基于支持向量机和蒙特卡洛法的结构随机灵敏度分析方法_赵金钢

(1. 西南交通大学土木工程学院，四川，成都 610031；2. 中铁二院工程集团有限责任公司，四川，成都 610031)
摘
要：该文利用具有良好小样本学习能力的支持向量机回归拟合结构响应的显式函数，计算随机变量的灵敏度
系数， 并结合蒙特卡洛法对结构响应的随机性进行分析。 采用自适应混合粒子群法优化支持向量机相关参数取值， 提高了计算效率。通过两个工程算例验证了该方法的可行性，并对比了训练样本抽样方法对计算精度的影响。算 例结果表明：利用补充抽样方法抽取训练样本计算结构随机性得到的结果精度高，拟合的概率密度分布曲线可以 更好的反映真实情况；同时利用灵敏度系数研究了算例中不同随机变量对结构响应的敏感性。 关键词：支持向量机；蒙特卡洛法；自适应混合粒子群法；随机性；灵敏度系数 中图分类号：TP181; TB114.3 文献标志码：A doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2012.10.0757
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间进行线性回归。在高维空间中点积运算可由满足 Mercer 条件的核函数 K ( xi , x j ) á ( xi ) ( x j )ñ 代 替，而这种点积运算可以使用原空间中的函数甚至 不需要知道变换 ( x) 的形式。则式(5)、式(6)的对 偶优化问题变为：
在 PSO 算法中最基本的个体称为“粒子”(particle) 代表一个潜在的解，通过初始的一群随机粒子，采 用迭代方式使每个粒子根据自身的“经验”和相 邻粒子群的最佳“经验”向搜索空间中更好的位 置“飞行”，从而得到最优解 [9] 。 PSO 算法原理 如下： 设 D 维搜索空间中第 i 个粒子 (i 1, 2, , m) 的 位置矢量为 zi ( zi1 , zi 2 , , ziD ) ， 飞行速度(位置变化 率 ) 为 vi (vi1 , vi 2 ,, vid ,, viD ) ；单个粒子目前所 搜索到的最优位置为 pi ( pi1 , pi 2 ,, pid ,, piD ) ； 整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置为 p g ( pg 1 ,
* i 和惩罚参数 C
(2)
* i 用
， i 和
来度量训练样本超出 不敏感区的程度，C 表示对 超出 的样本的惩罚， 则最优化问题可以表示为[6]： l 1 (3) min R( , , * ) C (i i* ) 2 i 1
s.t. f ( xi ) yi ≤ i* (4) f ( xi ) yi ≤ i * i , i ≥ 0 , i 1, 2, , l 采用 Lagrange 函数可以得到这个优化问题的 对偶形式为： 1 l min ( i i* )( j * j )( xi x j ) 2 i , j 1
Abstract:
The SVM (support vector machine) which possesses significant learning capacity at a small amount
of information and generalization is used to regress the explicit function of structural responses. Based on the explicit function, the sensitivity coefficients of random variables are calculated. And combined with the Monte Carlo simulation, the stochastic analysis of structures can be done. The adaptive hybrid particle swarm is applied to optimize the parameters of the SVM so as to improve the computational efficiency. In order to verify the feasibility of this method, two engineering examples are analyzed so as to contrast the effect of the training samples method on the calculation accuracy. The results from these examples indicate that the complementary sampling method can achieve a more precise stochastic result in the extraction of the training samples, and the fitting probability density curves can better reflect the true situation. Meanwhile, the structure response sensitivity of the two examples is studied by the sensitivity coefficients of random variables. Key words: support sector machine; Monte Carlo simulation; adaptive hybrid particle swarm optimization; stochastic; sensitivity coefficient
(i i* ) yi (i i* )
i 1 i 1
l
l
(5)
l s.t. (i i* ) 0 (6) i 1 i 1, 2, , l 0 ≤ i , i* ≤ C , 求解式(5)、式(6)即可得到 Lagrange 乘子 i 和
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采用确定性的参数建立力学模型对工程结构 进行设计分析时，无法考虑实际工程中如材料物理 性质的不确定性、结构截面尺寸的随机性误差和外 荷载的大小的随机性等不确定性因素对结构正常 使用产生的影响，与结构的实际受力情况产生差 异。因此有必要在结构设计分析中进行随机灵敏度 分析，考虑计算参数随机性对结构受力性能的影 响。近年来，国内外学者在分析参数随机性对结构 受力性能影响方面开展了一系列的研究。Imai[1]采 用 Monte Carlo 法对以桁架和悬缆的静力响应进行 了随机分析；刘春华等[2]采用随机有限元法分析了 缆索材料的随机性对悬索桥主跨中点位移的影响； 程进[3]采用响应面法分析了考虑材料和荷载变异时 几何非线性桁架结构的静力响应；陈铁冰等[4]采用 神经网络法研究了材料、几何尺寸和外部荷载变异 时斜拉桥的静力响应变异情况。 Monte Carlo 方法思 路清晰、便于理解，但是抽样过多，不易于实际复 杂结构计算分析；随机有限元法理论复杂、需要根 据实际情况对确定性的有限元程序加以改造，不易 为工程技术人员使用；响应面法思路清晰、便于编 制计算机程序，但是二次多项式形式的响应面对非 线性程度较高的功能函数不能取得满意的计算精 度，如采用高阶多项式则会由于采样点的增加降低 计算效率； 神经网络法(主要是 BP 神经网络)存在依 赖用户的先验知识和经验设定网络结构、易于陷入 局部最小、收敛速度慢和“过学习”等问题。由于 上述方法存在的问题，本文提出采用支持向量机法 进行结构随机灵敏度分析。 支持向量机 (Support Vector Machines， SVM) 是由 Vapnik 基于结构风险最小化原则提出的具有 良好的小样本学习和泛化能力的机器学习方法，具 有理论基础坚实、拟合精度高、不会出现局部最优 问题等优点。支持向量机可以解决分类 (Support Vector Classification ，SVC)和回归(Support Vector Regression，SVR)两类问题，广泛应用于数据分类、 回归估计和信号处理等领域。本文采用支持向量回 归机 SVR 通过有限训练样本拟合结构响应的显式 函数，利用自适应混合粒子群法优化解决了支持向 量回归机参数选择问题，并根据结构响应的显式函 数计算随机变量的灵敏度，结合蒙特卡洛法对结构 的随机性进行分析。文中的两个算例证明了本文方 法的精度和效率。
STOCHASTIC SENSITIVITY ANALYSIS METHOD BASED ON SUPPORT VECTOR MACHINE AND MONTE CARLO
ZHAO Jin-gang1 , ZHAO Ren-da1 , ZHAN Yu-lin1 , ZHANG Ning2
(1. School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu, Sichuan 610031, China; 2. The Second Railways Survey & Design Institute, Chengdu, Sichuan 610031, China)
[5]
1 支持向量回归机
1.1 支持向量回归机基本原理 SVR 包括线性 SVR 和非线性 SVR，其中后者 为前者的推广，下面首先介绍线性 SVR。 给 定 的 训 练 样 本 集 T {( xi , yi ),,( xl , yl )}
( R n y )l ，其中 xi R n 为 n 维模型样本输入； yi R 为模型样本输出， i 1, 2, , l 。函数回归拟
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收稿日期：2012-10-17；修改日期：2012-12-11 基金项目：国家自然科学基金项目(51208431)；高等学校博士学科点专项科研基金课题项目(20090184120033)；中央高校基本科研业务费专项资金 项目(SWJTU12CX064)；西南交通大学创新基金项目 通讯作者：赵人达(1961―)，男，贵州毕节人，教授，博士，博导，主要从事混凝土理论方面的研究(E-mail: rendazhao@163.com). 作者简介：赵金钢(1984―)，男，山东聊城人，博士生，主要从事钢-混凝土组合结构随机灵敏度性研究(E-mail: zhaojingangtumu@163.com)； 占玉林(1978―)，男，湖北罗田人，副教授，博士，主要从事桥梁结构行为方面的研究(E-mail: zhanyulin2002@163.com)； 张 宁(1984―)，男，山东德州人，工程师，硕士，主要从事桥梁结构动力随机性方面的研究(E-mail: zhangningsky@163.com).
i* ，其中只有一小部分不为 0，它们对应的样本即
为支持向量。因此，支持向量机回归函数即为：
f ( x) ( i i* )( xi x) b
i 1
l
(7)
其中： b yi
(i i* )( xi x j ) 。
i 1
l
非线性 SVR 就是通过非线性变换 x ( x) 将 数据映射到一个高维特征空间，再在该高维特征空
第 31 卷第 2 期 2014 年 2 月
Vol.31 No.2 Feb. 2014
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ENGINEERING MECHANICS
文章编号：1000-4750(2014)02-0195-08
基于支持向量机和蒙特卡洛法的 结构随机灵敏度分析方法
赵金钢 1，赵人达 1，占玉林 1，张 宁2
合问题就是在 R n 上寻找一个函数 f ( x) ，使之对任 一输入 x 都可以得到对应的 y 值。 对于线性 SVR 设
f ( x) 的形式为： f ( x) x b
(1) 首先需要定义不敏感损失函数 ，该函数可以 忽略真实值与预测值之间的上下某个范围内的误 差， 不敏感损失函数常写为： L( x, y , f ( x)) max{0,| y f ( x) | } 引入松弛因子 i 、