数理逻辑习题部分解答

百度文库- 让每个人平等地提升自我一、命题逻辑3．将下列命题符号化。

（3）如果公用事业费用增加或者增加基金的要求被否定，那么当且仅当现有计算机设不适用的时候，才需购买一台新计算机；（5）虽然天气很好，老王还是不来；（7）停机的原因在于语法错误或程序错误；解：（3）设P：公用事业费用增加；Q：要求增加基金；R：现有计算机设备适用；S：购买一台计算机；则命题可符号化为：()()P Q R S∨⌝→⌝↔。

（5）设P：天气很好；Q：老王来；则命题可符号化为：P Q∧⌝。

（7）设P：停机的原因在于语法错误；Q：停机的原因在于程序错误。

则命题可符号化为：P Q∨。

4．设命题P：这个材料很有趣；Q：这些习题很难；R：这门课程使人喜欢。

将下列句子符号化。

（4）这个材料很有趣意味着这些习题很难，反之亦然；（5）或者这个材料很有趣，或者这些习题很难，并且两者恰具其一。

解：（4）P Q↔（5）()()P Q P Q∧⌝∨⌝∧或者()()P Q P Q∨∧⌝∨⌝12．用基本等价公式的转换方法验证下述论断是否有效。

（1）P→Q,R∧S,┐Q⇒P∧S；（2）┐(P∧┐Q),┐Q∨R,┐Q⇒┐P；（3）P,Q→R,R∨S⇒Q→S。

解：（1）()()()(()())()P Q R S Q P S P Q R S Q P S→∧∧∧⌝→∧=⌝⌝∨∧∧∧⌝∨∧()()1P Q R S Q P S P Q R S=∧⌝∨⌝∨⌝∨∨∧=∨∨⌝∨⌝≠（2）(()())()()P Q Q R Q P P Q Q R Q P⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝→⌝=∧⌝∨∧⌝∨∨⌝()()()1P Q Q P P Q P Q=∧⌝∨∨⌝=∧⌝∨⌝∧⌝=（3）(()())()()()()P Q R R S Q S P Q R R S Q S∧→∧∨→→=⌝∨∧⌝∨⌝∧⌝∨⌝∨(())()1P R Q S Q S P R Q S=⌝∨⌝∧∨⌝∨⌝∨=⌝∨⌝∨⌝∨≠14．符号化下列论断，并用演绎法验证论断是否正确。

（1）有红、黄、蓝、白四队参加足球联赛。

如果红队第三，则当黄队第二时，蓝队第四；或者白对不是第一，或者红队第三；事实上，黄队第二。

因此，如果白队第一，那么蓝队第四；证明：设P：红队第三；Q：黄队第二；R：蓝队第四；S：白队第一。

则上述句子可符号为：()P Q R→→，S R⌝∨，Q S R⇒→①S P⌝∨②S③P④()P Q R→→⑤Q R→⑥Q⑦R⑧S R→PP（附加前提）T，①，②，I PT，③，④，I PT，⑤，⑥，I CP，②，⑦（2）如果6是偶数，则2不能整除7；或者5不是素数，或者2整除7；5是素数。

因此，6是奇数；证明：设P：6是偶数；Q：2整除7；R：5是素数则上述句子可符号化为：P Q→⌝，R Q⌝∨，R P⇒⌝①()P⌝⌝②P③P Q→⌝④Q⌝⑤R Q⌝∨⑥R⌝⑦R⑧R R⌝∧P（附加前提）T，①，EPT，②，③，I PT，④，⑤，I PT，⑥，⑦，I（3）若今天是星期二，那么我要考计算机科学或经济学；若经济学教授病了，就不考经济学；今天是星期二，并且经济学教授病了。

所以，我要考计算机科学；证明：设P：今天是星期二；Q：我要考计算机科学；R：我要考经济学；S：经济学教授病了。

则上述句子可符号化为：()P Q R→∨，S R→⌝，P S∧Q⇒①P S∧②S③S R→⌝④R⌝⑤()P Q R→∨⑥P⑦Q R∨⑧Q PT，①，I PT, ②,③,I PT, ①,I T, ⑤,⑥,I T, ④,⑦,I二、谓词逻辑1．用谓词和量词，将下列命题符号化。

（4）会叫的狗未必会咬人；（5）每个人的外祖母都是他母亲的母亲；（6）任何金属均可溶解于某种液体之中；解：（4）设：D(x)：x是会叫的狗，R(x)：x是会咬人的狗。

则上述句子可符号化为：()(()())x D x R x∃∧⌝（5）设H(x)：x是人，G(x,y)：x是y的外祖母，M(x,y)：x是y的母亲。

则上述句子可符号化为：()()(()()(,)()(()(,)(,)))x y H x H y G x y z H z M x z M z y∀∀∧∧→∃∧∧（6）设：P(x)：x是液体，G(x)：x是金属，R(x,y)：x溶解y。

则上述句子可符号化为：()(()()(()(,)))x G x y P y R y x∀→∃∧8．求下述公式的前束范式和Skolem范式。

（1）(∀y) (P(x)→(∃y)Q(x, y))；（3）(∃x) P(x,y)↔(∀z)Q(z)；（5）(∃y)(∀x)(∀z)(∃u)(∀v)P(x, y, z, u, v)。

解：（1）求前束范式()(()()(,))()(()()(,))()()(()(,))x P x y Q x y x P x y Q x y x y P x Q x y∀→∃=∀⌝∨∃=∀∃⌝∨求Skolem范式()(()()(,))()()(()(,))()(,())x P x y Q x y x y P x Q x y P x Q x f x∀→∃=∀∃⌝∨=⌝∨（3）求前束范式()((,)()())()((,)()())(()()(,)))()((,)()())(()()(,)))()((,)()())(()()(,)))()()()(((,)())(()(,)))x P x y z Q z x P x y z Q z z Q z P x y x P x y z Q z z Q z P x y x P x y z Q z u Q u P x y x z u P x y Q z Q u P x y ∃↔∀=∃⌝∨∀∧⌝∀∨=∃⌝∨∀∧∃⌝∨=∃⌝∨∀∧∃⌝∨=∃∀∃⌝∨∧⌝∨ 求Skolem 范式()((,)()())()()()(((,)())(()(,)))((,)())(((,))(,))x P x y z Q z x z u P x y Q z Q u P x y P a y Q z Q f y z P a y ∃↔∀=∃∀∃⌝∨∧⌝∨=⌝∨∧⌝∨11．指出下列推导中的错误，并加以改正。

（1）① (∀x)P(x)→Q(x) P② P(y)→Q(y) US,①解：，在第①步中的量词(∀x)就辖域为P(x)，而非P(x)→Q(x)，所以消去量词时，不能直接使用US 规则。

正确的推导可为：① (∀x)(P(x)→Q(x)) P② P(y)→Q(y) US,①（2）① P(x)→Q(c) P② (∃x)(P(x)→Q(x)) EG,①解：在第①步中x 是以自由变元的身份出现，所以在对个体常量加入量词时，该量词的变元符号不能在原公式中以自由变元的身份出现。

正确的推导可为：① P(x)→Q(c) P② (∃y)(P(x)→Q(y)) EG,①（3）① (∀x)(∃y)(x ＞y) P② (∃y)(z ＞y) ＵS,①③ (z ＞c) ES,②④ (∀x)(x ＞c) ＵG,③⑤ c ＞c US,④解：由于在第②步中含有自由变元符号z ，所以在消去量词(∃y)时，应选的常量符号为含有z 作为下标的常量符号z c 。

正确的推导可为：① (∀x)(∃y)(x ＞y) P② (∃y)(z ＞y) ＵS,①③ (z ＞z c ) ES,②（4）① (∀x)(∃y)(x ＞y) P② (∃y)(z ＞y) US,①③ (z ＞c Z ) ES,②④ (∀x)(x ＞x) UG,③解：在第③步中，常量符号z c 中的z 是一个下标符号，因此，不能对下标z 使用UG 规则。

正确的推导可为：① (∀x)(∃y)(x ＞y) P② (∃y)(z ＞y) US,①③ (z ＞c Z ) ES,②12．将下列命题符号化，并用演绎法证明其论证是否正确。

（1）每一个大学生，不是文科学生，就是理工科学生；有的大学生是优等生；小张不是 文科生，但他是优等生。

因而，如果小张是大学生，他就是理工科学生；（2）伟大的物理学家都具有广博的知识；新闻记者具有广博的知识。

所以新闻记者是伟大的物理学家；（3）不存在白色的乌鸦；北京鸭是白色的。

因此，北京鸭不是乌鸦；（4）所有的有理数都是实数；所有的无理数也是实数；虚数不是实数。

因此，虚数即不是有理数也不是无理数；解：（1）设P(x)：x是一个大学生；Q(x)：x是文科生；S(x)：x是理科生；T(x)：x是优等生；c：小张；则上述句子可符号为：()(()(()()))x P x Q x S x∀→∨，()(()())x P x T x∃∧，()()Q c T c⌝∧()()P c S c⇒→①()()Q c T c⌝∧②()(()(()()))x P x Q x S x∀→∨③()(()())P c Q c S c→∨④()P c⑤()()Q c S c∨⑥()Q c⌝⑦()S c⑧()()P c S c→PPUS，②P(附加前提) T，③，④，I T，①，IT，⑤，⑥，I CP，④，⑦（2）设P(x)：x是伟大的物理学家；Q(x)：x是新闻工作者；S(x)：x具有广博的知识；则上述句子可符号化为：()(()())x P x S x∀→，()(()())x Q x S x∀→()(()())x Q x P x⇒∀→①()(()())x P x S x∀→②()(()())x Q x S x∀→③()()P y S y→④()()Q y S y→PP US，①US，②上述公式无法推出()()Q y P y→，即无法推出()(()())x Q x P x∀→。

所以，此论证并非是正确的。

（3）设W(x)：x是白色的；Q(x)：x是乌鸦；R(x)：x是北京鸭；则上述句子可符号化为：()(()())x W x Q x⌝∃∧，()(()())x R x W x∀→()(()())x R x Q x⇒∀→⌝①()(()())x R x W x∀→②()()R x W x→③()(()())x W x Q x⌝∃∧④()(()())x W x Q x∀⌝∨⌝⑤()()W x Q x⌝∨⌝⑥()()W x Q x→⌝⑦()()R x Q x→⌝⑧()(()())x R x Q x∀→⌝PUS，①PT，③，E US，④T，⑤，ET，②，⑥，I UG，⑦（4）设Q(x)：x是有理数；R(x)：x是实数；N(x)：x是无理数；C(x)：x是虚数；则上述句子可符号化为：()(()())x Q x R x∀→，()(()())x N x R x∀→，()(()())x C x R x∀→⌝()(()(()()))x C x Q x N x⇒∀→⌝∧⌝①()(()())x Q x R x∀→②()()Q x R x→③()(()())x N x R x∀→④()()N x R x→⑤()(()())x C x R x∀→⌝⑥()()C x R x→⌝⑦()()R x C x→⌝⑧()()Q x C x→⌝PUS，①PUS，③PUS，⑤T，⑥，ET，②，⑦，I⑨()()N x C x→⌝⑩(()())(()()) Q x C x N x C x→⌝∧→⌝○11(()(()()))C x Q x N x→⌝∧⌝○12()(()(()()))x C x Q x N x∀→⌝∧⌝T，④，⑦，I T，⑧，⑨，I T，⑩，E UG，○11。