人教版数学九年级上册《圆周角定理及其运用》ppt课件1

归纳：
定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论
半圆（或直径）所对的圆周角
C2
是直角;
C1
90°的圆周角所对的弦是直径．
C3
在同圆或等圆中，相等的圆周 A 角所对的弧相等
·O
B
练习：
D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
O.
X BA
B
A
B
C1 C2
C3
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3是 直角，那么∠AOB是 。 180°
A
O
B 推论：半圆（或直径）所对的 圆周角是直角；90°的圆周 角所对的弦是直径。
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
A
则∠AOC等于（ ）
A、50°；
B、80°；D
C、90°；
Hale Waihona Puke Baidu
D、100°
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，
∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN， 所以∠MAN＜∠MBN． 因此，甲应将球回传给乙，让乙射门.
如图所示，已知⊿ABC的三个顶点都在⊙O 上，AD是⊿ABC的高，AE是⊙O的直径. 求证：∠BAE＝∠CAD
A
B E
O DC
第二课时 应用
▪ 回顾：圆周角定理及推论？
▪ 思考：判断正误：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ ）
A C
●O
●O B
B B
圆周角和圆心角的关系
▪ 1.首先考虑第一种情况：
▪ 当圆心O在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆 周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
期望:你可 要理解并 掌握这个
分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用 数学方法从两点的静止状态加以考虑，如果两个点 到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置， 关键看这两个点分别对球门MN的张角大小，当张角 较小时，则球容易被对方守门员拦截.怎样比较A、B 两点对MN张角的大小呢？
解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一圆 ，这里不妨作出⊙BMN，显然，A点在 ⊙BMN外，设MA交圆于C，则
2.相等的圆周角所对的弧相等（ ）
3.90°角所对的弦是直径（ ）
4.直径所对的角等于90°（
）
5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）
例题
BC
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分
线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
B
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
2、如图，在⊙O中，AB为直径，⌒CB = ⌒CF,
弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC
例: 如图，AB是⊙O的直径AB=10cm, 弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长.
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于 哪一类三角解形：，（并1）说AB明=A理C由。
证明。：连接AD ∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
A
O· F
又∵DC=BD，∴AB=AC。
BDC
（2）△ABC是锐角三角形。
由（1）知，∠B=∠C＜90 °
连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 ° ∴△ABC是锐角三角形
C
6
A
O
B
P 10
D
练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两 点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
A
O 40° B
C
练习
5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多
少种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一
O
A
B
C
O
方法二
A D
·
B
方法四
O
例2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合 向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已 跟随冲到B点(如图2)．此时甲是自己直接射门好， 还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？
∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？
为什么？
C
O
B
A
•2.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且
∠BCD=100°，求∠BOD（ 所对的圆心角）
和∠BAD的大小。
A
O
D
B
C
探究
3、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦， 延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O 于点F，点F不与点A重合。
A C
●O
B
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD = ∠COD, ∴ ∠ABC
1∠AOD, ∠CBD =1
2
2
=
1 ∠AOC.
2
AD C
●O
能写出这个命题吗?
B
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
▪ 第三种情况：如果圆心不在圆周角的一边 上,结果会怎样?
▪ 3.当圆心O在圆周角(∠ABC)的外部时,圆 周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会 怎样?
1.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=35° ，
求∠BOC的度数。 ∠BOC =140° 2、如图，在⊙O中，B⌒C=2D⌒E， ∠BOC=84°， 求∠ A的度数。 ∠A=21°
3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ B
）
A
B
A、30°；
B、60°；
P
C、90°；
D、45°
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60
°
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于
B
（）
B
A、70°；
B、110°；
C、90°；4、如图D，、△12A0B°C的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
A C
●O
提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
B
A C
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
= 1∠COD,
2
B
●O
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
你能写出这个命题吗? 同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
巩固练习：
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？
B
D
A⌒C所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC
●O
∠ ADC的大小有什么关系？
C
B
规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半
D
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等.
A
B
如图, 若
⌒⌒
AC = BD
则 ∠ D=∠A
C
D
∴AB∥CD
探究与思考：
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90°。
C
在Rt△ABC中，
AB2 AC2 102 62 8
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
课本 练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
∠CAD=_5_0__°__；
4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为
(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_20°_；
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上的点。（1） 求证∠P＜ ∠AQB
（2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有怎样的关系？为 什么？
A
Qp O
B
D
A1
87
2
3
6
45
B
C
在同圆或等圆中，
圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
D
我们把顶点在圆心的周角等分
成360份时，每一份的圆心角是 1°的角。
O.
因为同圆中相等的圆心角所对
的弧相等，所以整个圆也被等分 B
C
成360份。我们把每一份这样的
弧叫做1°的弧。
在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧 的度数相等。
A C
●O
即 ∠ABC = 1∠AOC. 模型.
B
2
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
▪ 第二种情况：如果圆心不在圆周 角的一边上,结果会怎样?
▪ 2.当圆心O在圆周角(∠ABC)的内 部时,圆周角∠ABC与圆心角 ∠AOC的大提小示关:能系否会转怎化样为1?的情况?
是
顶点在圆上 ，两边和圆 相交。
不是
两边不和 圆相交。
不是
有一边和圆 不相交。
A
O B
⌒ ⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？
它们有什么共同的特点？
C 它们都对着同一条弧
实践活动
▪ 当球员在B,D,E处射
门时,他所处的位置对
球门AC分别形成三
个张角∠ABC,
∠ADC,∠AEC.这三个
角的大小有什么A关
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
2
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
1
∵AO=BO，
C2 O= AB,
A
·
B
O
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
1 ∴ ∠2 ∴ △ABCA为直角三角形. C
课堂练习
▪ 1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
24.1.4 圆周角
复习旧知：请说说我们是如何给 圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆 相交的角叫做圆周角．
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
问题探讨：
P
P 不是
顶点不 在圆上 。
A
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
C G
A
O
在同圆或等圆中，如果两个
F 圆周角相等，它们所对的弧
B
E
一定相等．
▪ 当球员在B,D,E处射
门时,他所处的位置对 球门AC分别形成三
A
C
个张角∠ABC,
E
∠角A的D大C,小∠A有E什AC.么这关三个 系?. E
则⊙O的半径是 2 。
解：连接OA、OB
A
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
A ED
O
C
C
O
B
3：已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
圆心角为60度
O
圆周角为 30 度
或 150 度。
A
系?.
E
●O B
D
A
E B
C D
A⌒C所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小 C 有什么关系？
你能发现什么规律？
画一个圆,再任意画一个圆周角,看一 下圆心在什么位置?
圆心在一边上 圆心在角内
圆心在角外
A ●O
▪ 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们
的大小有什么关系?
A
C
C