四边形经典测试题及答案

四边形经典测试题及答案

一、选择题

1．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（）

A．6

5

B．

8

5

C．

12

5

D．

24

5

【答案】D

【解析】

【分析】

连接AD，根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．

【详解】

解：连接AD

∵AB=AC，D为BC的中点，BC=12，

∴AD⊥BC，BD=DC=6，

在Rt△ADB中，由勾股定理得：2222

1068

AB BD=+=，

∵S△ADB=1

2

×AD×BD＝

1

2

×AB×DE，

∴DE=

8624

105 AD BD

AB

⨯⨯

==，

故选D．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．

2．下列命题错误的是（）

A．平行四边形的对角线互相平分

B．两直线平行，内错角相等

C ．等腰三角形的两个底角相等

D ．若两实数的平方相等，则这两个实数相等

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】

解：A 、平行四边形的对角线互相平分，正确；

B 、两直线平行，内错角相等，正确；

C 、等腰三角形的两个底角相等，正确；

D 、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故D 错误；

故选：D.

【点睛】

本题考查了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.

3．如图，四边形ABCD 是菱形，30ACD ∠=︒，2BD =，则AC 的长度为（ ）

A ．23

B ．22

C ．4

D ．2

【答案】A

【解析】

【分析】 由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，由直角三角形的性质，得到BO=1，BC=2，根据勾股定理求出CO ，即可求出AC 的长度.

【详解】

解，如图，

∵四边形ABCD 是菱形，

∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，

∵2BD =，

∴BO=1，

在Rt △OBC 中，30BCO ACD ∠=∠=︒，

∴BC=2， ∴22213CO =-=； ∴23AC =； 故选：A.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出OC 的长度.

4．如图 ，矩形 ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点 N .则 DM +CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )

A ．a

B ．45 a

C 2

D 3 【答案】C

【解析】

【分析】 根据“AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=DM CN DE CE

= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD ，AB=CD=a ，DM+CN 的值即可求出．

【详解】

∵AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，

∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，

∴00cos 4545D CN

M

cos +=CD ，

在矩形ABCD 中，AB=CD=a ，

∴DM+CN=acos45°2a. 故选C.

【点睛】

此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=DM CN DE CE =

5．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（ ）

A ．12

B ．1

C 3

D 31

【答案】D

【解析】

【分析】

分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．

【详解】

解：在菱形ABCD 中，

∵∠ABC=60°，AB=1，

∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，

①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P 与点A 重合时，PD 值最小，最小值为1；

②若以边PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点B 为圆心，BC 长为半径作圆，与BD 相交于一点，则弧AC （除点C 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在BD 上时，PD 31

③若以边PB 为底，∠PCB 为顶角，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点D 重合时，PD 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；

上所述，PD 的最小值为31

故选D ．

【点睛】

本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

6．正九边形的内角和比外角和多（ ）

A ．720︒

B ．900︒

C ．1080︒

D ．1260︒

【答案】B

【解析】