控制工程基础第2章答案
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第2章系统的数学模型(习题答案)
2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？
解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？
解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。
题图2.3
解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得
整理得
将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得
[]
于是传递函数为
②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。引出点处取为辅助点B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：
消去中间变量x，可得系统微分方程
对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为
③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：
移项整理得系统微分方程
对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即
则系统传递函数为
2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。
+-+-
C
)
(t u r )
(t u c )
(t r )
(t x c f
1
k 2
k C
R
)
(t u r )
(u c +-
+-
f
)
(t r )
(t x c )(a )
(b )
(c )
(d R 2R
题图2.4
【解】：)(a
方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：
⎪⎩⎪⎨
⎧=+=⎰i R u u dt i C u c
c r 1
消去中间变量，整理得：
dt
du RC u dt du RC
r
c c =+ 方法二：
dt
du RC u dt du RC
RCs RCs Cs
R R s U s U r
c c r c =+⇒+=
+
=
1
1
)
()
(
)(b 由于无质量，各受力点任何时刻均满足
∑=0F ，则有：
c
c r kx dt dx
dt dx f =-)(dt
dx k f x dt dx k f r
c c =
+⇒
)
(c ()r r c c r c u dt
du
C R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs
R R Cs
R s U s U +=++⇒+++=+++
=2212122
12)(1111)()( )(d 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程
r r
c c a
a c a r c r x dt
dx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。四个系统均为一阶系统。
2.5试求下图（题图2.5）所示各电路的传递函数。
)
(t +
_
1
R +
+
_
_
u )
1
R +
+
u )
_
_
)
(
a +
+
_
_
C u )
)
(b )
(c )
(d
题图2.5
【解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。
(a) 1
21221222
2212)()(1//)1(//)1
(
)()(R s L C R R LCs R R s LCR R Cs
R Ls R Cs R Ls
R Cs s U s U r c ++++=+⨯+++=
(b)
1)(1
)(1)1//(1
//
1)()(2122112
2121221122121221111+++++++=++-=s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R s
C R s C R s
C R s U s U r c (c) 2
1212122
12)()//(1)
//(1
)()(R R s L C R R LCs R Ls R Ls R Cs
R Ls R Cs s U s U r c +++++=+++= (d)
s
C R R
s C R s C R R s
C R s C R s C R s
C s U s U r c 121121211//)1(//)1
(1//)1(1)()(+
⨯
+++
+++=
1
)2(12212
212
12212+++++=
s RC RC s C C R s RC s C C R
2.6求图( 题图2.6) 所示两系统的微分方程。
题图2.6
解（1）对图（a ）所示系统，由牛顿定律有
即
（2）对图（b ）所示系统，由牛顿定律有
其中