫22x a dx +=a 1∫2a x 1ax d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 1arctan a x +C.例3：求∫22x-a dx (a>0).解：∫22x -a dx =∫2a x -1a x d ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=arcsin ax +C.例4：求∫22a -x dx(a ≠0). 解：∫22a -x dx =2a 1∫⎪⎭⎫⎝⎛+--a x 1a x 1dx=2a 1[∫a x 1-d(x-a)-∫a x 1+d(x+a)] =2a 1[ln|x-a|-ln|x+a|]+C=2a 1ln ax a-x ++C.例5：求∫secxdx.解法1：∫secxdx=∫cosxdx =∫2x sin 2x cos dx 22-=21∫⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+2x sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x sin 2x cos dx =21(∫2x sin2x cos 2x sin 2x cos -+dx+∫2x sin 2x cos 2x sin 2x cos +-dx)= -∫2x sin 2x cos 2x sin 2x cos d -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∫2x sin 2x cos 2x sin 2x cos d +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-ln 2x sin 2x cos -+ln 2x sin 2x cos ++C=ln2x sin2x cos 2x sin2x cos -++C=ln cosx sinx 1++C. 解法2：∫secxdx=∫x cos cosx 2dx=∫xsin -112d(sinx)=21ln x sin 1sinx1-++C.解法3：∫secxdx=∫tanx secx tanx)secx(secx ++dx=∫tanxsecx tanx)d(secx ++=ln|secx+tanx|+C.例6：求∫3u-u du .解：令u=x 6，则x=6u ，原式=∫236x -x dx =6∫1-x x 3dx=6∫(1-x 1x 1-x 13-+)dx=6∫(1-x 1+x 2+x+1)dx=6[∫1-x 1d(x-1)+ ∫x 2dx+∫xdx+∫dx]=6(ln|x-1|+3x 3+2x 2+x)+C=6ln|x-1|+2x 3+3x 2+6x+C=6ln|6u -1|+2u +33u +66u +C.例7：求∫22x -a dx (a>0).解：令x=asint, |t|<2π，则t=arcsin ax ，原式=∫t sin a -a 222d(asint)=a 2∫cos 2tdt=4a 2∫(cos2t+1)d(2t)=4a 2[∫cos2td(2t)+∫d(2t)]=4a 2(sin2t+2t)+C =4a 2(2sinarcsin a x cosarcsin a x +2arcsin a x )+C=2a 2(ax2a x -1⎪⎭⎫⎝⎛+arcsin a x )+C.例8：求∫22a-x dx (a>0).解：令x=asect, 0<t<2π, 则t=arcsec ax ， 原式=∫22a -)asect (d(asect)=∫ttan tantdtsect ⋅=∫sectdt=ln|sect+tant|+C 1 =ln|secarcsec a x +tanarcsec a x |+C 1=ln|a x +ax22xa -1|+C 1 =ln|a x +aa -x 22|+C 1=ln|x+22a -x |-lna+C 1=ln|x+22a -x |+C.例9：求∫222)a (x dx+(a>0). 解：令x=atant, |t|<2π, 则t=arctan ax ，原式=∫222]a )atant ([d(atant)+=3a 1∫t sec t sec 42dt=3a 1∫cos 2tdt=3a 1∫21cos2t +dt =34a 1∫(cos2t+1)d(2t)=34a 1[∫cos2td(2t)+∫d(2t)]=34a 1(sin2t+2t)+C =32a 1sintcost+32a t +C=)t tan 1(2a tant23++32a t +C=)ax1(2a a x223++32a a x arctan +C=32a 1(22a x ax ++arctan a x )+C.例10：求∫1-x xdx 22.解法1：(运用第一换元积分法)原式=∫23x1-1x dx =-∫2x 1-1)x 1d(x 1=2x 1-1+C=1-x x 12+C .解法2：(运用第二换元积分法)令x=sect, 则t=arcsecx. 原式=∫1-t sec t sec d(sect)22=∫tant t sec tant sect 2⋅⋅dt=∫costdt=sint+C=tsec 1-12+C =2x1-1+C=1-x x 12+C .二、分部积分法：定理8.5：(分部积分法)若u(x)与v(x)可导，不定积分∫u ’(x)v(x)dx 存在，则∫u(x)v ’(x)dx 也存在，并有∫u(x)v ’(x)dx=u(x)v(x)-∫u ’(x)v(x)dx. 可简写为：∫udv=uv-∫vdu. (分部积分公式) 证：由(u(x)v(x))’=u ’(x)v(x)+u(x)v ’(x)，得∫(u(x)v(x))’dx=∫[u ’(x)v(x)+u(x)v ’(x)]dx=∫u ’(x)v(x)dx+∫u(x)v ’(x)dx ，即有 ∫u(x)v ’(x)dx=∫(u(x)v(x))’dx-∫u ’(x)v(x)dx=u(x)v(x)-∫u ’(x)v(x)dx.例11：求∫xcosxdx.解：∵∫sinxdx=-cosx+C ，∴∫xcosxdx=∫xdsinx=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C.例12：求∫arctanxdx.解：∵∫xd(arctanx)=∫1x x 2+dx=21∫1x 12+d(x 2+1)=21ln(x 2+1)+C ，∴∫arctanxdx=xarctanx-∫xd(arctanx)=xarctanx-21ln(x 2+1)+C.例13：求∫x 3lnxdx.解：令t=lnx ，则x=e t ，∫x 3lnxdx=∫e 3t tde t =∫e 4t tdt=41∫tde 4t .∵∫e 4t dt=41e 4t +C ，∴41∫tde 4t =41(te 4t -∫e 4t dt)=161e 4t(4t-1)+C. ∴原式=161x 4(4lnx-1)+C.例14：求∫x 2e -x dx.解：∫x 2e -x dx=-∫x 2de -x ，又∫e -x dx 2=2∫x e -x dx=-2∫x de -x .∵∫e -x dx=-e -x +C ，∴∫xde -x =xe -x -∫e -x dx=xe -x +e -x +C ，∴∫e -x dx 2=-2(xe -x +e -x )+C ， 原式=-(x 2e -x -∫e -x dx 2)=-x 2e -x -2(xe -x +e -x )+C=-x 2e -x -2xe -x -2e -x +C.例15：求I 1=∫e ax cosbxdx 和I 2=∫e ax sinbxdx.解：I 1=a1∫cosbxde ax =a1[e ax cosbx-∫e ax d(cosbx)]=a1(e ax cosbx+bI 2). I 2=a1∫sinbxde ax =a1[e ax sinbx-∫e ax d(sinbx)]=a1(e ax sinbx-bI 1).由此得方程组：⎩⎨⎧sinbx e =aI +bI coxbx e =bI -aI ax21ax 21. 解方程组得： I 1=22ax b a bsinbx)(acosbx e +++C ；I 2=22ax b a bcosbx)(asinbx e +-+C.。
定积分的换元积分法与分部积分法
解：对 p 1,
a
dx (a 0) p x
收敛或发散
b
1
1 1 1 p 1 p 1 ( b ) x dx x p 1 p 1 p 1
p
重要的问题是b的指数是正数还是负数. 假如是
负数, 则当b趋向无穷时, b–p+1趋向于0. 若指数为
正数,则b–p+1当b趋于无穷时无界增长. 因此, 若–
a
udv uv a vdu .
a
回忆：：
定积分的分部积分公式
不定积分的分部积分公 式为 :
udv uv vdu .
例1. 计算
解: 原式 =
x arctan x
1 2
1 0
1
0
1 1 2 d (1 x ) 2 4 2 0 1 x
1 2 ln( 1 x ) 2 4 0 1 ln 2 2 4
当p>1时积分有值
1
b 1 1 1 1 p 1 b ) dx lim p dx lim ( p b p 1 b 0 x p 1 x
1 1 ( ) p 1 p 1
定理1 (比较判别法) [a,), g ( x) f ( x) 0, 设 且f ( x)， ( x)于[a,)内有界, 则 g (1) 当 a g ( x)dx 收敛时，a f ( x)dx 也收敛 ； (2) 当
1
dx 增长且无界, x
y 1 x
dx 发散. y x
1
b
dx x
0
1
b
x
2. 其它情形意义
第4节 定积分的换元法与分部积分法
1 0
1 x
1 0
ax dx
a 4
4
即
a
1 0
f ( x )d x
3
7/9/2013 12:56 AM
第6章
函数的积分
7. 设
f (x)
F 是连续函数， ( x ) 是 f ( x ) 的原
函数，则（ A ）
(A) (B ) (C ) (D) F 当 f ( x ) 是奇函数时， ( x ) 必是偶函数 F 当 f ( x ) 是偶函数时， ( x ) 是奇函数
dx )
8(e 2e 2
7/9/2013 12:56 AM
x
) 8(e 2 )
第6章
函数的积分
例9 设
解
f (x)
x 1
2
sin t t
2 2
dt ,
2
求
2
1
x f ( x )d x
0
f ( x ) 2 x
x f ( x )d x
2 1 0
sin x x
，
x 1
3
f ( t ) d t ln x ,
求
x 1
3
f (e ) 。
3
解
ln x
3
1
3 ( t ) d t f ( x ) f (1 ) f ( x ) f
令
u x ,
得
f ( u ) ln
3
u
1 3
ln u
f (e )
3
思考 是否还有其它方法？
定积分拆分成两个积分的公式
定积分拆分成两个积分的公式定积分是计算函数在给定区间上的面积或曲线长度的数学工具。
有时我们需要将一个定积分拆分成两个积分进行计算，这种方法被称为积分拆分定理。
积分拆分定理是基于积分的线性性质。
根据积分的线性性质，我们可以在被积函数中引入一个新的函数，并将原来的积分拆分成两个部分，然后分别计算这两个部分的积分。
最后将这两个积分的结果相加，就得到了原始定积分的结果。
下面我们将介绍两种常见的积分拆分定理：换元积分法和分部积分法。
1.换元积分法换元积分法也被称为变量代换法。
它通过引入一个新的变量来将原来的积分转化为一个简单的积分。
具体步骤如下：步骤一：选择适当的变量代换。
我们需要选择一个适当的新变量来代替原来的变量，以使得被积函数在新变量下的形式更简单。
步骤二：计算变量代换后的导数。
将选定的新变量表示为原变量的函数，并计算其对原变量的微商。
步骤三：将原来的积分限和被积函数转化为新变量的积分限和被积函数。
通过将原来的变量用新变量表示，并利用变量代换的导数，将原来的积分限和被积函数用新变量表示出来。
步骤四：计算新变量下的积分。
计算新变量下的积分，并将结果转换回原变量的积分。
2.分部积分法分部积分法是将积分表达式中的被积函数拆分成两个因子的乘积，并选择其中一个因子进行微分，另一个因子进行积分。
具体步骤如下：步骤一：选择适当的因子。
我们需要选择一个适当的因子进行微分和积分，以使得新的积分形式更简单。
步骤二：计算微分和积分。
对选择的因子进行微分和积分，并将结果表示为新的积分形式。
步骤三：重复应用分部积分法。
如果新的积分形式仍然复杂，我们可以继续使用分部积分法，将新的积分进行再次拆分，并应用分部积分法。
步骤四：计算最终的积分。
重复应用分部积分法，直到积分不再复杂，可以直接计算出结果为止。
需要注意的是，选择合适的变量代换和因子是积分拆分定理的关键。
这需要对被积函数有一定的了解，并结合经验和技巧进行选择。
此外，积分拆分定理在应用过程中还需要注意积分限的变换和计算积分的技巧，以避免错误和混淆。
换元积分法与分部积分法
§2 换元积分法与分部积分法教学目的：掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．教学建议：(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题．(2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．教学程序：一. 第一类换元法 ——凑微法：有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分.例如，求不定积分cos 2xdx ⎰，如果凑上一个常数因子2，使成为()11cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x =∙=⎰⎰⎰令2x u =则上述右端积分()111cos 22cos sin 222xd x udu u C ==+⎰⎰ 然后再代回原来的积分变量x ，就求得原不定积分1cos 2sin 22xdx x C =+⎰ 更一般的，若函数()F x 是函数()f x 的一个原函数，()x μϕ=是可微函数， 并且复合运算()F x ϕ⎡⎤⎣⎦有意义，根据复合函数求导法则(){}()()()()F x F x x f x x ϕϕϕϕϕ''''==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 及不定积分的定义，有()()()f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ 由于()()f u du F u C =+⎰ 从而()()()()()u x f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ （1）综上所述，可得如下结论【定理8.4】 （第一换元积分法） 设()f u 是连续函数，()F u 是()f u 的一个原函数.又若()u x ϕ=连续可微，并且复合运算()f x ϕ⎡⎤⎣⎦有意义，则()()()()()()u x f x x dx f u du F x C ϕϕϕϕ='==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰ （2）第一换元积分公式（2）说明如果一个不定积分()g x dx ⎰的被积表达式()g x dx 能够写成()()f x x dx ϕϕ'⎡⎤⎣⎦的形式，可通过变量代换()u x ϕ=把被积表达式等同于()f u du ，若不定积分()()f ud uFu C=+⎰ 容易求得，那么再将()u x ϕ=代入()F u ，便求出原不定积分()()g x dx F x C ϕ=+⎡⎤⎣⎦⎰ 由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式()g x dx 变为()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的形式.也就是把被积函数()g x 分解成两个因子的乘积，其中一个因子与dx 凑成某一函数()x ϕ的微分，而另一因子是()x ϕ的函数()f x ϕ⎡⎤⎣⎦，且经过这样的微分变形后被积表达式()()f x d x ϕϕ⎡⎤⎣⎦变为容易积分的形式，所以人们也经常称第一换元积分法为“凑微分法”.凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练习，不断总结经验，才能运用自如. 凑法1.)(1)()(1)(du u f ab ax d b ax f a dx b ax f =++=+ 【例１】 利用()()1,,0dx d ax b a b R a a=+∈≠，求下列积分()()()131134343x d x =++⎰，令34u x =+有14433311313344u du u C u C==⋅+=+⎰再将34u x=+代入，有()431344d x x C=++()()2()0xaa==>令xua=，有arcsin u C==+再将xxa=代入，有arcsinxCa=+()22222()13[(1())]1()xddx dx ax xa x aaa a==+++⎰⎰⎰令xua=22211arctan1dx duu Ca x a u a==+++⎰⎰再将xua=代入，有221arctandxx Ca x a=++⎰如果运算比较熟练，为了简化解题步骤，变量代换()u xϕ=可以不写出来，只需默记在头脑中就可以了.凑法2 du u f kx d x f k dx x f x k k k k )(1)()(1)(1==- . 特别地, 有 . du u f x d x f xdx x f )(21)()(21)(222==和 ()x dx f dx xx f 2)(=.【例２】利用()()()11,,,0,11x dx d ax b a b R a a μμμμμ+=+∈≠≠-+，求下列积分()()()()2221157575752x xdx x d x +=++=⋅⎰⎰()()()222211157575710102x d x x C ++=⋅++⎰＝()2215720X C ++()()11121121()x x x e dx e d e C x x=-=-+⎰⎰()()232211C x ===++⎰⎰()()40x >【解】11x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭2112x ⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1222111112d x x -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰12211212C C x ⎡⎤⎛⎫=-⋅++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【例３】若被积函数()()(),x f x x ϕϕ'=±利用()()()()()x d x f x dx dx x x ϕϕϕϕ'=±=±，有如下公式()()()()()()ln x d x f x dx dx x C x x ϕϕϕϕϕ'=±=±=±+⎰⎰⎰求下列积分 ()ln 1ln ln ln ln dx d xx C x x x==+⎰⎰()sin cos 2tan ln cos cos cos x d xxdx dx x C x x ==-=-+⎰⎰⎰()cos sin 3cot ln sin sin sin x d xxdx dx x C x x===+⎰⎰⎰ 以上３例都是直接利用“凑微分法”求不定积分.如果进一步把“凑微分法”与不定积分的运算性质结合起来，就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分.【例４】 将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分()2211112dx dx a x a a x a x ⎛⎫=+= ⎪--+⎝⎭⎰⎰()()11ln 22d x a d x a x a C a x a x a a x a +-⎡⎤+-=+⎢⎥+--⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()()2221121111x x xx x x x d e dxe e dx dx e e e e ++-==-=++++⎰⎰⎰⎰()11111111xx x x x xxd e e e dx dx e e e e++-+=-+=++++⎰⎰⎰ ()21l n 11x x e C e-++++()22222sin 111311sin 1sin sin 1sin x dx dx dx dx x x x x⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭+⎰⎰⎰⎰＝2cot 2cot 1d x x x x +=+++⎰x C ++凑法3 ;)(sin )(sin cos )(sin du u f x d x f xdx x f == ;)(cos )(cos sin )(cos du u f x d x f xdx x f -=-= .)()(sec )(2du u f dtgx tgx f xdx tgx f ==【例５】对于sin n xdx ⎰与cos nxdx ⎰()n N ∈形式的积分，当n 是偶数时，可利用三角恒等式()()2211sin 1cos 2cos 1cos 222x x x x =-=+ 来降低三角函数的幂，当n 是奇数时，变正（余）弦函数的积分为余（正）弦函数的积分.()()()242111sin 1cos 212cos 2cos 224xdx x dx x x dx ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰＝ ()112cos 21cos 442dx xdx x dx ⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 11sin 2sin 4428x x x x C ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭＝131s i n 2s i n 4428x x x C ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭()()322cos 1sin cos xdx x xdx =-=⎰⎰231cos sin sin sin sin 3xdx xd x x x C -=-+⎰⎰ 【例６】 对于sin sin ,cos sin cos cos x xdx x xdxx xdx αβαβαβ⎰⎰⎰和形式的积分，可利用三角函数的积化和差公式 ()(()11cos cos 1cos 12x x dx ⎡⎤=++-⎣⎦⎰⎰s i n 21212x x C ⎡⎤+=+()()()12cos 2sin 3sin 23sin 322x xdx x x dx =+--⎡⎤⎣⎦⎰⎰＝ ()111sin 5sin cos cos5255xdx xdx x x C ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 【例７】 根据 2s i n 2s i n c o s 2t a n c o s2222x x xxx ==1c o s t a n c s c c o t2s i nx x x x x -==- ()2111csc tan 22tan cos tan 222x xdx dx d x x x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰⎰⎰ l n t a n l n c s c c o t2xC x x C +=-+ ()22sec ln csc cot 22sin 2d x xdx x x C x ππππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+-++ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭⎰⎰＝ln sec tan x x C ++ 【例８】22==＝(22C =+⎰凑法4 .)()()(du u f de e f dx e e f x x x x ==.【例9】 ⎰--.2tedt凑法5 .)(ln )(ln )(ln du u f x d x f xdxx f == 【例10】 ⎰+.)ln 21(x x dx凑法6 ;)(arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2du u f x d x f dx xx f ==-du u f darctgx arctgx f dx xarctgx f )()(1)(2==+. 【例11】 ⎰⎰⎰=++=+=dt t arctgtx d x x arctg dx x x xarctg x t 21212)1( ⎰+=+==c x arctg c arctgt tgt arctgtdarc 22)()(2. 其他凑法举例:【例12】 c e e ee e e d dx e e e e x x x x x x x xx x ++=++=+------⎰⎰)ln()(. 【例13】 ⎰⎰==+ 22)ln ()ln ()ln (1ln x x x x d dx x x x 【例14】 ⎰⎰⎰=++=++=dx tgx x xtgxx dx tgx x tgx x x xdx sec sec sec sec )(sec sec sec 2⎰++=++=c tgx x tgxx tgx x d |sec |ln sec )(sec .【例15】 ⎰-+dx xx x x 5cos sin sin cos .【例16】 ⎰++dx xx xx cos sin sin 5cos .【例17】 ⎰⎰⎰=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++ 21111111222242x x x x d dx x x x dx x x 【例18】 ⎰++-dx x x x 2252.Ex [1]P188—189 1⑴—(24)；以上例子大都采用了初等数学（代数或三角函数）中的运算技巧将被积函数进行适当的变形，然后再进行变量带换.因此在作积分运算时，应该重视有关初等数学知识的灵活运用.二. 第二类换元法 —— 拆微法：从积分⎰tdt 2cos 出发，从两个方向用凑微法计算，即 ⎰⎰-====-=t d t dx x tx sin sin 112sin 2= tdt ⎰2cos = =⎰++=+,2sin 4121)2cos 1(21c t t dt t 引出拆微原理.在式（１）中，如果()()()2.1x x ϕϕ'连续可微且定号，式中左端的不定积分()()()f x x dx F x C ϕϕ'=+⎡⎤⎣⎦⎰ 容易求得，并且()()1x u u x ϕϕ-==是的反函数，则式（2）右端的不定积分()()1f ud u F xC ϕ-⎡⎤=+⎣⎦⎰.利用这个过程求不定积分的方法，称为第二换元积分法.第二换元积分法可以确切的叙述如下.【定理8.5】 （第二换元积分法）设()f x 是连续函数，()x ϕ是连续可微函数，且()x ϕ'定号，复合运算()f t ϕ⎡⎤⎣⎦有意义.设()F t 是()()f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦的一个原函数，即 ()()()f t t dt F t C ϕϕ'=+⎡⎤⎣⎦⎰ 则 ()()()()()1t x f x dx f t t dt ϕϕϕ-='=⎡⎤⎣⎦⎰⎰=()1F x C ϕ-⎡⎤+⎣⎦（3）其中()()1x t ϕϕ-是的反函数.【证明】有定理假设()x ϕ'定号，，故函数()t ϕ存在反函数()1u ϕ-，又()()()dF t f t t dtϕϕ'=⎡⎤⎣⎦ 于是()()()()()()111t x dF t d dt F x f t t dx dt dx t ϕϕϕϕϕ--=⎛⎫⎛⎫'⎡⎤==⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦ ⎪'⎝⎭⎝⎭()1t x ϕ-==()()()()1t x f t f x ϕϕ-==⎡⎤⎣⎦可见()1F x ϕ-⎡⎤⎣⎦是式（3）左端不定积分的被积函数的一个原函数，所以式（3）成立.第二换元积分法指出，求式（3）左端不定积分，作变量代换()x t ϕ=，从而()()(),f x f t dx t dt ϕϕ==⎡⎤⎣⎦，于是()()()f x dx f t t dt ϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 若上式右端的不定积分()()()f t t dt F t C ϕϕ'=+⎡⎤⎣⎦⎰（4） 容易求出，那么再代回原来的变量()1t x ϕ-=，便求出原不定积分()()1f x dx F x C ϕ-⎡⎤=+⎣⎦⎰由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理8.5条件的变换()x t ϕ=，从而使式（4）的不定积分容易求出.那么如何选择变换()x t ϕ=呢？这往往与被积函数的形式有关.例如，若被积函数中有根式，一般选择适当的变换()x t ϕ=来去掉根式，从而使被积函数得到简化，不定积分容易求出.常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler 代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换. 1. 三角代换:⑴ 正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如22x a -)0(>a 的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令)0( ,sin >=a t a x , 则 ,cos 22t a x a =- ,cos tdt a dx = .arcsinax t =【例19】计算()0a >【解】令sin ,,arcsin ,22xx a t t t a x a aππ=-≤≤=-≤≤则，且cos cos ,cos ,a t a t dx a tdt ===从而=()222cos .cos cos 1cos 22a a t a tdt a tdt t dt ==+⎰⎰⎰=2221sin 2sin cos 2222a a a t t C t t t C ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭由图2.1知sin cos xt t a==所以=22arcsin 22a x a C a ++= 2arcsin 2a x C a （2）正割代换: 正割代换简称为“割换”. 是针对型如 22a x - )0(>a 的根式施 行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式,1sec 22t tg t =- 令,sec t a x = 有,22atgt a x =- .sec tgtdt t x dx ⋅= 变量还愿时, 常用辅助三角形法.【例20】计算()0a >【解】令s e c ,0s e c 22x a t t t x a t πππ=<<<<=当或时，存在反函数arcsinxt a=.这里仅讨论02t π<<的情况，同法可讨论2t ππ<<的情况.由于02t π<<0<t<2πtan tan ,tan sec a t a t dx a t tdt ===，从而1tan sec tan a t tdt a t=⋅=⎰sec ln sec tan tdt t t C =++⎰由图2.2知，sec tan x t t a==ln x C a '=+ln x C =这里ln C C a '=-（3）正切代换: 正切代换简称为“切换”. 是针对型如22x a +)0(>a 的根式施行 的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式,1sec 22=-t tg t 即,sec 122t t tg =+ 令 ,atgt x = tdt a dx 2sec =. 此时有 ,sec 22t a x a =+ .axarctg t = 变量还原时, 常用所谓辅助三角形法.【例21】计算（0a >sec sec ,a t a t ==【解】令tan ,,22x a t t ππ=-<<则tan x a t =存在反函数.且sec sec ,a t a t ==2sec dx a tdt =，从而=21sec sec ln sec tan sec a t dt tdt t t C a t'⋅==++⎰⎰ 由图2.3知tan xt a =所以=ln xC x C a'+=++ 这里ln C C a '=-.总结例2.19～2.21，有如下规律：（1sin x a t =或cos x a t =（2sec csc x a t x a t ==或（3tan cot x a t x a t ==或••2. 无理代换:若被积函数是k nn n x x x , , , 21 的有理式时, 设n 为)1(k i n i ≤≤的最小公倍数, 作代换n x t =, 有dt nt dx t x n n 1 ,-==. 可化被积函数为 t 的有理函数.【例22】计算⎰【解】为了去掉被积函数的根式，令t =()211,02x t t =-≥ 则dx tdt =，从而⎰=()()24211122t t tdt t dt t dt -⋅=-⎰⎰⎰=531253t t C ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ =()()5322111212106x x C +-++ 【例23】 ⎰⎰⎰⎰==-++-=-=====-= t dtdt t t dt t x x dxxt 16)1(6162326 c x x x +⎪⎭⎫⎝⎛-++-=6361ln 216.若被积函数中只有一种根式n b ax +或,necx bax ++可试作代换n b ax t +=或 .n ecx bax t ++=. 从中解出x 来. 【例24】 ⎰⎰⎰=⋅+======-=--=tdt t t x d x x dx x xx t 2)1(21)( 121121222232⎰+-+-=++=+=c x x c t t dt t t 2322523524)1(31)1(5135)(.本题还可用割换计算, 但较繁.3. 双曲代换: 利用双曲函数恒等式 122=-x sh x ch , 令 asht x =, 可去掉 型如 22x a +的根式. achtdt dx =. 化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 如:.22 ),12(21),12(2122shtcht t sh t ch t sh t ch t ch =-=+=).1ln(21++=-x x x sh :参阅复旦大学 (陈传璋等)编, 数学分析, 上册P24.【例25】 ⎰⎰⎰==⋅=====+=tdt ch a achtdt acht dx x a ashtx 2222='++=-=⎰c t a t sh a dt t ch a 224)12(2222 c x a x a x a x +++++=)ln(2222222. 本题可用切换计算,但归结为积分⎰tdt 3sec , 该积分计算较繁. 参阅后面习题课例3. 【例26】 ⎰+.22xdx (可用切换计算过该题. 现用曲换计算 ).解 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++='+===122ln 2222x xc t dt dt cht chtI shtx c '+ 2ln .)2ln( 2-'=+++=c c c x x . 【例27】 ⎰-22ax dx . (曾用割换计算过该题. 现用曲换计算 ).解 ='+-+='+======⎰⎰=c ax a x c t dt dt asht asht I achtx 1 ln 22.||ln .|| ln 22a c c c a x x -'=+-+=4. 倒代换: 当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可试用 倒代换.1,12dt tdx t x -==【例28】 ⎰⎰⎰>=======+====+=+01224222421)(212tu x u uu u du x x x x d x x x dx⎰⎰++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=+-=+-c x x c x c t t dt tt t dt t ||111)1(12111112122122122. 5. 万能代换: 万能代换常用于三角函数有理式的积分(参[1]P261). 令2x tgt =， 就有 22122sec222cos 2sin 2sin t t x xtgx x x +===，,11cos 22tt x +-= 212t t tgx -= ， ,122t dtdx +=.2arctgt x = 【例29】 ⎰+xdxcos 1.解法一 ( 用万能代换 ) ⎰⎰+=+==+-++======c x tg c t dt dt t t t I x tgt 2111122222. 解法二 ( 用初等化简 ) c xtg x d x x dx I +===⎰⎰2)2(2sec 2cos 2122. 解法三 ( 用初等化简, 并凑微 )⎰⎰⎰=-=--=x x d xdx dx x x I 222sin sin csc cos 1cos 1 .2csc sin 1c xtg c ctgx x c x ctgx +=+-=++-= 【例30】 .cos sin 1⎰++θθθd 解 ⎰⎰++=+=+⋅+-+++======c t t dtdt t t t t t I x tgt |1|ln 11211121122222= c xtg ++=|12|ln .代换法是一种很灵活的方法.Ex [1]P189 1(25)(27)(28)—(30);三.分部积分法设()u x 与()v x 均为x 的连续可微函数.于是，由函数乘积的求导公式，有[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+或 ()()[()()]()()u x v x u x v x u x v x '''=-再由不定积分的定义及线性性质，有()(){[()()]()()}u x v x dx u x v x u x v x dx '''=-=⎰⎰[()()]()()u x v x dx u x v x dx ''-=⎰⎰()()()()u x v x u x v x dx '-⎰即()()()()()()u x v x dx u x v x u x v x dx ''=-⎰⎰ （5） 或()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰ （6）公式（5）或公式（6）称为不定积分的分部积分公式.一般地说，利用分部积分公式求不定积分就是追求被积函数形式的转变，把比较难求甚至无法求出的不定积分()()u x v x dx '⎰转变成容易求的不定积分()()u x v x dx '⎰，起到化繁为简的作用.对于给定的不定积分()f x dx ⎰作分部积分运算，通常要把被积函数()f x 分解为两个因子的乘积，这会有多种选择，对两个因子中哪一个选作()u x 也会有多种选择.选择不同，效果不一样的.例如，在积分sin x xdx ⎰中，若选择()sin u x x =，()v x x '=，则222sin sin sin cos 222x x x x xdx xd x xdx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 并没有达到简化积分计算的目的.若选择()u x x =，()sin v x x '=，则()()()sin cos cos cos x xdx xd x x x x dx =-=---=⎰⎰⎰cos cos cos sin x x xdx x x x C -+=-++⎰由此可见，()u x 与()v x 的选择对于初学者来讲，只有认真总结规律，才能熟练地运用分部积分技巧.一般来说，在使用分部积分法求不定积分时，若被积函数是幂函数n x 与指数函数或三角函数的乘积时，应选择()n u x x =；若被积函数是幂函数n x 与对数函数或反三角函数的乘积时，应选择()n v x x '=.1. 幂 ⨯ X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂X ⋅”型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“X ”求导以使其成为代数函数.【例31】 计算下列不定积分⑴ 2222x x x x x e dx x de x e e xdx ==-⋅=⎰⎰⎰ 2222()x x x xx e xdx x e xe e dx -=--=⎰⎰2(22)x e x x C -++⑵ ()2111sin 1cos 2cos 2222x xdx xx dx xdx x xdx =-=-=⎰⎰⎰⎰ 221111111sin 2sin 2sin 24224422x xd x x x x xdx ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰ 211sin 2cos 2448x x x x C --+ ⑶ 2ln 111ln ln ln x dx xd x d x x x x x ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 211ln (ln 1)dx x x C x x x-+=-++⎰ ⑷ arcsin arcsin arcsin xdx x x xd x =-=⎰⎰211arcsin arcsin 2d x x x x x --=+=⎰1221arcsin 2(1)arcsin 2x x x C x x C +⋅-+=+⑸ 23(16)arctan arctan (2)x xdx xd x x +=+=⎰⎰()33222arctan 1x x x x x dx x ++-=+⎰()322arctan 21x x x x x dx x ⎛⎫+--=⎪+⎝⎭⎰ ()()32212arctan ln 12x x x xx C +-+++ 2 建立所求积分的方程求积分: 分部积分追求的另一个目标是: 对被积函数两 因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于 是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来.【例32】 ⎰.sin xdx e x【例33】 求⎰=bxdx e I ax cos 1 和). 0 (,sin 2≠=⎰a bxdx e I ax 解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.sin 1,cos 11221I a b bx e a I I ab bx e a I ax ax 解得 .cos sin ,cos sin 222221c e b a bx b bx a I c e b a bx a bx b I ax ax ++-=+++=【例34】 ⎰>+). 0 ( ,22a dx x a 解 ⎰+⋅-+=dx xa x x x a x I 2222==⎰⎰++++-+dx xa a dx xa x a x a x 222222222=,)ln(122222c x a x a I x a x ++++-+= （参阅例41）解得 .)ln(2222222c x a x a x a x I +++++= 【例35】 ⎰⎰⎰+==xdx x x x xd xdx 22sin sin cos sin cos cos = ⎰-+=xdx x x x 2cos sin cos ，解得 ⎰++=c x x xdx 2sin 412cos 2. 【例36】⎰⎰⎰⎰-==⋅=xtgxdx tgx xtgx xdtgx xdx x xdx sec sec sec sec sec sec 23=⎰⎰⎰=+-=--xdx xdx xtgx xdx x xtgx sec sec sec sec )1(sec sec 32 =⎰-++xdx tgx x xtgx 3sec |sec |ln sec , 解得 ⎰=xdx 3sec c tgx x xtgx +++|sec |ln 21sec 21.分部积分法也常用来产生循环现象，然后经过代数运算求出不定积分. 【例37】计算下列不定积分⑴.设I=，则I===⎰=⎰2dx⎫⎰2I a=+再由例21，有=ln x C'+故原积分2ln2aI x C=+这里2CC'=()2计算sinxe xdxαβ⎰和cosxe xdxαβ⎰【解】sinxe xdxαβ⎰=1sin xxd eαβα⎛⎫⎪⎝⎭⎰=()1sin cosx xe x e xdxααβββα-⋅⎰11sin cosx xe x xd eααβββααα⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰()21sin cos sinx x xe x e x e x dxαααβββββαα⎡⎤=--⋅-⎣⎦⎰=1sinxe xαβα-222cos sinx xe x e xdxααββββαα-⎰移项，整理，有sin xe xdx αβ⎰=()22sin cos xe x x C ααβββαβ-++同理可得cos xe xdx αβ⎰=()22sin cos xe x x C αββαβαβ-++ 在含有自然数n 的不定积分中，常用分部积分法来建立求不定积分的递推公式. 【例38】()()1ln (nn I x dxn =∈⎰N ）【解】()()()ln ln ln nnnn I x dx x x xd x ==-=⎰⎰()()()()111ln ln ln ln n n nnx x x n x dx x x n x dx x---⋅=-⎰⎰ =()1ln nn x x nI -- 即()1ln nn n I x x nI -=-这就是递推公式.例如3n =时有()()()()333221ln ln 3ln 3ln 2x dx x x I x x x x I ⎡⎤=-=--⎣⎦⎰=()()321ln 3ln 6ln x x x x x x x dx x ⎛⎫-+-⋅= ⎪⎝⎭⎰()()32ln 3ln 6ln 6x x x x x x x C -+-+()2()22ndxx a +⎰（n ∈N ，0a >)【解】设 n I =()22ndxx a +⎰，则()()22221n n n xI xd x a x a ⎛⎫⎪=- ⎪++⎝⎭⎰=()()122222n n x xx n dxx a x a +⎡⎤⎢⎥--⎢⎥++⎣⎦⎰ =()()()2122222212n n n x a n dx x a x a x a +⎡⎤⎢⎥+-=⎢⎥+++⎣⎦⎰()212222n n n xnI na I x a ++-+ 从而()()12221212n n n x I n I na x a +⎡⎤⎢⎥=+-⎢⎥+⎣⎦（7）特别当1n =时，有1221arctan dxxI C x a a a ==++⎰于是利用递推公式（2.7），有21222222111arctan 22x xxI I C a x a a x a a a ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=212a 22x x a ++312a arctan x a +C '这里C '=32Ca分部积分法与换元积分法有时在同一题中配合使用效果更佳.【例39】计算2⎰【解】2⎰=2arcsin x dx x +⎰=()()2arcsin arcsin cos sin sin cos uxd x udu x u u u +=⎰⎰作变量代换=()()2211arcsin cot arcsin cot cot 22x ud u x u u udu -=-+⎰⎰= ()21arcsin 2x -cot ln sin u u u C ++ 由图8.2.4知cot u x=所以2⎰()21arcsin 2x =ln x x C ++ 通过本节的讨论，我们还应在基本积分表中再补充如下公式：基本积分表（补充）()()()()()2215sec ln sec tan 16csc ln csc cot 17tan ln cos 18cot ln sin 1119arctan xdx x x Cxdx x x Cxdx x Cxdx x Cx dx C a x a a =++=-+=-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰()()()()2220arcsin 21arcsin 22223ln 2x C a a x C a x C a x C =+=+++++ 综上所述，我们已经对求不定积分的基本方法进行了全面的讨论.由不定积分的定义知，求不定积分的运算是微分法的逆运算.而第一、第二换元积分法对应与复合函数求导的链式法则，分部积分法则是基于乘积函数的求导法则推导出来的.求不定积分的基本思想是：采用各种方法将被积函数化为基本积分表中的被积函数的形式或它们的线性组合.然后利用基本积分表和线性性质求出不定积分.显然，掌握较多的不定积分公式会给求不定积分带来方便，为此人们把一些常用的不定积分公式汇集起来，做成基本积分表.同学们可以利用这个表进行运算.但是无论容量多么大的积分表也不能把所有的不定积分都罗列出来.所以，上面介绍的求不定积分的各种方法都是最基本的，作为初学者必须掌握.另外，把不定积分法与微分法相比较，求积分要比求微分困难的多，复杂的多，甚至于有些被积函数很简单，但他们的不定积分却无法积出.例如：2x e dx -⎰ ()2sin sin ln x dx dx x dx x x ⎰⎰⎰，等等 这说明在初等函数类中，不定积分的运算是不封闭的，即初等函数的原函数不一定是初等函数.今后把被积函数的原函数能用初等函数表示的积分称为积得出的，否则，称为积不出的.结论：当n 是正整数时，如⎰dx e x x n ，⎰xdx x n sin ，⎰xdxx n cos ，这种类型的积分，都可用分部积法解决，这时，设n x u =，dv 分别为dx e x ，xdx sin ，xdx cos ；同样⎰xdx x n ln ，⎰xdx x n arctan ，⎰xdx x n arcsin ，这种类型的积分，也可用分部积分法解决，这时，设dx x dv n =，u 分别为x ln ，x arctan ，x arcsin . ⎰+dx b ax e kx )sin(，dx b ax e kx )cos(+⎰（a ，b ，k 为常数）这种类型的积分如例15那样，也可以用分部积分法来解决.Ex [1]P189 2⑴―⑼;。
5.3 定积分的换元法和分部积分法
例12 解
求
2
0
e cos xdx.
2
2x
[e sin x ] 0 sinxde
2x
2
2
2
0
e cos xdx e d sinx
2x 2x
0
2x
2
e 2 e sinxdx e 2 e 2 x d cos x
2
0
2x
0
e 2 4 e cos xdx 0 1 2 2x e cos xdx (e 2). 0 5
例5 解
计算
0
2
cos x sin xdx.
5
令 t cos x ,
x t 0, 2
dt sin xdx ,
x 0 t 1,
0
2
cos 5 x sin xdx
0 5
6 1
t 1 1 t dt . 60 6
5.3定积分换元法和分部积分法
5.3定积分换元法和分部积分法
I n sin n1 x cos x 0 ( n 1)0 sin n 2 x cos 2 xdx
2 2
0
I n ( n 1)0 sin
2
1 sin 2 x
n 2
xdx ( n 1)0 sinn xdx
2
(n 1) I n2 (n 1) I n
例2
计算
解 令 x a sin t , 则 dx a cos t d t , 且
. 当 x 0 时, t 0 ; x a 时, t 2
定积分的换元法与分部法
由此公得式:
In
n 1 n
In2
注意:
I0
2 dx
,
0
2
I1
2 sin xdx 1,
0
In
2 sin n xdx
0
2 cosn xdx
0
n n
1 n 1 n
n n n n
3 2 3 2
a
0
注: (1) 当f(x)为奇函数时,
a
f (x)dx 0.
a
(2) 当f(x)为偶函数时,
a
a
f (x)dx 2 f (x)dx.
a
0
练习
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例5 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明
(1) 02 f (sin x)dx02 f (cosx)dx ;
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例8
计算
1 0
ln(1 x) (2 x)2
dx
解
原式=
1
0
ln(1
x)
d
2
1
x
ln(1 x) 1 1
1
1 dx
2 x 0 0 2 x 1 x
ln
2
1 3
1 1 01 x
2
1
x
dx
ln
2
1 3
ln(1
换元积分法与分部积分法
§2 换元积分法与分部积分法教学目的与要求：熟练掌握换元积分法和分部积分法并能解决求积问题; 教学重点，难点：利用换元积分法和分部积分法计算不定积分一 换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法。
定理8.4 (换元积分法) 设)(u g 在],[βα上有定义，)(x u ϕ=在],[b a 上可导，且],[,)(b a x x ∈≤≤βϕα，并记].,[),())(()(b a x x x g x f ∈'=ϕϕ(i) 若)(u g 在],[βα上存在原函数)(u G ,则)(x f 在],[b a 上也存在原函数,))(()(),(C x G x F x F +=ϕ即⎰⎰⎰='=du u g dx x x g dx x f )()())(()(ϕϕC x G C u G +=+=))(()(ϕ （1）( ii )又若],[,0)(b a x x ∈≠'ϕ，则上述命题( i )可逆，即当)(x f 在[a,b]上存在原函数)(x F 时，)(u g 在],[βα上也存在原函数)(u G ，且)(u G =,))((1C u F +-ϕ即.))(()()()())(()(1C u F C x F dx x f dx x x g du u g +=+=='=-⎰⎰⎰ϕϕϕ （2）证 ( i )用复合函数求导法进行验证：)())(())((x x G x G dxdϕϕϕ''= )()())((x f x x g ='=ϕϕ 所以)(x f 以))((x G ϕ为其原函数，（1）式成立。
( ii )在0)(≠'x ϕ的条件下，)(x u ϕ=存在反函数),(1u x -=ϕ且)(1|)(1u x x du dx -='=ϕϕ 于是又能验证（2）式成立：)(1)())(()(1)()(1)())((1x x x g x x f x x F u F du d ϕϕϕϕϕϕ'⋅'='⋅='⋅'=-)())((u g x g ==ϕ □ 上述换元积分法中的公式（1）与（2）反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法（公式（1）与（2）分别称为第一换元公式与第二换元公式）。
定积分的换元积分法与分部积分法
2. 选择适当的原函数：根据被积函数的形式，选择 一个易于计算的原函数。
分部积分法的步骤与注意事项
3. 应用分部积分公式
将被积函数和选择的原函数代入分部积分公式，进行计算。
化简结果
对计算结果进行化简，得到最终答案。
分部积分法的步骤与注意事项
01
注意事项
02
1. 正确选择原函数：选择合适的原函数是分部积分法的关键，通常需 要根据被积函数的形式和特点进行判断。
详细描述
设$u=x^n$，$v=e^x$，则 $frac{du}{dx}=nu^{n-1}$， $frac{dv}{dx}=e^x$。根据分部积分公式 ，$int x^ne^xdx=[x^ne^x-nint x^{n1}e^xdx]$。通过递推关系，可以逐步求得 定积分的值。
幂函数与三角函数之间的分部积分
指数函数换元法
要点一
总结词
通过指数函数进行换元，将复杂的定积分转化为简单的定 积分。
要点二
详细描述
对于一些包含指数函数的定积分，我们可以利用指数函数 的性质进行换元，将原定积分转化为更容易计算的形式。 例如，对于 $int e^x dx$，我们可以令 $u = e^x$，则 $du = e^x dx$，从而将原定积分转化为 $int u du$。
倒代换法
总结词
通过倒数关系进行换元，将复杂的定积 分转化为简单的定积分。
VS
详细描述
对于一些包含复杂函数的定积分，我们可 以利用倒数关系进行换元，将原定积分转 化为更容易计算的形式。例如，对于 $int frac{1}{x} dx$，我们可以令 $u = x^{-1}$，则 $du = -x^{-2} dx$，从而 将原定积分转化为 $int u du$。
定积分的换元法和分部积分法
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分 公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17
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对于含有根式的函数的 积分，原则上是设法去 掉根式。
有些含有根式的函数的 积分，直接令根式为新 变量 即可将问题转化为一般 的不含根式的函数的积 分。
补充例题11 计算
解:
1 6
dx . 3 x x
xx ,
1 2
3
xx ,
1 3
它们的指数部分的 分母的最小公倍数 为6 .
令 t x , t 0,
则 x t , d x 6 t d t, 故
6 5
t 3 1 1 dx 6 t3 dt d t 6 3 t 1 x x t 1
1 6 ( t t 1 )dt t 1
2
2 t 3 3 t 2 6 t 6 ln | t 1 | C 2 x 33 x 66 x 6 ln( 6 x 1) C .
第二类换元法常见类型:
(1)
(2)
f ( x , n ax b ) dx , 令
a x b n ( x , c x d ) dx ,
f
令 或
第 三 节 讲
(3) (4) (5)
f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , x 2 a 2 ) dx , 令
求
f (tan x)sec 2 xdx
补充例题4
1 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
自主学习课本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.8
例4.2.9 求
tan xdx 和 cot xdx
．
解: cot xdx cos x dx 1 d sin x = ln sinx + C sin x sin x
第四章
4.2 换元积分法和分部积分法
（Integration by Substitution and Integration by Parts ）
一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法
三、分部积分法
基本思路 设 F (u ) f (u ) ,
可导, 则有
dF [ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx F [ ( x)] C F (u ) C
arctan x 2 arctan u dx du 2 x (1 x) 1 u
du 令 v arctan u，则 d v ，从而 2 1 u
arctan x d x 2v d v x (1 x)
换元法可以连续使用
v2 C
(arctan u ) 2 C (arctan x ) 2 C .
令 u 1
1 ln x du 2 2 ( x ln x) d x u
1 C u x C. x ln x
补充例题8 计算
解:
ax dx ax
(a 0) .
ax dx ax
ax dx 2 2 a x
ad x 2 2 a x xd x a2 x2
(C C1 2 ln a)
自主学习课本P143例4.2.16
从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有：
(1) a x
2
2
可作代换 可作代换
或
(2) a x
2
2
(3)
x2 a2
可作代换
补充例题 15
dx 求 2 , (a 0) . 2 2 (x a )
2 解 设 x a tan t ，则 d x a sec t d t ， 于是
或
或
(6)
f ( a x ) dx , 令
(7) 分母中因Байду номын сангаас次数较高时, 可试用倒代换
2. 常用基本积分公式的补充
前面，我们利用复合函数的求到法则得到了 “换元积分法” 。 但是，对于形如 xe x dx;
x ln xdx; x sin xdx;
的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算. 注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点——
2 2 a cos a cos t a cos t d t ∴ 原式 tdt
2
2
2
a t
x
a2
C
x a2 x2 sin 2t 2 sin t cos t 2 a a x 1 a2 arcsin x a 2 x 2 C 2 a 2 自主学习课本P142例4.2.14 2）
ln | tan x sec x | C .
解法2 （与课本解法不一样） cos x dx 2 cos x
1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2
a d( x / a) 1 d( a 2 x 2 ) 2 1 ( x / a) 2 a2 x2
x a arcsin a 2 x 2 C . a
补充例题9 计算
解:
arctan x d x. x (1 x)
令 u x ，则 d u
dx ，故 2 x
补充例题5 求 sec 6 xdx . 解: 原式 = (tan x 1) sec xd x
2 2 2
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
补充例题6求 cos3 x sin 5 x d x
1 1 6 1 8 4 cos x cos x cos x C1 或 4 3 8
易求
若所求积分
f (u )d u 难求，
易求,
则用第二类换元积分法 .
定理4.2.2 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1 ( x) 是 x (t ) 的反函数 (t ) f [ (t )] (t )
证明略, 详细过程可参见课本P142
a
dx
x)2 1 (a
x) d (a x )2 1 (a
dx . 例4.2.5 求 2 2 x a
1 xa 答案： ln C 2a x a
dx 1 x . 答案： arctan C 补充例题3 求 2 2 a x a a
常用的几种配元形式:
(1) (2)
(3)
dx 例4.2.14 计算1） 1 1 +x .
解:
令 t 1+x ， d x 2 t d t，故
dx 2 1 1 +x
t dt 1 t
2 2
t 11 dt t 1 1 (1 )dt t 1
2 ( t ln | t 1 | ) C
2 1 +x 2ln( 1 +x 1) C.
都是两种不同类型函数的乘积。 这就启发我们把两个 函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，
1 x
1 x
(ax b)
m
dx (m 1).
解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 1 1 m 1 m 1 du u C 原式 = u a a m 1
补充例题2求 例4.2.4 求 解:
答案：e
x2
C
dx a2 x2
(a 0).
x ln a
t
x2 a2
x2 a2 C 1 a
(C C1 ln a)
当x a 时, 令
du
则 u a , 于是
u2 a2
ln u u 2 a 2 C1
ln x x 2 a 2 C1
ln a2 x x2 a2 C1
1 6 1 8 sin x sin x C2 . 6 8
补充例题7 计算
解
1 ln x d x. 2 ( x ln x)
1 ln x 1 ln x dx 2 ln x 2 ( x ln x) d x x 2 (1 ) x
ln x 1 ln x ，则 d u d x，故 2 x x
dx ( x 2 a 2 )2
a sec2 t a4 (tan 2 t 1)2 d t
1 t 1 1 2 3 cos t d t 3 ( sin 2t ) C a 2 4 a
1 t 1 3 ( sin t cos t ) C a 2 2
1 x x 3 arctan 2 2 C 2 2a a 2a ( x a )
t a
(C C1 ln a)
x
自主学习课本P142例4.2.15
补充例题14 求
解: 当x a 时, 令 则
x 2 a 2 a 2 sec 2 t a 2 a tan t dx a sec t tan t d t
a sec t tan t d t sec t d t ∴ 原式 a tan t ln sec t tan t C1
1 4 3 2 3 2 cos 2 x 1 cos 4 x ) dx ( 2 2
1 cos 4 x d ( 4 x) cos 2 x d( 2 x ) d x 8
自主学习课本P141例4.2.11—例4.2.13
二、第二类换元法 第一类换元法解决的问题
难求
f (u )d u
补充例题13 求
解: 令
2
则
x 2 a 2 a 2 tan 2 t a 2 a sec t