重点可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的定义和解(精)
高等数学 第六章
微分方程
y f (x)
（6-26）
的特点是右端仅含有自变量，其解法是逐次积分两次，具体如
下．
微分方程（6-26）两边积分得 y f (x)dx C1
上式两边再积分，便得到微分方程（6-26）的通解，即
．
y f (x)dx C1 dx C2
例 1 求微分方程 y x cos x 的通解 解 所给微分方程两边积分得
二、齐次型微分方程
形如 dy P(x) y Q(x) dx
的微分方程称为一阶线性微分方程，其中P（x)、Q(x)为已 知函数．
当时Q(x)=0，微分方程变为 dy P(x) y 0 dx
是齐次的，称一阶齐次线性微分方程，简称齐次线性方程． 当Q(x)≠0时，微分方程是非齐次的，称为一阶非齐次线性微 分方程，简称非齐次线性方程．
y dp dp dy p dp ， dx dy dx dy p dp f ( y ，p) ， dy
这是关于 y ，p 的一阶微分方程，设求出其通解为 y p ( y ，C1) ，
上式 分离变 量并积 分，便 得到微 分方程 （6 -2 8）的 通解．
例 3 求微分方程 yy ( y)2 的通解．
第六章
微分方程
导学
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以 对客观事物的规律性进行研究，因此如何寻求函数关系在实践中具有重要 意义．然而在许多问题中，往往不能直接找出所需的函数关系，但有时可 根据问题所提供的情况，列出含有要找的函数及其导数的关系式，这种关 系式就是微分方程．微分方程建立后，对它进行研究，找出未知函数，就 是解微分方程．本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用微分方 程的解法．
y e3dx e2xe3dx dx C e3x e2xe3x dx C
二阶微分方程二阶的含义
二阶微分方程二阶的含义在数学领域，微分方程是描述自然科学与工程技术中各种现象与规律的重要数学工具。
二阶微分方程是微分方程中的一种，其特点在于方程中包含二阶导数。
那么，这里的“二阶”究竟有何含义呢？本文将为您详细解答。
二阶微分方程二阶的含义：1.定义二阶微分方程是指方程中包含二阶导数的微分方程。
一般形式可以表示为：F(x, y, y", y"") = 0其中，y = y(x) 是未知函数，y" 和y"" 分别表示一阶导数和二阶导数。
2.含义解释（1）二阶导数：在数学上，二阶导数表示未知函数变化率的加速度，即变化率的变化率。
在物理意义上，二阶导数常常与物体的加速度、曲率等概念相关。
（2）二阶微分方程：包含二阶导数的微分方程称为二阶微分方程。
这类方程通常用于描述具有加速度、曲率等物理量的动态过程。
3.举例说明以简谐振动为例，其运动方程可以表示为：m * y""(t) + k * y(t) = 0其中，m 是质量，k 是弹簧常数，y(t) 是弹簧的位移，y""(t) 是位移的二阶导数，表示加速度。
这个方程描述了一个物体在弹簧力作用下做简谐振动的规律。
在这个例子中，二阶微分方程的二阶含义表现为物体加速度与位移之间的关系。
4.应用领域二阶微分方程在自然科学和工程技术领域具有广泛的应用，如力学、电磁学、热力学、控制理论等。
它们可以描述各种动态过程中的加速度、曲率等物理量。
总结：二阶微分方程中的“二阶”意味着方程中包含二阶导数，这个概念在数学和物理领域具有重要地位，可以描述具有加速度、曲率等物理量的动态过程。
可降解的二阶微分方程
小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
1. y(n) f (x) 逐次积分
2. y f (x , y)
令 y p(x) , 则 y dp
dx
3. y f ( y , y)
令 y p( y) , 则 y p dp
dy
练习题
一、求下列各微分方程的通解:
特点： 方程中不显含x.
解法：设 y p p( y)，则
y d p d p d y p d p
dx dy dx dy
方程变为 p dp f ( y, p) dy
关于y, p的一阶微分方程
设通解为：p ( y,C1 ) 即 y ( y,C1 )
分离变量并积分，可得原方程的通解为：
第四节 可降阶的二阶微分方程
一、y(n) f (x) 型的微分方程 二、y f (x, y) 型的微分方程
三、y f ( y, y) 型的微分方程
一、y(n) f (x) 型
特点：等式右端仅含有自变量x.
解法：令 z y(n1) , 则 dz y (n) f (x) ,
dx
因此 z f (x) dx C1
2. y arcsin(C2e x ) C1；
3. y 1 1 . C1 x C2 x
4.
y
1 6
x3
sin
x
c1 x
c2
5. y c1 ln x c2
二、 y 1 x3 1 x 1. 62
dy
( y,C1)
x
C2.
例3 求 yy ( y)2 0 的通解.
解一 设 y p p( y)，则
y dp dy p dp ,
dy dx dy
微分方程二阶线性微分方程
微分方程二阶线性微分方程微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是函数与函数的导数（或微分）之间的关系。
其中，二阶线性微分方程是微分方程中的一种常见形式。
在本文中，我们将从定义、特征解和常系数二阶线性微分方程等方面进行详细介绍。
一、定义二阶线性微分方程是指形如 y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x) 的微分方程，其中 p(x)、q(x) 和 f(x) 都是已知函数。
其中，y''(x) 表示 y(x) 的二阶导数，y'(x) 表示 y(x) 的一阶导数，y(x) 表示未知函数，p(x)、q(x) 和 f(x) 表示已知函数。
二、特征解对于二阶线性微分方程，我们可以找到一组特解和一组通解。
特解是指特定形式的解，可以通过代入法或常数变异法等方法求解。
通解是指一组解的集合，包括特解和齐次线性微分方程的解。
齐次线性微分方程是指当 f(x) = 0 时的微分方程。
特解和通解的求解方法可以根据具体的二阶线性微分方程的特点选择不同的方法，如常数变异法、待定系数法等。
求解过程中需要注意初始条件的限制，以确保解的唯一性。
三、常系数二阶线性微分方程常系数二阶线性微分方程是指系数 p(x) 和 q(x) 都是常数的微分方程，即 y''(x) + py'(x) + qy(x) = f(x)。
对于常系数二阶线性微分方程，可以通过特征方程来求解其通解。
特征方程的形式为 r^2 + pr + q = 0，其中 r 是未知的。
特征方程的根决定了通解的形式。
当特征方程有两个不相等的实根时，通解可以表示为 y(x) = C1e^r1x + C2e^r2x，其中 C1 和 C2 是常数。
当特征方程有两个相等的实根时，通解可以表示为 y(x) = (C1 +C2x)e^rx，其中 C1 和 C2 是常数。
当特征方程有两个共轭的复根时，通解可以表示为 y(x) =e^(αx)(C1cosβx + C2sinβx)，其中 C1 和 C2 是常数，α 和β 是复数。
第五节可降阶的二阶微分方程
第五节 可降阶的二阶微分方程对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.内容分布图示★ ())(x f y n =型★ 例1★ 例2 ★ 例3★ ),(y x f y '=''型★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ ),(y y f y '=''型★ 例8★ 例9 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—5★ 返回内容要点：一、 )(x f y =''型在方程)(x f y =''两端积分，得1)(C dx x f y +='⎰ 再次积分，得[]21)(C dx C dx x f y ++=⎰⎰注：这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程)()(x f y n =，只要连续积分n 次, 就可得这个方程的含有n 个任意常数的通解.二、),(y x f y '=''型这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，).,(p x f p ='设其通解为),,(1C x p ϕ=然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程).,(1C x dxdy ϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21⎰+=C dx C x y ϕ三、),(y y f y '=''型这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有.dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样就将原方程就化为 ).,(p y f dydp p = 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为),,(1C y p y ϕ=='这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21C x C y dy +=⎰ϕ例题选讲：)(x f y =''型例1（讲义例1）求方程x ey x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解. 例2（讲义例2）求方程0)3()4(=-y xy 的通解.例 3 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数: ).(t F F = 在开始时刻0=t 时,)0(0F F = 随着时间t 的增大, 此力F 均匀的减少, 直到T t =时, .0)(=T F 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.),(y x f y '=''型例4（讲义例3）求方程02)1(222=-+dx dy x dxy d x 的通解. 例5 求微分方程初值问题. ,2)1(2y x y x '=''+ ,10==x y 30='=x y的特解.例6 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.例7（讲义例4）设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.),(y y f y '=''型例8（讲义例5）求方程02='-''y y y 的通解.例9 求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解.课堂练习1. 求方程x y ln ='''的通解.2.求微分方程223y y =''满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解. 3.一质量为m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.。
二阶线性常系数微分方程
二阶线性常系数微分方程是一类重要的数学模型，它可以用来表示一些复杂的结构。
对于非齐次线性常系数微分方程而言，通过求解一个代数方程来得到其解的过程被称为“微分”。
而在线性常系数微分方程中，当且仅当两个解相等时才能确定方程是否为线性常系数微分方程。
1：二阶线性常系数微分方程的定义二阶线性常系数微分方程是因为其解的存在性，即无穷多的不可约表示的根构成的一整颗树。
例如：z= ax+by, t∈(-1,2)则是一个由三个向量加上常数项组成的矩阵“1”与两个边长为n和2/3的三角形共线，所以第一个行向量在原点垂直向下移动到第二个行向量上时满足下面的条件：a0>b12<b≤b101x=wx+yd=alogid, x:gn=intarpq ，且e、f均取值为整数，p也可以看作常数系数。
2：解法推导过程根据解法推导过程，二阶线性常系数微分方程的求解可以归结为以下三步：1.确定特征根2.分析特征根3.寻找通解通常来说，从求出其特征根开始，通过考察该特征根是否存在于满足一定条件的矩阵中即可得到通解。
具体到这个问题上，也就是要知道如何判断一个n×m阶方阵是否是一个m-2 元组或是n×2元组组成的方阵。
在这种情况下，如果所有向量都属于某个特定值所对应的空间或者全部只包含一种类型的子集，那么就意味着它具有该类能量；反之则不具有该类能量。
3：应用实例二阶线性常系数微分方程是一个重要的数学概念，它广泛用于研究函数、力学和其他相关领域。
解法推导过程如下：一、二阶线性常系数微分方程的定义二阶线性常系数微分方程是指具有三个导数项的非齐次方程，并且所有正整数都在无穷远处有唯一实数根，这样的方程被称为“对称三对角线”的形式。
二阶线性常系数微分方程可以用两个变量来描述，第一个变量称为λk,第二个变量称为u(x)，这样的方程被称为“严格三对角线型”的形式。
二阶线性常系数微分方程通常写成：X-Δα=Aφβ+Lαβ2jβ1叫做λk′′′x1×...imθβmjlnψ3θ4-θ2-m2jω+QSC、αy+qqz+pyasihszalskife+fdigitimatesimilarity文并不是按指数衰减的类型规范化了，而是用矩阵来表示的。
二阶常系数线性齐次微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程，又称二阶次线性常系统，是数学分析和积分变换中重要的问题，在系统控制、信号处理和信号检测中也得到广泛应用。
一. 二阶常系数线性齐次微分方程的概念1、定义：二阶常系数线性齐次微分方程是指有形式U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，其中，p和q为常数，U是未知函数。
2、求解：若对未知函数U，有形如U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，则求解之所有实根解形式有：U（t）＝C1eλ1t＋C2eλ2t，其中，C1，C2为常数，λ1，λ2为方程的根，则得到方程：λ2＋pλ＋q＝0。
二. 二阶常系数线性齐次微分方程的特点1、齐次：二阶常系数线性齐次微分方程是等号右边完全为零的一次方程的特殊形式，其解实际上也就是方程的根，二阶齐次方程的解可以通过求根公式求出。
2、常系数：二阶常系数线性齐次微分方程所有项都是常系数，不会改变，所以可以用公式进行解法简化，使用求根公式求出二阶常系数线性齐次微分方程的实根解，比一般的常系数线性非齐次微分方程的解法要简单得多；3、线性：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数和其倒数的次数有明确的关系，所以它是线性的；4、微分：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数不仅要满足一次微分方程，而且要满足特定的二次微分方程；三. 二阶常系数线性齐次微分方程的应用1、系统控制：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来描述内外环回路的联系，可以用来优化被控系统的输出；2、信号处理：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来对信号进行插值、滤波、离散傅里叶变换等处理；3、信号检测：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来检测周期性变化或者噪声等不平凡现象，从而处理信号。
四. 二阶常系数线性齐次微分方程的扩展1、非齐次：不论是一阶常系数线性非齐次微分方程还是二阶非齐次微分方程，都可以通过常系数变换将其转化为齐次方程；2、常数变量：在适当的条件下，可以将二阶常系数线性齐次微分方程中的未知函数转化成一、二阶常数变量方程组；3、转化：二阶常系数线性齐次微分方程可以用Laplace变换、线性变换和积分变换等转化手段将其转化为容易求解的形式；4、衍生：可以从二阶常系数线性齐次微分方程发展出求解波。
微积分：二阶微分方程 (2)
解 特征方程 r 2 3r 2 0,
特征根 r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y c1e x c2e2x ,
2 是单根，设 y* x( Ax B)e2x ,
代入方程, 得 2Ax B 2A x
A
1 2
,
于是 y* x( 1 x 1)e 2x
B 1
原方程通解为
2
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x,
作辅助方程 y y xe2 jx ,
2 j 不是特征方程的根,
设 y* ( Ax B)e 2 jx , 代入辅助方程
4Aj 3B 0 3A 1
A 1，B 4 j,
3
9
y* ( 1 x 4 j)e2 jx , 39
0是重根，
设 y* x2(b0 x b1)e0x 将 y *、y *、y * 代入微分方程,
6b0 x 2b1 3x 1
比较系数，得
b0
b1
1， 2
所以一个特解为 y* x2(1 x 1). 22
定理4 若 y u( x) iv( x)是 方程 L[ y] U( x) iV ( x)的解，
代入上式 2Ai 4, A 2i,
y* 2ixeix 2x sin x (2x cos x)i, 所求非齐方程特解为 y 2x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2x cos x.
例6 求方程 y y x cos 2x 的通解.
y ex (C1 cos x C2 sin x)
3、二阶常系数非齐次线性方程解法
f ( x) e x Pm ( x) e ix Pm x
y py qy f ( x) (1)二阶常系数非齐次线性方程
二阶常系数线性齐次微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程在微积分中，二阶常系数线性齐次微分方程是一个非常重要的概念。
它在数学和物理学领域中广泛应用，并且具有丰富的解法和性质。
本文将介绍二阶常系数线性齐次微分方程的基本定义、解法和一些应用。
一、定义二阶常系数线性齐次微分方程是指形如以下形式的微分方程：\[ay''+by'+cy=0\]其中\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数，\(y\)是自变量\(x\)的函数。
二、特征方程和特解为了求解上述微分方程，首先需要求解其对应的特征方程。
将\(y=e^{rx}\)代入微分方程可以得到特征方程：\[ar^2+br+c=0\]解特征方程可以得到两个互不相同（或相同）的根\(r_1\)和\(r_2\)。
根据这些根的不同情况，可以得到微分方程的通解。
情况一：\(r_1\)和\(r_2\)为实数且不相等。
此时通解为：\[y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}\]其中\(c_1\)和\(c_2\)为任意常数。
情况二：\(r_1\)和\(r_2\)为实数且相等。
此时通解为：\[y=(c_1+c_2x)e^{r_1x}\]其中\(c_1\)和\(c_2\)为任意常数。
情况三：\(r_1\)和\(r_2\)为共轭复数。
此时通解为：\[y=e^{ax}(c_1\cos bx+c_2\sin bx)\]其中\(a\)和\(b\)为实数，\(c_1\)和\(c_2\)为任意常数。
三、应用举例二阶常系数线性齐次微分方程在物理学和工程学中有广泛应用。
以下是几个简单的应用举例。
1. 振动方程振动系统通常可以用二阶常系数线性齐次微分方程来描述。
例如自由振动的弹簧质量系统的运动方程可以表示为：\[m\frac{{d^2x}}{{dt^2}}+kx=0\]其中\(m\)为质量，\(k\)为弹性常数，\(x\)为位移。
2. 电路方程电路中的某些电路元件，如电感、电容和电阻，遵循二阶常系数线性齐次微分方程。
可降阶的二阶微分方程
可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程是指在求解过程中可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
这种方程在物理学、工程学等领域中经常出现，因此掌握其求解方法对于理工科学生来说非常重要。
我们来看一个典型的可降阶的二阶微分方程：$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$是已知函数，$f(x)$是已知的非齐次项函数，$y$是未知函数。
我们可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
我们令$y'=z$，则原方程可以写成：$$z'+p(x)z+q(x)y=f(x)$$接下来，我们再令$u(x)=\int p(x)dx$，则上式可以写成：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=e^{u(x)}f(x)$$这是一个一阶线性微分方程，我们可以通过求解它来得到原方程的解。
具体来说，我们可以先求解其齐次方程：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=0$$这个方程的通解可以表示为：$$z=c_1e^{-u(x)}-\int e^{-u(x)}q(x)ydx$$其中，$c_1$是常数。
接下来，我们可以利用常数变易法来求解非齐次方程的特解。
假设特解为$z=u(x)v(x)$，则代入原方程得到： $$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}u'(x)v(x))+e^{u(x)}q(x)y=f(x)$$化简后得到：$$u'(x)e^{u(x)}v(x)=\frac{1}{e^{u(x)}}\int e^{u(x)}f(x)dx$$因此，特解可以表示为：$$z=u(x)v(x)=\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$将特解和通解相加，即可得到原方程的通解：$$y=c_1\int e^{-u(x)}dx+\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$这就是可降阶的二阶微分方程的求解方法。
二阶可降阶微分方程
二阶可降阶微分方程摘要：一、引言1.二阶可降阶微分方程的定义2.研究二阶可降阶微分方程的意义二、二阶可降阶微分方程的基本概念1.什么是二阶可降阶微分方程2.二阶可降阶微分方程的一般形式三、二阶可降阶微分方程的解法1.常数变易法2.线性无关法3.特征方程法四、二阶可降阶微分方程的应用1.物理中的应用2.工程中的应用五、总结1.二阶可降阶微分方程的重要性2.未来研究方向正文：一、引言二阶可降阶微分方程，作为微分方程的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
理解并研究二阶可降阶微分方程，不仅有助于深化对微分方程的认识，还能为解决实际问题提供有力的理论支持。
二、二阶可降阶微分方程的基本概念1.什么是二阶可降阶微分方程二阶可降阶微分方程是指形如y"" + p(x)y" + q(x)y = f(x) 的微分方程，其中p(x)、q(x) 和f(x) 都是已知函数。
它的一阶导数和二阶导数分别表示了质点在某一点的加速度和速度。
2.二阶可降阶微分方程的一般形式二阶可降阶微分方程可以写成标准形式y"" + p(x)y" + q(x)y = f(x)，也可以写成其他形式，如齐次形式y"" + p(x)y" + q(x)y = 0，非齐次形式y"" + p(x)y" + q(x)y - f(x) = 0 等。
三、二阶可降阶微分方程的解法1.常数变易法常数变易法是一种求解二阶可降阶微分方程的方法，其基本思想是将方程的解表示为常数与x 的函数的乘积。
通过这种方法，可以求得许多特殊情况下二阶可降阶微分方程的解。
2.线性无关法线性无关法是另一种求解二阶可降阶微分方程的方法，其基本思想是寻找一组线性无关的解，从而确定原方程的通解。
这种方法适用于求解非齐次二阶可降阶微分方程。
3.特征方程法特征方程法是求解二阶可降阶微分方程的常用方法，其基本思想是将原方程转化为求解特征方程的根的问题。
(整理)可降阶的二阶微分方程
第五节可降阶的二阶微分方程在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。
因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的§5.122dxyd ＝f(x)型的微分方程 这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，积分一次得dxdyf(x)dx ＋C1再积分一次得 y f(x)dx ＋C 1］dx＋C ２上式含有两个相互独立的任意常数C 1，C 2，所以这就是方程的通解。
例1. 求方程22dx y d ＝－xsin 12 满足y ｜x ＝4π22ln ，dx dy 4x |π=＝1解dxdy ＝ctanx ＋C1以条件dx dy4x |π=＝1代入得C 1＝dxdy ＝ctanxy ＝ln ｜sinx ｜＋C2以条件y ｜x ＝4π22ln－22ln ln 22＋C 2 即C 2＝于是所求特解是 y ＝ln ｜sinx 这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程n n dxyd ＝f(x)，只要积分n例2. 解微分方程33dx yd ＝lnx ＋x解 积分一次得 22dxyd ＝xlnx ＋x ＋C1积分二次得 dx dy ＝21x 2lnx －4x 2＋C 1x ＋C2积分三次得 y ＝6x 3lnx ＋12x 3＋2C 1x 2＋C 2x ＋C3§5.222dx y d ＝f(x, dxdy)这种方程的特点是不明显含有未知函数y ，解决的方法是：我们把dxdydxdy＝p于是有22dx y d ＝dx dp，这样可将原方程降为如下形式的dx dp=f(x,p)这里p p ＝φ(x,C １)然后根据关系式dxdy＝py ＝∫φ(x,C 1)dx ＋C2例3. 求微分方程(1＋x 2) 22dx y d －2x dxdy ＝0的通解 这是一个不明显含有未知函数y 的方作变换 令 dx dy＝p ，则22dx y d ＝dxdp，于是原方程降(1＋x 2) dxdp －2px ＝p dp ＝2x1x2dx积分得ln ｜p ｜＝ln(1＋x 2)＋ln ｜C 1即 p ＝C 1(1＋x 2)从而 dxdy ＝C 1(1＋x 2)y ＝C 1(x ＋3x 3)＋C2例4. 设有柔软而无伸缩性的均匀绳索，求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲线的方程(如图6-2)解 取曲线上最低点N 的铅直线作Oy 轴，取水平方向的直线为Ox 轴，ON 的长暂时不定。
二阶微分方程的解法
二阶微分方程的解法引言：在微积分中，二阶微分方程是一种常见的数学工具，用于描述复杂的物理和工程问题。
解决二阶微分方程可以提供对系统的深入理解，并有助于预测和控制其行为。
本文将介绍几种常见的二阶微分方程的解法，包括常系数线性二阶微分方程、非齐次线性二阶微分方程以及常见特殊形式的二阶微分方程。
一、常系数线性二阶微分方程的解法：常系数线性二阶微分方程的一般形式可以表示为：\\[ay'' + by' + cy = 0\\]其中，a、b、c为常数，y是未知函数。
这个方程中的三个系数a、b、c决定了方程的性质和解的形式。
1.特征方程法：解决常系数线性二阶微分方程的一种常见方法是通过求解特征方程来获得解的形式。
通过设定y=e^(rx)，将其代入原方程，可以得到特征方程：\\[ar^2 + br + c = 0\\]根据特征方程的解，可以将原方程的通解表示为：\\[y = C_1e^(r_1x) + C_2e^(r_2x)\\]其中，r1和r2是特征方程的解，C1和C2是待定常数。
这个方法适用于特征方程有两个不相等的实根的情况。
2.欧拉方程法：对于具有复数解的特征方程，可以使用欧拉方程法来解决。
通过设y=e^(rx)，将其带入原方程，并使用欧拉公式进行变换，可以得到解的形式：\\[y = e^(ax) (C_1cos(bx) + C_2sin(bx))\\]其中，a和b是特征方程的实部和虚部，C1和C2是待定常数。
这个方法适用于特征方程有复数解的情况。
二、非齐次线性二阶微分方程的解法：非齐次线性二阶微分方程的一般形式可以表示为：\\[ay'' + by' + cy = f(x)\\]其中，f(x)是已知函数。
为了解决这个方程，首先需要求解对应的齐次方程\\(ay'' + by' + cy = 0\\)的通解。
然后，根据待定系数法或常数变易法，找到非齐次方程的一个特解。
二阶微分方程
这就是说， 是方程(6)的解 的解， 这就是说，如果函数 y = e rx 是方程 的解，那么 r 必须满 足方程(8)． 足方程 ． 反之， 是方程 的一个根， 是方程(8)的一个根 则 反之，若r是方程 的一个根， 是方程(6)的一个特解 的一个特解． e rx是方程 的一个特解． 方程(8)是以 为未知数的二次方程 为未知数的二次方程， 方程 是以 r为未知数的二次方程，我们把它称为微分 2 的系数， 方程(6)的特征方程， 方程 的特征方程，其中 r 和 r 的系数，以及常数项恰好 依次是微分方程(6)中 的系数． 依次是微分方程 中 y′′ 、y ′ 及 y 的系数． 特征方程的根称为特征根． 特征方程的根称为特征根． 特征根
y = (C1 + C 2 x )e r2 x
（10）
(3)特征根是一对共轭复根 1,2=α±βi ， 这时y1 = e (α + βi ) x 特征根是一对共轭复根r 特征根是一对共轭复根 ±
y 2 = e (α − βi ) x 是方程 的两个特解，但这两个解含有复数， 是方程(6)的两个特解 但这两个解含有复数， 的两个特解， 和
11
1．二阶常系数线性齐次微分方程的通解 先讨论二阶常系数线性齐次微分方程 y′′ + py′ + qy = 0 的解的结构． 的解的结构． 定理1 定理1 如果函数 y1与y2 是方程 (6)的两个解, 那么 (6)
y = C1 y1 + C 2 y2
也是方程(6)的解，其中是任意常数 也是方程 的解，其中是任意常数． 的解
C x ln y = C1 x + ln C 2 或 y = C 2 e 1
显然它也满足原方程． 如果P 显然它也满足原方程．但 y =C 如果 = 0，那么立刻可得 y = C， 那么立刻可得 Cx 已被包含在解 y = C 2 e 1 中了 (令 C1 = 0 就可得到它 ).
重点可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的定义和解(精)
x x( t ).
解 受力分析
o x x
1. 恢复力 f cx (c 0), dx 2. 阻力 R ( 0). dt
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
d 2x dx F ma , m 2 cx , dt c dt2 且令 2n, k , 则得 m m d 2x dx 2 2 n k x 0 物体自由振动的微分方程 2 dt dt
ln(1 p 2 ) ln x ln C1 ，得1 p 2 C1 x .
即 p C1 x 1, 也即 y C1 x 1 .
2 y (C1 x 1) dx (C1 x 1) C2 . 3C1
1 2
3 2
第七章
微 分 方 程
若受到铅直干扰力 F h sin pt, 则
d 2x dx 2 2 n k x h sin pt 强迫振动的方程 2 dt dt
对于象这样的微分方程，我们给出如下定义:
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微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
1．二阶线性微分方程的定义
d2y dy P( x) Q( x) y f ( x) 这样的微分方程 形如 2 dx dx
那么称这 n个函数在区间 I 内线性相关；否则 称线性无关．
x e x , e 2 x 线性无关; 例如 当x ( , )时， e ，
1， cos2 x , sin2 x 线性相关.
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课题二十七 简单的二阶微分方程
y1 ( x ) 特别地: 若在区间 I 上有 常数， 则函 y2 ( x ) 数 y1 ( x )与 y2 ( x )在 I 上线性无关.
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2 [例 2] 求方程 2 xy y 1 ( y ) 的通解. 解 令 y p ( x) ,则 y( x) p( x) ，将其代入所给方 2 2 x p p 1 p , 程,得
2 pd p d x 分离变量得 , 两边积分得 2 1 p xLeabharlann 第七章微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
[例 3] 求方程yy
y 0的通解.
2
dP 解 设 y P( y ), 则 y P , dy
dP dP 2 P 0, 即 P ( y 代入原方程得 y P P ) 0, dy dy dy dP 由 y P 0， 可得 P C1 y , C1 y , dx dy
0
1 x y ' 1 y ' 2 dx a 0
取原点O到点A的距离为定值 a
1 2 y ' ' 1 y ' a 于是有 y (0) a, y(0) 0
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a 2 2C1 1 p 将初始条件 y ' (0) p(0) 0 代入①式，解得
a 将 C 2 0 代入②式， 解得曲线方程为 y (e e ). 2
x a
x a
此曲线为悬链线．
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方程的特点：方程右端不显含未知函数y. 方程的解法： 令 y p( x) ,则 y p( x), 将它们
代入方程得
p( x) f ( x, p( x))
这是一个关于自变量 x 和未知函数 p ( x) 的 一阶微分方程 ,若可以求出其通解 p (x,C1) ,则 y ( x, C1 ) 再积分一次就能得原方程的通解.
y (sin x C1 )dx cos x C1 x C2 ,
y ( cos x C1 x C2 )dx, 2 1 y sin x 2 C1x C2 x C3.
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2. y f ( x, y ) 型的微分方程
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【授课时数】 总时数：6学时. 【学习目标】 1、知道二阶微分方程的概念； 2、会求可降阶的二阶微分方程、二阶常系数线性 齐次和非齐次微分方程的通解或特解． 【重、难点】 重点：可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微 分方程的定义和解法，由微积分知识引出． 难点：正确求解可降阶的二阶微分方程和二阶常系 数线性微分方程的通解或特解，由实例讲解方法．
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解 建立坐标系如图所示，设曲线方程为 y f ( x), 由题意得 T sin S , T cos H , 将此两式相除，得
1 tan S , ( a H ) a x tan y' , S 1 y' 2 dx
ln(1 p 2 ) ln x ln C1 ，得1 p 2 C1 x .
即 p C1 x 1, 也即 y C1 x 1 .
2 y (C1 x 1) dx (C1 x 1) C2 . 3C1
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由 P y 0, 得 y C ,
C x 原方程通解为 y C2e 1 .
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[例 4] 设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索 仅受重力的作用而下垂，试问该绳索在平衡状态时是怎 样的曲线．
分析
设绳索的最低点为 A，取 y 轴过点 A 且垂 直向上，取 x 轴水平向右，且|OA|等于某个定 值．设绳索曲线的方程为 y f ( x) ，现在考察 绳索上点 A 到另一点 M(x,y)间的一段弧 AM， 设 其长 S．假定单位长绳索的重量为ρ ，则弧 AM 的重量为ρ S．由于绳索是柔软的，因而在点 A 处的张力沿水平切线方向，其大小设为 H．在点 M 处的张力沿该点处的切线方向， 与水平线成θ 角，其大小设为 T，因作用于弧段 AM 的外力相 互平衡．下面给出解法．
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3. y f ( y, y) 型的微分方程 方程的特点：右端不显含自变量 x .
方程的解法：求解这类方程可令 y p ( y ) 则 dy dp ( y ) dy dp y p, dx dy dx dy dp 于是,方程 y f ( y, y) 可化为 p f ( y, p ) . dy 这是关于 y 和 p 的一阶微分方程 , 如能求出其解 dy p ( y, C1 ) ,则可由 ( y, C1 ) 求出原方程的解. dx
第七章
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课题二十七 简单的二阶微分方程
一、可降阶的二阶微分方程
1. y ( n) f ( x) 型的微分方程
方程解法：通过 n 次积分就可得到方程的通解.
[例 1] 求方程 y ( 3) cos x 的通解.
解
y
( 3)
cos x, y cos xdx sin x C1,
1 1 p 2 ，并分离变量得 将 y ' p ， y p 代入得， p' a x x C 1 dp 1 e a ① dx ，两端积分，得 p 1 e a 2
x x
1 a C1 1或C1 1(舍). 再将 C1 1 代入①式，得 p (e e a ), 2 x x a a 将 p y ' 代入上式，并积分得 y (e e a ) C2 ② 2 将初始条件 y (0) a 代入②式，解得 C2 0,