电路第七章正弦稳态分析3

所以
pf
cos Z
cos(36.9) 课件
0.8（导前）
24
例18 感性负载接在U=220V,f=50Hz
的交流电源上,其平均功率P=1.1KW,功
率因数pf=0.5，欲并联电容使负载的功
率因数提高到0.8(滞后),求电容。
解：负载电流有效值:
P
1.1103
I
10A
U pf 220 0.5
I' I
课件
30
负载电流：
I Uoc
Uoc
Z0 ZL R0 jX0 RL jX L
I
Uoc
(R0 RL )2 ( X 0 X L )2
负载吸收的平均功率：
P
I 2 RL
( R0
U
2 oc
RL
RL )2 ( X 0
X L )2
课件
31
当XL=-Xo时，分母最小，此时
P
U
2 oc
RL
(R0 RL )2
的电流，功率因数变大，电源电流的有
效值由原来的10A减小到6.25A，提高
了电源效率。
课件
27
例19 电路工作于正弦稳态，已知电压 源电压为 uS(t) 2 2 c.o试s t 求V 该电压源发出 的平均功率。
解：电路的相量模型如图(b)所示。先
求出连接电压源单口网络的等效阻抗
(j1)(j1 1 j1)
课件
10
定义：无功功率
把瞬时功率的振幅(最大值)定义为电 感和电容的无功功率，以表明电感和电 容与外电路电流和电压不断往返的程度。 即
QL UI QC UI
课件
11
3、任意二端网络的情况
P U IcosZ
设二端网络
Z R jXY G jB
P UI cos Z I 2 R U 2G
cos
t
Im
cos(
t
2
)
U m cos t ( Im sin t )
1 2 UmIm
sin
2 t
UI
sin
2 t
pL (t)
Um
cos
t
Im
cos(
t
2
)
U m cos t ( Im sin t )
1 2 UmIm
sin
2 t 课件
UI
sin
2 t
9
是频率为2的正弦量，在一段时间内
UI cos Z UI cos(2 t 2u Z )
Z=u-i是电压与电流的相位差。瞬时功 率由一个恒定分量和一个频率为2ω的正
弦分量组成，周期性变化，当p(t)>0时，
该网络吸收功率；当p(t)<0时，该网络发
出功率。瞬时功率的波形如图所示。
课件
3
UIcos
Z
Z
课件
4
2、平均功率(有功功率) 简称功率:在一个周期内的平均值：
P I2P U2 GR
电阻分量消耗的平均功率，就是单口
网络吸收的平均功率课件。
12
3、视在功率
S UI
表示一个电气设备的容量，是单口网 络所吸收平均功率的最大值，单位： 伏安(VA)。例如我们说某个发电机的 容量为100kVA，而不说其容量为 100kW
课件
13
4、功率因数
网络吸收的平均功率P与cosZ的大小
维南定理(其中 Zo=Ro+jXo)，则在负载阻
抗等于含源网络输出阻抗的共轭复数(即
）时ZL，
*
Zo
负载可以获得最大平均功率：
Pmax
U
2 oc
4 Ro
满足
ZL
的Z* o匹配，称为共轭匹配。 课件
33
例20 图示电路，已知ZL为可调负载,试
求ZL为何值时可获最大功率?最大功率
为多少? 2 a
a
+ 10∠0o V
课件
15
5、无功功率
p(t) U I cosZ U I cos(2 t Z ) U I cosZ U I cosZ cos 2t U I sin Z sin 2 t U I cosZ (1 cos 2 t) U I sin Z sin 2 t
上式第二项的最大值为二端网络的无功 功率 Q 。即
课件
21
8、功率三角形
S Q
ZP
阻抗三角形，导纳三角形，电压三角 形，电流三角形和功率三角形都是相 似三角形。
课件
22
例17 电路相量模型如图，端口电压的
有效值U=100V.试求该网络的P、S~Q、
、S、pf。
解:设端口电压相量 为： U 1000V
-j14
+
U 16
-
j16
网络的等效阻抗：
Z j14 16 j16 j14 8 j8 16 j16
2
S~
US
*
I1
2
245 2 j2 P Re( S~) 2W
3
P发出
I12 R1
I
2 2
R2
2
0.5
11
2W
4 P发出 I12 Re( Z ) I12 Re(1 j1) 21 2W
课件
29
7-6-2 最大功率传输
图(a)所示含独立电源网络用戴维南等效 电路代替，得到图(b)。其中， U是oc含源网 络的开路电压，Zo=Ro+jXo是含源网络的 输出阻抗，ZL=RL+jXL是负载阻抗。
u(t) Um cos( t u ) 2U cos( t u )
i(t) Im cos( t )课i件 2I cos( t i ) 2
瞬时功率为
p(t) u(t)i(t) Um cos( t u )Im cos( t i )
1 2
U
m
I
m
[cos(
u
i
)
cos(2 t
u
i )]
2
1000
8.26W
2 若采用匹配网络满足共轭匹配条件，
1000Ω负载电阻可能获得的最大平均功
率为
PL
100 100 100
2
100
25W
可见，采用共轭匹配网络，负载获得的
平均功率将大大增加。
课件
38
3 设计一个由电感和 电容构成的网络来满 足共轭匹配条件，以 使负载获最大功率。
Z 0.5 j1.5
0.5 j1.5 0.5 j0.5 1 j1
1 j1 课件
28
用欧姆定律求电流 分流公式求电流
I1
US Z
20 1 j1
2 45A
I2
j1 1 j1
I1
j1 2 45
2 45 j1 1 90A
可用以下几种方法求电源发出的平均功率
1 P发出 USI1 cos Z 2 2 cos45 2W
7-6 正弦稳态电路的功率
本节讨论正弦稳态单口网络的瞬时
功率、平均功率(有功功率)、无功功
率、视在功率、复功率和功率因数。
正弦稳态单口网络向可变负载传输最
大功率的问题。
课件
1
7-6-1 二端网络的功率
1、瞬时功率
端口电压和电流采用关联参 考方向，它吸收的功率为
p(t) u(t)i(t)
正弦稳态时 ，端口电压和电流是相同 频率的正弦量，即
p(t) UI UI cos(2t 2u )
波形如图。p(t)在任
何时刻均大于或等
于零，电阻始终吸
收功率和消耗能量
。
课件
6
此时平均功率：
P UI I 2R U 2 R
用电压、电流有效值后，计算电阻消耗 的平均功率公式，与直流电路中相同。
若用电流、电压的振幅值，上述公式为
P
1 2
U
m
I
m
课件
20
正弦稳态电路中，由每个独立电源发出 的有功功率的总和等于电路中其它元件 所吸收的有功功率的总和；由每个独立 电源发出的无功功率的总和等于电路中 其它元件所吸收的无功功率的总和：
P发出 P吸收
Q发出 Q吸收
由此可得网络吸收的有功功率等于该网
络内每个电阻吸收的平均功率总和。注
意正弦稳态电路中视在功率并不守恒。
p(t)>0，电感或电容吸收功率获得能量 ；另外一段时间内p(t)<0，电感或电容 发出功率释放出它所获得的全部能量。
显然，平均功率为 P 0
可见，电感和电容不消耗能量，它们是
无源元件。但要注意，它们的瞬时功率
并不为零。或者说，电感和电容需要电
源(外电路)供给一定的瞬时功率以满足
能量不断的往返交换。
-
j2
ZL
b
Z+ 0
U-oc
ZL
b
解：ab以左运用戴维南电路,得右图。
UOC
2
j2 j2
100
5
245 V
课件
34
ZO
2 2
j2 j2
1
j1
所以,当
ZL
*
ZO
时1 , j1
可获最大功率.
Pmax
U
2 oc
4Ro
(5 2)2 41
12.5 W
课件
35
在通信和电子设备的设计中，常常要求 满足共轭匹配，以便使负载得到最大功 率。在负载不能任意变化的情况下，可 以在含源单口网络与负载之间插入一个 匹配网络来满足负载获得最大功率的条 件。
1 2课I件m
2
R
1 2
Um2 R
7
2、网络等效阻抗为一个电抗。 此时单口网络电压与电流相位为正交关
系，即Z=u-i =90, (+电感－电容)
pL (t) UI cos(2 t 2u 90)
pC (t) UI cos(2 t 2u 90)
课件
8
若假设电压初相为零，得
pC
(t )
Um
Q UIHale Waihona Puke Baidusin Z
可验证L和C时的特殊情况。
课件
16
无功功率反映电源(或外电路)和单 口网络内储能元件之间的能量交换 情况，单位为乏(var)(无功伏安： volt amper reactive)
与功率计算类似:
Q UI sin Z I 2 X U 2B
Q I2Q U2
B
X
课件
17
1T
P T 0 p(t)dt
1 T
T
0 [YI cos Z UI cos(2 t u i )]dt
UI cos Z
平均功率不仅取决于电压电流有效值乘
积VI，还与阻抗角Z=u-I有关。
课件
5
几种特殊情况。
1、网络等效阻抗为一个电阻。
此时网络电压与电流相位相同，即
Z=u-i=0, cosZ=1，
课件
36
例21 单口网络如图，电源角频率
ω=1000rad/s,为使RL从单口网络中获
得最大功率，试设计一个由电抗元件组 成的网络来满足共轭匹配条件。
100 a
+
100∠0o V
-
b
RL=
1000
课件
37
解：1 若不用匹配网络，将1000Ω负载
与电抗网络直接相连时，负载电阻获得
的平均功率为
PL
100 100 1000
密切相关，cosZ表示功率的利用程度
，称为功率因数
pf
cos Z
P S
Z=u-i为功率因数角。当二端网络
为无源元件R、L、C组成时：
|Z|<90 ,0< pf <1。
Z<0
,电路呈容性，电流导前电压； Z>0
,电路感呈性，电流滞后电压。
课件
14
为了提高电能的利用效率，电力部门 采用各种措施力求提高功率因数。例 如使用镇流器的日光灯电路，它等效 于一个电阻和电感的串联，其功率因 数小于1，它要求线路提供更大的电流。 为了提高日光灯电路的功率因数，一 个常用的办法是在它的输入端并联一 个适当数值的电容来抵销电感分量， 使其端口特性接近一个纯电阻以便使 功率因数接近于1。
8 j6 10 36.9
课件
23
因此
I1
U Z
1000 10 36.9
1036.9A
故：
S~
US
*
I1
1000
10
36.9
1000 36.9 800 j600 VA
S S~ 1000 VA
P Re[ S~] 800 W Q Im[ S~] 600 Var
由于 Z 36.9
UI
U(UY )
UV
Y
U2Y
注意：电流、电压若用振幅值时，不要 忘了要乘1/2。
课件
19
7、复功率守恒
复功率守恒定理：对于工作于正弦稳态 的电路，由每个独立电源发出的复功率 的总和等于电路中其它电路元件所吸收 复功率的总和：
S~发出 S~吸收
由此可以导出一个正弦稳态电路的有功 功率和无功功率也是守恒的结论。
6、复 功 率
为了便于用相量来计算平均功率，引
入复功率。工作于正弦稳态的网络，其
电压电流采用关联的参考方向，设
U Uu I Ii S~ UI* UIu i UI Z
I
U N
UI cosZ jUIsin Z P jQ
单位：VA
课件
18
复功率还有两个常用的公式：
~
S
UI
ZII
I
2Z
~
S
求导数，并令其等于零。
dP dRL
(R0 RL )2 2(R0 RL )RL (R0 RL )4
U
2 oc
0
得 RL=Ro。 负载获得最大功率的条件是
*
ZL RL jXL Z o Ro jXo
所获最大功率：
课件
Pmax
U
2 oc
4 Ro
32
最大功率传输定理：工作于正弦稳态的
网 络 向 一 个 负 载 ZL=RL+jXL 供 电 ， 由 戴
I' 6.25 36.9A
I'
U
IC I
课件
26
IC I'I 6.25 36.9 10 60 5 j3.75 - (5 - j8.66) 4.9190A
由于: 得:
IC CU
C IC 4.91 71μF
U 314 220
并联电容后，不会影响电阻吸收的平均
功率。但电容电流抵消了部分感性负载
UC
IC
感性 负载
感性负载的阻抗角: Z arccos 0.5 60
设电压相量为： U 2200V
课件
25
则负载电流相量: I 10 60A
并联电容后，电源电流有效值:
I ' P 1.1103 6.25A U pf ' 220 0.8
由于pf’=0.8 (滞后), 因此功率因数角: Z ' arccos 0.8 36.9