电磁场与电磁波(矢量分析)

l
M
P
直角坐标系中哈密顿算符表示为
ax ay az x y z
直角坐标系中梯度计算公式为
grad a x ay az x y z
柱坐标系中的哈密顿算符和梯度计算公式为
1 a r a az r r z 1 grad ar a az r r z
球坐标系中的哈密顿算符和梯度计算公式为
1 1 ar a a r r r sin 1 1 grad ar a a r r r sin
1.4 矢量场的通量 散度
一、通量 空间面元矢量：
E
4 0 r
r r0 的球面上，电场强度 E

在
r r0
u u N
◇ 定义标量函数 u( x, y, z) 沿给定方向 l 的变化率。 an l
M
u u u u u lim lim PM l u 0 u0 PM
u
P
u x , y , z , 为标量场 在P点沿 l 方向的方 向性导数。其大小与方向 l 有关。
0
对于有限大体积 ，可将其按如图 方式进行分割，对每一小体积元有
div A lim
0

S
div A 1 S1 A d S 1 div A 2 A dS 2
S2
)

微分线元： 坐标线元：
度量系数：
R ar r A ar Ar a A a A dR ar dr a rd a r sin d
ar a a
dlr dr
hr 1
dl rd
h r
dS nds
面元大小 与面元垂直 的单位矢量
的指向有两种情况： n
手螺旋法则
（1）对开曲面上的面元， n 的取法要求围成开表面的边界走向与 n 满足右 n （2）对闭合面上的面元，
一般取外法线方向
定义矢量 A沿有向曲面S 的面积分 A dS S 为矢量 A 穿过有向曲面S 的通量
Ax Ay Az divA x y z
矢量场 A 的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量 A 的标量
积， 即
divA A
直角坐标系中的散度计算公式为
A Ay Az divA x x y z
柱坐标系中的散度计算公式：
1 1 A Az divA (rAr ) r r r z
dl r sind
h r sin
面积元：
dSr dl dl r 2 sin dd dS dlr dl r sin drd dS dlr dl rdrd
体积元：
d dlr dl dl r 2 sindrdd
1.2.4 三种坐标系的坐标变量之间的关系
Ax Ay Az Ax Ay Az A dS ( )xyz ( ) x y z x y z s
代入式散度计算公式得
0
Lim
A dS
s

Ax Ay Az x y z
直角坐标系中的散度计算公式为
梯度
大小：最大方向性导数 标量场 u x, y, z, 在P点的梯度是一个矢量 方向：最大方向性导数所在的方向
故 grad u a n u n
◇ 由方向性导数的定义可知：沿等值 面法线 a n 的方向性导数最大。
可得 du
du dn du du cos a n al dl dn dl dn dn u u grad u a l du ( gradu) dl grad u a n l n
d rdrddz
M点处沿(r, ,z)方向的长度元分别是：
度量系数分别是：
dlr dr dl rd dlz dz
hr 1
h r
hz 1
1.2.3球面坐标系
坐标变变化范围是:
0r 0 0 2
右手螺旋法则：
位置矢量： 矢量表示：
第1章 矢量分析
1.1 场的概念和表示法
1.2 三种常用的坐标系
1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量 散度 1.5 矢量场的环流 旋度 1.6 亥姆霍兹定理
1.1
场的概念和表示法
一 1、场的定义与分类： 一个确定区域中的场被定义为：物理系统中某物 理量在该区域的一种分布。如果被描述的物理量是 标量，则定义的场被称为标量场；如果被描述的物
div Ad

n2 n1
V

S
Ad S
高斯定理
n1=-n2

S
A d S div Ad Ad
v v
式中S为 的外表面
• 该公式表明了区域 中场与边界S上的场 A 之间的关系。
例1.4.1 点电荷 q 位于球坐标原点，此电荷的电场强度在空间中分布如下
（1）直角坐标与柱坐标系的关系
x r cos y r sin zz
r x2 y2
tg 1
zz
y x
（2）直角坐标与球坐标系的关系
x r sin cos y r sin sin z r cos
r x2 y2 z2 z x2 y2 z2
理量是矢量，则定义的场被称为矢量场。 场的分类： 标量场与矢量场 静态场与时变场 2、场的描述与场函数：场的描述方法有多种：列表法、
函数法等，描述场在空间中分布的函数称为场函数。
3、场的值或场量：物理量在场空间中一点的取值
二、标量场 空间某一区域定义一个标量分布，如温度,电位,高度等，可以用一个标量函 数来描述，其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。
Ay
Az Az A x y ( A z ) x y xyz z z 上下一对表面穿出的净通量 z z
前后一对表面穿出的净通量 A yz ( A Ax x)yz Ax xyz x x
x
x
故从平行六面体穿出的净通量为
R ax x a y y az z
dz 1 dz
dSz dxdy
d dxdydz
1.2.2圆柱坐标系
0r
坐标变化范围是: 右手螺旋法则：
位置矢量： 矢量表示：
微分线元： dR ar dr a rd a z dz
面积元： 体积元：
u ( x, y , z , t )
5 xyzt [(x 1) 2 ( y 2) 2 z ]
三、矢量场 空间某一区域定义一个矢量分布，如速度场,电场、磁场等，可用一个矢量函 数来描述,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。
A( x, y, z) ax x ay xy az yz
右手螺旋法则
位置矢量:
A a x Ax a y Ay a z Az 矢量表示： dR ax dx a y dy az dz
微分线元： 度量系数： 面积元： 体积元：
hx dx dy 1 hy 1 dx dy dSy dxdz dSx dydz hz
co s1 ty 1
y x
（3）柱坐标系与球坐标系的关系
r r sin z r cos
'
r
r '2 z 2 z r '2 z 2
cos1
1.3 标量场的梯度
一、 方向性导数与梯度 等值面：标量场中量值相等的点构成的面。 u x, y, z c 方向性导数 ◇ 考虑标量场中两个等值面 u, u u
球坐标系中的散度计算公式：
1 A 1 1 A divA 2 (r 2 Ar ) (sin ) r sin r sin r r
四、高斯定理(散度定理)
div A lim

S
Ad S
A dS
在直角坐标系中梯度的计算公式推导
d dx dy dz x y z
dl ax dx a y dy az dz
grad a x ay az x y z
u
u
u u N
an
ax a y az x y z
若S 为闭合曲面
s
A cos ds A dS
S
矢量场的通量
二、散度 如果包围点P 的闭合面S 所围区域 以任意方式缩小为点P 时, 通量与 体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场 A 在P 点的散度。即
div A lim

E ar q 4 0 r 2 1
（1）计算在 穿出的通量。 （2）计算空间各点（r 0 ）电场强度 E 的散度。 a 解：位于坐标原点的电荷的电场，电场强度的方向总在 r 方向上，呈发散状分布。 1 q 2 在 r r0 球面上任取一面元 ，则 E dS E r dSr r sin dd 2
3 2 A( x, y, z, t ) ax xt ay xyt az yzt
1.2 三种常用正交坐标系
1.2.1 直角坐标 系
坐标变变化范围是:
y
ax a y az
x
z
R ax x a y y az z
S
AdS
0
三、散度的物理意义 ◇ 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。 ◇ 散度代表矢量场的通量源的分布特性。
• A A= 0 (无源）
= 0 (正源) A
A= 0 (负源)
源密度；若矢量场中处处 A
在矢量场中，若 A = 0，称之为有源场， 称为(通量)
=0，称之为无源场。
散度的计算公式的推导： 在直角坐标系中，曲面上的通量可表示为
A dS Ax dS x Ay dS y Az dS z
s
在闭合面上 A 的通量为
A dS Ax dS x Ay dS y Az dS z
s s
s
在直角坐标系中，研究的点P ( x, y, z) 为顶点作一个平行六面体， 其三个边分别为
x, y, z
矢量
A
穿出此六面体表面
的通量为 A
穿出三对表面的通量之和。
左右一对表面穿出的净通量 Ay xz ( Ay y y )xz y xyz
Ay
dS dlr dlz drdz
R ar r a z z A ar Ar a A a z Az
z ar a a z
0 2
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dSr dl dlz rddz dS z dlr dl rdrd