2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)

2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝1+i，则z1z2＝（）
A.2
B.−2
C.1+i
D.1−i
2. 设全集U=R，函数f(x)=lg(|x+1|−1)的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，
则(∁U A)∩B的子集个数为( )
A.7
B.3
C.8
D.9
3. 函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π)的图象中相邻对称轴的距离为π
2
，若角φ
的终边经过点(3,√3)，则f(π
4
)的值为（）
A.√3
2
B.√3
C.2
D.2√3
4. 如图所示的茎叶图（图1）为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图（图2）
中输入的a1，a2，a3，…，a50为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）
A.m＝38，n＝12
B.m＝26，n＝12
C.m＝12，n＝12
D.m＝24，n＝10
5. 设不等式组{y≤x
3y≥x
x+y≤4
表示的平面区域为Ω1，不等式(x+2)2+(y−2)2≤2表示的
平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）
A.√2
2B.√2
4
C.√2
D.3√2
6. 若函数f(x)=(2−m)x
x2+m
的图象如图所示，则m的范围为（）
A.(−∞, −1)
B.(−1, 2)
C.(0, 2)
D.(1, 2)
7. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）
A.11
B.√2
2C.√5
2
D.√5
8. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014>0，S2015<0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为( )
A.1006
B.1007
C.1008
D.1009
9. 已知非零向量a→，b→，c→满足|a→−b→|=|b→|=4，(a→−c→)⋅(b→−c→)=0，若对每一个确定的b→，|c→|的最大值和最小值分别为m，n，则m−n的值为（）
A.随|a→|增大而增大
B.随|a→|增大而减小
C.是2
D.是4
10. 已知如图所示的三棱锥D−ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB＝3，AC=√3，BC＝CD＝BD＝2√3，则球O的表面积为（）
A.4π
B.12π
C.16π
D.36π
11. 如图，已知双曲线C:x2
a2−y2
b2
=1(a>0, b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A
为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q．若∠PAQ＝60∘且OQ→=3OP→，则双曲线C的离心率为（）
A.2√33
B.√7
2
C.√396
D.√3
12. 已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈[0, 1]，总存在唯一的y ∈[−1, 1]，使得x +y 2e y −a ＝0成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A.[1, e]
B.(1+1e
,e] C.(1, e] D.[1+1
e
,e]
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
已知a >0，(√x −x)6展开式的常数项为15，则∫ a
−a (x 2+x +√4−x 2)dx =________．
设a ，b ∈R ，关于x ，y 的不等式|x|+|y|<1和ax +4by ≥8无公共解，则ab 的取值范围是________．
正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =a n 2+a n (n ∈N ∗)，设c n =(−1)n 2a n +12S n
，则
数列{c n }的前2016项的和为________．
已知F 是椭圆C:
x 2
20
+y 24
=1的右焦点，P 是C 上一点，A(−2, 1)，当△APF 周长最小时，
其面积为________．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
△ABC 中，已知点D 在BC 边上，且AD →
⋅AC →
=0,sin∠BAC =2√23，AB ＝3√2,BD =√3．
(Ⅰ)求AD 的长； (Ⅱ)求cosC ．
如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，△ADE ，△BCF 均为等边三角形，EF // AB ，EF =AD =1
2AB ．
（1）过BD 作截面与线段FC 交于点N ，使得AF // 平面BDN ，试确定点N 的位置，并予
以证明；
（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．
2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直
接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，
小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成
[0, 2000]，(2000, 4000]，(4000, 6000]，(6000, 8000]，(8000, 10000]五组，并作出如下频率分布直方图：
(Ⅰ)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该
组区间的中点值作代表）；
(Ⅱ)小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随
机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学
期望；
(Ⅲ)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d
的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
,n=a+b+c+d．
附：临界值表参考公式：，K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0, c)(c>0)到直线l:x−y−2=0的距离为3√2
，
2
设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P(x0, y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|⋅|BF|的最小值．
已知函数f(x)=ax
e x +1+be −x ，点M(0, 1)在曲线y =f(x)上，且曲线在点M 处的切线与直线2x −y =0垂直． （1）求a ，b 的值；
（2）如果当x ≠0时，都有f(x)>x
e x −1+ke −x ，求k 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
选修4−4；坐标系与参数方程
已知曲线C 1的参数方程是{x =2cosarpℎi
y =3sinarpℎi （φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2, π
3)．
（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；
（2）设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]
设f(x)=|x|−|2x −1|，记f(x)>−1的解集为M ． （1）求集合M ；
（2）已知a ∈M ，比较a 2−a +1与1
a 的大小．
参考答案与试题解析
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
A
【考点】
复数的运算
【解析】
利用复数的对称关系，求出复数z2，然后求解z1z2即可．
【解答】
复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝1+i，
所以z2＝1−i，
∴z1z2＝(1+i)(1−i)＝2．
2.
【答案】
C
【考点】
子集与真子集的个数问题
交、并、补集的混合运算
【解析】
由对数式的真数大于0求得集合A，求解三角方程化简集合B，然后利用交、并、补集
的混合运算得答案．
【解答】
解：由|x+1|−1>0，得|x+1|>1，即x<−2或x>0．
∴A={x|x<−2或x>0}，则∁U A={x|−2≤x≤0}；
由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，
∴x=k，k∈Z．
则B={x|sinπx=0}={x|x=k, k∈Z}，
则(∁U A)∩B={x|−2≤x≤0}∩{x|x=k, k∈Z}={−2, −1, 0}．
∴(∁U A)∩B的元素个数为3．
∴(∁U A)∩B的子集个数为：23=8．
故选C.
3.
【答案】
A
【考点】
正弦函数的奇偶性
【解析】
，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的
根据正弦函数的性质可得相邻对称轴的距离为π
2
)的值
终边经过点(3,√3)，利用定义求解φ，可得f(x)的解析式，即可求解f(π
4
【解答】
由题意相邻对称轴的距离为π
2
，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点(3,√3)，在第一象限．
即tanφ=√3
3
，
∴φ=π
6
故得f(x)=sin(2x+π
6
)
则f(π
4)=sin(π
2
+π
6
)=cosπ
6
=√3
2
．
4.
【答案】
B
【考点】
循环结构的应用
茎叶图
【解析】
算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成
绩小于80且大于等于60的人数，根据茎叶图可得
【解答】
由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，
由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n＝12，
由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，
则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50−12−12＝26，故m
＝26
5.
【答案】
C
【考点】
简单线性规划
【解析】
画出约束条件的可行域，利用题目的几何意义转化求解即可．
【解答】
不等式组{y≤x
3y≥x
x+y≤4
表示的平面区域为Ω1，不等式(x+2)2+(y−2)2≤2表示的平面
区域为Ω2，如图：
对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，
所以，|MN|的最小值为：2+22−√2=√2．
6.
【答案】
D
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
根据函数的极值点范围和函数值的符号判断．
【解答】
∵当x>0时，f(x)>0，∴2−m>0，故m<(2)
f′(x)=(2−m)(m−x2)
(x2+m)2
．
∵f(x)有两个绝对值大于1的极值点，∴m−x2＝0有两个绝对值大于1的解，
∴m>(1)
故选：D．
7.
【答案】
C
【考点】
由三视图求体积
【解析】
由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥P−ABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为1，由此能求出该多面体各面的面积中最大的面的面积．
【解答】
由多面体的三视图得：
该多面体为如图所示的四棱锥P−ABCD，
其中底面ABCD是边长为1的正方形，
平面PAD⊥平面ABCD，
点P到平面ABCD的距离为1，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，
∴PA=√12+(1+1)2=√5，
∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积：
S△PAB=1
2×1×√5=√5
2
．
8.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
数列的函数特性
【解析】
由等差数列的求和公式和性质可得a1007>0，a1008<0，且|a1007|>|a1008|，由题意易得结论．
【解答】
解：由等差数列的求和公式和性质可得，
S2014=2014(a1+a2014)
2
=1007(a1007+a1008)>0，
∴a1007+a1008>0.
同理由S2015<0可得2015a1008<0，可得a1008<0，
∴a1007>0，a1008<0，且|a1007|>|a1008|.
∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，
∴k的值为1008.
故选C.
9.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算律
圆的一般方程
【解析】
通过假设a→=(4, 0)、b→=(2, 2√3)、c→=(x, y)，利用(a→−c→)⋅(b→−c→)=0，计算可得
向量c→的终点在以(3, √3)为圆心、半径等于2的圆上，进而可得结论．
【解答】
解：假设a→=(4, 0)、b→=(2, 2√3)、c→=(x, y)，
∵(a→−c→)⋅(b→−c→)=0，
∴(4−x, −y)⋅(2−x, 2√3−y)=x2+y2−6x−2√3y+8=0，
即(x−3)2+(y−√3)2=4，
∴满足条件的向量c→的终点在以(3, √3)为圆心、半径等于2的圆上，
∴|c→|的最大值与最小值分别为m=2+2√3，n=2√3−2，
∴m−n=4，
故选D.
10.
【答案】
C
【考点】
球的体积和表面积
【解析】
证明AC⊥AB，可得△ABC的外接圆的半径为√3，利用△ABC和△DBC所在平面相互
×
垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为ℎ，则ℎ2+3＝R2＝(√3
2
2√3−ℎ)2，求出球的半径，即可求出球O的表面积．
【解答】
∵AB＝3，AC=√3，BC＝2√3，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴AC⊥AB，
∴△ABC的外接圆的半径为√3，
∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，
∴球心在BC边的高上，
×2√3−ℎ)2，
设球心到平面ABC的距离为ℎ，则ℎ2+3＝R2＝(√3
2
∴ℎ＝1，R＝2，
∴球O的表面积为4πR2＝16π．
11.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率【解析】
设双曲线的一条渐近线方程为b
a x，A(a, 0)，P(m, bm
a
)，(m>0)，由向量共线的坐标
表示，可得Q的坐标，求得弦长|PQ|，运用中点坐标公式，可得PQ的中点坐标，由两
直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得m=a3
2c2，r=a2
c
，运用圆的弦长公式计算即可
得到a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】
设双曲线的一条渐近线方程
为y=b
a
x，A(a, 0)，
P(m, bm
a
)，(m>0)，
由OQ→=3OP→，可得Q(3m, 3bm
a
)，
圆的半径为r＝|PQ|=√4m2+4b2m2
a2=2m⋅c
a
，
PQ的中点为H(2m, 2bm
a
)，
由AH⊥PQ，可得2bm
a(2m−a)=−a
b
，
解得m=a3
2c2，r=a2
c
．
A到渐近线的距离为d=
√a2+b2=ab
c
，
则|PQ|＝2√r2−d2=r，
即为d=√3
2r，即有ab
c
=√3
2
⋅a2
c
．
可得b
a =√3
2
，
e=c
a =√1+b2
a2
=√1+3
4
=√7
2
．
另可得△PAQ为等边三角形，
设OP＝x，可得OQ＝3x，PQ＝2x，
设M为PQ的中点，可得PM＝x，AM=√4x2−x2=√3x，
tan∠MOA=AM
OM =√3x
2x
=b
a
，
则e=√1+(b
a )2=√7
2
．
12.
【答案】B
【考点】
全称命题与特称命题
全称量词与存在量词
【解析】
由x+y2e y−a＝0成立，解得y2e y＝a−x，根据题意可得：a−1≥(−1)2e−1，且a−0≤12×e1，解出并且验证等号是否成立即可得出．
【解答】
由x+y2e y−a＝0成立，解得y2e y＝a−x，
∴对任意的x∈[0, 1]，总存在唯一的y∈[−1, 1]，使得x+y2e y−a＝0成立，
∴a−1≥(−1)2e−1，且a−0≤12×e1，
解得1+1
e ≤a≤e，其中a＝1+1
e
时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范
围是(1+1
e
,e]．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】
2 3+
2π
3
+√3
【考点】
二项式定理的应用
定积分
【解析】
由条件利用二项式展开式的通项公式求得a的值，再利用积分的运算性质、法则，求得要求式子的值．
【解答】
由(
√x x)6的展开式的通项公式为T
r+1
=C6r⋅(−1)r⋅a6−r⋅x3r−62，
令3r−6
2
=0，求得r＝2，故常数项为C62⋅a4＝15，可得a＝1，
因此原式为则∫a
−a (x2+x+√4−x2)dx=∫1
−1
x2dx+∫1
−1
xdx+∫1
−1
√4−x2dx＝
2∫1
0x2dx+2∫1
√4−x2dx
＝2⋅1
3+2(1
2
⋅1⋅√3+1
2
⋅π
6
⋅22)=2
3
+2π
3
+√3，
【答案】
[−16, 16]
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
画出不等式表示的可行域，通过对a，b的符号讨论，然后求解ab的取值范围
【解答】
关于x，y的不等式|x|+|y|<1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标(1, 0)，(0, 1)，(0, −1)，(−1, 0)，
关于x，y的不等式|x|+|y|<1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧，
当a>0，b>0时满足题意，可得2
b ≥1，8
a
≥1，可得0<ab≤16，
当a>0，b<0时满足题意，可得2
b ≤−1，8
a
≥1，可得：−2≤b<0，0<a≤8可得
−16≤ab<0，
当a<0，b>0时满足题意，可得2
b ≥1，8
a
≤−1，可得：0<b≤2，−8≤a<0可得
−16≤ab<0，
当a<0，b<0时满足题意，可得2
b ≤−1，8
a
≤−1，可得：−2≤b<0，−8≤a<0，
∴0<ab≤16，
当ab=0时，不等式|x|+|y|<1和ax+4by≥8无公共解；故ab的取值范围是：[−16, 16]；
【答案】
−2016 2017
【考点】
数列的求和
【解析】
直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【解答】
正项数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=a n2+a n(n∈N∗)①，
则：2S n+1=a n+12+a n+1②，
②-①得：2a n+1=a n+12−a n2+a n+1−a n，
整理得：a n+1−a n=1，
当n=1时，2S1=a12+a1，
解得：a1=1，
所以：数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．
则a n=1+n−1=n，
所以：S n=n(n+1)
2=n2+n
2
．
则：c n=(−1)n2a n+1
2S n =(−1)n(1
n
+1
n+1
)，
数列{c n }的前2016项的和为：T 2016=−(1+1
2)+(1
2+1
3)+⋯+(1
2016+1
2017)， =−1+1
2017， =−
20162017
．
【答案】 4
【考点】 椭圆的离心率 【解析】
利用椭圆的定义，确定△APF 周长最小时，P 的坐标，即可求出△APF 周长最小时，该三角形的面积． 【解答】 椭圆C:
x 220
+
y 24
=1的a =2√5，b =2，c =4，
设左焦点为F ′(−4, 0)，右焦点为F(4, 0)．
△APF 周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+(2a −|PF ′|) =|AF|+|AP|−|PF ′|+2a ≥|AF|−|AF ′|+2a ，
当且仅当A ，P ，F ′三点共线，即P 位于x 轴上方时，三角形周长最小． 此时直线AF ′的方程为y =1
2(x +4)，代入x 2+5y 2=20中，可求得P(0, 2)， 故S △APF =S △PF ′F −S △AF ′F =1
2×2×8−1
2×1×8=4．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】
（1）由AD →
⋅AC →
=0得到：AD ⊥AC ， 所以sinBAC =sin(π
2+∠BAD)=cosBAD ， 所以cosBAD =
2√2
3
． 在△ABD 中，由余弦定理可知，BD 2＝AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cosBAD 即AD 2−8AD +15＝0， 解之得AD ＝5或AD ＝3， 由于AB >AD ， 所以AD ＝3．
（2）在△ABD 中，由正弦定理可知，BD
sinBAD =AB
sinADB ， 又由cosBAD =
2√2
3， 可知sinBAD =1
3 所以sinADB =
ABsinBAD
BD
=
√63 因为∠ADB =∠DAC +∠C =π
2+∠C ，
即cosC =√6
3
【考点】 解三角形
三角形的面积公式 【解析】
(Ⅰ)直接利用向量垂直的充要条件和余弦定理求出结果． (Ⅱ)利用正弦定理和三角形函数关系式的变换求出结果． 【解答】
（1）由AD →
⋅AC →
=0得到：AD ⊥AC ， 所以sinBAC =sin(π
2+∠BAD)=cosBAD ， 所以cosBAD =
2√2
3
． 在△ABD 中，由余弦定理可知，BD 2＝AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cosBAD 即AD 2−8AD +15＝0， 解之得AD ＝5或AD ＝3， 由于AB >AD ， 所以AD ＝3．
（2）在△ABD 中，由正弦定理可知，BD
sinBAD =AB
sinADB ， 又由cosBAD =
2√2
3， 可知sinBAD =1
3 所以sinADB =
ABsinBAD
BD
=
√63 因为∠ADB =∠DAC +∠C =π
2+∠C ，
即cosC =√6
3
【答案】
当N 为CF 的中点时，AF // 平面BDN ． 证明：连结AC 交BD 于M ，连结MN ．
∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ M 是AC 的中点， ∵ N 是CF 的中点，
∴ MN // AF ，又AF 平面BDN ，MN ⊂平面BDN ， ∴ AF // 平面BDN ．
过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过O 作x 轴⊥AB ，作y 轴⊥BC 于P ，则P 为BC 的中点． 以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD =1，则BF =1，FP =√3
2
，∵ EF =1
2AB =1，∴ OP =1
2(AB −EF)=1
2，∴
OF =
√22． ∴ A(1
2, −3
2, 0)，B(12, 1
2, 0)，C(−12, 1
2, 0)，F(0, 0, √22
)，N(−14, 14
, √24
)．
∴ AB →
=(0, 2, 0)，AF →
=(−12, 32
, √22
)，BN →
=(−34
, −14
, √24
)．
设平面ABF 的法向量为n →
=(x, y, z)，则{n →
⋅AB →
=0n →
⋅AF →=0
， ∴ {
2y =0−1
2x +3
2y +
√22z =0
，令z =√2得n →
=(2, 0, √2)，
∴ n →⋅BN →=−1，|n →
|=√6，|BN →
|=√3
2
．
∴ cos <n →
，BN →
>=
n →⋅BN →|n →
||BN →
|
=−
√2
3
． ∴ 直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为|cos <n →
，BN →
>|=√23
．
【考点】
直线与平面平行 直线与平面所成的角 【解析】
（1）当N 为CF 的中点时，AF // 平面BDN ．连结AC 交BD 于M ，连结MN ．利用中位线定理即可证明AF // MN ，于是AF // 平面BDN ；
（2）过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过O 作x 轴⊥AB ，作y 轴⊥BC 于P ，则P 为BC 的中点．以O 为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABF 的法向量n →
，则|cos <n →
，BN →
>|即为所求． 【解答】
当N 为CF 的中点时，AF // 平面BDN ． 证明：连结AC 交BD 于M ，连结MN ．
∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ M 是AC 的中点， ∵ N 是CF 的中点，
∴ MN // AF ，又AF 平面BDN ，MN ⊂平面BDN ， ∴ AF // 平面BDN ．
过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过O 作x 轴⊥AB ，作y 轴⊥BC 于P ，则P 为BC 的中点． 以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD =1，则BF =1，FP =√3
2
，∵ EF =1
2AB =1，∴ OP =1
2(AB −EF)=1
2，∴
OF =
√22． ∴ A(1
2, −3
2, 0)，B(12, 1
2, 0)，C(−12, 1
2, 0)，F(0, 0, √22
)，N(−14, 14
, √24
)．
∴ AB →
=(0, 2, 0)，AF →=(−12, 32, √22)，BN →
=(−34, −14, √24
)．
设平面ABF 的法向量为n →
=(x, y, z)，则{n →
⋅AB →
=0n →
⋅AF →=0
， ∴ {
2y =0−1
2
x +3
2y +
√22z =0
，令z =√2得n →
=(2, 0, √2)，
∴ n →⋅BN →=−1，|n →
|=√6，|BN →
|=√3
2．
∴ cos <n →
，BN →
>=
n →⋅BN →|n →
||BN →
|
=−
√2
3
． ∴ 直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为|cos <n →
，BN →
>|=√23
．
【答案】
(Ⅰ)记每户居民的平均损失为x 元，则：x =(1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003)×2000=3360 (Ⅱ)由频率分布直方图，得： 损失超过4000元的居民有：
(0.00009+0.00003+0.00003)×2000×50=15户， ∴ ξ的可能取值为0，1，2， P(ξ=0)=C 122C 15
2=
2235
，
P(ξ=1)=
C 31C121
C 15
2=12
35，
P(ξ=2)=C 3
2
C 15
2=1
35，
∴ ξ的分布列为：
Eξ=0×
2235
+1×
1235
+2×
1
35=2
5
． (Ⅲ)如图：
K2=50×(30×6−9×5)2
39×11×35×15
≈4.046>3.841，
所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．
【考点】
频率分布直方图
独立性检验
【解析】
(Ⅰ)根据频率分布直方图，即可估计小区平均每户居民的平均损失；
(Ⅱ)由频率分布直方图，得损失超过4000元的居民有15户，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
(Ⅲ)求出K2，与临界值比较，即可得出结论．
【解答】
(Ⅰ)记每户居民的平均损失为x元，则：x=(1000×0.00015+3000×0.0002+ 5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003)×2000=3360
(Ⅱ)由频率分布直方图，得：
损失超过4000元的居民有：
(0.00009+0.00003+0.00003)×2000×50=15户，
∴ξ的可能取值为0，1，2，
P(ξ=0)=C122
C152=22
35
，
P(ξ=1)=C31C121
C152=12
35
，
P(ξ=2)=C32
C152=1
35
，
∴ξ的分布列为：
Eξ=0×22
35+1×12
35
+2×1
35
=2
5
．
(Ⅲ)如图：
K2=50×(30×6−9×5)2
39×11×35×15
≈4.046>3.841，
所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．
【答案】
解：(1)焦点F(0, c)(c>0)到直线l:x−y−2=0的距离，
d=
√2=
√2
=3√2
2
，
解得c=1，
所以抛物线C的方程为x2=4y．
(2)设A(x1,1
4x12)，B(x2,1
4
x22)，
由(1)得抛物线C的方程为y=1
4x2，y′=1
2
x，
所以切线PA，PB的斜率分别为1
2x1，1
2
x2，
所以PA:y−1
4x12=1
2
x1(x−x1)，
PB:y−1
4x22=1
2
x2(x−x2)，
联立可得点P的坐标为(x1+x2
2,x1x2
4
)，
即x0=x1+x2
2，y0=x1x2
4
，
又因为切线PA的斜率为1
2x1=y0−
1
4
x12
x0−x1
，
整理得y0=1
2x1x0−1
4
x12，
直线AB的斜率k=1
4
x12−1
4
x22
x1−x2
=x1+x2
4
=x0
2
，
所以直线AB的方程为y−1
4x12=1
2
x0(x−x1)，
整理得y=1
2x0x−1
2
x1x0+1
4
x12，
即y=1
2
x0x−y0，
因为点P(x0, y0)为直线l:x−y−2=0上的点，所以x0−y0−2=0，即y0=x0−2，
所以直线AB的方程为x0x−2y−2y0=0．(3)根据抛物线的定义，
有|AF|=1
4x12+1，|BF|=1
4
x22+1，
所以|AF|⋅|BF|
=(1
4
x12+1)(
1
4
x22+1)
=1
16
x12x22+
1
4
(x12+x22)+1
=1
16x12x22+1
4
[(x1+x2)2−2x1x2]+1，
由(2)得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以|AF|⋅|BF|
=y02+1
4
(4x02−8y0)+1
=x02+y02−2y0+1
=(y0+2)2+y02−2y0+1
=2y 02
+2y 0+5 =2(y 0+1
2)2+9
2
.
所以当y 0=−1
2时，|AF|⋅|BF|的最小值为9
2．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程 抛物线的求解 抛物线的标准方程 【解析】
（1）利用焦点到直线l:x −y −2=0的距离建立关于变量c 的方程，即可解得c ，从而得出抛物线C 的方程；
（2）先设A(x 1,1
4x 1
2)，B(x 2,1
4x 22)，由（1）得到抛物线C 的方程求导数，得到切线PA ，PB 的斜率，最后利用直线AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程；
（3）根据抛物线的定义，有|AF|=1
4x 1
2+1，|BF|=1
4x 22
+1，从而表示出|AF|⋅|BF|，再由（2）得x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4y 0，x 0=y 0+2，将它表示成关于y 0的二次函数
的形式，从而即可求出|AF|⋅|BF|的最小值． 【解答】
解：(1)焦点F(0, c)(c >0)到直线l:x −y −2=0的距离， d =
2
=
2
=
3√2
2
， 解得c =1，
所以抛物线C 的方程为x 2=4y ．
(2)设A(x 1,1
4x 1
2)，B(x 2,1
4x 22)， 由(1)得抛物线C 的方程为y =14x 2，y ′=1
2x ， 所以切线PA ，PB 的斜率分别为1
2x 1，1
2x 2，
所以PA:y −1
4x 1
2
=1
2x 1(x −x 1)， PB:y −1
4x 22
=12x 2(x −x 2)，
联立可得点P 的坐标为(x 1+x 22
,
x 1x 24
)，
即x 0=
x 1+x 22
，y 0=
x 1x 24
，
又因为切线PA 的斜率为1
2
x 1=
y 0−1
4
x 1
2x 0−x 1
，
整理得y 0=1
2x 1x 0−1
4x 12
，
直线AB 的斜率k =
14x 12−14x 2
2
x 1−x 2
=
x 1+x 24=
x 02
，
所以直线AB 的方程为y −1
4x 1
2
=1
2x 0(x −x 1)，
整理得y =1
2x 0x −1
2x 1x 0+1
4x 12
，
即y =1
2x 0x −y 0，
因为点P(x 0, y 0)为直线l:x −y −2=0上的点， 所以x 0−y 0−2=0，即y 0=x 0−2， 所以直线AB 的方程为x 0x −2y −2y 0=0． (3)根据抛物线的定义，
有|AF|=1
4x 1
2+1，|BF|=1
4x 22+1， 所以|AF|⋅|BF| =(14x 12+1)(14x 22
+1) =
116x 12x 22+14
(x 12
+x 22
)+1 =1
16x 12x 22+1
4[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+1，
由(2)得x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4y 0，x 0=y 0+2， 所以|AF|⋅|BF|
=y 02+14(4x 02
−8y 0)+1
=x 02+y 02−2y 0+1
=(y 0+2)2+y 02
−2y 0+1
=2y 02
+2y 0+5 =2(y 0+1
2)2+9
2
.
所以当y 0=−1
2时，|AF|⋅|BF|的最小值为9
2． 【答案】
f(x)=ax
e x +1+be −x 的导数为 f′(x)=
a(e x +1)−axe x
(e x +1)2−be −x ，
由切线与直线2x −y =0垂直，可得 f(0)=1，f′(0)=−1
2， 即有b =1，1
2a −b =−12， 解得a =b =1；
当x ≠0时，都有f(x)>x
e x −1+ke −x ， 即为x
1+e x +e −x >x
e x −1+ke −x ，
即有(1−k)e −x >2x
e 2x −1，即1−k >2x
e x −e −x ， 可令g(x)=2x
e x −e −x ，g(−x)=−2x
e −x −e x =g(x)，
即有g(x)为偶函数，只要考虑x >0的情况．
由g(x)−1=2x−e x −e −x
e x −e −x ，
x >0时，e x >e −x ，
由ℎ(x)=2x −e x +e −x ，ℎ′(x)=2−(e x +e −x )≤2−2√e x ⋅e −x =0，
则ℎ(x)在x >0递减，即有ℎ(x)<ℎ(0)=0，
即有g(x)<1．
故1−k ≥1，解得k ≤0．
则k 的取值范围为(−∞, 0]．
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由切线与2x −y =0垂直，可得a ，b 的方程，解方程可得a ，b 的值；
（2）由题意可得x 1+e x +e −x >x e x −1+ke −x ，即有(1−k)e −x >2x e 2x −1，即1−k >2x
e x −e −x ，可令g(x)=2x e x −e −x ，求出导数，判断单调性，可得最值，即可得到k 的范围．
【解答】 f(x)=ax e x +1+be −x 的导数为
f′(x)=a(e x +1)−axe x
(e x +1)2−be −x ，
由切线与直线2x −y =0垂直，可得
f(0)=1，f′(0)=−12，
即有b =1，12a −b =−12，
解得a =b =1；
当x ≠0时，都有f(x)>x e x −1+ke −x ，
即为x 1+e x +e −x >x e x −1+ke −x ，
即有(1−k)e −x >2x e 2x −1，即1−k >2x e x −e −x ，
可令g(x)=2x e x −e −x ，g(−x)=−2x e −x −e x =g(x)，
即有g(x)为偶函数，只要考虑x >0的情况．
由g(x)−1=2x−e x −e −x
e x −e −x ，
x >0时，e x >e −x ，
由ℎ(x)=2x −e x +e −x ，ℎ′(x)=2−(e x +e −x )≤2−2√e x ⋅e −x =0，
则ℎ(x)在x >0递减，即有ℎ(x)<ℎ(0)=0，
即有g(x)<1．
故1−k ≥1，解得k ≤0．
则k 的取值范围为(−∞, 0]．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
【答案】
点A ，B ，C ，D 的极坐标为(2,π3),(2,5π6),(2,4π3),(2,11π6)
点A ，B ，C ，D 的直角坐标为(1,√3),(−√3,1),(−1,−√3),(√3,−1)
设P(x 0, y 0)，则{x 0=2cosarpℎi y 0=3sinarpℎi
（arpℎi 为参数） t ＝|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2＝4x 2+4y 2+16＝32+20sin 2φ
∵ sin 2φ∈[0, 1]
∴ t ∈[32, 52]
【考点】
圆的极坐标方程
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
椭圆的参数方程
【解析】
（1）确定点A ，B ，C ，D 的极坐标，即可得点A ，B ，C ，D 的直角坐标；
（2）利用参数方程设出P 的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
【解答】
点A ，B ，C ，D 的极坐标为(2,π3),(2,5π6),(2,4π3),(2,11π6)
点A ，B ，C ，D 的直角坐标为(1,√3),(−√3,1),(−1,−√3),(√3,−1)
设P(x 0, y 0)，则{x 0=2cosarpℎi y 0=3sinarpℎi
（arpℎi 为参数） t ＝|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2＝4x 2+4y 2+16＝32+20sin 2φ
∵ sin 2φ∈[0, 1]
∴ t ∈[32, 52]
[选修4-5：不等式选讲]
【答案】
f(x)=|x|−|2x −1|={ x −1,x ≤03x −1,0<x <12−x +1,x ≥12. 由f(x)>−1，得{x ≤0x −1>−1 或{0<x <123x −1>−1 或{x ≥12−x +1>−1
解得0<x <2，
故M ={x|0<x <2}．
由（1）知0<a <2，
因为a 2−a +1−1a
=a 3−a 2+a−1a =(a−1)(a 2+1)a ， 当0<a <1时，
(a−1)(a 2+1)a <0，所以a 2−a +1<1a ； 当a =1时，(a−1)(a 2+1)a =0，所以a 2−a +1=1a ；
当1<a <2时，(a−1)(a 2+1)a
>0，所以a 2−a +1>1a ．
综上所述：当0<a <1时，a 2−a +1<1a ； 当a =1时，a 2−a +1=1a ；
当1<a <2时，a 2−a +1>1a ．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即M 即可； （2）作差，通过讨论a 的范围，比较大小即可．
【解答】
f(x)=|x|−|2x −1|={ x −1,x ≤03x −1,0<x <1−x +1,x ≥12. 由f(x)>−1，得{x ≤0x −1>−1 或{0<x <123x −1>−1 或{x ≥12−x +1>−1 解得0<x <2，
故M ={x|0<x <2}．
由（1）知0<a <2，
因为a 2−a +1−1a
=a 3−a 2+a−1a =(a−1)(a 2+1)a ， 当0<a <1时，
(a−1)(a 2+1)a <0，所以a 2−a +1<1a ； 当a =1时，(a−1)(a 2+1)a =0，所以a 2−a +1=1a ；
当1<a <2时，(a−1)(a 2+1)a >0，所以a 2−a +1>1a ．
综上所述：当0<a <1时，a 2−a +1<1a ；
当a =1时，a 2−a +1=1a ；
当1<a <2时，a 2−a +1>1a ．。