金融经济学(王江)习题解答讲解学习

金融经济学(王江)习
题解答
金融经济学习题解答
王江
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)
2006 年 8 月
第2章
基本框架
2.1 U(c) 和V (c) 是两个效用函数，c2 R n+，且V (x) = f(U(x))，其中f(¢) 是一正单调
函数。

证明这两个效用函数表示了相同的偏好。

解.假设U(c)表示的偏好关系为º，那么8c1; c22R N+有
U(c1) ¸ U(c2) , c1 º c2
而f(¢)是正单调函数，因而
V (c1) = f(U(c1)) ¸ f(U(c2)) = V (c2) , U(c1) ¸ U(c2)
因此V(c1)¸V(c2),c1ºc2，即V(c)表示的偏好也是º。

2.2* 在 1 期，经济有两个可能状态a和b，它们的发生概率相等：
a
b
考虑定义在消费计划c= [c0;c1a;c1b]上的效用函数：
U(c) = log c0 + 1 (log c1a + log c1b)
³´
U(c) =
1
c01¡°+21
1
c11a¡°+
1
c11b¡°1¡°1¡°1¡°
U(c) = ¡e¡ac0¡21¡
e¡ac0+e¡ac0
¢
证明它们满足：不满足性、连续性和凸性。

解.在这里只证明第一个效用函数，可以类似地证明第二、第三个效用函数的性质。

(a) 先证明不满足性。

假设c¸c0，那么
有c0 ¸ c00; c1a ¸ c01a; c1b ¸ c01b
而log(¢)是单调增函数，因此有
log(c0) ¸ log(c00); log(c1a) ¸ log(c01a); log(c1b) ¸ log(c01b)
因而U(c)¸U(c0)，即cºc0。

2 第 2 章 基本框架
(b) 现在证明连续性。

令 fc (n )g 11 为 R 3 中一个序列，且 lim n!1 c (n ) = c 。

对于
8 " > 0; 9 ±，当 j c 0i ¡ c i j· ± 时我们有 j log(c 0i ) ¡ log(c i ) j< 3"
; i = 0; 1a; 1b ；对
于 ±，9 N 使得当 n ¸ N 时，
k c (n ) ¡
c k = q
< ±
(c 0 ¡ c 0(n ))2 + (c 1a ¡ c 1(n a ))2 + (c 1b ¡ c 1(n b ))2 因而 j U (c (n )) ¡ U (c ) j< "，故 lim c (n )!c U (c (n )) = U (c )。

(c) 最后证明凸性。

假设 U (C ) > U (C 0)，那么
log(c ) + 1 log(c 1a ) + 1 log(c 1b ) > log(c 0 ) + 1 log(c 0 ) +
1 log(c 0 )
0 2 2 0 2 1a
2 1b
对于 8 ® 2 (0; 1)，
U (®C 0 + (1 ¡ ®)C )
1 1
= log(®c 0 + (1 ¡ ®)c 0) +
log(®c 1a + (1 ¡ ®)c 1a ) +
log(®c 1b + (1 ¡ ®)c 1b )
2 2
1 0 1 0
1 1 ¸ ®(log(c 0) + log(c 1a ) +
log(c 1b )) + (1 ¡
®)(log(c 0) +
log(c 1a ) +
log(c 1b )) 2 2 2 2 = ®U (C 0) + (1 ¡ ®)U (C ) > U (C 0)
故凸性成立。

2.3 U (c ) = c ¡ 1
2 a c 2
是一可能的效用函数，其中 c 2 R +，a 是非负的系数。

U (c ) 具有不
满足性吗？如果不，那么 a 取什么值和/或 c 在什么范围内时 U (c ) 具有不满足性？
解. 不一定。

比如当 a = 1 时，U (12 ) = 38 < U (1) = 12 > U (3) = ¡1:5。

U (c ) 不
具有不满足性。

当 a = 0 时，U (c ) = c 具有不满足性；当 a > 0 时，当 c 2 [0;
a 1
] 时 U (c ) 具有不满足性。

2.4 考虑一个经济，它在 1 期有三个可能状态：a ，b 和 c ：
a
b c
证券市场包括证券 1 和 2，它们具有如下的支付向量：X 1 = [1; 1; 1] 以及 X 2 =
[1; 2; 3]。

它们的价格分别为 S 1 和 S 2。

(a) 描述这个经济的支付空间。

(b) 写出这个经济的市场结构矩阵 X 。

(c) 考虑含有 µ1 单位的证券 1 和 µ2 单位的证券 2 的组合。

写出这个组合的
支付向量。

这个组合的价格是多少？
°c 王江
金融经济学
3
(d) 假设这个市场中总共有K个参与者。

每个参与者的禀赋是1单位的证券1
和2单位的证券2。

这时的市场组合是什么？市场组合的支付向量是什么？
市场组合的总价值是多少？
(e) 写出市场化支付的集合。

(f) 如果市场不允许卖空。

市场化支付的集合是什么？
(g) 现在引入新的证券3，它的支付向量为X3= [0; 0; 1]。

写出新的市场结构矩
阵。

在这个市场结构下，市场化支付集合是什么？
解.
(a) 这个经济的支付空间是 R3；
4 1 1 5
= [X1; X2]；
(b) 市场结构矩阵为X = 2 1 2 3
(c) 组合的支付向量为µ1X1 + µ2X2 = [µ1 + µ2; µ1 + 2µ2; µ1 + 3µ2]，组合的价格是
µ1S1+ µ2S2；
(d) 市场组合是K单位的证券 1 和 2K单位的证券 2，组合的支付向量为
[3K; 5K; 7K]，组合的总价值是KS1 + 2KS2 ；
(e) 市场化的支付集合是M = fY2 R2 : Y = µ1X1 + µ2X2; µ1; µ22 R g；
(f) 这时的市场化支付集合是M+ = fY 2 R2: Y = µ1X1+ µ2X2; µ1; µ2 2 R+g；
合为 3 4 1 1 0 5 。

(g) 新的市场结构矩阵为X = 2 1 2 0 3 = [X1; X2; X3]，此时的市场化支付集
M = fY 2 R : Y = µ1X1+ µ2X2+ µ3X3; µ1; µ2; µ3 2 R g
2.5 在练习 2.4中定义的只存在证券1和2的经济中。

考虑一个禀赋为µ1单位的
证券1和µ2单位的证券2的参与者。

写出他的预算集。

解.参与者的预算集是fC2R3+:C=®1X1+®2X2;其中®1S1+
®2S2·µ1S1+µ2S2g。

2.6 在上面的练习中引入练习2.4中定义的证券3，它的价格为S3。

这时，参与者的
预算集是什么（他在证券3上的禀赋为0）？证明由证券1、2、3构成的预算集包含仅由证券1、2构成的预算集。

解.此时参与者的预算集就变成了fC2R3+:C=®1X1+®2X2+®3X3;
其中®1S1+
®2S2+ ®3S3 · µ1S1+ µ2S2+ µ3S3g。

2.7* 考虑一个在 1 期只有一个可能状态的经济。

（在这种情况下不存在不确定性。

）参与者
1的0期禀赋为100而1期禀赋为1，即他的禀赋向量为[100; 1]。

他的偏好可
金融经济学°c王江
4第2章基本框架以表示成如下形式：
U(c0; c1) = log c0+ ½ log c1:
系数½为反映参与者在当前消费和未来消费之间相对偏好的参数。

有一只证券，它的0 期价格为 1、1 期支付为 1 + r F。

这里，r F是利率。

(a) 如果这个参与者不能在市场上进行交易，那么他的消费计划以及相应的效用
U a是什么？
(b) 现在假设他可以在市场上进行交易。

²他的预算集是什么？以当前消费为单位，他的总财富w是多少？
²写出参与者的优化问题。

令c0为参与者的当前（即0期）最优消费、s为最优储蓄以及U b为在最优策略下得到的效用。

求解他的最优消费/储蓄选择
以及相应的效用。

把U b表示成财富w、利率r F和偏好系数½的函数。

²讨论参与者的最优选择如何依赖于利率r F和偏好系数½。

给出解释。

(c) 证明U b¸U a。

(d) 令g为参与者由于能够在证券市场上交易而获得的益处。

它的定义为
U b(w ¡ g) = U a:
计算g。

讨论g如何依赖于½？g如何依赖于r F？给出解释。

解.
(a) 如果不能交易，那么参与者只能消费自己的初始禀赋，即
c0= 100; c1= 1; U a= log(100) + ½ log(1) = log(100)
(b) 参与者的预算集是fC2R2+:c0= 100¡S; c1= 1 +S(1 +r F); S2R g，如
果以当前消费为单位，他的总财富是w= 100 +1+1r F。

参与者的优化问题就是
max log(100 ¡S) + ½ log(1 + S(1 + r F ))
S
我们求得最优储蓄
S = 100½(1 + r F ) ¡ 1
(1 + ½)(1 + r F )
最优消费为
c0= 100(1 + r F ) + 1
=
1
w; c1 =
½(100(1 + r F) + 1)
=
½(1 + r F)
w (1 + ½)(1 + r F ) 1 + ½ (1 + ½)(1 + r F ) 1 + ½
c 王江金融经济学°。