《离散数学》(左孝凌 李为鉴 刘永才编著)课后习题答案 上海科学技术文献出版社
离散数学左孝陵版第一章答案
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.14 ：太阳从东边升起。 P→Q和P→R所表示的命题都是真的. 所表示的命题都是真的
5．等值“↔” ．等值“ ”
定义7-5 由命题P和 ，利用“ ” 定义 由命题 和Q，利用“↔”组成的复合 命题，称为等值式复合命题，记作“ 读作“ 命题，称为等值式复合命题，记作“P↔Q” （读作“P 当且仅当Q”）。 当且仅当 ）。 当P和Q的真值相同时,P Q取真,否则取假。 的真值相同时,P↔Q取真,否则取假。 ,P
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课 程 说 明
一、离散数学课程的地位和作用
离散数学是计算机专业的一门核心基础课程。 离散数学是计算机专业的一门核心基础课程。 1 离散数学为计算机专业的后继课程如数据结构、操作系统、数 离散数学为计算机专业的后继课程如数据结构、操作系统、 据库、编译原理、网络和算法设计等课程提供必要的数学基础。 据库、编译原理、网络和算法设计等课程提供必要的数学基础。 2 为学生今后从事计算机科学和技术各方面的工作提供有力的 工具。 工具。 离散数学是现代数学的一个重要分支， 3 离散数学是现代数学的一个重要分支，通过该课程的学习可 以提高学生的抽象思维、严格推理以及综合归纳分析能力， 以提高学生的抽象思维、严格推理以及综合归纳分析能力，培养 出高素质的人才。 出高素质的人才。
例1
命题的概念 是能分辨真假的陈述句。 命题：是能分辨真假的陈述句。
二、命题联结词
由简单句形成的命题。 原子命题 ：由简单句形成的命题。 复合命题： 复合命题：由一个或几个原子命题通过联结词 的联接而构成的命题。 的联接而构成的命题。
例3 A：李明既是三好学生又是足球队员。 ：李明既是三好学生又是足球队员。
黄山比喜马拉雅山高，当且仅当3 黄山比喜马拉雅山高，当且仅当3是素数 令P：黄山比喜马拉雅山高；Q：3是素数 黄山比喜马拉雅山高； 本例可符号化为P 本例可符号化为P↔Q 从汉语的语义看， 与 之间并无联系 之间并无联系， 从汉语的语义看，P与Q之间并无联系，但就联结
离散数学（第二版）最全课后习题答案详解
离散数学（第⼆版）最全课后习题答案详解习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题？在是命题的句⼦中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四⼤发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5是⽆理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3）3是素数或4是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为 1.（4）2x+ <3 5答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2与3是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π .答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有6是偶数，3才能是2的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008年元旦下⼤雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四⼤发明.（2）p:是⽆理数.（7）p:刘红与魏新是同学.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5是有理数.答：否定式：5是⽆理数. p：5是有理数.q：5是⽆理数.其否定式q的真值为 1.（2）25不是⽆理数.答：否定式：25是有理数. p：25不是⽆理数. q：25是有理数.其否定式q的真值为1.（3）2.5是⾃然数.答：否定式：2.5不是⾃然数. p：2.5是⾃然数. q：2.5不是⾃然数.其否定式q的真值为1.（4）ln1是整数.答：否定式：ln1不是整数. p：ln1是整数. q：ln1不是整数.其否定式q的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2与5都是素数答：p：2是素数，q：5是素数，符号化为p q∧，其真值为1.（2）不但π是⽆理数，⽽且⾃然对数的底e也是⽆理数.答：p：π是⽆理数，q：⾃然对数的底e是⽆理数，符号化为p q∧，其真值为 1.（3）虽然2是最⼩的素数，但2不是最⼩的⾃然数.答：p：2是最⼩的素数，q：2是最⼩的⾃然数，符号化为p q∧?，其真值为1.（4）3是偶素数.答：p：3是素数，q：3是偶数，符号化为p q∧，其真值为0.（5）4既不是素数，也不是偶数.答：p：4是素数，q：4是偶数，符号化为? ∧?p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2或3（3）3或5是偶数.（4）3不是偶数或4不是偶数.（5）3不是素数或4不是答: p：2是偶数，q：3是偶数，r:3是素数，s:4是偶数, t:5是偶数偶数.(1)符号化: p q∨，其真值为 1.(2)符号化：p r∨，其真值为1. (3)符号化：r t∨，其真值为0.(4)符号化：? ∨?q s，其真值为 1.(5)符号化：? ∨?r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答：p：⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果，q：⼩丽从筐⾥拿⼀个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答：p ：刘晓⽉选学英语，q ：刘晓⽉选学⽇语，符号化为: (? ∧∨∧?p q )(p q ) . 7.设 p ：王冬⽣于 1971年，q ：王冬⽣于1972年，说明命题“王冬⽣于1971年或 1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表： p q 0 0 1 10 1 0 10 1 1 00 1 1 1根据真值表,可以判断出,只有当 p 与 q 同时为真时两种符号化的表⽰才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p 与 q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值.,就有（1）只要（2）如果（3）只有（4）除⾮（5）除⾮（6）,则:;设 q:,则:答:设 p: .符号化真值（1）（2）（3）（4）（5）1 1 0 0 0（6） 19.设p：俄罗斯位于南半球,q：亚洲⼈⼝最多,将下⾯命题⽤⾃然语⾔表述,并指出其真值：（1）（2）；；；（3）（4）；；（5）（6）（7）；；.答:根据题意,p为假命题,q为真命题.⾃然语⾔真值（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）只要俄罗斯位于南半球,亚洲⼈⼝就最多只要亚洲⼈⼝最多,俄罗斯就位于南半球11111 只要俄罗斯不位于南半球,亚洲⼈⼝就最多只要俄罗斯位于南半球，亚洲⼈⼝就不是最多只要亚洲⼈⼝不是最多，俄罗斯就位于南半球只要俄罗斯不位于南半球，亚洲⼈⼝就不是最多只要亚洲⼈⼝不是最多，俄罗斯就不位于南半球10．设p：9是3的倍数,q：英国与⼟⽿其相邻,将下⾯命题⽤⾃然语⾔表述,并指出真值：.答:根据题意,p为真命题,q为假命题.⾃然语⾔真值（1）（2）（3）9是3的倍数当且仅当英语与⼟⽿其相邻9是3的倍数当且仅当英语与⼟⽿其不相邻9不是3的倍数当且仅当英语与⼟⽿其相邻11（4）9不是 3的倍数当且仅当英语与⼟⽿其不相邻 011．将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）若 2+2=4,则地球是静⽌不动的；（2）若 2+2=4,则地球是运动不⽌的；（3）若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存；（4）若地球上没有⽔,则是⽆理数. 答:命题 1命题 2符号化真值（1）（2）（3）（4）p:2+2=4 q:地球是静⽌不动的 q:地球是静⽌不动的 q:⼈类能⽣存0 p:2+2=4 1 1 1p:地球上有树⽊ p:地球上有树⽊q:⼈类能⽣存12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4当且仅当 3+3=6；（2）2+2=4的充要条件是 3+36；（3）2+2 4与 3+3=6互为充要条件；（4）若 2+2 4,则 3+3 6,反之亦然. 答:设p:2+2=4,q:3+3=6. 符号化真值 (1) (2) (3) (4)（3）今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆；（4）若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.符号化真值讨论(1)(2)(3)(4)不会出现前句为真,后句为假的情况不会出现前句为真,后句为假的情况必然为1若p为真,则真值为0;若p为假,则真值为114.将下列命题符号化：（1）刘晓⽉跑得快,跳得⾼；（2）⽼王是⼭东⼈或者河北⼈；（3）因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服；（4）王欢与李乐组成⼀个⼩组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐；（8）如果天下⼤⾬,他就乘班车上班；（9）只有天下⼤⾬,他才乘班车上班；（10）除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2与4都是素数,这是不对的；（13）“2或4是素数,这是不对的”是不对的.答: 命题1 命题2命题3符号化(1)(2)p:刘晓⽉跑得快q:刘晓⽉跳得⾼-p:⽼王是⼭东⼈p:天⽓冷q:⽼王是河北⼈----q:我穿⽻绒服p:王欢与李乐组成p:王欢与李乐组成⼀个--⼀个⼩组⼩组p:李⾟与李末是兄p:李⾟与李末是兄弟弟(6)(7) p:王强学过法语p:他吃饭q:刘威学过法语q:他听⾳乐q:他乘车上班q:他乘车上班q:他乘车上班q:路滑--(8) p:天下⼤⾬p:天下⼤⾬p:天下⼤⾬p:下雪-(9) -(10)(11)r:他迟到了p:2是素数p:2是素数q:4是素数--q:4是素数15.设p：2+3=5.q：⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起.求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q真值为1，r真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下⾯⼀段论述是否为真：“是⽆理数.并且,如果3是⽆理数,则外,只有6能被2整除,6才能被4整除.”也是⽆理数.另解：p:是⽆理数q: 3是⽆理数r:是⽆理数s: 6能被2整除18.在什么情况下,下⾯⼀段论述是真的:“说⼩王不会唱歌或⼩李不会跳舞是正确的,⽽说如果⼩王会唱歌,⼩李就会跳舞是不正确的.”解：p:⼩王会唱歌。
离散数学左孝凌答案
离散数学左孝凌第七章答案【篇一：离散数学（左孝凌）课后习题解答（详细）】1.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗⑶不存在最大素数。
⑷ 21+3 V5。
（5）老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀！⑼请勿随地吐痰！⑽圆的面积等于半径的平方乘以。
何只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑫雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
㈣如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑪㈣㈣是命题，其中（1）（3）⑽㈣是真命题，⑷⑹⑫是假命题，⑸⑺㈣的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2.将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语;⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3.将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形abcd是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p人q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：pv q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：？p-?q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p?q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：qv r—p⑹p：四边形abcd是平行四边形；q：四边形abcd的对边平行；原命题符号化为：p?q。
《离散数学》(左孝凌-李为鉴-刘永才编著)课后习题标准答案---上海科学技术文献出版社
《离散数学》(左孝凌-李为鉴-刘永才编著)课后习题答案---上海科学技术文献出版社————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：21-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
离散数学课后答案(四)
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8、证明如下：设<S,*>为一个独异点，则它有一个幺元.
设在<S,*>中e是关于*的幺元，若对于任意a∈S，存在b∈S且b*a=e，则b是a的左逆元。
晓津认为题中所给<R,O>中的O应为o；答案中的(3)幺元是0,而不是[0].
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5、
晓津证明如下：
反证法：若V不是独异点，则V不存在幺元.
而因为x是任意的，则当x=a时，有
(c) : 不可交换、具有幂等性,无幺元。
(d) : 可交换、不具有幂等性、有幺元 a ,a有逆元a.
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6、
证明： 设a,b,c∈I+
a*(b△c)=a^(b.c)
2、证明：二元运算□是可结合的。
根据结合律： (x□y)□z=x□(y□z)
(x□y)□z=(x*a*y)*a*z
x□(y□z)=x*a*(y*a*z)
由于*满足结合律，故：
(x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z)
=> (x□y)□z=x□(y□z)
=> 二元运算□是可结合的
离散数学课后习题答案 (2)
离散数学课后习题答案1. 第一章习题答案1.1 习题一答案1.1.1 习题一.1 答案根据题意，设集合A和B如下：Set A and BSet A and B在此情况下，我们可以得出以下结论：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }。
因此，习题一.1的答案为：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b,2), (b, 3) }。
1.1.2 习题一.2 答案根据题意，集合A和B如下所示：Set A and BSet A and B根据集合的定义，习题一.2要求我们判断以下命题的真假性：a)$A \\cap B = \\{ 2, 3 \\}$b)$\\emptyset \\in B$c)$A \\times B = \\{ (a, 2), (b, 1), (b, 3) \\}$d)$B \\subseteq A$接下来，我们来逐个判断这些命题的真假性。
a)首先计算集合A和B的交集：$A \\cap B = \\{ x\\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, x \\in B \\} = \\{ 2, 3 \\}$。
因此，命题a)为真。
b)大家都知道，空集合是任意集合的子集，因此空集合一定属于任意集合的幂集。
根据题意，$\\emptyset \\in B$，因此命题b)为真。
c)计算集合A和B的笛卡尔积：$A \\times B = \\{ (x, y) \\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, y \\in B \\} = \\{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) \\}$。
离散数学PPT+课后答案第0章 引言 - 副本
➢ 上课学习要求：积极思考问题，踊跃发言，配 合教师完成课堂内容。
➢ 课程考试要求：闭卷笔试。
2020/3/6
10-9
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程，双语示范课程
http://222.197.183.243/wlxt/ncourse/ lsxx/web/default.aspx
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程，双语示范课程
离散数学
电子科技大学信息与软件工程学院
2020年3月6日星期五
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
离散数学的研究对象
离散数学是研究各种各样的 离散量的结构及离散量之间的关 系的一门学科，是计算机科学中 基础理论的核心课程。
第二,当今通过计算机运算的绝大多数课题，都是基于 若干离散对象之间的种种联系，即使是诸如求某一连续 函数的积分这样的问题，由计算机来处理时，仍然要将 连续函数做离散化处理，即所谓数值分析方法。
第三,计算机系统本身就是一个有限结构或有限离散结构。
10-4
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
▪ 作业15次（收作业：5次） ▪ 课堂测验3次（包括期中考试） ▪ 期末考试（平时作业占20％＋半期考试（含课堂
测试）10％＋期末考试70％）
2020/3/6
10-7
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
教材与参考书
教材：
离散数学及其应用（第2版） 傅彦,顾小丰,王庆先, 刘启和.高等教育出版社，2013.06 离散数学实验及习题解析. 傅彦,王丽杰,顾小丰,尚 明生.高等教育出版社,2007.11
离散数学(左孝凌.刘永才)课后习题解答上海科学技术文献出版社
习题1.11. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷ 21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹ 2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以π。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵ 3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷ 8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
离散数学概述
数理逻辑简介
前提
推理（规则）
结论
集合论(set theroy)概述
20世纪数学中最为深刻的活动, 是关于数学基础的探讨。这 不仅涉及到数学的本性, 也涉及到演绎数学的正确性。数学 中若干悖论的发现, 引发了数学史上的第三次危机, 这种悖论 在集合论中尤为突出。
集合论最初是一门研究数学基础的学科, 它从一个比“数” 更简单的概念----集合出发, 定义数及其运算, 进而发展到整 个数学领域, 在这方面它取得了极大的成功。
达） 软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划
分） (各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学
的各分支）
目的和任务
由于离散数学的重要地位, 因此通过本课程的教学, 使计算机及应用专业的学生能够掌握数理逻辑、 集合论、近世代数与图论的基本概念、基本定理、 基本方法, 并且培养学生具有一定的抽象思维能力 和逻辑推理能力。同时为计算机及应用专业的其 它重要后续课程（如数据结构、操作系统、编译 原理等课程）奠定比较坚实的基础。
用数学方法来研究推理的规律称为数理逻辑。这里所指的数 学方法, 就是引进一套符号体系的方法, 在其中表达和研究推 理的规律。
数理逻辑简介
通常认为数理逻辑是由莱布尼兹(Leibniz)创立的。 数理逻辑的内容包括:
证明论、模型论、递归论、公理化集合论。 数理逻辑的应用 在形式语义学、程序设计方法学和软件工程领域。 在逻辑程序设计方面。 在数据库理论方面。 在程序自动生成、自动转换等的理论和技术研究中。 在形式语言理论、自动机理论、可计算理论、计算
图论
图论是离散数学的重要组成部分, 是近代应用数学的重要分支。
1736年是图论历史元年, 因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》, 所以 人们普遍认为欧拉是图论的创始人。
离散数学课后习题答案
离散数学课后习题答案离散数学课后习题答案离散数学是计算机科学中的一门重要课程，它涵盖了诸多数学概念与技巧，为计算机科学的理论基础打下了坚实的基础。
在学习离散数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
然而，有时候我们会遇到一些难以解答的问题，需要参考一些答案来进行思考与学习。
本文将为大家提供一些离散数学课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
一、集合论1. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。
2. 证明：任意集合A和B，有(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)。
答案：首先，对于任意元素x，如果x属于(A-B)∪(B-A)，那么x属于A-B或者x属于B-A。
如果x属于A-B，那么x属于A∪B，但x不属于A∩B；如果x属于B-A，同样有x属于A∪B，但x不属于A∩B。
所以(A-B)∪(B-A)属于(A∪B)-(A∩B)。
另一方面，对于任意元素x，如果x属于(A∪B)-(A∩B)，那么x属于A∪B，但x不属于A∩B。
所以x属于A或者x属于B。
如果x属于A，但x不属于B，那么x属于A-B；如果x属于B，但x不属于A，那么x属于B-A。
所以x属于(A-B)∪(B-A)。
所以(A∪B)-(A∩B)属于(A-B)∪(B-A)。
综上所述，(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)。
证毕。
二、逻辑与证明1. 证明：如果p为真命题，那么¬p为假命题。
答案：根据命题的定义，命题要么为真，要么为假，不存在其他情况。
所以如果p为真命题，那么¬p为假命题。
2. 证明：对于任意整数n，如果n^2为偶数，则n为偶数。
答案：假设n为奇数，即n=2k+1（k为整数）。
那么n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1。
根据偶数的定义，2(2k^2+2k)为偶数，所以n^2为奇数。
离散数学课后习题答案(左孝凌版)之欧阳育创编
离散数学课后习题答案 (左孝凌版)1-1，1-2解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q(R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨Q）→R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
《离散数学》(左孝凌李为鉴刘永才编著)课后习题集标准答案上海科学技术文献出版社
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q↔ (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P↔Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学左孝陵版第一章答案
P：地球外的星球上也有人； Q：小王是我的好朋友；
解
P、Q是命题
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二、命题联结词
原子命题 ：由简单句形成的命题。
复合命题：由一个或几个原子命题通过联结词 的联接而构成的命题。
例3 A：李明既是三好学生又是足球队员。
B：张平或者正在钓鱼或者正在睡觉。 C：如果明天天气晴朗，那么我们举行运动会。
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定义五种联结词（或称命题的五种运算）。
习，独立思考来真正获取知识。
3 注重抽象思维能力的培养。数学与其他学科相比较具有 较高的抽象性，而离散数学的抽象性特点更为显著，它有着大 量抽象的概念和抽象的推理，要学好这门课程必须具有较好的 抽象思维能力，才能深入地掌握课程内容。
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四、 离散数学课程的主要内容
离散数学课程的主要内容可以分为四个部分： 第一部分 集合论。包括集合、关系和函数。（教材的第一、 二、三章） 第二部分 代数系统。包括代数系统的一般概念，几类典型 的代数系统。（教材的第四、五、六、七章）
（5） 令P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在家读书。
则命题可表示为（¬P → Q）∧（P→R）。
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练习7-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1） 只有小孩才爱哭。
(是 假)
（2） X+6=Y
( 不是 )
（3） 银是白的。
(是 真)
（4） 起来吧，我的朋友。 2． 将下列命题符号化
1
课程说明
一、离散数学课程的地位和作用
离散数学是计算机专业的一门核心基础课程。 1 离散数学为计算机专业的后继课程如数据结构、操作系统、数 据库、编译原理、网络和算法设计等课程提供必要的数学基础。
离散数学课后习题答案左孝凌版
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)^j)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：、-a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：&a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)<e)设P：a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qf)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qg)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨Q）→R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)\h)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Ri)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q 1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（d)）e)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）f)/g)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。
左孝凌离散数学课后题答案最新版
1a)设S：他犯了错误。
R：他神色慌张。
前提为：S→R，R因为（S→R）∧R⇔（┐S∨R）∧R⇔R。
故本题没有确定的结论。
实际上，若S →R为真，R为真,则S可为真，S也可为假，故无有效结论。
b)设P：我的程序通过。
Q：我很快乐。
R：阳光很好。
S：天很暖和。
（把晚上十一点理解为阳光不好）前提为：P→Q，Q→R，┐R∧S(1) P→Q P(2) Q→R P(3) P→R (1)(2)T,I(4) ┐R∨S P(5) ┐R (4)T,I(6) ┐P (3)(5)T,I结论为：┐P，我的程序没有通过习题2-1,2-2（1）解：a)设W（x）：x是工人。
c：小张。
则有¬W（c）b)设S（x）：x是田径运动员。
B（x）：x是球类运动员。
h：他则有 S（h）∨B（h）c) 设C（x）：x是聪明的。
B（x）：x是美丽的。
l：小莉。
则有 C（l）∧ B（l）d）设O（x）：x是奇数。
则有 O（m）→¬ O（2m）。
e)设R（x）：x是实数。
Q（x）：x是有理数。
则有（∀x）（Q（x）→R（x））f) 设R（x）：x是实数。
Q（x）：x是有理数。
则有（∃x）（R（x）∧Q（x））g) 设R（x）：x是实数。
Q（x）：x是有理数。
则有¬（∀x）（R（x）→Q（x））h)设P（x，y）：直线x平行于直线yG（x，y）：直线x相交于直线y。
则有 P（A，B） ¬G（A，B）（2）解：a)设J(x)：x是教练员。
L(x)：x是运动员。
则有（∀x）（J（x）→L（x））b)设S(x)：x是大学生。
L(x)：x是运动员。
则有（∃x）（L（x）∧S（x））c)设J(x)：x是教练员。
O(x)：x是年老的。
V（x）：x是健壮的。
则有（∃x）（J（x）∧O（x）∧V（x））d)设O(x)：x是年老的。
V（x）：x是健壮的。
j：金教练则有¬ O（j）∧¬V（j）e)设L(x)：x是运动员。
二元关系传递性的等价定义及其判别法
二元关系传递性的等价定义及其判别法孙凤芝【摘要】通过对二元关系传递性定义的深入分析，突破其原始定义的局限性，给出其等价的定义形式，又由二元关系与矩阵的联系，给出矩形判别法，从而可以方便、快捷地实现二元关系传递性的判定。
%Direct according to definition of transitive binary relation objection within literature [ 1 ] [ 2 ] . Sometimes bad judgment. Based on the binary relation of the definition of transitivity in-depth analysis, breakthrough the limitations of its original definition, this paper presents the definition of its equivalence form. And because binary relationship is linked with Matrix. Diagnostic method of the rectangle is given. Thus we can quickly and easily implement transitive binary relation of determination.【期刊名称】《大庆师范学院学报》【年(卷),期】2014(000)006【总页数】4页(P45-48)【关键词】二元关系;传递性;矩形判别法【作者】孙凤芝【作者单位】大庆师范学院教师教育学院，黑龙江大庆163712【正文语种】中文【中图分类】O158二元关系是离散数学中重要的基本概念,实际判定某个二元关系性质时,自反性、反自反性、对称性的判定比较容易,而传递性的判定有时则较困难,是学习的重点,也是难点。
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1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
这个过程可以简记为：A；(A∨B)；(A→(A∨B))同理可记b）A；┓A ；(┓A∧B) ；((┓A∧B)∧A)c）A；┓A ；B；(┓A→B) ；(B→A) ；((┓A→B)→(B→A))d）A；B；(A→B) ；(B→A) ；((A→B)∨(B→A))（3）解：a）((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))b）((B→A)∨(A→B))。
（4）解：a) 是由c) 式进行代换得到，在c) 中用Q代换P, (P→P)代换Q.d) 是由a) 式进行代换得到，在a) 中用P→(Q→P)代换Q.e) 是由b) 式进行代换得到，用R代换P, S代换Q, Q代换R, P代换S.（5）解：a) P: 你没有给我写信。
R: 信在途中丢失了。
P Qb) P: 张三不去。
Q: 李四不去。
R: 他就去。
(P∧Q)→R∨c) P: 我们能划船。
Q: 我们能跑步。
┓(P∧Q)d) P: 你来了。
Q: 他唱歌。
R: 你伴奏。
P→(Q↔R)（6）解：P:它占据空间。
Q:它有质量。
R:它不断变化。
S:它是物质。
这个人起初主张：(P∧Q∧R) ↔ S后来主张：(P∧Q↔S)∧(S→R)这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有P∧Q必同时有R，开头时没有这样的主张。
（7）解：a) P: 上午下雨。
Q:我去看电影。
R:我在家里读书。
S:我在家里看报。
(┓P→Q)∧(P→(R∨S))b) P: 我今天进城。
Q:天下雨。
┓Q→Pc) P: 你走了。
Q:我留下。
Q→P1-4（4）解：a)所以，P∧(Q∧R)⇔(P∧Q)∧Rb)所以，P∨(Q∨R)⇔(P∨Q)∨Rｃ）所以，P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)ｄ）所以，┓(P∧Q)⇔┓P∨┓Q,┓(P∨Q)⇔┓P∧┓Q（5）解：如表，对问好所填的地方，可得公式F1～F6，可表达为F1:(Q→P)→RF2:(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R)F3:(P←→Q)∧(Q∨R)F4:(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R)F5:(┓P∨┓Q∨R)∧(┓P∨┓Q∨┓R)F6:┓(P∨Q∨R)(6)解：由上表可得有关公式为1.F2.┓(P∨Q)3.┓(Q→P)4.┓P5.┓(P→Q)6.┓Q7.┓(P↔Q)8.┓(P∧Q)9.P∧Q 10.P↔Q 11.Q 12.P→Q13.P 14.Q→P15.P∨Q 16.T(7) 证明：a)A→(B→A)⇔┐A∨(┐B∨A)⇔ A∨(┐A∨┐B)⇔ A∨(A→┐B)⇔┐A→(A→┐B)b)┐(A↔B) ⇔┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))⇔┐((A∧B)∨┐(A∨B))⇔(A∨B)∧┐(A∧B)或┐(A↔B) ⇔┐((A→B)∧(B→A))⇔┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))⇔┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A))⇔┐((┐A∧┐B)∨(B∧A))⇔┐(┐(A∨B))∨(A∧B)⇔(A∨B)∧┐(A∧B)c)┐(A→B) ⇔┐(┐A∨B) ⇔A∧┐Bd)┐(A↔B)⇔┐((A→B)∧(B→A))⇔┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))⇔(A∧┐B)∨(┐A∧B)e)(((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))⇔(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D))⇔(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D)⇔ (┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D⇔((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→D⇔ (((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D⇔ ((C∧(A↔B))→D)f)A→(B∨C) ⇔┐A∨(B∨C)⇔ (┐A∨B)∨C⇔┐(A∧┐B)∨C⇔ (A∧┐B)→Cg)(A→D)∧(B→D)⇔(┐A∨D)∧(┐B∨D)⇔(┐A∧┐B)∨D⇔┐(A∨B)∨D⇔ (A∨B)→Dh)((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))⇔(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C))⇔ (┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C⇔(┐(A∧B) ∧┐(┐D∧B))∨C⇔┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C⇔ ((A∨┐D)∧B)→C⇔ (B∧(D→A))→C（8）解：a)((A→B) ↔ (┐B→┐A))∧C⇔ ((┐A∨B) ↔ (B∨┐A))∧C⇔ ((┐A∨B) ↔ (┐A∨B))∧C⇔T∧C ⇔Cb)A∨(┐A∨(B∧┐B)) ⇔ (A∨┐A)∨(B∧┐B) ⇔T∨F ⇔Tc)(A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)⇔ (A∨┐A) ∧(B∧C)⇔T∧(B∧C)⇔B∧C（9）解：1）设C为T，A为T，B为F，则满足A∨C⇔B∨C，但A⇔B不成立。
2）设C为F，A为T，B为F，则满足A∧C⇔B∧C，但A⇔B不成立。
3）由题意知┐A和┐B的真值相同，所以A和B的真值也相同。
习题 1-5（1）证明：a)(P∧(P→Q))→Q⇔(P∧(┐P∨Q))→Q⇔(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q⇔(P∧Q)→Q⇔┐(P∧Q)∨Q⇔┐P∨┐Q∨Q⇔┐P∨T⇔Tb)┐P→(P→Q)⇔P∨(┐P∨Q)⇔ (P∨┐P)∨Q⇔T∨Q⇔Tc)((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)因为(P→Q)∧(Q→R)⇒(P→R)所以(P→Q)∧(Q→R)为重言式。
d)((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))↔(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))⇔((a∨c)∧b)∨(c∧a)⇔((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a))⇔(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)所以((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))↔(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)为重言式。
（2）证明：a)(P→Q)⇒P→(P∧Q)解法1：设P→Q为T（1）若P为T，则Q为T，所以P∧Q为T，故P→(P∧Q)为T（2）若P为F，则Q为F，所以P∧Q为F，P→(P∧Q)为T命题得证解法2：设P→(P∧Q)为F ，则P为T，(P∧Q)为F ，故必有P为T，Q为F ，所以P→Q为F。
解法3：(P→Q) →(P→(P∧Q))⇔┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))⇔┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q))⇔T所以(P→Q)⇒P→(P∧Q)b)(P→Q)→Q⇒P∨Q设P∨Q为F，则P为F，且Q为F，故P→Q为T，(P→Q)→Q为F，所以(P→Q)→Q⇒P∨Q。
c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))⇒R→Q设R→Q为F，则R为T，且Q为F，又P∧┐P为F所以Q→(P∧┐P)为T，R→(P∧┐P)为F所以R→(R→(P∧┐P))为F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F 即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))⇒R→Q成立。
（3）解：a) P→Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。
b)a)的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。
c)a)的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。
d)a)的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。
（4）解：a)如果天下雨，我不去。
设P：天下雨。
Q：我不去。
P→Q逆换式Q→P表示命题:如果我不去，则天下雨。
逆反式┐Q→┐P表示命题:如果我去，则天不下雨b)仅当你走我将留下。
设S：你走了。
R：我将留下。
R→S逆换式S→R表示命题：如果你走了则我将留下。
逆反式┐S→┐R表示命题：如果你不走，则我不留下。
c)如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。
设E：我不能获得更多帮助。
H：我不能完成这个任务。
E→H逆换式H→E表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。
逆反式┐H→┐E表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助（5）试证明P↔Q，Q逻辑蕴含P。
证明：解法1：本题要求证明(P↔Q) ∧Q⇒P,设(P↔Q) ∧Q为T，则(P↔Q)为T，Q为T，故由↔的定义，必有P为T。
所以(P↔Q) ∧Q⇒P解法2：由体题可知，即证((P↔Q)∧Q)→P是永真式。
((P↔Q)∧Q)→P⇔ (((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧Q)→P⇔(┐((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∨┐Q) ∨P⇔(((┐P∨┐Q) ∧(P∨Q)) ∨┐Q) ∨P⇔((┐Q∨┐P∨┐Q) ∧(┐Q∨P∨Q)) ∨P⇔((┐Q∨┐P) ∧T) ∨P⇔┐Q∨┐P∨P⇔┐Q∨T⇔T（6）解：P：我学习 Q：我数学不及格 R：我热衷于玩扑克。
如果我学习，那么我数学不会不及格：P→┐Q如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习: ┐R→P但我数学不及格: Q因此我热衷于玩扑克。
R即本题符号化为：(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q⇒R证：证法1：((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→R⇔┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q) ∨R⇔(P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨R⇔((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P))⇔┐Q∨P∨R∨┐P⇔ T所以，论证有效。