全等三角形经典例题整理

全等三角形的典型习题
一、全等在特殊图形中的运用
1、如图，等边△ABC 中，D 、E 分别是AB 、CA 上的动点，AD ＝CE ，试求∠DFB 的度数．
2、如下图所示，等边△ABC 中，D 、E 、F 是AB 、BC 、CA 上动点，AD ＝BE
＝CF ，试判断△DEF 的形状．
3、如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，线段BE 、CD 相交于点H ，线段BE 、AC 相交于点G ，线段BE 、CD 相交于点H ．请你解决以下问题： (1) 试说明BE ＝CD 的理由；
(2) 试求BE 和CD 的夹角∠FHE 的度数
A
Ex1、如下图所示，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，且点B 、A 、D 在同一直线上，AC 、BE 相交于点G ，AE 、CD 相交于点F ，试说明AG ＝AF 的理由．
Ex2、如图，四边形ABCD 与BEFG 都是正方形，AG 、CE 相交于点O ，AG 、
BC 相交于点M ，BG 、CE 相交于点N ，请你猜测AG
位置关系)并说明理由．
A
D
C
B
4、△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°，D 是底边BC 的中点，DE ⊥DF ，试用两种不同的方法说明BE 、CF 、EF 为边长的三角形是直角三角形。

二．证明全等常用方法（截长发或补短法）
5、如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，∠BAC 的平分线交BC 于点D ．请
你试说明AB ＋BD ＝AC 的理由．
Ex1，∠C ＋∠D ＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．试用截长法说明AD ＋BC ＝AB ．
B
Ex2、五边形ABCDE 中,AB ＝AE,∠BAC ＋∠DAE ＝∠CAD,∠ABC ＋∠AED ＝180°,连结AC ，AD ．请你用补短法说明BC ＋DE
己考虑）
6、
如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上的点，F 是BC 上的点，且∠EDF ＝45°．请
你试用补短法说明AE ＋CF ＝EF ．
Ex1.、如图所示，在△ABC 中，边BC 在直线m 上，△ABC 外的四边形ACDE 和四边形ABFG 均为正方形，DN ⊥m 于N ，FM ⊥m 于M ．请你说明BC ＝FM
＋DN 的理由．(分别用截长法和补短法) （连结GE B
F
C A B
三．全等在探究题中的运用
7、数学课上，老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC
的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经
过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证
AME ECF △≌△，所以AE EF =．
(1) 请你写出说明△ABC ≌△ECF 的理由； 在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（2）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（3）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
A D F
C G
E B
图1
A D F C G
E B
图2 A D F
G
E B
图3
（第2题图）
Ex1、如图1，一等腰直角三角尺GEF （∠EGF=90°,∠GEF=∠GFE=45°,GE=GF ）的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想FN ，BM 相等吗？并说明理由；
（2）若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．
图2
图3
图1 A ( B ( E )
Ex2．在平面，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得
到新位置图形的一种变换． 活动一：如图1，在Rt △ABC 中，D 为斜边
AB 上的一点，AD =2，BD =1，且四边形
是正方形，求阴影部分的面积．
小明运用图形旋转的方法，将△DBF 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DGE （如图2所示），
一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积： ．
活动二：如图3，在四边形ABCD 中，AB =AD
，∠BAD =∠C =90°，BC =5，CD =3，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，求AE 的长． 小明仍运用图形旋转的方法，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADG （如图4所示），则①四边形AECG 是怎样的特殊四边形？答： ．②AE 的长是 ． 活动三：如图5，在四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，将BC 按逆时针方向绕点B 旋转90°得到线段BE ，连接AE ．若AB =2，DC =4，求△ABE 的面积．
图1
B
图2
图5
B
C
A E
D G 图4
A B
C
D
图
E
四．动点问题中的全等、
8如图，已知ABC △中，20AB AC ==厘米，BC=16厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以6厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段
CA 上由C 点向A 点运动．
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，
请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使
BPD △与CQP △全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动 速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多 长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？。