结构力学第十章总结
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总
结
结构力学
矩阵位移法与位移法在理论上并无区别，只是 在表达方式上有所不同。 (1)矩阵位移法的理论基础与一般位移法完全相 同，只是表达方式不同。用矩阵形式表示具有更强 的概括性。 (2)总刚度矩阵是由各单元刚度矩阵装配成的， 只要找出了装配的规律，总刚度矩阵不必计算而可 直接由单元刚度矩阵装配而成。 (3)矩阵位移法与一般位移法解题步骤的对应关 系可以由下表表示：
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例：用矩阵位移法计算图a所示连续梁,并画M图， EI=常数。q=12kN/m,l=6m。
(a) q (b) (1) l l l
θ
1
(2)
θ
2
(3)
1
2
y
x
解： (1) 建立坐标系、对单元和结点编号如图 b，单 元刚度矩阵 (1) 4i 2i ( 2) ( 3) k k k 2 i 4 i 单元定位向量λ①=（0 1）T，λ②=（1 2）T，λ③=（2 0）T (2) 将各单元刚度矩阵中的元素按单元定位向量在K中 对号入座，得整体刚度矩阵 8i 2i K 2 i 8 i
C．可求得支座结点位移
解：答案选D。
D．无法求得结点位移
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例： 图示结构若考虑轴向变形，在未引入支撑条件时， 其整体刚度矩阵K是____ 阶方阵。
解 ： 答案为21×21。
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例：图示结构若只考虑弯曲变形，括号中的数字为结 点位移分量编码，则其整体刚度矩阵中元素 k11等于（ ）. A. 36EI / l 3 B. 72EI / l 3
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（2）边界条件处理。对于刚性支座，其位移总码均 编为零。对于支座位移等于给定值时，通常也将其位移 总码均编为零，将支座结点位移的影响转换成单元非结 点荷载,即，将支座结点位移转换成与该支座结点位移连 接的各单元在单元坐标系中的杆端位移，求出由此给定 的杆端位移产生的单元固端力，然后转换成等效结点荷 载。 3. 弹性支座的处理 通常用主对角元素叠加法处理弹性支座。如果结构 的第j个自由度是弹性约束，那么，把弹性支座的刚度系 数叠加到原始刚度矩阵主对角线的第j个元素上即可得到 经约束处理后的总刚度方程。
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ql 2 F 12 0
结构力学
(3) 连续梁的等效结点荷载
(4) 将整体刚度矩阵K和等效结点荷载P代入基本方程得
8i 2i
2 ql 2i 1 12 8i 2 0
4．将结点位移回代到转角位 4．将结点位移回代到各单元 移方程中求杆端弯矩 的单元刚度方程中求杆端内 力
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一、基本概念
结构矩阵分析是采用矩阵方法分析结构力学问题的一 种方法。与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析 中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法与刚度法。矩阵 位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用。 矩阵位移法是结构力学中的位移法加上矩阵方法。矩 阵位移法的基本未知量也是结点位移——独立的线位移和 转角。但由于有时考虑杆件的轴向变形，且把杆件铰结端 的转角也作为基本未知量，因此，基本未知量数目比传统 位移法的基本未知量多一些。
ql 2 ql 2 (5) 解方程得 1 , 2 90i 360i (6) 求杆端力并绘制弯矩图如图所示c。
(c) 45.6 16.8 4.8
M图（kN· m）
2.4
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四、思考题
1. 单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点各是什么？ 2. 单元定位向量是由什么组成？他的用处是什么？ 3. 刚架中有铰结点时应该怎样处理？
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表 8-1 一 般 位 移 法 矩 阵 位 移 法 1． 写出各杆的转角位移方程 1．列出各单元的单元刚度矩 阵和单元刚度方程 2．考虑结点和截面平衡建立 2．由各单元刚度矩阵装配总 位移法典型方程 刚度矩阵 3．解方程求结点位移 3．考虑约束条件建立结构刚 度方程并求解
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4. 总刚度方程和总刚度矩阵的性质与特点
总刚度方程为整体结构的结点荷载与结点位移之间 的关系式，是结构应满足的平衡条件。无论何种结构， 其总刚度方程都具有统一的形式:
K=P 式中K为总刚度矩阵，为结构的结点位移列向量，P 为结点力列向量。 总刚度矩阵K反应了整个结构的刚度，是描述结点 力与结点位移之间关系的系数矩阵。其矩阵的性质与 特点：
C. 108EI / l 3
2(1,0,2) 2 EI 2 EI 4(0,0,0) 1(0,0,0) 3(1,0,3)
EI l/ 2 l/ 2
D. 120EI / l
3
解：答案选D。
2l
提示：在不考率轴向变形时， 结点2和结点3只有水 平位移和转角，杆件12对k11的贡献为12×（2EI）／l 3， 杆件34对k11的贡献为12×EI／（l／2）3。
A. （0 0 1 2 3 4）T C. （0 0 1 3 2 4）T 解：答案为B。
B. （2 3 4 0 0 1）T
D. （3 2 4 0 0 1）T
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例： 图示结构整体刚度矩阵K中元素k22等于（ ） A. 28EI/3l B. 12EI/l C. 20EI/3l
D. 16EI/l
解：答案选A。
EI y 1 l 1.5 l 2 2EI x
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例：矩阵位移法中，结构的原始刚度方程是表示下 列两组量值之间的相互关系：（ ） A．杆端力与结点位移 C．结点力与结点位移 解：答案选C。 例：平面杆件结构用后处理法建立的原始刚度方程 组,（ ） A．可求得全部结点位移 B．可求得可动结点的位移 B．杆端力与结点力 D．结点位移与杆端力
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对于支座位移等于给定值时，采用“乘大数法”。 设结点位移向量中第 r个位移等于d0，在矩阵K与向量P中， ， 主对角元素krr 改为Gkrr，将Pr改为d0Gkrr，其中G为一 大数通常取108～1010 。
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2. 先处理法 (1) 集成。将单元刚度矩阵先按边界条件进行处理 , 然后按照单元连接结点的总位移编号将单元刚度矩阵的 元素在结构的刚度矩阵中对号入座，形成总刚后即可进 行求解。上述过程可通过引入定位向量来实现。在单元 定位向量中考虑边界条件，凡给定的结点位移分量，其 位移总码均编为零，与总码编为零相应的行、列元素在 集成总刚时被屏弃在外。 单元定位向量：按单元连接结点编号顺序由结点未 知位移编号组成的向量。
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矩阵位移法的基本思路是:
(1) 先把结构离散成单元，进行单元分析,建立单元杆 端力与杆端位移之间的关系； (2)在单元分析的基础上，考虑结构的几何条件和平衡 条件，将这些离散单元组合成原来的结构，进行整体分析， 建立结构的结点力与结点位移之间的关系，即结构的总刚 度方程，进而求解结构的结点位移和单元杆端力。 在从单元分析到整体分析的计算过程中，全部采用矩 阵运算。
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二、需要注意的几个问题
（1）初学者易把单元的固端力与传统位移法中载常 数混淆，造成求等效荷载时出错。单元的固端力是在固 定单元的杆端其不能有任何位移时荷载作用下的杆端力 （即固端力）。 例如，对于梁式杆，不论连接该杆的结点是铰结点、 定向结点，均按两端固定梁计算固端力。 （2）在考虑轴向变形的单元刚度矩阵中剔除 EA项， 即得忽略轴向变形的单元刚度矩阵。 （3）为适应计算机计算、节省内存和机时，在对 结点编号时应力求使相关结点的最大差值为最小，以减 小总刚度矩阵的带宽。
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如果结构内部存在组合结点，并采用先处理法，则 不能用上述公式计算总刚度矩阵的最大半带宽，而应按 照单元编，利用单元定位向量求出总刚度矩阵的最大半 带宽。设用MAX表示单元(e)定位向量中的最大分量， MIN表示单元(e)定位向量中的最小分量，则 d e=MAX-MIN+1 总刚度矩阵的最大半带宽为：d=MAX(d1d2…dn)
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5. 总刚度矩阵的最大半带宽 总刚度矩阵的上三角部分，从某行的主对角元素到该 行最末一个非零元素所具有的元素的个数称为该行的半带 宽。各行半带宽的最大值称为总刚度矩阵的最大半带宽。 对应于后处理法，结构内部不存在组合结点时最大半 带宽的计算公式为:d=(b+1)c ，其中b为单元两端结点编码 的最大差; c为结构中一个结点的位移分量数，显然，最 大半带宽与结构的结点编码的顺序有关。通常应使相邻结 点编码的最大差值为最小，即d 值为最小。
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三、例题
例：图示梁用矩阵位移法求解时的基本未知量数 目为多少？
q 2I 4m 2I 3m A F I 3m
解：基本未知量数目为2，即A点的竖向位移和转角。
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例：图示结构中单元①的定位向量为—— 。
3 2 2 1 4 1 3 6 5 7
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二、总刚度矩阵的集成及约束处理
集成总刚度矩阵最常用的方法是直接刚度法，即由单 元刚度矩阵直接集成结构刚度矩阵，又可分为后处理法和 先处理法。 1. 后处理法 (1) 集成。对所有单元不做边界条件处理，均采用自 由式的单元刚度矩阵，按单元的结点编号将单元刚度矩 阵分为四个子块（阶数相同），逐块地将结点所对应的 子块在结构的原始刚度矩阵中对号入座，形成结构的原 始刚度矩阵。由于结点位移分量中包括了非自由结点的 已知位移，原始刚度矩阵为奇异的，需进行边界条件处 理，才能求解自由结点位移。由于原始刚度矩阵的阶数 较高，所以后处理法的主要缺点是占用较多的计算机内 存。
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( 1 )元素kij的物理意义为：当△j=1而其他位移分量为 零时产生在△i方向的杆端力。 （2）主子块Kii是由结点i的相关单元中与结点i相应的 主子块叠加而得。 （3）当i、j为相关结点时，副子块Kij就等于连接ij的杆 单元中相应的子块；若i、j不相关，则Kij为零子块。 （4）总刚度矩阵为对称矩阵。 （5）总刚度矩阵为稀疏带状矩阵。愈是大型结构， 带状分布规律就愈明显。 （6）总刚度矩阵主对角元素都大于零。通常是主对 角元素占优势的矩阵，因此，线形方程组的解有较好的稳 定性。
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对于每个结点位移分量数相同的结构，原始刚度矩 阵的阶数为结构的总结点数乘以结点位移分量的数目， 例如，每个结点位移分量数为3的平面刚架，结构原始 刚度矩阵的阶数为3n×3n 。
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（2）边界条件处理
对于刚性支座，用划行划列法处理刚性支座，即直 接划去原始刚度方程中与零位移对应的行和列。这样做 有时要改变原方程的排列顺序,会给编程带来麻烦。为了 不改变原方程的排列顺序，同时又要引入边界条件 ,采用 “主一副零”法。
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例如图示刚架，按图a 编码，d=3×(9+1)=30 ，而按 b 图编码，d=3×(3+1)=12 。
(a) 1 10 19 (b) 1 2 3 5 6 11 20 4 8 9 2 3 12 21 7 4 13 22 10 11 12 5 14 23 13 14 15 6 15 24 16 17 18 7 16 25 19 20 21 8 17 26 22 23 24 9 18 27 25 26 27
设结点位移向量中第r个位移等于零, 即r=0 ，则在 结构的原始刚度矩阵k中的第r行第r列中主对角元素krr改 为1其余元素改为零。同时将结点结点荷载列向量 P中的 第r个分量也改为零。 即 k rr 1 k rs k sr 0 ( s r ) Pr 0
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矩阵位移法与位移法在理论上并无区别，只是 在表达方式上有所不同。 (1)矩阵位移法的理论基础与一般位移法完全相 同，只是表达方式不同。用矩阵形式表示具有更强 的概括性。 (2)总刚度矩阵是由各单元刚度矩阵装配成的， 只要找出了装配的规律，总刚度矩阵不必计算而可 直接由单元刚度矩阵装配而成。 (3)矩阵位移法与一般位移法解题步骤的对应关 系可以由下表表示：
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例：用矩阵位移法计算图a所示连续梁,并画M图， EI=常数。q=12kN/m,l=6m。
(a) q (b) (1) l l l
θ
1
(2)
θ
2
(3)
1
2
y
x
解： (1) 建立坐标系、对单元和结点编号如图 b，单 元刚度矩阵 (1) 4i 2i ( 2) ( 3) k k k 2 i 4 i 单元定位向量λ①=（0 1）T，λ②=（1 2）T，λ③=（2 0）T (2) 将各单元刚度矩阵中的元素按单元定位向量在K中 对号入座，得整体刚度矩阵 8i 2i K 2 i 8 i
C．可求得支座结点位移
解：答案选D。
D．无法求得结点位移
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例： 图示结构若考虑轴向变形，在未引入支撑条件时， 其整体刚度矩阵K是____ 阶方阵。
解 ： 答案为21×21。
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例：图示结构若只考虑弯曲变形，括号中的数字为结 点位移分量编码，则其整体刚度矩阵中元素 k11等于（ ）. A. 36EI / l 3 B. 72EI / l 3
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（2）边界条件处理。对于刚性支座，其位移总码均 编为零。对于支座位移等于给定值时，通常也将其位移 总码均编为零，将支座结点位移的影响转换成单元非结 点荷载,即，将支座结点位移转换成与该支座结点位移连 接的各单元在单元坐标系中的杆端位移，求出由此给定 的杆端位移产生的单元固端力，然后转换成等效结点荷 载。 3. 弹性支座的处理 通常用主对角元素叠加法处理弹性支座。如果结构 的第j个自由度是弹性约束，那么，把弹性支座的刚度系 数叠加到原始刚度矩阵主对角线的第j个元素上即可得到 经约束处理后的总刚度方程。
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ql 2 F 12 0
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(3) 连续梁的等效结点荷载
(4) 将整体刚度矩阵K和等效结点荷载P代入基本方程得
8i 2i
2 ql 2i 1 12 8i 2 0
4．将结点位移回代到转角位 4．将结点位移回代到各单元 移方程中求杆端弯矩 的单元刚度方程中求杆端内 力
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一、基本概念
结构矩阵分析是采用矩阵方法分析结构力学问题的一 种方法。与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析 中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法与刚度法。矩阵 位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用。 矩阵位移法是结构力学中的位移法加上矩阵方法。矩 阵位移法的基本未知量也是结点位移——独立的线位移和 转角。但由于有时考虑杆件的轴向变形，且把杆件铰结端 的转角也作为基本未知量，因此，基本未知量数目比传统 位移法的基本未知量多一些。
ql 2 ql 2 (5) 解方程得 1 , 2 90i 360i (6) 求杆端力并绘制弯矩图如图所示c。
(c) 45.6 16.8 4.8
M图（kN· m）
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1. 单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点各是什么？ 2. 单元定位向量是由什么组成？他的用处是什么？ 3. 刚架中有铰结点时应该怎样处理？
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表 8-1 一 般 位 移 法 矩 阵 位 移 法 1． 写出各杆的转角位移方程 1．列出各单元的单元刚度矩 阵和单元刚度方程 2．考虑结点和截面平衡建立 2．由各单元刚度矩阵装配总 位移法典型方程 刚度矩阵 3．解方程求结点位移 3．考虑约束条件建立结构刚 度方程并求解
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4. 总刚度方程和总刚度矩阵的性质与特点
总刚度方程为整体结构的结点荷载与结点位移之间 的关系式，是结构应满足的平衡条件。无论何种结构， 其总刚度方程都具有统一的形式:
K=P 式中K为总刚度矩阵，为结构的结点位移列向量，P 为结点力列向量。 总刚度矩阵K反应了整个结构的刚度，是描述结点 力与结点位移之间关系的系数矩阵。其矩阵的性质与 特点：
C. 108EI / l 3
2(1,0,2) 2 EI 2 EI 4(0,0,0) 1(0,0,0) 3(1,0,3)
EI l/ 2 l/ 2
D. 120EI / l
3
解：答案选D。
2l
提示：在不考率轴向变形时， 结点2和结点3只有水 平位移和转角，杆件12对k11的贡献为12×（2EI）／l 3， 杆件34对k11的贡献为12×EI／（l／2）3。
A. （0 0 1 2 3 4）T C. （0 0 1 3 2 4）T 解：答案为B。
B. （2 3 4 0 0 1）T
D. （3 2 4 0 0 1）T
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例： 图示结构整体刚度矩阵K中元素k22等于（ ） A. 28EI/3l B. 12EI/l C. 20EI/3l
D. 16EI/l
解：答案选A。
EI y 1 l 1.5 l 2 2EI x
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例：矩阵位移法中，结构的原始刚度方程是表示下 列两组量值之间的相互关系：（ ） A．杆端力与结点位移 C．结点力与结点位移 解：答案选C。 例：平面杆件结构用后处理法建立的原始刚度方程 组,（ ） A．可求得全部结点位移 B．可求得可动结点的位移 B．杆端力与结点力 D．结点位移与杆端力
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对于支座位移等于给定值时，采用“乘大数法”。 设结点位移向量中第 r个位移等于d0，在矩阵K与向量P中， ， 主对角元素krr 改为Gkrr，将Pr改为d0Gkrr，其中G为一 大数通常取108～1010 。
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2. 先处理法 (1) 集成。将单元刚度矩阵先按边界条件进行处理 , 然后按照单元连接结点的总位移编号将单元刚度矩阵的 元素在结构的刚度矩阵中对号入座，形成总刚后即可进 行求解。上述过程可通过引入定位向量来实现。在单元 定位向量中考虑边界条件，凡给定的结点位移分量，其 位移总码均编为零，与总码编为零相应的行、列元素在 集成总刚时被屏弃在外。 单元定位向量：按单元连接结点编号顺序由结点未 知位移编号组成的向量。
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矩阵位移法的基本思路是:
(1) 先把结构离散成单元，进行单元分析,建立单元杆 端力与杆端位移之间的关系； (2)在单元分析的基础上，考虑结构的几何条件和平衡 条件，将这些离散单元组合成原来的结构，进行整体分析， 建立结构的结点力与结点位移之间的关系，即结构的总刚 度方程，进而求解结构的结点位移和单元杆端力。 在从单元分析到整体分析的计算过程中，全部采用矩 阵运算。
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（1）初学者易把单元的固端力与传统位移法中载常 数混淆，造成求等效荷载时出错。单元的固端力是在固 定单元的杆端其不能有任何位移时荷载作用下的杆端力 （即固端力）。 例如，对于梁式杆，不论连接该杆的结点是铰结点、 定向结点，均按两端固定梁计算固端力。 （2）在考虑轴向变形的单元刚度矩阵中剔除 EA项， 即得忽略轴向变形的单元刚度矩阵。 （3）为适应计算机计算、节省内存和机时，在对 结点编号时应力求使相关结点的最大差值为最小，以减 小总刚度矩阵的带宽。
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如果结构内部存在组合结点，并采用先处理法，则 不能用上述公式计算总刚度矩阵的最大半带宽，而应按 照单元编，利用单元定位向量求出总刚度矩阵的最大半 带宽。设用MAX表示单元(e)定位向量中的最大分量， MIN表示单元(e)定位向量中的最小分量，则 d e=MAX-MIN+1 总刚度矩阵的最大半带宽为：d=MAX(d1d2…dn)
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5. 总刚度矩阵的最大半带宽 总刚度矩阵的上三角部分，从某行的主对角元素到该 行最末一个非零元素所具有的元素的个数称为该行的半带 宽。各行半带宽的最大值称为总刚度矩阵的最大半带宽。 对应于后处理法，结构内部不存在组合结点时最大半 带宽的计算公式为:d=(b+1)c ，其中b为单元两端结点编码 的最大差; c为结构中一个结点的位移分量数，显然，最 大半带宽与结构的结点编码的顺序有关。通常应使相邻结 点编码的最大差值为最小，即d 值为最小。
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三、例题
例：图示梁用矩阵位移法求解时的基本未知量数 目为多少？
q 2I 4m 2I 3m A F I 3m
解：基本未知量数目为2，即A点的竖向位移和转角。
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二、总刚度矩阵的集成及约束处理
集成总刚度矩阵最常用的方法是直接刚度法，即由单 元刚度矩阵直接集成结构刚度矩阵，又可分为后处理法和 先处理法。 1. 后处理法 (1) 集成。对所有单元不做边界条件处理，均采用自 由式的单元刚度矩阵，按单元的结点编号将单元刚度矩 阵分为四个子块（阶数相同），逐块地将结点所对应的 子块在结构的原始刚度矩阵中对号入座，形成结构的原 始刚度矩阵。由于结点位移分量中包括了非自由结点的 已知位移，原始刚度矩阵为奇异的，需进行边界条件处 理，才能求解自由结点位移。由于原始刚度矩阵的阶数 较高，所以后处理法的主要缺点是占用较多的计算机内 存。
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( 1 )元素kij的物理意义为：当△j=1而其他位移分量为 零时产生在△i方向的杆端力。 （2）主子块Kii是由结点i的相关单元中与结点i相应的 主子块叠加而得。 （3）当i、j为相关结点时，副子块Kij就等于连接ij的杆 单元中相应的子块；若i、j不相关，则Kij为零子块。 （4）总刚度矩阵为对称矩阵。 （5）总刚度矩阵为稀疏带状矩阵。愈是大型结构， 带状分布规律就愈明显。 （6）总刚度矩阵主对角元素都大于零。通常是主对 角元素占优势的矩阵，因此，线形方程组的解有较好的稳 定性。
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对于每个结点位移分量数相同的结构，原始刚度矩 阵的阶数为结构的总结点数乘以结点位移分量的数目， 例如，每个结点位移分量数为3的平面刚架，结构原始 刚度矩阵的阶数为3n×3n 。
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（2）边界条件处理
对于刚性支座，用划行划列法处理刚性支座，即直 接划去原始刚度方程中与零位移对应的行和列。这样做 有时要改变原方程的排列顺序,会给编程带来麻烦。为了 不改变原方程的排列顺序，同时又要引入边界条件 ,采用 “主一副零”法。
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例如图示刚架，按图a 编码，d=3×(9+1)=30 ，而按 b 图编码，d=3×(3+1)=12 。
(a) 1 10 19 (b) 1 2 3 5 6 11 20 4 8 9 2 3 12 21 7 4 13 22 10 11 12 5 14 23 13 14 15 6 15 24 16 17 18 7 16 25 19 20 21 8 17 26 22 23 24 9 18 27 25 26 27
设结点位移向量中第r个位移等于零, 即r=0 ，则在 结构的原始刚度矩阵k中的第r行第r列中主对角元素krr改 为1其余元素改为零。同时将结点结点荷载列向量 P中的 第r个分量也改为零。 即 k rr 1 k rs k sr 0 ( s r ) Pr 0
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