湖北七市(州)教研协作体2021年3月高三联考考试理科数学试卷
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7．B
【解析】
函数 是定义在 上的奇函数. 时， ，由 ， ， Leabharlann Baidum=-3，故 5
8．C
【解析】
由于函数 ，所以 ，所以可以排除 和 ； 又函数过点 ，可以排除 ，所以只有 符合，故选 .
9．C
【解析】
， ， ，故选C
10．B
【解析】
由题可知建立以AB为X轴，AD为Y轴的直角坐标系，则抛物线方程为 ，故阴影部分的面积为: ,则此点落在阴影部分内的概率为
【详解】
由题意可知几何体的直观图，如图：
由三视图可知，底面 为矩形， 为 的中点，且 平面，
设 为 的中点，则易证 平面 ,则有 ,
易证 为直角三角形,
, , ，
, ，
, .
该几何体的各个面中，面积小于 的个数是3个．
故选：C
【点睛】
本题考查是由三视图求几何体表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．属于基础题.
【详解】
,选A.
【点睛】
本题考查复数乘法以及除法运算，考查基本求解能力，属基础题.
3．C
【解析】
由 ，且 ，可得 ，故
4．D
【解析】
椭圆 ： 的离心率为 ，又椭圆 ： 的离心率与双曲线 ： 的一条渐近线的斜率相等，故
5．A
【解析】
，向左平移 个单位得到函数 = ，故
6．C
【分析】
画出几何体的直观图，利用三视图中的数据，计算求解即可.
湖北七市（州）教研协作体2021年3月高三联考考试理科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 是自然数集，设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知向量 ，向量 与向量 的夹角为 ，则 ________.
14． 的展开式中 的系数为__________．
15．已知 满足条件 ，若目标函数 取得最大值的最优解不唯一，则实数 的值为__________．
16．《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.以 ， ， ， 分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜； ， ， 分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则 .若在 中 ， ， ，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为__________．
3．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆 的离心率与双曲线 的一条渐近线的斜率相等，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图一个几何体的三视图，则该几何体的各个面中，面积小于 的面的个数是（）
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
2．A
【分析】
根据复数乘法以及除法运算法则求解.
（II）从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去 天的销售情况进行统计，得到如下条形图．若记甲公司该推销员的日工资为 ，乙公司该推销员的日工资为 （单位：元），将该频率视为概率，请回答下面问题：
某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．
10．如图，在矩形 中， ， ，以 为顶点且过点 的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆 与抛物线 相交于 两点，分别以点 为切点作圆 的切线 若切线恰好都经过抛物线 的焦点 ，则
A． B． C． D．
12．已知函数 在点 处的切线为 ，若直线 在 轴上的截距恒小于 ，则实数 的取值范围是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．函数 是定义在 上的奇函数. 时， ，其中 、 是常数，且 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．函数 在区间 上的图象大致为（）
A． B．
C． D．
9．若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 ，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）
A． B． C． D．
三、解答题
17．在等差数列 中，已知公差 ， ，且 ， ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求 .
18．甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪 元，每销售一件产品提成 元；乙公司规定底薪 元，日销售量不超过 件没有提成，超过 件的部分每件提成 元．
（I）请将两家公司各一名推销员的日工资 （单位：元）分别表示为日销售件数 的函数关系式；
（1）求曲线 和直线 的普通方程；
（2）设 为曲线 上任意一点，求点 到直线 的距离的最值.
23．已知函数 ， .
（1）解关于 的不等式 ；
（2）若函数 的图象恒在函数 图象的上方，求 的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
先求集合A，再根据交集定义求结果.
【详解】
因为 = ，所以 ，选B.
【点睛】
集合的基本运算的关注点
19．如图，在四棱锥 中，底面ABCD为菱形， 平面ABCD， ， ，E，F分别是BC，PC的中点．
Ⅰ 证明： ；
Ⅱ 设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为 ，求直线PD与平面AEF所成的角的余弦值．
20．已知椭圆 ： 的左顶点为 ，上顶点为 ，直线 与直线 垂直，垂足为 点，且点 是线段 的中点．
（I）求椭圆 的方程；
（II）如图，若直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点，点 在椭圆 上，且四边形 为平行四边形，求证：四边形 的面积 为定值．
21．已知函数 ， .
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证：函数 有两个不相等的零点 ， ，且 .
22．已知曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以平面直角坐标系 的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，设直线 的极坐标方程为 .
【解析】
函数 是定义在 上的奇函数. 时， ，由 ， ， Leabharlann Baidum=-3，故 5
8．C
【解析】
由于函数 ，所以 ，所以可以排除 和 ； 又函数过点 ，可以排除 ，所以只有 符合，故选 .
9．C
【解析】
， ， ，故选C
10．B
【解析】
由题可知建立以AB为X轴，AD为Y轴的直角坐标系，则抛物线方程为 ，故阴影部分的面积为: ,则此点落在阴影部分内的概率为
【详解】
由题意可知几何体的直观图，如图：
由三视图可知，底面 为矩形， 为 的中点，且 平面，
设 为 的中点，则易证 平面 ,则有 ,
易证 为直角三角形,
, , ，
, ，
, .
该几何体的各个面中，面积小于 的个数是3个．
故选：C
【点睛】
本题考查是由三视图求几何体表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．属于基础题.
【详解】
,选A.
【点睛】
本题考查复数乘法以及除法运算，考查基本求解能力，属基础题.
3．C
【解析】
由 ，且 ，可得 ，故
4．D
【解析】
椭圆 ： 的离心率为 ，又椭圆 ： 的离心率与双曲线 ： 的一条渐近线的斜率相等，故
5．A
【解析】
，向左平移 个单位得到函数 = ，故
6．C
【分析】
画出几何体的直观图，利用三视图中的数据，计算求解即可.
湖北七市（州）教研协作体2021年3月高三联考考试理科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 是自然数集，设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知向量 ，向量 与向量 的夹角为 ，则 ________.
14． 的展开式中 的系数为__________．
15．已知 满足条件 ，若目标函数 取得最大值的最优解不唯一，则实数 的值为__________．
16．《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.以 ， ， ， 分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜； ， ， 分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则 .若在 中 ， ， ，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为__________．
3．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆 的离心率与双曲线 的一条渐近线的斜率相等，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图一个几何体的三视图，则该几何体的各个面中，面积小于 的面的个数是（）
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
2．A
【分析】
根据复数乘法以及除法运算法则求解.
（II）从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去 天的销售情况进行统计，得到如下条形图．若记甲公司该推销员的日工资为 ，乙公司该推销员的日工资为 （单位：元），将该频率视为概率，请回答下面问题：
某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．
10．如图，在矩形 中， ， ，以 为顶点且过点 的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆 与抛物线 相交于 两点，分别以点 为切点作圆 的切线 若切线恰好都经过抛物线 的焦点 ，则
A． B． C． D．
12．已知函数 在点 处的切线为 ，若直线 在 轴上的截距恒小于 ，则实数 的取值范围是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．函数 是定义在 上的奇函数. 时， ，其中 、 是常数，且 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．函数 在区间 上的图象大致为（）
A． B．
C． D．
9．若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 ，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）
A． B． C． D．
三、解答题
17．在等差数列 中，已知公差 ， ，且 ， ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求 .
18．甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪 元，每销售一件产品提成 元；乙公司规定底薪 元，日销售量不超过 件没有提成，超过 件的部分每件提成 元．
（I）请将两家公司各一名推销员的日工资 （单位：元）分别表示为日销售件数 的函数关系式；
（1）求曲线 和直线 的普通方程；
（2）设 为曲线 上任意一点，求点 到直线 的距离的最值.
23．已知函数 ， .
（1）解关于 的不等式 ；
（2）若函数 的图象恒在函数 图象的上方，求 的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
先求集合A，再根据交集定义求结果.
【详解】
因为 = ，所以 ，选B.
【点睛】
集合的基本运算的关注点
19．如图，在四棱锥 中，底面ABCD为菱形， 平面ABCD， ， ，E，F分别是BC，PC的中点．
Ⅰ 证明： ；
Ⅱ 设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为 ，求直线PD与平面AEF所成的角的余弦值．
20．已知椭圆 ： 的左顶点为 ，上顶点为 ，直线 与直线 垂直，垂足为 点，且点 是线段 的中点．
（I）求椭圆 的方程；
（II）如图，若直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点，点 在椭圆 上，且四边形 为平行四边形，求证：四边形 的面积 为定值．
21．已知函数 ， .
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证：函数 有两个不相等的零点 ， ，且 .
22．已知曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以平面直角坐标系 的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，设直线 的极坐标方程为 .