平面立体的切割

基本要求 一 概述 二 平面与 圆柱相交 三 平面与 圆锥相交 四 平面与 圆球相交 五 综合题
基本要求
1、掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆球 相交，求表面交线的方法。 2、掌握回转体截交线的性质及求截交线的 方法
一、概述
1、 截交线的性质 2、 截交线的类型及形状 3、 求作截交线的方法 4、 截交线上的特殊点 5、 作图步骤
2 求截交线的步骤： ★ 空间及投影分析
☆ 截平面与体的相对位置
确定截交 线的形状
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
确定截交线 的投影特性
画截交线投影的方法：
（1）求出截平面与棱柱或棱锥上若干棱线的交点， 如果立体被多个平面截割，应求出截平面间的交线。 （2）依次连接各点。 （3）判断可见性 （4）整理轮廓线
5、作图步骤
（1）根据截平面的位置与曲面立体表面的 性质、判断截交线的形状和性质。 （2）根据截平面位置和曲面立体所处位置， 决定采用什么方法求共有点。 （3）求出截交线上的特殊点。 （4）根据需要求出若干个一般点。 （5）光滑且顺次地连接各点，作出截交线， 并且判断可见性。 （6）最后，补全可见性和不可见部分的轮 廓线或转向轮廓素线，并擦除被切掉的部 分。
例 1: 求八棱柱被平面P截切后的水平投影
P 4≡5
2≡3≡6≡7
1≡8
8
7
5 6
3 4
5 7
8
6 3
4 2
1
Ⅴ
Ⅳ ⅦⅥ
Ⅲ
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
截截分交检线交析线线查的棱的的线形截投投的状影交影投？特影性？
1
2
[例题2]五棱柱截切后的投影
g′
f′
q′ e′
d′
f″(g″) q″ e″(d″) P″
a′
c′
a″(c″)
3 求作截交线的方法
（1）表面取点法 1）素线法 在曲面立体表面取若干条素线，并求出 这些素线与截平面的交点，将其依次光滑连接即得 所求的截交线。 2）纬圆法 在曲面立体表面取若干个纬圆，并求出 这些纬圆与截平面的交点，将其依次光滑连接即得 所求的截交线。
（2）辅助平面法 用三面共点的原理做适当数量的 辅助平面，然后求作辅助平面与立体表面以及截平 面的交线，则这两条交线的交点就是截交线上的点， 将这些点依次光滑连接即得所求截交线。 （3）求作截平面与复合回转体的截交线时，应把复 合回转体分解为基本几何体，分别求出截交线。求 作多个截平面与基本立体相交时，应按单一截平面 求截交线的方法，分别求出各截平面的截交线。
截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
截平面：用来截切立体的平面称为截平面。 截断面：立体被截切后的断面称为截断面。 截交线：截平面与立体表面的交线称为截交线。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
平面立体的截交线
1、平面立体截交线的性质 2、平面立体截交线的求法 （1） 棱柱上截交线的求法 （2） 棱锥上截交线的求法
1 平面与平面立体的截交线的性质
1）截交线既在截平面上，又在 立体表面上，是截平面与立体 表面的共有线。 2）截交线的形状由直线围成的平面多边形。 3) 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
求截交线的实质是求两平面的交线
2 平面立体截交线的求法
平面立体被单个或多个平面切割后，既具有平面 立体的形状特征，又具有截平面的平面特征。因此 在看图或画图时，一般应先反映平面立体特征视图 多边框出发，想象出完整平面立体形状并画出其投 影，然后再根据截平面的空间位置，想象出截平面 的形状并画出其投影。平面立体上切口的画法，常 利用平面特性中“类似形”这一投影特征作图。
P′ b′
b″
e q a
b
d
P c
A,B,C在棱线上
例3 切口六棱柱的投影
对称切口
1′
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
2′ 3′
1″ 3″
2″
先画H面投影 （积聚特征）
1（2） 3
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1
(4) 2
1 ●
4●
2●
Ⅰ Ⅳ
Ⅱ Ⅲ
3
●3
4 ●
3
1
●
●
●
2
★ 空间分析 截交★平线面的投与形影体状的？分几个析棱 ★面求相截交截交？线交在线俯、左视图 ★ 分析上棱的线形状的？投影
★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
例5：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2●
1●
注意：
2
制截要交逐三线个面。截共当平点平面：面分体析只和有绘
局部Ⅰ被截、切Ⅱ时两，点先分假别想为
1
整同体时被位截切于，三求个出面截上交。线Байду номын сангаас
后再取局部。
[例题6] 求立体切割后的投影
6
（5） 4
1
2 （3）
35
1
6
2 4
6
5
4
3 1 2
Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
例7 求P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影
解题步骤
1．分析:截平面的 正面投影积聚，截 交线的正面投影已 知，水平投影和侧 面投影待求；
2．求出截交线上 的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ ；
3．顺次地连接各 点，作出截交线， 并且判别可见性；
4。补全轮廓线。
§2 回转体的截交线
4、特殊点
特殊点是指绘制曲线时有影响的各种点，具体有： （1）极限点 确定曲线范围的最高、最低、最前、最后、 最左和最右点。 （2）转向点 曲线上处于曲面投影转向线上的点，它们 是区别曲线可见于不可见部分的分界点。 （3）特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上 四个端点。 （4）结合点 截交线由几部分不同的线段（曲线、直线） 组成时结合处的那些点。 对于特殊点，根据现有知识凡是能够求出来的都应求出。
1、曲面立体截交线的性质
（1）曲面立体的截交线通常是封闭的平面曲线，或 是由曲线和直线所围城的平面图形或多边形。 （2）曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面的 共有线。 （3）曲面立体截交线上的点为立体表面和截平面的 共有点。
2、截交线的类型及形状
（1）截平面与单个回转体相交，其截交线通常是 封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平 面图形或多边形。 （2）截平面与复合回转体相交，其截交线是截平 面与基本几何体截交线的组合。这种截交线之间 的分界点，是复合回转体的相邻两立体表面分界 线与截平面的交点。 （3）多个截平面和立体相交所得的截交线是各截 平面所得截交线的组合、截交线的结合点是相邻 两截平面与立体表面的共有点，它是两截平面的 交线与立体表面的交点。两截平面的交线是各截 断面的分界线。
二 平面与圆柱相交
1、平面与圆柱相交所得截交线形状 2、求圆柱截交线上点的方法 3、例题