二项式定理2

n−1
n+1
Cn2 = Cn2
n−1
当r≤
2
时，
C
r n
单调递增；
当r≥
n
+ 2
1
时，
C
r n
单调递减；
例题分析
例2．证明： （1）(a + b)n 的展开式中,各二项式系数
的和为2n； （2） (a + b)n的展开式中，奇数项的二
项式系数的和等于偶数项的二项式 系数的和。
小结：求解二项式系数和时，灵活运用赋值
(3) a0 + a1 + a2 ++ a7
解:设f (x) = (3x −1)7
（3）ff因 (−(11)为 )==aa−01a,+0a+a3a1,1+a−5aa,22a++7a是3 ++负a7+数a7
所以a0 + a1 + a2 ++ a7 = a0 − a1 + a2 −− a7
= −(−a0 + a1 − a2 ++ a7)= − f (−1) = −(−4)7= 47
r
归纳提高 一般地，(a + b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
性质1 (对称性)：
在二项展开式中，与首末两端“等距”的
两项的二项式系数相等。即
Cr n
= C n−r n
注：在杨辉三角表里，每一个数都等 于它肩上两个数的和
即:
Cr n+1
=
C r−1 n
+
Cnr
归纳提高
归纳提高
性质3(各二项式系数的和) ：
C 0 + C1 + C 2 + + C n = 2n
n
n
n
n
性质4(奇数项的二项式系数和等于偶数项 的二项式系数和)：
C0 + C2 + C4 += C1 + C3 + C5 +
n
n
n
n
n
n
求奇数(次)项偶数(次)项系数的和
例3已知(3x −1)7 = a0x7 + a1x6 + + a6x + a7
(1) a1 + a3 + a5 + a7 = 26 − 213 = −8128
(2) a0 + a2 + a4 + a6 = f (1) − (a1 ++ a7) = 8256
求奇数(次)项偶数(次)项系数的和
例3已知(3x −1)7 = a0x7 + a1x6 + + a6x + a7
求(1)a1 + a3 + a5 + a7 (2)a0 + a2 + a4 + a6
= [(x −1) +1]5 −1 = x5 −1
逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点,也是重点,只 有熟练掌握公式的正用,才能掌握逆向应用和变式应用
观察猜想
(a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnran-rbr+…+Cnnbn
展开式的二项式系数有什么变化规律？ 二项式系数最大的是哪一项？
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
CC22rr00
320−r 320−r
2r 2r
C r+1 20
319−r
C r−1 20
321−r
2r+1 2r−1
37 r 42 55
r =8
3(r +1) 2(20 − r) 2(21− r) 3r
所以当r = 8时，系数绝对值最大的项为
x
x
= C80(
x+
1 x
)8
+
C81
(
x+
1 x
)7
+
+
C87
(
x+
1 x
)
+
C88
再利用二项式定理逐项分析常数项得
C80C84 + C82C63 + C84C42 + C86C21 + C88
=1107
例9 (x2 + 3x + 2)5的展开式中 x 的系数是____2__4_0____
解：原式化为[(x2 + 2) + 3x]5
s
5−s
16−r−2 s 2
由题意知 16−r−2 s
2
=6
r + 2s = 4 (r = 0 6, s = 0 5)
r = 0 r = 2 r = 4 解得 s = 2 s = 1 s = 0
所以 x6 的系数为:
C52C60 (−1)2 23+ C51C62(−1)24 + C50C64(−1)0 25
+ Cnn 2n
例1 计算并求值
(1) 1+ 2Cn1 + 4Cn2 + + 2nCnn
(2) (x −1)5 + 5(x −1)4 +10(x −1)3 +10(x −1)2
+ 5(x −1)
解:(2)原式= C50 (x −1)5+C51(x −1)4+C52(x −1)3
+C53(x −1)2 +C54(x −1)+C55 −C55
性质2(增减性与最大值)：
若n为偶数
中间一项（第 最大值；即最
n+ 2n
C2
1项）的二项式系数取得 大。
n
n
当r≤
2
+ 1时，
C
r n
单调递增；
当r≥
n 2
+
1时，
C
r n
单调递减；
归纳提高
性质2(增减性与最大值)：
中式若n间系为两数奇项相数（等第，且n同2+ 1、时n取2+得1 +最1 大项值）。的即二项
T9 = C280 312 28 x12 y8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r +1项是系数最 大的项，则有
TTrr
+1 +1
Tr Tr
+
2
由此确定r的取值
三项式转化为二项式
例8 求( x +1+ 1 )8展开式中的常数项 x
解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式
( x +1+ 1 )8 = [( x + 1 ) +1]8
解法2 运用等比数列求和公式得
原式 = (x −1)[1+ (x −1)5] = (x −1) + (x −1)6
1+ (x −1)
x
在(x −1)6的展开式中,含有 x3 项的系数为 −C63 = −20 所以 x2 的系数为-20
例题点评
求复杂的代数式的展开式中某项 (某项的系数),可以逐项分析求解, 常常对所给代数式进行化简,可以 减小计算量
= −640
例题点评 对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两 个通项之积比较方便运算
求ห้องสมุดไป่ตู้开式中系数最大(小)的项
例6.在(2x + 3)20的展开式中,求其项的最大系数 与最大二项式系数的比
解: 设 r +1项是系数最大的项,则
CC22rr00
22 22
0−r 0−r
3r 3r
C r−1 20
法可以使问题简单化。通常选取赋值 时取－1，1。
利物浦是英格兰足球历史上最成功的俱乐部之一，也是欧洲乃至世界最成功的足球俱乐部之一。 而且他还保持了单届联赛最高进球记录，1932年在32场联赛中进球个(平均每场1.34)。
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二项式定理2
Cn0 , Cn1 , Cn2 ,Cnr ,Cnn
复习提问
1.二项式定理的内容
(a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn
右边多项式叫(a+b)n的二项展开式；
2.二项式系数: Cn0 , Cn1 , Cn2 ,Cnr ,Cnn
3.二项展开式的通项Tk+1= Cnk an−kbk
针对(a+b)n的 标准形式而言
(b+a)n，(a-b)n的通项则分别为:
Tk+1 = Cnkbn−k ak ;Tk+1 = Cnk an−k (−b)k
4.在定理中，令a=1，b=x，则
(1+ x)n = Cn0 + Cn1x + Cn2x2 ++ Cnr xr ++ Cnn xn
二项式定理的逆用
例题 5:求( x +1)6(2x −1)5 的展开式中x6 项
的系数.
解(
x +1)6 的通项是 C6r (
x )6−r
= C xr
6−r 2