圆周运动等效重力场问题

圆周运动等效重力场问题（找等效最高点、最低点问题）

绳拉物体在竖直平面内做圆周运动规律

最高点

最低点（平衡位置） 临界最高点：重力提供向心力，速度最小

速度最大、拉力最大

等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力 处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向 ②在复合场中找出等效最低点、最高点。最高、低点：T 与等效重力共线 ③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理

例1：光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R ，在其最低点A 处放一质量为m 的带电小球，整个空间存

在匀强电场，使小球受到电场力的大小为

mg 3

3

，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v 及运动过程中的最大拉力

变式1：如图所示，ABCD 为表示竖立放在场强为E=104

V/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD 部分是半径为R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A 为水平轨道的一点，而且.2.0m R AB ==把一质量m=100g 、带电q=10－4

C 的小球，放在水平轨道的A 点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。（g=10m/s2）求： （1）它到达C 点时的速度是多大 （2）它到达C 点时对轨道压力是多大 （3）小球所能获得的最大动能是多少

例2：在水平方向的匀强电场中，用长为3L 的轻质绝缘细线悬挂一质量为m 的带电A

B

300

O

小球，小球静止在A 处，悬线与竖直方向成300

角，现将小球拉至B 点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低点D 时的速度大小

变式2：质量为的m 小球连在穿过光滑水平面上的小孔的绳子末端,使小球在平面内绕O 点做半径为a 圆周运动,线速度为v

（1）求此时绳子上的拉力

（2）若将绳子瞬间放松后又拉直，将做半径为b 的圆周运动，求放松时间 （3）小球做半径为b 的圆周运动时绳子的拉力

练习1：如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点 O ，用一根长度m L 40.0=的绝缘细绳把质量为kg m 10.0=、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方向的夹角为

37=θ。现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放，求： ⑴小球通过最低点C 时的速度的大小； ⑵小球通在摆动过程中细线对小球的最大拉力

练习2：如图所示的装置是在竖直的平面内放置光滑的绝缘轨道，一带负电荷的小球从高h 的A 处静止开始下滑，进入水平向右的匀强电场中，沿轨道ABC 运动后进入圆环内做圆周运动，已知小球受到的电场力是其重力的

4

3

，圆环的半径为R ，小球得质量为kg m 1.0=，斜面的倾角为

45=θ，R S BC 2=，若使小球在圆环内能做完整的圆周运

动，h 至少是多少 O A B

C E

θ

L

+

练习3：如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中。现有一质量为m 的带正电，电量为E

mg

q 33=小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大

圆周运动等效重力场问题（找等效最高点、最低点问题）

等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力 处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向 ②在复合场中找出等效最低点、最高点。最高、低点：T 与等效重力共线 ③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理 变式1：

解：（1）、（2）设：小球在C 点的速度大小是V c ，对轨道的压力大小为N C ，则对于小球由A →C 的过程中，应用动能定律列出：

02

1

2.2-=

-C mV mgR R qE …………………① 在C 点的圆轨道径向应用牛顿第二定律，有：R

V m qE N C C 2

=-……②

解得：s m gR m

qER

V C /224=-=

………③ N mg qE N C 325=-=…………………………④

E

R

300

mg

qE

g m '

N

图3-2

R

300

图3-1

E

O

B 图3-3

g m '

R

300

O

A

B

（3）∵mg=qE=1N ∴合场的方向垂直于B 、C 点的连线BC ，从B 到D 由动能定理

)45cos 1(.)45sin 1(min ︒-+︒+===R mg qER Ep Ep E D KM J 5

2

=

…………⑥

例2： 解：电场力F=mgtg300

=

3

3

mg,F 合=22)(F mg +=332mg 与T 反向

从B 到C 小球在等效场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动, S=3L 从B 到C 由动能定理：

22

1

3332mvc l mg = V CY 在绳子拉力作用下，瞬时减小为零，只剩V CX =V C sin600

=gL 3 从C 到D 运用动能定理: ︒+︒-30sin 333)30cos 1(3l mg l mg =21m V D 2--2

1m V CX 2

V D =gL )132(+

变式2：

（1）小球做半径为a 的圆周运动，则T=a v m 2 （2）由几何关系，S=vt b a =+22，得t=

v

b a 2

2+ （3）绳子拉紧瞬间径向速度立即消失，小球只剩切向速度b va v ='，则2

22b v ma T ='

练习1：⑴等效重力F 合=

mg mg 45

37cos =︒，电场力mg Eq 43=方向：与竖直方向的夹角

37

从A 到C ，由动能定理221

4

3

C

mv mgl mgl =

-代入数值得4.12≈=C v m/s （2）当带电小球摆到B 点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为B v ，绳上的拉力为T ，则

由圆周运动：l

mv mg T 2

45=-，从A 到B 由动能定理：221)37sin 1(4337cos mvB mgl mgl =︒--︒

联立得25.2=T N

练习2：等效重力F 合=mg 4

5，与竖直方向夹角4

3

tan =

θ，即︒=37θ， 设圆环上的D 点成为等效重力场中的最高点，要想小球在圆环内完成圆周运动，

C 300

A

O D V CX

B

V CY

O A B

C

E

θ

L

+