最新等腰三角形的证明习题集与答案解析知识分享
等腰三角形的性质与判定 题集(教师版)-初中数学四维三难讲义
等腰三角形的性质与判定 题集1. 等腰三角形的性质性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．书写：∵，∴（等边对等角）．性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．书写：∵，，∴，（三线合一）．1.【解析】【标注】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则等腰三角形的底角等于 ．【答案】或如图，∵，，于．图∴．∴．如图∵，，于．图∴．∴．【知识点】腰上的高与腰的夹角问题A.B.或C.D.或2.【解析】【标注】已知等腰的底边，且，则腰的长为（ ）．【答案】B ∵，∴或，同时，符合三角形的三边关系，符合题意．【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角A. B. C. D.3.【解析】【标注】如图，在等腰中，，，，则（ ）．【答案】B ∵，，∴，∴，∵，∴．【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角A. B. C. D.4.如图，中，，，点是的中点，过点作交于点，连接．则的度数为（ ）．【解析】【标注】【答案】C ∵为中点，且，∴，∴，又∵，∴，∴．【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角A. B. C. D.5.【解析】【标注】如图，在中，点在边上，，为的中点，若，则的大小为（ ）．【答案】C，点是中点，，，，，，，，，故选 ．【知识点】等腰三角形的性质-三线合一6.如图，，，的垂直平分线交于点，则 ．【解析】【标注】【答案】∵，，∴，∵的垂直平分线交于点，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【能力】推理论证能力【知识点】作线段的垂直平分线【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角【知识点】三角形内角和的应用【知识点】线段的垂直平分线的性质定理7.【解析】如图，在中，，点是上一点，点是上一点，且．若，，求的度数．ABCDE【答案】．∵，∴．∵，∴．【标注】∴．∵，∴．∵，∴．∴．【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角A. B. C. D.8.【解析】【标注】如图，在中，，，分别是，上的点，且，，度数是（ ）．【答案】B由等腰三角形的性质可知，，，∴．∴，∴．【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角9.如图，在中，，且为上一点，，，则的度数为（）．A. B. C. D.【解析】【标注】【答案】B ∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角A. B. C. D.10.【解析】【标注】内有一点，且，若， ，则 的大小是（ ）．【答案】A 略．【知识点】三角形内角和的应用2. 等腰三角形的判定①利用定义来判定：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.②判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）．书写：∵∴（等角对等边）．【注意】：以后可直接由等角推出边等，进而得到等腰三角形．A.，B.，C.，D.，1.【解析】【标注】在中，和的度数如下，其中能判定是等腰三角形的是（ ）．【答案】B选项，当顶角为时, ，当顶角为时, ,故选项错误；选项，当顶角为时, ,故选项正确；选项，当顶角为时, ，当顶角为时, ,故选项错误；选项，当顶角为时, ，当顶角为时, ,故选项错误．【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边（1）（2）2.（1）【解析】用一根长为的细绳围成一个等腰三角形．如果腰长是底边长的倍，求这个三角形各边的长．能围成有一边的长是的等腰三角形吗？为什么？【答案】（1）（2）三角形的三边长分别是，，．三角形的三边长分别为，，．设较短的边长为，则较长的边长为，（2）【标注】①若较短的边为底边，较长的边为腰，则，解得，此时三角形三边长分别为，，，能组成三角形；②若较短的边为腰，较长的边为底边，则，解得，此时三角形三边长分别为，，，∵，∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能围成三角形；综上所述，三角形的三边长分别是，，．①当为等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为，，，∵，∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能围成三角形；②当为等腰三角形的底边长时，三角形的三边长分别为，，，满足三角形的三边关系；故能围成三边长分别为，，的等腰三角形．【思想】分类讨论思想【能力】推理论证能力【能力】运算能力【知识点】等腰三角形的判定-两边相等【知识点】等腰三角形的定义A. B. C. D.3.【解析】【标注】如图，平分，，若，则等于（ ）．【答案】D ∵平分，， ∴．【知识点】平行线与角平分线综合4.【解析】【标注】如图，与相交于点，连接、、，①；②；③；④．请从以上四个选项中选出两个作为条件，证明：是等腰三角形（只需选一种情况写证明过程即可）．【答案】证明见解析．①③：≌．∴．∴．②③：．∴．【知识点】等腰三角形的判定-两边相等5.【解析】【标注】如图，，，点在的垂直平分线上，若，则 ．【答案】∵点在的垂直平分线上，∴，又∵，∴，∴是等腰三角形，∴，∴．【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】等腰三角形的判定-两边相等【知识点】等腰三角形的性质-三线合一【能力】推理论证能力6.方法一：方法二：【解析】【标注】如图，点、在的边上，，，求证：．【答案】证明见解析．过点作于点．∵，，∴，∵，∴，∵，∴．∵，∴，∵，，∴，在和中，∵，，，∴≌，∴．【知识点】等腰三角形的性质-三线合一7.已知：如图，在中，，，求证：是等腰三角形．【解析】【标注】【答案】证明见解析．∵，∴，∵，∴，∴，即是等腰三角形．【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边8.【解析】【标注】如图，已知和相交于点，且，．求证：．【答案】证明见解析．∵，∴，，∵，∴，∴，∴．【知识点】蝴蝶型（8字倒角）9.【解析】【标注】如图，是的边的延长线上一点，过作于点，交于，．求证：是等腰三角形．【答案】证明见解析．∵，∴∴，．∵，∴．又∵，∴，∴，∴，即是等腰三角形．【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边10.下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：线段．求作：等腰，使，，边上的高为．作法：如图，（1）作线段；（2）作线段的垂直平分线交于点；（3）在射线上顺次截取线段，连接，．所以即为所求作的等腰三角形．请回答：得到是等腰三角形的依据是：① ：② ．【解析】【标注】【答案】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ; 有两条边相等的三角形是等腰三角形由等腰三角形的判定定理可得．【知识点】等腰三角形的判定-两边相等。
等腰三角形练习题(含答案)
等腰三角形练习题(含答案)等腰三角形第1课时：等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为80°。
2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=3cm。
3.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为45°。
4.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为80°。
5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，求∠C的度数为100°。
6.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF。
证明：DE=DF。
第2课时：等腰三角形的判定1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC为钝角三角形。
2.已知△ABC中，∠B=50°，∠A=80°，AB=5cm，则AC=5cm。
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，则△ABC为等腰三角形。
4.如图，已知△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有2个等腰三角形。
5.如图，D是△XXX的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE=DF。
证明：AB=AC。
6.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G。
证明：△EFG是等腰三角形。
等边三角形第1课时：等边三角形的性质与判定1.如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为60°。
2.在△ABC中，∠A=60°，现有下面三个条件：①AB=AC；②∠B=∠C；③∠A=∠B。
能判定△ABC为等边三角形的有条件①、②、③。
3.如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD=2.4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD的度数为75°。
等腰三角形含练习答案
等腰三角形知识点一：等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角， 腰与底边的夹角叫做底角． 等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.简称等腰三角形三线合一.1.△ABC 中,AB=AC.(1)若∠B=50°, 则∠C=__ ,∠A=___ (2)若∠A=100°, 则∠B=__ ,∠C=__2. (1) 等腰三角形的一个内角为50°，则另两个角为 (2) 等腰三角形的一个内角为100°,则另两个角为__ . (3) 等腰三角形的一个内角为90°,则另两个角为___ 归纳：已知等腰三角形的一个内角的度数,求其它两角时, (a)若已知角为钝角或直角,则它一定是顶角； (b)若已知角为锐角,它可能是顶角,也可能是底角。
例1、等腰三角形的顶角为70°，底角为_______.。
2、在三角形ABC 中，AB=AC,BAC ∠=90°，ＡＤ是ＢＣ边上的高，则BAC ∠=_____ BD=____=______3、如图2，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD 图中共有几个等腰三角形？分别写出它们的顶角和底角。
4、如图，在△ABC 中，AB=AD=DC,BAD ∠=36°，求B ∠和C ∠度数。
DCABCD B A例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠BCA是直角,E是AC上的一点，ED⊥AB于D，BD=BC,CD、BE交于点F.求证：CD⊥BE.思路：由BD=BC知△BCD是等腰三角形，所以要证明CD⊥BE只需证明BE是△BCD的底边上的中线或者顶角的平分线即可。
2025年中考数学总复习专题15 等腰三角形与直角三角形(附答案解析)
2025年中考数学总复习专题15
等腰三角形与直角三角形
一、等腰三角形
1．等腰三角形的性质
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
2．等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
二、等边三角形
1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．
2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
三、直角三角形与勾股定理
1．直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：（1）直角三角形两锐角互余；
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
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部编数学九年级上册专题11二次函数中的等腰三角形(解析版)含答案
专题11 二次函数中的等腰三角形类型一 在坐标轴上找点成等腰1．如图，二次函数2142y x x =--+的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)若点P 在x 轴上，且△PBC 为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P 的坐标．(1)解：令21402x x --+=解得12x =，24x =-∴A (2,0)， B (4,0)-令0x =，得4y =，∴C (0,4)∴点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(4,0)-，点C 的坐标为(0,4)．(2)解：设P 点的坐标为(,0)m ∵(4,0)B -，(0,4)C∴BC =22(4)BP m =+，2216CP m =+当△PBC 是等腰三角形时，分三种情况求解：①当BP CP =时，由题意可得22(4)16m m +=+解得0m =∴P 的坐标为(0,0)；②当BP BC =时，由题意可得()(224m +=解得4m =-+或4m =--∴P 的坐标为()4-+或()4--；③当CP CB =时，由题意可得(2216m +=解得4m =或4m =-（不合题意，舍去）∴P 的坐标为(4,0)；综上所述，P 点的坐标为(0,0) 或 (4,0) 或()4-+ 或()4--．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，对称的性质，二次函数与周长的综合，二次函数与特殊三角形的综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．如图，已知二次函数23y x bx =-++的图象与x 轴的两个交点为A （4，0）与点C ，与y 轴交于点B ．（1）求此二次函数关系式和点C 的坐标；（2）在x 轴上是否存在点P ，使得△PAB 是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵二次函数23y x bx =-++的图象与x 轴的一个交点为()4,0A ，∴20443=-++b ，解得134b =，∴此二次函数关系式为：21334y x x =-++，当0y =时，213304-++=x x 解得134x =-，24x =∴点C 的坐标为3,04æö-ç÷èø．（2）存在，设点P 的坐标为（x ，0），由题意得：AB 2=42+32=25，AP 2=（x-4）2，BP 2=x 2+9，①当AB=AP 时，则25=（x-4）2，解得x=9或-1，∴P(9，0)或P （﹣1,0）；②当AB=BP 时，同理可得x=4（舍去）或-4，∴P （﹣4,0）③当AP=BP 时，如图所示∵OP=x ，∴AP=BP=4－x在Rt △OBP 中，222OB OP BP +=∴()2223+x =4x －∴x=78∴P （78，0）综上点P 的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（78，0）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．3．如图所示，关于x 的二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点()1,0A 和点B ，与y 轴交于点()0,3C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使PBC V 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；解：（1）把()1,0A 和()0,3C 代入2y x bx c =++，10,3,b c c ++=ìí=î解得：4b =-，3c =，\二次函数的表达式为：243y x x =-+．（2）令0y =，则2430x x -+=，解得：1x =或3x =，()3,0B \，BC \=点P 在y 轴上，当PBC V 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP CB =时，PC =，3O P O C P C \=+=+(10,3P \+，(20,3P -；②当BP BC =时，3OP OB ==，()30,3P \-；③当PB PC =时，3OC OB ==Q ，\此时P 与O 重合，()40,0P \；综上所述，点P 的坐标为：(0,3+或(0,3-或()03-,或()0,0．4．如图，已知二次函数21134=-++y x x c 的图像与x 轴的一个交点为A (4,0)，与y 轴的交点为B ，过,A B 的直线为2y kx b =+．(1)求二次函数1y 的解析式及点B 的坐标；(2)在两坐标轴上是否存在点P ，使得ABP △是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)211334y x x =-++，()0,3B (2)存在，点P 的坐标为7,08æöç÷èø或70,6æö-ç÷èø【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得B 点坐标（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得点P 在线段的垂直平分线上，利用两点间距离公式求解即可(1)解：将(4,0)A 代入21134=-++y x x c ，得16130c -++=解得c =3∴二次函数1y 的解析式为211334y x x =-++∵点B 是二次函数与y 轴的交点所以点B 的横坐标为0将x =0带入解析式中，求得y =3所以点B 的坐标为()0,3(2)存在，满足题意的点P ，使得ABP △是以AB 为底边的等腰三角形.当使得ABP △是以AB 为底边的等腰三角形，点P 在线段AB 的垂直平分线上①当点P 在y 轴上时，PA=PB设()0,P m ∵(4,0)A ，()0,3B=解得76m =-此时17(0,6P -②当点P 在x 轴上时，PA=PB设(),0P n ∵(4,0)A ，()0,3B=解得78n =此时27(0)8，P 综上所述：17(0,6P -，27(0)8，P ，使得ABP △是以AB 为底边的等腰三角形【点睛】此题考察了二次函数的相关知识点，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）抛物线和坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练运用相关知识点是解题关键类型二 在对称轴上找点成等腰5．如图，直线y ＝﹣12x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B 、C 和点A (﹣1，0)．（1）求B 、C 两点的坐标；（2）求该二次函数的解析式；（3）若抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在一点N ，使V NCD 为等腰三角形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）B (4，0)，C (0，2)；（2）213222y x x =-++；（3）存在，123435353325(,),(,),(,4),(,),22222216N N N N -【解析】【分析】（1）令直线y ＝12-x +2的x ＝0，y ＝0，求出对应的y 和x 的值，得到点C 、B 的坐标；（2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A 、B 、C 的坐标求出解析式；（3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P 的坐标．【详解】（1）对直线y ＝12-x +2，当x ＝0时，y ＝2；y ＝0时，x ＝4，∴B （4，0），C （0，2）．（2）设二次函数为y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣n ）（a ≠0），∵二次函数图象经过B （4，0），A （﹣1，0），∴y ＝a （x ﹣4）（x +1），把点C （0，2）代入y ＝a （x ﹣4）（x +1）得：a （0﹣4）（0+1）＝2，解得：a ＝12-，∴y ＝12-（x ﹣4）（x +1）＝12-x 2+32x +2．（3）存在，理由如下：∵二次函数图象经过B （4，0），A （﹣1，0），∴对称轴为直线x ＝32，∴D（32，0），∵C（0，2），∴CD＝52，①如图1，当DC＝DN时，DN＝52，∴N1（32，52），N2（32，﹣52），②如图2，当CD＝CN3时，过点C作CH⊥DN3于点H，∵CD＝CN3，CH⊥DN3，∴DH＝N3H，∵C（0，2），∴DH＝2，∴N3H＝2，∴N3D＝4，∴N3（32，4），③如图3，当N4C＝DN4时，过点C作CE⊥DN4于点E，设DN 4＝t ，则EN 4＝2﹣t ，CE ＝32，由勾股定理可知，（2﹣t ）2+（32）2＝t 2，解得t ＝2516．∴N 4（32，2516），综上所述：存在123435353325(,(,),(,4),(,22222216N N N N -，使△NCD 是等腰三角形．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，用到了分类讨论思想．6．如图，直线122y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B ，C 和点()1,0A -．(1)求B ，C 两点的坐标．(2)求该二次函数的解析式．(3)若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD V 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)()4,0B ，()0,2C (2)213222y x x =-++(3)存在135,22P æöç÷èø，235,22P æö-ç÷èø，33,42P æöç÷èø，使PCD V 是以CD 为腰的等腰三角形【解析】【分析】（1）令直线122y x =-+的x =0，y =0，求出对应的y 和x 的值，得到点C 、B 的坐标；（2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A 、B 、C 的坐标求出解析式；（3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P 的坐标．(1)解：对直线122y x =-+，当0x =时，2y =，0y =时，4x =，()4,0B \，()0,2C ．(2)解：设二次函数为()()()0y a x m x n a =--¹，Q 二次函数图象经过()4,0B ，()1,0A -，()()41y a x x \=-+，把点()0,2C 代入()()41y a x x =-+得：()()04012a -+=，解得：12a =-，()()2113412222y x x x x \=--+=-++．(3)解：Q 二次函数图象经过()4,0B ，()1,0A -，\对称轴为41322x -==，3,02D æö\ç÷èø，()0,2C Q ，52CD \==，①如图1，当CD PD =时，52PD =，135,22P æö\ç÷èø，235,22P æö-ç÷èø，②如图2，当3CD CP =时，过点C 作3CH DP ^于点H ，3CD CP =Q ，3CH DP ^，3DH P H \=，()0,2C Q ，2DH \=，32P H \=，34P D \=，33,42P æö\ç÷èø，综上所述：存在135,22P æöç÷èø，235,22P æö-ç÷èø，33,42P æöç÷èø，使PCD V 是以CD 为腰的等腰三角形．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是用一般式或者两点式结合待定系数法求解，求点P 的坐标的时候要学会用“两圆一中垂”找到P 点，注意这里只要用“两圆”即可．7．如图，抛物线y =ax 2-bx -3与x 轴交于点A 、C ，交y 轴于点B ，OB =OC =3OA ．(1)求抛物线的解析式及对称轴方程；(2)如图1，连接AB ，点M 是对称轴上一点且在第四象限，若△AMB 是以∠MBA 为底角的等腰三角形，求点M 的坐标；(1)解：在y =ax 2-bx -3中，令x =0得y =-3，∴B （0，-3），∴OB =3，∵OB =OC =3OA ，∴OA =1，OC =3，∴A （-1，0）、C （3，0），把A （-1，0）、C （3，0）代入y =ax 2-bx -3得：309330a b a b +-=ìí--=î，解得12a b =ìí=î，∴抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，而y =x 2-2x -3=（x -1）2-4，∴对称轴方程为x =1；(2)解：设M （1，m ），而A （-1，0）、B （0，-3），∴MA2=4+m2，MB2=1+（m+3）2，AB2=10，△AMB是以∠MBA为底角的等腰三角形，分两种情况：①若MA=AB，则MA2=AB2，如图：∴4+m2=10，解得m或m，∵M是对称轴上一点且在第四象限，∴M（1，），②若MB=MA，则MA2=MB2，如图：∴4+m2=1+（m+3）2，解得m=-1，∴M（1，-1），综上所述，M坐标为（1，）或（1，-1）；类型三在抛物线上或已知直线上找点成等腰8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)直线x ＝m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．(1)将(1,0)A ，(3,0)B 代入函数解析式，得309330a b a b ++=ìí++=î，解得14a b =ìí=-î，这个二次函数的表达式是243y xx =-+；(2)(,3)M m m -+，2(,43)N m m m -+23MN m m =-，3|BM m =-，当MN BM =时，①233)m m m -=-，解得m②233)m m m -=-，解得m =当BN MN =时，45NBM BMN Ð=Ð=°，2430m m -+=，解得1m =或3m =（舍)当BM BN =时，45BMN BNM Ð=Ð=°，2(43)3m m m --+=-+，解得2m =或3m =（舍)，当BMN D 是等腰三角形时，m ，，1，2．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．9．如图，已知二次函数()20y x bx c c =-++>的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB =OC =3，顶点为M ．（1）求该二次函数的解析式；（2）探索：线段BM 上是否存在点P ，使V PMC 为等腰三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵3OB OC ==，∴()3,0B ，()0,3C ，代入2y x bx c =-++中，得930,3.b c c -++=ìí=î，解得2,3.b c =ìí=î，∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++；（2）线段BM 上存在点716,55P æöç÷èø，14æççè，()2,2，使PMC △为等腰三角形.理由如下：设点P 的坐标为(),26x x -+，由题意可得CM ==CP =，MP =①当CM PC ==整理得251270x x -+=，解得175x =，21x =（舍去），经检验是方程的根当75x =，716262655x -+=-´+=，此时716,55P æöç÷èø；②当CM MP ==整理得251030x x -+=，∵△=40∴x =解得21x =，经检验是方程的根此时14P æççè；③当CP MP =，整理得24=x ，解得2x =，经检验是方程的根此时()2,2P ；综上所述，线段BM 上存在点716,55P æöç÷èø，14æ+ççè，()2,2，使PMC △为等腰三角形．【点睛】本题考查二次函数与几何综合题型，利用待定系数法求函数解析式；求坐标系中四边形的面积，需分割三角形与梯形来解，注意动点所在的位置决定了自变量的取值范围；等腰三角形分类考虑，可以用勾股定理，构造方程是解题关键．10．如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋3的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ．（1）二次函数的表达式为 ；（2）点M 在直线BC 上，当△ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；解：（1）将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2＋bx ＋3得：3016430a b a b -+=ìí++=î，∴a ＝34-，b ＝94，∴239344y x x =-++，故二次函数表达式为：239344y x x =-++；（2）当x ＝0时，y ＝3，∴点C 的坐标是（0，3），设直线BC 的表达式为：y ＝kx ＋c （k ≠0），将B （4，0），C （0，3）代入y ＝kx ＋c 得：4303k c +=ìí=î，∴343k c ì=-ïíï=î，∴直线BC 的解析式为：334y x =-+，使得△ABM 为等腰三角形，存在如图所示的三种情况：过点M 1作M 1D ⊥AB ，∵A （﹣1，0），B （4，0），∴AD ＝12AB ＝52，∴OD ＝32，设M 1（x ，﹣34x ＋3），∴M 1（32，158），∵△ABM 为等腰三角形，∴AB ＝BM 2＝5或AB ＝BM 3＝5，设M 2（x 1，﹣34x 1＋3），∴BM 25，解得x 1＝8或0，当x 1＝0时，y ＝3，当x 1＝8时，y ＝﹣3，∴点M 为（0，3）或（8，﹣3）或（32，158）；11．如图，已知二次函数213442y x x =--的图象与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）点C 的坐标为___________，点B 的坐标为___________；（2）连接BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得EDB △为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；解（1）213442y x x =--，当x=0时，y=-4，C （0，-4），当y=0时，2134=042x x --，整理得：2616=0x x --，变形得：()()820x x -+=，解得122,8x x =-=，∴B 点坐标为（8,0）；（2）C(0,-4),B(8,0),设BC 解析式为y kx b =+，把C 、B 坐标代入得，480b k b =-ìí+=î，解得412b k =-ìïí=ïî，BC 解析式为1-42y x =，EDB △为等腰三角形，点E 在线段BC 上，设E （x,1-42x ）D(3,0)，以DB 为底边,作BD 中垂线与BC 交点为E ，x=()13+8=5.52,115-4= 5.5-4224x ´=-，E 11524æöç÷èø，-，以BD 为腰，当BD=EB=5时5=，()2820x -=，8x =-(舍去，12x E（8-），当ED=BD=5时点E与点C重合，E（0，-4），EDB△为等腰三角形符合条件的点E的坐标为：E（0，-4），（8-），11524æöç÷èø-；类型四综合探究12．如图，二次函数2y ax bx c(a0)=++>图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为1-，3.与y轴负半轴交于点C．()1若ABDV是等腰直角三角形，求a的值．()2探究：是否存在a，使得ACBV是等腰三角形？若存在，求出符合条件的a的值；不存在，说明理由．【答案】（1）1a 2=；（2）存在，a =.【解析】【分析】()1作DE AB ^于点E ，根据ABD V 是等腰直角三角形，即可求得D 的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式，从而求得a 的值．()2根据三边分别相等可以分三种情况：①当AB BC =时，根据勾股定理列方程：222OC BC OB 1697=-=-=，可得a 的值；②当AB AC =时，根据勾股定理列方程：2OC 16115=-=，可得a 的值；③当AC BC =时，由于OA 1=，OB 3=，不成立．【详解】()1如图，作DE AB ^于点E ，()AB 314=--=，ABD Q V 是等腰直角三角形，1DE AB 22\==，则D 的坐标是()1,2-．设二次函数的解析式是2y a(x 1)2=--，把()1,0-代入得4a 20-=，解得：1a 2=．()2存在，分三种情况：①当AB BC =时，CB AB 4\==，在Rt OBC V 中，222OB OC BC +=，222OC BC OB 1697\=-=-=，OC \=(C 0,\，设二次函数的解析式为：()()y a x 1x 3=+-，将(C 0,代入，a \=②当AB AC =时，AC AB 4\==，在Rt AOC V 中，222AO OC AC +=，2OC 16115\=-=，OC \=(C 0,，()()y a x 1x 3=+-，a \=③当AC BC =时，CO AB ^Q ，O \是AB 的中点，而AO 1=，BO 3=，AO BO \¹，AC BC \=不成立，a \=【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，第1问正确根据等腰直角三角形的性质求得D 的坐标是关键，第二问根据等腰三角形的判定正确分类讨论是关键．13．综合与探究如图，抛物线2315344y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ．(1)求点A ，B 和C 的坐标；(2)点P 从点B 出发沿BC 以1个单位长度/秒的速度向终点C 运动，同时，点Q 从点O 出发以相同的速度沿x 轴的正半轴向终点B 运动，一点到达，两点同时停止运动．连接PQ ，当BPQ V 是等腰三角形时，请直接写出运动的时间．(1)解：把0x =代入2315344y x x =-+中，得3y =．∴点C 的坐标是(0,3)．把0y =代入2315344y x x =-+中，得23153044-+=x x ．解得11x =，24x =．∴点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(4,0)．∴点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(4,0)，点C 的坐标是(0,3)．(2)2秒，2013秒和3213秒解：设运动时间为t ，根据题意，若要构成BPQ V ，则P 、Q 不与点B 重合，t 的取值范围为04t <<，∴PB OQ t ==，4BQ t =-，如图，过点P 作PD x ^轴于点D ，设点P 的坐标为3,34a a æö-+ç÷èø，则4BD a =-，334PD a =-+，根据勾股定理，在Rt PDB △中，222PD DB PB +=,()2223344a a t æö-++-=ç÷èø，解得1445a t =-，2445a t =+（不符合题意，舍去），∴点P 的坐标为434,55t t æö-ç÷èø，∵点Q 的坐标为(),0t ∴222243907241655255t t t PQ t t æöæö=--+=-+ç÷ç÷èøèø，∵PB OQ t ==，4BQ t =-，222243907241655255t t t PQ t t æöæö=--+=-+ç÷ç÷èøèø，①当BP BQ =时，即4t t =-，解得：2t =；②当BP PQ =时，22907216255t t t =-+，解得：12013t =，24t =（不符合题意，舍去），③当BQ PQ =时，()229072416255t t t -=-+，解得：13213t =，20t =（不符合题意，舍去），综上所述：当BPQ V 是等腰三角形时，时间为2秒，2013秒，3213秒．【点睛】本题考查二次函数综合运用，包括求抛物线与x 轴的坐标，一次函数的解析式，利用坐标求线段长度，等腰三角形的性质，熟悉掌握求抛物线与x 轴的交点坐标、顶点坐标以及等腰三角形的性质本题的解题关系．。
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底。
两腰构成的夹角叫做顶角，腰与底构成的夹角叫做底角。
2.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等。
②等腰三角形的两底角相等。
（简称“等边对等角”）③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。
（简称底边上三线合一）3.等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。
练习题1、（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【分析】如图，过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形中位线定理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论．【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，∵点E是AB的中点，∴G是AD的中点，∴EG＝BD，∵F是CD的中点，∴DF＝CD，∴EG＝DF，∵∠EPG＝∠DPF，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴PG＝PD＝1.5，∴AD＝2DG＝6，∵△ABC的面积是24，∴•BC•AD＝24，∴BC＝48÷6＝8，∴DF＝BC＝2，∴EG＝DF＝2，由勾股定理得：PE＝＝2.5．故选：A．2、（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23°B．25°C．27°D．30°【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，故选：B．3、（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39°B．40°C．49°D．51°【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故选：A．4、（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°【分析】过点C作CD∥l1，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而可求解．【解答】解：过点C作CD∥l1，如图，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥CD，∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠BAC＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°，∴∠1+∠2＝70°．故选：B．5、（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE为AB的中垂线，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故选：B．6、（2022•宜宾）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，∴BF＝FD，DE＝EC，∴▱AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．故选：B．7、（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．8、（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB ⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解答】解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．9、（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．10、（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据题意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故选：B．11、（2022•广安）若（a﹣3）2+5−b＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．【分析】先求a，b．再求第三边c即可．【解答】解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，∴a＝3，b＝5，设三角形的第三边为c，当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，故答案为：11或13．12、．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝．【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵BC＝6，∴CD＝3，故答案为：3．13、（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．14、（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．15、（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．11。
等腰三角形的性质与判定(2)
等腰三角形的性质与判定一．选择题（共4小题）1．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠A B．BD=BCC．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点2．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB=4，AD=2，则△AED的周长是（）A．6B．7C．8D．103．如图，△ABC中，CD平分∠ACB，BE⊥CD，∠A=∠ABE．若AC=5cm，BC=3cm，则BD的长为（）cm．A．1B．1.5C．2D．44．如图，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，MN∥BC，若AB=6，AC=4，则△AMN 的周长是（）A．5B．7C．9D．10二．填空题（共3小题）5．用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，已知其中有一边的长为4cm，那么该等腰三角形的腰长为cm．6．一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为．7．一个三角形的三边长为3、8、m，则m的取值范围是，如果这个三角形是等腰三角形，那么它的周长是．三．解答题（共4小题）8．已知：如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD，求证：BD=CD．9．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE=DE；（2）若AB=BC=10，求DE的长．10．已知△ABC为等腰三角形，顶角∠A=36°，BD平分∠ABC．求证：△BCD也为等腰三角形．11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，AD+EC＝AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD＝120°，并请说明理由．1．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，2.如图，已知BD＝CE，AD＝AE，求证：∠B＝∠C．。
等腰三角形证明及答案
等腰三角形证明1.如图，已知：点D,E在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE,求证：BD=CE2. 如图：△ABC中,AB=AC,PB=PC．求证：AD⊥BC3. 已知：如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点．求证：HB=HC4. 如图,在△ABC中,AB=AC,E为CA延长线上一点,ED⊥BC于D交AB于F. 求证:△AEF为等腰三角形.5. 如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD.6.如图：Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=22.5°,DC=BC, DE⊥AB．求证：AE=BE．7.已知:如图，△BDE是等边三角形，A在BE延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC。
求证：DE+DC=AE。
等腰三角形练习题答案1. 证：作AM⊥BC于M∵AD=AE,∴DM=EM∵AB=AC,∴BM=CM∴BM－DM=CM－EM∴BD=CE2. 证明：在△ABP和△ACP中∵AB=AC,BP=PC,AP=AP∴△ABP≌△ACP (SSS)∴∠BAP=∠CAP∴AD⊥BC(等腰三角形顶角平分线又是底边的垂线)3. 证明：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC,∠BAC=60°在△ABD和△ACE中∵AB=AC,∠1=∠2,BD=CE∴△ABD≌△ACE (SAS)∴AD=AE,∠BAD=∠CAE=60°∴在△ADE中∵AD=AE,∠DAE=60°∴△ADE为等边三角形．4. 证明：连结AC和AD在△ABC和△AED中AB=AE BC=ED ∠B=∠E∴△ABC≌△AED (SAS)∴∠ACB=∠ADE,AC=AD∴△ACD是等腰三角形∴∠ACD=∠ADC;∠BCA=∠CDE∴∠C=∠D5. 证明：∵BE、CF是△ABC的高线．∴∠1=∠2=90°∴△BCF和△CBE都是Rt△．在Rt△BCF和Rt△CBE中∵CF=BE,BC=CB∴Rt△BCF≌Rt△CBE∴∠3=∠4在△HBC中∵∠3=∠4∴HB=HC(同一三角形中,等角对等边)6. 证明:∵AE=AD,∠1=∠2,∠A公共角∴△AEF≌△ADC (AAS)∴AB=AC,EB=DC∴∠ABC=∠ACB∴∠3=∠4,BF=CF∴DF=EF7. 证明:∵AB=AC∴∠B=∠C∵ED⊥BC∴∠B+∠BFD=∠B+∠EFA=90°∠C+∠E=90°。
初二数学等腰三角形的判定试题答案及解析
初二数学等腰三角形的判定试题答案及解析1.有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是海里．【答案】10【解析】过P作PD⊥AB于D，则PD的长就是灯塔与船之间的最近距离，求出∠APB=∠PAB，推出PA=PB=20，根据含30度角的直角三角形性质求出PD=PB，代入求出即可．解：如图：过P作PD⊥AB于D，则PD的长就是灯塔与船之间的最近距离，∴∠PDB=90°，∵∠PBD=30°，∠PAB=15°，∴∠APB=∠PBD﹣∠PAB=15°=∠PAB，∴PB=AB=20，在Rt△PBD中，PB=20，∠PBD=30°，∴PD=PB=10，故答案为：10．点评：本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出PB的长和得出PD=PB，题目比较典型，是一道比较好的题目，主要考查学生的理解能力和计算能力．2.如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，有下列结论：①∠ACD=∠B；②CH=CE=EF；③AC=AF；④CH=HD；⑤BE=CH．其中你认为正确的有．（填序号就可以）【答案】①②③【解析】①由CD是斜边AB上的高，∠ACB=90°，得到∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，即可得到答案；②由角平分线的性质得到CE=EF，根据三角形的外角性质能求出∠CHE=∠CEA，推出CH=CE即可得到答案；③根据直角三角形全等的判定定理HL即可；④⑤根据边得关系即可判断．解：①∵CD是斜边AB上的高，∠ACB=90°，∴∠CDB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴①正确；②∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠BAE，∵∠C=90°，EF⊥AB，∴CE=FE，∵∠CHE=∠CAE+ACD，∠CEA=∠BAE+∠B，∠ACD=∠B，∴∠CHE=∠CEA，∴CH=CE，即：CH=CE=EF，∴②正确；③∵在Rt△ACE和Rt△AFE中AE=AE，CE=EF，∴Rt△ACE≌Rt△AFE，∴AC=AF，∴③正确；④∵CH=EF，∴CH≠HD，∴④错误；⑤∵在Rt△BFE中，BE＞EF，而EF=CH，∴⑤错误；故答案为：①②③．点评：本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，解此题的关键是综合运用性质进行证明．此题题型较好，综合性强．3.下列说法：①如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，则△ABC能被一条直线分成两个小等腰三角形．②如图2，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中等腰三角形有6个．③如图3，△ABC是等边三角形，CD⊥AD，且AD∥BC，则AD=AB．④如图4，△ABC中，点E是AC上一点，且AE=AB，连接BE并延长至点D，使AD=AC，∠DAC=∠CAB，则∠DBC=∠DAB其中，正确的有（请写序号，错选少选均不得分）【答案】③④．【解析】不管过A（或过B或过C）作直线，都不能把三角形ABC分成两个等腰三角形，即可判断①；求出∠A=∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=36°，根据三角形的内角和定理求出三角形其余角的度数，根据等腰三角形的判定定理推出边相等，即可判断②；求出∠ACD=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出AD=AC，即可判断③；过C作CF∥BD交AB的延长线于F，连接DC，EF，求出EF=BC，证三角形全等推出DE=EF，DC=CF，推出CD=BC，推出∠CDB=∠CBD，根据三角形的内角和定理求出∠CDB=∠CAB即可．解：若△ABC中，AB=AC，∠A=45°，不论过A作直线（或过B作直线或过C作直线）都不能把三角形ABC化成两个等腰三角形，∴①错误；图②中，有等腰三角形7个：△ABD，△CBD，△ACE，△CDE，△BEF，△CDF，△FBC，∴②错误；∵等边△ABC，∴AB=AC，∠ACB=60°，∵AD∥BC，CD⊥AD，∴∠DCB=∠D=90°，∴∠ACD=30°，∴AD=AC=AB，∴③正确；过C作CF∥BD交AB的延长线于F，连接DC，EF，∴=，∵AE=AB，AD=AC，∴AF=AC=AD，∴CE=BF，即BE∥CF，CE=BF，∴四边形BECF是等腰梯形，∴EF=BC，在△DAC和△FAC中，∴△DAC≌△FAC，∴CD=CF，同理DE=EF，∵AD=AC，AE=AB，∴∠ADC=∠ACD，∠AEB=∠ABE，∵∠DAC=∠BAC，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，∠CAB+∠AEB+∠ABE=180°，∴∠ACD=∠AEB，∵∠AEB=∠DEC，∴∠ACD=∠DEC，∴DE=CD，∴DC=CF=EF=ED，∵EF=CB，∴DC=BC，∴∠CBD=∠CDE，∵∠DCA=∠DEC=∠AEB=∠ABE，由三角形的内角和定理得：∠CDE=∠CAB=∠DAB，∴∠DBC=∠DAB，∴④正确．故答案为：③④．点评：本题考查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判断，角平分线定义，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，第④小题证明过程偏难，对学生提出较高的要求，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．4.如图，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能有个．【答案】4个【解析】当O为等腰三角形的两条腰的交点时，以O为圆心，OP为半径画弧，交直线a于两点；当P为等腰三角形的两条腰的交点时，以P为圆心，OP为半径画弧，交直线a于一点；当所求的第三点为等腰三角形的两条腰的交点时，可作OP的垂直平分线，与直线a交于一点，那么可作出等腰三角形共4个．解：△AOP，△BOP，△COP，△DOP就是所求的三角形．点评：本题考查了等腰三角形的性质；等腰三角形有2条边相等，注意可选不同的顶点为等腰三角形的两条腰的交点．5.如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°，BC=2，BD是△ABC的角平分线，则AD= ．【答案】2【解析】根据等腰三角形的性质，先证∠B=∠C=72°，再由角平分线的定义可证∠ABD=∠CBD=36°，即可求∠BDC=72°，即证BD=BC=AD=2．解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°=∠C，∴BD=BC=AD=2．故填2．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质；由已知条件结合性质得到BD=BC=AD是正确解答本题的关键．6.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，则图中的等腰三角形有个，分别为．【答案】4；△BOC，△AOD，△ABD，△ACD【解析】根据已知条件可以推知∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠DOA，∠ABD=∠ADB，∠DAC=∠DCA，然后由等角对等边可以找出图中的等腰三角形．解：∵在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ACB，即∠CBD=∠ACB，∴OB=OC（等角对等边），∴△BOC是等腰三角形；又∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等），∴∠OAD=∠DOA，∠ABD=∠ADB，∠DAC=∠DCA，∴OA=OD，AB=AD，AD=DC，∴△AOD，△ABD，△ACD是等腰三角形；故答案是：4；△BOC，△AOD，△ABD，△ACD．点评：本题考查了等腰三角形的判定．角的等量代换的运用是正确解答本题的关键．7.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM=BN，连接MN交边AB于点P．（1）求证：MP=NP；（2）若设AM=x，BP=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△BPN是等腰三角形时，求AM的长．【答案】（1）见解析（2）y与x之间的函数关系式为，它的定义域是0＜x＜4（3）【解析】（1）过点M作MD∥BC交AB于点D，求出DM=BN，证△MDP≌△NBP即可；（2）求出AB，根据△MDP≌△NBP推出DP=BP，推出方程即可；（3）求出BP=BN，所得方程的解即可．（1）证明：过点M作MD∥BC交AB于点D，∵MD∥BC，∴∠MDP=∠NBP，∵AC=BC，∠C=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵MD∥BC，∴∠ADM=∠ABC=45°，∴∠ADM=∠A，∴AM=DM．∵AM=BN，∴BN=DM，在△MDP和△NBP中，∴△MDP≌△NBP，∴MP=NP．（2）解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=BC=4，∴．∵MD∥BC，∴∠AMD=∠C=90°．在Rt△ADM中，AM=DM=x，∴．∵△MDP≌△NBP，∴DP=BP=y，∵AD+DP+PB=AB，∴，∴所求的函数解析式为，定义域为0＜x＜4．答：y与x之间的函数关系式为，它的定义域是0＜x＜4．（3）解：∵△MDP≌△NBP，∴BN=MD=x．∵∠ABC+∠PBN=180°，∠ABC=45°，∴∠PBN=135°．∴当△BPN是等腰三角形时，只有BP=BN，即x=y．∴，解得，∴当△BPN是等腰三角形时，AM的长为．答：AM的长为．点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20゜，在AB、AC上分别取点E、D，使∠CBD=60°，∠BCE=50°，求∠AED的度数．【答案】50°【解析】作DF∥BC，与AB相交于F，连接CF，设CF与BD相交于G，连接EG，证DF=DG，BC=BG，求出∠BEC，推出BE=BG，求出△EFG是等腰三角形，推出EF=EG，证△DFE≌△DGE，求出△EDB，根据三角形外角性质求出即可．解：∵AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC=∠ACB=80°，∴∠ABD=20°，作DF∥BC，与AB相交于F，连接CF，设CF与BD相交于G，连接EG．∴四边形DFBC为等腰梯形．∵∠DBC=∠FCB=60°，∴△BGC，△DGF都是正三角形，即BG=CG，∵∠BCE=50°，∠EBC=80°，∴∠BEC=50°，即BE=BC，知△BGE是等腰三角形．得：∠BGE=80°，∠FGE=40°．又因∠EFG=∠BDC=40°，∴△EFG是等腰三角形，EF=GE．∵DF=DG，∴△DFE≌△DGE．∴DE平分∠FDG，∴∠EDB=30°，∴∠AED=∠EDB+∠EBD=50°．答：∠AED的度数是50°．点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．9.已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB垂足为D，BE⊥AC垂足为E，连接DE，点G、F分别是BC、DE的中点．求证：GF⊥DE．【答案】见解析【解析】作辅助线（连接DG、EG）构建Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，然后根据斜边上的中线等于斜边的一半求得DG=EG=BC，从而判定△DEG是等腰三角形；最后根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知GF⊥DE．证明：连接DG、EG．∵CD⊥AB，点G是BC的中点，∴在Rt△BCD中，DG=BC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）．（2分）同理，EG=BC．（2分）∴DG=EG（等量代换）．（1分）∵F是DE的中点，∴GF⊥DE．（2分）点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质．熟练运用等腰直角三角形“三线合一”的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．10.在△ABC中，已知∠A=∠B，且该三角形的一个内角等于100°．现有下面四个结论：①∠A=100°；②∠C=100°；③AC=BC；④AB=BC．其中正确结论的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】假如∠A=100°，求出∠B=100°，不符合三角形的内角和定理，即可判断①；假如∠C=100°，能够求出∠A、∠B的度数；关键等腰三角形的判定推出AC=BC，即可判断③④．解：∠A=∠B=100°时，∠A+∠B+∠C＞180°，不符合三角形的内角和定理，∴①错误；∠C=100°时，∠A=∠b=（180°﹣∠c）=40°，∴②正确；∵∠A=∠B，∴AC=BC，③正确；④错误；正确的有②③，2个，故选B．点评：本题考查了等腰三角形的判定和三角形的内角和定理等知识点的应用，能根据定理进行说理是解此题的关键，分类讨论思想的运用．11.如图所示．△ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD=50°，AE=AD，则∠EDC的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．50°【答案】B【解析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B=∠C，∠ADE=∠AED，代入数据计算即可求出∠BAD的度数．解：如图，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE，∵∠B=∠C，∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠EDC，即∠BAD=2∠EDC，∵∠BAD=50°，∴∠EDC=25°．故选B．点评：本题主要考查利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．12.如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（）A．3个B．4个C．7个D．8个【答案】D【解析】根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分AB可能为底，可能是腰进行分析．解：使△ABC是等腰三角形，当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．所以共8个．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的判定；解题的关键是要分情况而定，所以学生一定要思维严密，不可遗漏．13.下列三角形中，是正三角形的为（）①有一个角是60°的等腰三角形；②有两个角是60°的三角形；③底边与腰相等的等腰三角形；④三边相等的三角形．A．①④B．②③C．③④D．①②③④【答案】D【解析】等边三角形的判定定理有①三个都相等的三角形是等边三角形，②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，③三边都相等的三角形是等边三角形，根据以上定理判断即可．解：∵AB=AC，∠A=60°，∴△ACB是等边三角形，∴①正确；∵∠A=∠B=60°，∴AC=BC，∴△ACB是等边三角形，∴②正确；∵AB=AC，AB=BC，∴AB=AC=BC∴△ACB是等边三角形，∴③正确；∵AB=AC=BC，∴△ACB是等边三角形，∴④正确．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的判定和等边三角形的判定等的应用，主要检查学生是否掌握等边三角形的判定定理，题型较好，但是一道容易出错的题目．14.在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．这样的点一共有（）A．1个B．4个C．7个D．10个【答案】D【解析】本题利用了等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线．解：在等边△ABC中，三条边上的高交于点O，由于等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线，点O到三个顶点的距离相等，△ADB，△BOC，△AOC是等腰三角形，则点O是满足题中要求的点，高与顶角的两条边成的锐角为30°，以点A为圆心，AB为半径，做圆，延长AO交圆于点E，由于点E在对称轴AE上，有EC=EB，AE=AC=AB，△ECB，△AEC，△ABE都是等腰三角形，点E也是满足题中要求的点，作AD⊥AE交圆于点D，则有AC=AD，AD=AB，即△DAB，△ADC是等腰三角形，点D也是满足题中要求的点，同理，作AF⊥AE交圆于点F，则点F也是满足题中要求的点；同理，以点B为圆心，AB为半径，做圆，以点C为圆心，AB为半径，做圆，都可以分别得到同样性质的三个点满足题中要求，于是共有10个点能使点与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．故选D．点评：本题容易找出三条边上的高交于点O，是满足题中要求的点，其它点容易漏掉，这样的点不一定是等腰三角形的顶角所在的点，也可以是底角所在的点，明白这点后，就要做圆来找到所要求的点．15.如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO，BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N，BC于M，则△CMN的周长为（）A．12B．24C．36D．不确定【答案】B【解析】由AO，BO分别是角平分线求得∠1=∠2，∠3=∠4，利用平行线性质求得，∠1=∠6，∠3=∠5，利用等量代换求得∠2=∠6，∠4=∠5，即可解题．解：由AO，BO分别是角平分线得∠1=∠2，∠3=∠4，又∵MN∥BA，∴∠1=∠6，∠3=∠5，∴∠2=∠6，∠4=∠5，∴AN=NO，BM=OM．∵AC+BC=24，∴AC+BC=AN+NC+BM+MC=24，即MN+MC+NC=24，也就是△CMN的周长是24．故选B．点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线行至的理解和掌握，此题主要求得△ANO△BMO是等腰三角形，这是解答此题的关键．16.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点AB之间的距离是（）A．13B．9C．18D．10【答案】C【解析】运用勾股定理可将三角形的直角边求出，将两个直角边进行相加即为两个固定点之间的距离．解：∵电线杆高为12m，铁丝长15m，∴固定点与电线杆的距离==9m，∵两个直角三角形全等，∴两个固定点之间的距离=9×2=18m．故选C．点评：本题考查正确运用勾股定理，关键是从实际问题中找到直角三角形，并利用勾股定理进行有关的运算．17.如图，在△ABC中，BD=DE=EC，△ADE为等边三角形，则图中等腰三角形的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】根据已知的BD=DE=EC和△ADE为等边三角形，利用等腰三角形的判定进行判断即可．解：∵△ADE为等边三角形，∴AD=DE=AE，∵BD=DE=EC，∴AD=DE=AE=BD=EC，∴等腰三角形有△ABD、△ACE、△ADE、△ABC共四个．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的判定及等边三角形的性质，属于基础题，应该重点掌握．18.已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+CE=5．故选A．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题关键是求证DB=DO，OE=EC，难度不大，是一道基础题．19.推理：如图，∵∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，（已知）∴AD=CD，CD=DB（等腰三角形的性质）∴AD=DB，依据是（）A．旋转不改变图形的大小B．连接两点的所有线中线段最短C．等量代换D．整体大于部分【答案】C【解析】由∠A=∠ACD，得AD=CD，再由∠B=∠BCD得CD=DB，利用等量代换即可解题．解：∵∠A=∠ACD，∴AD=CD，∵∠B=∠BCD∴CD=DB，因AD和DB都等于同一个量CD，所以AD=DB，依据是等量代换．故选C．点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要利用了等量代换求得两边相等．20.如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A、D是黄金三角形，C、过A点作BC的垂线即可；只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．解：A、中作∠B的角平分线即可；C、过A点作BC的垂线即可；D、中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可；只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．故选B．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的4个选项中只有D选项有点难度，所以此题属于中档题．。
等腰三角形的有关计算和证明专练(含解析)浙教版数学八年级上册专题复习
等腰三角形的有关计算和证明专练1．已知等腰三角形一个内角的度数为54°，求其余各个内角的度数．2．如图所示为5×5的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C的个数为___________.3．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为_____________.4．数学课上，张老师举了下面的例题：例1：在等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数(答案：35°)．例2：在等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数(答案：40°或70°或100°)．张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式：在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．(1)请你解答以上的变式题．(2)小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．5．(1)如图1，P为等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA 的延长线于点R.请观察AR与AQ，它们有何数量关系？请证明你的猜想．(2)如图2，当点P沿着底边BC所在的直线运动到CB的延长线上时，其余条件不变，(1)中所得的结论还成立吗？请你在图2中补全图形，并给予证明．6．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D 与点E.(1)在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由．(2)若△PDE为等边三角形，求BD＋CE的值．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的一点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，交过点A平行于BC的直线于点F，求证：(1)∠C＝∠BAD.(2)AC＝EF.8．如图，在△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ，在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到点A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到点A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ；在边A 3E 上任取一点F ，延长A 2A 3到点A 4，使A 3A 4＝A 3F ，得到第4个△A 3A 4F ……按此作法继续下去，第2023个三角形中以A 2023为顶点的内角度数为()A.202121⎪⎭⎫ ⎝⎛×75°B ．202221⎪⎭⎫ ⎝⎛×75°C.202321⎪⎭⎫ ⎝⎛×75°D ．202421⎪⎭⎫ ⎝⎛×75°9．如图，已知△ABC 为等边三角形，D 为BC 上一动点，E 为△ABC 外一点，AD ＝AE ，∠DAE ＝60°，连结CE .若AB ＝4，当四边形ADCE 的周长取最小值时，BD 的长为____________.10．如图1，等边三角形ABC 中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边三角形EDC ，连结AE .(1)△DBC 与△EAC 全等吗？请说说你的理由．(2)求证：AE ∥BC .(3)如图2，若动点D 运动到边BA 的延长线上，所作△EDC 仍为等边三角形，请问AE ∥BC 是否仍然成立？证明你的猜想．11．已知C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB ＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD相交于点F.(1)如图1，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝__________°.如图2，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝__________°.如图3，若∠ACD＝α，则∠AFB＝__________(用含α的代数式表示)．(2)设∠ACD＝α，以点C为旋转中心，将图3中的△ACD按顺时针方向旋转任意角度(交点F至少在BD，AE 中的一条线段上)，如图4，试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明．12．如图，O为等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.以OC为一边作等边三角形OCD，连结AD.(1)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．(2)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？13．如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在边AC 上，BE 交AD 于点,F 且AE EF =，求证：AC BF =；14．（1）如图1，△ABC 与△ADE 均是顶角为50︒的等腰三角形，AB AC =，AD AE =，则BD 与CE 的数量关系为____________，并证明.（2）如图2，ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为DCE △中DE 边上的高，连接BE ．①求AEB ∠的度数；②证明：2AE BE CM=+答案解析1．【解析】解：①若这个角为顶角，则底角为180°－54°2＝63°，∴等腰三角形三个角的度数分别为54°，63°，63°.②若这个角为底角，则另一个底角也为54°，则顶角为180°－54°－54°＝72°，∴等腰三角形三个角的度数分别为54°，54°，72°.2．【解析】若△ABC 是以AB 为腰的等腰三角形，则满足条件的点C 有6个，如答图所示．3．【解析】∵∠B ＝50°，∠C ＝90°，∴∠BAC ＝40°.如答图，分三种情况讨论：①当AC ＝AD 时，∠ACD ＝12(180°－∠BAC )＝70°；②当CD ′＝AD ′时，∠ACD ′＝∠BAC ＝40°；③当AC ＝AD ″时，∠ACD ″＝12∠BAC ＝20°.综上所述，∠ACD 的度数为70°或40°或20°.4．【解析】解：(1)若∠A 为顶角，则∠B ＝(180°－∠A )÷2＝50°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B ＝180°－2×80°＝20°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B ＝80°.故∠B ＝50°或20°或80°.(2)分两种情况：①当90≤x ＜180时，∠A 只能为顶角，∴∠B 的度数只有一个；②当0＜x ＜90时，若∠A 为顶角，则∠B ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-2180x ；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B ＝(180－2x )°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B ＝x °.当180－x 2≠180－2x 且180－2x ≠x 且180－x 2≠x ，即x ≠60时，∠B 有三个不同的度数．综上所述，当0＜x ＜90且x ≠60时，∠B 有三个不同的度数．5．【解析】解：(1)AR ＝AQ .证明如下：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵RP ⊥BC ，∴∠BPQ ＝∠CPR ＝90°，∴∠B ＋∠BQP ＝∠C ＋∠R ＝180°－90°＝90°，∴∠BQP ＝∠R .又∵∠BQP ＝∠AQR ，∴∠R ＝∠AQR ，∴AR ＝AQ .(2)猜想仍然成立，补全图形如答图所示．证明如下：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C .又∵∠ABC ＝∠PBQ ，∴∠PBQ ＝∠C .∵RP ⊥BC ，∠BPQ ＝∠CPR ＝90°，∴∠PBQ ＋∠Q ＝∠C ＋∠R ＝180°－90°＝90°，∴∠Q ＝∠R ，∴AR ＝AQ .6．【解析】解：(1)∠BDP ＝∠EPC .理由如下：∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°.又∵∠DPE ＝60°，∴∠DPE ＝∠B .∵∠DPC 是△BDP 的外角，∴∠DPE ＋∠EPC ＝∠B ＋∠BDP ，∴∠EPC ＝∠BDP .(2)∵△PDE 为等边三角形，∴PD ＝PE .在△BDP 和△CPE 中，B＝∠C，BDP＝∠CPE，＝EP，∴△BDP≌△CPE(AAS)，∴BD＝CP，BP＝CE，∴BD＋CE＝CP＋BP＝BC＝8.7．【解析】证明：(1)∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠C＋∠DAC＝180°－∠ADC＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°，∴∠C＝∠BAD.(2)∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠AEB.∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠FAE.∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°＝∠BAC.又∵AB＝EA，∴△ABC≌△EAF(ASA)，∴AC＝EF.8．【解析】解：∵在△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝180°－∠B2＝75°.∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝12∠BA1C＝12×75°.同理可得∠EA3A2＝221⎪⎭⎫⎝⎛×75°，∠FA4A3＝321⎪⎭⎫⎝⎛×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数为121-⎪⎭⎫⎝⎛n×75°，∴第2023个三角形中以A2023为顶点的内角度数为202221⎪⎭⎫⎝⎛×75°. 9．【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.又∵∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，＝AC，BAD＝∠CAE，＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴CE＝BD.∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝AB＝4，∴四边形ADCE的周长＝CE＋DC＋AD＋AE＝BD＋DC＋2AD＝4＋2AD.当AD⊥BC时，AD的值最小，此时四边形ADCE的周长取最小值．又∵AB＝AC，∴BD＝12BC＝2.10．【解析】解：(1)△DBC与△EAC全等．理由如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，＝AC，BCD＝∠ACE，＝EC，∴△DBC≌△EAC(SAS)．(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.(3)AE∥BC仍然成立．证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，＝AC，BCD＝∠ACE，＝EC，∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.11．【解析】解：(1)如图1，∵CA＝CD，∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴ADC＝∠DAC＝∠ACD＝60°.∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE，∠DCB＝∠BCE＋∠DCE，∠ACD＝∠BCE，∴∠ACE＝∠DCB.又∵CA＝CD，CE＝CB，∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴∠EAC＝∠BDC，∴∠AFB＝∠ADF＋∠FAD＝∠ADC＋∠CDB＋∠FAD＝∠ADC＋∠CAE＋∠FAD＝∠ADC＋∠DAC＝120°.如图2，∵AC＝CD，∠ACE＝∠DCB＝90°，CE＝CB，∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴∠AEC＝∠DBC.又∵∠FDE＝∠CDB，∠DCB＝90°，∴∠EFD＝90°，∴∠AFB＝90°.如图3，∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB.又∵CA＝CD，CE＝CB，∴△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，∴∠DFA＝∠ACD，∴∠AFB＝180°－∠DFA＝180°－∠ACD＝180°－α.(2)∠AFB＝180°－α.证明如下：∵∠ACD＝∠BCE＝α，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB.在△ACE和△DCB中，＝DC，ACE＝∠DCB，＝CB，∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴∠CBD＝∠CEA，∴∠EFB＝∠ECB＝α，∴∠AFB＝180°－∠EFB＝180°－α.12．【解析】解：(1)△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴OC＝DC，∠ODC＝∠OCD＝60°.∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°，∴∠BCO＝∠ACD＝60°－∠ACO.在△BOC和△ADC中，＝DC，BCO＝∠ACD，＝AC，∴△BOC≌△ADC(SAS)，∴∠BOC＝∠ADC.∵∠BOC＝α＝150°，∴∠ADC＝150°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°，∴△AOD是直角三角形．(2)在△AOD中，易知∠AOD＝360°－110°－α－60°＝190°－α，∠ADO＝α－60°，∴∠OAD＝180°－(190°－α)－(α－60°)＝50°.分三种情况讨论：①当AO＝AD时，∠AOD＝∠ADO，即190°－α＝α－60°，∴α＝125°；②当OA＝OD时，∠OAD＝∠ADO，即50°＝α－60°，∴α＝110°；③当OD ＝AD 时，∠AOD ＝∠OAD ，即190°－α＝50°，∴α＝140°.综上所述，当α为125°或110°或140°时，△AOD 是等腰三角形．13．【解析】证明：延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，∵AD 是ABC ∆的中线，∴DC DB =，在ADC ∆和∆MDB 中，AD MD =，ADC MDB =∠∠，DC DB =，∴ADC MDB ∆≅∆，∴M CAD BM AC ∠=∠=，，AE EF = ，CAD AFE ∴∠=∠，MFB AFE ∠=∠ ，MFB CAD ∴∠=∠，BMF BFM ∴∠=∠，BM BF ∴=，AC BF ∴=.14．【解析】解：（1）BD CE =，∵∠BAC ＝∠DAE ＝50°，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE ，∴BD ＝CE ；（2）①解：∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD BCE∠=∠。
解等腰三角形的性质的练习题
解等腰三角形的性质的练习题1. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以点D为底边BC的中点，连接AD。
证明：△ABD≌△ACD。
解析：首先，根据等腰三角形的定义，AB=AC。
其次，由于D为BC的中点，所以BD=DC。
再根据SSS（边边边）对应的性质，我们可以得出△ABD≌△ACD。
也就是说，两个三角形的三边分别对应相等，从而可以得出两个三角形全等。
2. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的高为AH。
证明：∠HAB=∠HAC。
解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出∠A=∠B=∠C。
又因为AD为高，所以∠HAD=90°，而角HAB是等腰三角形ABC的顶角，所以角HAB也等于∠C。
综上所述，可以得出∠HAB=∠HAC。
3. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的中线DE。
证明：DE=BC/2。
解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出DE=BC/2。
这是因为DE是底边BC的中线，所以根据中线分割定理，DE等于底边BC的一半，即DE=BC/2。
4. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。
证明：△ADE≌△ABC。
解析：首先，我们需要说明如何将△ABC旋转180°得到△ADE。
根据题意，我们以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°。
旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。
根据旋转的定义，可以得出△ADE≌△ABC。
5. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。
证明：BD=DC，BE=EC。
解析：如前一题所述，旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。
由等腰三角形的定义可知，BD=DC，BE=EC。
等腰三角形典型例题练习含答案
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性质：两腰相等，底边与两腰之间 的比例为固定值
应用：在几何问题和实际问题中， 利用等腰三角形的边长比例解决问 题
等腰三角形的边长计算
等腰三角形的两 腰相等，底边与 两腰之间的夹角 相等。
等腰三角形的边 长关系可以根据 勾股定理进行计 算。
等腰三角形的高、 中线和角平分线 等性质可用于计 算边长。
等腰三角形的角度关系
第四章
等腰三角形的角度性质
等腰三角形的顶角与底角互 补，即它们的角度之和为 180度。
等腰三角形的两个底角相等， 即两个角大小相等。
等腰三角形的一个角为顶角， 其余两个角为底角，且三个 角度之和为180度。
等腰三角形的一个角为底角， 其余两个角为顶角，且三个 角度之和为180度。
等腰三角形的角度计算
等腰三角形两底角相等，角度和为180度 顶角与底角的角度关系：顶角 = 180度 - 2 × 底角度数 等腰三角形的高、中线和角平分线重合 等腰三角形中的角度计算可以通过三角函数或勾股定理进行求解
等腰三角形的角度证明
等腰三角形两底角相等，证明方法 为取等腰三角形ABC，作底边BC的 中点D，连接AD，则 ∠BAD=∠CAD。
自然界：蜂巢、蜘蛛网等自然现象 中经常出现等腰三角形的形状。
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建筑学：等腰三角形在建筑设计中 有广泛的应用，如金字塔、塔楼等。
艺术创作：等腰三角形在绘画、雕 塑和图案设计中常被用作基本构图 元素。
等腰三角形在实际问题中的应用
桥梁设计：利用等腰三角形的性质，实现桥梁的稳定和平衡 建筑结构：等腰三角形在建筑设计中用于增强结构的稳定性 机械零件：等腰三角形的特殊性质使其在某些机械零件中具有特殊用途 自然界中的等腰三角形：例如蜂巢、蜘蛛网等自然现象中存在等腰三角形的实际应用
初二数学等腰三角形的判定试题答案及解析
初二数学等腰三角形的判定试题答案及解析1.如图，在△ABC中，OB、OC分别是∠B和∠C的角平分线，过点O作EF∥BC，交AB、AC于点E、F，如果AB=10，AC=8，那么△AEF的周长为．【答案】18【解析】利用已知给出的平行线及角平分线的性质可得到许多对角是相等的，根据等校对等边的性质可得线段相等，进行等量代换周长可得．解：∵EF∥BC，∴∠2=∠3．又BO是∠ABC的平分线，∴∠1=∠3．∴∠2=∠1．于是EO=EB．同理，FO=FC．△AEF的周长为：（AE+EO）+（AF+FO）=（AE+EB）+（AF+FC）=10+8=18．故答案为18．点评：本题考查了平行线的性质和角平分线的定义及等腰三角形的判定；根据等角对等边，可以将周长转化为三角形两边长，有效的对线段进行转移是正确解答本题的关键．2.如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，有下列结论：①∠ACD=∠B；②CH=CE=EF；③AC=AF；④CH=HD；⑤BE=CH．其中你认为正确的有．（填序号就可以）【答案】①②③【解析】①由CD是斜边AB上的高，∠ACB=90°，得到∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，即可得到答案；②由角平分线的性质得到CE=EF，根据三角形的外角性质能求出∠CHE=∠CEA，推出CH=CE即可得到答案；③根据直角三角形全等的判定定理HL即可；④⑤根据边得关系即可判断．解：①∵CD是斜边AB上的高，∠ACB=90°，∴∠CDB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴①正确；②∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠BAE，∵∠C=90°，EF⊥AB，∴CE=FE，∵∠CHE=∠CAE+ACD，∠CEA=∠BAE+∠B，∠ACD=∠B，∴∠CHE=∠CEA，∴CH=CE，即：CH=CE=EF，∴②正确；③∵在Rt△ACE和Rt△AFE中AE=AE，CE=EF，∴Rt△ACE≌Rt△AFE，∴AC=AF，∴③正确；④∵CH=EF，∴CH≠HD，∴④错误；⑤∵在Rt△BFE中，BE＞EF，而EF=CH，∴⑤错误；故答案为：①②③．点评：本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，解此题的关键是综合运用性质进行证明．此题题型较好，综合性强．3.如果一个三角形三边长为a、b、c，且满足（a+b+c）（a﹣c）=0，则该三角形的形状是．【答案】等腰三角形【解析】根据（a+b+c）（a﹣c）=0得到a=c，从而可以判定该图形的形状．解：∵（a+b+c）（a﹣c）=0，∴a+b+c=0或a﹣c=0，∵a、b、c，为三角形三边，∴a+b+c=0（舍去），∴a=c∴该三角形为等腰三角形，故答案为：等腰三角形．点评：本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形是等腰三角形．4.如图，是两个完全相同且有一个角为60°的直角三角形所拼而成，则图中等腰三角形有个．【答案】3【解析】等腰三角形的判定定理问题，图中两个60°的直角三角形，可得∠B=∠C=30°∠D=∠AMD=60°，∠F=∠ANF=60°，由此可确定等腰三角形．解：如图所示，∵∠B=∠C=30°，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵∠D=∠AMD=60°，∠F=∠ANF=60°，∴AD=AM，AF=AN，∴△ADM、△ANF是等腰三角形，△ADM，△AFN，△ABC均为等腰三角形，共有三个．故填3．点评：本题考查了等腰三角形的判定及三角形内角和定理；求得各角的度数是正确解答本题的关键．5.在△ABC中，∠A=40°，当∠B= 时，△ABC是等腰三角形．【答案】40°或70°或100°【解析】分为两种情况：（1）当∠A是底角，①AB=BC，根据等腰三角形的性质求出∠A=∠C=40°，根据三角形的内角和定理即可求出∠B；②AC=BC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B=40°；（2）当∠A是顶角时，AB=AC，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠B．解：（1）当∠A是底角，①AB=BC，∴∠A=∠C=40°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=100°；②AC=BC，∴∠A=∠B=40°；（2）当∠A是顶角时，AB=AC，∴∠B=∠C=（180°﹣∠A）=70°．故答案为：40°或70°或100°．点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能进行分类讨论，并求出各种情况时∠B的度数是解此题的关键．6.在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的平分线，则图中共有个等腰三角形．【答案】3【解析】AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的平分线，求出∠ABC，∠C，∠BDC，∠ABD，∠DBC的度数，即可得到∠A=∠ABD，∠BDC=∠C，根据等角对等边即可得出答案．解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°﹣36°）=72°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，∴BD=BC，AD=BD，∵AB=AC，∴等腰三角形有：△ABC，△ADB，△BDC3个．故答案为：3．点评：本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，解此题的关键是求出各个角的度数．7.如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC、△PDC、△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有个．【答案】5【解析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC．解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，如图，在l上作点P，使PA=AB，同理，在l上作点P，使PC=DC，如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD=DC，故答案为5．点评：此题主要考查学生对等腰三角形判定的理解和掌握，此题难度较大，需要利用分类讨论的思想分析解答．8.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=5，则BD的长为．【答案】A【解析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=8，BC=5，即可推出BD的长度．解：延长BD与AC交于点E，∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵AC=8，BC=5，∴CE=5，∴AE=AC﹣EC=8﹣5=3，∴BE=3，∴BD=1.5．故选A．点评：本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．9.如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为．【答案】24【解析】根据AO、BO分别是角平分线和MN∥BA，求证△AON和△BOM为等腰三角形，再根据AC+BC=24，利用等量代换即可求出△CMN的周长解：AO、BO分别是角平分线，∴∠OAN=∠BAO，∠ABO=∠OBM，∵MN∥BA，∴∠AON=∠BAO，∠MOB=∠ABO，∴AN=ON，BM=OM，即△AON和△BOM为等腰三角形，∵MN=MO+ON，AC+BC=24，∴△CMN的周长=MN+MC+NC=AC+BC=24．故答案为：24．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题关键是求证△AON和△BOM为等腰三角形，难度不大，是一道基础题．10.如图：在△ACB中，点D是AB边上一点，且∠ACB=∠CDA，∠CAB的平分线分别交CD、BC于点E、F．（1）作出∠CAB的平分线AE；（2）试说明△CEF是什么三角形？并证明你的结论．【答案】见解析【解析】（1）根据角平分线定义画出图形即可；（2）根据角平分线定义推出∠CAE=∠DAE，根据三角形内角和定理得出∠ACB=∠CDA，求出∠CFA=∠AED，推出∠CFE=∠CEF，根据等角对等边推出CE=CF即可．解：（1）如图所示：；（2）△CEF是等腰三角形．证明：∵AE是∠CAB的平分线，∴∠CAE=∠DAE，∵∠CAE+∠ACB+∠CFE=180°∠DAE+∠CDA+∠AED=180°，∵∠ACB=∠CDA，∴∠CFA=∠AED，∵∠AED=∠CEF，∴∠CFE=∠CEF，∴CE=CF，即△CEF是等腰三角形．点评：本题考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，角平分线定义等知识点，注意：等角对等边．11.如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°，D是BC的中点，连接AD，求∠BAD与∠ADC的度数．【答案】60°【解析】因为∠B=∠C=30°，所以△ABC是等腰三角形，又因为D是BC的中点，所以AD⊥BC （三线合一）即∠ADC=90°，所以△ADB，△ADC是直角三角形，利用三角形内角和是180°求∠BAD=60°．解：∵△ABC中，∠B=∠C=30°，∴AB=AC，∵D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°∠ADB=90°，∴∠BAD=∠ADB﹣∠B，=90°﹣30°，=60°．点评：本题考查等腰三角形的判断方法：等角对等边和等腰三角形的一个重要性质：“三线合一”是一小型的综合题．12.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是对角线AC的中点，连接BE、DE（1）若AC=10，BD=8，求△BDE的周长；（2）判断△BDE的形状，并说明理由．【答案】（1）△BDE的周长为18（2）见解析【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质求出ED、BE的值，再代入BD+DE+BE求出即可；（2）根据直角三角形斜边的中线性质求出DE=BE=AC，根据等腰三角形的判定即可得出答案．解：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，E是对角线AC的中点，AC=10，∴DE=AC=5，BE=AC=5，∴△BDE的周长为BD+DE+BE=8+5+5=18，答：∴△BDE的周长为18．（2）△BDE是等腰三角形，理由是：∵∠ABC=∠ADC=90°，E是对角线AC的中点，∴DE=AC，BE=AC，∴DE=BE，∴△BDE是等腰三角形．点评：本题考查了直角三角形斜边的中线和等腰三角形的判定的应用，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，有两边相等的三角形是等腰三角形．13.已知等腰三角形ABC，∠A是顶角，且∠A等于∠C的一半，BD是△ABC的角平分线，则该图中共有等腰三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解析】由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵∠A是顶角，且∠A等于∠C的一半，∴∠A+∠C+∠ABC=∠A+2∠A+2∠A=180°，∴∠A=36°，∠C=∠ABC=72°，BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．14.在△ABC中，已知∠A=∠B，且该三角形的一个内角等于100°．现有下面四个结论：①∠A=100°；②∠C=100°；③AC=BC；④AB=BC．其中正确结论的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】假如∠A=100°，求出∠B=100°，不符合三角形的内角和定理，即可判断①；假如∠C=100°，能够求出∠A、∠B的度数；关键等腰三角形的判定推出AC=BC，即可判断③④．解：∠A=∠B=100°时，∠A+∠B+∠C＞180°，不符合三角形的内角和定理，∴①错误；∠C=100°时，∠A=∠b=（180°﹣∠c）=40°，∴②正确；∵∠A=∠B，∴AC=BC，③正确；④错误；正确的有②③，2个，故选B．点评：本题考查了等腰三角形的判定和三角形的内角和定理等知识点的应用，能根据定理进行说理是解此题的关键，分类讨论思想的运用．15.如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（）A．3个B．4个C．7个D．8个【解析】根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分AB可能为底，可能是腰进行分析．解：使△ABC是等腰三角形，当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．所以共8个．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的判定；解题的关键是要分情况而定，所以学生一定要思维严密，不可遗漏．16.在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．这样的点一共有（）A．1个B．4个C．7个D．10个【答案】D【解析】本题利用了等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线．解：在等边△ABC中，三条边上的高交于点O，由于等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线，点O到三个顶点的距离相等，△ADB，△BOC，△AOC是等腰三角形，则点O是满足题中要求的点，高与顶角的两条边成的锐角为30°，以点A为圆心，AB为半径，做圆，延长AO交圆于点E，由于点E在对称轴AE上，有EC=EB，AE=AC=AB，△ECB，△AEC，△ABE都是等腰三角形，点E也是满足题中要求的点，作AD⊥AE交圆于点D，则有AC=AD，AD=AB，即△DAB，△ADC是等腰三角形，点D也是满足题中要求的点，同理，作AF⊥AE交圆于点F，则点F也是满足题中要求的点；同理，以点B为圆心，AB为半径，做圆，以点C为圆心，AB为半径，做圆，都可以分别得到同样性质的三个点满足题中要求，于是共有10个点能使点与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．故选D．点评：本题容易找出三条边上的高交于点O，是满足题中要求的点，其它点容易漏掉，这样的点不一定是等腰三角形的顶角所在的点，也可以是底角所在的点，明白这点后，就要做圆来找到所要求的点．17.若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a﹣b）•（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】了解等腰三角形和直角三角形判定标准，是解题的关键．解：∵（a﹣b）•（a2+b2﹣c2）=0，∴（a﹣b）=0或（a2+b2﹣c2）=0，即a=b或a2+b2=c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选D．点评：本题利用了等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理求解．18.如图，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（）A．20°B．30°C．35°D．40°【答案】C【解析】由已知条件，根据线段垂直平分线的性质得到线段及角相等，再利用直角三角形两锐角互余得到∠B=（180°﹣∠ADB）÷2答案可得．解：∵DE垂直平分AB，∴AD=DB∴∠B=∠DAB∵∠C=90°，∠CAD=20°∴∠B=（180°﹣∠C﹣∠CAD）÷2=35°故选C点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应的角相等，然后根据三角形的内角和求解．19.已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+CE=5．故选A．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题关键是求证DB=DO，OE=EC，难度不大，是一道基础题．20.已知a，b，c为△ABC的三边且（a﹣b）（b﹣c）=0，则△ABC为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．无法确定【答案】A【解析】根据（a﹣b）（b﹣c）=0，得到a=b或b=c，从而判定三角形ABC的形状．解：∵（a﹣b）（b﹣c）=0，∴（a﹣b）=0或（b﹣c）=0，∴a=b或b=c∴△ABC为等腰三角形．故选A．点评：本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是根据题目提供的式子判定a=b或b=c．。
几何证明练习题及解法解析
几何证明练习题及解法解析在几何学中，经常会遇到需要证明的问题。
通过证明，可以推导出几何图形的性质和定理，进一步加深对几何概念的理解。
本文将提供一些几何证明的练习题，并对每个问题给出解法解析。
题目一：证明等腰三角形的底边角相等。
解法解析：设三角形ABC为等腰三角形，AB=AC。
要证明∠B=∠C。
根据等腰三角形的定义，我们可以得到以下等式：AB = AC (1)∠A + ∠B + ∠C = 180° (2)由于AB=AC，我们可以令BC=x，由此得到以下等式：AB + BC = AC + BCAC + BC = AC + xBC = x (3)根据等腰三角形的性质，我们知道∠B=∠C，因此∠B+∠C=180°-∠A。
将等腰三角形的定义和等式(2)带入上述等式中，可以得到：∠A + ∠B + ∠C = ∠A + ∠C + 180° - ∠A∠B + ∠C = 180°根据等腰三角形的性质，我们知道∠B+∠C=180°-∠A，即180°-∠A=180°，解得∠A=0°。
由此可见，∠A为0°，所以∠B+∠C=180°-∠A成立。
在等式中代入∠A=0°，可以得到∠B+∠C=180°。
同时根据等式(2)可得∠B+∠C=180°-∠A。
综上所述，等腰三角形的底边角相等，证毕。
题目二：证明平行线的内错角相等。
解法解析：设直线AB和CD平行，要证明∠1=∠2。
根据平行线的定义，直线AB和CD的内错角之和为180°，即∠1+∠3=180°和∠2+∠4=180°。
为了证明∠1=∠2，我们需要利用这两个等式，进行一定的代换和运算。
首先，我们可以将∠3=180°-∠1代入第一个等式中，得到∠1+(180°-∠1)=180°。
我们可以合并同类项，得到180°=180°。
八年级上册数学等腰三角形知识点和典型习题分类汇总附答案
第7讲等腰三角形❖基本知识（熟记，会画图，要提问．）（1）（等边对等角）．【证明之】（2）等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）．【证明之】（3）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）．【证明之】❖等腰三角形的性质【方程思想计算角度】1、【易】如图，求下列等腰三角形的所有角的度数。
（1）顶角30° （2）底角30°2、【易】计算：（1）等腰三角形的一个角是110°，求其余内角。
（2）等腰三角形的一个角是80°，求其余内角。
（3）已知一个等腰三角形的两角分别为（2x-2）°，（3x-5）°，求这个等腰三角形各角的度数。
3、【易】如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，△BAD=26°，求△B和△C的度数．4、【易】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△A、△ADB和△C的度数．5、【中】如图所示，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，则△AMB的度数为______．6、【中】如图，AB=AC，△A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求△DBC的度数．7、【中】如图，等腰△ABC中，AB=AC，△DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△A的度数是_______．【基础证明题】8、【易】如图，AD△BC，点E在AB的延长线上，CB＝CE，试猜想△A与△E的大小关系，并说明理由．9、【中】已知：CD平分AB，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．【如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
这句话倒过来也是对的，学到矩形时会证明。
】10、【中】如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE．【全等法或三线合一法】11、【中】【仿上题】如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ．若BD=CE ，F 为DE 的中点，求证：AF△BC ．12、【中】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 边上一点，△B=30°，△DAB=45°．（1）求△DAC 的度数；（2）求证：DC=AB ．13、【难】如图，在△ABC 中，AB=AC ，△ABC 、△ACB 的平分线BD ，CE 相交于O 点，且BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于点E ．某同学分析图形后得出以下结论：△△BCD△△CBE ；△△BAD△△BCD ；△△BDA△△CEA ；△△BOE△△COD ；△△ACE△△BCE ；上述结论一定正确的是________．14、【中】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE△AB ，DF△AC ，E ，F 分别是垂足，求证：AE=AF ．15、【中】如图，已知：AB=AC ，△CAE 是△ABC 的外角，△1=△2．求证：AD △ BC ．参考答案1、（1）底角75°；（2）底角30°，顶角120°．2、（1）35°，35°；（2）50°，50°；或80°，20°。
专题04 等腰三角形的证明(解析版)
专题04 等腰三角形的证明知识对接考点一、怎样解与等腰三角形有关的问题解与等腰三角形的边有关的问题时，常利用三角形的三边关系:确定能否构成三角形.当已知等腰三角形的边不能确定是腰还是底时,要分类讨论,还要考虑三角形的存在性，即两腰之和大于底边.解与等腰三角形的角有关的问题时，常利用三角形的内角和定理,遇到顶角、底角未知或仅知道两角之差但不确定大小关系时，还要注意分类讨论. 考点二、等腰三角形中的分类讨论在解决与等腰三角形的边、角有关的问题时,如果不知道已知的边是腰还是底边或不知道已知的角是顶角还是底角,就需要分类讨论.1.已知等腰三角形的两边长分别为a,b(a≠b),求周长C 时,分两种情况: (1)若腰长为a 且2a>b,则周长C=2a+b; (2)若腰长为b 且2b>a,则周长C=2b+a.2.已知等腰三角形的一个角为α,求顶角或底角的度数时,有三种情况: (1)若α为钝角,则α为顶角,底角的度数为(180°-α).(2)若α为直角,则α为顶角,且该三角形为等腰直角三角形,底角为45°.(3)若α为锐角,则应分两种情况讨论:①当α为顶角时,底角的度数为(180°-α);②当α为底角时,顶角的度数为180°-2α.特别注意:无论哪种情况,都要注意三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”,三个角必须满足“三角形的内角和等于180°”.专项训练一、单选题1．（2021·河北九年级一模）求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，CAE ∠是ABC 的外角，12∠=∠，AD ∥BC ．求证AB AC =．以下是排乱的证明过程：∥又12∠=∠， ∥∥B C ∠=∠， ∥∥AD ∥BC ，∥∥1B ∠=∠，2C ∠=∠， ∥∥AB AC =．证明步骤正确的顺序是（ ） A ．∥→∥→∥→∥→∥ B ．∥→∥→∥→∥→∥ C ．∥→∥→∥→∥→∥ D ．∥→∥→∥→∥→∥【答案】B 【分析】根据平行线的性质得出1,2B C ∠=∠∠=∠，再利用12∠=∠等量代换，得出B C ∠=∠，即可判定ABC 是等腰三角形，即可证明． 【详解】 具体步骤为： ∥∥AD ∥BC ，∥∥1B ∠=∠，2C ∠=∠， ∥又12∠=∠， ∥∥B C ∠=∠， ∥∥AB AC =． 故选：B ． 【点睛】本题考查平行线的性质，等量代换，等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质与等腰三角形的判定与性质．2．（2021·江西）如图，在∥ABC 中，∥A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是∥ABC 的角平分线．若在边AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D 【详解】试题分析：在∥ABC 中，∥A=36°，AB=AC ，求得∥ABC=∥C=72°，且∥ABC 是等腰三角形；因为CD 是∥ABC 的角平分线，所以∥ACD=∥DCB=36°，所以∥ACD 是等腰三角形；在∥BDC中，由三角形的内角和求出∥BDC=72°，所以∥BDC 是等腰三角形；所以BD=BC=BE ，所以∥BDE 是等腰三角形；所以∥BDE=72°，∥ADE=36°，所以∥ADE 是等腰三角形．共5个． 故选D考点：角平分线，三角形的内角和、外角和，平角3．（2021·河北）已知：如图，ABC 中，B C ∠=∠，求证：AB AC =，在证明该结论时，只添加一条辅助线：∥作BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，∥过点A 作AD BC ⊥于点D ，∥取BC 中点D ，连接AD ，∥作BC 的垂直平分线AD ，其中作法正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据辅助线构造的条件和三角形全等的判定方法结合在一起判断求解． 【详解】∥作BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，则B CBAD CAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∥∥ABD ∥∥ACD ， ∥AB =AC ， ∥∥作法正确；∥过点A 作AD BC ⊥于点D ，则B C BDA CDA AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∥∥ABD ∥∥ACD ， ∥AB =AC ， ∥∥作法正确；∥取BC 中点D ，连接AD ， 无法证明∥ABD ∥∥ACD ， ∥∥作法不正确；∥作BC 的垂直平分线无法证明点A 在其上，∥∥作法不正确；故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质证明，三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．4．（2021·云南文山·）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（）A．30B．60︒C．30或60︒D．15︒或75︒【答案】D【分析】首先根据题意作图，然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析，根据直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，则此直角边所对的角是30°角，再由等边对等角的知识，即可求得这个三角形的底角．【详解】解：如图∥：∥CD∥AB，∥∥ADC=90°，∥CD=12AC，∥∥A=30°，∥AB=AC，∥∥B=∥ACB=18030752︒︒︒-=；如图∥：∥CD∥AB，∥∥ADC=90°，AC，∥CD=12∥∥CAD=30°，∥AB=AC，∥∥B=∥ACB∥∥DAC=∥B+∥ACB=2∥B=30°，∥∥B=∥ACB=15°．∥这个三角形的底角为：75°或15°．故选：D．【点睛】此题考查了直角三角形的性质与等腰三角形的性质．解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．5．（2021·广东九年级二模）已知a、b、4分别是等腰三角形三边的长，且a、b是关于x 的一元二次方程2620-++=的两个根，则k的值等于（）x x kA．6B．7C．-7或6D．6或7【答案】D【分析】当a＝4或b＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当a＝b时，即∥＝（−6）2−4×（k ＋2）＝0，解方程即可得到结论．【详解】解：∥a、b、4分别是等腰三角形三边的长，∥当a＝4或b＝4时，即：42−6×4＋k＋2＝0，解得：k＝6，此时，2680-+=的两个根为：x1=2，x2=4，符合题意；x x当a＝b时，即∥＝（−6）2−4×（k＋2）＝0，解得：k＝7，此时，2690-+=的两个根为：x1=x2=3，符合题意；x x综上所述，k的值等于6或7，故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，进行分类讨论，是解题的关键．6．（2021·甘肃兰州·九年级）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∥A＝46°，CD∥AB于点D，则∥DCB＝（）A ．46°B ．67°C ．44°D ．23°【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：∥等腰三角形ABC 中，AB =AC ， ∥∥ABC =∥ACB ∥∥A =46°，∥∥ABC =12×（180°-46°）=12×134°=67°， ∥CD ∥AB 于D ，∥∥DCB =90°-∥ABC =90°-67°=23°， 故选：D ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，本题的解题关键是求出∥ABC 的度数即可得出答案． 7．（2021·苏州高新区第二中学九年级二模）定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】B 【分析】由已知可以写出∥B 和∥C ，再根据三角形内角和定理可以得解． 【详解】解：由已知可得：∥B=∥C=k∥A=（36k ）°， 由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180， ∥k=2， 故选B ． 【点睛】本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键 ．8．（2021·四川成都·九年级一模）在螳螂的示意图中，AB∥DE ，∥ABC 是等腰三角形，∥ABC ＝124°，∥CDE ＝72°，则∥ACD ＝（ ）A ．16°B ．28°C ．44°D ．45°【答案】C 【分析】延长ED ，交AC 于F ，根据等腰三角形的性质得出28A ACB ，根据平行线的性质得出28CFD A，【详解】解：延长ED ，交AC 于F ，ABC ∆是等腰三角形，124ABC ∠=︒，28AACB， //AB DE ，28CFD A，72CDE CFD ACD，722844ACD，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．9．（2021·全国九年级专题练习）如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，5BD =，则CD 等于（ ）A ．10B ．5C ．4D ．3【答案】B 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD 的长． 【详解】∥AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线 ∥CD=BD=5． 故选：B ． 【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识．10．（2021·河北九年级专题练习）已知m 、n 、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m 、n 是关于x 的一元二次方程2x ﹣6x +k+2=0的两个根，则k 的值等于( ) A ．7 B ．7或6 C ．6或﹣7 D ．6【答案】B 【分析】当m =4或n =4时，即x =4，代入方程即可得到结论，当m =n 时，即∥=(﹣6)2﹣4×(k +2)=0，解方程即可得到结论． 【详解】当m=4或n=4时，即x=4， ∥方程为42﹣6×4+k+2=0， 解得：k=6；当m=n 时，2x ﹣6x +k+2=0 ∥1a =，6b =-，2c k =+，∥()()22464120b ac k =-=--⨯⨯+=⊿， 解得：7k =，综上所述，k 的值等于6或7， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键． 二、填空题11．（2021·江苏九年级）若一条长为32cm 的细线能围成一边长等于8cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为___cm ． 【答案】12 【分析】根据题意，分腰长为8cm 和底边为8cm 两种情况并结合三角形的构成条件分类讨论即可． 【详解】解：若腰长为8cm ，则此三角形的另一边长为32-8-8=16（cm ）， 而8+8=16，无法构成三角形， ∥此情形舍去；若底边为8cm ，则腰长为（32-8）÷2=12（cm ）， 此时12+12＞8，12+8＞8，可以构成三角形． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形的构成条件、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想，根据题意结合三角形构成条件进行分类讨论是解题的关键．12．（2021·江苏九年级二模）顶角是36︒的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，AC AD BE 、、是正五边形ABCDE 的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．【答案】6 【分析】根据正五边形的内角和和黄金三角形的定义进行判断即可． 【详解】解：设BE 与AC 、AD 交于M 、N ，ABCDE 是正五边形，内角和为5218540(0)-⨯︒=︒，每一个内角为5405108︒÷=︒，∥∥ABC＝∥BAE＝∥AED＝∥BCD＝∥CDE＝108°，∥AB＝BC＝AE＝ED，∥∥BAC＝∥BCA＝36°，∥EAD＝∥ADE＝36°，∥∥CAD＝36°，∥ACD＝∥ADC＝72°，∥AC＝AD，∥∥ACD是黄金三角形，同理可求：∥BAN＝∥ANB＝∥AME＝∥EAM＝72°，∥CBM＝∥BMC＝∥DNE＝∥DEN＝72°，∥∥AMN、∥DEN、∥EAM、∥CMB，∥ABN也是黄金三角形．则图中黄金三角形的个数有6个．故答案为：6．13．（2021·浙江九年级期末）ABC中，∥A=36°，∥B是锐角．当∥B=72°时，我们可以如图作线段BD将ABC分成两个小等腰三角形如果存在一条线段将ABC分成两个小三角形，这两个小三角形都是等腰三角形，则∥B的角度还可以取到的有____________．【答案】54°，36°，18°，12°【分析】直线从A、B、C出发分三种情况讨论，利用等边对对角、三角形的外角性质、三角形的内角和建立方程求解，再结合题干看是否存在即可得出答案．【详解】∠=解：这条直线从A、B、C出发皆可，设B x()I假设从A出发，如下图：∥当BD=AD，AD=DC时，B BAD DAC C∴∠=∠∠=∠∴︒-︒-=︒-1803636x x此时x的值不存在；∥当BD=AD，AC=DC时∠=∠，ADC DACB BAD∠=∠ADC B BAD BAC BAD∠=∠+∠=∠-∠∴=︒-236x xx=︒；解得：12∥当BD=AD，AD=AC时∠=∠∠=∠，ADC CB BADC x x∠=︒--︒=︒-ADC B BAD x∠=∠+∠=，180361442x x∴=︒-2144解得：48x=︒︒>︒，此种情况不存在；此时4836∥当AB=AD，AD=DC时，∠=∠∠=∠，ADC CB ADBC x∠=︒-，18036∠=--︒BAD x1802()∴︒-=︒---︒x x180********x=︒（不符合题意）解得：96()II假设从B出发，如下图：∥当AD =BD ，BD =BC 时36272BDC A ABD ∠=∠+∠=︒⨯=︒72,72C B ∴∠=︒∠=︒,此情况成立；∥AD =BD ，BD =DC 时7236BDC DBC x ∠=︒∠=-︒， 3618036x x ∴-︒=︒-︒-解得：90x =︒，此时不成立；()III 假设从C 出发，如下图：∥BD =DC ，AC =DC 时362ADC A B DCB x ∠=∠=︒=∠+∠=解得：18x =︒，此时成立； ∥BD =DC ，AD =DC180362108ADC ∠=︒-︒⨯=︒,2108ADC B DCB x ∠=∠+∠==︒解得：54x =︒，此时成立； ∥BD =BC ，AD =DC 1802xBDC BCD ︒-∠=∠=，36A ACD ∠=∠=︒，BDC A ACD ∠=∠+∠ 18036362x︒-∴=︒+︒x=︒；解得：36综上所述，∥B的角度还可以取到的有54︒、36︒、12︒、18︒．故答案为：54°，36°，18°，12°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和、三角形外角的性质，解题的关键是分情况讨论，注意不要漏掉．14．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____．【答案】45°或36°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．【详解】解：∥如图1，当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，设∥A=x°，则∥ACD=∥A=x°，∥B=∥A=x°，∥∥BCD=∥B=x°，∥∥A+∥ACB+∥B=180°，∥x+x+x+x=180，解得x=45，∥原等腰三角形的底角是45°；∥如图2，∥ABC 中，AB =AC ，BD =AD ，AC =CD ， ∥AB =AC ，BD =AD ，AC =CD ， ∥∥B =∥C =∥BAD ，∥CDA =∥CAD ， ∥∥CDA =2∥B ， ∥∥CAB =3∥B ， ∥∥BAC +∥B +∥C =180°， ∥5∥B =180°， ∥∥B =36°，∥原等腰三角形的底角为36°； 故答案为45°或36° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解． 15．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 、F 分别是边BC 、CD 上一点，EF AE ⊥，将ECF △沿EF 翻折得EC F '△，连接AC '，当BE =________时，AEC '是以AE 为腰的等腰三角形．【答案】78或43【分析】对AEC '是以AE 为腰的等腰三角形分类讨论，当=AE EC '时，设BE x =，可得到4EC x =-，再根据折叠可得到=4EC EC x '=-，然后在Rt∥ABE 中利用勾股定理列方程计算即可；当=AE AC '时，过A 作AH 垂直于EC '于点H ，然后根据折叠可得到=C EF FEC '∠∠，在结合EF AE ⊥，利用互余性质可得到BEA AEH =∠∠，然后证得∥ABE ∥∥AHE ，进而得到BE HE =，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到EH C H '=，然后在根据数量关系得到14=33BE BC =．【详解】解：当=AE EC '时，设BE x =，则4EC x =-， ∥ECF △沿EF 翻折得EC F '△，∥=4EC EC x '=-，在Rt∥ABE 中由勾股定理可得：222AE BE AB =+即222(4)3x x -=+， 解得：7=8x ； 当=AE AC '时，如图所示，过A 作AH 垂直于EC '于点H ，∥AH ∥EC '，=AE AC '， ∥EH C H '=， ∥EF AE ⊥，∥=90C EF AEC ''+︒∠∠，90BEA FEC +=︒∠∠ ∥ECF △沿EF 翻折得EC F '△， ∥=C EF FEC '∠∠， ∥BEA AEH =∠∠，在∥ABE 和∥AHE 中B AHE AEB AEH AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥ABE ∥∥AHE （AAS ）， ∥BE HE =， ∥=BE HE HC '=， ∥12BE EC '=∥EC EC '=， ∥12BE EC =， ∥14=33BE BC =，综上所述，7483BE =或，故答案为：7483或【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可． 三、解答题16．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片ABCD 沿E 折叠，使,C A 两点重合．点D 落在点G 处．已知=4AB ，8BC =． （1）求证：AEF ∆是等腰三角形； （2）求线段FD 的长．【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）根据矩形的性质可得//AD BC ,则FEC AFE ∠=∠,因为折叠，FEC AEF ∠=∠，即可得证；（2）设FD x =用含x 的代数式表示AF ，由折叠，AG DC =，再用勾股定理求解即可 【详解】（1）四边形ABCD 是矩形∴//AD BC∴FEC AFE ∠=∠因为折叠，则FEC AEF ∠=∠AEF AFE ∴∠=∠∴AEF ∆是等腰三角形（2）四边形ABCD 是矩形8,4AD BC CD AB ∴====,90D ∠=︒设FD x =，则8AF AD x x =-=-因为折叠，则FG x =，4AG CD ==,90G D ∠=∠=︒ 在Rt AGF △中222FG AF AG =-即222(8)4x x =-- 解得：3x =∴3FD =【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键．17．（2021·湖南郴州市·）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒．点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ，连接GC ，HB ．（1）证明：AHB AGC ≌；（2）如图2，连接GF ，HC ，AF 交AF 于点Q ． ∥证明：在点H 的运动过程中，总有90HFG ∠=︒；∥若4AB AC ==，当EH 的长度为多少时，AQG 为等腰三角形？【答案】（1）见详解；（2）∥见详解；∥当EH 的长度为2AQG 为等腰三角形 【分析】（1）由旋转的性质得AH =AG ，∥HAG =90°，从而得∥BAH =∥CAG ，进而即可得到结论； （2）∥由AHB AGC ≌，得AH =AG ，再证明AEH AFG ≌，进而即可得到结论；∥AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∥QAG =∥QGA =45°时，（b ）当∥GAQ =∥GQA =67.5°时，（c ）当∥AQG =∥AGQ =45°时，分别画出图形求解，即可． 【详解】解：（1）∥线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ， ∥AH =AG ，∥HAG =90°，∥在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB =AC ， ∥∥BAH =90°-∥CAH =∥CAG ， ∥AHB AGC ≌；（2）∥∥在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点， ∥AE =AF ，AEF 是等腰直角三角形， ∥AH =AG ，∥BAH =∥CAG ， ∥AEH AFG ≌， ∥∥AEH =∥AFG =45°，∥∥HFG =∥AFG +∥AFE =45°+45°=90°，即：90HFG ∠=︒； ∥∥4AB AC ==，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点， ∥AE =AF =2，∥∥AGH =45°，AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∥QAG =∥QGA =45°时，如图，则∥HAF =90°-45°=45°， ∥AH 平分∥EAF ， ∥点H 是EF 的中点，∥EH 12=（b ）当∥GAQ =∥GQA =（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∥EAH =∥GAQ =67.5°， ∥∥EHA =180°-45°-67.5°=67.5°， ∥∥EHA =∥EAH ， ∥EH =EA =2；（c ）当∥AQG =∥AGQ =45°时，点H 与点F 重合，不符合题意，舍去，综上所述：当EH 的长度为2时，AQG 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．18．（2021·江苏九年级二模）如图（1），已知矩形ABCD 中，6cm AB BC ==，，点E 为对角线AC 上的动点．连接BE ，过E 作EB 的垂线交CD 于点F ．（1）探索BE 与EF 的数量关系，并说明理由．（2）如图（2），过F 作AC 垂线交AC 于点G ，交EB 于点H ，连接CH ．若点E 从A 出发沿AC 方向以/s 的速度向终点C 运动，设E 的运动时间为s t ． ∥是否存在t ，使得H 与B 重合？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由； ∥t 为何值时，CFH △是等腰三角形； ∥当CG GH =时，求CGH 的面积．【答案】（1）BE =；（2）∥t=1，∥t =； 【分析】(1)连接BF ，易证B. C. F. E 四点共圆，,AD EFtan ACD tan EBF CD BE∠==∠=即可求证出BE = ；(2)∥存在，当H 、B 重合时，如图所示，结合(1)知可得BG =3，CG =，同理可知CF =2，FG =1,EG CG ==CE =，由此可得t=1，∥先得出60CFH ∠=︒ ，再由△FHC 为等腰三角形，推出△FHC 为等边三角形进而得出45CEB ∠=︒ ，△ABE =15°，△EBC =75°，根据△BCH =30°得出CH=CB=CF ，根据题意列等式64t -=求出t =，∥过点E 作MN 垂直AB ，设AE =，求证出 ~FEM EBN ∆∆ ，根据相似的性质结合4DF t =，64CF t =- ，32FG t =- 得出EG =-=，再结合EGH FGE ∽得出()232t -=进而表示出CG ，代入面积公式()21CG 2CGH S ∆==即可； 【详解】解：(1)连接BF ，如图：已知矩形ABCD 中，BE EF ⊥ ， ∥∥BEF =∥BCF =90°，∥点B ， C ，F ， E 四点共圆，∥∥EBF =∥ACD （同圆中同弧所对圆周角相等），∥,AD EFtan ACD tan EBF CD BE∠==∠=∥BE =(2) ∥存在，当H 、B 重合时，如图所示：由(1)知，∥EBF =30°， ∥∥ACD =∥EBF =30°， 则∥ACB =60°，∥FH AC ⊥ 即∥BGC =90°，BC =∥BG =3，CG =，同理可得CF=2，FG=1，EG CG ==∥CE =， ∥AE AC CE =- ，又∥已知矩形ABCD 中，6cm AB BC ==，，∥AC =，∥AE =∥点E 从A 出发沿AC 方向以/s 的速度向终点C 运动， ∥t=1； ∥∥∥CFH 为等腰三角形， 又∥∥ACD =30°， ∥60CFH ∠=︒ ， ∥∥CFH 为等边三角形， ∥FG =GH ，又由（1）知90BEF ∠=︒， ∥FG =GH =EG ， ∥45CEB ∠=︒ ， ∥∥ABE =15°， ∥∥EBC =75°， ∥∥BCH =30°，∥∥CHB 为等腰三角形， ∥CH =CB =CF ，∥3CE CG EG =+=，∥3AE CE == ，即3= ，解得：t =， ∥由题意知：过点E 作MN 垂直AB ，设AE =，则由（1）得EN =，3t AN =，∥∥FME =∥ENB ，∥FEM +∥BEN=∥BEN +∥EBN=90°， ∥∥FEM =∥EBN ， ∥FEM EBN ∆~∆ ， ∥ME MFBN EN= ，，∥MF =t ，∥4DF DM MF AN MF t =+=+=，则64CF t =- ， ∥32FG t =- ，∥CG = ，EG AC AE CG =--=-=，在t R EFH ∆中，EG FH ⊥ ，,EGH FGE ∴∽ ,EG GH FG EG∴= ∥2EG GH FG =⨯ ，∥()()232t =⨯-，∥()232t -∥CG GH =，∥()()221122CGH S CG ∆===； 【点睛】此题属于四边形综合试题，考查动点问题，涉及到圆周角，三角形相似，特殊角的直角三角形各边的关系及等边三角形的证明，有一定难度．19．（2021·苏州市胥江实验中学校九年级）如图，在ABC 中，以AB 为直径的O 交BC 边于点D ，交AC 边于点E ．过点D 作O 的切线，交AC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，且DF AC ⊥，连接DE ．（1）求证：ABC 是等腰三角形； （2）求证：2DE EF AC =⋅；（3）若6BG =，2CF =，求O 的半径． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）DF 是△O 的切线，得到∥ODF =90°，再求出∥C +∥FDC =90° ，∥C =∥BDO ，由OB =OD ，得∥BDO =∥ABC ．∥C =∥ABC ，即可求解．（2）因为AB 是直径，得到90ADB ∠=︒,知道AB AC =,BAD CAD ∠=∠,BD DE =,推出，ABD DEF ∽，得到AC DEDE EF=即可求解； （3）求出∥ODG∥∥AFG ，得出比例式，即可求出圆的半径． 【详解】（1）证明： ∥DF 是△O 的切线， ∥OD ∥DF ． ∥∥ODF =90°．又∥∥BDO +∥ODF +∥FDC =180°， ∥∥BDO +∥FDC =90°． ∥DF ∥AC ， ∥∥DFC =90°， ∥∥C +∥FDC =90°． ∥∥C =∥BDO ． ∥OB =OD ， ∥∥BDO =∥ABC ． ∥∥C =∥ABC ． ∥AB =AC ．∥∥ABC 是等腰三角形； （2）连接AD ，∥AB 是直径 90ADB ∴∠=︒, AB AC =,BAD CAD ∴∠=∠,BD DE ∴=,在ABD △和DEF 中90ADB DFE ABD DEF∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩ ABD DEF ∴∽,AB BDDE EF∴= ,AB AC BD DE ==AC DEDE EF∴= 2DE EF AC ∴=⋅ （3）解：∥AB =AC ， ∥∥ABC =∥C ， ∥OB =OD ， ∥∥ABC =∥ODB ， ∥∥ODB =∥C ， ∥OD ∥AC ， ∥∥GOD ∥∥GAF ， ,OD GOAF GA∴= ∥设△O 的半径是r ，则AB =AC =2r ， ∥AF =2r -2， 6,2262r rr r+∴=-+ ∥r =3，经检验：3r =是原方程的根，且符合题意， 即△O 的半径是3．【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 20．（2021·广东中山·）如图，已知等腰ABC ∆的顶角36A ∠=︒．（1）根据要求用尺规作图：作ABC ∠的平分线交AC 于点D ；（不写作法，只保留作图痕迹．）（2）在（1）的条件下，证明：BDC ∆是等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）以点B 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 、BC 于点M 、N ，然后以点M 、N 为圆心，大于MN 长的一半为半径画弧，交于点O ，连接BO ，交AC 于点D ，则问题可求解； （2）由题意易得72ABC C ∠=∠=︒，然后可得72C CDB ∠=∠=︒，则问题可求证． 【详解】.解：（1）如图所示：BD 即为所求；（2）∥36A ∠=︒，∥()18036272ABC C ∠=∠=︒-︒÷=︒， ∥BD 平分ABC ∠，∥72236ABD DBC ∠=∠=︒÷=︒， ∥1803672872CDB ∠=︒-︒-=︒， ∥72C CDB ∠=∠=︒， ∥BD BC =，∥BDC都是等腰三角形．【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．21．（2021·浙江）如图，矩形ABCD中，点E为BC边上一点，把ABE△沿着AE折叠得到AEF，点F落在AD边的上方，线段EF与AD边交于点G．（1）求证：AGE是等腰三角形（2）试写出线段FG，GD，EC三者之间的数量关系式（用同一个等式表示），并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）GD=GF+EC，证明见解析．【分析】（1）根据矩形性质、折叠性质及等角对等边可以得到证明；（2）根据折叠性质及（1）可得AG+GD=FG+GA+EC，从而得到GD=GF+EC．【详解】解：(1)证明:在矩形ABCD中，有:AD∥BC且AD=BC.∥∥DAE=∥BEA.∥∥ABE沿着AE折叠得到∥AEF.∥∥AEB= ∥AEG.∥∥GAE=∥GEA.∥GA=GE.∥∥AGE是等腰三角形.(2)GD=GF+EC.证明:根据折叠的性质:BE=EF.∥GE=GA、AG+GD=BE+EC.∥AG+GD=EF+EC.∥EF=FG+GE=FG+GA.∥AG+GD=FG+GA+EC.∥GD=GF+EC.【点睛】本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质是解题关键．22．（2021·安徽）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上不与A，B重合的一动点，AC ＝CD，连接AC，CD，AD，BC，延长BC交AD于F，交半圆O的切线AE于E．（1）求证：∥AEF是等腰三角形；（2）填空：∥若AE BE＝5，则BF的长为；∥当∥E的度数为时，四边形OACD为菱形．【答案】（1）见详解；（2）∥3；∥60°【分析】（1）由AB为半圆O的直径，AE是切线，可得∥EAC=∥ABC，结合圆周角定理的推论可得∥EAC=∥CAD，从而得ACE≌ACF，，进而即可得到结论；（2）∥由等腰三角形的性质得EF=2CE，再利用勾股定理求出AB的值，然后利用面积法求出AC的值，进而即可求解；∥利用菱形的性质和圆的性质，可得ACO是等边三角形，结合圆周角定理，即可求得答案．【详解】（1）证明：∥AB为半圆O的直径，AE是切线，∥∥ACB=90°，∥EAB=90°，∥∥EAC+∥CAB=∥CAB+∥ABC=90°，∥∥EAC=∥ABC，∥AC＝CD，∥∥ABC =∥CAD，∥∥EAC=∥CAD，又∥∥ACE=∥ACF=90°，AC=AC，∥ACE≌ACF，∥AE=AF，∥∥AEF是等腰三角形；（2）∥∥∥AEF是等腰三角形，AE=AF，AC∥BE，∥点C是EF的中点，即:EF=2CE，∥AE ∥AB ，∥AB∥1122AEBSAE AB BE AC =⋅=⋅，∥2AE AB AC BE ⋅===，∥1CE =， ∥EF =2CE =2， ∥BF =BE -EF =5-2=3， 故答案是：3； ∥连接OC ，∥四边形OACD 为菱形， ∥OA =OD =CD =AC =OC ， ∥ACO 是等边三角形， ∥∥AOC =60°， ∥∥ABE =30°， ∥∥E =90°-30°=60°． 故答案是：60°．【点睛】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其推论，是解题的关键．23．（2021·广东）如图，已知等腰三角形ABC 的顶角∥A ＝108°．（1）在BC 上作一点D ，使AD ＝CD （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．（2）求证：∥ABD 是等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图直接进行求解即可；（2）由题意易得∥B＝∥C＝36°，然后根据三角形内角和与外角的性质及等腰三角形的判定可进行求解．【详解】解：（1）如图，点D即为所求；（2）连接AD，∥AB＝AC，∥A＝108°，∥∥B＝∥C＝36°，由（1）得：AD＝CD，∥∥DAC＝∥C＝36°，∥∥ADB＝∥DAC+∥C＝72°，∥BAD＝∥BAC﹣∥DAC＝108°﹣36°＝72°，∥∥BAD＝∥BDA，∥AB＝BD，∥∥ABD是等腰三角形．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键．。
2.5第1课时等腰三角形的性质与判定(十一大题型)(解析版)
（苏科版）八年级上册数学《第2章 轴对称图形》2.4 等腰三角形的轴对称性第1课时 等腰三角形的性质和判定◆1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．◆2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”).★用符号语言表示为：在△ABC 中，∵ AB =AC （已知），∴ ∠B ＝∠C （等边对等角）.◆3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.★用符号语言表示为：在△ABC 中，（1）∵AB =AC , ∠1=∠2(已知)，∴BD =CD , AD ⊥BC （等腰三角形三线合一）.（2）∵AB =AC , BD =CD (已知)，∴∠1=∠2 , AD ⊥BC （等腰三角形三线合一）.（3）∵AB =AC , AD ⊥BC (已知)，∴BD =CD , ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.等腰三角形的判定方法：◆1、定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形.◆2、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)．几何语言：在△ABC中，∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边）.◆3、等腰三角形的判定与性质的区别条件结论作用性质(等边对等角)在同一个三角形中，两边相等.这两边所对的角也相等.证明角相等.判定(等角对等边)在同一个三角形中，两个角相等.这两个角所对的边也相等.证明线段相等.【例题1】（2022•梅江区校级开学）如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°．BD 平分∠ABC ，则∠BDC 是（ ）A ．36°B ．60°C ．72°D ．80°【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得∠ABC 的度数，再根据角平分线的定义可得∠ABD 的度数，然后根据三角形的外角性质解答即可．【解答】解：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC =180°36°2=72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =12∠ABC ＝36°，∴∠BDC ＝∠A +∠ABD ＝72°．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；【变式1-1】（2022春•藁城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝DC，AE⊥BD，若∠DAE＝28°，则∠BAE＝ °．【分析】根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AE⊥BD，∴∠ARD＝90°，∵∠DAE＝28°，∴∠ADB＝62°，∵∠ABC＝90°，AD＝DC，∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠ABD=12×（180°﹣62°）＝59°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝31°，故答案为：31．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式1-2】（2022春•三原县期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点D．若∠ADE＝40°，则∠CBD＝ ．【分析】由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可得∠AED＝∠BED＝90°，DA＝DB，又由∠ADE ＝40°，即可求得∠ABD的度数，又由AB＝AC，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴∠AED＝∠BED＝90°，DA＝DB，∵∠ADE＝40°，∴∠A＝∠ABD＝50°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．故答案为：15°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．【变式1-3】（2022春•碑林区校级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数为（ ）A．30°B．32°C．34°D．36°【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC的度数，根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，可得∠DBA 的度数，进一步即可求出∠DBC的度数．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝70°，∵AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴DA ＝DB ，∴∠DBA ＝∠A ＝40°，∴∠DBC ＝30°，故选：A ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．【变式1-4】（2022春•铁西区期末）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 到点D ，使得CD ＝CA ，连接AD ，若∠D ＝25°，求∠BAC 的度数．【分析】两次利用等边对等角求得∠B ＝∠BCA ＝50°，然后利用三角形的内角和求得答案即可．【解答】解：∵CD ＝CA ，∠D ＝25°，∴∠BCA ＝2∠D ＝50°，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BCA ＝50°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝80°．【点评】考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解“等边对等角”，难度不大．【例题2】（2022秋•云梦县期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝DB ，DE ⊥AB 于点E ，若BC ＝3，且△BDC 的周长为8，则AE的长为（ ）A．2B．2.5C．3D．3.5【分析】根据已知可得BD+CD＝5，从而可得AB＝AC＝5，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答．【解答】解：∵BC＝3，且△BDC的周长为8，∴BD+CD＝8﹣3＝5，∵AD＝BD，∴AD+DC＝5，∴AC＝5，∵AB＝AC，∴AB＝5，∵AD＝DB，DE⊥AB，∴AE=12AB＝2.5，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式2-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线，△BNC的周长是24cm，BC＝10cm，则AB的长是（ ）A ．17cmB ．12cmC ．14cmD ．34cm【分析】根据垂直平分线的性质可得：AN=BN ，根据△BNC 的周长和BC 的长度得出AC=14cm,再利用AB=AC ，则AB=AC=14cm ．【解答】解：∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AN ＝BN ，∵△BNC 的周长是24cm ，BC ＝10cm ，∴BN +NC +BC ＝AN +NC +BC ＝AC +BC ＝24（cm ），∴AC ＝14cm ，∵AB ＝AC ，∴AB ＝14cm ，故选：C ．【点评】本题考查垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，求出AC=14cm ．【变式2-2】（2023春•西安月考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，DE ＝5cm ，则BF ＝（ ）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm【分析】先得出AD 是△ABC 的中线，得出S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12AB •DE ＝AB •DE ＝5AB ，又S △ABC =12AC •BF ，将AC ＝AB 代入即可求出BF ．【解答】解：∵△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 是△ABC 的中线，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12AB •DE ＝AB •DE ＝5AB ，∵S △ABC =12AC •BF ，∴12AC •BF ＝5AB ，∵AC ＝AB ，∴12BF ＝5，∴BF ＝10（cm ），故选：B ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．【例题3】（2022秋•栖霞区校级月考）如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD ．则下列结论：①∠C ＝2∠A ；②BD 平分∠ABC ；③BC ＝AD ；④OD ＝2CD ．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，根据线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，可求得∠ABD ＝∠DBC ＝∠A ＝36°，∠ABC ＝∠BDC ＝∠C ＝72°，继而求得：①∠C ＝2∠A ；②BD 平分∠ABC ；③BC ＝AD ．【解答】解：∵AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝36°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴∠C＝2∠A，故①正确；∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°，∴∠ABD＝∠DBC，∴BD平分∠ABC，故②正确；∴∠BDC＝∠C＝72°，∴BC＝BD＝AD，故③正确；由条件不能得出OD＝2CD，故④错误．故选：C．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【变式3-1】在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝72°；②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确的序号有（ ）A．①③④B．①④⑤C．①②⑤D．②④⑤【分析】根据题意画出图形，再根据在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°求出∠C的度数；由线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数，故可得出∠DBC的度数，进而得出BD是∠ABC的平分线；由三角形内角和定理可求出∠BDC的度数；由线段垂直平分线的性质，易证得△ABD是等腰三角形．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C=180°∠A2=72°，故①正确；∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°，∴BD是∠ABC的平分线，故②错误；∵在△BCD中，∠DBC＝36°，∠C＝72°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠C）＝180°﹣（36°+72°）＝72°．故③错误；∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD∴△ABD是等腰三角形；故④正确；∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵∠A＝∠ABD＝36°，∴∠CBD＝36°，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，故⑤正确．故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．【变式3-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用等腰三角形的概念、性质以及角平分线的性质做题．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD＝CD，∠BED＝∠DFC＝90°∴DE＝DF∴AD垂直平分EF∴（4）错误；又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，∴（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF．故选：C．【点评】有两边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）．【变式3-3】如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．【解答】解：∵DE∥AC，∴∠DMA＝∠MAC，∠EMC＝∠MCA，∵△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，∴∠DAM＝∠MAC，∠ECM＝∠MCA，∴∠DAM＝∠DMA，∠EMC＝∠ECM，∴DA＝DM，ME＝EC，即△ADM和△CEM都是等腰三角形；故①正确；∴DE＝DM+EM＝AD+CE，∵AC＞DE，∴AD+CE＜AC，故④错误；∴△BDE的周长为：BD+DE+BE＝DB+DM+ME+BE＝AB+BC；故②正确；根据已知条件无法证明AM＝2CM，故③错误．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．【变式3-4】（2022春•神木市期末）如图，在△ABC中，点E、D分别在AB、AC的延长线上，∠BAC 与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正确的结论有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；②根据角平分线的性质即可得到结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：①∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，∵PG∥AD，∴∠APG＝∠CAP，∴∠APG＝∠BAP，∴GA＝GP，故①正确；②∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，∴点P也位于∠BCD的平分线上，∴∠DCP＝∠BCP，故②正确；③∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；故选：D．【点评】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．【例题4】（2022春•巴中期末）在等腰△ABC中有一个角是50°，那么另外两个角分别是（ ）A．50°、80°B．50°、80°或65°、65°C．65°、65°D．无法确定【分析】根据等腰三角形的性质分∠B为顶角或底角两种情况求解即可．【解答】解：当∠B＝50°为顶角时，此时∠A＝∠C=180°50°2=65°；当∠B＝50°为底角时，此时另一底角为50°，顶角为80°，故另外两个角分别是50°，80°或65°，65°．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，注意此题有两种情况．【变式4-1】（2022•上杭县校级开学）如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为（ ）A．30°B．75°C．30°或75°D．60°【分析】根据等腰三角形的一个外角等于150°，进行讨论可能是底角的外角是150°，也有可能顶角的外角是150°，从而求出答案．【解答】解：①当150°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣150°＝30°；②当150°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣150°＝30°，则底角为：（180°﹣30°）×12=75°，∴底角为30°或75°．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，非常容易忽略一种情况．【变式4-2】（2022秋•南岗区校级月考）已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则周长是（ ）A．13B．17C．18D．19【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，舍去；当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2＝17．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．【变式4-3】（2022春•榆次区期中）一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（ ）A．3cm，5cm B．4cm，4cmC．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【解答】解：当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2＝3（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2＝4（cm），能够组成三角形．故另两边长分别为3cm，5cm或4cm，4cm．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．【变式4-4】（2022春•文登区期末）若实数m，n=0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的长，则△ABC的周长是（ ）A．6B．8C．10D．8或10【分析】利用非负数的性质求出m，n的值，再分两种情形讨论即可．【解答】解：=0，∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，解得：m＝2，n＝4，当2是等腰三角形的底时，4，4，2能构成三角形，周长为10，当4是底时，2，2，4不能构成三角形．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题．【变式4-5】（2022秋•长汀县校级月考）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）A．15°或75°B．30°C．150°D．150°或30°【分析】方法1：首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案．方法2：读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．【解答】解：方法1：根据题意得：AB＝AC，BD⊥AC，如图（1），∠ABD＝60°，则∠A＝30°；如图（2），∠ABD＝60°，∴∠BAD＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°．故这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．方法2：①当为锐角三角形时可以画图，高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为180°﹣90°﹣60°＝30°，②当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，∴三角形的顶角为180°﹣30°＝150°．故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．【例题5】已知：如图，P 、Q 是△ABC 边BC 上两点，且AB=AC ，AP=AQ ．求证：BP=CQ ．【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BO=CO ，PO=QO ，根据等式的性质，可得答案．【解答】证明：过点A 作AO ⊥BC 于O ．∵AB=AC ，AO ⊥BC ，∴BO=CO ， ∵AP=AQ ，AO ⊥BC ，∴PO=QO , ∴BO -PO=CO -QO∴BP=CQ ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质是解题关键．【变式5-1】已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 是△ABC的角平分线．求证：BD ＝CE ．【分析】由于AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠ECB，而BC＝CB，利用ASA可证△EBC≌△DBC，再利用全等三角形的性质可证BD＝CE．【解答】证明：如图所示，∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．∴∠ABC＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，又∵BC＝CB，∴△EBC≌△DCB（ASA），∴BD＝CE．【点评】本题利用等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质．【变式5-2】如图，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线与BC交于E，求证：AE⊥BC．【分析】由AB＝AC，BD＝CD，AD是公共边，即可证得△ABD≌△ACD（SSS），则可得∠BAD＝∠CAD，又由等腰三角形的三线合一的性质，证得AE⊥BC．【解答】解：在△ABD和△ACD中，AB=ACAD=AD，BD=CD∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＝AC，∴AE⊥BC．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．【变式5-3】（2023•成武县校级三模）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF．【分析】首先连接AD，由AB＝AC，D是BC的中点，根据三线合一的性质，可得∠EAD＝∠FAD，又由SAS，可判定△AED≌△AFD，继而证得DE＝DF．【解答】证明：连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD，在△AED和△AFD中，AE=AF∠EAD=∠FAD，AD=AD∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF．【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【变式5-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F．（1）求证：∠CBE＝∠BAD；（2）若CE＝EF，求证：AF＝2BD．【分析】（1）根据∠CBE +∠C ＝90°，∠CAD +∠C ＝90°，得出∠CBE ＝∠CAD ，再根据等腰三角形的性质得出∠CAD ＝∠BAD 即可得证结论；（2）根据AAS 证△BCE ≌△AFE ，得出AF ＝BC ，根据BC ＝2BD ，即可得证结论．【解答】证明：（1）∵∠CBE +∠C ＝90°，∠CAD +∠C ＝90°，∴∠CBE ＝∠CAD ，∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CBE ＝∠BAD ；（2）由（1）知∠CBE ＝∠CAD ，在△BCE 和△AFE 中，∠CBE =∠AFE ∠BEC =∠FEA =90°CE =EF，∴△BCE ≌△AFE （AAS ），∴AF ＝BC ，∵BC ＝2BD ，∴AF ＝2BD ．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．【例题6】（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A ，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且△ABC 是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】根据“两圆一线”画图找点即可．【解答】解：如图，C点与P、Q、R重合时，均满足△ABC是等腰三角形，故选：C．【点评】本题考查“两圆一线”构造等腰三角形的方法，熟练使用两圆一线的方法是解题关键．【变式6-1】如图所示，共有等腰三角形（ ）A．4个B．5个C．3个D．2个【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数．【解答】解：根据三角形的内角和定理，得：∠ABO＝∠DCO＝36°，根据三角形的外角的性质，得∠AOB＝∠COD＝72°．再根据等角对等边，得等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．故选：B．【点评】此题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质以及等腰三角形的判定方法．得到各角的度数是正确解答本题的关键．【变式6-2】（2022春•杨浦区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（ ）个．A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】先求出各个角的度数，然后根据等腰三角形的判定即可求出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，∴∠A＝54°，∵BC＝BD，∴∠CDB＝∠DCB＝72°，∴∠ECB＝36°，∠ACE＝54°，∴CE＝BE，AE＝CE，∴△BCD，△CDE，△CEB，△ACE都是等腰三角形，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数，本题属于基础题型．【变式6-3】如图，在△ABC中，且∠ABC＝60°，且∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于F，交AC于E，则图中等腰三角形的个数为（ ）A．2B．3C．4D．5【分析】根据三角形高线的性质及直角三角形的性质推出∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，从而利用等腰三角形的判定定理得到△ADC是等腰三角形，再根据角平分线的性质得到∠ABF＝∠CBE=12∠ABC＝30°，从而由∠ABF＝∠BAD推出△ABF是等腰三角形，而∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，进而求解．【解答】解：∵AD是边BC上的高线，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，∴△ADC是等腰三角形，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠CBE=12∠ABC＝30°，∴∠ABF＝∠BAD，∴△ABF是等腰三角形，则∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，而∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，故△ABE为等腰三角形，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的判定及直角三角形的性质，应充分运用数形结合的思想方法，结合图形从中寻找角之间的关系，结合相关定理及性质进行求解．【变式6-4】（2022秋•鼓楼区期末）如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】分别画出以A点和B点为顶点的等腰三角形，再画出C为顶点的等腰三角形即可．【解答】解：以AB为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图：所以符合条件的点C的个数为3个，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．【变式6-5】（2022秋•镇江月考）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．9【分析】分三种情况：当BA ＝BC 时，当AB ＝AC 时，当CA ＝CB 时，然后进行分析即可解答．【解答】解：如图：分三种情况：当BA ＝BC 时，以点B 为圆心，BA 长为半径作圆，点C 1，C 2，C 3即为所求；当AB ＝AC 时，以点A 为圆心，AB 长为半径作圆，点C 4，C 5，C 6，C 7，C 8即为所求；当CA ＝CB 时，作AB 的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，综上所述：满足条件的格点C 的个数是8，故选：C ．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．【例题7】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】由条件可得出DE＝DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B＝∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CDDE=DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C；∴AB=AC∴△ABC为等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE＝DF 是解题的关键．【变式7-1】已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠BAD，等量代换得到∠ADE＝∠CAD于是得到结论．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的中线，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠CAD∴AE＝ED，∴△AED是等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．【变式7-2】如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD ＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．【分析】要证△ABC为等腰三角形，须证∠A＝∠C，而由题中已知条件，DF⊥AC，BD＝BE，因此，可以通过角的加减求得∠A与∠C相等，从而判断△ABC为等腰三角形．【解答】证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°．∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF，∵BD＝BE，∴∠BED＝∠D．∵∠BED＝∠CEF，∴∠D＝∠CEF．∴∠A＝∠C．∴△ABC为等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代换是正确解答本题的关键．【变式7-3】已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据三角形外角的性质，易证得∠B＝∠C，然后由等角对等边，证得：△ABC 是等腰三角形．【解答】证明：∵∠B＝∠3﹣∠1，∠C＝∠4﹣∠2，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与三角形外角的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【变式7-4】已知如图，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，FD＝FE．求证：△ABC 是等腰三角形．【分析】过点D作DG∥AE于点G，利用平行线的性质得出∠GDF＝∠CEF，进而利用ASA得出△GDF ≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．【解答】证明：过点D作DG∥AE于点G，∵DG∥AC∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），在△GDF和△CEF中，∠GDF=∠CEFDF=EF，∠DFG=∠CFE∴△GDF≌△CEF（ASA），∴DG＝CE又∵BD＝CE，∴BD＝DG，∴∠DBG＝∠DGB，∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．【例题8】（2022秋•通州区校级月考）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，△AMN的周长为33，AB＝15，则AC为（ ）A．15B．18C．20D．23【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△MBO和△NCO是等腰三角形，从而可得MO＝MB，NO＝NC，然后根据线段的和差关系可得，△AMN的周长＝AB+AC，进行计算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵△AMN的周长为33，AB＝15，∴AM+MN+AN＝33，∴AM+OM+ON+AN＝33，∴AM+MB+CN+AN＝33，∴AB+AC＝33，∴AC＝18，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．【变式8-1】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝2，则BC的长为（ ）A．12B．16C．20D．8【分析】根据角平分线的性质，平行线的性质，可以求得∠B的度数，再根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．【解答】解：∵CM平分∠ACB交AB于点M，∴∠NCM＝∠BCM，∵MN∥BC∴∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∵MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°；∵AN＝2，∠AMN＝∠B＝30°，∴MN＝2AN＝4，∴NM＝NC＝4，∴AC＝AN+NC＝6，∴BC＝2AC＝12，故选：A．【点评】本题考查含30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式8-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（ ）A．10B．11C．13D．15【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM＝5，BM＝2BE＝6，再利用∠4是△BCM的外角，利用等腰三角形判定得到CM＝BM，利用等量代换即可求证．【解答】解：延长BE交AC于M，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM＝5，∵BE⊥AE，∴BM＝2BE＝6，∵∠4是△BCM的外角，∴∠4＝∠5+∠C，∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM＝6，∴AC＝AM+CM＝AB+2BE＝11．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，准确添加辅助线构建等腰三角形是解题关键．【变式8-3】（2022春•神木市期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BP、CQ是△ABC两腰上的高，BP与CQ交于点O．求证：△BCO是等腰三角形．【分析】由题意可求得∠ABC＝∠ACB，再由高得∠BQC＝∠CPB＝90°，从而可求得∠OBC＝∠OCB，即有OB＝OC，从而得证△BCO是等腰三角形．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BP、CQ是△ABC两腰上的高，∴∠BQC＝∠CPB＝90°，∵∠OBC＝90°﹣∠ACB，∠OCB＝90°﹣∠ABC，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴△BCO为等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．【变式8-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）求证：∠B＝∠DEF；（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【分析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE＝FE，进而可得到△DEF 是等腰三角形；（2）根据△BDE≌△CEF，可知∠FEC＝∠BDE，∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B 即可得出结论；（3）由（2）知∠DEF＝∠B，再根据等腰三角形的性质即可得出∠DEF的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，BD=CE ∠B=∠C BE=CF，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；。
等腰三角形习题及答案
等腰三角形习题及答案等腰三角形是初中数学中常见的几何形状，它具有很多有趣的性质和特点。
在本文中，我们将探讨一些关于等腰三角形的习题，并给出相应的答案。
通过解答这些习题，我们可以更深入地理解等腰三角形的性质。
1. 问题：在等腰三角形ABC中，AC = BC，角ACB的度数为60°。
求角ABC的度数。
解答：由于AC = BC，所以三角形ABC是等腰三角形。
设角ABC的度数为x°，则由三角形内角和定理可知，x + x + 60 = 180，解得x = 60。
因此，角ABC的度数为60°。
2. 问题：在等腰三角形ABC中，AC = BC，角ABC的度数为80°。
求角ACB的度数。
解答：设角ACB的度数为x°。
由于三角形ABC是等腰三角形，所以角ACB = 180 - 2x。
又已知角ABC的度数为80°，所以180 - 2x = 80，解得x = 50。
因此，角ACB的度数为50°。
3. 问题：在等腰三角形ABC中，AC = BC，角ABC的度数为120°。
求角ACB 的度数。
解答：设角ACB的度数为x°。
由于三角形ABC是等腰三角形，所以角ACB = 180 - 2x。
又已知角ABC的度数为120°，所以180 - 2x = 120，解得x = 30。
因此，角ACB的度数为30°。
通过以上习题的解答，我们可以总结出等腰三角形的一个重要性质：等腰三角形的底角（即底边两边所夹的角）的度数等于顶角（即顶点所在的角）的度数的一半。
除了角度问题，我们还可以探讨等腰三角形的边长关系。
4. 问题：在等腰三角形ABC中，AC = BC，已知AC的长度为8cm，求BC的长度。
解答：由于AC = BC，所以三角形ABC是等腰三角形。
设BC的长度为x cm。
根据等腰三角形的定义，AC = BC，即8 = x。
因此，BC的长度为8cm。
第一章第01讲 等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)(解析版)
第01讲 等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质.3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.知识点01 等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在ABC D 中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD Ð=Ðìï=^Ð=Ð^Ð=Ðíï^î==若则若则若，则 知识点02 等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)21D C B A题型01根据等腰三角形腰相等求第三边或周长【例题】（2023上·河南商丘·八年级商丘市实验中学校考阶段练习）一个等腰三角形的两条边长分别为8cm 和4cm，则第三边的长为cm．【答案】8【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键．【详解】解：①若一腰长为8cm，则底边为4cm，则第三边的长为8cm，488+>，故能组成三角形；②若一腰长为4cm，则底边为8cm，则第三边的长为4cm，+=，故不能组成三角形．448故答案为：8．【变式训练】解得：4a =，5b =，当4为等腰三角形的腰长，5为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为44513++=，当5为等腰三角形的腰长，4为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为55414++=，故答案为：13或14．题型02 根据等腰三角形等边对等角求角的度数题型03 根据等腰三角形三线合一进行求解【答案】25【详解】解：如图，作BE∵AB BC =，∴AE CE =，∵AC CD ^，90BAD Ð=°∴EBA BAE BAE Ð+Ð=Ð+Ð【答案】10【详解】解：AB Q 5BD CD \==，210BC BD \==，故答案为：10．(1)求AF 的长．(2)求CD 的长．【详解】（1）解：连接AF ，如下图，根据题意，90BAC Ð=°，AB ∴222(2)BC AB AC =+=+∴190452B ACB Ð=Ð=´°=°，∵F 为BC 中点，题型04 根据等腰三角形三线合一进行证明 (1)若106BAC DAE ÐÐ=°，(2)求证：BD EC =．【详解】（1）解：∵AB AC =(1∵,AB AC AD AE ==，∴,BF CF DF EF ==，∴BD CE =.【变式训练】1．（2023上·山东威海·七年级校联考期中）如图，已知AB AE ABC AED BC ED =Ð=Ð=，，，点F 是CD 的中点，连接AF ，请判断AF 与CD 的位置关系．【答案】垂直【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质：连接AC AD ，，证明ABC AED ≌△△，得到AC AD =，根据等腰三角形三线合一的性质得到AF CD ^，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】答：AF CD^连接AC AD ，∵AB AE ABC AED BC ED =Ð=Ð=，，∴ABC AED≌△△∴AC AD=又∵点F 是CD 的中点∴AF CD ^．2．如图，在ABC V 中，AB AC =，40BAC а=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD Ð的度数．【详解】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，如图所示：=，AD∵AB AC=，∴BD CD∴AD为BC的垂直平分线，∵点E在AD上，=，∴BE CE又∵线段AC的垂直平分线交题型05根据等角对等边证明等腰三角形Ð，【例题】（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，点E在BA的延长线上，已知AD平分CAE ∥．求证：ABCAD BCV是等腰三角形．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质与角平分线的定义，先根据平行线的性质得到EAD B CAD C Ð=ÐÐ=Ð，，再由角平分线的定义和等量代换得到B C Ð=Ð，即可证明ABC V 是等腰三角形．【详解】证明：∵AD BC ∥，∴EAD B CAD C Ð=ÐÐ=Ð，，∵AD 平分CAE Ð，∴EAD CAD Ð=Ð，∴B C Ð=Ð，∴ABC V 是等腰三角形．【变式训练】【答案】ABC V 是等腰三角形，理由见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，设4ACD x Ð=，3ECD x =∠，由角平分线的定义得到1【答案】证明见解析【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，证明根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明题型06 等腰三角形的性质和判定综合应用【例题】如图，在ABC V 中，AB AC =，D 是BC 边的中点，连接AD ，BE 平分ABC Ð交AC 于点E ．(1)若40C Ð=°，求BAD Ð的度数；(2)过点E 作EF BC ∥交AB 于点F ，求证：BEF △是等腰三角形．(3)若BE 平分ABC V 的周长，AEF △的周长为15，求ABC V 的周长．【详解】（1）解：AB AC =Q ，C ABC \Ð=Ð，∵40C Ð=°，∴40ABC Ð=°，AB AC =Q ，D 为BC 的中点，AD BC \^，90BDA \Ð=°，∴90904050BAD ABC °°°°Ð=-Ð=-=；（2）证明：BE Q 平分ABC Ð，ABE EBC \Ð=Ð，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF Ð=Ð，∴EBF FEB Ð=Ð，BF EF \=，BEF \V 是等腰三角形；（3）解：AEF QV 的周长为15，15AE AF EF \++=，BF EF =Q ，15AE AF BF \++=，即15AE AB +=，BE Q 平分ABC V 的周长，=15AE AB BC CE \++=，ABC \V 的周长+1515=30AE AB BC CE ++=+．【变式训练】1．如图，在ABC V 中，AB AC =，D 为CA 延长线上一点，DE BC ^于点E ，交AB 于点F ．(1)求证：ADF △是等腰三角形(1)试判断折叠后重叠部分△的面积．(2)求重叠部分AFC△【详解】（1）解：AFC∵四边形ABCD是长方形，∥，∴AD BC一、单选题1．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）．A ．20°B ．80°C ．100°D ．20°或100°【答案】A【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形两底角相等”，即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为80°，∴等腰三角形的顶角为180808020°-°-°=°．故选：A2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在ABC V 中，,AB AC AD =为BC 边上的中线，30B Ð=°，则CAD Ð的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【答案】B【解析】略3．（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）下列条件中，可以判定ABC V 是等腰三角形的是（ ）A ．40B Ð=°，80C Ð=°B ．123A BC ÐÐÐ=::::C ．2A B CÐ=Ð+ÐD ．三个角的度数之比是2:2:1【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．利A．16【答案】A【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质定理．二、填空题【答案】117°/117度【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质，根据等边对等角可得54BAC BCA °Ð=Ð=，CAE CEA Ð=Ð127CAE ACB Ð=Ð=°，1BAD Ð=Ð【答案】10°，80°，140°或20°【详解】本题考查了等腰三角形的性质，先利用三角形内角和定理可得：AP AB =时；当AP AB =时；当BA BP =解：∵130ABC Ð=°，30ACB Ð=°，+ ∵BAC Ð是ABP V 的一个外角，∴20BAC APB ABP Ð=Ð+Ð=°，∵AB AP =，∵AB AP =，20BAP Ð=°，∴180802BAP ABP APB °-ÐÐ=Ð==°；当BA BP =时，如图：∵BA BP =，∴20BAP BPA Ð=Ð=°，∴180140ABP BAP BPA Ð=°-Ð-Ð=°；当PA PB =时，如图：∵PA PB =，∴20BAP ABP Ð=Ð=°；综上所述：当ABP V 是等腰三角形时，故答案为：10°，80°，140°或20°．11．（2023上·广东汕尾·八年级校联考阶段练习）用一条长为21cm 的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少?(1)求BD的长．(2)求BE的长．【答案】(1)4 (2)5，AE CD ^Q ，AD AC =AE \平分CAD Ð，CAE DAE \Ð=Ð，在CAE V 和DAE V 中，当AD BC^时，Q AB AC=，\142BD CD BC===，Q DEFV的周长DE DF EF=++，\DEFV的周长CE EF CD=+++(1)若120BAC Ð=°，求BAD Ð(2)求证：ADF △是等腰三角形．【答案】(1)60度(2)见解析(1)求证：BD CE =；(2)若BD AD =，B DAE Ð=Ð，求【答案】(1)见解析(2)108BAC Ð=°∵,AB AC AD AE ==.∴,BF CF DF EF ==,∴BD CE =.（2）∵,AB AC AD AE ==，AF ^∴BAF CAF Ð=Ð，DAF EAF Ð=Ð【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边．（1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到B C Ð=Ð，即可得出结果；（2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到A ABC CB =Ð∠，进而得到AB AC =即可；（3）同法（2）可得：BD DE =，利用AB AD BD =+，求解即可；（4）同法（2）得到,FD BD CE EF ==，推出ADE V 的周长等于+AB AC ，即可得出结果；（5）同法（2）得到,PD BD PE CE ==，推出PDE △的周长等于BC 的长即可．掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键．【详解】解：（1）∵AE BC ∥，∴,DAE B CAE C Ð=ÐÐ=Ð，∵AE 平分DAC Ð，∴DAE CAE Ð=Ð，∴B C Ð=Ð，∴ABC V 是等腰三角形；故答案为：等腰；（2）∵BC 平分ABD Ð，AC BD ∥，∴,ABC DBC ACB DBC Ð=ÐÐ=Ð，∴A ABC CB =Ð∠，∴3AB AC ==；故答案为：3；（3）同法（2）可得：7BD DE ==，∴5712AB AD BD =+=+=；故答案为：12；（4）同法（2）可得：,FD BD CE EF ==，∴ADE V 的周长30AD AE DE AD AE DF EF AD AE BD CE AB AC =++=+++=+++=+=；故答案为：30；（5）同法（2）可得：,PD BD PE CE ==，∴PDE △的周长5cm PD PE DE BD CE DE BC =++=++==；故答案为：5cm ．理解概念：（1）如图1，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，CD AB ^，请写出图中两对概念应用：（2）如图2，在ABC V 中，CD 为角平分线，40A Ð=°，60B Ð=°．求证：动手操作：（3）当ACD V 是等腰三角形，DA DC =时，如图，则50ACD A Ð=Ð=°，BCD Ð=∴100ACB ACD BCD Ð=Ð+=°∠当ACD V 是等腰三角形，DA AC =则65ACD ADC Ð=Ð=°，BCD Ð∴5065115ACB Ð=°+°=°；当ACD V 是等腰三角形，CD AC =则1803ACD BCD B °-Ð=Ð=Ð=∴2603ACB ACD BCD Ð=+=∠∠当BCD △是等腰三角形，DB =则BDC BCD Ð=Ð，设BDC BCD x Ð=Ð=，则B Ð=则1802ACD B x Ð=Ð=°-，由题意得，180250x x °-+°=，230x °。
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M
E
D
C
B
A
等腰三角形
一、选择题
1.如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）36
2. 如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：
①tan∠AEC=CD BC ;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM⊥DM
;④BM=DM.正确结论的个数是（）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
3. 如果一个等腰三角形的两边长分别是
5cm和6cm，那么此三角形的周长是
A．15cm B．16cm C．17cm D．16cm或17cm
二、填空题
1.边长为6cm的等边三角形中，其一边上
高的长度为________.
2. 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，
那么，它的底边为.
3. 在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，
过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB
＝AF，则点F到直线BC的距离为．
4. 已知等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80º，则∠EGC的度数为
5. 如图6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则
AD=_______.
6．如图（四）所示，在
△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则
∠A=_______。
7.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、
C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．
三、解答题
1.如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的
延长线) 于G ，H 点，如图(2)
（1）问：始终与△AGC 相似的三角形有及；
（2）设CG=x ，BH=y ，求y 关于x 的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由） （3）问：当x 为何值时，△AGH 是等腰三角形.
题1图
B
H
F A
G C E
C
B
F
A
题1图
2、如图 AB=AC，CD⊥AB于D
BE与CD相交于点O．
(1)求证AD=AE；
B C
(2) 连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
3. 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，
求证： ME=BD．
4. 如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF 长．
5. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
在等边三角形ABC
中，点E在AB上，点
D在CB的延长线上，
且ED=EC，如图．试确
定线段AE与DB的大小
关系，并说明理由．
小敏与同桌小
聪讨论后，进
行了如下解
答：
（1）特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段
AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答題目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，
点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．
等腰三角形答案
一、选择题BDD
二、填空题 1、3√3 2、4或6 3、-------- 4、80 5、4 6、80 7、15
三、解答题
1.1（2011广东东莞，21，9分）【答案】解：（1）△HAB ，△HGA。
（2）∵△AGC∽△HAB，∴AC GC
，即9=9x y。
∴81=y x。
HB AB
又∵BC =229992092<x <+=∴ ，。
∴y 关于x 的函数关系式为
()81=092y <x <x 。
（3）①当∠GAH=45°是等腰三角形.的底
角时，如图1，
可知9222
BC x CG ===。
②当∠GAH=45°是等腰三角形.的顶角时, 如图2，
在△HGA 和△AGC 中
∵∠AGH=∠CGA
，∠G A H=∠C=450，∴△HGA ∽△AGC 。
∵AG=AH ，∴9x CG AC ===
∴当
x或9x=时，△AGH是等腰三角形。
【考点】三角形外角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，几何问题列函数关系式，等腰三角形的判定。
【分析】（1）在△AGC和△HAB中，
∵∠AGC=∠B+∠BAG=∠B+900—∠GAC=1350—∠GAC，
∠BAH=∠BAC+∠EAF—∠EAC=900+450—∠GAC，∴∠AGC=∠BAH。
又∵∠ACG=∠HBA=450，∴△AGC∽△HAB。
在△AGC和△HGA中，
∵∠CAG=∠EAF—∠CAF=450—∠CAF，
∠H=1800-∠ACH —∠CAH=1800—1350
—
∠CAF=450—∠CAF ，∴∠CAG=∠H 。
又∵∠AGC=∠HGA ，∴△AGC∽△HGA 。
（2）利用△AGC ∽△HAB 得对应边的比即可得。
（3）考虑∠GAH 是等腰三角形.底角和顶角
两种情况分别求解即可。
2、（2011山东德州19,8分）（1）证明：在△ACD 与△ABE 中，
∵∠A =∠A ，∠ADC =∠AEB =90°，AB =AC ，∴ △ACD ≌△ABE ．∴ AD=AE ．
(2) 互相垂直在Rt △A DO 与△A EO 中，
∵OA=OA ，AD=AE ，∴ △A DO ≌△A EO ． A
B
E C D
O
∴ ∠DAO=∠EAO．即OA是∠BAC的平分线．
又∵AB=AC，∴ OA⊥BC．
3、（2011山东日照，23，10分）证明：（1）在等腰直角△ABC中，
∵∠CAD=∠CBD=15o，∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o，∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC，
∴∠DCA=∠DCB=45o．
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，
∴∠BDM=∠EDC，∴DE平分∠BDC；
（2）如图，连接MC，∵DC=DM，且
∠MDC=60°，∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．
4、（2011湖北鄂州，18，7分）【解题思路】连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，得BF=4，BE=3，再运用勾股定理求得
EF=22
+=5
BE BF
【答案】连结BD，证△BED≌△CFD和△AED ≌△BFD，求得EF=5
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形全等的判定和性质和勾股定理。
只要抓住等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定，解决起来并不困难。
5、（2011•绍兴）考点：全等三角形判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形判定与性质。
专题：计算题；证明题；分类讨论。
分析：（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；
（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案；
（3）分为两种情况：一是如上图在AB边上，在CB的延长线上，求出CD=3，二是在BC 上求出CD=1，即可得到答案．
解答：
解：（1）故答案为：=．
（2）故答案为：=．
证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，∴AE=AF=EF，∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECB，∴∠BED=∠FCE，∴△DBE≌△EFC，∴DB=EF，∴AE=BD．
（3）答：CD的长是1或3．
点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．。