模糊数学5-模糊线性规划
第五讲：模糊线性规划
换基： 换基： 因为 / 2 < 6 / 1,故 为主元素。 10 2为主元素。
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6 0 1/ 4 − 3 / 4 0 − 7.5 5 → 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1/ 2 − 1/ 2 1 1 检验数中1/4为正数，目标值非最优，需换基。 检验数中 为正数，目标值非最优，需换基。 为正数 换基： 换基： 5 1 为主元素。 因为 /(1/ 2) > 1/(1/ 2), 故 / 2为主元素。
得f0 + d0；
3.求解综合线性规划
ax m λ 1 n 1 − (∑aij x j − bi ) ≥ λ, j = 1,2,⋯, m d j i =1 1 n ( c x − f )≥λ 0 d0 ∑ i i i =1 λ ≥ 0, xi ≥ 0(i = 1,2,⋯, n) ∗ ∗ x λ 得 和 。
合线性规划即得模糊 利用单纯形法求解此综 规划的解。 规划的解。
： 模糊线性规划求解步骤
ax m f = Cx 1.求解普通线性规划 s.t. Ax ≤ b 得f0； x≥0
2.给定 i (i = 1,⋯, m), 求解普通线性规划 d
ax m f = Cx s.t. Ax ≤ b + d x≥0
ax m f = 7x1 + 3x2 ~ 3x1 + 2x2 ≤ 1500 ~ ~ x1 ≤ 400, x2 ≤ 250 x ≥ 0, x ≥ 0 2 1 ~ ~ ~ 3 模糊约束 x1 + 2x2 ≤ 1500, x1 ≤ 400, x2 ≤ 250
模糊规划
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所谓规划问题，也就是最优化问题。长期以来，最 优化思想支配着人类生存和改造世界的活动，才使 人类社会得以不断发展。最优问题，在生活、生产 和社会行为的各个方面都普遍存在，因此优化是人 们普遍的思想。以前解决规划问题的常用的数学方 法，叫线性规划．这是用线性方程来研究规划问题 的方法。经典规划问题的目标函数和约束条件都是 明确的，但是，在实际问题中常常碰到模糊的目标 函数和约束条件，从面提出了模糊的规划问题，即 用模糊集方法来求解模糊最优化问题。
求一组变量(x1,x2,…, xn)使目标函数最大,且满足约 束条件.用矩阵可以表示为
Ax b
max
s Cx
s.t.
x
0
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为方便求解,需将不等式化为等式(加入松弛变量) (1)若 ak1 x1 ak2 x2 ... akn xn bk 可加入变量xn+k使得
ak1 x1 ak 2 x2 ... akn xn xnk bk
2. 可行解集中的点x是极点的充分必要条件是x为基 础可行解;
3. 线性规划问题的最优值仅在某极点上达到.
上述性质的证明见有关”线性规划”的书, 根据性 质3,求线性规划问题的最优解,只需从可行解集的 极点(基础可行解)中去找.
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经典线性规划-解法-图解法
例 max s=1.5x1+1.0x2 约束条件
(2)若 ak1 x1 ak2 x2 ... akn xn bk 可加入变量xn+k使得 ak1 x1 ak 2 x2 ... akn xn xnk bk
线性规划的标准形式为(松弛变量在目标函数中的系数为0)
第5章 模糊线性规划
求解多目标线性规划 (1) 例 解多目标线性规划问题(P204)
解
⑴ 解普通线性规划
求解多目标线性规划 (2) ⑵ 解普通线性规划
求解多目标线性规划 (3)
求解多目标线性规划 (4) ⑶ 再分别将两个目标函数模糊化
求解多目标线性规划 (5) ⑷ 采用对称型模糊判决,即将所有目标函数 与所有约束条件平等看待,然后解普通线性规划
⑴ 问题的简述
购买Si要付交易费,费率为pi ,并且当购买额不超过 给定值 ui 时,交易费按购买 ui 计算(不买当然无须付费). 另外, 假定同期银行存款利率是 r0 (r0 = %5),且既无交 易费又无风险. 已知 n = 4 时相关数据如表.试设计一种投资组合方 案,即用给定的资金 M,有选择地购买若干种资产或存 银行生息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小.
第5章 模糊线性规划
重点：理解线性规划模型的原理 掌握模糊线性规划求解的方法 难点：模糊线性规划求解
5.1 线性规划模型简介
5.1.1 线性规划问题的数学模型
最优生产计划的数学模型
目标函数 约束条件
运输问题
运输问题的数学模型
线性规划问题的数学模型
线性规划问题转换方法
单纯形解法
大M单纯形解法
第5章 重要概念与公式方法 线性规划模型 模糊化的方法 模糊线性规划求解的方法 多目标线性规划求解的方法 模糊数的隶属函数
风险投资策略 ⑴ 问题的简述 市场上有n种资产(如股票、债券等)Si ( i = 1, 2, …, n) 供投资者选择,某公司有数额为M的一 笔相当大的资金可用作一个时期的投资. 公司财务分析人员对这n种资产进行了评估, 估算出在这一时期内购买 Si 的平均收益率为ri , 并预测出购买 Si 的风险损失率为qi . 考虑到投资越分散,总的风险越小.公司确定 当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用 所投资的 Si 中最大的一个风险来度量.
几种模糊多属性决策方法及其应用
几种模糊多属性决策方法及其应用一、本文概述随着信息时代的快速发展，决策问题日益复杂，涉及的属性越来越多，决策信息的不确定性也越来越大。
在这种背景下，模糊多属性决策方法应运而生，成为解决复杂决策问题的重要工具。
本文旨在探讨几种典型的模糊多属性决策方法，包括模糊综合评价法、模糊层次分析法、模糊集结算子等，并分析它们在实际应用中的优势和局限性。
本文首先介绍了模糊多属性决策方法的基本概念和理论基础，为后续研究提供必要的支撑。
接着，详细阐述了三种常用的模糊多属性决策方法，包括它们的原理、步骤和应用范围。
在此基础上，通过案例分析，展示了这些方法在实际应用中的具体运用和取得的效果。
通过本文的研究，读者可以深入了解模糊多属性决策方法的原理和应用，掌握其在实际问题中的使用技巧，为解决复杂决策问题提供有力支持。
本文也为进一步研究和改进模糊多属性决策方法提供了参考和借鉴。
二、模糊多属性决策方法概述模糊多属性决策（Fuzzy Multiple Attribute Decision Making，FMADM）是一种处理不确定性、不精确性和模糊性的决策分析方法。
在实际问题中，由于信息的不完全、知识的局限性或环境的动态变化，决策者往往难以获取精确的属性信息和权重信息，这使得传统的多属性决策方法难以应用。
模糊多属性决策方法通过引入模糊集理论，能够更好地处理这种不确定性和模糊性，为决策者提供更合理、更可靠的决策支持。
模糊多属性决策方法的核心思想是将决策问题中的属性值和权重视为模糊数，利用模糊集理论中的运算法则进行决策分析。
根据不同的决策目标和背景，模糊多属性决策方法可以分为多种类型，如模糊综合评价、模糊多目标决策、模糊群决策等。
这些方法在各自的领域内都有着广泛的应用，如企业管理、项目管理、环境评估、城市规划等。
在模糊多属性决策方法中，常用的模糊数有三角模糊数、梯形模糊数、正态模糊数等。
这些模糊数可以根据实际问题的需要选择合适的类型，以更好地描述属性值的不确定性和模糊性。
模糊线性规划实验报告
姓名： 学号：实验二 求解模糊线性规划实验目的：掌握将模糊线性规划转化为一般线性规划的方法，会使用数学软件Matlab 工具箱求解一般线性规划. 实验学时：2学时 实验内容：将已知模糊线性规划问题标准化后，再用Matlab 工具箱求解相应的各个线性归化问题，最后得到模糊最优解。
实验日期：2017年12月02日实验步骤： 1 问题描述：某种药物主要成分为A 1、A 2、A 3，含量分别为585±-1mg 盒∙、5100±-1mg 盒∙、10100±-1mg 盒∙。
这三种成分主要来自五种原材料B 1、B 2、B 3、B 4、B 5，各种原表一2 解决步骤设成本为)(b f ，买入原材料B 1、B 2、B 3、B 4、B 5分别为54321b b b b b 、、、、千克。
为使成本最小，建立如下模糊线性规划模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++++=++++=++++++++=0,,,,]10,100[200120150120001]5,010[601609015008]5,85[120801206085.8.17.16.15.11.3)(min 5432154321543215432154321b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b t s b b b b b b f（1）求解没有伸缩率经典线性规划:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++++=++++=++++0,,,,10020012015012000110060160901500885120801206085.54321543215432154321b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b t s使用Matlab 实现代码如下：实验结果：图一 没有伸缩率经典线性规划求解结果因此我们可以得知：0000.0b 3021.00.00000000.01.014454321=====、、、、b b b b 从而得到最优解：1.8322)(=b f（2）求解有伸缩率的普通线性规划:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥++++≤++++≥++++≤++++≥++++≤++++0,,,,90200120150120001110200120150120001956016090150081056016090150088012080120608590120801206085.54321543215432154321543215432154321b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b t s使用Matlab 实现代码如下：实验结果：图二 有伸缩率的普通线性规划求解结果因此我们可以得知：0000.0b 3500.00.43330000.00.000054321=====、、、、b b b b 从而得到最优解：1.2883)(=b f（3）0.54391.2883-1.8322==d ，最后求解线性规划：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-++++≤+++++≥-++++≤+++++≥-++++≤+++++≤+++++0,,,,,9010200120150120001110102001201501200019556016090150081055601609015008805120801206085905120801206085 1.83220.54398.17.16.15.11.3.min 5432154321543215432154321543215432154321λλλλλλλλλb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b t s使用Matlab 实现代码如下：实验结果：图三 最后求解线性规划因此我们可以得知：0000.0b 3482.00.00000000.00.756554321=====、、、、b b b b 从而得到最优解：1.3826)(=b f实验心得：通过这次实验，让我学会了如何解决实际问题中的约束条件可能带有弹性、目标函数可能不是单一的、价值系数可能带有模糊性的模糊线性规划。
模糊数学5-模糊线性规划
具体形式
例1. 解模糊线性规划
m a x s x1 4 x 2 6 x 3 x1 x 2 x 3 8 ~ x1 6 x 2 x 3 6 ~ s .t . x 1 -3 x 2 -x 3 4 ~ x 1 ,x 2 , x 3 0
乙
1.4 0.6 0.8 8
丙
1.5 0.8 0.8 10
丁
单位时段可 供使用或必 须使用时数
2100
1000 1300
解：设甲、乙、丙、丁四种产品的产量分别为x1,x2,x3,x4 maxf=12x1+15x2+8x3+10x4
x 1 1 . 2x 2 1 . 4x 3 1 . 5x 4 2100 0 . 5x 1 0 . 6x 2 0 . 6x 3 0 . 8x 4 1000 s.t. 0 . 7x 1 0 . 7x 2 0 . 8x 3 0 . 8x 4 1300 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
玉米
发热量 蛋白含量 4Mcal/kg 90g/kg
大豆饼
2Mcal/kg 300g/kg
配比要求
>2.8Mcal/kg > 220g/kg
价格
2元/kg
1.6元/kg
解：设1公斤混合饲料中玉米为x1,大豆饼为x2,
目标函数为：z=2x1+1.6x2
s.t. 4x1+2x2 2.8
90x1+300x2
最优值为z2=20，此时z1=10 兼顾两个目标函数可知 z 1 [ 2 , 1 0 ], z 2 [ 8 , 2 0 ]
d 于是选取伸缩分别为： 1 10 2 8 , d 2 20 8 12
模糊数学教学大纲
《模糊数学》教学大纲院系名称数学与应用数学系制定人董媛媛制定时间 2008年7月6日《模糊数学》教学大纲一、总则1、课程代码：2、课程名称：中文名称：模糊数学英文名称：Fuzzy Mathematics3、开课对象：数学与应用数学专业的本科生4、课程性质：专业任选课模糊数学诞生于1965年，40余年来，它的思想已广泛渗透到数学的许多分支，在科技、工程等领域显示出了强大的生命力，并在人文科学（经济、管理、社会等）领域里，也已获得了相当多的应用。
本课程是数学系专业选修课，为数学系本科数学与应用数学专业四年级学生所选修。
5、教学目的和要求：通过本门课程的学习：（1）了解和掌握模糊集合，模糊关系，模糊矩阵，模糊聚类与模糊变换等基本概念和基本理论；掌握模糊聚类分析，模糊模型识别，模糊决策的实际应用所运用的模糊数学方法；初步了解模糊规划及模糊控制理论，并运用上述有关理论和方法进行进一步的科学研究与实际应用；（2）掌握模糊数学有关方面的理论知识和处理模糊现象的基本思维方法；（3）培养学生的抽象概括问题、自我学习接受知识的能力及科学研究能力；同时培养学生综合运用所学知识分析并通过相关数学模型的建立与运用进而解决生活中实际问题的能力。
（4）提高学生的素质，为部分考研学生的后继学习以及将来从事科学研究等工作奠定必要的数学基础。
6、教学内容：本课程主要研究了利用用模糊数学的知识来解决实际问题的理论及其方法。
主要内容有：模糊集合的基本概念、模糊聚类分析、模糊模型识别、模糊决策、模糊线性规划、模糊控制。
7、教学重点与难点：重点：通过本课程的学习，掌握模糊数学的基本思想，基础理论，从而进一步了解模糊理论的基本应用，能够运用模糊理论解决生活中的实际问题。
难点：模糊数学的基本理论及如何正确运用这些理论知识来解决实际问题。
8、先修课程：数学分析、高等代数、概率论与数理统计、运筹学。
9、教学时数教学时数：36学时学分数： 2学分教学时数具体分配：10、教学方式：课堂讲授+习题课，课外作业及批改。
模糊规划的理论方法及应用
模糊规划的理论方法及应用模糊规划是一种将模糊数学方法应用于决策问题的数学工具。
相比于传统的决策方法，模糊规划考虑到了决策者在面对不确定性和模糊性时的主观认知和感知能力，并利用模糊集合理论来解决这些问题。
本文将介绍模糊规划的理论方法及其在实际应用中的例子。
一、模糊规划的基本概念与原理1. 模糊集合理论模糊集合理论是模糊规划的理论基础，它是Lotfi Zadeh于1965年提出的。
在传统的集合论中，一个元素只能属于集合A或者不属于集合A，而在模糊集合论中，每个元素都有属于集合A的程度或者隶属度。
通过定义隶属函数来刻画元素对一个集合的隶属程度，该函数的取值范围通常是[0,1]。
2. 模糊规划的基本步骤模糊规划的基本步骤包括问题定义、模糊关系构建、决策矩阵建立、权重确定、模糊规则制定、规则评价、推理运算及解的评价等。
其中，模糊关系的建立和模糊规则的制定是模糊规划的核心。
通过对问题的抽象和建模，将模糊的问题转化为可计算和可处理的数学模型，从而能够得出合理的决策结果。
二、模糊规划的实际应用1. 市场营销决策在市场营销中，决策者往往需要面对很多模糊的信息，例如消费者的购买意愿、市场竞争环境等。
模糊规划可以帮助决策者进行市场细分、产品定价、促销策略等决策，从而提高市场的竞争力。
比如，通过模糊规划的方法，可以根据消费者的购买意愿和价格敏感度，确定合适的产品定价，并通过促销策略来满足不同消费者群体的需求。
2. 资源调度问题在资源调度问题中，决策者需要考虑多个因素，例如人力资源、物资配送等。
这些因素往往存在模糊性和随机性，传统的数学模型很难对其进行准确建模和求解。
而模糊规划可以通过考虑不确定性因素，使决策结果更加稳健和鲁棒。
比如，在人力资源调度中，通过模糊规划可以考虑员工的技能水平、工作经验等因素，使得调度结果更加符合实际情况。
3. 供应链管理问题供应链管理中涉及到多个环节和参与方，存在着各种不确定性和模糊性。
模糊规划可以帮助决策者在不确定的环境下进行供应链规划、库存管理、物流优化等决策，从而提高供应链的运作效率和灵活性。
模糊数学实验报告三 模糊决策与糊线性规划
实验三 模糊决策与糊线性规划实验目的：会用模糊综合评判模型进行综合评判，掌握将模糊线性规划转化为一般线性规划的方法，会使用数学软件Lindo 求解一般线性规划.实验学时：4学时实验内容：⑴ 教学过程的综合评判等.⑵ 将已知模糊线性规划问题用C 语言编程生成Lindo 软件的数据格式，再用Lindo 软件求解.⑶ 编程求解模糊关系方程的最大解.实验日期：2015年11月6日操作步骤：将模糊线性规划问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=--≥+-≤+++-=.0,,],5.0,4[3],1,6[6],2,8[..,64max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x f 转化为普通线性规划问题，并用Lindo 软件求解.用C 语言编程生成Lindo 软件的数据格式#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){double c[]={1,-4,6};//目标系数double A[3][3]={1,1,1,1,-6,1,1,-3,-1};//技术系数矩阵double b[]={8,6,-4};//目标右端常数double fc=38;//第一个线性规划问题的最优值double dc=8.25;//第一、二个线性规划问题的最优值之差double d[]={2,1,0.5};//伸缩指标char opt=1;//0表示min;1表示maxchar cont[]={-1,1,0};//约束条件-1表示≤;0表示=;1表示≥int m=3,n=3;//m 约束条件个数;n 变量个数FILE *fp;int i,j;fp=fopen("xxxx.txt","w");if(opt)fprintf(fp,"Max ");else fprintf(fp,"min ");for(j=0;j<n;j++){if(c[j]==0)continue;if(j&&c[j]>0)fprintf(fp,"+");else if(c[j]<0)fprintf(fp,"-");fprintf(fp,"%6.4fx%d",fabs(c[j]),j+1);}fprintf(fp,"\ns.t. ");for(i=0;i<m;i++){for(j=0;j<n;j++){if(A[i][j]==0)continue;if(j&&A[i][j]>0)fprintf(fp,"+");else if(A[i][j]<0)fprintf(fp,"-");fprintf(fp,"%6.4fx%d",fabs(A[i][j]),j+1);}if(cont[i]==-1)fprintf(fp,"<");else if(cont[i]==0)fprintf(fp,"=");else fprintf(fp,">");fprintf(fp,"%6.4f\n",b[i]);}fprintf(fp,"\n\n\n");if(opt)fprintf(fp,"Max ");else fprintf(fp,"min ");for(j=0;j<n;j++){if(c[j]==0)continue;if(j&&c[j]>0)fprintf(fp,"+");else if(c[j]<0)fprintf(fp,"-");fprintf(fp,"%6.4fx%d",fabs(c[j]),j+1);}fprintf(fp,"\ns.t. ");for(i=0;i<m;i++){for(j=0;j<n;j++){if(A[i][j]==0)continue;if(j&&A[i][j]>0)fprintf(fp,"+");else if(A[i][j]<0)fprintf(fp,"-");fprintf(fp,"%6.4fx%d",fabs(A[i][j]),j+1);}if(cont[i]==-1)fprintf(fp,"<%6.4f\n",b[i]+d[i]);else if(cont[i]==0){fprintf(fp,"<%6.4f\n",b[i]+d[i]);for(j=0;j<n;j++){if(A[i][j]==0)continue;if(j&&A[i][j]>0)fprintf(fp,"+");else if(A[i][j]<0)fprintf(fp,"-");fprintf(fp,"%6.4fx%d",fabs(A[i][j]),j+1);}fprintf(fp,">%6.4f\n",b[i]-d[i]);}else fprintf(fp,">%6.4f\n",b[i]-d[i]);}fprintf(fp,"\n\n\n");fprintf(fp,"Max lmd");fprintf(fp,"\ns.t. ");for(j=0;j<n;j++){if(c[j]==0)continue;if(j&&c[j]>0)fprintf(fp,"+");else if(c[j]<0)fprintf(fp,"-");fprintf(fp,"%6.4fx%d",fabs(c[j]),j+1);}if(opt)fprintf(fp,"-%6.4flmd>%6.4f\n",dc,fc);else fprintf(fp,"+%6.4flmd<%6.4f\n",dc,fc);for(i=0;i<m;i++){for(j=0;j<n;j++){if(A[i][j]==0)continue;if(j&&A[i][j]>0)fprintf(fp,"+");else if(A[i][j]<0)fprintf(fp,"-");fprintf(fp,"%6.4fx%d",fabs(A[i][j]),j+1);}if(cont[i]==-1)fprintf(fp,"+%6.4flmd<%6.4f\n",d[i],b[i]+d[i]);else if(cont[i]==0){fprintf(fp,"+%6.4flmd<%6.4f\n",d[i],b[i]+d[i]);for(j=0;j<n;j++){if(A[i][j]==0)continue;if(j&&A[i][j]>0)fprintf(fp,"+");else if(A[i][j]<0)fprintf(fp,"-");fprintf(fp,"%6.4fx%d",fabs(A[i][j]),j+1);}fprintf(fp,"-%6.4flmd>%6.4f\n",d[i],b[i]-d[i]);}else fprintf(fp,"-%6.4flmd>%6.4f\n",d[i],b[i]-d[i]);}fclose(fp);}结果：C语言编程生成的Lindo软件数据格式：Max 1.0000x1-4.0000x2+6.0000x3s.t. 1.0000x1+1.0000x2+1.0000x3<8.00001.0000x1-6.0000x2+1.0000x3>6.00001.0000x1-3.0000x2-1.0000x3=-4.0000Max 1.0000x1-4.0000x2+6.0000x3s.t. 1.0000x1+1.0000x2+1.0000x3<10.00001.0000x1-6.0000x2+1.0000x3>5.00001.0000x1-3.0000x2-1.0000x3<-3.50001.0000x1-3.0000x2-1.0000x3>-4.5000Max lmds.t. 1.0000x1-4.0000x2+6.0000x3-8.2500lmd>38.00001.0000x1+1.0000x2+1.0000x3+2.0000lmd<10.00001.0000x1-6.0000x2+1.0000x3-1.0000lmd>5.00001.0000x1-3.0000x2-1.0000x3+0.5000lmd<-3.50001.0000x1-3.0000x2-1.0000x3-0.5000lmd>-4.5000求解结果：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 38.00000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.000000 0.000000X2 0.000000 15.000000X3 6.000000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 3.5000003) 2.000000 0.0000004) 0.000000 -2.500000NO. ITERATIONS= 2RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASE X1 1.000000 15.000000 7.000000X2 -4.000000 15.000000 INFINITYX3 6.000000 INFINITY 7.000000RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 8.000000 INFINITY 2.0000003 6.000000 2.000000 INFINITY4 -4.000000 12.000000 4.000000OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 46.25000VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 2.750000 0.000000X2 0.000000 15.000000X3 7.250000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 3.5000003) 5.000000 0.0000004) 1.000000 0.0000005) 0.000000 -2.500000NO. ITERATIONS= 1RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASE X1 1.000000 5.000000 7.000000X2 -4.000000 15.000000 INFINITYX3 6.000000 INFINITY 5.000000RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 10.000000 INFINITY 5.0000003 5.000000 5.000000 INFINITY4 -3.500000 INFINITY 1.0000005 -4.500000 1.000000 5.500000 VARIABLE VALUE REDUCED COSTLMD 0.500000 0.000000X1 2.375000 0.000000X2 0.000000 0.909091X3 6.625000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 -0.0606063) 0.000000 0.2121214) 3.500000 0.0000005) 0.500000 0.0000006) 0.000000 -0.151515NO. ITERATIONS= 4RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASE LMD 1.000000 INFINITY 1.000000X1 0.000000 0.246914 0.622222X2 0.000000 0.909091 INFINITYX3 0.000000 0.800000 0.487805RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 38.000000 8.250000 8.2500003 10.000000 2.357143 2.3571434 5.000000 3.500000 INFINITY5 -3.500000 INFINITY 0.5000006 -4.500000 0.589286 3.870370所以最优解是2.375*1+(-4)*0+6*6.625=42.125。
数学建模-模糊数学
取论域U={全岛刮胡子的人}，
集合A={不给自己刮胡子的人}，用特征函数刻画为
A
(某人 )
1, 0,
某人不给自己刮胡子 某人给自己刮胡子
问题：显然理发师 U ，那么理发师是否属于A？
模糊集合及其运算
二、模糊集合及其运算 美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的
“非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数 概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以 中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。 基于此，1965年， Zadeh教授在《Information and Control》杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”, 标志着模糊数学的诞生。
1 0.4 0.8 0.5 0.5 0.4 1 0.4 0.4 0.4
R 0.8 0.4 1 0.5 0.5
0.5 0.4 0.5 1 0.6
0.5 0.4 0.5 0.6 1
当 1时，分类为{ x1},{ x2 },{ x3 },{ x4 },{ x5 };
模糊聚类分析
例：设有模糊相似矩阵
1 0.1 0.2 R 0.1 1 0.3
0.2 0.3 1
1 0.2 0.2
R
R
0.2
1
0.3
R2
0.2 0.3 1
R2
R2
1 0.2
0.2 1
0.2 0.3
R2
t ( R).
在实际问题中，不同的数据一般有不同 的量纲，为了使有不同量纲的量能进行比较， 需要将数据规格化，常用的方法有：
模糊决策与分析方法
例如：• L(x) max 0，1 x p ，( p 0)，
当p 1时，图形如下：
• L(x) exp( x p )( p 0)
（2）L－R型模糊数
设L和R为模糊数的参照函数，若模糊数I的隶属函数为
为模糊数。
（2）区间数 任意闭区间[a，b]是模糊数，称区间数。 区间数也可记[a, a],其中a和a分别为下限和上限； 还可记A= m(A), w( A) ,其中m和w分别为中点和半宽。 区间数的运算：设[a，b]，[c，d ]为二区间数。则 •[a，b] [c，d ] [a c，b d ] •[a，b] [c，d ] [a d，b c] •[a，b][c，d ] [min(ac，ad，bc，bd )，max(ac，ad，bc，bd )]
2、模糊数 (1)模糊数
R1中的正则模糊集I，若其任意截集I是一个闭区间， 则称I是一个模糊数。 [0，1]
几何表示：（模糊数与凸模糊集的区别）
是开区间
1
1
比较：
模糊数
正则，即的最大值为1 左（右）连续
凸模糊集
的最大值可以小于1
A
可以开，故
可以左（右）侧不连续
A
故模糊数必然为凸模糊集，但凸模糊集不一定
优化
应用：模糊决策与分析
评价 预测
控制
一、模糊集及其隶属函数
1、论域X（研究对象的全体、全集）
普通集A：边界清晰 模糊集A：边界模糊 2、特征函数与隶属函数
A A X
A的特征函数
A
(
x)
1 0
x A x A
第五章 模糊规划
第五章 模糊规划简介第一节 模糊极值第二节 具有弹性约束的模糊规划 第三节 具有模糊系数的模糊规划第一节 模糊极值以条件极大值为例来进行讨论。
一、有界函数的极值和模糊极值定义 1 设 R X f →:； )(x f x ，为有界函数，令)}(max )({**x f x f x M Xx f ∈==， （5.1）称M 为f 的优越集。
)(max )(**x f x f y Xx ∈==为函数的极值（最大值）。
显然)(}{*M f y =。
定义种指的是经典极值的概念。
当M x ∈我们达到了最优目标，当M x ∉时，虽然未达到最优目标，但是各点程度确有很大的差别。
为了全面反映各点的优越程度，可以设想一个模糊优越集，以它的隶属函数来表示各点的优越程度。
)(x f 达到最大值的点隶属度为1，)(x f 达到最小值的点隶属度为0，其它的点的隶属度介于区间)1,0(内。
定义2 设R X f →:为有界函数，构造模糊集如下：X x x f x f x f x f x M f ∈∀--=,)(inf )(sup )(inf )()(~， （5.2）称f M ~为函数)(x f 的无条件模糊优越集，并称)~(f M f 为函数)(x f 的无条件模糊极大值，其中R y x M y M f f x f y f ∈∀=∨=,)(~))(~()(， （5.3）当)(max )(1x f x f Xx ∈=，1)(~1=x M f ；当)(min )(2x f x f Xx ∈=，0)(~2=x M f ；当)()(21x f x f ≥，时)(~)(~21x M x M f f ≥。
因此)(~x M f 反映了在模糊意义下x 的优越程度。
))(~(y M f f 反映了在模糊意义下，y 对)(x f 的模糊极大值的隶属程度。
二、普通限制下，目标函数的极值与模糊极值定义3 设目标函数R X f →:，而X A ⊂为限制条件，令)}(max )(,{****x f x f A x x M Ax ∈=∈=， （5.4）若φ≠*M ，则称*M 为f 在A 上的优越集，称为)(max *x f y Ax ∈=为f 在A 上的条件极大值。
模糊数学例子
模糊识别作业一湖水总磷含量表杭州西湖I 武汉东湖 青海湖 巢湖 滇池总磷含量mg/L130 105 20 30 20湖水评价等级表极贫营养A贫营养B 中营养C 富营养D 极富营养 E总磷含量< 1 4 23110> 660各个湖水评价等级（由极贫营养到极富营养）其隶属函数依次如下:1 ：： x< 44 ：： x ：： 23x_23\ -110550气&） = « 1试借助最大隶属原则，依据湖水总磷含量确定各个湖湖水的等级。
1 ...... 4 ■:■■.■X -X -13 23— x x 「4 19 110 —x 87 0 4 ：： x _23 4 :: x :: 23 其他»D （X ）= *x — 233 660 -x550 023 ： x ^110 110 ： x ：： 660110 ：： x 乞660x 660 19 0模糊识别作业现有茶叶等级标准样品五种：A B C D E，其中放映茶叶质量的因素论域为U，U =「条索色泽净度汤色香气滋味二假设各个等级的模糊集为：A = (0.5 0.4 0.3 0.6 0.5 0.4)B = (0.3 0.2 0.2 0.1 0.2 0.2)C= (0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2)D =(0 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1)E=(0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1)现有一样品，其模糊集为：L =(0.4 0.2 0.1 0.4 0.5 0.6)试依据择近原则确定该样本属于哪一等级。
模糊聚类分析作业一下表表示的是某地区12个县从1981 —1990年的降水量，试根据以下数据, 按降水量将12个县进行分类通过数据标准化，构建模糊相似矩阵，合成模糊等价矩阵，基于模糊等价矩阵，选取适当的'值，进行模糊聚类分析，给出分类结果模糊聚类分析作业F表是2002年安徽省各地市工业企业效益指标利用C均值进行聚类分析，给出分类结果模糊综合评价作业一下表反映的是上海，北京，天津，云南的科技技术进步情况，请进行综合评价，确定这四个地区的排名。
模糊数学建模方法
将原问题转化为普通的线性规划问题： 将原问题转化为普通的线性规划问题： 线性规划问题
max λ 3 x1 + 2 x2 + 50λ ≤ 1500 + 50 x1 + 5λ ≤ 400 + 5 s .t . x2 + 5λ ≤ 250 + 5 7 x + 3 x − 87.5λ ≤ 3250 2 1 m xZ = λ a λ , x1 , x2 ≥ 0 a ∑ x +d λ ≤ b +d
模糊线性规划转化成普通线性规划的规律
2. 模糊约束转化为普通约束 a) 当第 个模糊约束为 ix≥[bi ,di]时，转化为普通约束为 当第i个模糊约束为 个模糊约束为a 时 aix-diλ≥bi-di; b) 当第 个模糊约束为 ix ≤ [bi ,di]时，转化为普通约束为 当第i个模糊约束为 个模糊约束为a 时 aix+diλ≤ bi+di; c) 当第 个模糊约束为 ix = [bi ,di]时，现将 ix = [bi ,di]转化成 当第i个模糊约束为 个模糊约束为a 时 现将a 转化成 两个模糊约束a 两个模糊约束 ix≥[bi ,di]和aix ≤ [bi ,di]，然后按 和b)处理 和 ，然后按a)和 处理
n
j
≤b i
b <∑ ij xj ≤ b +di a i i
∑a x
j=1 ij
n
j
> b +di i
其中d 是适当选择的常数，叫做伸缩指标。 其中 i是适当选择的常数，叫做伸缩指标。
目标函数的模糊化： 目标函数的模糊化： 先求普通的线性规划问题
m Z =C ax x X A ≤ b x ≥ 0 (1)
教学大纲_模糊数学
《模糊数学》教学大纲课程编号：121082B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□√专业选修课□学科基础课总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0学分：2适用对象：金融数学专业先修课程：数学分析、高等代数、概率论与数理统计毕业要求：1.掌握数学、统计及计算机的基本理论和方法2.具备国际视野，能够与同行及社会公众进行有效沟通和交流一、教学目标模糊数学是统计学院金融数学专业选修的基础课之一。
通过本课程的学习，使学生对模糊数学的原理和思想方法有一个基本的认识。
掌握应用模糊数学的原理分析和解题的基本技巧。
了解模糊数学方法在各个领域的应用，为应用模糊数学知识解决问题打下基础。
二、教学基本要求本课以课堂讲授为主。
适当补充一些模糊数学在实际中应用的实例，理论联系实际。
在各章中均可安排一些内容引导学生自学，通过布置作业和讨论题，提高学生自己解决问题与分析问题的能力。
同时，也可适当让学生自己来寻找一些实际问题，应用学过的知识来进行分析、综合、评判，以期达到更好的巩固、应用的目的。
(一) 模糊数学的基本理论和基本原理1、模糊集合是处理模糊事物的新的数学概念，是模糊数学的基础。
理解模糊集的定义、表示方法、模糊集的运算。
了解模糊算子的定义及各种模糊算子，了解模糊集的模糊度定义。
2、理解模糊集截集的定义及性质，掌握模糊数学的基本原理：分解定理（联系普通集与模糊集的桥梁）、扩张原理。
了解模糊数及模糊数的运算。
(二) 模糊数学方法及其在各领域中的应用1、理解模糊关系的概念及性质，深入理解在有限域的情况下，模糊关系可以用矩阵表示。
理解模糊关系合成的定义及性质。
理解掌握贴近度概念及最大隶属原则和择近原则。
了解模糊变换以及模糊控制。
2、对于模糊数学方法的应用。
重点掌握模糊模式识别、模糊聚类分析、模糊综合评判决策，以及了解它们在不同领域的应用举例。
每章节后的习题要求全部完成；本课程建议使用形成性和终结性考试相结合，并各占50%比例。
M02-5 模糊线性规划
6/43
⑤输出x是最优解，fval是最优值; ⑥输出exitflag描述了程序的运行情况，若其值大于 零，表示程序收敛到最优解x；若其值等于零， 表示计算达到了最大次数；若其值小于零，表示 问题无可行解，或程序运行失败; ⑦ 输出output表示程序运行的某些信息，如迭代次 数(iterations)、所用算法(algorithm)、共轭梯度 (cgiterations)等; ⑧ lambda表示解x处的拉格朗日乘子，其中lower, upper, ineqlin, eqlin分别对应于下界、上界、 不等式约束与等式约束;
Reduced Cost 0.000000 6.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 -8.666667 -1.000000 2 0.000000 0.3333333 3 0.000000 1.666667 4 2.000000 0.000000 5 4.333333 0.000000
6 April 2019
8/43
[x,fval]=linprog(f,A,b): 用于不等式约束，求目标函数 minfTx最小值; x：最优解;
fval: 目标函数最小值; [x,fvel]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
用于等式、不等式约束，求目标函数最 小值，若没有等式约束 ，则Aeq,beq要 用空矩阵[ ]代替。
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5
模糊集合 判别分析法 模糊聚类分析 模糊综合评价 模糊线性规划
Fuzzy mathematical model and its application
2/43
引言 一、普通线性规划 及其Lingo实现
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2 x1 2 x 2 x 3 1 2 x1 0 , x 2 0 , x 3 5
lb=[0,0,-inf];ub=[inf,inf,5];
[x,z]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Optimization terminated.
x = 4.6667 0.0000 0.6667 z =-8.6667
乙
1.4 0.6 0.8 8
丙
1.5 0.8 0.8 10
丁
单位时段可 供使用或必 须使用时数
2100
1000 1300
解：设甲、乙、丙、丁四种产品的产量分别为x1,x2,x3,x4 maxf=12x1+15x2+8x3+10x4
x 1 1 . 2x 2 1 . 4x 3 1 . 5x 4 2100 0 . 5x 1 0 . 6x 2 0 . 6x 3 0 . 8x 4 1000 s.t. 0 . 7x 1 0 . 7x 2 0 . 8x 3 0 . 8x 4 1300 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
最后添加新的变量 ，求解普通线性规划（3）
m ax g s -d 0 z 1 x x2 x3 d 1 1 0 1 x1 6 x 2 x 3 d 2 5 s .t . x 1 -3 x 2 -x 3 + d 3 -3 .5 x -3 x -x d 4 .5 1 2 3 3 x 1 ,x 2 , x 3 , 0
求解目标函数z1的Matlab程序如下：
Z1=[1,2,-1]; A=[1,3,2;-1,-4,1]; b=[10;-6]; lb=[0,0,0]; [x,z1]=linprog(Z1,A,b,[],[],lb)
得到目标函数的最优解为： x 1
最优值为z1=2，此时z2=8
0, x2 2, x3 2
在解决实际问题时，要根据实际意义确定伸缩率 比如股票价格可能在某个区间变动，一本招生数 可能有所增加.
模糊线性规划的求解方法：
基本思想：转化为普通线性规划，步骤如下
1. 不考虑伸缩率，求解普通线性规划（1）
2. 考虑伸缩率，求解普通线性规划（2）
3. 增加变量 ，求解普通线性规划（3） 为了便于同学们的理解，下面通过具体 例子加以说明上述的三个普通线性规划的
1'
MATLAB程序如下 f1=[-1,4,-6]; A1=[1,1,1;-1,6,-1];b1=[8;-6]; Aeq1=[1,-3,-1];beq1=[-4];lb1=[0,0,0]; [x1,z1]=linprog(f1,A1,b1,Aeq1,beq1,lb1); 结果：x1=2,x2=0,x3=6, 最优值为：38
解：分别求解两个线性规划
m in z 1 x 1 2 x 2 x 3 x1 3x 2 2x 3 10 s .t . x 1 4 x 2 -x 3 6 x 1 , x 2 ,x 3 0
m ax z 2 2x 1 3x 2 x 3
x1 3x2 2x 3 10 s .t . x 1 4 x 2 -x 3 6 x 1 , x 2 ,x 3 0
第五讲 模糊线性规划
一. 线性规划的MATLAB实现
二. 模线性规划的MATLAB实现 求解线性规划的命令：linprog
目标函数最小：
不等式约束： 等式约束：
m in f x
x
T
Ax b
Aeqx=beq
上下界限制： lb x ub 这里f，x，b，beq，lb，ub 是向量，A，Aeq 是矩阵 其中f是目标函数的系数向量，x为决策变量 如果计算最大值，可以转化为最小值，
1 2 3
2'
注意：此时没有 等式约束，故 Aeq2=[];beq2=[];
MATLAB程序如下 f2=[-1,4,-6]; A2=[1,1,1;-1,6,-1;1,-3,-1;-1,3,1];b2=[10;-5;-3.5;4.5]; Aeq2=[];beq2=[];lb2=[0,0,0]; [x2,z2]=linprog(f2,A2,b2,Aeq2,beq2,lb2); 结果如下：x1=2.75,x2=0,x3=7.25,最优值为：46.25
求解目标函数z2的Matlab程序如下：
Z2=[-2,-3,-1]; A=[1,3,2;-1,-4,1]; b=[10;-6]; lb=[0,0,0]; [x,z2]=linprog(Z2,A,b,[],[],lb)
得到目标函数z2的最优解为：
x1 10 , x 2 0 , x 3 0
3'
MATLAB程序如下 f3=[0,0,0,-1]; A3=[-1,4,-6,8.25;1,1,1,2;-1,6,-1,1;1,-3,-1,0.5;-1,3,1,0.5]; b3=[-38;10;-5;-3.5;4.5];Aeq3=[];beq3=[];lb3=[0,0,0]; [x3,z3]=linprog(f3,A3,b3,Aeq3,beq3,lb3); 上述规划所得到的最优解:
2
注意添加伸缩率时的规律如下：
①
加di，
减di；
② 等式约束变成两个不等式约束.
转化为求最小值的线性规划模型：
m in s x 1 + 4 x 2 -6 x 3 x1 x 2 x 3 1 0 -x + 6 x 2 -x 3 5 1 s .t . x 1 -3 x 2 -x 3 3 . 5 -x + 3 x + x 4 . 5 2 3 1 x 1 ,x 2 , x 3 ,x0, x 0 x
若不等式约束为 ，也可转化.
[x,fvel]=linprog(f,A,b)
用于不等式约束，求目标函数 minfTx最小值
x：最优解，fvel: 目标函数最小值
[x,fvel]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
用于等式、不等式约束，求目标函数最小值，若 没有等式约束 ，则Aeq,beq要用空矩阵[ ]代替。 例1.求规划问题： 解：f=[-2,-1,1]; Min z = -2x1-x2+x3,A=[1,4,-1;2,-2,1];b=[4;12]; s.t. x1+x2+2x3=6 Aeq=[1,1,2];beq=6; x 4x x 4
lb=[0,0,0];
[x,z]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb) 故函数的最大值为：14.5714
Optimization terminated. x=
6.4286 0.5714 0.0000
z= -14.5714
例3.考虑混合饲料的配比，它由玉米粉和大豆 饼组成，成本最小如何配比？
二. 模糊线性规划的求解方法 普通线性规划：
m in f x
x T
模糊线性规划
m ax f x
x T
Ax b
Ax b
~
Aeqx=beq
lb x ub
A eq x b eq
~
lb x ub
两者的区别在于：模糊线性规划的约束条件为模 糊约束，即等式、不等式约束有一个伸缩 率.
例2. 求解规划
解：转化为 min z = -2x1-3x2+5x3 s.t. x1+x2+x3=7 -2x1+5x2-x3 -10 x1,x2,x3 0
max z = 2x1+3x2-5x3
s.t. x1+x2+x3=7
2x1-5x2+x3 10
x1,x2,x3 0
f=[-2,-3,5];A=[-2,5,-1];b=-10;Aeq=[1,1,1];beq=[7];
x1=2.375，x2=0，x3=6.625
将上述最优解代入原目标函数，得到模 糊线性规划的最优值为： x1-4x2+6x3=2.375+6 6.625=42.125
例6.4 求多目标线性规划的模糊最优解
m in z 1 x 1 2 x 2 x 3 m ax z 2 2 x 1 3 x 2 x 3 x1 3x 2 2x 3 10 s .t . x 1 4 x 2 -x 3 6 x 1 , x 2 ,x 3 0
1 相应地改成 , , 即可
此时的规划（1），只需 , , 将原题中的 ~ ~ ~
转化为求最小值的线性规划模型：
m in s x 1 + 4 x 2 -6 x 3 x1 x 2 x 3 8 -x 1 + 6 x 2 -x 3 6 s .t . x 1 -3 x 2 -x 3 4 x ,x , x 0 1 2 3
3
其中：d0=z2-z1=46.25-38=8.25 注意：此时增加了一个约束条件为： 原目标函数 –新伸缩率乘新变量
原最优值.
转化为求最小值的线性规划模型：
m in g -x 1 4 x 2 -6 x 3 + 8 .2 5 3 8 x1 x 2 x 3 2 1 0 -x 1 6 x 2 -x 3 5 s .t . x 1 -3 x 2 -x 3 + 0 .5 -3 .5 -x + 3 x + x 0 . 5 4 .5 1 2 3 x 1 ,x 2 , x 3 , 0
220
结 果 自 己 计 算
x1+x2=1,x1,x2 0