重点可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的定义和解(精)

第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
2 [例 2] 求方程 2 xy y 1 ( y ) 的通解. 解 令 y p ( x) ,则 y( x) p( x) ，将其代入所给方 2 2 x p p 1 p , 程,得
2 pd p d x 分离变量得 , 两边积分得 2 1 p xLeabharlann 第七章微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
[例 3] 求方程yy
y 0的通解.
2
dP 解 设 y P( y ), 则 y P , dy
dP dP 2 P 0, 即 P ( y 代入原方程得 y P P ) 0, dy dy dy dP 由 y P 0， 可得 P C1 y , C1 y , dx dy
0
1 x y ' 1 y ' 2 dx a 0
取原点O到点A的距离为定值 a
1 2 y ' ' 1 y ' a 于是有 y (0) a, y(0) 0
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课题二十七 简单的二阶微分方程
a 2 2C1 1 p 将初始条件 y ' (0) p(0) 0 代入①式，解得
a 将 C 2 0 代入②式， 解得曲线方程为 y (e e ). 2

x a
x a
此曲线为悬链线．
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课题二十七 简单的二阶微分方程
方程的特点：方程右端不显含未知函数y. 方程的解法： 令 y p( x) ,则 y p( x), 将它们
代入方程得
p( x) f ( x, p( x))
这是一个关于自变量 x 和未知函数 p ( x) 的 一阶微分方程 ,若可以求出其通解 p (x,C1) ,则 y ( x, C1 ) 再积分一次就能得原方程的通解.
y (sin x C1 )dx cos x C1 x C2 ,
y ( cos x C1 x C2 )dx, 2 1 y sin x 2 C1x C2 x C3.
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2. y f ( x, y ) 型的微分方程
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课题二十七 简单的二阶微分方程
【授课时数】 总时数：6学时. 【学习目标】 1、知道二阶微分方程的概念； 2、会求可降阶的二阶微分方程、二阶常系数线性 齐次和非齐次微分方程的通解或特解． 【重、难点】 重点：可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微 分方程的定义和解法，由微积分知识引出． 难点：正确求解可降阶的二阶微分方程和二阶常系 数线性微分方程的通解或特解，由实例讲解方法．
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课题二十七 简单的二阶微分方程
解 建立坐标系如图所示，设曲线方程为 y f ( x), 由题意得 T sin S , T cos H , 将此两式相除，得
1 tan S , ( a H ) a x tan y' , S 1 y' 2 dx
ln(1 p 2 ) ln x ln C1 ，得1 p 2 C1 x .
即 p C1 x 1, 也即 y C1 x 1 .
2 y (C1 x 1) dx (C1 x 1) C2 . 3C1
1 2
3 2
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由 P y 0, 得 y C ,
C x 原方程通解为 y C2e 1 .
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[例 4] 设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索 仅受重力的作用而下垂，试问该绳索在平衡状态时是怎 样的曲线．
分析
设绳索的最低点为 A，取 y 轴过点 A 且垂 直向上，取 x 轴水平向右，且|OA|等于某个定 值．设绳索曲线的方程为 y f ( x) ，现在考察 绳索上点 A 到另一点 M(x,y)间的一段弧 AM， 设 其长 S．假定单位长绳索的重量为ρ ，则弧 AM 的重量为ρ S．由于绳索是柔软的，因而在点 A 处的张力沿水平切线方向，其大小设为 H．在点 M 处的张力沿该点处的切线方向， 与水平线成θ 角，其大小设为 T，因作用于弧段 AM 的外力相 互平衡．下面给出解法．
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3. y f ( y, y) 型的微分方程 方程的特点：右端不显含自变量 x .
方程的解法：求解这类方程可令 y p ( y ) 则 dy dp ( y ) dy dp y p, dx dy dx dy dp 于是,方程 y f ( y, y) 可化为 p f ( y, p ) . dy 这是关于 y 和 p 的一阶微分方程 , 如能求出其解 dy p ( y, C1 ) ,则可由 ( y, C1 ) 求出原方程的解. dx
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一、可降阶的二阶微分方程
1. y ( n) f ( x) 型的微分方程
方程解法：通过 n 次积分就可得到方程的通解.
[例 1] 求方程 y ( 3) cos x 的通解.
解
y
( 3)
cos x, y cos xdx sin x C1,
1 1 p 2 ，并分离变量得 将 y ' p ， y p 代入得， p' a x x C 1 dp 1 e a ① dx ，两端积分，得 p 1 e a 2
x x
1 a C1 1或C1 1(舍). 再将 C1 1 代入①式，得 p (e e a ), 2 x x a a 将 p y ' 代入上式，并积分得 y (e e a ) C2 ② 2 将初始条件 y (0) a 代入②式，解得 C2 0,