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2014年中考数学分类汇编：与特殊四边形有关的填空压轴题

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中考数学高频考点《四边形》选择填空综合考型类压轴题汇编

中考数学高频考点《四边形》选择填空综合考型类压轴题汇编

中考数学高频考点四边形选择填空综合考型类压轴题汇编1. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线弓。

、总力相交于点卩有直角山吓使直角顶点尸与点◎重合，直角边f肋、皿|分别与"|、pB重合，然后逆时针旋转严呻，旋转角为网（扩孕＜眄），|刖、戸叫分别交個、戶匕于取『两点，连接FP交。

£于点G,则以下结论中：（1）总尸=血虫；（2）"四边第诈血沾世方和眈D■ 1 ：° ；（3）UE + RF =近04 ；（ 4）在旋转过程j p _ ?中，当匕目与的面积之和最大时，■—- 4 ;（5）OG^D =加+ C輕，正确的结论是__________ .2. 如图，在矩形ABCD中，JEVEO,巨为「'D边的中点，将&3E绕点左顺时针旋转1哥'，点心的对应点为'，点7的对应点为斤，过点上作"上丄-"交"｛于点山，连接-Z、"匕交于点.现有下列结论：①""H AD+MC:② AM ■ DE +小订：③OES CM；④点畀为A 4BA/的外心.其中正确的个数为（）.DB MC iA. 1个B. 2 个C.3 个D.4 个A. 1个B. 2个C.3个D.4个3. 如图，在正方形，中，；是等边三角形，、’的延长线分别交•于点、，连接、'，与「相交于点•’，给出下列结论：d）BE = ；②厶卫尸”厂；@AFFD厂△户D廿•，④DP^ = 叶•図.其中正确的是（）.C DA. ®®®®B. ®@C.①②④D. ®0®4.如图,在正方形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,M是BC边上的动点（点CMDH ,CN与AB交于点N,连接OM,ON,MNF列五个结论：A.2B.3C.4D.55.已知矩形纸片A^CL｝中，43 = 1,"厂・7.将该纸片折叠成一个平面图形，折痕日不经过必点（且、是该矩形边界上的点），折叠后点|月落在点耳处, 给出以下判断：①当四边形比"为正方形时，FF=旳；②当阳二血时,M不与B,C重合）,2^CNB = LDMC；②AC05 = ^DOM；③△OMV 〜A0/1D④的个数是;⑤若AB = 2 的最小值是,其中正确结论FER A四边形WDF为正方形；③当I =诉时，四边形BA f Cn为等腰梯形；④当四边形RNCD为等腰梯形时，=血.其中正确的是 ________________________________________________ （把所有正确结论的序号都填在横线上）•6•如图，在边长为』的正方形ABCD中，臥尸是边上的两个动点，且心皿，连接眈、X他，件与朗交于点G，连接舶交就于点&，连接DH,下列结论正确的个数是（）.（T）AASG - AFDG ② HD平分^EHG③4G丄HE ④弘HDC : S A/TSG = taii^D^C （3线段D力的最小值是龙闪一夕A.2B.3C.4D.57•如图，在正方形ABCD中，4C为对角线，包为°百上一点，过点E作与一40、DC分别交于点G、F，H为CG的中点，连接DE、E甘、DH、FH .下列结论：①E—DF；②山卫M +乙40" = 1和°；③、EHFSDHG ；应 _---------- ---------------------- ------------------ --------④若殛=§，贝y時“口財m弘叭,其中结论正确的是（）.A. 1个B. 2个C.3个D.4个JE GHCOB( )CH GBEA. 1个B. 2个C.3个D.4个9•如图，在菱形ABCL ＞中，= ，点左、尸分别是AB ^L ＞上任意的点（不与端点重合），且'=■，连接；与 相交于点■，连接1与 相交8•如图，平行四边形4眈口的对角线必、交于点。

2014年全国各地中考数学压轴题及答案解析(二)

2014年全国各地中考数学压轴题及答案解析(二)

2014年全国各地中考数学压轴题及答案解析（二）21．（江苏无锡）如图，菱形ABCD 的边长为2cm ，∠DAB ＝60°．点P 从A 点出发，以cm /s 的速度，沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从A 点出发，以1cm /s 的速度，沿射线AB 作匀速运动．当P 运动到C 点时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为t s ．（1）当P 异于A 、C 时，请说明PQ ∥BC ；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？解：（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ＝2，∠BAC ＝∠DAB又∵∠DAB ＝60°，∴∠BAC ＝∠BCA ＝30°如图1，连接BD 交AC 于点O∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝AC∴OB ＝AB ＝1，∴OA ＝，AC ＝2运动t 秒时，AP ＝t ，AQ ＝t ，∴＝＝又∵∠P AQ ＝∠CAB ，∴△P AQ ∽△CAB∴∠APQ ＝∠ACB ，∴PQ ∥BC （2）如图2，设⊙P 与BC 切于点M ，连接PM ，则PM ⊥BC在Rt △CPM 中，∵∠PCM ＝30°，∴PM ＝PC ＝－t由PQ ＝AQ ＝t ，即 －t ＝t解得t ＝4－6，此时⊙P 与边BC 有一个公共点如图3，⊙P 过点B ，此时PQ ＝PB ∵∠PQB ＝∠P AQ ＋∠APQ ＝60°∴△PQB 为等边三角形∴QB ＝PQ ＝AQ ＝t ，∴t ＝1∴当4－6＜t≤1时，⊙P 与边BC 有2个公共点如图4，⊙P 过点C ，此时PC ＝PQ 即2－t ＝t ，∴t ＝3－∴当1＜t≤3－时，⊙P 与边BC 有一个公共点当点P 运动到点C ，即t ＝2时，⊙P 过点B此时⊙P 与边BC 有一个公共点∴当t ＝4－6或1＜t ≤3－或t ＝2时，⊙P 与菱形ABCD 的边BC 有1个公共点当4－6＜t≤1时，⊙P 与边BC 有2个公共点22．（江苏苏州）如图，正方形ABCD 的边AD 与矩形EFGH 的边FG 重合，将正方形AB CD 以lcm /s 的速度沿FG 方向移动，移动开始前点A 与点F 重合．在移动过程中，边AD 始终与边FG 重合，连接CG ，过点A 作CG 的平行线交线段GH 于点P ，连接PD ．已知正方形ABCD 的边长为lcm ，矩形EFGH 的边FG 、GH 的长分别为4cm 、3cm．设正方形移动CD图4时间为x （s ），线段GP 的长为y （cm ），其中0≤x≤2.5．（1）试求出y 关于x 的函数关系式，并求当y ＝3时相应x 的值；（2）记△DGP 的面积为S 1，△CDG 的面积为S 2，试说明S 1－S 2是常数；（3）当线段PD 所在直线与正方形ABCD 的对角线AC 垂直时，求线段PD 的长．解：（1）∵CG ∥AP ，∴∠CGD ＝∠P AG∴tan ∠CGD ＝tan ∠P AG ，Error: Reference source not found ∴＝∵GF ＝4，CD ＝DA ＝1，AF ＝x ，∴GD ＝3－x ，AG ＝4－x ∴＝，即y ＝Error: Reference source not found∴y 关于x 的函数关系式为y ＝Error: Reference source not found 当y ＝3时，Error: Reference source not found＝3，解得x ＝2.5（2）∵S 1＝GP ·GD ＝·Error: Reference source not found·(3－x)＝S 2＝GD ·CD ＝(3－x)·1＝∴S 1－S 2＝－＝，即为常数（3）延长PD 交AC 于点Q ∵正方形ABCD 中，AC 为对角线，∴∠CAD ＝45°∵PQ ⊥AC ，∴∠ADQ ＝45°∴∠GDP ＝∠ADQ ＝45°∴△DGP 是等腰直角三角形，∴GD ＝GP∴3－x ＝Error: Reference source not found，解得x ＝found∵0≤x≤2.5，∴x ＝Error: Reference source not found 在Rt △DGP 中，PD ＝Error: Reference source not found＝(3－x)＝23．（江苏连云港）如图，甲、乙两人分别从A （1，）、B （6，0）两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以4km /h 的速度行走，t h 后，甲到达M 点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达O 点前，MN 与AB 不可能平行．（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长，设s ＝MN 2，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．HH FEP GH HF E P G解：（1）∵A （1，），∴OA ＝2，∠AOB ＝60°假设MN ∥AB ，则有＝∵OM ＝2－4t ，ON ＝6－4t ，∴＝ 解得t ＝0即在甲、乙两人到达O 点前，只有当t ＝0时，△OMN ∽△OAB ∴MN 与AB 不可能平行（2）∵甲达到O 点时间为t ＝＝，乙达到O 点时间为t ＝＝∴甲先到达O 点，∴t ＝或t ＝时，O 、M 、N 三点不能构成三角形①当t＜时，若△OMN ∽△OBA ，则有 ＝解得t ＝2＞，∴△OMN 与△OBA 不相似②当 ＜t ＜时，∠MON ＞∠OAB ，显然△OMN 与△OBA 不相似③当t ＞ 时， ＝ ，解得t ＝2＞∴当t ＝2时，△OMN ∽△OBA（3）①当t ≤时，如图1，过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为H 在R t △MOH 中，∵∠AOB ＝60°∴MH ＝OM ·sin60°＝( 2－4t )× ＝( 1－2t)∴NH ＝ ( 4t －2 )＋( 6－4t)＝5－2t∴s ＝[ ( 1－2t )]2＋( 5－2t )2＝16t2－32t ＋28②当 ＜t ≤时，如图2，作MH ⊥x 轴，垂足为H 在R t △MNH 中，MH ＝ ( 4t －2 )＝( 2t －1)NH ＝ ( 4t －2 )＋( 6－4t)＝5－2t∴s ＝[ ( 1－2t )]2＋( 5－2t )2＝16t2－32t ＋28③当t ＞ 时，同理可得s ＝[ ( 1－2t )]2＋( 5－2t )2＝16t2－32t ＋28综上所述，s ＝16t2－32t ＋28∵s ＝16t 2－32t ＋28＝16( t －1)2＋12∴当t ＝1时，s 有最小值为12∴甲、乙两人距离的最小值为2km24．（江苏南通）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10厘米，BC ＝12厘米，D 是BC 的中点．点P 从B 出发，以a 厘米/秒（a ＞0）的速度沿BA 匀速向点A 运动，点Q 同时以1厘米/秒的速度从D 出发，沿DB 匀速向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t 秒．（1）若a ＝2，△BPQ ∽△BDA ，求t 的值；（2）设点M 在AC 上，四边形PQCM 为平行四边形．①若a ＝，求PQ 的长；②是否存在实数a ，使得点P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．CBDAQ P解：（1）∵BC ＝12，D 是BC 的中点∴BD ＝C D ＝6∵a ＝2，∴BP ＝2t ，DQ ＝t ，BQ ＝6－t ∵△BPQ ∽△BDA ，∴＝∴＝，∴t ＝（2）①∵a ＝，∴BP ＝t∵四边形PQCM 为平行四边形，∴PQ ∥AC ∴△BPQ ∽△BAC ，∴＝∴＝，∴t ＝，∴BP ＝∵AB ＝AC ，∴PQ ＝BP ＝②不存在理由：假设存在实数a ，使得点P 在∠ACB的角平分线上则四边形PQCM 为菱形，∴BP ＝PQ ＝CQ ＝6＋t 由①知，＝，∴＝∴t ＝－＜0∴不存在实数a ，使得点P 在ACB 的角平分线上25．（江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系xO y 中，已知直线l 1：y ＝x 与直线l 2：y ＝－x ＋6相交于点M ，直线l 2与x 轴相交于点N ．（1）求M 、N 的坐标；（2）在矩形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝2，边AB 在x 轴上，矩形ABCD 沿x 轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD 与△OMN 的重合部分的面积为S ，移动的时间为t （从点B 与点O 重合时开始计时，到点A 与点N 重合时计时结束）．直接写出S 与自变量t 之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，S 的值最大？并求出最大值．解：（1）对于y ＝－x ＋6，令y ＝0，得x ＝∴点N 的坐标为（6，0）CB DAQ P MBA CDOB由题意，得解得∴点M 的坐标为（4，2）（2）当0≤t≤1时，S ＝t2当1＜t≤4时，S ＝t －当4＜t＜5时，S ＝－ t2＋t －当5≤t＜6时，S ＝－t ＋当6≤t≤7时，S ＝(7－t)2（3）解法一：当0≤t≤1时，S 最大＝当1＜t≤4时，S 最大＝当4＜t＜5时，S ＝－(t －)2＋∴当t ＝时，S 最大＝当5≤t＜6时，S 最大＝当6≤t≤7时，S 最大＝综上可知，当t ＝时，S解法二：由（2）中的函数关系式可知，S 当4＜t＜5时，S ＝－(t －)2＋∴当t ＝时，S 的值最大，且最大值是 26．（江苏模拟）已知抛物线与x 轴交于B 、C （1，0）两点，与y 轴交于点A ，顶点坐标为（，－）．P 、Q 分别是线段AB 、OB 上的动点，它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速运动，速度均为每秒1个单位，设P 、Q 运动时间为t （0≤t ≤4）．（1）求此抛物线的解析式，并求出P 点的坐标（用t 表示）；（2）当△OPQ 面积最大时求△OBP 的面积；（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？（4）△OPQ 是否可能为等边三角形？若可能请求出t 的值；若不可能请说明理由，并改变Q 点的运动速度，使△OPQ 为等边三角形，求出Q 点运动的速度和此时t 的值．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝a (x －)2－∵抛物线过点C （1，0）∴0＝a (1－)2－，∴a ＝∴y ＝(x －)2－令y ＝0，得x 1＝1，x 2＝4，∴B （4，0）令x ＝0，得y ＝3，∴A （0，3）A MCD B A C DBB∴AB ＝＝5过点P 作PM ⊥y 轴于M 则△AMP ∽△AOB ，∴＝＝即＝＝，∴AM ＝t ，PM ＝t ∴P （t ，3－t ）（2）过点P 作PN ⊥x 轴于N ∴S △OPQ＝OQ ·PN ＝·t ·(3－t)＝－t2＋t ＝－(t －)2＋∴当t ＝ 时，△OPQ 面积最大此时OP 为AB 边上的中线∴S △OBP＝S △AOB＝××3×4＝3（3）若∠OPQ ＝90°，则OP 2＋PQ 2＝OQ 2∴( t)2＋(3－ t)2＋(t －t)2＋(3－t)2＝t2解得t 1＝3，t 2＝15（舍去）若∠OQP ＝90°，则PM ＝OQ ∴t ＝t ，∴t ＝0（舍去）∴当t ＝3时，△OPQ 为直角三角形（4）∵OP 2＝( t)2＋(3－ t)2，PQ 2＝(t － t)2＋(3－ t)2∴OP ≠PQ ，∴△OPQ 不可能是等边三角形设Q 的速度为每秒k 个单位时，△OPQ 为等边三角形则OQ ＝2PM ，∴kt ＝2·t ，得k ＝PN ＝OP ＝OQ ，∴3－t ＝ ·t ∴t ＝27．（江苏模拟）如图，在梯形纸片ABCD 中，BC ∥AD ，∠A ＋∠D ＝90°，tan A ＝2，过点B 作BH ⊥AD 于H ，BC ＝BH ＝2．动点F 从点D 出发，以每秒1个单位的速度沿DH 运动到点H 停止，在运动过程中，过点F 作FE ⊥AD 交折线D －C －B 于点E ，将纸片沿直线EF 折叠，点C 、D 的对应点分别是点C 1、D 1．设F 点运动的时间是t （秒）．（1）当点E 和点C 重合时，求t 的值；（2）在整个运动过程中，设△EFD 1或四边形EFD 1C 1与梯形ABCD 重叠部分面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式和相应自变量t 的取值范围；（3）平移线段CD ，交线段BH 于点G ，交线段AD 于点P ．在直线BC 上是否存在点Q ，使△PGQ 为等腰直角三角形？若存在，求出线段BQ 的长；若不存在，说明理由．解：（1）过点C 作CK ⊥AD 于K则四边形BHKC 是矩形，∴HK ＝BC ＝2，CK ＝BH ＝2在Rt △CKD 中，∠DCK ＋∠D ＝90°∵∠A ＋∠D ＝90°，∴∠DCK ＝∠AD 1ABCFEDHAB CDH备用图AB CDH K∴tan ∠DCK ＝tan A ＝2，即＝2∴DK ＝4，即t ＝4（2）∵＝tan A ＝2，BH ＝2，∴AH ＝1∴AD ＝AH ＋HK ＋DK ＝1＋2＋4＝7①当0＜t≤3.5时，重叠部分为△EFD 1由题意，D 1F ＝DF ＝t在Rt △EFD 中，∠DEF ＋∠D ＝90°∵∠A ＋∠D ＝90°，∴∠DEF ＝∠A∴tan ∠DEF ＝tan A ＝2，即＝2，∴EF ＝t ∴S ＝S △EFD 1＝D 1F ·EF ＝t ·t ＝ t2②当3.5＜t≤4时，重叠部分为四边形AFEM过点M 作MN ⊥AD 于N则tan A ＝D 1A ＝2t －7，＝tan A ＝2，得AN ＝MN＝tan D 1＝tan D ＝cot A ＝即 ＝ ，得MN ＝ ( 2t －7)∴S ＝S △EFD 1 － S △MD 1A ＝ t 2－ ( 2t －7 )·( 2t －7)＝－ t 2＋ t －③当4＜t≤5时，重叠部分为五边形AFEC 1MS ＝S △C 1D 1FE － S △MD 1A ＝ ( t －4＋t )·2－ ( 2t －7 )·( 2t －7)＝－ t 2＋ t －④当5＜t≤6时，重叠部分为梯形AFEBS ＝S 梯形AFEB ＝ ( 6－t ＋7－t)·2＝－2t ＋13（3）①当点P 为直角顶点时作QO ⊥AD 于O ，则∠GPH ＋∠QPO ＝90°∵∠GPH ＋∠PGH ＝90°，∴∠PGH ＝∠QPO又∵PG ＝PQ ，∠GHP ＝∠POQ ＝90°∴△GHP ≌△POQ ，∴HP ＝OQ ＝2，PO ＝OQ ＝1∴BQ ＝HO ＝3②当点Q 为直角顶点时同①可证△BQG ≌△OQP ，∴BQ ＝OQ ＝2③当点G 为直角顶点时同①可证△BQG ≌△HGP ，∴BG ＝HP ＝2GH ＝2BQ∵BG ＋GH ＝BH ，∴2BQ ＋BQ ＝2，∴BQ ＝∴在直线BC 上存在点Q ，使△PGQ 为等腰直角三角形，线段BQ 的长为3，2，28．（江苏模拟）如图1，直线l ：y ＝－x ＋3分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，等腰Rt △CDE 的斜边C D 在x 轴上，且C D ＝6．若直线l 以每秒3个单位的速度向上匀速运动，同时点C 从（6，0）开始以每秒2个单位的速度向右匀速运动（如图2），设运动后直线l 分别交x 轴、y 轴于N 、M 两点，以OM 、ON 为边作如图所示的矩形OMPN ．设运动时间为t 秒．（1）运动t 秒后点E 坐标为______________，点N 坐标为______________（用含t 的代数式表示）；（2）设矩形OMPN 与运动后的△CDE 的重叠部分面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围；（3）若直线l 和△CDE 运动后，直线l 上存在点Q 使∠OQC ＝90°，则当在线段MN 上符111A B C DH P O QG A B C DH P O G (Q )A B C DH P G Q合条件的点Q 有且只有两个时，求t 的取值范围；（4）连接PC 、PE ，当△PCE 是等腰三角形时，直接写出t 的值．解：（1）E （9＋2t ，3），N （4＋4t ，0）（2）运动t 秒时，ON ＝4＋4t ，OC ＝6＋2t ，OD ＝12＋2t 当点N 与点C 重合时，4＋4t ＝6＋2t ，得t ＝1当点E 在边PN 上时，4＋4t ＝9＋2t ，得t ＝2.5当点N 与点D 重合时，4＋4t ＝12＋2t ，得t ＝4①当1＜t≤2.5时，重叠部分为等腰Rt △CFN CN ＝FN ＝4＋4t －(6＋2t)＝2t －2∴S ＝(2t －2 )2＝2t 2－4t ＋2②当2.5＜t＜4时，重叠部分为四边形CEGN ND ＝12＋2t －(4＋4t)＝8－2t∴S ＝S △CDE－S △NGD＝×6×3－(8－2t)2＝－2t 2＋16t －23③当t ≥4时，重叠部分为△CDE ∴S ＝×6×3＝9（3）①当直线l 过点C ，即C 、N 重合时，则线段MN 上只存在一点Q 使∠OQC ＝90°由（2）知，此时t ＝1②以OC 为直径作⊙O ′，当直线l 切⊙O ′ 于点Q 时，则线段MN 上只存在一点Q 使∠OQC ＝90°OO ′＝O ′Q ＝OC ＝3＋tO ′N ＝ON －OO ′＝4＋4t －(3＋t)＝1＋3t 由＝sin ∠O ′NQ ＝sin ∠MNO ＝得＝，解得t ＝3所以当在线段MN 上符合条件的点Q 有且只有两个时，t 的取值范围是1＜t＜3（4）t ＝，t ＝，t ＝，t ＝1提示：∵P （4＋4t ，3＋3t ），C （6＋2t ，0），E （9＋2t ，3∴PC 2＝(2t －2)2＋(3＋3t)2PE 2＝(2t －5)2＋(3t)2，CE 2＝18若PC ＝PE ，则(2t －2)2＋(3＋3t)2＝(2t －5)2＋(3t)2解得t ＝若PC ＝CE ，则(2t －2)2＋(3＋3t)2＝18解得t ＝（舍去负值）若PE ＝CE ，则(2t －5)2＋(3t)2＝18解得t ＝1或t ＝29．（江苏模拟）如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c A 、B （A 在B 的左侧），连接AC 、BC ，得等边△ABC ．点的速度向点A 运动，同时点Q 从点C 出发，以每秒个单位的速度向y 轴负方向运动，连接PQ 交射线BC 于点D ，当点P 到达点A 时，点Q 停止运动．设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）设△PQC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；（3）以点P 为圆心，PB 为半径的圆与射线BC 交于点E ，试说明：在点P 运动的过程中，线段DE 的长是一定值，并求出该定值．解：（1）∵抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 的顶点为C （0，－）∴抛物线的对称轴是y 轴，∴b ＝0可设抛物线的解析式为y ＝ax2－∵△ABC 是等边三角形，且CO ⊥AB ，CO ＝∴AO ＝1，∴A （－1，0）把A （－1，0）代入y ＝ax 2－，得a ＝∴抛物线的解析式为y ＝x2－（2）当0＜t＜1时，OP ＝1－t ，CQ ＝t ∴S ＝CQ ·OP ＝·t ·(1－t)＝－ t2＋t 当1＜t＜2，OP ＝t －1，CQ ＝t ∴S ＝CQ ·OP ＝·t ·(t －1)＝ t2－t（3）连接PE ，过D 作DH ⊥y 轴于H ，设DH ＝a ①当0＜t＜1时∵PB ＝PE ，∠PBE ＝60°∴△PBE 为等边三角形∴BE ＝PB ＝t ∵△QDH ∽△QPO ∴＝，即＝∴a ＝，∴DC ＝1－t∴DE ＝CB －EB －DC ＝2－t －(1－t)＝1②当1＜t＜2时同理，△QDH ∽△QPO ，得＝∴＝∴a ＝，∴DC ＝t －1∴DE ＝DC ＋CE ＝t －1＋(2－t)＝1综上所述，在点P 运动的过程中，线段DE 的长是定值230．（河北）如图，点A （－5，0），B （－3，045°，CD ∥AB ，∠CDA ＝90°．点P 从点Q （4，0度运动，运动时间为t 秒．（1）求点C 的坐标；（2）当∠BCP ＝15°，求t 的值；（3）以点P为圆心，PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，当⊙P 与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 解：（1）∵∠BCO ＝∠CBO ＝45°，∴OC ＝OB ＝3又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴点C 的坐标为（0，3）（2）当点P 在点B 右侧时，如图2若∠BCP ＝15°，得∠PCO ＝30°故OP ＝OC ·tan30°＝此时t ＝4＋当点P 在点B 左侧时，如图3由∠BCP ＝15°，得∠PCO ＝60°故OP ＝OC ·tan60°＝3此时t ＝4＋3∴t 的值为4＋或4＋3（3）由题意知，若⊙P 与四边形ABCD 的边相切，有以下三种情况：①当⊙P 与BC 相切于点C 时，有∠BCP ＝90°从而∠OCP ＝45°，得到OP ＝3，此时t ＝1②当⊙P 与CD 相切于点C 时，有PC ⊥CD 即点P 与点O 重合，此时t ＝4③当⊙P 与AD 相切时，由题意，∠DAO ＝90°∴点A 为切点，如图4PC 2＝P A 2＝(9－t)2，PO 2＝(t －4)2于是(9－t)2＝(t －4)2＋32，解得：t =5.6∴t 的值为1或4或5.631．（河北模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6．点P 从点A 出发沿AB 以每秒2个单位长的速度向点B 匀速运动；点Q 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动．运动过程中DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线PB －BC 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点P 到达点B 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒．（1）当t ＝______________秒，直线DE 经过点B ；当t ＝______________秒，直线DE 经过点A ；（2）四边形DPBE 能否成为直角梯形？若能，求t 的值；若不能，请说明理由；（3）当t 为何值时，点E 是BC 的中点？（4）以E 为圆心，EC 长为半径的圆能否与AB 、AC 、PQ 同时相切？若能，直接写出t 的值；若不能，请说明理由．解：（1）；2提示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6∴BC ＝＝ ＝8当直线DE 经过点B 时，连接QB ，则PB ＝QB ∴(10－2t)2＝t2＋82，解得t ＝（舍去）或t ＝当直线DE 经过点A 时，AP ＝AQ ∴2t ＝6－t ，即t ＝2（2）①当DE ∥PB 时，四边形DPBE 是直角梯形BQ ADCPEBQ ADCP (E )此时∠APQ ＝90°，由△AQP ∽△ABC ，得＝即＝，解得t ＝②当PQ ∥BC 时，四边形DPBE 是直角梯形此时∠AQP ＝90°，由△APQ ∽△ABC ，得＝即＝，解得t ＝（3）连接QE 、PE ，作EG ⊥PB 于G ，则QE ＝PE ∵QE 2＝t2＋42PE 2＝PG 2＋EG 2＝(10－2t －×4)2＋(×4)2∴t2＋42＝(10－2t －×4)2＋(×4)2解得t ＝（舍去）或t ＝（4）不能设⊙E 与AB 相切于F 点，连接EF 、EP 、EQ 则EC ＝EF ，EQ ＝EP ，∠ECQ ＝∠EFP ＝90°∴△ECQ ≌△EFP ，∴QC ＝PF∴∠C ＝90°，∴⊙E 与AC 相切于C 点∴AC ＝AF ，∴AQ ＝AP 又AD ＝AD ，DQ ＝DP∴△ADQ ≌△ADP ，∴∠ADQ ＝∠ADP ＝90°又∠QDE ＝90°，∴A 、D 、E 三点在同一直线上由（1）知，此时t ＝2，AQ ＝6－t ＝4∵AB ＝10，AC ＝6，∴sin B ＝＝＝设EC ＝EF ＝x ，则EB ＝＝x ∴EC ＋EB ＝BC ，∴x ＋x ＝8∴x ＝3，∴EC ＝EF ＝3∴AE ＝＝＝3易知△ADQ ∽△ACE ，∴＝∴＝，∴AD ＝∴ED ＝AE －AD ＝3－＝＝而EC ＝3＝，∴ED ＞EC ∴此时⊙E 与PQ 相离∴⊙E 不能与AB 、AC 、PQ 同时相切32．（山东青岛）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，连接DE ．点P 从点D 出发，沿DE 方向匀速运动，速度为1cm /s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为2cm /s ，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ⊥AB ？（2）当点Q 在B 、E 之间运动时，设五边形PQBCD 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t ，使PQ 分四边形BCDE 两部分的面积之比为S △PQE :S 五边形PQBCD＝1 :29？若存在，求出此时t 的值以及点E 到PQ 的距离h ；若不存在，请说明理由．A BC备用图EDAB C DBQ ADC P EBQAD CPEBQ ADCEPGBQ ADC PEF1①Rt△ABC C90ºAC6BC8－＋×12当t＝2时，PM＝(4－2)＝，ME＝(4－2)＝EQ＝5－2×2＝1，MQ＝ME＋EQ＝＋1＝PQ＝＝∵PQ·h＝，∴h＝×＝33．（山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4），以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P 从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G．当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H B B解：（1）A （1，4）由题意，可设抛物线解析式为y ＝a (x －1)2＋4∵抛物线过点C （3，0）∴0＝a (3－1)2＋4，∴a ＝－1∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋4即y ＝－x2＋2x ＋3（2）∵A （1，4），C （3，0）∴可求直线AC 的解析式为y ＝－2x ＋6P （1，4－t ） 将y ＝4－t 代入y ＝－2x ＋6中，解得点E 的横坐标为x ＝1＋∴点G 的横坐标为1＋，代入抛物线的解析式中，可求点G 的纵坐标为4－∴GE ＝( 4－ )－( 4－t )＝t －又点A 到GE 的距离为 ，C 到GE 的距离为2－即S △ACG ＝S △AEG ＋ S △CEG ＝ EG · ＋ EG ( 2－ )＝ ·2( t － )＝－ ( t －2)2＋1当t ＝2时，S △ACG 的最大值为1（3）t ＝或t ＝20－8提示：∵A （1，4），C （3，0），∴AB ＝4，BC ＝2∴AC ＝ ＝2，∴cos ∠BAC ＝ ＝ ＝∵PE ⊥AB ，AP ＝t ，∴AE ＝ ＝t ∴CE ＝2－t若EQ ＝CQ ，则在矩形ABCD 内存在点H ，使四边形CQEH 为菱形过点Q 作QN ⊥EC 于N ，则CE ＝2CN在Rt △QNC 中，CN ＝CQ ·cos ∠ACD ＝CQ ·cos ∠BAC ＝t ∴2－ t ＝ t ，解得t ＝若CE ＝CQ ，则在矩形ABCD 的AD 边上存在点H ，使四边形CQHE 为菱形∴2－t ＝t ，解得t ＝20－834．（山东模拟）把Rt △ABC 和Rt △DEF 按图1摆放（点C 与点B 、C （E ）、F 在同一条直线上．∠BAC ＝∠DEF ＝90°，∠ABC ＝45°，BC ＝＝8．如图2，△DEF 从图1的位置出发，以1个单位/秒的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△DEF 的顶点F 出发，以3个单位/秒的速度沿FD 向点D 匀速移动．当点P 移动到点D 时，P 点停止移动，△DEF 也随之停止移动．DE 与AC 相交于点Q ，连接BQ 、PQ ，设移动时间为t （s ）．（1）设△BQE 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（2）当t 为何值时，三角形DPQ 为等腰三角形？（3）是否存在某一时刻t ，使P 、Q 、B 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．(E )AD图1A D图2PQ解：（1）∵∠ACB ＝45°，∠DEF ＝90°，∴∠EQC ＝45°∴EC ＝EQ ＝t ，∴BE ＝9－t ∴y ＝BE ·EQ ＝(9－t)t 即y ＝－ t2＋t （0＜t≤）（2）在Rt △DEF 中，∵∠DEF ＝90°，DE ＝6，EF ＝8∴DF ＝＝＝10①当DQ ＝DP 时，则6－t ＝10－3t ，解得t ＝2②当PQ ＝PD 时，过P 作PG ⊥DQ 于G 则DH ＝HQ ＝(6－t)∵HP ∥EF ，∴△DHP ∽△DEF ∴＝，即 ＝ ，解得t ＝③当QP ＝QD 时，过Q 作QH ⊥DP 于H 则DH ＝HP ＝ ( 10－3t)可得△DHQ ∽△DEF ，∴ ＝即 ＝ ，解得t ＝（3）假设存在某一时刻t ，使P 、Q 、B 三点在同一条直线上过P 作PK ⊥BF 于K ，则△PKF ∽△DEF ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝∴PK ＝ t ，KF ＝t∵P 、Q 、B 三点共线，∴△BQE ∽△BPK ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得t ＝即当t ＝秒时，P 、Q 、B 三点在同一条直线上35．（山东模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BD ⊥AC 于D ，且BD ＝8cm ．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2cm /s ；同时直线PQ 由点B 出发沿BA 方向匀速运动，速度为1cm /s ，运动过程中始终保持PQ ∥AC ，直线PQ 交AB 于P ，交BC 于Q ，连接PM ，设运动时间为t （s ）．（1）当四边形PQCM 是等腰梯形时，求t 的值；（2）当点M 在线段PC 的垂直平分线上时，求t 的值；（3）当t 为何值时，①△PQM 是等腰三角形；②△PQM 是直角三角形；（4）是否存在时刻t ，使以PM 为直径的圆与BC 相切？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．AD P QABD EFPQC G ABD E FHQCPAD PQ解：（1）作PE⊥AC于E，作QF⊥AC于F 若四边形PQCM是等腰梯形，则ME＝CF 易知四边形PQFE是矩形，∴EF＝PQ∴PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC∴AB＝AC，∴PQ＝PB＝t，∴EF＝t∴AB＝10，BD＝8，∴AD＝＝6易证△APE∽△ABD，∴＝即＝，∴AE＝6－t∴ME＝AE－AM＝6－t－2t＝6－tCF＝AC－(AE＋EF)＝10－(6－t＋t)＝4－t由ME＝CF，得6－t＝4－t，解得t＝∴当t＝s时，四边形PQCM是等腰梯形（2）若点M在线段PC的垂直平分线上，则MP＝MC 作MG⊥AB于G，则△AMG∽△ABD∴＝＝，∴＝＝∴AG＝t，MG＝t∴PG＝10－t－t＝10－t在Rt△GPM中，MP2＝(t)2＋(10－t)2＝t2－44t＋100又∵MC2＝(10－2t)2＝4t2－40t＋100由MP＝MC，得t2－44t＋100＝4t2－40t＋100解得t1＝，t2＝0（舍去）∴当t＝s时，点M在线段PC的垂直平分线上（3）①若PQ＝PM，则t2＝t2－44t＋100即8t2－55t＋125＝0△＝(－55) 2－4×8×125＝－975＜0，方程无实数解若MP＝MQ，则点M在线段PQ的垂直平分线上作PE⊥AC于E，∴EM＝PQ＝t由（1）知，AE＝6－t∵AE＋EM＝AM，∴6－t＋t＝2t解得t＝若PQ＝MQ，作PE⊥AC于E，作QF⊥AC于F由（1）知，QF＝PE∴△APE∽△ABD，∴＝即＝，∴QF＝PE＝8－t又FM＝AM－(AE＋EF)＝2t－(6－t＋t)＝t－6∴MQ2＝(8－t)2＋(t－6)2＝t2－32t＋100由PQ＝MQ，得t2＝t2－32t＋100解得t1＝，t2＝10（舍去）∴当t＝s或t＝s时，△PQM是等腰三角形②若∠MPQ＝90°，则AM＝6－t∴2t＝6－t，∴t＝若∠PMQ＝90°，则PM2＋QM2＝PQ2∴t2－44t＋100＋t2－32t＋100＝t2即12t2－95t＋250＝0△＝(－55) 2－4×8×125＝－2975＜0，方程无实数解若∠PQM＝90°，作PE⊥AC于E则AE＝6－t，EM＝PQ＝t∵AE＋EM＝AM，∴6－t＋t＝2tEACFBDPQMAC BDPQMGEAC BDPQMEAC BDPQMFAC BDPQMEAC BDPQM∴t＝∴当t＝s或t＝s时，△PQM是直角三角形（4）设PM的中点为N，分别过P、N、M作BC的垂线，垂足为G、K、H易证△PBG∽△BCD，△MCH∽△BCD∴＝，＝∵AC＝10，AD＝6，∴DC＝4∴BC＝＝4∴＝，＝∴PG＝t，MH＝(10－2t)∴NK＝(PG＋MH)＝(10－t)若以PM为直径的圆与BC相切，则PM＝2NK∴PM2＝4NK2∴t2－44t＋100＝(10－t)2解得t1＝，t2＝∴当t＝s或t＝s时，以PM为直径的圆与BC相切36．（内蒙古包头、乌兰察布）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，点D在BC上，且CD＝3cm．现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以l cm/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25cm/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P 作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．解：（1）能．∵点P的速度为l cm/秒，点Q的速度为1.25cm/秒，t＝1秒∴AP＝1，BQ＝1.25∴QD＝BC－CD－BQ＝5－3－1.25＝0.75∵PE∥BC，∴△APE∽△ACD∴＝，即＝∴PE＝0.75，∴PE＝QD∴四边形EQDP是平行四边形（2）∵AC＝4，BC＝5，AP＝t，BQ＝1.25t∴CP＝4－t，CQ＝5－1.25t∴＝，＝＝∴＝，∴PQ∥AB（3）①当∠EQD＝90°时易证△EDQ∽△ADC，∴＝A图1图1AC BDPQMG HKNA图1图1A图1图1显然点Q 在点D 右侧，DQ ＝1.25t －2，EQ ＝PC ＝4－t ∴＝，解得t ＝2.5②当∠DEQ ＝90°时易证△DEQ ∽△DCA ，∴＝∵PE ∥BC ，∴△APE ∽△ACD ，∴＝∵AC ＝4，CD ＝3，∴AD ＝5∴＝，∴AE ＝1.25t ，DE ＝5－1.25t 显然点Q 在点D 右侧，DQ ＝1.25t －2∴＝，解得t ＝3.1∴当t ＝2.5秒或t ＝3.1秒时，△EDQ 为直角三角形37．（内蒙古呼伦贝尔）如图①，在平面直角坐标系内，Rt △ABC ≌Rt △FED ，点C 、D 与原点O 重合，点A 、F 在y 轴上重合，∠B ＝∠E ＝30°，AC ＝FD ＝．△FED 不动，△ABC 沿直线BE 以每秒1个单位的速度向右平移，直到点B 与点E 重合为止．设平移时间为x （秒），平移过程中AB 与EF 的交点为M ．（1）求出图①中点B 的坐标；（2）如图②，当x ＝4秒时，求出过F 、M 、A 三点的抛物线的解析式；此抛物线上有一动点P ，以点P 为圆心，以2为半径的⊙P 在运动过程中是否存在与y 轴相切的情况，若存在，直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设移动x 秒后两个三角形重叠部分的面积为S ，求出整个运动过程中S 与x 的函数关系式．解：（1）如图①，在Rt △ABC 中，AC ＝，∠B ＝30°∴BC ＝AC ＝3，∴B （－3，0）（2）如图②，∵x ＝4，∴A （4，），B （1，0）过M 作MH ⊥BE 于H由题意，OE ＝BC ＝3，∴BE ＝2∵∠B ＝∠E ，∴MB ＝ME∴BH ＝BE ＝1，∴OH ＝2，MH ＝∴M （2，）设抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx ＋c ，把F 、M 、A 三点坐标代入 解得∴抛物线的解析式为y ＝x2－x ＋P 1（2，）或P 2（－2，3）提示：若半径为2的⊙P 与y 轴相切，那么点P 的横坐标为2或－2A图1图1当x ＝2时，y ＝x2－x ＋＝当x ＝－2时，y ＝x2－x ＋＝3∴存在符合条件的点P ，坐标为P 1（2，）或P 2（－2，3）（3）当点B 、O 重合时，x ＝3，所以整个运动过程可分为两个阶段：①当0≤x＜3时，如图③BO ＝3－x ，CD ＝x ，OG ＝CH ＝BO ＝ ( 3－x)FG ＝－ ( 3－x )＝x∴S ＝S 梯形FDCH －S △FGM＝ [ ＋ ( 3－x )]·x －·x ··x＝－ x2＋x②当3≤x ≤6时，如图④，BE ＝3－( x －3)＝6－x∴S ＝S △BME ＝ ( 6－x )· ( 6－x )·＝ x2－x ＋3综上所述，S 与x 的函数关系式为：S ＝38．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，Ox 轴正半轴上，且OA ＝4，AB ＝2，将△OAB 沿某条直线翻折，使OA 与y 轴正半轴的OC 重合．点B 的对应点为点D ，连接AD 交OB 于点E ．（1）求AD 所在直线的解析式：（2）连接BD ，若动点M 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿射线AO 运动，线段AM 的垂直平分线交直线AD 于点N ，交直线BD 于点Q ．设线段QN 的长为y （y ≠0），点M 的运动时间为t 秒，求y 与t 之问的函数关系式（直接写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接MN ，当t 为何值时，直线MN 与过D 、E 、O 三点的圆相切，解：（1）由题意，△OAB ≌△OCD ∴OC ＝OA ＝4，CD ＝AB ＝2∴D （2，4）设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A （4，0），D （2，4）代入 解得∴y ＝－2x ＋8（2）由B （4，2），D （2，4），可得直线BD 的解析式为y ＝－x ＋6∵直线NQ 垂直平分线段AM∴NH ⊥AM ，AH ＝MH ＝AM ＝×2t ＝t备用图B D OC M H G BDE M∴OH ＝4－t ，∴H （4－t ，0）∴点Q 、N 的横坐标为为4－t∴QH ＝－(4－t)＋6＝t ＋2，NH ＝－2(4－t)＋8＝2t 当0＜t＜2时，点Q 在点N 上方y ＝QN ＝t ＋2－2t ＝－t ＋2当t＞2时，点Q 在点N 下方y ＝QN ＝2t －(t ＋2)＝t －2（3）过点D 作DF ⊥OA 于F ，则CD ∥OF ，CD ＝OF ＝2∴OA ＝4，∴AF ＝OF ＝2∴DF ⊥OA ，∴OD ＝AD ，∠ODC ＝∠DOF ＝∠DAF ∴△OAB ∴△OCD ，∴∠COD ＝∠AOB∴∠COD ＋∠AOD ＝90°，∴∠OED ＝∠AOB ＋∠OAD ＝90°∴OD 为经过D 、E 、O 三点的圆的直径，OD 的中点O ′ 为圆心在Rt △OCD 中，OD ＝＝2tan ∠COD ＝＝，tan ∠ODC ＝＝2∵NH 垂直平分线段AM ，∴∠NMA ＝∠NAM∴∠DOA ＝∠NAM ，∠NMA ＝∠DOA ，∴MN ∥OD设直线MN 与⊙O ′ 相切于G 点，连接O ′G ，作GK ⊥OA 于K ，MI ⊥则∠OO ′G ＝∠O ′GM ＝90°∵MI ⊥OD ，∴四边形O ′IMG 为矩形∴IM ＝O ′G ＝，MG ＝O ′I∴OI ＝，OM ＝，∴MG ＝O ′I ＝∴KG ＝1，MK ＝，∴OK ＝3，∴G （3，1）∴OM ＋AM ＝OA ，∴＋2t ＝4，∴t ＝同理可求当t ＝时，切点G （－1，3）∴当t ＝或t ＝时，直线MN 与过D 、E 、O 1，3）39．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点A ，与正比例函数y ＝－x 的图象交于点B ，过B 点作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，C （0，8）．（1）求直线AB 的解析式；（2）动点M 从点A 出发沿线段AO 以每秒1个单位的速度向终点O 匀速移动，过点M 作x 轴的垂线交折线A －B －O 于点P ．设M 点移动的时间为t 秒，线段BP 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，动点Q 同时从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿折线O －C －B 向点B 移动，当动点M 停止移动时，点Q 同时停止移动．当t 为何值时，△BPQ 是等腰三角形？备用图备用图解：（1）∵BC⊥y轴，点C为垂足，C（0，8）∴点B的纵坐标为8∴y＝－x，当y＝8时，x＝－6，∴B（－6，8）把（－6，8）代入y＝x＋b，得8＝－6＋b，∴b＝14 Array∴直线AB的解析式为y＝x＋14（2）由题意得AM＝t∴直线AB：y＝x＋14交x轴于点A∴A（－14，0），∴OA＝14过点B作BD⊥x轴于点D∴B（－6，8），∴BD＝8，OD＝6∴AD＝14－6＝8，∴AB＝＝810∴∠BAD45°cos∠DOB∵BP ＝ ( t －8 )，BK ＝ ( 14－t )∴( t －8 )＝ ( 14－t )，解得t ＝综上，当t ＝2或t ＝10或t ＝ 或t ＝时，△BPQ 是等腰三角形40．（哈尔滨模拟）如图，直线y ＝ x ＋12分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，直线BC 交x 轴于点C ，且AB ＝AC ．（1）求直线BC 的解析式；（2）点P 从点C 出发沿线段CO 以每秒1个单位的速度向点O 运动，过点P 作y 轴的平行线，分别交直线BC 、直线AB 于点Q 、M ，过点Q 作QN ⊥AB 于点N ．设点P 的运动时间为t （秒），线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）若经过A 、N 、Q 三点的圆与直线BC 交于另一点K ，当t 为何值时，KQ : AQ ＝ :10？解：（1）∵直线y ＝ x ＋12分别与x∴A （－9，0），B （0，12），∴OA ＝9，OB ＝12∴AB ＝ ＝15，∴sin ∠BAO ＝ ＝∵AB ＝AC ，∴AC ＝15，∴C （6，0）设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b∴ 解得∴直线BC 的解析式为y ＝－2x ＋12（2）由题意，PC ＝t ，∴OP ＝6－t∴点P 的横坐标为6－t∴PM ＝ ( 6－t )＋12，PQ ＝－2( 6－t )＋12∴MQ ＝PM －PQ ＝20－ t∵∠AMP ＋∠MAP ＝∠AMP ＋∠MQN ＝90°∴∠MQN ＝∠MAP ＝∠BAO∴sin ∠MQN ＝sin ∠BAO ＝ ∴MN ＝MQ ·sin ∠MQN ＝ ( 20－ t )＝16－ t∴d ＝16－ t （0≤t ＜6）（3）连接AK 、AQ∵∠ANQ ＝90°，∴AQ 为经过A 、N 、Q 三点的圆的直径∴∠AKQ ＝90°∵OB ＝12，OC ＝6，∴BC ＝ ＝6由S △ABC ＝ AC ·OB ＝ BC ·AK ，得AK ＝6∵KQ : AQ ＝ :10，∴设KQ ＝m ，则AQ ＝m在Rt△AKQ中，AK2＋KQ2＝AQ2∴(6)2＋m2＝(m)2，m＝2∴AQ＝m＝10∵tan∠BCO＝＝2，∴PQ＝PC·tan∠BCO＝2t 在Rt△AQP中，AP2＋PQ2＝AQ2∴(15－t)2＋(2t)2＝(10)2解得t1＝1，t2＝5∴当t＝1或t＝5时，KQ:AQ＝:10。

中考数学总复习《二次函数与特殊四边形综合压轴题》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数与特殊四边形综合压轴题》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数与特殊四边形综合压轴题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，抛物线212y x mx n =-++交x 轴于点(4,0)A -和点B ，交y 轴于点(0,2)C ，点(,)P x y 在第二象限的抛物线上．(1)求抛物线的函数解析式；(2)当点P 的坐标为(2,3)-时，求BCP 的面积；(3)请过点P 作PQ x ⊥轴，交直线AC 于点Q ，是否存在点P ，使得四边形PQOC 是平行四边形？如果存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)x 轴上，是否存在一点M ，使BCM 为等腰三角形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线与x 轴交于()()1200A x B x ，，，两点，且12x x <，与y 轴交于点()05C -，，其中12x x ，是方程2450x x --=的两个根．(1)求这条抛物线的解析式；(2)点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，连接CM ，当CMN 的面积最大时，求点M 的坐标；(3)点()4D k ，在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴是否存在点F ，使以A ，D ，E ，F 四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线2=23y x x --交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W ”，图象W 交y 轴于点C ．(1)求图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y x b =-+与图象W 有两个交点，请结合图象，求b 的值或b 取值范围：(3)P 为线段OB 上一动点，过点P 作PM y ∥轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，在平面内存在点Q ，使以C ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点P 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax 2x c =++经过()1,0A -，()0,3C 两点，与x 轴的另一个交点为B ．(1)求a ，c 的值；(2)已知F 是抛物线上位于第一象限的点，若在线段OB 上有一点D ，使四边形DCFE 是以CD 为一边的矩形，设F 点横坐标为t ，①求OD 的长（用t 表示）；①当矩形DCFE 的顶点E 恰好也落在该抛物线上时，请求出t 的值．5．抛物线24y ax =-经过A 、B 两点，且OA OB =，直线EC 过点()41E -，，()03C -，，点D 是线段OA （不含端点）上的动点，过D 作PD x ⊥轴交抛物线于点P ，连接PC 、PE ．(1)求抛物线与直线CE 的解析式； (2)求证：PC PD +为定值；(3)在第四象限内是否存在一点Q ，使得以C 、P 、E 、Q 为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，抛物线222433y x x =--+与x 轴交于A ，B ．两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，直线y kx b =+经过点A ，C ．(1)求直线AC 的解析式；(2)点P 为直线AC 上方抛物线上的一个动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，过点P 作PE AC ∥交x 轴于点E ，求PD AE +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）问PD AE +取得最大值的情况下，将该抛物线沿射线AC 方向平移103个单位后得到新抛物线，点M 为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点N ，使得以点P ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M 的坐标，并写出求解点M 的坐标的其中一种情况的过程．7．在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为()5,0-．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值，并求出此时点P 的坐标； (3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过()0,1A 和()4,1B -．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 上方且在对称轴右侧的一个动点，过P 作PD AB ⊥，垂足为D ，E 为点P 关于抛物线的对称轴的对应点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当5PD PE +的值最大时，求此时点P 的坐标和5PD PE +的最大值；(3)将抛物线y 关于直线3x =作对称后得新抛物线y '，新抛物线与原抛物线相交于点F ，M 是新抛物线对称轴上一点，N 是平面中任意一点，是否存在点N ，使得以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程． 9．已知抛物线1C ：22y ax ax c =-+经过点()2,3，与x 轴交于()1,0A -、B 两点．(1)求抛物线1C 的解析式；(2)如图1，已知()0,1E -，以A E C D 、、、为顶点作平行四边形，若C D 、两点都在抛物线上，求C D 、两点的坐标；(3)如图2，将抛物线1C 沿x 轴平移，使其顶点在y 轴上，得到抛物线2C ，过定点()0,2H 的直线交抛物线2C 于M N 、两点，过M N 、的直线MR NR 、与抛物线2C 都只有唯一公共点，求证：R 点在定直线上运动． 10．如图1，抛物线223y x x =--+与x 轴相交于点A 、B （点B 在点A 左侧），与y 轴相交于点C ．(1)求点A 到直线BC 的距离；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为点E ，过点P 作PF y ∥轴交BC 于点F ，求PEF 周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y '，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，点M 为直线BC 上的一点，点N 是平面坐标系内一点，是否存在点M ，N ，使以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()2<0y ax bx c a =++与x 轴交于()()2,04,0A B -、两点，与y 轴交于点C ，且2OC OA =．(1)试求抛物线的解析式；(2)直线()10y kx k =+>与y 轴交于点D ，与抛物线在第一象限交于点P ，与直线BC 交于点M ，连接CP ，CPM ∆的面积记为PCM S ∆，CDM ∆的面积记为CDMS，记CPMCDMS m S ∆∆=，试求m 的最大值及此时点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，m 取最大值时，点Q 是x 轴上的一个动点，点N 是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q 、N ，使得以P D Q N 、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的N 点的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()220y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M ，过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N ，求PMN 的周长的最大值．(3)若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，已知抛物线()213022y x x n n =-->与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．(1)如图1，若5AB=，则n的值为______（直接写出结果）；(2)如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；(3)如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若:1:4AE ED=，求n．14．图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2y x bx c=-++经过()1,0A-，()3,0B两点．P是抛物线上一点，且在直线BC的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点E为OC中点，作PQ y∥轴交BC于点Q，若四边形CPQE为平行四边形，求点P的横坐标；(3)如图3，连结AC AP、，AP交BC于点M，作PH AC∥交BC于点H．记PHM，PMC△和CAM的面积分别为123,,S S S．判断1223S SS S+是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线2y x bx c=-++与x轴交于()10A-，、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，且3OC OA=，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接CD．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点F 为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E ，使得以点C 、D 、E 、F 为顶点的四边形是以CD 为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E 的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)213222y x x =--+(2)1.5(3)存在 (2,3)-(4)存在 ()115,0M - ()251,0M + ()31,0M - 43,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭2．(1)245y x x =--(2)()20，(3)()30，或()50-，或()7140+，或()7140-，3．(1)223y x x =-++ (2)13b -<<或214b >(3)(0,3)或(2,3)或(0,132)+4．(1)a ，c 的值分别为1-，3(2)①OD 的长为36t -+；①32- 5．(1)2144y x =-；132y x =-(2)见解析(3)存在，754Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 6．(1)443y x =+ (2)PD AE +的最大值为8140；此时点37,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)329,26⎛⎫ ⎪⎝⎭或335,26⎛⎫ ⎪⎝⎭或385,26⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)()0,5(2)点P 到直线AC 距离为2528，此时535,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)点M 的坐标为()3,8-或()7,16--或()3,16-8．(1)2712y x x =-++ (2)5PD PE +的最大值为9，此时点P 的坐标为57,22⎛⎫⎪⎝⎭(3)存在点N ，使以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，此时点N 的坐标为21535,424N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或21535,424⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或1391,44N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1391,44N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或329,420N ⎛⎫⎪⎝⎭9．(1)223y x x =-++(2)(1,4),(2,3)C D 或(1,4),(2,5)C D --或(2,5)C -- ()1,4D10．(1)22(2)当点P 坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，PEF 的周长有最大值，最大值为92944+(3)7544⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()355-+，或()355---，或()1,4M11．(1)该抛物线的解析式为2142y x x =-++；(2)m 的最大值为23，此时点P 的坐标为（2,4）； (3)N 点的坐标为732⎛⎫⎪⎝⎭，或()6-3，．12．(1)224233y x x =-++；(2)102133+ (3)点M 的坐标为()2,2或104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．13．(1)2(2)11(2，395),(82- 39)8）(3)278n =14．(1)223y x x =-++ (2)332± (3)存在；9815．(1)223y x x =-++ (2)存在，点E 的横坐标为：51456+或53。

2014年中考数学分类汇编-特殊的平行四边形

2014年中考数学分类汇编-特殊的平行四边形

2014矩形、菱形、正方形一、选择题）2. 如图，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，AE=3，则3. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC 的度数为（）A．28°B．52°C．62°D．72°4.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）26.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）A．6 B．12 C．2D．47.如图，边长为2的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为（）8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若A．矩形B．等腰梯形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形10.如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE. AC，BE相交于点F，则∠BFC为【】A．45°B．55°C．60°D．75°13．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图，测得，当时，如图，（）．（A）（B）2 （C）（D）14．如图3，四边形、都是正方形，点在线段上，连接，和相交于点．设，（）．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（）．（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个二、填空题1. 如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB=t，那么△EFG的周长为（用含t的代数式表示）．2. 如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE=2/3BE，则长AD与宽AB的比值是．3. 已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的周长为．4. 如图，在矩形ABCD中，=3/5，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=4/3，则矩形ABCD的面积为．5.已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是．6．菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是cm．7．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是．学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6m和8m，则这个花园的面积为．8．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为．9．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a﹣1）2+=0，那么菱形的面积等于．三、解答题1. 如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形.2. 猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．3.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是（只填写序号）．第5题第6题4．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）．5. 如图，矩形ABCD中，AD=5,AB=7.点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D/落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为.6. 菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=1/2，求EM：MF的值．7.对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．（1）证明：∠ABE=30°；（2）证明：四边形BFB′E为菱形．8.如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．（1）证明：AM=AD+MC；（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．9．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形．10．D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）。

2014年全国中考数学试卷解析分类汇编：与特殊四边形有关的填空压轴题

2014年全国中考数学试卷解析分类汇编：与特殊四边形有关的填空压轴题

2014年全国中考数学试卷解析分类汇编：与特殊四边形有关的填空压轴题2014年中考数学分类汇编：与特殊四边形有关的填空压轴题2014年中考数学分类汇编中，涉及与特殊四边形（正多边形）有关的填空压轴题，包括折叠问题、旋转问题、三角形全等问题、平面展开最短路径问题、动点问题的函数图象问题。

知识点包括全等三角形的判定与性质、正方形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、正多边形性质和锐角三角函数。

数学思想涉及分类讨论、数形结合和方程思想。

以下是部分省市的2014年中考题展示。

题1】（2014年河南省第题）在矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上的一个动点。

把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为多少？考点】：折叠问题。

分析】：连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P。

先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE。

解答】：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P。

因为点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，所以MD′=PD′。

设MD′=x，则PD′=BM=x，AM=AB-BM=7-x。

又折叠图形可得AD=AD′=5，所以x+(7-x)=25，解得x=3或4，即MD′=3或4.在RT△END′中，设ED′=a。

①当MD′=3时，D′E=5-3=2，EN=7-CN-DE=7-3-a=4-a，所以a=2+(4-a)，解得a=3，即DE=4.②当MD′=4时，D′E=5-4=1，EN=7-CN-DE=7-4-a=3-a，所以a=1+(3-a)，解得a=2，即DE=3.故答案为3或4.点评】：本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的。

题2】（2014年四川省绵阳市第17题）在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为多少？考点】：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质。

中考与特殊四边形有关的填空压轴题讲解学习

中考与特殊四边形有关的填空压轴题讲解学习

与特殊四边形有关的填空压轴题2014年与特殊四边形（正多边形）有关的填空压轴题，题目展示涉及：折叠问题；旋转问题；三角形全等问题；平面展开﹣最短路径问题；动点问题的函数图象问题.知识点涉及：全等三角形的判定与性质；正方形的判定和性质；解直角三角形，勾股定理，正多边形性质；锐角三角函数.数学思想涉及：分类讨论；数形结合；方程思想.现选取部分省市的2014年中考题展示.【题1】(2014.年河南省第题)如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为．【考点】：翻折变换（折叠问题）．【分析】：连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC 于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．【解答】：解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC 交BC于点P，∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB﹣BM=7﹣x，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在RT△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，D′E=5﹣3=2，EN=7﹣CN﹣DE=7﹣3﹣a=4﹣a，∴a2=22+（4﹣a）2，解得a=，即DE=，②当MD′=4时，D′E=5﹣4=1，EN=7﹣CN﹣DE=7﹣4﹣a=3﹣a，∴a2=12+（3﹣a）2，解得a=，即DE=．故答案为：或．【点评】：本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．【题2】(2014年四川省绵阳市第17题)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为．【考点】：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】：根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可．【解答】：解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，由题意可得出：△DAF≌△BAF′，∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，∴∠EAF′=45°，在△FAE和△EAF′中，∴△FAE≌△EAF′（SAS），∴EF=EF′，∵△ECF的周长为4，∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，∴2BC=4，∴BC=2．故答案为：2．【点评】：此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△FAE≌△EAF′是解题关键．【题3】(2014年湖北随州第16题)如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE=x （0＜x＜2），给出下列判断：①当x=1时，点P是正方形ABCD的中心；②当x=时，EF+GH＞AC；③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是；④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确的是（写出所有正确判断的序号）．【考点】：翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．【分析】：（1）由正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以当AE=1时，重合点P是BD的中点，即点P是正方形ABCD的中心；（2）由△BEF∽△BAC，得出EF=AC，同理得出GH=AC，从而得出结论．（3）由六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．得出函数关系式，进而求出最大值．（4）六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH++HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH）求解．【解答】：解：（1）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，∴△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，∴当AE=1时，重合点P是BD的中点，∴点P是正方形ABCD的中心；故①结论正确，（2）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，∴△BEF∽△BAC，∵x=，∴BE=2﹣=，∴=，即=，∴EF=AC，同理，GH=AC，∴EF+GH=AC，故②结论错误，（3）六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．∵AE=x，∴六边形AEFCHG面积=22﹣BE•BF﹣GD•HD=4﹣×（2﹣x）•（2﹣x）﹣x•x=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，∴六边形AEFCHG面积的最大值是3，故③结论错误，（4）当0＜x ＜2时，∵EF+GH=AC ，六边形AEFCHG 周长=AE+EF+FC+CH++HG+AG=（AE+CF ）+（FC+AG ）+（EF+GH ）=2+2+2=4+2故六边形AEFCHG 周长的值不变，故④结论正确．故答案为：①④．【点评】： 考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，本题关键是得到EF+GH=AC ，综合性较强，有一定的难度．【题4】（2014江西第13题）如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形。

中考数学压轴题分类汇编与特殊四边形有关的填空题 含答案

中考数学压轴题分类汇编与特殊四边形有关的填空题 含答案

2014年中考数学分类汇编——与特殊四边形有关的填空压轴题【题1】如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为．【分析】：连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．【解答】：解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB﹣BM=7﹣x，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在RT△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，D′N=5﹣3=2，EN=7﹣CN﹣DE=7﹣3﹣a=4﹣a，∴a2=22+（4﹣a）2，解得a=，即DE=，②当MD′=4时，D′N=5﹣4=1，EN=7﹣CN﹣DE=7﹣4﹣a=3﹣a，∴a2=12+（3﹣a）2，解得a=，即DE=．故答案为：或．【题2】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为．【分析】：根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可．【解答】：解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，由题意可得出：△DAF≌△BAF′，∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，∴∠EAF′=45°，在△FAE和△EAF′中，∴△FAE≌△EAF′（SAS），∴EF=EF′，∵△ECF的周长为4，∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，∴2BC=4，∴BC=2．故答案为：2．【题3】如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE=x（0＜x＜2），给出下列判断：①当x=1时，点P是正方形ABCD的中心；②当x=时，EF+GH＞AC；③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是；④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确的是（写出所有正确判断的序号）．【分析】：（1）由正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以当AE=1时，重合点P是BD的中点，即点P是正方形ABCD的中心；（2）由△BEF∽△BAC，得出EF=AC，同理得出GH=AC，从而得出结论．（3）由六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．得出函数关系式，进而求出最大值．（4）六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH++HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH）求解．【解答】：解：（1）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，∴△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，∴当AE=1时，重合点P是BD的中点，∴点P是正方形ABCD的中心；故①结论正确，（2）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，∴△BEF∽△BAC，∵x=，∴BE=2﹣=，∴=，即=，∴EF=AC，同理，GH=AC，∴EF+GH=AC，故②结论错误，（3）六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．∵AE=x ，∴六边形AEFCHG 面积=22﹣BE •BF ﹣GD •HD=4﹣×（2﹣x ）•（2﹣x ）﹣x •x=﹣x 2+2x+2=﹣（x ﹣1）2+3，∴六边形AEFCHG 面积的最大值是3，故③结论错误，（4）当0＜x ＜2时，∵EF+GH=AC ，六边形AEFCHG 周长=AE+EF+FC+CH++HG+AG=（AE+CF ）+（FC+AG ）+（EF+GH ）=2+2+2=4+2故六边形AEFCHG 周长的值不变，故④结论正确．故答案为：①④．【题4】如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形。

中考数学填空题压轴题及答案(3)

中考数学填空题压轴题及答案(3)

中考数学突破训练1．（2014•深圳）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD=，E为CD中点，连接AE，且AE=2，∠DAE = 30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF= 4﹣2【解】如图，延长AE交BC的延长线于G，∵E为CD中点，∴CE=DE，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠G=30°，在△ADE和△GCE中，，∴△ADE≌△GCE（AAS），∴CG=AD=，AE=EG=2，∴AG=AE+EG=2+2=4，∵AE⊥AF，∴AF=AGtan30°=4×=4，GF=AG÷cos30°=4÷=8，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，则MN=AD=，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BM=CN，∵MG=AG•cos30°=4×=6，∴CN=MG﹣MN﹣CG=6﹣﹣=6﹣2，∵AF⊥AE，AM⊥BC，∴∠F AM=∠G=30°，∴FM=AF•sin30°=4×=2，∴BF=BM﹣MF=6﹣2﹣2=4﹣22．如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是【解】如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC=BC，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD=BE=1，在Rt△ACD中，AC===，在等腰直角△ABC中，AB=AC=×=，∴sinα==．故选：D．3．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为32【解】∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：A6B6=32B1A2=32．4．如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为3【解】连接OA、OD，∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，∴AO ⊥BC ，DO ⊥EF ，∠EDO =30°，∠BAO =30°，∴OD ：OE =OA ：OB =：1，∵∠DOE +∠EOA =∠BOA +∠EOA 即∠DOA =∠EOB ，∴△DOA ∽△EOB ，∴OD ：OE =OA ：OB =AD ：BE =5．（2010•深圳）如图所示，点P （3a ，a ）是反比例函数xky =（k ＞0）与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为xy 12=【解】由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积，则圆的面积为10π×4=40π．因为P（3a，a）在第一象限，则a＞0，3a＞0，根据勾股定理，OP==A．于是π=40π，a=±2，（负值舍去），故a=2．P 点坐标为（6，2）．将P （6，2）代入y =，得：k =6×2=12．反比例函数解析式为：xy 126．（2009•深圳）如图，已知点A ，B ，C ，D 均在已知圆上，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，∠ADC =120°，四边形ABCD 的周长为10cm ．图中阴影部分的面积为（π﹣）cm2【解】∵AC平分∠BCD，∴=，∵AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°所以∠ACD=∠DAC=30°，∴=，∴∠BAC=90°∠B=60°，∴BC=2AB，∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=BC×3+BC=10，解得BC=4cm，∴圆的半径=×4=2cm，∴阴影部分的面积=[π×22﹣（2+4）×÷2]÷3=π﹣cm2．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为10π﹣16【解】设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示：∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4，∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．即阴影部分的面积=π×16+π×4﹣×8×4=10π﹣16．8．如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交于点D且CD=2OD，则折痕AB的长为【解】延长CO交AB于E点，连接OB，∵CE⊥AB，∴E为AB的中点，∵OC=6，CD=2OD，∴CD=4，OD=2，OB=6，∴DE=（2OC﹣CD）=（6×2﹣4）=×8=4，∴OE=DE﹣OD=4﹣2=2，在Rt△OEB中，∵OE2+BE2=OB2，∴BE===4∴AB=2BE=8．故选：B．9．（2009•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA= 2【解】过O点作OE⊥AB OF⊥AC OG⊥BC，∴∠OGC=∠OFC=∠OED=90°，∵∠C=90°，AC=6 BC=8，∴AB=10∵⊙O为△ABC的内切圆，∴AF=AE，CF=CG（切线长相等）∵∠C=90°，∴四边形OFCG是矩形，∵OG=OF，∴四边形OFCG是正方形，设OF=x，则CF=CG=OF=x，AF=AE=6﹣x，BE=BG=8﹣x，∴6﹣x+8﹣x=10，∴OF=2，∴AE=4，∵点D是斜边AB的中点，∴AD=5，∴DE=AD﹣AE=1，∴tan∠ODA==2．10．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当P A+PD 取最小值时，△APD中边AP上的高为【解】过点D作DE⊥BC于E，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴四边形ABED是矩形，∴BE=AD=2，∵BC=CD=5，∴EC=3，∴AB=DE=4，延长AB到A′，使得A′B=AB，连接A′D交BC于P，此时P A+PD最小，即当P在AD的中垂线上，P A+PD取最小值，∵B为AA′的中点，BP∥AD∴此时BP为△AA′D的中位线，∴BP=AD=1，根据勾股定理可得AP==，在△APD中，由面积公式可得△APD中边AP上的高=2×4÷=．11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为线段BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，CF交DE于点P．若AC=，CD=2，则线段CP的长1【解】过A作AM⊥BD于M，∵∠BAC=90°，AB=AC=4，∴∠B=∠ACB=45°，由勾股定理得：BC=8，∵CD=2，∴BD=8﹣2=6，∵∠BAC=90°，AB=AC，AM⊥BC，∴∠B=∠BAM=45°，∴BM=AM，∵AB=4，∴由勾股定理得：BM=AM=4，∴DM=6﹣4=2，在Rt△AMD中，由勾股定理得：AD==2，∵四边形ADEF是正方形，∴EF=DE=AF=AD=2，∠E=90°，∵ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．∵∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CAF=90°﹣∠DA C．设CP=x，∵在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF （SAS），∴CF=BD=6，∠B=∠ACB=∠ACF=45°，∴∠PCD=90°=∠E，∵∠FPE=∠DPC，∴△FPE∽△DPC，∴=，∴=，x2+3x﹣4=0，x=﹣4（舍去），x=1，即CP=1，12．（2011•本溪）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值【解】作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，∵AP′=P′D'，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴P′D′=2，即DQ+PQ的最小值为2．13．如图，已知抛物线l1：y=﹣x2+2x与x轴分别交于A、O两点，顶点为M．将抛物线l1关于y轴对称到抛物线l2．则抛物线l2过点O，与x轴的另一个交点为B，顶点为N，连接AM、MN、NB，则四边形AMNB的面积3【解】∵抛物线l1的解析式为：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，∴顶点坐标为：M（1，1），当y=0时，﹣x2+2x=0，解得：x=0或x=2，则A坐标为（2，0），∵l2和l1关于y轴对称，∴AM=BN，N和M关于y轴对称，B和A关于y轴对称，则N（﹣1，1），B（﹣2，0），过N作NC⊥AB交AB与点C，∵AM=BN，MN∥AB，∴四边形NBAM是等腰梯形，在等腰梯形NBAM中，MN，1﹣（﹣1）=2，AB=2﹣（﹣2）=4，NC=1，∴S四边形NBAM=（MN+AB）•NC=3．14．如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．你认为其中正确的有2个【解】∵抛物线过点（1，0），∴a+b+c=0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，所以②错误；∵点（1，0）关于直线x=﹣1的对称点为（﹣3，0），∴抛物线与x轴两交点坐标为（﹣3，0），（1，0），∴ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1，∴③正确；∵b=2a，a+b+c=0，∴a+2a+c=0，即c=﹣3a，∴a﹣2b+c=a﹣4a﹣3a=﹣7a，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴a﹣2b+c=﹣7a＜0，所以④错误．15．如图，已知抛物线与x轴分别交于A、B两点，顶点为M．将抛物线l1沿x轴翻折后再向左平移得到抛物线l2．若抛物线l2过点B，与x轴的另一个交点为C，顶点为N，则四边形AMCN的面积为32【解】由y=x2﹣6x+5得y=（x﹣1）（x﹣5）或y=（x﹣3）2﹣4，∴抛物线l1与x轴两交点坐标为A（5，0），B（1，0），顶点坐标M（3，﹣4），∴AB=5﹣1=4，由翻折，平移的知识可知，BC=AB=4，N（﹣1，4），∴AC=AB+BC=8，S四边形=S△ACN+S△ACM=×8×4+AMCN×8×4=32．16．（2014•深圳）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有485 ．【解】第一个图形正三角形的个数为5，第二个图形正三角形的个数为5×3+2=17，第三个图形正三角形的个数为17×3+2=53，第四个图形正三角形的个数为53×3+2=161，第五个图形正三角形的个数为161×3+2=485．如果是第n个图，则有2×3n﹣1个故答案为：48517．（2013•深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有91 个正方形．【解】观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有1+4=5个正方形，第三个有1+4+9=14个正方形，…第n个有：n（n+1）（2n+1）个正方形，第6个有1+4+9+16+25+36=91个正方形，故答案为：9118．（2012•深圳）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为7 ．【解法一】如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB，∴∠AOM+∠BOF=90°，又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BOF=∠OAM，在△AOM和△BOF中，，∴△AOM≌△BOF（AAS），∴AM=OF，OM=FB，又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形，∴AM=CF，AC=MF=5，∴OF=CF，∴△OCF为等腰直角三角形，∵OC=6，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，解得：CF=OF=6，∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，则BC=CF+BF=6+1=7．故答案为：7．解法二：如图2所示，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=N B．∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．∵OC=6，∴CM=ON=6．∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，∴BC=CN+NB=6+1=7．故答案为：7．19．（2011•深圳）如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标是（0，2），直线AC的解析式为，则tanA的值是．。

中考数学总复习《二次函数压轴题(特殊四边形)》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数压轴题(特殊四边形)》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数压轴题（特殊四边形）》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数228y x x =--的图像与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)连接PO ，PC ，并将POC △沿y 轴对折，得到四边形POP C '．是否存在点P ，使四边形POP C '为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时点P 的坐标和四边形ABPC 的最大面积．2．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，过点A 的直线l 交抛物线于点()2,C m .(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为x 轴上一点，在抛物线上是否存在一点F ，使得以点A ，C ，D ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由.3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++与x 轴分别交于()4,0A -，()2,0B 两点，与y 轴交于C 点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为直线AC 上方抛物线上任意一点，过点P 作PD y ∥轴交直线AC 于点D ，过点D 作DH x ∥轴，交y 轴于点H ，求PD DH +的最大值及此时点P 的坐标；(3)将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点E 为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M 为平移后的抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，直接写出所有使得以点B ，E ，M ，N 为顶点的四边形是菱形的点N 的坐标，并把求其中一个点N 的坐标的求解过程写出来．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线224233y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求线段AC 的长度；(2)点P 为直线AC 下方抛物线上的一动点，且点P 在抛物线对称轴左侧，过点P 作PD y ∥轴，交AC 于点D ，作PE x ∥轴，交抛物线于点E ．求3PD PE ＋的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中3PD PE ＋取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线CA 方向平移13个单位长度，得到一条新抛物线y '，M 为射线CA 上的动点，过点M 作MF x ∥轴交新抛物线y '的对称轴于点F ，点N 为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程． 5．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式； (2)点P 是抛物线上一动点． ①当45PCA ∠=︒时，求点P 坐标；①如图2，当点P 运动到抛物线的顶点时，作PD AB ⊥于点D ，点M 在直线PD 上，点N 在平面内，若以B ，C 和M ，N 为顶点的四边形是矩形，请直接写出点M 的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线43y x b =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2745y ax ax =--经过点A 、B ．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 是线段．．AB 上一点，过点E 作EF y ∥轴交抛物线于点F ，设E 的横坐标为t ，线段EF 的长度为()0d d ≠，求d 与t 的函数关系式，并直接写出自变量．．．．．．．t 的取值范围．．．．．； (3)在（2）的条件下，若点C 在（1）中所求得的抛物线上，且点C 的横坐标为1-，连接AC ，过点E 作AC 的垂线交x 轴于点D ，当点E 运动到A 、C 恰好关于直线DE 对称时，试判断四边形ADCE 的形状，并给予证明，求出此时t 的值．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线25y ax bx =++与x 轴交于(1A ，0）、D （6，5）两点(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；(2)点P 在这条抛物线上，且不与A 、D 两点重合，过点P 作x 轴的垂线与射线AD 交于点Q ，过点Q 作QF 平行于x 轴，点F 在点Q 的右侧，以QF 、QP 为邻边作矩形QPEF ．设矩形QPEF 的周长为d ，点P 和点E 的横坐标分别为m 和2m +．①求这条抛物线的对称轴将矩形QPEF 的面积分为1:3两部分时m 的值． ①求d 与m 之间的函数关系式及d 随m 的增大而减小时d 的取值范围．8．如图所示，抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴相交于点C ，点M 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式及顶点M 的坐标．(2)若点N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN 、CN ，求①BCN 面积的最大值及此时点N 的坐标．(3)若点D 是抛物线对称轴上的动点，点G 是抛物线上的动点，是否存在以点B 、C 和D 、G 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点G 的坐标：若不存在，试说明理由． 9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线25y ax bx =++的对称轴为2x =，与x 轴交于点A B 、，与y 轴交于点C ，其中()5,0B ．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图2，连接BC ，过点C 作CD x ∥轴，交抛物线于点D ，点P 为抛物线上一点，且在CD 的上方，过点P 作PEy 轴，交BC 于点E ．连接PD PC DE 、、，求四边形CPDE 的面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中四边形CPDE 的面积最大的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，点F 为点 P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点M ，点N 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点G ，使得以点F M N G 、、、为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并把求其中一个点G 的坐标的过程写出来．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()30A -,和()10B ,，与y 轴交于点C ．点P 在线段AC 上（不与点A 、C 重合），PQ y ∥轴交抛物线于点Q ，以PQ 为边作矩形PQMN ，矩形的顶点M 、N 均在此抛物线的对称轴上．设点P 的横坐标为m ．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)当22x -≤≤时，y 的取值范围是______；(3)设矩形PQMN 的周长为l ，求l 与m 之间的函数关系式；(4)当矩形PQMN 被线段AC 分成的两部分图形的面积比为13：时，直接写出m 的值． 11．已知抛物线2y x bx c =-++交y 轴于点C ，过C 作∥CE x 轴，交抛物线于点E ，且2OC CE ==．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以MNCE 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，连接EO ，延长EO 交抛物线于点F ，点P 为EF 上方抛物线上的一个点，过点P 作y 轴的平行线交EF 于点G ，作PH EF ⊥于点H ，请问是否存在点P ，使得HPG △的周长最长，若存在，请求出周长的最大值；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+与二次函数，2y x mx n =-++交于点()3,0A ，()0,3B 两点．(1)求一次函数y kx b =+和二次函数2y x mx n =-++的解析式．(2)点P 是二次函数图象上一点，且位于直线AB 上方，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点Q ，求当PAB 面积最大时，点P 的坐标．(3)点M 在二次函数图象上，点N 在二次函数图象的对称轴上，若以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点M 的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++与x 轴的两交点分别是()1,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线BC 上方抛物线上的点，过P 作PE AB ⊥于点E ，交BC 于点D ，F 为射线DC 上的点，连接PF ，且∠=∠FPD FDP ，求+PF PD 的最大值，以及此时点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线22y ax bx =++沿射线BC 方向平移5个单位长度，平移后的抛物线与y 轴交于点Q ，点M 为平移后抛物线对称轴上的点，N 为平面内一点，直接写出所有使得以点,,,P Q M N 为顶点的四边形为菱形的点N 的坐标．14．如图，抛物线()240y ax bx a =++≠交y 轴正半轴于点C ，交x 轴分别于点()2,0A -点()8,0B ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线上第一象限内的一点，过点P 作x 轴的垂线，交BC 于点F ，设点P 的横坐标为t ．①求t 为何值时，四边形PFOC 是平行四边形；②连接PA ，当90APF ABC ︒∠+∠=时，求点F 的坐标；15．如图，在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒和4AB =．动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动．点P 出发后，过点P 作PQ AB ⊥交折线AC CB -于点Q ，点P 关于点Q 的对称点为点D ，以点D 为直角顶点向PD 右侧作等腰直角三角形PDE ．设点P 的运动时间为t 秒．(1)当点E 落在BC 边上时，求t 的值； (2)当PD 最大时，求PE 的长；(3)设PDE △与ABC 重叠部分图形的面积为S ，当PDE △与ABC 重叠部分图形不是五边形时，求S 关于t 的函数关系式．参考答案：1．(1)(2,0)- (4,0) (0,8)- (2)存在 (15,4)+- (3)(2,8)-，322．(1)2=23y x x --(2)存在，满足条件的点F 的坐标为()0,3-或()17,3+或()17,3-3．(1)2142y x x =--+ (2)92 53,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)()1,419-+或()1,419--或()3,19或()3,19-4．(1)13(2)最大值6，P 的坐标为()22--，(3)N 的坐标为21321,22⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1063⎛⎫- ⎪⎝⎭，或26621,25⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或26621,25⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭5．(1)223y x x =-++(2)①()4,5P -；①M 点坐标为()1,4或1,2或3171,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6．(1)257466y x x =-- (2)()2550362d t t t =-+<<(3)四边形ADCE 为菱形 32t =7．(1)265y x x =-+ (2)①m =32或m =52；①d 随m 的增大而减小时d 的取值范围是4d <≤3328．(1)2=23y x x -- 顶点M 的坐标为()1,4-(2)当32t =时，S 有最大值278，点N 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．(3)存在，点G 的坐标为()4,5或()2,5-或()2,3-．9．(1)245y x x =-++ (2)1258S =最大 535(,)28P (3)335(,)24- 127(,)2410．(1)223y x x =+- (2)45y -≤≤(3)l 与m 之间的函数关系式为()()222823124210m m m l m m m ⎧----<<-⎪=⎨--+-<<⎪⎩(4)5334--或2-11．(1)222y x x -=-+(2)M 的坐标为()13-，或()11-，或()31--， (3)当11124P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，HPG △的周长最长，为9294+12．(1)3y x =-+ 223y x x =-++ (2)315,24P ⎛⎫⎪⎝⎭(3)()2,5--或()4,5-或()23，13．(1)213222y x x =-++(2)()23P ，(3)点N 的坐标为513,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或3619,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或 3619,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭第 11 页 共 11 页 14．(1)213442y x x =-++(2)①4t =；①()6,1F 15．(1)45t =(2)42(3)()223402532144t t s t t t ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+≤<⎪⎩。

中考数学分类汇编与特殊四边形有关的填空压轴题

中考数学分类汇编与特殊四边形有关的填空压轴题

中考数学分类汇编——与特殊四边形有关的填空压轴题【题1】(2014.年河南省第题)如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为．故答案为：或．【题2】(2014年四川省绵阳市第17题)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD 上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为．故答案为：2．【题3】(2014年湖北随州第16题)如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE=x （0＜x＜2），给出下列判断：①当x=1时，点P是正方形ABCD的中心；②当x=时，EF+GH＞AC；③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是；④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确的是（写出所有正确判断的序号）．故答案为：①④．【题4】（2014江西第13题）如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形。

若60BAD ∠=，AB=2，则图中阴影部分的面积为______.所以图中阴影部分的面积为12－【题5】(2014年河南省第14题)如图，在菱形ABCD 中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB ′C ′D ′，其中点C 的运动路径为，则图中阴影部分的面积为．故答案为：+﹣．【题6】（2014•泰州第16题）如图，正方向ABCD 的边长为3cm ，E 为CD 边上一点，∠DAE=30°，M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与AD 、BC 相交于点P 、Q ．若PQ=AE ，则AP 等于cm ．【题7】(2014年重庆市第18题)如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF 的长为．∴OF=．【题8】(2014年宁夏第15题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=2，BC=5，∠BAD的平分线交BC于点E，且AE∥CD，则四边形ABCD的面积为．∴梯形的面积=（AD+BC）×AF=×（3+5）×=4．【题9】（2014•宁波第11题）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG 上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．【题10】（2014•武汉第16题）如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为__________．【题11】（2014•苏州第17题）如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC 长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为．【题129】（2014•枣庄第18题）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为____________cm．+3）．【题13】(2014年江苏徐州第18题)如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为．故答案为：y=﹣3x+18．。

2014年中考数学压轴题复习⒅(含答案,共20期)

2014年中考数学压轴题复习⒅(含答案,共20期)

2014年中考数学压轴题复习⒅341．（山东省淄博市）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过D 点作EF ∥BC 交AB 的延长线于点E ，交AC 的延长线于点F ． （1）求证：EF 为⊙O 的切线； （2）若sin ∠ABC ＝54，CF ＝1，求⊙O 的半径及EF 的长．342．（山东省淄博市）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD ）的斜边恰好重合．已知AB ＝32，P 是AC 上的一个动点． （1）当点P 运动到∠ABC 的平分线上时，连接DP ，求DP 的长； （2）当点P 在运动过程中出现PD ＝BC 时，求此时∠PDA 的度数；（3）当点P 运动到什么位置时，以D ，P ，B ，Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC 上？求出此时□DPBQ 的面积．343．（山东省淄博市）已知直角坐标系中有一点A （－4，3），点B 在x 轴上，△AOB 是等腰三角形． （1）求满足条件的所有点B 的坐标；（2）求过O ，A ，B 三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；（3）在（2）中求出的抛物线上存在点P ，使得以O ，A ，B ，P 四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P 的坐标及相应梯形的面积．344．（山东省潍坊市）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，且AC ＝CD ． （1）求证：OC ∥BD ；（2）若BC 将四边形OBDC 分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状．345．（山东省潍坊市）如图，已知正方形OABC 在直角坐标系xO y 中，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点O 在坐标原点．等腰直角三角板OEF 的直角顶点O 在原点，E 、F 分别在OA 、OC 上，且OA ＝4，OE ＝2．将三角板OEF 绕O 点逆时针旋转至OE 1F 1的位置，连结CF 1、AE 1． （1）求证：△OAE 1≌△OCF 1；A B C DA B OC D（2）若三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE ∥CF ，若存在，请求出此时E346．（山东省潍坊市）如图所示，抛物线与x 轴交于点A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3）．以AB为直径作⊙M ，过抛物线上一点P 作⊙M 的切线PD ，切点为D ，并与⊙M 的切线AE 相交于点E ，连结DM 并延长交⊙M 于点N ，连结AN 、AD ．（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；（2）若四边形EAMD 的面积为34，求直线PD 的函数关系式； （3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于△DAN 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．347．（山东省东营市）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ，DE ⊥BC 于E ，F 为AB 上一点，且AF ＝EC ，M 是FC 中点，连结FD 、ME ，设FC 与DE 相交于点N ． （1）求证：∠FDB ＝∠FCB ；△DFN ∽△CBD ；ME 垂直平分BD ； （2）若ME ＝2，求BF 的长．348．（山东省东营市）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，直角边BC 与x 轴重合，其内切圆的圆心坐标为I（0，1），抛物线y ＝ax2＋2ax ＋1的顶点为A ．（1）判断抛物线的开口方向并说明理由；（2）求点B 的坐标（用含a 的代数式表示）； （3）当a 为何值时，∠ABC ＝30°？349．（山东省东营市）如图，在锐角三角形ABC 中，BC ＝12，△ABC 的面积为48，D ，E 分别是边AB ，AC 上的两个动点（D 不与A ，B 重合），且保持DE ∥BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG ． （1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，求正方形DEFG 的边长；（2）设DE ＝x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值．350．（山东省日照市）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30°，O 、A 两点相距38米．（1）求出点A 的坐标及直线OA 的解析式；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点．351．（山东省日照市）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于E ，交BC 于D ．求证： （1）D 是BC 的中点；（2）△BEC ∽△ADC ； （3）BC 2＝2AB ²CE ．352．（山东省日照市）如图，对称轴为直线x ＝21的抛物线交x 轴于A （－2，0）、B 两点，交y 轴负半轴于点C ，且S △ABC＝215． （1）求抛物线的解析式；（2）若平行于x 轴的直线y ＝k （k ＜0）交该抛物线于M 、N 两点，交y 轴于点D ，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点，求k 的值；（3）在（2）的条件下，连结AD ，将△AOD 绕坐标平面内的某一点旋转180°后，A 、D 的对应点A ′、D ′能否同时落在抛物线上？若能，求出A ′、D ′和旋转中心的坐标；若不能，请说明理由．A B C D E F G A B C 备用图（1） AB C 备用图（2）353．（山东省菏泽市）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，D 是AB 中点，E 是BC 上动点（不与C 重合），⊙O 是过C 、D 、E 三点的圆． （1）求证：∠DFE ＝∠B ，并求EF 的最小值．（2）设BE ＝x ，CF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围． （3）求CF 的取值范围．354．（山东省菏泽市）如图1，梯形OABC 中，OA ∥BC ，∠C ＝90°，以AB 为直径作⊙M ，交OC 于点D 、E ，连结AD 、BD 、BE ．（1）求证：△ADB ∽△ECB ．（2）如图2，以梯形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点C 在y 轴正半轴上建立直角坐标系，抛物线y ＝ax2－2ax －3a 经过A 、D 两点，且顶点为B ，求抛物线的解析式．（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上是否存在这样的点P ：过点P 做PQ ⊥x 轴于Q ，使得以P 、A 、Q 为顶点的三角形与△ADB 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．355．（山东省菏泽市）如图所示，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过原点O ，与x 轴交于另一点N ，直线y ＝kx ＋4与两坐标轴分别交于A 、D 两点，与抛物线交于点B (1，m )、C (2，2)两点． （1）求直线与抛物线的解析式．（2）若抛物线在x 轴上方的部分有一动点P (x ，y )，设∠PON ＝α，求当△PON 的面积最大时tan α的值．图1（3）若动点P 保持（2）中的运动路线，问是否存在点P ，使得△POA 的面积等于△PON 面积的 815？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．356．（山东省莱芜市）在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D .（1）求线段AD 的长度；（2）点E 是线段AC 上的一点，试问当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由.357．（山东省莱芜市）在□ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，过点O 作直线EF 、GH ，分别交平行四边形的四条边于E 、G 、F 、H 四点，连结EG 、GF 、FH 、HE ． （1）如图①，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF ⊥GH 时，四边形EGFH 的形状是_______________；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC ＝BD ，四边形EGFH 的形状是_______________； （4）如图④，在（3）的条件下，若AC ⊥BD ，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由.358．（山东省莱芜市）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 交x 轴于A （2，0），B （6，0）两点，交y 轴于点C （0，32）． （1）求此抛物线的解析式； （2）若此抛物线的对称轴与直线y ＝2x 交于点D ，作⊙D 与x 轴相切，⊙D 交y 轴于E 、F 两点，求劣弧EF︵的长；（3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于x 轴，垂足为点G ，试确定P 点的位置，使得△PGA 的面积被直线AC 分成1 :2两部分．B H G F E O DC B A 图① H G E OD C B A 图② A B C DO E F G H 图③ A B C DO E F G H 图④F359．（山东省泰安市）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点，且满足AD ＝AB ，∠ADE ＝∠C ．（1）求证：∠AED ＝∠ADC ，∠DEC ＝∠B ；（2）求证：AB 2＝AE ²AC ．360．（山东省泰安市）如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，点P 、Q 分别是AB 、AC 上的动点，且满足BP ＝AQ ，D 是BC 的中点．（1）求证：△PDQ 是等腰直角三角形；（2）当点P 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形，并说明理由．AEC AQ P答案341．（1）证明：连结OD∵AD 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2 ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠3 ∴∠2＝∠3，∴OD ∥AC ∵AB 为⊙O 的直径，∴AC ⊥BC ∴OD ⊥BC∵EF ∥BC ，∴OD ⊥EF ∵OD 为⊙O 的半径∴EF 为⊙O 的切线 ·················································································· 3分（2）解：设OD 与BC 相交于点M ，⊙O 的半径为r ，则OB ＝OD ＝r在Rt △BOM 中，OM ＝OB ²sin ∠ABC ＝54r又∵OM ＝OD －MD ＝OD －CF ＝r －1r －1＝54r ，∴r ＝5即⊙O 的半径为5 ····················································································· 6分 ∴AB ＝10，AC ＝AB ²sin ∠ABC ＝8，BC ＝22AC AB－＝6AF ＝AC ＋CF ＝9∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ∴BC EF ＝AC AF ，即5EF ＝89∴EF ＝845································································································· 8分342．解：（1）如图（1），作DF ⊥AC 于F在Rt △ABC 中，∵AB ＝32，∠BAC ＝30°，∴BC ＝3，AC ＝3 在Rt △ACD 中，∵AD ＝CD ，∴DF ＝AF ＝CF ＝23∵BP 平分∠ABC ，∴∠PBC ＝30° ∴CP ＝BC ²tan30°＝1，∴PF ＝21 ∴DP ＝22PF DF＋＝210 ······································································· 3分（2）（1）（2）当P 点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF ＝23，∠ADF ＝45° 又PD ＝BC ＝3，∴cos ∠PDF ＝PDDF ＝23，∴∠PDF ＝30°∴∠PDA ＝∠ADF －∠PDF ＝15° ································································· 5分 当P 点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF ＝30°∴∠PDA ＝∠ADF ＋∠PDF ＝75° ································································· 7分 （3）当CP ＝23时，以D ，P ，B ，Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC 上 理由如下：如图（4），在□DPBQ 中，∵BC ∥DP ，∠ACB ＝90°，∴DP ⊥AC 根据（1）中结论可知，DP ＝CP ＝23························································· 8分 ∴S □DPBQ＝DP ²CP ＝49 ············································································· 10分 343．解：（1）过A 作AC ⊥x 轴，由已知得OC ＝4，AC ＝3∴OA ＝22AC OC＋＝5①当OB ＝OA ＝5时若点B 在x 轴的负半轴上，如图（1），点B 的坐标为（－5，0） ·········· 0.5分 若点B 在x 轴的正半轴上，如图（2），点B 的坐标为（5，0） ················· 1分②当AB ＝OA ＝5时，点B 只能在x 轴的负半轴上，如图（3）此时BC ＝OC ，则OB ＝8，点B 的坐标为（－8，0） ····························· 1.5分 ③当AB ＝OB ＝5时，点B 只能在x 轴的负半轴上，如图（4） 在x 轴上取点D ，使AD ＝OA ，则OD ＝8（3）（4）（2）（1）由∠AOB ＝∠OAB ＝∠ODA ，可知△AOB ∽△ODA 则OA OB ＝OD OA ，即5OB ＝85解得OB ＝825，点B 的坐标为（－825，0） ················································ 2分（2）当AB ＝OA 时，抛物线过O（0，0），A （－4，3），B （－8，0）三点设抛物线的函数表达式为y ＝ax2＋bx则⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＝364a －8b ＝0 解得a ＝－163，b ＝－23∴y ＝－163x2－23x ························································································ 3分 当OA ＝OB 时，同理可得y ＝－43x2－415x ················································ 4分 （3）当OA ＝AB 时①若BP ∥OA ，如图（5）分别过A 、P 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、E 则∠PBE ＝∠AOC ，∠PEB ＝∠ACO ＝90° ∴△PBE ∽△AOC ，∴BE PE ＝OCAC ＝43设BE ＝4m ，则PE ＝3m∴点P 的坐标为（4m －8，－3m ），代入y ＝－163x2－23x ，解得m ＝3 ∴P （4，－9） ································································································ 5分 S 梯形ABPO＝S △ABO＋S △BPO＝21×OB ×(AC ＋PE )＝21×8×(3＋9)＝48 ···· 5.5分 ②若OP ∥AB ，根据抛物线的对称性可得点P 的坐标为（－12，－9） ······ 6分 S 梯形AOPB＝S △ABO＋S △BPO＝48 ··································································· 6.5分当OA ＝OB 时，若BP ∥OA ，如图（6），作PF ⊥x 轴 则∠PBF ＝∠AOC ，∠PFB ＝∠ACO ＝90° ∴△PBF ∽△AOC ，∴BF PF ＝OCAC ＝43设BF ＝4m ，则PF ＝3m（3）（4）∴点P 的坐标为（4m －5，－3m ），代入y ＝－43x2－415x ，解得m ＝3∴P （1，－29） ······························································ 7分 S 梯形ABPO＝S △ABO＋S △BPO＝475 ····································· 8分 若OP ∥AB （图略），作PF ⊥x 轴 则∠POF ＝∠ABC ，∠PFO ＝∠ACB ＝90° ∴△POF ∽△ABC ，∴OF PF ＝BCAC＝3 设点P 的坐标为（－n ，－3n ），代入y ＝－43x2－415x ，解得n ＝9∴P （－9，－27） ·························································································· 9分 S 梯形AOPB＝S △ABO＋S △BPO＝75 ····································································· 10分344．（1）证明：∵AC ＝CD ，∴AC ︵＝CD ︵，∴∠ABC ＝∠CBD又∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠OCB ＝∠CBD ∴OC ∥BD ···························································4分（2）解：∵OC ∥BD ，不妨设平行线OC 与BD 间的距离为h又S △OBC＝21OC ²h ，S △DBC＝21BD ²h 因为BC 将四边形OBDC 分成面积相等的两个三角形，即S △OBC＝S △DBC ∴OC ＝BD ································································································· 7分 ∴四边形OBDC 为平行四边形. 又∵OC ＝BD ，∴四边形OBDC 为菱形345．（1）证明：∵四边形OABC 为正方形，∴OA ＝OC∵三角板OEF 是等腰直角三角形，∴OE 1＝OF 1又三角板OEF 绕O 点逆时针旋转至OE 1F 1的位置时，∠AOE 1＝∠COF 1 ∴△OAE 1≌△OCF 1 ·················································································· 3分 （2）存在 ··········································································································· 4分∵OE ⊥OF∴过点F 与OE 平行的直线有且只有一条，并与OF 垂直，又当三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周时，点F 在以O 为圆心，OF 为半径的圆上······································································································· 5分∴过点F 与OF 垂直的直线必是⊙O 的切线，又点C 是圆⊙O 外一点，过点C 与⊙O 相切的直线有且只有2条，不妨设为CF 1和CF 2此时，E 点分别在E 1点和E 2点，满足CF 1∥OE 1，CF 2∥OE 2 ·············· 7分ABOC D当切点F 1在第二象限时，点E 1在第一象限， 在直角三角形CF 1O 中，OC ＝4，OF 1＝2 cos ∠COF 1＝OC OF 1＝21∴∠COF 1＝60°，∴∠AOE 1＝60° ∴点E 1的横坐标为：x E 1＝2cos60°＝1 点E 1的纵坐标为：y E 1＝2sin60°＝3∴点E 1的坐标为（1，3） ··························· 9分 当切点F 2在第一象限时，点E 2在第四象限同理可求：点E 2的坐标为（1，－3）················································· 10分综上所述，三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OE ∥CF ，此时点E 的坐标为E 1（1，3）或E 2（1，－3） ············································ 11分346．解：（1）因为抛物线与x 轴交于点A （－1，0）、B （3，0）两点设抛物线的函数关系式为：y ＝a (x ＋1)(x －3) ∵抛物线与y 轴交于点C （0，－3） ∴－3＝a (0＋1)(0－3)，∴a ＝1所以，抛物线的函数关系式为：y ＝(x ＋1)(x －3)即y ＝x2－2x －3 ····························································································· 2分∵y ＝x2－2x －3＝(x －1)2－4因此，抛物线的顶点坐标为（1，－4） ························································ 3分 （2）连结EM ，∵EA 、ED 是⊙M 的两条切线∴EA ＝ED ，EA ⊥AM ，ED ⊥MD ，∴△EAM ≌△EDM 又四边形EAMD 的面积为34，∴S △EAM＝32，∴21AM ²AE ＝32 又AM ＝2，∴AE ＝32因此，点E 的坐标为E 1（－1，32）或E 2（－1，－32） ···················· 5分 当E 点在第二象限时，切点D 在第一象限 在Rt △EAM 中，tan ∠EMA ＝AMEA＝232＝3∴∠EMA ＝60°，∴∠DMB ＝60° 过切点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ∴MF ＝1，DF ＝3因此，切点D 的坐标为（2，3） ······························································ 6分 设直线PD 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将E （－1，32），D （2，3）的坐标代入得⎩⎨⎧3＝2k ＋b 32＝－k ＋b解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－33b ＝335 所以，直线PD 的函数关系式为y ＝－33x ＋335 ···································· 7分 当E 点在第三象限时，切点D 在第四象限同理可求：切点D 的坐标为（2，－3），直线PD 的函数关系式为y ＝33x －335 因此，直线PD 的函数关系式为：y ＝－33x ＋335或y ＝33x －335 ··························································· 8分 （3）若四边形EAMD 的面积等于△DAN 的面积又S 四边形EAMD＝2S △EAM，S △DAN＝2S △AMD∴S △AMD＝S △EAM∴E 、D 两点到x 轴的距离相等∵PD 与⊙M 相切，∴点D 与点E 在x 轴同侧 ∴切线PD 与x 轴平行此时切线PD 的函数关系式为y ＝2或y ＝－2 ···················· 9分 当y ＝2时，由y ＝x2－2x －3得，x ＝1±6当y ＝－2时，由y ＝x2－2x －3得，x ＝1±2 ········································· 11分故满足条件的点P 的位置有4个，分别是：P 1（1＋6，2）、P 2（1－6，2）、 P 3（1＋2，－2）、P 4（1－2，－2） ····················································· 12分347．（1）证明：∵∠ABC ＝90°，∴AB ⊥BC又AD ∥BC ，DE ⊥BC ，∴DE ＝AB ＝AD ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠A ＝90° ∴四边形ABED 是正方形 又AF ＝EC ，∴△ADF ≌△EDC ∴DF ＝DC ，∠ADF ＝∠EDC又∠ADF ＋∠FDE ＝90°，∴∠EDC ＋∠FDE ＝90° ∴∠FDC ＝90°，∴△DFC 是等腰直角三角形 设FC 与BD 相交于点G ，则∠DFG ＝∠DCF ＝45° ∵∠CBG ＝45°，∴∠DFG ＝∠CBG 又∠FGD ＝∠BGC ，∴△FDG ∽△BCG∴∠FDB ＝∠FCB ····················································································· 3分 ∵∠FDN ＝45°＋∠FDB ，∠BCD ＝45°＋∠FCB ，∴∠FDN ＝∠BCD又∠DFN ＝∠CBD ＝45°∴△DFN ∽△CBD ···················································································· 5分 连结DM ，则DM ⊥FC ，∠FDM ＝∠CDM ＝45° 又∠FDB ＝45°－∠ADF ，∠MDE ＝45°－∠EDC ∴∠FDB ＝∠MDE 又DM DF ＝DEDB＝2，∴△DFB ∽△DME ∴∠MED ＝∠FBD ＝45°∴ME 是正方形ABED 的对角线，∴ME 垂直平分BD ··························· 8分（2）解：由△DFB ∽△DME 可知，∴FB ＝2ME ＝2 ········································ 10分348．解：（1）∵y ＝ax2＋2ax ＋1，∴抛物线的对称轴为x ＝－1∵抛物线的顶点为A ，∴直角边AC 所在直线为对称轴 由题意，得顶点A 的坐标为（－1，1－a ） ∵y ＝ax2＋2ax ＋1，当x ＝0时，y ＝1∴抛物线过I （0，1） ∴1－a ＞1，∴a ＜0∴抛物线开口向下 ············································ 12分 （2）如图，AC ＝1－a ，BC ＝OC ＋OB ＝1＋OBAB ＝AD ＋BD ＝AE ＋OB ＝AC －EC ＋OB ＝(1－a )－1＋OB ＝OB －a 在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC 2＋BC 2＝AB 2∴(1－a ) 2＋(1＋OB ) 2＝(OB －a ) 2，解得OB ＝11+-a a ∴点B 的坐标为（11+-a a ，0） ······································································· 6分 （3）∵∠ABC ＝30°，∴tan ∠ABC ＝33 又tan ∠ABC ＝BCAC＝1111+-+-a a a ＝a a 212-，∴a a 212-＝33∴3a2＋32a －3＝0∴a 1＝－3，a 2＝33 又∵a ＜0，∴a ＝－3即当a ＝－3时，∠ABC ＝30°································································· 10分349．解：（1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，如图（1）过点A 作BC 边上的高AM ，交DE 于N ，垂足为MADEN∵S △ABC＝48，BC ＝12，∴AM ＝8∵DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ·············································· 1分 ∴BC DE ＝AMAN，而AN ＝AM －MN ＝AM －DE ∴12DE ＝88DE- ································································· 2分 解得 DE ＝524 ∴当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，正方形DEFG 的边长为524 ······ 3分 （2）分两种情况：①当正方形DEFG 在△ABC 的内部时，如图（2）△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为正方形DEFG 的面积 ∵DE ＝x ，∴y ＝x2（0＜x ≤524） ···································· 4分②当正方形DEFG 的一部分在△ABC 的外部时，如图（3）设EF 与BC 交于点P ，DG 与BC 交于点Q ，△ABC 的高AM 交DE 于N ∵DE ＝x ，DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ························ 5分 ∴BC DE ＝AMAN，而AN ＝AM －MN ＝AM －EP ∴12x ＝88EP -，解得EP ＝8－32x ···································· 6分 所以y ＝x (8－32x )，即y ＝－32x2＋8x （524＜x ＜12） ····· 7分 因此△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x2 （0＜x ≤524）－32x2＋8x （524＜x ＜12） ····································· 8分当0＜x ≤524时，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为(524)2＝25576当524＜x ＜12时，∵y ＝－32x2＋8x ＝－32(x －6)2＋24∴当x ＝6时，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24∵24＞25576所以△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24 ··················· 10分350．解：（1）在Rt △AOC 中∵∠AOC ＝30 °，OA ＝38∴AC ＝OA ²sin30o ＝38×21＝34OC ＝OA ²cos30o ＝38×23＝12 A BCD E FG图（2）AB C图（3） DEF G M NQ P。

2014-2023北京中考真题数学汇编：特殊的平行四边形

2014-2023北京中考真题数学汇编：特殊的平行四边形

2014-2023北京中考真题数学汇编特殊的平行四边形上述结论中，所有正确结论的序号是（A．①②B．①③2．（2015北京中考真题）如图，公路的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（A．0.5km B．0.6km二、填空题3．（2021北京中考真题）如图，在矩形即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是4．（2019北京中考真题）在矩形重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．6．（2013北京中考真题）如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，则四边形ABOM 的周长为.三、证明题7．（2022北京中考真题）在ABC 中，90ACB ∠= ，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC =(1)如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF ，若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥；(2)连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．8．（2022北京中考真题）如图，在ABCD Y 中，AC BD ，交于点O ，点E F ，在AC 上，AE CF =．(1)求证：四边形EBFD 是平行四边形；(2)若,BAC DAC ∠=∠求证：四边形EBFD 是菱形．9．（2020北京中考真题）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF ⊥AB ，OG ∥EF ．（1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若AD =10，EF =4，求OE 和BG 的长．10．（2015北京中考真题）在 ABCD BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5 11．（2018北京中考真题）如图，在正方形DE，点A关于直线DE的对称点为的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE13．（2017北京中考真题）如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD BC ∥，2AD BC =，90ABD Ð=°，E 为AD 的中点，连接BE ．(1)求证：四边形BCDE 为菱形；(2)连接AC ，若AC 平分BAD ∠，1BC =，求AC 的长．14．（2017北京中考真题）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.,（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S 矩形NFGD =S △ADC -（S △ANF +S △FGC ），S 矩形EBMF =S △ABC -（____________+____________）．易知，S △ADC =S △ABC ，_____________=______________，______________=_____________．可得S 矩形NFGD =S 矩形EBMF ．15．（2016北京中考真题）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AC=AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．（1）求证：BM=MN ；（2）∠BAD=60°，AC 平分∠BAD ，AC=2，求BN 的长．四、作图题16．（2020北京中考真题）在ABC 中，∠C=90°，AC ＞BC ，D 是AB 的中点．E 为直线上一动点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，设,AE a BF b ==，求EF 的长（用含,a b 的式子表示）；（2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．17．（2014北京中考真题）在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE ，DE ，其中DE 交直线AP 于点F ．（1）依题意补全图1．（2）若20PAB ∠=︒，求ADF ∠的度数．（3）如图2，若4590PAB ︒<∠<∠︒，用等式表示线段AB ，FE ，FD 之间的数量关系，并证明．∴DF AC a b ==+，∵DF DE <，∴a b c +<，①正确，故符合要求；∵EAB BCD ≌△△，∴BE BD =，CD AB a ==，AE =∵90CBD CDB ∠+∠=︒，∴90∠+∠=︒CBD ABE ，EBD ∠=∴BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，22BE AB AE =+∵AB AE BE +>，∴22a b a b +>+，②正确，故符合要求；由勾股定理得222DE BD BE =+，即∴()2222c a b a b =⨯+<+，③正确，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．D【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得．【详解】解：根据题意可得，AM =1.2∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC 设OA=x，OB=y，由题意得：51x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得：∴AC=2OA=6，BD=2OB∴菱形ABCD的面积=1 2故答案为12．【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．6．20【分析】先由5AB=，【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（17．（1）图形见解析（2）25°（【分析】（1）按照题意补全图形（2）连接AE，根据轴对称性和正方形的性质可得∠（3）连接AE、BF、BD，根据轴对称性和正方形的性质可得∠∠BFD=∠BAD=90°，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：（1）补全图形如图所示：（2）连接AE，。

2014年中考数学分类汇编：与特殊四边形有关的压轴题(全国120份)

2014年中考数学分类汇编：与特殊四边形有关的压轴题(全国120份)

与特殊四边形有关的压轴题一、选择题1．在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）A．B．C．D．分析：分别构造出平行四边形和三角形，根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进行比较，即可判断．解：A选项延长AC、BE交于S，∵∠CAE=∠EDB=45°，∴AS∥ED，则SC∥DE．同理SE∥CD，∴四边形SCDE是平行四边形，∴SE=CD，DE=CS，即乙走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；B选项延长AF、BH交于S，作FK∥GH，1∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，∴△SAB≌△S1AB，∴AS=AS1，BS=BS1，∵∠FGH=67°=∠GHB，∴FG∥KH，∵FK∥GH，∴四边形FGHK是平行四边形，∴FK=GH，FG=KH，∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，∵FS1+S1K＞FK，∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB，又∵AS+BS＜AS2+BS2，故选D．点评：本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等．2．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF：BC=1：2，连接DF，E C．若AB=5，AD=8，sinB=，则DF的长等于（）A．B．C． D．2考点：平行四边形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．.分析：由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CFDE的对边平行且相等（DE=CF，且DE∥CF），即四边形CFDE是平行四边形．如图，过点C作CH⊥AD于点H．利用平行四边形的性质、锐角三角函数定义和勾股定理求得CH=4，DH=1，则在直角△EHC中利用勾股定理求得CE的长度，即DF的长度．解答：证明：如图，在▱ABCD中，∠B=∠D，AB=CD=5，AD∥BC，且AD=BC=8．∵E是AD的中点，∴DE=A D．又∵CF：BC=1：2，∴DE=CF，且DE∥CF，∴四边形CFDE是平行四边形．∴CE=DF．过点C作CH⊥AD于点H．又∵sinB =，∴sinD ===，∴CH=4．在Rt△CDH中，由勾股定理得到：DH ==3，则EH=4﹣3=1，∴在Rt△CEH中，由勾股定理得到：EC ===，则DF=EC =．故选：C．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理和解直角三角形．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．3.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A 重合，则折痕EF的长为（）A． 6 B．12 C．2D．4考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BE=x，表示出CE=16﹣x，根据翻折的性质可得AE=CE，然后在Rt△ABE 中，利用勾股定理列出方程求出x，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根据等角对等边可得AE=AF，过点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：设BE=x，则CE=BC﹣BE=16﹣x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=16﹣x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即82+x2=（16﹣x）2，解得x=6，∴AE=16﹣6=10，3由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=10，过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH=AB=8，AH=BE=6，∴FH=AF﹣AH=10﹣6=4，在Rt△EFH中，EF===4．故选D．点评：本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口．4.如图，边长为2的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理分析：先求出CP、BF长，根据勾股定理求出BP，根据相似得出比例式，即可求出答案．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠PCF=90°，CD∥AB，∵F为CD的中点，CD=AB=BC=2，∴CP=1，∵PC∥AB，∴△FCP∽△FBA，∴==，∴BF=4，5∴CF=4﹣2=2， 由勾股定理得：BP==，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCP=∠PCF=90°， ∴PF 是直径，∴∠E=90°=∠BCP ， ∵∠PBC=∠EBF ， ∴△BCP ∽△BEF ， ∴=， ∴=，∴EF=， 故选D ．点评： 本题考查了正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，题目比较好，难度适中．5.如图，ABCD 是正方形场地，点E 在DC 的延长线上，AE 与BC 相交于点F ．有甲、乙、丙三名同学同时从点A 出发，甲沿着A ﹣B ﹣F ﹣C 的路径行走至C ，乙沿着A ﹣F ﹣E ﹣C ﹣D 的路径行走至D ，丙沿着A ﹣F ﹣C ﹣D 的路径行走至D ．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（ ）A ． 甲乙丙B ．甲丙乙C ．乙丙甲D ． 丙甲乙考点： 正方形的性质；线段的性质：两点之间线段最短；比较线段的长短． 分析： 根据正方形的性质得出AB=BC=CD=AD ，∠B=∠ECF，根据直角三角形得出AF ＞AB ，EF ＞CF ，分别求出甲、乙、丙行走的距离，再比较即可． 解答： 解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=90°，甲行走的距离是AB+BF+CF=AB+BC=2AB ； 乙行走的距离是AF+EF+EC+CD ； 丙行走的距离是AF+FC+CD ， ∵∠B=∠ECF=90°， ∴AF＞AB ，EF ＞CF ，∴AF+FC+CD＞2AB ，AF+FC+CD ＜AF+EF+EC+CD ， ∴甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙，故选B．点评：本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质的应用，题目比较典型，难度适中．6如图3，四边形、都是正方形，点在线段上，连接，和相交于点．设，（）．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（）．（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个【考点】三角形全等、相似三角形【分析】①由可证，故①正确；②延长BG交DE于点H，由①可得，（对顶角）∴=90°，故②正确；③由可得，故③不正确；④，等于相似比的平方，即，∴，故④正确．【答案】B7.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④分析：求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF=PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确．解答：解：∵AE=AB，∴BE=2AE，由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°，∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°，∴∠EFB=90°﹣60°=30°，∴EF=2BE，故①正确；∵BE=PE，∴EF=2PE，∵EF＞PF，∴PF＞2PE，故②错误；由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°，∴BE=2EQ，EF=2BE，∴FQ=3EQ，故③错误；由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°，∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°，∴△PBF是等边三角形，故④正确；综上所述，结论正确的是①④．7故选D ．点评： 本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．8.如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D ′的坐标是（ ）A ． （2，10）B ． （﹣2，0）C ． （2，10）或（﹣2，0）D ． （10，2）或（﹣2，0）分析： 分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．解答： 解：∵点D （5，3）在边AB 上，∴BC =5，BD =5﹣3=2，①若顺时针旋转，则点D ′在x 轴上，OD ′=2， 所以，D ′（﹣2，0），②若逆时针旋转，则点D ′到x 轴的距离为10，到y 轴的距离为2， 所以，D ′（2，10），综上所述，点D ′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）． 故选C ．9．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（ ）A．2.5 B．C．D．2分析：连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解答：解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选B．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．910.如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）（第3题图）A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）C．（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）考点：矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。

2014年中考数学压轴题精编--新疆、宁夏、山西、青海篇(试题及答案)

2014年中考数学压轴题精编--新疆、宁夏、山西、青海篇(试题及答案)

2014年中考数学压轴题精编—新疆、宁夏、山西、青海篇91．（新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团）如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B 在半圆O 的直径DE 的延长线上，AB 切半圆O 于点F ，且BC ＝OE 。

（1）求证：DB ∥CF ；（2）当OE ＝2时，若以O ，B ，F 为顶点的三角形与△ABC 相似，求OB 的长；（3）若OE ＝2，移动三角板ABC 且使AB 边始终与半圆O 相切，直角顶点B 在直径DE 的延长线上移动，求出点B 移动的最大距离。

91．解：（1）证明：如图1，连接OF∵AB 切半圆O 于点F ，∴OF ⊥AB ·········· 1分 又∵BC ⊥AB ，∴BC ∥OF ∵BC ＝OE ，OE ＝OF ，∴BC ＝OF∴四边形OBCF 是平行四边形 ···················· 3分 ∴DB ∥CF ····················································· 4分（2）解：∵以O ，B ，F 为顶点的三角形与△ABC 相似，∠OFB ＝∠ABC ＝90°∴∠OBF ＝∠A 或∠BOF ＝∠A∵∠OBF ＝∠BFC ，∠BFC ＞∠A ，∴∠OBF ＞∠A∴∠OBF 与∠A 不可能是对应角 ···································································· 6分 ∴∠BOF 与∠A 是对应角，∴∠BOF ＝30° ∴OB ＝30cos OF＝334 ································ 8分 （3）解：点B 移动的距离即线段BE 的长，当点A 与点F 重合时，点B 移动的距离最大，如图2∵在Rt △ABC 中，BC ＝OE ＝2，∠A ＝30° ∴AC ＝2BC ＝4∵四边形OBCF 是平行四边形，∴OB ＝AC ＝4 ∴BE ＝OB －OE ＝4－2＝2即点B 移动的最大距离为2 ······························· 10分92．（新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团）张师傅在铺地板时发现，用8块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图（1）。

2014：特殊的四边形中考专题

2014：特殊的四边形中考专题

2014年中考数学专题复习多边形与平行四边形【基础知识回顾】一、多边形：1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段相连组成的图形叫做多边形，各边相等也相等的多边形叫做正多边形2、多边形的内外角和：n(n≥3)的内角和事外角和是正几边形的每个外角的度数是，每个内角的度数是3、多边形的对角线：多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段，从几边形的一个顶点出发有条对角线，将多边形分成个三角形，一个几边形共有条对边线【名师提醒：1、三角形是边数最少的多边形2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形共有条对称轴，边数为数的正多边形也是中心对称图形】二、平面图形的密铺：1、定义：用、完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间地铺成一起，这就是平面图形的密铺，称作平面图形的2、密铺的方法：⑴用同一种正多边形密铺，可以用、或⑵用两正多边形密铺，组合方式有：和、和、和合等几种【名师提醒：密铺的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于并使相等的边互相平合】三、平行四边1、定义：两组对边分别的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可写成2、平行四边形的特质：⑴平行四边形的两组对边分别⑵平行四边形的两组对角分别⑶平行四边形的对角线【名师提醒：1、平行四边形是对称图形，对称中心是过对角线交点的任一直线被一组对边的线段该直线将原平行四边形分成全等的两个部分】3、平行四边形的判定：⑴用定义判定⑵两组对边分别的四边形是平行四边形⑶一组对它的四边形是平行四边形⑷两组对角分别的四边形是平行四边形⑸对角线的四边形是平行四边形【名师提醒：特别的：一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形两个命题都不被保证是平行四边形】4、平行四边形的面积：计算公式X同底（等底）同边（等边）的平行四边形面积【名师提醒：夹在两平行线间的平行线段两平行线之间的距离处】【重点考点例析】考点一：多边形内角和、外角和公式例1（2012•南京）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．对应训练1．（2012•广安）如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 度．考点二：平面图形的密铺例（2012•贵港）如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（）A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正八边形考点三：平行四边形的性质例（2012•广安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，AF=AB，求证：△AEF≌△DFC．点评：此题考查了平行四边形的性质与全等三角的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．对应训练3．（2012•永州）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为．4．（2012•大连）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC．考点四：平行四边形的判定例（2012•资阳）如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE=∠DAC，DE=AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．有一组对边平行的四边形是梯形C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是矩形对应训练5．（2012•泰州）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图6．（2012•沈阳）已知，如图，在▱ABCD 中，延长DA 到点E ，延长BC 到点F ，使得AE=CF ，连接EF ，分别交AB ，CD 于点M ，N ，连接DM ，BN ．（1）求证：△AEM ≌△CFN ；（2）求证：四边形BMDN 是平行四边形．【备考真题过关】一、选择题1．（2012•肇庆）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．八边形2．（2012•玉林）正六边形的每个内角都是（ ）A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°3．（2012•深圳）如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）A ．120°B ．180°C ．240°D ．300°4．（2012•南宁）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=3cm ，BC=5cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA 的取值范围是（ ）A ．2cm ＜OA ＜5cmB ．2cm ＜OA ＜8cmC ．1cm ＜OA ＜4cmD ．3cm ＜OA ＜8cm5．（2012•杭州）已知平行四边形ABCD 中，∠B=4∠A ，则∠C=（ ）A ．18°B ．36°C ．72°D ．144°6．（2012•巴中）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）A ．两组对边分别平行B ．一组对边平行另一组对边相等C ．一组对边平行且相等D ．两组对边分别相等7．（2012•广元）若以A （-0.5，0）、B （2，0）、C （0，1）三点为顶点要画平行四边行，则第四个顶点不可能在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8．（2012•益阳）如图，点A 是直线l 外一点，在l 上取两点B 、C ，分别以A 、C 为圆心，BC 、AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，分别连接AB 、AD 、CD ，则四边形ABCD 一定是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．梯形9．（2012•德阳）如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）．以BD 、BF 为邻边作平行四边形BDEF ，又AP BE ∥（点P 、E 在直线AB 的同侧），如果BD=14AB ，那么△PBC 的面积与△ABC 面积之比为（ ）A ．1B ．3C ．1D ．31．（2012•孝感）如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD ，CG ．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG ；③△BDF ≌△CGB ；④S △ABD =AB 2其中正确的结论有（ ）二、填空题10．（2012•义乌市）正n 边形的一个外角的度数为60°，则n 的值为 ．11．（2012•厦门）五边形的内角和的度数是 ．12．（2012•德阳）已知一个多边形的内角和是外角和的32， 则这个多边形的边数是 ．14．（2012•黑龙江）如图，已知点E 、F 是平行四边形ABCD 对角线上的两点，请添加一个条件 使△ABE ≌△CDF （只填一个即可）．2．（2012•咸宁）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，BE 平分∠ABC 且交CD 于E ，E 为CD 的中点，EF ∥BC 交AB 于F ，EG ∥AB 交BC 于G ，当AD=2，BC=12时，四边形BGEF 的周长为 ．3．（2012•天津）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，以顶点A 、B 为圆心，1为半径的两弧交于点E ，以顶点C 、D 为圆心，1为半径的两弧交于点F ，则EF 的长为 ．4．（2012•沈阳）如图，菱形ABCD 的边长为8cm ，∠A=60°，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，则四边形BEDF 的面积为 cm 2．5．（2012•深圳）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC 的长为 ．2014年中考数学专题复习第二十一讲矩形菱形正方形【基础知识回顾】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：⑴矩形的四个角都⑵矩形的对角线3、矩形的判定：⑴用定义判定⑵有三个角是直角的是矩形⑶对角线相等的是矩形【名师提醒：1、矩形是对称到对称中心是又是对称图形对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两个全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等知识解决问题】菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都⑵菱形的对角线且每条对角线3、菱形的判定：⑴用定义判定⑵对角线互相垂直的是菱形⑶四条边都相等的是菱形【名师提醒：1、菱形即是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形知识洁具题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形2、性质：⑴正方形四个角都都是角，⑵正方形四边条都⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角3、判定：⑴先证是矩形，再证⑵先证是菱形，再证【名师提醒：菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。

中考数学专题复习——与四边形有关的综合题集(含压轴题)带答案

中考数学专题复习——与四边形有关的综合题集(含压轴题)带答案

中考专题复习——与四边形有关的综合题集(含压轴题)带答案一．选择题（共9小题）1．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD 一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（）A．4 B．3 C．2 D．12．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF =2S△ABE，其中结论正确的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH 与AC交于点M，以下结论：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S△ACF=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•D G，其中正确结论的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论正确的个数是（ ）①AE=BF ；②AE ⊥BF ；③sin ∠BQP=；④S 四边形ECFG =2S △BGE ．A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD 中，BC=AB ，∠ADC 的平分线交边BC 于点E ，AH ⊥DE 于点H ，连接CH 并延长交边AB 于点F ，连接AE 交CF 于点O ，给出下列命题：（1）∠AEB=∠AEH （2）DH=2EH （3）OH=AE （4）BC ﹣BF=EH其中正确命题的序号（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（2）（3）（4）C ．（2）（4）D ．（1）（3）6．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B 运动（任何一个点到达即停止），过点P 作PM ∥CD 交BC 于M 点，PN ∥BC 交CD 于N 点，连接MN ，在运动过程中，则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．如图，正方形ABCD中，以AD为底边作等腰△ADE，将△ADE沿DE折叠，点A落到点F处，连接EF刚好经过点C，再连接AF，分别交DE于G，交CD于H．在下列结论中：①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC=CF；⑤S△HCF=S△ADH，其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四边形CDEF =S△AEF，其中正确的结论有（）个．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④9．如图，正方形ABCD 的边CD 与正方形CGFE 的边CE 重合，O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于H ，连接OH 、FH 、EG 与FH 交于M ，对于下面四个结论：①GH ⊥BE ；②HO BG ；③点H 不在正方形CGFE 的外接圆上；④△GBE ∽△GMF ． 其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个评卷人 得 分二．填空题（共7小题）10．如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②EB ⊥ED ；③点B 到直线AE 的距离为；④S △APD +S △APB =1+；⑤S 正方形ABCD =4+．其中正确结论的序号是 ．11．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE=BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ．（把你认为正确的说法的序号都填上）12．如图，在菱形ABCD 中，AB=6，∠DAB=60°，AE 分别交BC 、BD 于点E 、F ，CE=2，连接CF ，以下结论：①△ABF ≌△CBF ；②点E 到AB 的距离是2；③tan ∠DCF=；④△ABF 的面积为．其中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．13．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=，在边CD 上有一点E ，使EB 平分∠AEC ．若P 为BC 边上一点，且BP=2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ．给出以下五个结论：①点B 平分线段AF ；②PF=DE ；③∠BEF=∠FEC ；④S 矩形ABCD =4S △BPF ；⑤△AEB是正三角形．其中正确结论的序号是 ．14．如图，在矩形ABCD 中，AD=AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论： ①∠AED=∠CED ；②OE=OD ；③BH=HF ；④BC ﹣CF=2HE ；⑤AB=HF ，其中正确的有 ．15．如图所示，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连结AE，CE．延长CE到F，连结BF，使得BC=BF．若AB=1，则下列结论：①AE=CE；②F 到BC的距离为；③BE+EC=EF；④；⑤．其中正确的是．16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AB=5cm．点P从点A出发沿AC以1.5cm/s的速度向点C匀速运动，到达点C后立刻以原来的速度沿CA返回；点Q 从点B出发沿BA以1cm/s的速度向点A匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线PC﹣CB﹣BQ于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0），则当t=秒时，四边形BQDE为直角梯形．评卷人得分三．解答题（共34小题）17．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6．点P在边AC上运动，过点P作PD ⊥AB于点D，以AP、AD为邻边作▱PADE．设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x≤6）．（1）求线段PE的长（用含x的代数式表示）．（2）当点E落在边BC上时，求x的值．（3）求y与x之间的函数关系式．（4）直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值．19．问题探究（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；问题解决（3）如图③，AC为边长为2的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°．点M和N 分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM 和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．20．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC=60°点M、N 分别是边BC、边CD上的动点，且MB=NC．连接AM、AN、MN．MN交AC于点P．（1）△AMN是什么特殊的三角形？说明理由．并求其面积最小值；（2）求点P到直线CD距离的最大值；（3）如图2，已知MB=NC=1，点E、F分别是边AM、边AN上的动点，连接EF、PF，EF+PF是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时AE、AF的长；若不存在，请说明理由．21．如图①，正方形ABCD边长为1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α度后得到正方形AB'C'D'（0°＜α＜90°），C'D'与直线CD相交于点E，C'B'与直线CD相交于点F．问题发现：（1）试猜想∠EAF=；三角形EC'F的周长．问题探究：如图②，连接B'D'分别交AE，AF于P，Q两点．（2）在旋转过程中，若D'P=a，QB'=b，试用a，b来表示PQ，并说明理由．（3）在旋转过程中△APQ的面积是否存在最小值，若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由．22．如图，在矩形ABCD中，AB=CD=4cm，AD=BC=6cm，AE=DE=3cm，点P从点E出发，沿EB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ⊥CD？（2）设四边形PBCQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PBCQ ：S四边形PQDE=22：5？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使A，P，Q三点在同一直线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．23．已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC 于点N（点N在点M的左侧）．（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．24．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC=∠BPQ．（1）当QD=QC时，求∠ABP的正切值；（2）设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；（3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．25．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．26．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG ≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．27．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE ：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．28．如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．（1）当t=时，△PQR的边QR经过点B；（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．29．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C 重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．30．已知：四边形ABCD中，对角线的交点为O，E是OC上的一点，过点A作AG⊥BE于点G，AG、BD交于点F．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：OE=OF；（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°．探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC=α，且AC⊥BD．结合上面的活动经验，探究线段OE与OF的数量关系为（直接写出答案）．31．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD 上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M 作MG⊥EM，交直线BC于点G．（1）若M为边AD中点，求证△EFG是等腰三角形；（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．32．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC 的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC 的长度．33．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF ：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．34．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．35．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．36．如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．（1）AM=，AP=．（用含t的代数式表示）（2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK为正方形，则AC=．37．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．38．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E点F点分别为AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）求菱形AEDF的面积；（3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B 点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？39．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M 作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．40．如图（1），E是正方形ABCD的边BC上的一个点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得EF=AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．（1）求证：FG=BE；（2）连接CF，如图（2），求证：CF平分∠DCG；（3）当=时，求sin∠CFE的值．41．如图，已知在矩形ABCD中，AD=10，CD=5，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动，此时BF⊥CE．设点E移动的时间为t（秒）．（1）求当t为何值时，两点同时停止运动；（2）求当t为何值时，EC是∠BED的平分线；（3）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（4）求当t为何值时，△EFC是等腰三角形．（直接写出答案）42．如图1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形B点正好落在CD上的点E 处，连结BE．（1）求证：∠BAE=2∠CBE；（2）如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN、AF，试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论；（3）若AB=5，BC=3，直接写出BG的长．43．将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．（1）如图（1），在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；（2）如图（2），在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，过D′作D′G∥AO交E′F于T点，交OC于G点，求证：TG=AE′；（3）在（2）的条件下，设T（x，y）．①探求：y与x之间的函数关系式．②指出变量x的取值范围．44．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A 出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形．（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD=PD）？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．45．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，其中点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），点D为对角线OB上一个动点（不包括端点），∠BCD的平分线交OB于点E．（1）求线段OB所在直线的函数表达式，并写出CD的取值范围．（2）当∠BCD的平分线经过点A时，求点D的坐标．（3）点P是线段BC上的一个动点，求CD十DP的最小值．46．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，E为AB的中点，连接CE，BD，过点E作FE⊥CE于点E，交AD于点F，连接CF，已知2AD=AB=BC．（1）求证：CE=BD；（2）若AB=4，求AF的长度；（3）求sin∠EFC的值．47．如图①，在长方形ABCD中，AB=DC=3cm，BC=5cm，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC=cm．（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP，请说明理由；（3）如图②，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以acm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样a的值，使得△ABP与△PCQ全等？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．48．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求OA、OB的长．（2）若点E为x轴上的点，且S=，试判断△AOE与△AOD是否相似？并△AOE说明理由．（3）在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，请直接写出点F的坐标．49．如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，且AB=6cm，BC=8cm，对角线AC=l0cm．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）如图（2），若动点Q从点C出发，在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点P从点B出发，在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动，运动时间为t秒（0≤t＜2），连接BQ、AP，若AP⊥BQ，求t的值；（3）如图（3），若点Q在对角线AC上，CQ=4cm，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了t 秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的结果．50．如图，点E为正方形ABCD的边BC所在直线上的一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于F，连接BF．（1）如图1，当点E在CB的延长线上，且AC=EC时，求证：BF=；（2）如图2，当点E在线段BC上，且AE平分∠BAC时，求证：AB+BE=AC；（3）如图3，当点E继续往右运动到BC中点时，过点D作DH⊥AE于H，连接BH．求证：∠BHF=45°．四边形综合题集参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD ①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】①先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；②证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S=S四边形BCDG，易求后者的面积；四边形CMGN③过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF；④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，当点E，F分别是AB，AD中点时，CG⊥BD；⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°．【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED ≌△DFB ，故本选项正确；②∵∠BGE=∠BDG +∠DBF=∠BDG +∠GDF=60°=∠BCD ，即∠BGD +∠BCD=180°，∴点B 、C 、D 、G 四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°，过点C 作CM ⊥GB 于M ，CN ⊥GD 于N （如图1），则△CBM ≌△CDN （AAS ），∴S 四边形BCDG =S 四边形CMGN ，S 四边形CMGN =2S △CMG ，∵∠CGM=60°，∴GM=CG ，CM=CG ，∴S 四边形CMGN =2S △CMG =2××CG ×CG=CG 2，故本选项错误；③过点F 作FP ∥AE 交DE 于P 点（如图2），∵AF=2FD ，∴FP ：AE=DF ：DA=1：3，∵AE=DF ，AB=AD ，∴BE=2AE ，∴FP ：BE=FP ：2AE=1：6，∵FP ∥AE ，∴PF ∥BE ，∴FG ：BG=FP ：BE=1：6，即BG=6GF ，故本选项正确；④当点E ，F 分别是AB ，AD 中点时（如图3），由（1）知，△ABD ，△BDC 为等边三角形，∵点E ，F 分别是AB ，AD 中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC与△BGC中，，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选：B．【点评】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．2．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF =2S△ABE，其中结论正确的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；由正方形的性质就可以得出∠AEB=75°；设EC=x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF 和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∴CE=CF，故①正确；∵∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°，∴∠AEB=75°，故②正确；设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，∴AG≠2GC，③错误；∵CG=x，AG=x，∴AC=x∴AB=AC•=x，∴BE=x﹣x=x，∴BE+DF=（﹣1）x，∴BE+DF≠EF，故④错误；∵S△CEF=x2，S△ABE=×BE×AB=x×x=x2，∴2S△ABE ═S△CEF，故⑤正确．综上所述，正确的有3个，故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．3．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH 与AC交于点M，以下结论：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S△ACF=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•DG，其中正确结论的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①②、证明△ABH≌△ADF，得AF=AH，再得AC平分∠FAH，则AM既是中线，又是高线，得AC⊥FH，证明BH=HM=MF=FD，则FH=2BH；所以①②都正确；≠1，错误；③可以直接求出FC的长，计算S△ACF④根据正方形边长为2，分别计算CE和AF的长得结论正确；还可以利用图2证明△ADF≌△CDN得：CN=AF，由CE=CN=AF；⑤利用相似先得出EG2=FG•CG，再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1，则DG=CG，所以⑤也正确．【解答】解：①②如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，∵AE平分∠DAC，∴∠FAD=∠CAF=22.5°，∵BH=DF，∴△ABH≌△ADF，∴AH=AF，∠BAH=∠FAD=22.5°，∴∠HAC=∠FAC，∴HM=FM，AC⊥FH，∵AE平分∠DAC，∴DF=FM，∴FH=2DF=2BH，故选项①②正确；③在Rt△FMC中，∠FCM=45°，∴△FMC是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴AC=2，MC=DF=2﹣2，∴FC=2﹣DF=2﹣（2﹣2）=4﹣2，S△AFC=CF•AD≠1，所以选项③不正确；④AF===2，∵△ADF∽△CEF，∴，∴，∴CE=，∴CE=AF，故选项④正确；⑤延长CE和AD交于N，如图2，∵AE⊥CE，AE平分∠CAD，∴CE=EN，∵EG∥DN，∴CG=DG，在Rt△FEC中，EG⊥FC，∴EG2=FG•CG，∴EG2=FG•DG，故选项⑤正确；本题正确的结论有4个，故选：C．【点评】本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、相似三角形、全等三角形的性质和判定；求边时可以利用三角形相似列比例式，也可以直接利用同角三角函数列式计算；同时运用了勾股定理求线段的长，勾股定理在正方形中运用得比较多．4．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论正确的个数是（ ）①AE=BF ；②AE ⊥BF ；③sin ∠BQP=；④S 四边形ECFG =2S △BGE ．A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】首先证明△ABE ≌△BCF ，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF ；②AE ⊥BF ；△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，利用角的关系求出QF=QB ，解出BP ，QB ，根据正弦的定义即可求解；根据AA 可证△BGE 与△BCF 相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，∴CF=BE ，在△ABE 和△BCF 中，，∴Rt △ABE ≌Rt △BCF （SAS ），∴∠BAE=∠CBF ，AE=BF ，故①正确；又∵∠BAE +∠BEA=90°，∴∠CBF +∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE ⊥BF ，故②正确；根据题意得，FP=FC ，∠PFB=∠BFC ，∠FPB=90°∵CD ∥AB ，∴∠CFB=∠ABF ，∴∠ABF=∠PFB ，∴QF=QB ，令PF=k （k ＞0），则PB=2k在Rt △BPQ 中，设QB=x ，∴x 2=（x ﹣k ）2+4k 2，∴x=，∴sin=∠BQP==，故③正确； ∵∠BGE=∠BCF ，∠GBE=∠CBF ，∴△BGE ∽△BCF ，∵BE=BC ，BF=BC ， ∴BE ：BF=1：，∴△BGE 的面积：△BCF 的面积=1：5，∴S 四边形ECFG =4S △BGE ，故④错误．故选：B．【点评】本题主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．5．如图，在矩形ABCD中，BC=AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE 于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：（1）∠AEB=∠AEH （2）DH=2EH（3）OH=AE （4）BC﹣BF=EH其中正确命题的序号（）A．（1）（2）（3）B．（2）（3）（4）C．（2）（4）D．（1）（3）【分析】（1）根据矩形的性质得到AD=BC=AB=CD，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE=CD，得到等腰三角形求出∠AED=67.5°，∠AEB=67.5°，得到（1）正确；（2）设DH=1，则AH=DH=1，AD=DE=，求出HE=﹣1，得到2HE≠1，所以（2）不正确；（3）通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到（3）正确；（4）由△AFH≌△CHE，到AF=EH，由△ABE≌△AHE，得到BE=EH，于是得到BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB﹣AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，从而得到（4）不正确．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD=BC=AB=CD，∠ADC=∠BCD=90°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45°，∵AH⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形，∴AD=AH，∴AH=AB=CD，∵△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CD，∴AD=DE，∴∠AED=67.5°，∴∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AEH=∠AEB，所以（1）结论正确；（2）设DH=1，则AH=DH=1，AD=DE=，∴HE=DE﹣DH=﹣1，∴2HE=2（﹣1）=4﹣2≠1，所以（2）结论不正确；（3）∵∠AEH=67.5°，∴∠EAH=22.5°，∵DH=CD，∠EDC=45°，∴∠DHC=67.5°，∴∠OHA=180°﹣90°﹣67.5°=22.5°，∴∠OAH=∠OHA=22.5°，∴OA=OH，∴∠AEH=∠OHE=67.5°，∴OH=OE=OA，∴OH=AE，所以（3）正确；（4）∵AH=DH，CD=CE，在△AFH与△CHE中，，∴△AFH≌△CHE，∴AF=EH，在Rt△ABE与Rt△AHE中，，∴△ABE≌△AHE，∴BE=EH，∴BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB﹣AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，所以（2）不正确，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．6．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C 两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC 于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个。

特殊的四边形(压轴题)

特殊的四边形(压轴题)

特殊的四边形压轴题题一．解答题（共30小题）1．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）2．如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．3．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．4．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，现按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，a为半径（a＞AC）作弧，两弧分别交于M，N两点；②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E；③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F．（1）请在图中直线标出点F并连接CF；（2）求证：四边形BCFD是平行四边形；（3）当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形．5．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P 作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．6．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．7．如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD．（1）求证：点F是CD边的中点；（2）求证：∠MBC=2∠ABE．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM．9．如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．10．如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程．11．如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．（1）若AE=2，求EC的长；（2）若点G在DC上，且∠AGC=120°，求证：AG=EG+FG．12．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO=CG．（1）若OF=4，求FG的长；（2）求证：BF=OG+CF．13．（1）如图①，两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积．（2）如图②，正方形ABCD的边长为3，正方形CEFG的边长为1，求三角形DBF的面积．（3）如图③，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，求三角形DBF的面积．14．如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG 的中点．（1）求证：①∠1=∠2；②EC⊥MC．（2）试问当∠1等于多少度时，△ECG为等腰三角形？请说明理由．15．如图，正方形ABCD中，M为BC上除点B、C外的任意一点，△AMN是等腰直角三角形，斜边AN与CD交于点F，延长AN与BC的延长线交于点E，连接MF、CN．（1）求证：BM+DF=MF；（2）求∠NCE的度数．16．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．17．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD 平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．19．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．20．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．22．如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；（2）若BD=8cm，求线段BE的长．23．如图，菱形ABCD中，E是AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F．（1）DE和BF相等吗？请说明理由．（2）连接AF、BE，四边形AFBE是平行四边形吗？说明理由．24．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．25．如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF，连接AF、CF．（1）请你猜想图中与点F有关的一个正确结论；（2）证明你的猜想．26．如图，菱形ABCD中，点E、M在AD上，且CD=CM，点F为AB上的点，且∠ECF=∠B．（1）若菱形ABCD的周长为8，且∠D=67.5°，求△MCD的面积；（2）求证：BF=EF﹣EM．27．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边BC、CD上．（1）若AB=4，试求菱形ABCD的面积；（2）若∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF．28．（1）人教版八年级数学下册92页第14题是这样叙述的：如图1，▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，HG∥AB，图中哪两个平行四边形的面积相等？为什么？根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为和；（2）如图2，点P为▱ABCD内一点，过点P分别作AD、AB的平行线分别交▱ABCD的四边于点E、F、G、H．已知S▱BHPE=3，S▱PFDG=5，则S△PAC=；（3）如图3，若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重复、无缝隙）．已知①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD的面积为11，则菱形EFGH的周长为．29．将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，然后展开，折痕为EF，连接AE、CF，求证：四边形AECF是菱形．30．如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，AE∥DC，EC∥AD，连接DE交AC于点O，（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB=AO，求tan∠OCE的值．2017年11月04日数学1的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．已知，正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ，AH ⊥MN 于点H ．（1）如图①，当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN 时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系： AH=AB ；（2）如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN=45°，AH ⊥MN 于点H ，且MH=2，NH=3，求AH 的长．（可利用（2）得到的结论）【分析】（1）由三角形全等可以证明AH=AB ，（2）延长CB 至E ，使BE=DN ，证明△AEM ≌△ANM ，能得到AH=AB ，（3）分别沿AM 、AN 翻折△AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND ，然后分别延长BM 和DN 交于点C ，得正方形ABCE ，设AH=x ，则MC=x ﹣2，NC=x ﹣3，在Rt △MCN 中，由勾股定理，解得x ．【解答】解：（1）如图①AH=AB ．（2）数量关系成立．如图②，延长CB 至E ，使BE=DN ．∵ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠D=∠ABE=90°，在Rt △AEB 和Rt △AND 中，，∴Rt △AEB ≌Rt △AND ，∴AE=AN ，∠EAB=∠NAD ，∴∠EAM=∠NAM=45°，在△AEM 和△ANM 中，，∴△AEM ≌△ANM ．∴S △AEM =S △ANM ，EM=MN ，∵AB 、AH 是△AEM 和△ANM 对应边上的高，∴AB=AH ．（3）如图③分别沿AM 、AN 翻折△AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND ，∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°．分别延长BM 和DN 交于点C ，得正方形ABCD ，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD ．设AH=x ，则MC=x ﹣2，NC=x ﹣3，在Rt △MCN 中，由勾股定理，得MN 2=MC 2+NC 2∴52=（x ﹣2）2+（x ﹣3）2（6分）解得x 1=6，x 2=﹣1．（不符合题意，舍去）∴AH=6．【点评】主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，难度中等．2．如图，在▱ABCD 中，BC=2AB=4，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ； （2）当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积．【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，∴菱形AECF的面积为2．【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．（1）用SAS证全等；（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．3．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．【分析】（1）因为AF∥BC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC；（2）可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE（1分）∵E是AD的中点，∴AE=DE．（2分）∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．（3分）∴AF=DC，∵AF=BD∴BD=CD，∴D是BC的中点；（4分）（2）四边形AFBD是矩形，（5分）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，（6分）∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，（7分）∴四边形AFBD是矩形．【点评】本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系．4．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，现按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，a为半径（a＞AC）作弧，两弧分别交于M，N两点；②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E；③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F．（1）请在图中直线标出点F并连接CF；（2）求证：四边形BCFD是平行四边形；（3）当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）首先根据作图得到MN是AC的垂直平分线，然后得到DE等于BC的一半，从而得到DE=EF，即DF=BC，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可；（3）得到BD=CB后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵根据作图可知：MN垂直平分线段AC，∴D、E为线段AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，∵将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的像为点F，∴EF=ED，∴DF=BC，∵DE∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形；（3）当∠B=60°时，四边形BCFD是菱形；∵∠B=60°，∴BC=AB，∵DB=AB，∴DB=CB，∵四边形BCFD是平行四边形，∴四边形BCFD是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定及基本作图的知识，解题的关键是能够了解各种特殊四边形的判定定理，难度不大．5．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．【分析】（1）根据全等三角形的性质求得DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股定理即可求得；（2）方法1、过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，先证得△MDF≌△PME，求得ME=DF=，然后根据梯形的中位线的性质定理即可求得．方法2、利用三角形的外角和∠DMP=90°，得出∠DCP=90°，得出BP=BC=3，再判断出AQ=AP=2即可．【解答】解：（1）∵△CDQ≌△CPQ，∴DQ=PQ，PC=DC，∵AB=DC=5，AD=BC=3，∴PC=5，在Rt△PBC中，PB==4，∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x，在Rt△PAQ中，（3﹣x）2=x2+12，解得x=，∴AQ=．（2）方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，∵MD⊥MP，∴∠PMD=90°，∴∠PME+∠DMF=90°，∵∠FDM+∠DMF=90°，∴∠MDF=∠PME，∵M是QC的中点，∴DM=QC，PM=QC，∴DM=PM，在△MDF和△PME中，，∴△MDF≌△PME（AAS），∴ME=DF，PE=MF，∵EF⊥CD，AD⊥CD，∴EF∥AD，∵QM=MC，∴DF=CF=DC=，∴ME=，∵ME是梯形ABCQ的中位线，∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，∴AQ=2．方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点，∴DM=CM，∴∠DMQ=2∠DCQ，∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点，∴MP=CM，∴∠PMQ=2∠PCQ，∵∠DMP=90°，∴2∠DCQ+2∠PCQ=90°，∴∠PCD=45°，°∠BCP=90°﹣45°=45°，∴∠BPC=45°=∠BCP，∴BP=BC=3，∵∠CPQ=90°，∴∠APQ=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠AQP=90°﹣45°=45°=∠APQ，∴AQ=AP=2．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，梯形的中位线的性质等，（2）求得△MDF≌△PME是本题的关键．6．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．【分析】（1）利用正方形的性质证明△DGF≌△BEF即可；（2）当α=180°时，DF=BF．（3）利用正方形的性质和△DGF≌△BEF的性质即可证得是真命题．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，∴DG=BE，在△DGF和△BEF中，，∴△DGF≌△BEF（SAS），∴DF=BF；（2）解：图形（即反例）如图2，（3）解：补充一个条件为：点F在正方形ABCD内；即：若点F在正方形ABCD内，DF=BF，则旋转角α=0°．【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条件．7．如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD．（1）求证：点F是CD边的中点；（2）求证：∠MBC=2∠ABE．【分析】（1）由正方形得到AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，根据AF⊥BE，求出∠AEB=∠AFD，推出△BAE≌△ADF，即可证出点F是CD边的中点；（2）延长AD到G使BM=MG，得到DG=BC=DC，证△FDG≌△FCB，求出B，F，G共线，再证△ABE ≌△CBF，得到∠ABE=∠CBF，根据三角形的外角性质即可求出结论．（1）证明：∵正方形ABCD，∴AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，∵AF⊥BE，∴∠AOE=90°，∴∠EAF+∠AEB=90°，∠EAF+∠BAF=90°，∴∠AEB=∠BAF，∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∴∠AEB=∠AFD，∵∠BAD=∠D，AB=AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE=DF，∵E为AD边上的中点，∴点F是CD边的中点；（2）证明：延长AD到G．使MG=MB．连接FG，FB，∵BM=DM+CD，∴DG=DC=BC，∵∠GDF=∠C=90°，DF=CF，∴△FDG≌△FCB（SAS），∴∠DFG=∠CFB，∴B，F，G共线，∵E为AD边上的中点，点F是CD边的中点，AD=CD∴AE=CF，∵AB=BC，∠C=∠BAD=90°，AE=CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE=∠CBF，∵AG∥BC，∴∠AGB=∠CBF=∠ABE，∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE，∴∠MBC=2∠ABE．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，正方形的性质等知识点，综合运用性质进行证明是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC 于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM．【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，AB=BC，又BE=BF，所以△ABE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等即可证出；（2）连接DG，根据正方形的性质，AB=AD，∠DAC=∠BAC=45°，AG是公共边，所以△ABG和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等，BG=DG，对应角相等∠2=∠3，因为BG⊥AE，所以∠BAE+∠2=90°，而∠BAE+∠4=90°，所以∠2=∠4，因此∠3=∠4，根据GM⊥CF 和（1）中全等三角形的对应角相等可以得到∠1=∠BFC=∠2，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，所以DGM三点共线，因此△ADM是等腰三角形，AM=DM=DG+GM，所以AM=BG+GM．证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠BFC=∠BEA；（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，，∴△ABG≌△ADG（SAS），∴BG=DG，∠2=∠3，∵BG⊥AE，∴∠BAE+∠2=90°，∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，∴∠2=∠3=∠4，∵GM⊥CF，∴∠BCF+∠1=90°，又∠BCF+∠BFC=90°，∴∠1=∠BFC=∠2，∴∠1=∠3，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，∴∠DGC也是△CGH的外角，∴D、G、M三点共线，∵∠3=∠4（已证），∴AM=DM，∵DM=DG+GM=BG+GM，∴AM=BG+GM．【点评】本题综合性较强，主要考查正方形的性质，三角形全等的判定，三角形全等的性质，第二问中，证明三点共线是解题的关键．9．如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．（2）当DP=CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值．（3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行．解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴ME是PC的中位线，NE是PD的中位线，∴ME∥PC，EN∥PD，∴四边形PMEN是平行四边形；（2）当AP=5时，在Rt△PAD和Rt△PBC中，，∴△PAD≌△PBC，∴PD=PC，∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴NE=PM=PD，ME=PN=PC，∴PM=ME=EN=PN，∴四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN可能是矩形．若四边形PMEN是矩形，则∠DPC=90°设PA=x，PB=10﹣x，DP=，CP=．DP2+CP2=DC2 16+x2+16+（10﹣x）2=102x2﹣10x+16=0 x=2或x=8．故当AP=2或AP=8时，四边形PMEN是矩形．【点评】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质．10．如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程．【分析】利用旋转的性质以及正方形的性质进而得出等腰三角形，再利用全等三角形的判定与性质判断得出．【解答】解；图中的等腰三角形有：△DCC′，△DC′A，△C′AB，△C′BC，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=90°，∴DC=DC′=DA，∴△DCC′，△DC′A为等腰三角形，∵∠C′DC=30°，∠ADC=90°，∴∠ADC′=60°，∴△AC′D为等边三角形，∴AC′=AD=AB，∴△C′AB为等腰三角形，∵∠C′AB=90°﹣60°=30°，∴∠CDC′=∠C′AB，在△DCC′和△ABC′中，∴△DCC′≌△ABC′（SAS），∴CC′=C′B，∴△BCC′为等腰三角形．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AC′D为等边三角形是解题关键．11．如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．（1）若AE=2，求EC的长；（2）若点G在DC上，且∠AGC=120°，求证：AG=EG+FG．【分析】（1）连接EF，根据正方形的性质求出AB=AD，∠B=∠D，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而得到△AEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF，再判断出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的直角边与斜边的关系求解即可；（2）方法一：根据邻补角的定义求出∠AGF=60°，然后判断出点A、E、G、F四点共圆，从而得到∠AGE=∠AFE=60°，再求出∠CGE=60°，延长GE交AB的延长线于H，根据两直线平行，内错角相等可得∠H=∠CGE=60°，再求出∠GAF=∠HAE，然后利用“角角边”证明△AFG和△AEH全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=AH，FG=EH，从而得证；方法二：在AG上截取GH=FG，可得△FGH是等边三角形，根据等边三角形的性质可得FH=FG，∠FHG=60°，再求出∠AFH=∠EFG，然后利用“边角边”证明△AFH和△EFG全等，根据全等三角形对应边相等AH=GE，然后证明即可．【解答】（1）解：如图，连接EF，在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴EF=AE=2，∵BE=DF，BC=CD，∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EC=EF=×2=；（2）方法一：证明：∵∠AGC=120°，∴∠AGF=180°﹣∠AGC=180°﹣120°=60°，又∵△AEF是等边三角形，（已证）∴∠AEF=60°，∴点A、E、G、F四点共圆，∴∠AGE=∠AFE=60°，∴∠CGE=∠AGC﹣∠AGE=120°﹣60°=60°，如图（2）①延长GE交AB的延长线于H，∵AB∥CD，∴∠H=∠CGE=60°，∴∠H=∠AGF，又∵∠GAF+∠EAG=∠EAF=60°，∠HAE+∠EAG=∠GAB=60°，∴∠GAF=∠HAE，在△AFG和△AEH中，，∴△AFG≌△AEH（AAS），∴AG=AH，FG=EH，∵∠AGE=60°，∴△AGH是等边三角形，∵AH=GH=EG+EH=EG+FG，即AG=EG+FG．方法二：如图（2）②在AG上截取GH=FG，∵∠AGC=120°，∴∠AGF=60°，∴△FGH是等边三角形，∴FH=FG，∠FHG=60°，∵△AEF是等边三角形，∴∠AFE=60°，∴∠AFE=∠GFH=60°，∴∠AFE﹣∠EFH=∠GFH﹣∠EFH，即∠AFH=∠EFG，在△AFH和△BFG中，，∴△AFH≌△EFG（SAS），∴AH=GE，∴AG=AH+GH=EG+FG，即AG=EG+FG．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，（2）先求出四点共圆，然后求出∠AGE=∠AFE=60°，然后作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．12．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO=CG．（1）若OF=4，求FG的长；（2）求证：BF=OG+CF．【分析】（1）根据条件证明△OCF≌△GCF，由全等的性质就可以得出OF=GF而得出结论；（2）在BF上截取BH=CF，连接OH．通过条件可以得出△OBH≌△OCF．可以得出OH=OF，从而得出OG∥FH，OH∥FG，进而可以得出四边形OHFG是平行四边形，就可以得出结论．【解答】（1）解：∵CF平分∠OCE，∴∠OCF=∠ECF．∵OC=CG，CF=CF，∵在△OCF和△GCF中，，∴△OCF≌△GCF（SAS）．∴FG=OF=4，即FG的长为4．（2）证明：在BF上截取BH=CF，连接OH．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∠DBC=45°，∴∠BOC=90°，∴∠OCB=180°﹣∠BOC﹣∠DBC=45°．∴∠OCB=∠DBC．∴OB=OC．∵BF⊥CF，∴∠BFC=90°．∵∠OBH=180°﹣∠BOC﹣∠OMB=90°﹣∠OMB，∠OCF=180°﹣∠BFC﹣∠FMC=90°﹣∠FMC，且∠OMB=∠FMC，∴∠OBH=∠OCF．∵在△OBH和△OCF中，∴△OBH≌△OCF（SAS）．∴OH=OF，∠BOH=∠COF．∵∠BOH+∠HOM=∠BOC=90°，∴∠COF+∠HOM=90°，即∠HOF=90°．∴∠OHF=∠OFH=（180°﹣∠HOF）=45°．∴∠OFC=∠OFH+∠BFC=135°．∵△OCF≌△GCF，∴∠GFC=∠OFC=135°，∴∠OFG=360°﹣∠GFC﹣∠OFC=90°．∴∠FGO=∠FOG=（180°﹣∠OFG）=45°．∴∠GOF=∠OFH，∠HOF=∠OFG．∴OG∥FH，OH∥FG，∴四边形OHFG是平行四边形．∴OG=FH．∵BF=FH+BH，∴BF=OG+CF．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时采用截取法作辅助线是关键．13．（1）如图①，两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积．（2）如图②，正方形ABCD的边长为3，正方形CEFG的边长为1，求三角形DBF的面积．（3）如图③，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，求三角形DBF的面积．【分析】（1）三角形的面积为×底×高，可看出三角形DBF的底和高都是3，可求出解．（2）正方形ABCD的面积加上以CD为长CE为宽的长方形的面积减去△ABD，△BEF，△DGF的面积即可求出解．（3）两个正方形的面积减去△ABD，△BEF，△GDF的面积可求出解．【解答】解：（1）三角形DBF的面积：×3×3=．（2分）（2）三角形DBF的面积：32+3×1﹣×3×3﹣（3+1）×1﹣×2×1=．（3）三角形DBF的面积：a2+b2﹣•a•a﹣（a+b）•b﹣（b﹣a）•b=．（2分）结论是：三角形DBF的面积的大小只与a有关，与b无关．【点评】本题考查读图的能力，关键是从图中看出三角形DBF的面积由哪些图形相加减得到．14．如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG 的中点．（1）求证：①∠1=∠2；②EC⊥MC．（2）试问当∠1等于多少度时，△ECG为等腰三角形？请说明理由．【分析】（1）①根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADE=∠CDE，然后利用边角边定理证明△ADE 与△CDE全等，再根据全等三角形对应角相等即可证明；②根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠G，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC=MG，然后据等边对等角的性质得到∠G=∠MCG，所以∠2=∠MCG，然后根据∠FCG=90°即可证明∠MCE=90°，从而得证；（2）根据（1）的结论，结合等腰三角形两底角相等∠G=∠GEC，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可求解．（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE=∠CDE，AD=CD，在△ADE与△CDE，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴∠1=∠2，②∵AD∥BG（正方形的对边平行），∴∠1=∠G，∵M是FG的中点，∴MC=MG=MF，∴∠G=∠MCG，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠MCG，∵∠FCG=∠MCG+∠FCM=90°，∴∠ECM=∠2+∠FCM=90°，∴EC⊥MC；（2）解：∠1=30°时，△ECG为等腰三角形．理由如下：∵△ECG为等腰三角形，∴∠G=∠CEG，又∵∠1=∠2=∠G，∴在△ECG中，∠G+∠CEG+∠2+∠FCG=180°，即3∠1+90°=180°，解得∠1=30°．故答案为：∠1=30°时，△ECG为等腰三角形．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是综合题，但难度不大，细心分析即可找出解题思路．15．如图，正方形ABCD中，M为BC上除点B、C外的任意一点，△AMN是等腰直角三角形，斜边AN与CD交于点F，延长AN与BC的延长线交于点E，连接MF、CN．（1）求证：BM+DF=MF；（2）求∠NCE的度数．【分析】（1）截长补短类型题目，延长CD至G使DG=BM，证明△ADG≌△ABM，将BM+DF转化到一条线段GF上，再证明MF=GF；（2）过点N作NH⊥EB，证△MHN≌△ABM，再根据线段间的关系得到NH=HC，从而得到△CHN是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得∠NCE=45°．【解答】（1）证明：延长CD至G使DG=BM，在△ADG和△ABM中，，∴△ADG≌△ABM（SAS），∴AG=AM，又∵△AMN为等腰直角三角形，∴∠MAN=45°，∴∠FAD+∠MAB=45°，∵∠DAG=∠BAM，∴∠GAF=∠FAD+∠DAG=45°，∴∠GAF=∠MAN，在在△AFG和△AFM中，，∴△AFG≌△AFM（SAS），∴MF=GF，又∵GF=GD+DF，GD=BM，∴BM+DF=MF；（2）解：过点N作NH⊥EB于点H，∠AMB=180°﹣∠AMN﹣∠NMH=90°﹣∠NMH=∠MNH，在△ABM≌△MHN中，，∴△ABM≌△MHN（AAS），∴AB=MH，BM=NH，∵CH=MH﹣MC=AB﹣MC=BC﹣MC=BM=NH，∴△CHN是等腰直角三角形，∴∠NCE=∠NCG=45°．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形，然后确定出三角形全等的条件是解题的关键，也是本题的难点．16．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．【分析】（1）根据菱形的性质可得ND∥AM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根据中点的定义求出DE=AE，然后利用“角角边”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND=MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（2）连接BD，求出△ABD是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得DM⊥AB，然后根据矩形的定义证明．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，∵点E是AD中点，∴DE=AE，在△NDE和△MAE中，，∴△NDE≌△MAE（AAS），∴ND=MA，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）AM=1．理由如下：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=2，∵∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∵AM=1，AB=2，∴AM=MB=1，∴DM⊥AB，即∠DMA=90°，又∵四边形AMDN是平行四边形，∴四边形AMDN是矩形．【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键，也是本题的突破口．17．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．【分析】（1）求出∠B=∠ACB，根据三角形外角性质求出∠FAC=2∠ACB=2∠DAC，推出∠DAC=∠ACB，根据ASA证明△ABC和△CDA全等；（2）推出AD∥BC，AB∥CD，得出平行四边形ABCD，根据∠B=60°，AB=AC，得出等边△ABC，推出AB=BC即可．【解答】证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠FAC=∠B+∠ACB=2∠ACB，∵AD平分∠FAC，∴∠FAC=2∠CAD，∴∠CAD=∠ACB，∵在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（ASA）；（2）∵∠FAC=2∠ACB，∠FAC=2∠DAC，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC，∵∠BAC=∠ACD，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．【点评】考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题目比较好，综合性也比较强．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．【分析】根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出．【解答】证明：∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质等内容，注意菱形与平行四边形的区别，得出AB=BC是解决问题的关键．19．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．【分析】（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，进而得到∠AFD=∠CFE；（2）首先证明∠CAD=∠ACD，再根据等角对等边可得AD=CD，再有条件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是菱形；（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD．（1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴∠AFD=∠AFB，∵∠AFB=∠CFE，∴∠AFD=∠CFE；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，又∵∠BAC=∠DAC，∴∠CAD=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD+∠CBE=∠CDF+∠EFD，∴∠EFD=∠BCD．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结。

2014年全国中考数学压轴题60例(学生版)

2014年全国中考数学压轴题60例(学生版)

2014年全国中考数学压轴题60例1．（2014•重庆）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．2．（2014•重庆）如图1，在▱ABCD中，AH⊥DC，垂足为H，AB=4，AD=7，AH=．现有两个动点E，F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动，在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG与△ABC在射线AC 的同侧，当点E运动到点C时，E，F两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求线段AC的长；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；（3）当等边△EFG的顶点E到达点C时，如图2，将△EFG绕着点C旋转一个角度α（0°＜α＜360°），在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F′，G的对应点为G′，设直线F′G′与射线DC、射线AC分别相交于M，N两点．试问：是否存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形？若存在，请求出CM的长度；若不存在，请说明理由．3．（2014•长春）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A 出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．（1）求点N落在BD上时t的值；（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．4．（2014•达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．5．（2014•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A （3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．6．（2014•十堰）已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．7．（2014•湘西州）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B（2，﹣）和点C（﹣3，﹣3）两点均在抛物线上，点F（0，﹣）在y轴上，过点（0，）作直线l与x轴平行．（1）求抛物线的解析式和线段BC的解析式．（2）设点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G．设线段GD的长度为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？（3）若点P（m，n）是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QS⊥l，垂足为点S，过点P作PN⊥l，垂足为点N，试判断△FNS的形状，并说明理由；（4）若点A（﹣2，t）在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连接AF，当点M在何位置时，MF+MA的值最小，请直接写出此时点M的坐标与MF+MA的最小值．8．（2014•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x 轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax2+bx+c．（1）填空：△AOB≌△_________≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A （0，_________）；（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线x=2﹣，顶点随着t的增大向上移动时，求t的取值范围．9．（2014•盐城）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C 作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=2dm，AD=3dm，BD=dm．M、N 分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．10．（2014•仙桃）已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P 的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=AP时，求t的值；（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t 的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2014•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2014•成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？13．（2014•徐州）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．14．（2014•泸州）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．（1）求二次函数的最大值；（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．15．（2014•宿迁）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．16．（2014•山西）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N时抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2014•咸宁）如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t （s）．（1）∠PBD的度数为_________，点D的坐标为_________（用t表示）；（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．18．（2014•莆田）如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．19．（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．20．（2014•天水）如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．21．（2014•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B （﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2014•本溪）如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．23．（2014•荆州）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=，以O为圆心，OA 长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．（1）求证：四边形ABHP是菱形；（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．24．（2014•苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O 的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为_________°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．25．（2014•深圳）如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．26．（2014•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B 在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．27．（2014•义乌市）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．28．（2014•陕西）问题探究（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC 的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．29．（2014•泉州）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P （2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．30．（2014•临沂）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点A到直线CD的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．31．（2014•攀枝花）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM 交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG 的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．32．（2014•内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x 轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．33．（2014•宁波）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．34．（2014•南充）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD；（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．35．（2014•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，直线CD 与x轴、y轴分别交于点C，D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．（1）求点A，C的坐标；（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．36．（2014•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？37．（2014•株洲）已知抛物线y=x2﹣（k+2）x+和直线y=（k+1）x+（k+1）2．（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，求x1•x2•x3的最大值；（3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE=CG•AB，求抛物线的解析式．38．（2014•铜仁）已知：直线y=ax+b与抛物线y=ax2﹣bx+c的一个交点为A（0，2），同时这条直线与x轴相交于点B，且相交所成的角β为45°．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线y=ax2﹣bx+c的解析式；（3）判断抛物线y=ax2﹣bx+c与x轴是否有交点，并说明理由．若有交点设为M，N（点M在点N左边），将此抛物线关于y轴作轴反射得到M的对应点为E，轴反射后的像与原像相交于点F，连接NF，EF得△NEF，在原像上是否存在点P，使得△NEP的面积与△NEF的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2014•攀枝花）如图，抛物线y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D的坐标为（﹣6，0），且∠ACD=90°．（1）请直接写出A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA 的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）．记△ACD在直线m左侧部分的面积为s，求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．40．（2014•龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．（1）求点D的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．41．（2014•汕尾）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．42．（2014•连云港）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．43．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．44．（2014•济宁）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．45．（2014•吉林）如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l 叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为_________；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为_________．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．46．（2014•淮安）如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P 从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．（1）当t=_________时，△PQR的边QR经过点B；（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．47．（2014•怀化）如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC 以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在△POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．48．（2014•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x 轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）．（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．。

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与特殊四边形有关的填空压轴题2014年与特殊四边形（正多边形）有关的填空压轴题，题目展示涉及：折叠问题；旋转问题；三角形全等问题；平面展开﹣最短路径问题；动点问题的函数图象问题.知识点涉及：全等三角形的判定与性质；正方形的判定和性质；解直角三角形，勾股定理，正多边形性质；锐角三角函数.数学思想涉及：分类讨论；数形结合；方程思想.现选取部分省市的2014年中考题展示，以飨读者.【题1】(2014.年河南省第题)如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为．【考点】：翻折变换（折叠问题）．【分析】：连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．【解答】：解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC 交BC于点P，∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB﹣BM=7﹣x，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在RT△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，D′E=5﹣3=2，EN=7﹣CN﹣DE=7﹣3﹣a=4﹣a，∴a2=22+（4﹣a）2，解得a=，即DE=，②当MD′=4时，D′E=5﹣4=1，EN=7﹣CN﹣DE=7﹣4﹣a=3﹣a，∴a2=12+（3﹣a）2，解得a=，即DE=．故答案为：或．【点评】：本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．【题2】(2014年四川省绵阳市第17题)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为．【考点】：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】：根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可．【解答】：解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，由题意可得出：△DAF≌△BAF′，∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，∴∠EAF′=45°，在△FAE和△EAF′中，∴△FAE≌△EAF′（SAS），∴EF=EF′，∵△ECF的周长为4，∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，∴2BC=4，∴BC=2．故答案为：2．【点评】：此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△FAE≌△EAF′是解题关键．【题3】(2014年湖北随州第16题)如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE=x （0＜x＜2），给出下列判断：①当x=1时，点P是正方形ABCD的中心；②当x=时，EF+GH＞AC；③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是；④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确的是（写出所有正确判断的序号）．【考点】：翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．【分析】：（1）由正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以当AE=1时，重合点P是BD 的中点，即点P是正方形ABCD的中心；（2）由△BEF∽△BAC，得出EF=AC，同理得出GH=AC，从而得出结论．（3）由六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．得出函数关系式，进而求出最大值．（4）六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH++HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH）求解．【解答】：解：（1）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，∴△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，∴当AE=1时，重合点P是BD的中点，∴点P是正方形ABCD的中心；故①结论正确，（2）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，∴△BEF∽△BAC，∵x=，∴BE=2﹣=，∴=，即=，∴EF=AC，同理，GH=AC，∴EF+GH=AC，故②结论错误，（3）六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．∵AE=x，∴六边形AEFCHG面积=22﹣BE•BF﹣GD•HD=4﹣×（2﹣x）•（2﹣x）﹣x•x=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，∴六边形AEFCHG面积的最大值是3，故③结论错误，（4）当0＜x ＜2时， ∵EF+GH=AC ，六边形AEFCHG 周长=AE+EF+FC+CH++HG+AG=（AE+CF ）+（FC+AG ）+（EF+GH ）=2+2+2=4+2故六边形AEFCHG 周长的值不变， 故④结论正确． 故答案为：①④． 【点评】： 考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，本题关键是得到EF+GH=AC ，综合性较强，有一定的难度．【题4】（2014江西第13题）如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形。

若60BAD ∠=，AB=2，则图中阴影部分的面积为______.【考点】 菱形的性质，勾股定理，旋转的性质．【分析】 连接AC 、BD ，AO 、BO ，AC 与BD 交于点E ，求出菱形对角线AC 长，根据旋转的性质可知AO ⊥CO 。

在Rt △AOC 中，根据勾股定理求出Rt △AOC 的面积，再减去△ACD 的面积得阴影部分AOCD 面积，一共有四个这样的面积，乘以4即得解。

【解答】解：连接BD 、AC ，相交于点E ，连接AO 、CO 。

∵因为四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，AB ＝AD ＝2。

∵∠BAD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，BD ＝AB ＝2， ∴∠BAE ＝12∠BAD ＝30°，AE ＝12AC ，BE=DE=12BD=1，在Rt △ABE 中，AE =∴AC ＝∵菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向旋转90°，180°，270°，∴∠AOC ＝14×360°＝90°，即AO ⊥CO ，AO ＝CO在Rt △AOC 中，∵S △AOC =12AO ·CO=12，S △ADC =12AC ·DE ＝12×1∴S 阴影＝S △AOC －S △ADC =4×（312－所以图中阴影部分的面积为12－【题5】 (2014年河南省第14题)如图，在菱形ABCD 中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB ′C ′D ′，其中点C 的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 ．【考点】： 菱形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质． 【分析】： 连接BD ′，过D ′作D ′H ⊥AB ，则阴影部分的面积可分为3部分，再根据菱形的性质，三角形的面积公式以及扇形的面积公式计算即可． 【解答】： 解：连接BD ′，过D ′作D ′H ⊥AB ， ∵在菱形ABCD 中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB ′C ′D ′， ∴D ′H=， ∴S △ABD ′=1×=，∴图中阴影部分的面积为+﹣，故答案为：+﹣．【点评】： 本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．【题6】（2014•泰州第16题）如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于cm．【考点】:全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形【专题】：分类讨论．【分析】：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．【解答】：解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC=PN，在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，∴tan30°=，即DE=cm，根据勾股定理得：AE==2cm，∵M为AE的中点，∴AM=AE=cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，∵PN∥DC，∴∠PFA=∠DEA=60°，∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=，∴AP===2cm；由对称性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，综上，AP等于1cm或2cm．故答案为：1或2．【点评】：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．【题7】(2014年重庆市第18题)如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为．【考点】：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．【分析】：在BE上截取BG=CF，连接OG，证明△OBG≌△OCF，则OG=OF，∠BOG=∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在RT△BCE中，根据射影定理求得GF的长，即可求得OF的长．【解答】：解：如图，在BE上截取BG=CF，连接OG，∵RT△BCE中，CF⊥BE，∴∠EBC=∠ECF，∵∠OBC=∠OCD=45°，∴∠OBG=∠OCF，在△OBG与△OCF中∴△OBG≌△OCF（SAS）∴OG=OF，∠BOG=∠COF，∴OG⊥OF，在RT△BCE中，BC=DC=6，DE=2EC，∴EC=2，∴BE===2，∵BC2=BF•BE，则62=BF，解得：BF=，∴EF=BE﹣BF=，∵CF2=BF•EF，∴CF=，∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF=，在等腰直角△OGF中OF2=GF2，∴OF=．【点评】：本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的应用．【题8】(2014年宁夏第15题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=2，BC=5，∠BAD的平分线交BC于点E，且AE∥CD，则四边形ABCD的面积为．【考点】：平行四边形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【分析】：根据题意可以判定△ABE是等边三角形，求得该三角形的高即为等腰梯形ABCD的高．所以利用梯形的面积公式进行解答．【解答】：解：如图，过点A作AF⊥BC于点F．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，又∵∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∵AE∥CD，∴∠AEB=∠C，∵AD∥BC，AB=CD=2，∴四边形是等腰梯形，∴∠B=∠C，∴△ABE是等边三角形，∴AB=AE=BE=2，∠B=60°，∴AF=AB•sin60°=2×=，∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=EC=BC﹣BE=5﹣2=3，∴梯形的面积=（AD+BC）×AF=×（3+5）×=4．【点评】：本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的性质等．【题9】（2014•宁波第11题）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG 上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．，==．【题10】（2014•武汉第16题）如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为__________．=故答案为：【题11】（2014•苏州第17题）如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为．【考点】：矩形的性质；勾股定理．【分析】：连接BE，设AB=3x，BC=5x，根据勾股定理求出AE=4x，DE=x，求出x的值，求出AB、BC，即可求出答案．【解答】：解：如图，连接BE，则BE=BC．设AB=3x，BC=5x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3x，AD=BC=5x，∠A=90°，由勾股定理得：AE=4x，则DE=5x﹣4x=x，∵AE•ED=，∴4x•x=，解得：x=（负数舍去），则AB=3x=，BC=5x=，∴矩形ABCD的面积是AB×BC=×=5，故答案为：5．【点评】：本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出x的值，题目比较好，难度适中．【题129】（2014•枣庄第18题）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为____________cm．CD==6cmAE=cm+3+3【题13】(2014年江苏徐州第18题)如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s 的速度移动．当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为．【考点】：动点问题的函数图象．【分析】：根据从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9，求出正方形的边长，再利用三角形的面积公式得出EF所在的直线对应的函数关系式．【解答】：解：∵点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；点Q沿边AB、BC 从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．∴当P点到AD的中点时，Q到B点，从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9，∴9=×（AD）•AB，∵AD=AB，∴AD=6，即正方形的边长为6，当Q点在BC上时，AP=6﹣x，△APQ的高为AB，∴y=（6﹣x）×6，即y=﹣3x+18．故答案为：y=﹣3x+18．【点评】：本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是求出正方形的边长．。

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