中级宏观经济学(第5章)-拉姆齐模型

0
e
Rt
A t L t A 0 L 0 Rt A t L t ct dt k 0 e wt dt （5-13） 0 H H H
由于A(t)L(t)等于 A 0 L 0 e n g t ，将这一结果代入上式， 同时两边除以 A 0 L 0 ，可以得到下式：
c ( t ) r ( t ) n g r ( t ) g c( t )
式(5-20)利用了 n 1 g 的定义。

(5 20)
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－效用最大化（续）
由于C(t)(指每个工人的消费，而不是每单位有效劳动的消费) 等于c(t)A(t)，因此C的增长率等于c的增长率加上A的增长率。从式
1
U e t
0

C t 1
1
1 nt Lt c t L 0 e 1 1 gt dt dt = 0 e t A 0 e 1 H H 1
H
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－目标函数（续）
R t K 0 Lt e W t C t dt 0 （5-7） 0 H H
我们可以写出从t＝0到t=∞的积分形式作为一种极限。这样，
式(5-7)就等价于：
s R t K 0 Lt lim[ e W t C t dt] 0 （5-8） 0 s H H
里的预算是排除这样一种计划的。
附录－非蓬齐条件
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－目标函数
理性家庭总是想在上述预算约束条件下将其终生效用最大化。
定义c(t)为每单位有效劳动的消费，因此每个劳动力的消费C(t)等
于A(t)c(t)。这样，家庭的瞬时效用等于：
C t 1
1
ct A 0 e （5-11） 1 把式(5-11)以及在前面已提到的 L t L 0 ent 代入目标函数式 (5-1)和式(5-2)，得到：
lim e
s
R s
e
n g s
k S 0 （5-15）
研究家庭的基本问题就是在式(5-14)的预算约束条件下，如何 选择c(t)的路径去实现如式(5-12)所表示的终生效用最大化。由于 消费的边际效用总是为正，家庭将以等式满足其预算约束。可以利
用目标函数式(5-12)和预算约束式(5-14)来构造拉格朗日函数：
接受大的消费变动，这样就可以充分利用贴现率与从储蓄中获
得的报酬率之间的差额。
第一节 拉姆齐问题
厂商行为
厂商行为相对简单。在每个时点上，他们租用劳动与资本进行生 产，并按这些要素各自的边际产品支付报酬，并出售所生产的产出。 由于生产函数具有不变的规模报酬，经济是竞争性的，厂商因此获得
F K , AL 正常利润。我们知道，资本的边际产品为 =f k K
1
A t c t 1
1
gt A 0 e c t 1 1 1
1
1 gt
L 0 t 1 gt nt c t =A 0 e e e dt 0 H 1 1 t c t B e dt （5-12） 0 1 L 0 1 上式中，B A 0 , n 1 g
为家庭数量]。假设没有折旧。在每个时点上，家庭将其收入在消费与储
蓄之间进行分配，以服从其终生效用最大化的目标。
第一节 拉姆齐问题
家庭效用函数
设家庭具有以下效用函数：
U e
0

t
Lt u C t dt（5-1） H
上式中，C(t)是在t时刻家庭每个成员的消费。U(· )是瞬 时效用函数。L(t)是经济的总人口，L(t)／H是每个家庭的成 员人员。 u C t L t 是t时刻家庭的总瞬时效用。ρ是贴现率， H ρ越大，则家庭对未来消费的估价就越小。
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－效用最大化
1
B来自百度文库e
0

t
R t R t n g t n g t k 0 e e w t dt- e e c t dt （5-16） 0 0
R t Lt K 0 Lt C t dt e W t dt （5-6） 0 H H H


0
e
R t
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－预算约束（续）
在许多情况下，对式(5-6)进行求解是困难的。因此，我们可 以用家庭的资本持有量的极限行为来表示其预算约束。为此，我们 对式(5-6)整理如下：
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－预算约束（续）
在s时刻，家庭资本持有量为：
R s R t K s Lt R s K 0 e e W t C t dt （5-9） 0 H H H
上式中，
e R s
K 0 H
第一节 拉姆齐问题
家庭效用函数（续）
瞬时效用函数可以采取如下的形式：
C t u C t 0, n 1 g 0 （5-2） 1
1
这个函数形式表现了使经济收敛于平衡的增长路径。它就是 著名的相对风险厌恶不的效用函数，这是因为该函数的相对风险 Cu '' C 厌恶系数(它被定义为 )是θ，它独立于C。 ' u C
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－预算约束（续）
lim e
s
R s
K s 0 （5-10） H
式(5－10)就是著名的非蓬齐博弈条件(No-Ponzi-game)。蓬齐 博弈是指这样一种计划：一些人发行债券并永久性地滚动这些债务。 也就是说，当发行人通过新债券获得借款时，他总能够用所获得的 借款去支付旧债务。这样，这种计划就允许发行人拥有的终生消费 现值超过其终生资源现值。从式(5-6)或式(5-10)中可以看出，这
附录－拉姆齐模型概述
第一节 拉姆齐问题
模型假设条件
拉姆齐提出的问题是一个国家应当储蓄多少，并用模型去求解，
此模型就是现在研究资源的跨期最优配臵的原型。模型假设条件如下：
(1)存在着大量相同的厂商，每个厂商的生产函数为Y=F(K,AL)。 厂商在竞争件要素市场上雇佣工人、租借资本，并在竞争性产出市场
H


0
e
R t
cte
n g t
dt k 0 e Rt w t e n g t dt （5-14）
0

第一节 拉姆齐问题
家庭行为－目标函数（续）
最后，由于K(s)与k(s)e(n+g)s成比例，就可以把式(5-10)预算
约束的非蓬齐博弈条件表达式改写成：
表示在s时刻家庭初始财富对其总财富的
Lt W t C t H dt
贡献。在t时刻，家庭的储蓄是
(可以是负值)；
eR s Rt 则表明从t时刻到s时刻该储蓄值的变动状况。
式(5-9)表达式是 e R s 与式(5-8)的大括号中的表达式的乘
积，预算约束写成下式：
式(5-18)两边相等，因此给两边求关于t的导数后也相等。这个条 件就是：
c( t ) r (t ) (n g ) c( t )


(5 19)
这里利用了一个变量的对数关于时间的导数等于其增长率的概 念。由式(5-19)可以求解出 c( t ) c( t )，从而得到：
第一节 拉姆齐问题
家庭效用函数（续）
由于在这个模型中不存在不确定性，因此与家庭的风险态 度并不直接相关，其实θ也决定了家庭将消费在不同时期的转 移意愿：θ越小，随着消费的上升，边际效用的下降速度越慢， 导致家庭越愿意允许其消费随时间变动而变动。如果θ接近于
零，这样，效用对于C来说几乎是线性的，这样家庭就更愿意
ct dt 1
在每个时点家庭选择c，这样就会形成无限多个c(t)。对每一单 个c(t)，其一阶条件是对于任意的t：
Be
画的。
t
ct

e
Rt
e
n g t
（5-17）
家庭行为的特征实际上就是由式(5-17)和预算约束式(5-14)来刻
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－效用最大化（续）
为了理解式(5-17)对消费行为的含义，可以对这一公式展开进 一步的分析。首先给公式两边取对数：
lnB-t-lnc t ln R t n g t t ln r d n g t （5-18） 0 t 式(5-18)中利用了 R t 0 r d 的定义。注意到，对于每个t，
'
第一节 拉姆齐问题
家庭行为－预算约束
假设家庭对于r和w的路径给定，家庭的预算约束是其终生消费 的贴现值不能超过其初始的财富与其终生劳动收入的现值之和。设 每个家庭有L(t)／H个成员，在t时刻其劳动总收人为W(t)L(t)／H， 其消费支出为C(t)L(t)／H。在初姑时刻，家庭的初始财富是经济总 初始财富的1／H，或等于K(0)／H。因此，家庭预算为：
AL
' 上述生产函数的紧凑形式，它可写成 A f k kf k
。因此在c
时刻，真实工资是：
' W t A t f k t k t f （5-4） k t
这样，每单位有效劳动的工资是：
w t f k t k t f k t （5-5）
第五章 无限期界与代际交叠模型
第一节 拉姆齐问题 第二节 拉姆齐模型的动态分析 第三节 代际交叠中的两期寿命 第四节 戴蒙德模型的动态分析
引言
索洛模型将储蓄看成是一种外生变量，并且模型对技术进步不 予解释。拉姆齐-卡斯-库普曼模型（Ramsey－Cass－Koopmans ） 与索洛模型的最大区别在于将经济总量的动态分析建立在微观层次 上。在模型中，资本存量的变动是从竞争性市场中的家庭效用最大 化和厂商利润最大化之间的相互作用中推导出来，这样，储蓄就不 是外生的了。
再来讨论式(5-6)的预算约束。在t时刻，家庭总消费C(t)L(t) ／H等于每单位有效劳动的消费乘以家庭的有效劳动数量A(t)L(t) ／H。同理，在t时刻家庭的总劳动收入等于每单位有效劳动的工 资w(t)乘以A(t)L(t)／H ，其初始资本持有量等于0时刻每单位有 效劳动的资本量k(0)乘以A(t)L(t)／H 。因此，可以把式(5-6)家 庭预算约束改写成下式：
'
。由于市场是
竞争性的，资本只能获得其边际产品。由于不存在折旧，资本的真实
报酬率等于其每单位时间的收入，因此，在t时刻，真实利率为：
r t f k t （5-3）
'
第一节 拉姆齐问题
厂商行为（续）
劳动的边际产品为
F K , AL L
，它也等于 AF K , AL 。根据
出售产品。与索洛模型相同，厂商将A取做给定的，A以g速率外生地增
长。厂商以利润最大化为目标。由于企业由家庭所有，因此企业利润 归于家庭。
(2)同样存在着大量相同的家庭。家庭的规模以n速率增长。家庭
的每个成员在每个时点供给一单位的劳动。家庭将其拥有的资本租借 给厂商。家庭拥有数量为K(0)／H的初始资本[其中K(0)是经济中的资本初始量，H