二次函数与面积问题

二次函数与面积问题

一、 S

△

=×水平宽×铅锤高

如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高h ”。三角形面积的新方法:， 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

注意事项：1.找出B 、C 的坐标，横坐标大减小，即可求出水平宽;

2.求出直线BC 的解析式，A 与D 的横坐标相同，A 与D 的纵坐标大减小，即可求出铅垂高;

3.根据公式: S △=×水平宽×铅锤高，可求出面积。

真题分析：

如图，抛物线顶点坐标为点C(1，4),交x 轴于点A(3,0)，交y 轴于点B

(1)求抛物线和直线AB 的解析式;(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及;(3)在(2)中是否存在一点P ，使

，若存在，求出P 点的坐标;若不存在，

请说明理由.

二次函数中常见图形的的面积问题

1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？

图

图四

图六

图二

图一 图三

2、抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ，（1）求四边形BOCD 的面积.

（2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）

3、已知抛物线42

12

--=

x x y 与x 轴交与A 、C 两点，与y 轴交与点B ， （1）求抛物线的顶点M 的坐标和对称轴； （2）求四边形ABMC 的面积.

4、已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）． （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点D 的坐标；（3）求四边形ADBC 的面积.

5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x 轴的另一个交点为E 。 （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点D 的坐标和对称轴；（3）求四边形ABDE 的面积.

6、已知二次函数322

--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P. （1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；

（2）求A 、B 、C 、

P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （3

）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=,

若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。

备用图

变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.

变式二：在双曲线3

y x

=上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.

7、抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ，若点E 为第二象限抛物线上一动点， 点E 运动到什么位置时，△EBC 的面积最大,并求出此时点E 的坐标和△EBC 的最大面积．

提示：点E 的坐标可以设为（32,2+--x x x ），x 的取值范围是-3＜x ＜0,根据题2求三角形面积的思路建立△EBC 的面积EBC S ∆关于x 的函数关系式，体会点E 位置的不确定性对方法的选择是否有影响．