二分之一波长传输线的量子化

2λ传输线的量子化

摘要：通过一些文献和资料,计算传输线方程，等效电路,传输阻抗以及波动方程，最后由Louisell 将传输线量子化的方法将2λ传输线的量子化。 引言：在微波频率范围内，超导态导体的表面电阻要比正常态导体的表面电阻低很多，这种低的表面电阻直接转化成无源微波器件的低插入损耗和高品质因数。常用的微波传输线有2λ传输线和λ/4传输线，λ为电磁波波长。一般λ/2谐振器是由开路的传输线构成的，当l=λ/2或者l=ｎλ/2（ｎ为正整数），表现出的电路特性与并联RLC 谐振电路相近。通过正则量子化的过程可以将1/2波长的传输线量子化，从而得到分立的本征值。

正文：

利用麦克斯韦方程推导传输线的基本方程：

假设传输线轴向无限长，而且横截面不随轴线的变化而变化，以轴线方向为z 轴方向板间距为d,宽度为a ，因为d «a，所以忽略电磁场的边缘效应，电磁传播方向沿着z 轴方向，电场E 沿着x 轴方向，磁场H 沿着y 轴方向，E 、H 与电磁场传播方向k 三者相互垂直，导波为横电磁波，可得：

E =x E x (z,t)

H =y H y (z,t)

在平行板传输线中运用麦克斯韦方程▽*E =-µ

t H ∂∂，▽*H =Ɛt

E ∂∂可得： z ∂∂E x (z,t)=-µt ∂∂H y (z,t)

z ∂∂H y (z,t)=-Ɛt

∂∂E x (z,t) 板间电压U （z,t ）被定义为U （z,t ）=E x (z,t)d,电流I （z,t ）被定义为 I （z,t ）=H y (z,t)a,平行板传输线的单位长度的电感L 为L=µd/a(H/m);单位长度的电容C 为C=Ɛ a/d(F/m),则方程

z ∂∂E x (z,t)=-µt

∂∂H y (z,t) z ∂∂H y (z,t)=-Ɛt

∂∂E x (z,t) 可写为：

z ∂∂U （z,t ）=-L t

∂∂I （z,t ） z ∂∂I （z,t ）=-C t

∂∂U （z,t ） 由电压和电流表示的这两个方程就是传输线方程。

当传输线长度为半波长（l=2λ）时，其传输线阻抗为：

负载阻抗在传输线上每隔半个波长就会重现一次，如下图所示，除了确定波的传输时间，我们可以将所有计算假设传输线比它原有长度减少n 2λ(n 为整数)。若V(z)与 I （z ）为传输线上任意点z 的电压与电流，则V （z+2λ））=-V(z)与 I(z+2λ)=-I （z ）。就是说，沿着每半个波长，电压和电流就改变一次它们的方向。

L L c c L C in Z Z j Z Z j Z Z Z =++=)2λλπ2tan()2λλπ2tan()0(

传输线在发送端的等效电路2

二分之一波长谐振器的能量损耗：2

0)(4πwC Z Z Q l C = 当w=0w 时其特性曲线可由公式即谐振器传输特性参数)

/1(11220w w jQ S -+=（Q 是整个谐振电路的品质因素）表示

设单位长度传输线的电感和电容分别为：L 和C,在忽略传输线损耗的情况下，传输线中，电压和电流满足波动方程：

022222=∂∂-∂∂z

j t j c 022222=∂∂-∂∂z

v t v c 其中c=LC 1为波的传播速度，022222=∂∂-∂∂z

j t j c 的平面前进波解为 j(z,t)=ikz iw ikz iw e A Ae -*+-+

其中A ,*A 为任意常数，波数k=λπ2=ω 可以求出电压与电流的关系为： V （z,t ）=C

L j(z,t)

由Louisell 将传输线量子化的方法,我们可以了解到，对于一个确定的模。ω一定，则λ和k 一定，若传输线长度0z 为波长的固定整数倍，即z=m λ=k m π2,其中m 为一个固定的整数，则传输线中的能量为

z z

z z d Lj d Cv Lj H ⎰⎰=+=0

2022)(21 将j(z,t)=ikz iw ikz iw e A Ae -*+-+代上式可以积出：

02z LLA H *= 若以ω 为能量单位，即取

2Lz a

A ω = 则 a a H *=ω

由j(z,t)=ikz iw ikz iw e A Ae -*+-+我们可以得到传输线中电流的一个进模为：

)(2),(0

ikz t i ikz t i e a ae Lz t z j -*+-+=ωωω 确定了a 和*a ，那么电流j 和电压v 也就可以确定下来了，由于a a H *=ω 与用升降算符表示的谐振子哈密顿算符很相似，这就给予我们这样的提示： )(21ip q a +=ωω

其中，p 、q 均为实变量，则)(21222q p H ω+=，这正是坐标和动量分别为q.p 的单3位质量谐振子的哈密顿q.p 为正则变量，

令： i p q =].[

则：1].[=+a a

就实现了传输线的量子化。

波动方程:

当电流通过导线时，每条导线的有限电导率使传输线产生功率损耗，功率损耗可以由2I P R =确定的电阻来表示，此处P 为总功率损耗，I 为传输线中的电流，我们可以把传输线的每个单位长度的电阻用L R R l =表示，此处l 为传输线的长度，由于引起功率损耗的电流和传输线产生的磁场的电流相同，所以，我们就可以这么认为：将传输线的单位长度电阻与单位长度电感串联，阻抗表示为：l

l l L j R Z ω+=ˆ 其中，l R 是两根导线单位长度的电阻，l L 为单位长度的电感，l

Z ˆ为传输线单位长度上的串联阻抗。

由平行板传输等效电路可以求得：

)()(z I a

d L j z V l Z μω-=∂∂ 现在也可以写为:

I L j R z

z V l l )()(ω+-=∂∂