北京航空航天大学 概率统计 邢家省 第一章习题课

例5 已知事件C B A ,,相互独立, 3.0)(=A P ,4.0)(=B P ,8.0)(=C P , 求)}({B A C P --.

解 )}({B A C P -- }{B A C P -=}{B A C P = )}({B A C P +=}{CB A C P += )(}{}{CB A C P CB P A C P -+= )()()()()()()(C P B P A P B P C P A P C P -+= )()()()()(A P B P C P A P C P += ()]()()(1)[(A P B P A P C P +-= )]()(1)[(B P A P C P -=)

656.03.04.08.07.08.0=⨯⨯+⨯= . 或)}({B A C P --

)}({B A C C P --=}{B CA C P -= )()(B CA P C P -= )()()()(B P A P C P C P -= )]()(1)[(B P A P C P -=

656.082.08.0]6.03.01[8.0=⨯=⨯-=. 或

)}({B A C P --}{B A C P -=}{B A C P = )}({B A C P +=)()(B A P C P += )](1)[(B A P C P +-=

)](1)[(B A P C P -= )]()(1)[(B P A P C P -=

656.082.08.0]6.03.01[8.0=⨯=⨯-=. 注意: B A C B A C +-≠--)()(. 例 6 设某型号的高射炮,每一门炮发射一发炮弹而击中飞机的概率是0.5。问至少需要几门高射炮同时射击（每炮只射一发）才能以99%的把握击中来犯的一架敌机。

解 设需要n 门高射炮同时射击才能以99%的把握击中来犯的一架敌机，

令=i A 第i 门炮击中敌机， =A 敌机被击中,

则

∑==+++=n

i i n A A A A A 1

21Λ,

)(1)()(11∑∑==-==n

i i n i i A P A P A P )(121n A A A P Λ-= )()()(121n A P A P A P Λ-=

99.0)5.0(1≥-=n , 于是得 n 5.001.0≥,

n ⋅≥5.0lg 01.0lg ,

644.65.0lg 01.0lg ≈≥n ,取7=n .

故至少需要7门高射炮同时射击. 例7 甲乙丙三人向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只一人击中,则飞机被击落的概率是0.2;若有二人击中,则飞机被击落的概率是0.6; 若有三人击中,则飞机一定被击落.求飞机被击落的概率.

解 设=A 飞机被击落,

=i B 飞机被i 个人击中,

=i A 第i 个人射击击中飞机,

3,2,1=i ,

由题设条件知,

4.0)(1=A P ,

5.0)(2=A P ,7.0)(3=A P , 321,,A A A 相互独立,

2.0)|(1=B A P ,6.0)|(2=B A P ,1)|(3=B A P , 3213213211A A A A A A A A A B ++=, 3213213212A A A A A A A A A B ++=, 3213A A A B =,

由概率的可加性和事件的独立性得

)()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P ++= )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++= 36.0=,

)()()()(3213213212A A A P A A A P A A A P B P ++= )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++= 41.0=,

)()(3213A A A P B P =)()()(321A P A P A P = 14.07.05.04.0=⨯⨯=,

由全概率公式

)

|()()(31i i i B A P B P A P ∑==

114.06.041.02.036.0⨯+⨯+⨯= 458.0= .

例8 将4只有区别的球随机放入编号为5~1的五个盒中(每盒容纳球的数量不限).求(1)至多两个盒子有球的概率;(2)空盒不多于2个的概率.

解 方法一

设=A 至多两个盒子有球, =B 空盒不多于2个, =i A 恰有i 个空盒,4,3,2,1=i , 则21A A B +=,且21,A A 互不相容,

41515!4)(⋅=C A P ,

4

242525!3)(C C A P ⋅=, 768.0125

96)()()(21==+=A P A P B P , =B 空盒多于

2个

= 至少有三个空盒

= 至多两个盒子有球A =,

232.0)(1)()(=-==B P B P A P .

方法二

设=A 至多两个盒子有球, =B 空盒不多于2个,

=i B 恰有i 个盒子有球,4,3,2,1=i ,

则21B B A +=,且21,B B 互不相

容,

A B = ,

41515)(C B P =,

42524253

3142521)(A C A C C B P +=,

(把4个球分成两组,一种是1个和3个,另一种是从4个球中取出2个球在一起和余下2个球自然在一起,(考虑到对称性,不分组顺序),例如设四个球分别为d c b a ,,,,两只球在一起,分组为