北京航空航天大学 概率统计 邢家省 第一章习题课
随机过程（北航著）北京航空航天大学出版社第1章习题课后答案
第一章概论第1题某公共汽车站停放两辆公共汽车A 和B ，从t=1秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。
如果每一乘客以概率21登上A 车，以概率21登上B 车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立的，并用j ξ代表t=j 时乘客登上A 车的状态，即乘客登上A 车则j ξ＝1，乘客登上B 车则jξ＝0，则,21}0{,21}1{====j j P P ξξ当t ＝n 时在A 车上的乘客数为n n j j n ηξη,1∑==是一个二项式分布的计算过程。
（1）求n η的概率，即;,...,2,1,0?}{n k k P n ===η（2）当公共汽车A 上到达10个乘客时，A 即开车（例如t ＝21时921=η，且t ＝22时又有一个乘客乘A 车，则t ＝22时A 车出发），求A 车的出发时间n 的概率分布。
解（1）：nn k n k P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==21}{η 解（2）：nn n n P P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−2191212191A)10n 9A 1-n (}n A {1名乘客登上车时刻第名乘客；在有时刻，车在开车在时刻车第2题设有一采用脉宽调制以传递信息的简单通信系统。
脉冲的重复周期为T ，每一个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，使每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T ）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机变量；脉冲的幅度为常数A 。
也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是以随机过程)(t ξ。
图题1－2画出了它的样本函数。
试求)(t ξ的一维概率密度)(x f t ξ。
解：00(1)()()(){()}{()0}[(1),],(0,){()}{[(1),]}{[(1)]}1(1)(1)1({()0}1{()}t A A n n n Tt n T f x P x A P x P t A P P t P t n T nT n T P t A P t n T nT P t n T d TT t n T T nT t T t n Tt n T T t n P t P t A ξδδξξηξηηηξξ−−=−+====∈−∈==∈−+=>−−=−+−=−==−−−=−−−==−==∫是任意的脉冲宽度01)(1)()()()()(1)()t A T tn T Tf x P x A P x t t n x A n x T T ξδδδδ=−−∴=−+⎛⎞⎛⎞=−−+−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠第3题设有一随机过程)(t ξ，它的样本函数为周期性的锯齿波。
分布函数列的一致收敛性
分布函数列的一致收敛性邢家省;杨义川【摘要】研究了函数列的一致收敛性问题.对狄尼定理的另一种形式的结果给出了证明,并将此结果应用于随机变量序列的分布函数列的一致收敛性研究,指出了中心极限定理的深刻结果,时t-分布的随机变量序列的极限分布给出了2种直接的证明方法.【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)002【总页数】4页(P1-4)【关键词】一致收敛性;狄尼定理;t-分布;极限分布【作者】邢家省;杨义川【作者单位】北京航空航天大学数学与系统科学学院,北京100191;北京航空航天大学数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191;北京航空航天大学数学与系统科学学院,北京100191;北京航空航天大学数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191【正文语种】中文【中图分类】O211.3判断函数列的一致收敛性是经典数学分析中的重要课题.奥斯古德定理和狄尼定理是判断函数列一致收敛的一个充分条件，在数学分析中是常用定理.狄尼定理的另一种形式在数学分析中一般不作为定理，人们在使用它时不得不重复证明.笔者将对狄尼定理的另一种形式的结果给出证明，并将此结果应用于分布函数列的一致收敛性研究.对于随机变量序列的分布函数列的收敛性，以往仅着重于弱收敛性，而对于一致收敛性的重视不够.在实际应用中，分布函数列的一致收敛性是需要的，特别是要为近似计算提供理论依据.1 狄尼定理的另一种形式定理1[1-7] 设函数序列{fn(x)}在[a,b]上逐点收敛于函数f(x),若f(x)在[a,b]上连续，且对于每个n,fn(x)都是[a,b]上的单调函数,则 {fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x).证明因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上一致连续.对于∀ε>0，存在δ(δ>0)，当x,y∈[a,b]，|x-y|<δ时，|f(x)-f(y)|<ε.取正整数J充分大，使得记xi=a+i(i=0,1,…,J).因为所以对于上述ε，存在正整数N，当n>N时，|fn(xi)-f(xi)|<ε(i=0,1,…,J).又因为对于每个n，fn(x)都是[a,b]上的单调函数,所以|fn(x)-fn(xi)|≤|fn(xi+1)-fn(xi)|(x∈[xi,xi+1]，i=0,1,…,J).对于∀x∈[a,b]，存在i，使得x∈[xi,xi+1]，|fn(x)-f(x)|≤ |fn(x)-fn(xi)|+|fn(xi)-f(xi)|+|f(xi)-f(x)|≤|fn(xi+1)-fn(xi)|+2ε≤|fn(xi+1)-f(xi+1)|+|f(xi+1)-f(xi)|+|f(xi)-fn(xi)|+2ε<5ε，即{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x).2 随机变量序列的分布函数列的一致收敛性定理2[8-12] 设随机变量Xn的分布函数为Fn(x)，随机变量X的分布函数为F(x)，若在(-∞,+∞)上连续，则{Fn(x)}在(-∞,+∞)上一致收敛于F(x).证明已知Fn(x)是单调递增函数，且0≤Fn(x)≤1.因为F(x)是单调递增函数，且所以对于∀ε>0，可找到M(M>0)，使得当x≥M时1-F(x)<ε，当x≤-M时F(x)<ε.又因为所以存在正整数N1，使得当n>N1时，|Fn(-M)-F(-M)|<ε，|Fn(M)-F(M)|<ε，于是Fn(-M)≤|Fn(-M)-F(-M)|+F(-M)<2ε，1-Fn(M)=1-F(M)+F(M)-Fn(M)<2ε.因此，对于x<-M，若n≥N1，则|Fn(x)-F(x)|≤|Fn(x)|+F(x)≤Fn(-M)+F(-M)<3ε.同样地，对于x>M，若n>N1，则|Fn(x)-F(x)|=|(1-Fn(x))-(1-F(x))|≤|1-Fn(x)|+|1-F(x)|≤1-Fn(M)+1-F(M)<3ε.已知F(x)在[-M,M]上连续，由于Fn(x)都是[-M,M]上的单调递增函数，因此由定理1可知{Fn(x)}在[-M,M]上一致收敛于F(x).对于上述ε，存在正整数N(N>N1)，当n>N时，对于∀x∈[-M,M]，|Fn(x)-F(x)|<ε.综上所述，{Fn(x)}在(-∞,+∞)上一致收敛于F(x).3 中心极限定理结果的进一步表述中心极限定理是概率论中的重要结果，但往往仅表述为“分布函数列的点点收敛”，这对于近似计算理论是不够用的，应表述为“分布函数列的一致收敛”这样的深刻结果，才能为近似计算提供严密的理论依据.定理3[8-12] 设随机变量X1,X2,…,Xn,…独立同分布,且存在有限的数学期望和方差分别为E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2≠0(i=1,2,…).记为Yn的标准化，又记则对于任意实数且在(-∞,+∞)上一致收敛于Φ(x).由定理3可知对于∀故4 t-分布的随机变量序列的极限分布直接证明方法t-分布的随机变量序列的极限分布是正态分布，这个结果是熟知的且有多种证明方法，但某些证明方法利用的知识较多，过于复杂.现给出2种直接证明方法.定理4[8-17] 设随机变量Xn的概率密度为为常数，又设Xn的分布函数为Fn(x)(n=1,2,…),则证明记易知，对于∀A>0，{gn(x)}在[-A,A]上一致收敛于于是显然收敛.由广义积分控制收敛定且关于x∈(-∞,+∞)是一致的.由于 1= fn(x)dx=Cngn(x)dx=Cn gn(x)dx,因此于是关于x∈(-∞,+∞)是一致的.定理5 设随机变量X～N(0,1)，Yn～χ2(n)，记则{Tn}以概率收敛于X，{Tn}的分布函数列{Fn(x)} 在(-∞,+∞)上一致收敛于Φ(x).证明由Yn～χ2(n)可知E(Yn)=n,D(Yn)=2n.对于∀以概率收敛于1.利用不等式可得⊂由此可得以概率收敛于1，进而可得以概率收敛于1，于是以概率收敛于X.由以概率收敛必以分布收敛定理[8-12]，{Tn}的分布函数列{Fn(x)} 在(-∞,+∞)上一致收敛于Φ(x).5 随机变量序列收敛实例例1 设随机变量Xn的概率密度为则证明记则又收敛，显然对于∀A>0，{gn(t)}在[-A,A]上一致收敛于0.由广义积分控制收敛定于是例2 设随机变量X的概率密度为常数k,α>0，则证明于是即由f(x)的表达式及f(x)dx=1可知例3 设随机变量Xn的概率密度为常数kn>0,分布函数为Fn(x)，求解由fn(x)的表达式及fn(x)dx=1可知于是且在(-∞,0)和(0,+∞)上是内闭一致收敛的.又收敛，由广义积分控制收敛定理，且{Fn(x)}在(-∞,+∞)上一致收敛于参考文献：[1] 黄玉民,李成章.数学分析(下册)[M].2版.北京:科学出版社,2007:518-556.[2] 华罗庚.高等数学引论(第二册)[M].王元,校.北京:科学出版社,2009:129-133.[3] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2002:819-831.[4] 常庚哲,史济怀.数学分析教程(下册) [M].北京:高等教育出版社,2003:344-359.[5] 陈纪修,於崇华,金路.数学分析(下册)[M].2版.北京:高等教育出版社,2003:379-405.[6] 菲赫金哥尔茨.微积分学教程(第二卷)[M].8版.北京:高等教育出版社,2006:578-617.[7] 卓里奇.数学分析(第二卷)[M].4版.北京:高等教育出版社,2006:373-380.[8] 梁之舜,邓集贤,杨维权,等.概率论及数理统计(上册)[M].北京:高等教育出版社,2002:282-315.[9] 魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,1983:193-219.[10] 李贤平.概率论基础[M].北京:高等教育出版社,1987:251-323.[11] 茆诗松,程依明,濮哓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2004:218-239.[12] 邢家省,马健.概率统计教程[M].北京:机械工业出版社,2015:197-189.[13] 李录书.t-分布以标准正态分布为极限的一个证明[J].零陵师专学报(自然科学版),1985(1):4-6.[14] 杨洁,李兆庚.关于t分布的极限分布为标准正态分布的证明[J].石油化工高等学校学报,1994,7(3):78-80.[15] 斯日古楞.t—分布收敛于标准正态分布的几种证明方法[J].内蒙古师大学报(自然科学(汉文)版),2001,30(4):303-306.[16] 王娟.t分布密度函数之性质[J].淮阴工学院学报,2007,16(5):15-21.[17] 曾珍,张宇.χ2分布、t分布、F分布与正态分布间的关系[J].湖北师范学院学报(自然科学版),2015,35(3):62-66.[18] 邢家省,杨义川,王拥军.函数列的广义积分的极限定理及其应用[J].吉首大学学报(自然科学版),2016,37(6):1-9.[19] 邢家省,杨义川,王拥军.函数列的黎曼积分的极限定理及其应用[J].四川理工学院学报(自然科学版),2017,30(3):73-78.[20] 高建全,邢家省,杨义川.两无穷区间上广义积分交换次序定理[J].河南科学,2017,35(6):845-851.。
概率论与数理统计第一章课后习题详解
概率论与数理统计习题第一章习题1-1（P 7）1．解：（1）}18,4,3{，⋯=Ω （2）}1|),{22<+=Ωy x y x （ (3) {=Ωt |ｔ},10N t ∈≥（本题答案由经济1101班童婷婷提供） ２．ＡＢ 表示只有一件次品，-A 表示没有次品，-B 表示至少有一件次品。
（本题答案由经济1101班童婷婷提供） 3．解：（1）A 1∪A 2=“前两次至少有一次击中目标”;（2）2A =“第二次未击中目标”; （3）A 1A 2A 3=“前三次均击中目标”;（4）A 1⋃A 2⋃A 3=“前三次射击中至少有一次击中目标”; （5）A 3-A 2=“第三次击中但第二次未击中”; （6）A 32A =“第三次击中但第二次未击中”; （7）12A A =“前两次均未击中”; （8）12A A =“前两次均未击中”;（9）(A 1A 2)⋃(A 2A 3)⋃(A 3A 1)=“三次射击中至少有两次击中目标”.（本题答案由陈丽娜同学提供）４.解： (1)ABC(2)ABC(3) ABC (4) A B C(5) ABC (6) AB BC AC (7) A B C (8) (AB) (AC) (BC)（本题答案由丁汉同学提供）５.解： (1)A=BC(2)A =B C（本题答案由房晋同学提供）习题1-2（P 11）6.解：设A=“从中任取两只球为颜色不同的球”,则:112538P(A)=/15/28C C C =（本题答案由顾夏玲同学提供）7.解： (1)组成实验的样本点总数为340C ,组成事件(1)所包含的样本点数为 12337C C ,所以P 1=12337340C C C ⋅ ≈0.2022 (2)组成事件(2)所包含的样本点数为33C ,所以P 2=33340C C ≈0.0001(3)组成事件(3)所包含的样本点数为337C ，所以 P 3=337340C C ≈0.7864 (4)事件（4）的对立事件，即事件A=“三件全为正品”所包含的样本点数为337C ，所以P 4=1-P(A)=1-337340C C ≈0.2136(5)组成事件(5)所包含的样本点数为2133373C C C ⋅+，所以P 5=2133373340+C C C C ⋅ ≈0.01134 （本题答案由金向男同学提供）8.解：(1)组成实验的样本点总数为410A ,末位先考虑有五种选择，首位除去0，有8种选择。
北京航空航天大学 概率统计 邢家省 第一章习题课复习课程
例5 已知事件C B A ,,相互独立,3.0)(=A P ,4.0)(=B P ,8.0)(=C P , 求)}({B A C P --.解 )}({B A C P -- }{B A C P -=}{B A C P = )}({B A C P +=}{CB A C P += )(}{}{CB A C P CB P A C P -+=)()()()()()()(C P B P A P B P C P A P C P -+= )()()()()(A P B P C P A P C P +=()]()()(1)[(A P B P A P C P +-= )]()(1)[(B P A P C P -=)656.03.04.08.07.08.0=⨯⨯+⨯= .或)}({B A C P --)}({B A C C P --=}{B CA C P -= )()(B CA P C P -= )()()()(B P A P C P C P -= )]()(1)[(B P A P C P -=656.082.08.0]6.03.01[8.0=⨯=⨯-=.或)}({B A C P --}{B A C P -=}{B A C P =)}({B A C P +=)()(B A P C P += )](1)[(B A P C P +-=)](1)[(B A P C P -= )]()(1)[(B P A P C P -=656.082.08.0]6.03.01[8.0=⨯=⨯-=.注意: B A C B A C +-≠--)()(.例 6 设某型号的高射炮,每一门炮发射一发炮弹而击中飞机的概率是0.5。
问至少需要几门高射炮同时射击（每炮只射一发）才能以99%的把握击中来犯的一架敌机。
解 设需要n 门高射炮同时射击才能以99%的把握击中来犯的一架敌机，令=i A 第i 门炮击中敌机，=A 敌机被击中,则∑==+++=ni i n A A A A A 121Λ,)(1)()(11∑∑==-==ni i n i i A P A P A P )(121n A A A P Λ-= )()()(121n A P A P A P Λ-=99.0)5.0(1≥-=n , 于是得 n 5.001.0≥,n ⋅≥5.0lg 01.0lg ,644.65.0lg 01.0lg ≈≥n ,取7=n .故至少需要7门高射炮同时射击. 例7 甲乙丙三人向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只一人击中,则飞机被击落的概率是0.2;若有二人击中,则飞机被击落的概率是0.6; 若有三人击中,则飞机一定被击落.求飞机被击落的概率.解 设=A 飞机被击落,=i B 飞机被i 个人击中,=i A 第i 个人射击击中飞机,3,2,1=i ,由题设条件知,4.0)(1=A P ,5.0)(2=A P ,7.0)(3=A P , 321,,A A A 相互独立,2.0)|(1=B A P ,6.0)|(2=B A P ,1)|(3=B A P , 3213213211A A A A A A A A A B ++=, 3213213212A A A A A A A A A B ++=,3213A A A B =,由概率的可加性和事件的独立性得)()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P ++= )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++= 36.0=,)()()()(3213213212A A A P A A A P A A A P B P ++= )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++= 41.0=,)()(3213A A A P B P =)()()(321A P A P A P =14.07.05.04.0=⨯⨯=,由全概率公式)|()()(31i i i B A P B P A P ∑==114.06.041.02.036.0⨯+⨯+⨯=458.0= .例8 将4只有区别的球随机放入编号为5~1的五个盒中(每盒容纳球的数量不限).求(1)至多两个盒子有球的概率;(2)空盒不多于2个的概率.解 方法一设=A 至多两个盒子有球,=B 空盒不多于2个,=i A 恰有i 个空盒,4,3,2,1=i ,则21A A B +=,且21,A A 互不相容,41515!4)(⋅=C A P ,4242525!3)(C C A P ⋅=, 768.012596)()()(21==+=A P A P B P , =B 空盒多于2个= 至少有三个空盒= 至多两个盒子有球A =,232.0)(1)()(=-==B P B P A P .方法二设=A 至多两个盒子有球,=B 空盒不多于2个,=i B 恰有i 个盒子有球,4,3,2,1=i ,则21B B A +=,且21,B B 互不相容,A B = ,41515)(C B P =,425242533142521)(A C A C C B P +=,(把4个球分成两组,一种是1个和3个,另一种是从4个球中取出2个球在一起和余下2个球自然在一起,(考虑到对称性,不分组顺序),例如设四个球分别为d c b a ,,,,两只球在一起,分组为)},(),,{(d c b a ,)},(,),,{(d b c a ,)},{(),,{(c b d a ;)},(),,{(.d a c b ,)},(),,{(c a d b ,)},).(,{(b a d c ,但是后三个与前三个是实为一样的). 232.012529)()()(21==+=B P B P A P , 768.0)(1)()(=-==A P A P B P .例9 在除去大小王的一副54张扑克牌中,随机抽取2张,求恰取到2张不同花且最大点数为7的概率.解 设=A 恰取到2张不同花且最大点数为7,方法一:17125152136)()(25222161224=⨯⨯=+=C C C C C A P ,(先取两色,只一个7或两个7)方法二:17125152672)(2522411814=⨯+=+=C C C C A P(取出一张花色的7,然后从其它三种花色的6~1中任取一张,或直接取出两个花色的7).方法三:17125152136)162()67()(252242522224=⨯⨯=+⨯=-=C C C C A P ,(先取两色,从每色的7~1取出一张,去掉不含7的)(如果171262825152214)(25212114⋅=⨯⨯==C C C A P , 则错了,错在何处,这种想法是从4色中取出一个7,其它三色的7~1中取出一个.这样算有重复的,如先取出红桃7,再取出方砖7与先取出方砖7,再取出红桃7,是一样的)方法四:17151267825152684)(2522412114=⨯=⨯-=-=C C C C A P . 例10 从5双不同的鞋子中任取 4只,求下列事件的概率,(1) 没有成对的鞋子;(2) 至少2只配成一双.解 设=A 没有成对的鞋子,=B 至少2只配成一双,A B = ,方法一 218)()(41041245==C C C A P , (从5双中任取4双,再从每双中任取一只),21132181)(1)()(=-=-==A P A P B P .方法二218)(410141618110==A C C C C A P , (第一次从10只中任取一只,第二次从其它4双中任取一只, 第三次从其它3双中任取一只, 第四次从其它2双中任取一只.) 方法三2113)()(410252122415=+=C C C C C B P , (恰两只成一双另两只来自不同双,或恰成两双)方法四2113)21()(41025161815=+⋅=C C C C C B P , 方法五2113)(410252815=-=C C C C B P ,(从5双中任取一双,然后从其它4双鞋中任取两只,其中成两双鞋的次数计了两次,去掉).先下手为强例11甲、乙两人的射击水平相当,于是约定比赛规则:双方对同一目标轮流射击,若一方失利,另一方可以继续射击,直到有人命中目标为止.命中一方为该轮比赛的优胜者.你认为先射击者是否一定沾光？为什么？解 设甲、乙两人每次命中的概率均为p ,失利的概率为q)1,10(=+<<q p p ,令}{次射击命中目标第i A i =,(Λ,2,1=i ).假设甲先发第一枪,则=)(甲胜P)(543213211Λ+++A A A A A A A A A P Λ+++=)()()(543213211A A A A A P A A A P A PΛ+++=p q p q p 42)1(42Λ+++=q q p211q p -=q +=11 ,又可得)(1)(甲胜乙胜P P -=q +-=111q q +=1,因为10<<q ,所以)()(乙胜甲胜P P >. 注： 之所以在比赛时经常要用抽签来决定谁“先下手”,原因在于“先下手”就是沾便宜.(当然是在实力相当的条件下),“狭路相逢勇者胜”.今天的学习评比,求职,工作等竞争事项,也是要抢先一步,采取积极主动,才能取的预期目标.被动就会挨打,失去战机,导致失败.机会光顾那些有时刻准备,并抢先一步的人.例12 甲袋中装有4只红球,2只白球,乙袋中装有2只红球,3只白球.从甲袋中任取2只球放入乙袋中,然后再从乙袋中任意取出一只是红球.试求甲袋中取出的2只全是红球的概率.解 设=A 从乙袋中任意取出一只是红球,=i B 从甲袋取出的2只球中有i 只红球,2,1,0=i ,根据题设条件知 26224)(C C C B P i i i -=, 1712)|(C C B A P i i +=,2,1,0=i ,利用贝叶斯公式得所求概率为 2512)|()()|()()|(20222==∑=i ii B A P B P B A P B P A B P .例13 已知100只集成电路中不合格品数从3~0是等可能的.从中任意取出4只,经检测均为合格品,求此100只集成电路没有不合格品的概率.解 设=A 取出4只均为合格品,=i B 100只集成电路中有i 只不合格品,3,2,1,0=i ,根据题设条件知41)(=i B P ,41004100)|(C C B A P i i -= ,3,2,1,0=i ,利用贝叶斯公式得所求概率为2656.0)|()()|()()|(30000==∑=i ii B A P B P B A P B P A B P .例14 工厂生产的产品合格率是0.96.为确保出厂产品质量,需要进行检查,由于直接检查带有破坏性,因此使用一种非破坏性的但不完全准确的简化检查法.经试验知一个合格品用简化检查而获准出厂的概率是0.98, 而一个废品用简化检查而获准出厂的概率是0.05.求使用这种简化检查法时,获得出厂许可的产品是合格品的概率及未获得出厂许可的产品是废品的概率.解 设=A 产品获准出厂, =A 产品未获准出厂,=B 产品是合格品,=B 产品是不合格品 ,根据题设条件知96.0)(=B P , 04.0)(=B P ,98.0)|(=B A P , 05.0)|(=B A P ,利用贝叶斯公式得所求概率为)|()()|()()|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P += 9979.005.004.098.096.098.096.0=⨯+⨯⨯=;)|()()|()()|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P += 6643.002.096.095.004.095.004.0=⨯+⨯⨯= . 例15 设B A ,为任意事件, 证明|)()()(|B P A P AB P -2121))](1)(([))](1)(([B P B P A P A P --≤ .证明 若0)()()(≥-B P A P AB P , 由于)()()()()()(B P A P A P B P A P AB P -≤- ))(1)((B P A P -=,)()()()()()(B P A P B P B P A P AB P -≤-))(1)((A P B P -=，综合这两个不等式,得2)]()()([B P A P AB P -))(1)((B P A P -≤))(1)((A P B P -⋅,即得|)()()(|B P A P AB P -2121))](1)(([))](1)(([B P B P A P A P --≤ ;若0)()()(≤-B P A P AB P ,由1)()()()(≤+=-+B A P AB P B P A P ,得)()(1)(B P A P AB P --≤-,由此得)()()(0AB P B P A P -≤)()(1)()(B P A P B P A P --+≤))(1))((1(B P A P --=,显然)()()(0AB P B P A P -≤)()(B P A P ≤, 综合这两个不等式,得2)]()()([AB P B P A P -))(1))((1(B P A P --≤)()(B P A P ⋅,即得|)()()(|B P A P AB P -2121))](1)(([))](1)(([B P B P A P A P --≤, 证毕.。
(完整版)概率论与数理统计第一章补充题与答案
概率论与数理统计补充习题第一章 随机事件与概率一、思考题1、概率研究的对象是什么？2、随机现象是否就是没有规律的现象？随机现象的特点是什么？3、概率是刻画什么的指标？4、概率的公理化定义的意义是什么？5、第一章的主要内容是什么？二、填空题1、填出下列事件的关系（1）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中恰有一件是废品”为 .（2）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至少有一件是废品” 为 .（3）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至多有一件是废品” 为 .2、某人用步枪射击目标5次，i A =（第i 次击中目标 ），i B =（5次射击中击中目标i 次）（i =0，1，2，3，4，5），用文字叙述下列事件，并指出各对事件之间的关系.（1）、 51=i iA 为 . 51=i i B为 . 51=i i A 与 51=i i B 的关系为 .（2）、 52=i iA 为 . 52=i i B为 . 52=i i A 与 52=i i B 的关系为 .（3）、 21=i i A 与 53=i iA 的关系为 .（4）、 21=i iB 与 53=i i B 的关系为 .三、选择题1、下列各式中正确的有（ ）.（A ）、A ∪B =（A-AB ）∪B （B ）、若A ∪C=B ∪C 则A=B（C ）、若P （A ）≥P （B ）则A ⊃B2、若事件A 和B 互斥，且P （A ）≠0，P （B ）≠0，则（ ）.（A ）、A 和B 互斥（B ）、A 和B 不互斥 （C ）、P （A-B ）=P （A ）（D ）、P （A-B ）=P （A ）-P （B ） 3、若当事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则（ ）.（A ）、P （C ）≤P （A ）+P （B ）-1（B ）、P （C ）≥P （A ）+P （B ）-1 （C ）、P （C ）=P （AB ） （D ）、P （C ）=P （A +B ）4、设0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A |B )=1-P (A |B )，则事件A 和B （ ）.（A ）、互斥 （B ）、对立 （C ）、独立 （D ）、不独立5、设0<P (B )<1，P [(A 1∪A 2)|B ]=P (A 1|B )+P (A 2|B )，则（ ）.（A ）、P [(A 1∪A 2)|B ]=P (A 1|B )+P (A 2|B ) （B ）、P (A 1B ∪A 2B )=P (A 1B )+P (A 2B )（C ）、P (A 1∪A 2)=P (A 1|B )+P (A 2|B ) （D ）、P (B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2)6、设事件A 和B 满足P （B |A ）=1，则（ ）.（A ）、A ⊃B （B ）、A ⊂B （C ）、P （B |A ）=0 （D ）、P （AB ）=P （A ）7、对于任意二事件A 和B ，则（ ）.（A ）、若Φ≠AB ，则A 、B 一定独立 （B ）、若Φ≠AB ，则A 、B 有可能独立（C ）、若Φ=AB ，则A 、B 一定独立 （D ）、若Φ=AB ，则A 、B 一定不独立8、将一枚硬币独立的掷两次，引进事件如下：=1A {第一次出现正面} =2A {第二次出现正面}=3A {正反各出现一次} =4A {正面出现两次} 则事件（ ）.（A ）、1A 、2A 、3A 相互独立 （B ）、 2A 、3A 、4A 相互独立（C ）、1A 、2A 、3A 两两独立 （D ）、 2A 、3A 、4A 两两独立四、计算题1、P (A )=0.5，P (B )=0.3（1）、若B ⊂A ，求P (A ∪B )、P (A |A ∪B )（2）、若A、B互斥，求P(A B)（3）、若A与B互相独立，求P(A-B)、P(A-B|B)2、设事件A和B相互独立，P(A)=0.5，P(A∪B)=0.8，计算：（1）、P(A B) （2）、P(A∪B).3、P(A)=0.4，P(A∪B)=0.8，求P(B|A).4、设10件产品中有4件是次品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是次品，求另一件是合格品的概率.5、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.65，现已知目标被命中，求甲命中目标的概率.6、把4个球随机放入4个盒子中，求空盒子数分别为0，1，2，3的概率.7、甲、乙、丙分别有球为甲：3白2红、乙：全红、丙：红白各半，三人各随意拿出一球，然后甲从取出的球中随意取回一个，求甲的红球数增加的概率.8、在所有五位随机整数中（含以0开头的数字），任取一个整数，求下列事件的概率.（1）、恰有一个数字出现两次；（2）、最大的数字为6；（3）、五个数字恰好严格单增.9、从1，2，…，9这9个数字中，有放回地取三次，每次取一个，求下列事件的概率：（1）、A1：3个数字全不同；（2）、A2：3个数字没有偶数；（3）、A3：3个数字中最大数字为6；（4）、A4：3个数字形成一个单调（严格）数列；（5）、A5：3个数字之乘积能被10整除.10、每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收.假设由于检验有误，一件正品被误检为次品的概率为2%，而一件次品被误检为正品的概率为5%.求一箱产品通过验收的概率.11、一个枪室里有10支枪，其中6支经过校正，命中率可达0.8，另外4支尚未校正，命中率仅为0.5.（1）、从枪室里任取一支枪，独立射击三次.求三次均命中目标的概率；（2）、从枪室里任取一支枪，射击一次，然后放回，如此连续三次，结果三次均命中目标，求取出的三支枪中有二支是校正过的概率.12.、设有来自三个地区的各10名，15名和25名的报名表.其中女生的报名表分别为3份，7份和5份.随机的取一个地区的报名表，从中先后抽出两份, 抽到哪个地区的报名表的可能性相等.求：（1）、先抽到的一份是女生表的概率p .（2）、已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q .第一章补充习题答案一、思考1、答：随机现象的统计规律性.2、答：不然.随机现象具有不确定性，即试验之前不能确定哪一个事件发生.随机现象也具有确定性，即在相同条件下，随着试验的次数增多，事件A发生的频率越来越接近一个常数p，随机现象的这一性质，称为频率稳定性，也称统计规律性. 正是随机现象这一确定性，说明了一次试验时随机事件A发生的可能性大小——概率，是一定值.因此才有《概率论》.3、答：概率是测度随机事件发生的可能性大小的指标.4、答：其给出了一个指标是否有资格作为概率的评价标准.5、答：第一章首先给出了描述随机现象结果的术语：随机事件，介绍随机事件的关系与运算，使得复杂事件可以通过简单事件来描述，并为概率计算提供方便.给出了概率定义以及概率的基本关系式（性质、条件概率、乘法公式、全概与逆概公式），为概率计算打下基础.介绍了古典概型.其本身具有应用价值，也为掌握事件关系与练习概率计算搭了舞台.二、填空1、（1）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中恰有一件是废品”为 互斥 .（2）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至少有一件是废品” 为 对立 .（3）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至多有一件是废品” 为 后者包含前者 .2、（1）、51=i i A 为 至少击中一次 . 51=i i B 为至少击中一次 . 51=i i A 与 51=i i B 的关系为 相等 .（2）、 52=i iA 为 后四次中至少击中一次 . 52=i i B 为 至少击中两次 . 52=i i A 与 52=i i B的关系为 不相等 .（3）、21=i i A 与 53=i i A 的关系为 没有必然联系 . （4）、 21=i iB 与 53=i i B 的关系为 互斥 .三、选择题1、（A ）2、（C ）证明 ()()()()()P A B P A AB P A P AB P A -=-=-=反例：（B ） 即B =A A =B ，A 、B 互斥、A 与B 仍互斥.（A ） A 与B 非互斥（D ）P （B ）≠0，显然不成立.3、（B ）证明 AB C ⊂， P (AB )≤P (C )P (A+B )=P (A )+P (B )-P (AB )≤1; P (AB )≥P (A )+P (B )-1，所以P (C )≥P (A )+P (B )-1。
常微分方程教学大纲-北京航空航天大学
《概率统计B》教学大纲课程编号：A09B204B课程中文名称：概率统计B课程英文名称：Probability Theory and Mathematical Statistics学时/学分：32/2开课学期：□√秋季先修课程：高等数学，或工科数学分析；线性代数，或工科高等代数执笔人：邢家省一、课程教学目标概率统计是工科大学的一门基础课。
本课程的任务是使学生获得概率论、数理统计的基本理论方法和基本运算技能，学会对随机问题进行定量分析，培养学生分析随机问题、解决随机问题的能力。
本课程具有独特的科学认识方法意义，并且能为后续课提供必要的数学理论基础，为培养创新人才提供必要的知识结构和思想方法。
2、教学内容及基本要求第1章随机事件的概率(4学时)随机事件与样本空间；概率的公理化定义与性质；条件概率与乘法公式；全概率公式与贝叶斯公式；事件的独立性。
基本要求:1．理解随机事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算；2．理解并熟练掌握概率的古典定义，会作计算；3．了解几何概率，了解概率的统计定义、公理化定义；4．熟练掌握概率的基本性质，会用于计算；5．理解并掌握条件概率的定义，掌握乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式；6．理解并会运用事件独立性的概念。
第二章随机变量及其分布(4学时)随机变量；随机变量的分布函数；离散型随机变量及其概率分布；两点分布，二项分布，泊松（Poisson）分布；连续型随机变量及其概率密度；均匀分布，指数分布，正态分布。
基本要求：1．理解随机变量的概念；2．理解并熟练掌握分布函数、分布律、概率密度等概念及其性质，掌握分布函数与分布律，分布函数与概率密度的关系；3．掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布，熟练掌握正态分布，会查标准正态分布表。
第三章 二维随机变量的分布(4学时)二维随机变量及其联合分布； 边沿分布函数； 边沿分布律与条件分布律； 边沿概率密度与条件概率密度； 相互独立的随机变量。
北京航空航天大学 概率统计 邢家省 第一章(第三,四节)
第一章随机事件的概率第三节条件概率与乘法公式一、条件概率的概念在随机事件的概率问题中，不仅需要研究事件A发生的概率()P A，这是在一般的样本空间的条件下考查事件A发生的概率()P A；有时还能在进一步获取一定信息的基础上再考查事件A发生的概率，即还需要考查在另一个“事件B已经发生”的条件下，事件A发生的概率。
一般地说，这两种概率未必相同。
为了区别起见，我们把后者叫做条件概率，记为)AP，读作：在条件B下事(B|件A的概率。
条件概率是概率论中一个既重要又实用的概念。
例 1 考察有两个小孩的家庭，其样本空间为{,,,}S bb bg gb gg =，其中b 代表男孩，g 代表女孩，bg 表示大的是男孩、小的是女孩。
其他样本点可类似说明。
在S 中4个样本点等可能情况下，我们来讨论如下一些事件的概率。
（1）设A =“家中至少有一个男孩”， 显然3()4P A =；（1） 若已知事件B =“家中至少有一个女孩”发生，再求事件A 发生的概率，2(|)3P A B = ； （3）3()4P B =，2()4P AB =，22()4(|)33()4P AB P A B P B === 。
为了合理地给出条件概率的定义，首先考察一个具体例子。
例1 设有某种产品50件，其中有40件合格品，而40件合格品中，有30件是一级品，10件是二级品。
在50件产品中任意取1件（设每件产品以同等可能被取到）。
试求（1） 取得的是一级品的概率；（2） 已知取得的是合格品，它又是一级品的概率。
解：令=A “取得的产品是一级品”,=B “取得的产品是合格品”。
（1） 由于50件产品中有30件一级品，因此，按古典概率定义得 535030)(==A P ;（2） 因为40件合格品中，一级品恰好有30件，故434030)|(==B A P , 可见 )()|(A P B A P ≠ .一般地，条件概率应该怎样定义呢？我们从分析上面的例1着手，先计算)(B P 与)(AB P 。
北京航空航天大学概率统计各章试题 概率统计与随机过程各章试题
第1章 随机事件的概率一、事件关系：1、设B A ,为任意两事件,则下列关系成立的是( C ).(A) A B B A =-+)( ; (B) ()A B AB A +-= ;(C) ()()A B AB B A A B -++-=+ ; (D) A B B A =+-)(.1、 设A 、B 为试验E 的两个事件,且1)(0<<B P ，则下列各式中成立的是( D )。
(A) )(1)|(A P B A P -=； (B) )|()|(B A P B A P =；(C) )()()(B P A P AB P =； (D) )|()()(B A P B P B A P = 。
二、古典概率：2、一盒内装有5个红球和15个白球,从中不放回取10次,每次取一个球,则第5次取球时得到的是红球的概率是（ B ）。
（A ）15； （B ）14； （C ）13 ；（D ）12。
三、（9分）从9~0这十个数码中任意取出4个排成一行数码,求： (1) 所取4个数码恰排成四位偶数的概率;(2) 所取4个数码恰排成四位奇数的概率;(3)没排成四位数的概率.解(1) 设=A 排成四位偶数, (末尾是2,4,6,8之一,或末尾是0), 9041)(4101139142818=+=A C A C A C A P ; (2) 设=B 排成四位奇数, 9040)(410152818==A C A C B P ; (3)设=C 没排成四位数, 101909)(4103911===A A A C P 6、从9~0这十个数码中任意取出4个排成一串数码,则数码恰成四位偶数的概率为：(A)（A ）4190 ;（B ）12；（C ）4090；（D ）3290 。
1、设有n 个球,每个球都能以同样的概率N1落到N 个格子)(n N ≥的每一个格子中, 则恰有n 个格子中各有一个球的概率为 !!()()!n n N N n n n C n A N P B N N N N n ===- 。
概率论与数理统计第一章习题及答案【范本模板】
概率论与数理统计习题 第一章 概率论的基本概念习题1-1 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列各事件.（1）A 发生,B 与C 不发生，（2）A 与B 都发生，而C 不发生，（3)C B A ,,中至少有一个发生，（4）C B A ,,都发生，（5）C B A ,,都不发生， （6）C B A ,,中不多于一个发生， （7)C B A ,,中不多于两个发生， （8)C B A ,,中至少有两个发生，解（1）A 发生，B 与C 不发生表示为C B A 或A － （AB+AC )或A － （B ∪C ) （2)A ，B 都发生，而C 不发生表示为C AB 或AB －ABC 或AB －C （3)A ，B ，C 中至少有一个发生表示为A+B+C （4)A ，B ,C 都发生，表示为ABC(5）A ，B ，C 都不发生,表示为C B A 或S － (A+B+C ）或C B A ⋃⋃（6)A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生,相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：C A C B B A ++。
（7）A ，B ，C 中不多于二个发生相当于C B A ,,中至少有一个发生。
故表示为ABC C B A 或++(8）A,B ，C 中至少有二个发生.相当于AB ，BC ，AC 中至少有一个发生.故表示为AB +BC +AC习题1-2 设B A ,为两事件且6.0)(=A P ，7.0)(=B P ,问（1）在什么条件下)(AB P 取得最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(AB P 取得最小值,最小值是多少？解 由P （A ） = 0.6，P （B ） = 0。
7即知AB ≠φ,(否则AB = φ依互斥事件加法定理， P （A ∪B ）=P (A )+P (B )=0。
6+0。
7=1.3〉1与P （A ∪B )≤1矛盾）.从而由加法定理得P （AB ）=P （A ）+P （B )－P (A ∪B )(*）(1)从0≤P （AB )≤P （A ）知,当AB =A ,即A ∩B 时P (AB ）取到最大值，最大值为 P （AB )=P （A ）=0。
北京航空航天大学 概率统计 邢家省 第一章(第一节)随机事件
2011-2012学年第2学期课程:《概率统计A》1——16周,学时:64,学分:4周一下午7-8节(15:30—17:20)，沙河校区J3-410 ；周五上午1-2节（8:10—10:00），沙河校区J3-310 。
100321，22，23，24，100325，26，27，28 。
240人。
主讲教师:邢家省办公地点:主楼主南311E-mail: xjsh@通信地址:北京航空航天大学数学与系统科学学院邮编100191同学们好！这学期由我给同学们讲授《概率统计A》《概率统计与随机过程A》这门课程,希望我和同学们共同努力, 完成这门课的讲授和学习任务。
通过课堂讲解,同学们听课学习,为同学们的知识掌握能力提高打下必要的数学基础;为专业知识的学习和运用,提供数学工具.先说一下要求和学习方法:(1)要求我自己每次上课提前十分钟到达教室,准备好上课;(2)要求同学们按时来上课、听课,遵守课堂纪律,保持安静,不影响大家听讲;(3)课前适当预习,上课时认真听课,课后及时复习,必要时,要经常复习用到的高等数学有关知识原理;(4)要及时完成作业,保证数量质量,按时交作业;作业要求独立完成,交作业的数量和质量算平时成绩,占总成绩的10%.(5)每周一上课时交作业,作业由各班课代表或学习委员收齐，交到讲台上，由我带回主校区交给助教批改。
(6)答疑方式周一下午下课后，教师留下四十分钟，解答同学们的提问。
(7)学习中遇到问题解决方法:善于提问题，自我思考，或者向教师提问，或者同学们之间互相交流。
向教师发邮件。
可搜索登录如下的网站：数学博士论坛，免费考研论坛。
这两个网站，对人们很有用，希望常去逛逛，看别人的贴子与回贴，回别人的贴子，发掘有用的东西，发自己的贴子，看别人给的解答，通过发贴回贴留下自己对社会有贡献的东西。
《概率统计与随机过程A》本课程分三个部分:一、概率论(第一章—第六章)二、数理统计(第七章—第九章)三、随机过程(第十一章—第十三章)本课程的研究对象和用处: 自然界的所有现象可分为两类:一、确定性现象:在一定条件下,某种结果是否发生,事先完全可以预言;二、不确定现象(随机现象):在一定条件下,某种结果是否发生,事先是不可能预言的.随机现象是大量客观存在的.举例:明天早上是否下雨;国庆节或春运期间去火车站买去上海的某一趟火车票能否买到;两支足球队比赛，那一个队将胜；某一河流是否暴发洪水,某一山区是否发生泥石流，某一地区是否发生地震，台风，海啸等。
北航概率统计
交换律 A B B A AB BA
结合律 ( A B) C A (B C)
( AB)C A(BC)
分配律 ( A B) C ( A C) (B C)
A (BC) ( A B)( A C)
反演律 A B A B AB A B
若 A B P(B A) P(B) P( A) P( A) P(B)
一般地，P(A- B) P(A- AB) P(A) - P(AB)
3
加法公式：对任意两个事件A, B, 有 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
P( A B) P( A) P(B)
A)
P ( B1
A)
P ( B1 B2
A) 8
乘法公式 利用条件概率求积事件的概率就是乘法公式
P( AB) P( A)PB A (P( A) 0)
P(AB) P(B)PA B (P(B) 0)
推广
P( A1A2 An ) P( A1)PA2 A1 P An A1A2 An1
已知某厂生产的灯泡能用到1000小时的概率为08能用到1500小时的概率为04求已用到1000小时的灯泡能用到1500小时的概率灯泡能用到1500小时所求概率为一盒中装有5个产品其中有3个一等品2个二等品从中不放回地取产品每次1取两次两次都取得一等品的概率2取两次第二次取得一等品的概率3取三次第三次才取得一等品的概率4取两次已知第二次取得一等品求第一次取得的是二等品的概率还是2直接解更简单某人外出旅游两天需要知道两天的天气情况据天气预报第一天下雨的概率为06第二天下雨的概率为03两天都下雨的概率为01
18
概率答案北航
概率答案北航【篇一：15春北航《概率统计》在线作业一满分答案】> 一,判断题1. 若两个随机变量的联合分布是二元正态分布，如果他们的相关系数为0则他们是相互独立的。
a. 错误b. 正确?正确答案：b2. 若a与b相互独立，那么b补集与a补集不一定也相互独立a. 错误b. 正确?正确答案：a3. 二元正态分布的边缘概率密度是一元正态分布。
a. 错误b. 正确?正确答案：b4. 若两个随机变量的联合分布是二元正态分布，如果他们是相互独立的则他们的相关系数为0。
a. 错误b. 正确?正确答案：b5. 如果相互独立的r,s服从n(u,d)和n(v,t)正态分布，那么e(2r+3s)=2u+3va. 错误b. 正确?正确答案：b二,单选题1. 已知随机变量x服从二项分布，且e（x）=2.4，d（x）=1.44，则二项分布的参数n,p的值为（）a. 4，0.6b. 6，0.4c. 8，0.3d. 24，0.1【篇二：北航15年3月课程考试《概率统计》考核要求(答案)】p class=txt>一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1.设a、b、c是三个随机事件，则事件“a、b、c不多于一个发生”的对立事件是（ b ）。
a．a、b、c至少有一个发生 b. a、b、c至少有两个发生 b．a、b、c都发生d. a、b、c不都发生2.设事件a 与b互不相容，0???b??1，则一定有（ d ）。
????c．??ab??1 d. ??ab??1a．?ab??a b. ??ab????a?3.设随机变量x在[0,2]上服从均匀分布，事件a??0?x?1?，b??1?x?2?。
则（ d ）。
a．a、b互不相容 b. a、b互相对立c．a、b相互独立 d. a、b不独立4.十个球中有三个红球七个绿球，随机地分给10个小朋友，每人一个球。
则最后三个分到球的小朋友中只有一个分到红球的概率p为（ c ）。
北京航空航天大学概率统计2012-2013(1)期末考卷A及AB卷答案
北京航空航天大学概率统计2012-2013(1)期末考卷A及AB 卷答案北京航空航天大学BEIHANG UNIVERSITY2012－2013学年第一学期期末考试统一用答题册考试课程概率统计A （A09B204A）概率统计B（A09B204B）A（试卷共6页，五道题）班级_____________ 学号 _____________姓名______________ 成绩 _________考场教室_________ 任课教师_________2013年元月18日10:30--12:30一、单项选择题（每小题4分，满分36分）1、设随机变量X 存在数学期望EX 和方差0DX ≠,则对任意正数ε,下列不等式恒成立的是 。
（A ）2{||}DXP X EX εε-≥>； （B ）2{||}1DXP X EX εε-<<-；（C ）21{||}P X DX ε≥≤； （D ）22||{||}E X P X εε≥≤。
2、设事件A 、B 同时发生时,事件C 必然发生,则下列结论成立的是 。
(A) 1)()()(-+≥B P A P C P ； (B) )()(B A P C P +=；(C) )()(AB P C P =； (D) ()()()()P C P A P B P A B ≤+-+ 。
3、对随机事件B A ,,下列命题正确的是 。
（A ）如果B A ,互不相容,则B A ,也互不相容； （B ）如果B A ,互逆,则B A ,也互逆 ；（C ）如果B A ,互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则B A ,相互独立； （D ）如果B A ,相容,则B A ,也相容。
4、设随机变量),(Y X 的分布函数为(,)F x y ，对任意实数z ，则有{max{,}}P X Y z ≤= 。
（A ）1{,}P Xz Y z ->> ， (B) {}{}P X z P Y z ≤+≤,(C) (,)F z z , (D) 1(,)F z z -。
北航 概率统计课件 1.2
9点
10点
P( A) 10 1 60 6
几何概型 设样本空间是一个有限区域S，若样本点
落入S内任何区域A 中的概率与区域A 的测度 成正比，则样本点落入A内的概率为
P( A)
A的测度 S 的测度
L( A) L(S)
几何概型的性质：
非负性：A S, P(A) 0
规范性： P(S) 1
规范性： P( ) 1
可列可加性：P
i1
Ai
i1
P( Ai )
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1, A2, An为两两互斥事件，
P n
i1
Ai
n i1
P( Ai )
例3 5个有区别的球随机的放入10个盒内，求
恰有且仅有2个球放在同一盒内的概率。
C2(P4 P2)
P 5 10
10
105
以放球的方法为 样本！
例4 （分房问题）设有 k 个不同的球，每个球 等可能地落入 N 个盒子中（k N）, 设每 个盒子容纳的球数无限，求下列事件的概 率
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
§1.2 概率的定义及其性质
古典定义
几何定义
统计定义
概率的公理化定义
我的邮箱：jqx_zhq@
课程邮箱：buaaprobability @
密 码：
111222
等可能（古典）概型
定义 设 E 是一随机试验，它具有下列特点： 基本事件的个数有限 每个基本事件发生的可能性大小相同 则称 E 为 等可能概型
概率统计第一章小结及习题
令Ak 摸出的r个球中有i个红球，i=1，2， ，n
P
Ai
Cni C
r m
i
Cr mn
,i
1, 2,
n
1 P
i 1
Ai
n i 1
Cni Cmri Cr
mn
,n
n
即
Cni Cmri
Cr mn
i 1
2．怎样认识小概率事件？
在进行假设检验时，运用实际推断原理：如果一个事 件A的概率很小，则在一次试验中，认为事件A实际上不会 发生。
5．公理化定义：概率为定义在事件域F上的一个满足非负 性、规范性、可列可加性的一个集函数。
一、概率的计算公式
1．加法公式
(1)如果事件A1, , An两两互不相容，则
P A1
An =P A1 +P A2 + +P An
(2)如果事件A1, , An相互独立，则
P A1
n
An =1－１－P Ai
但在大量独立重复试验中，A至少发生一次的概率为1。
设P A ，Ak A在第k次中生，则
P Ak ，P Ak 1
pn P A1 A2
An 1 1 n
lim
n
pn
lim
n
1
1
n
1
3．概率为零的事件和不可能事件
不可能事件的概率为0，但概率为0的事件未必是不可 能事件。同样地，必然事件的概率为1，但概率为1 的事件 未必是必然事件。
5．先下手为强吗？
甲、乙两人的射击水平相当，比赛规则为：双方轮流射击， 若一方失利，由另一方射击，直到有人命中目标为止。命中 的一方为获胜者。你认为先射击的一方是否有利？
《概率论与数理统计》第一章-习题及答案
《概率论与数理统计》第一章习题及答案习题1.11. 将一枚匀整的硬币抛两次，事务C,分别表示“第一次出现A,B正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事务C,中的样本点。
A,B解：{=Ω(正，正)，〔正，反〕，〔反，正〕，〔反，反〕} {=A(正，正)，〔正，反〕}；{=B〔正，正〕，〔反，反〕} {=C(正，正)，〔正，反〕，〔反，正〕}2. 在掷两颗骰子的试验中，事务D,,分别表示“点数之和为A,BC偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。
试写出样本空间及事务D-+,-,,中AB-,ABCABCBCA的样本点。
解：{})6,6(,=Ω；),2,6(),1,6(,),2,1(),1,1(),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(AB；={})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,+BA；=),5,1(),3,1(),1,1(A；C=Φ{})2,2(),1,1(BC；={})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(BA-DC-=-3. 以C,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用A,B,表示以下事务：A,BC〔1〕只订阅日报；〔2〕只订日报和晚报；〔3〕只订一种报； 〔4〕正好订两种报； 〔5〕至少订阅一种报； 〔6〕不订阅任何报； 〔7〕至多订阅一种报； 〔8〕三种报纸都订阅； 〔9〕三种报纸不全订阅。
解：〔1〕C B A ； 〔2〕C AB ；〔3〕C B A C B A C B A ++； 〔4〕BC A C B A C AB ++;〔5〕C B A ++； 〔6〕C B A ；〔7〕C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ 〔8〕ABC ； 〔9〕C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事务321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。
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例5 已知事件C B A ,,相互独立, 3.0)(=A P ,4.0)(=B P ,8.0)(=C P , 求)}({B A C P --.解 )}({B A C P -- }{B A C P -=}{B A C P = )}({B A C P +=}{CB A C P += )(}{}{CB A C P CB P A C P -+= )()()()()()()(C P B P A P B P C P A P C P -+= )()()()()(A P B P C P A P C P += ()]()()(1)[(A P B P A P C P +-= )]()(1)[(B P A P C P -=)656.03.04.08.07.08.0=⨯⨯+⨯= . 或)}({B A C P --)}({B A C C P --=}{B CA C P -= )()(B CA P C P -= )()()()(B P A P C P C P -= )]()(1)[(B P A P C P -=656.082.08.0]6.03.01[8.0=⨯=⨯-=. 或)}({B A C P --}{B A C P -=}{B A C P = )}({B A C P +=)()(B A P C P += )](1)[(B A P C P +-=)](1)[(B A P C P -= )]()(1)[(B P A P C P -=656.082.08.0]6.03.01[8.0=⨯=⨯-=. 注意: B A C B A C +-≠--)()(. 例 6 设某型号的高射炮,每一门炮发射一发炮弹而击中飞机的概率是0.5。
问至少需要几门高射炮同时射击（每炮只射一发）才能以99%的把握击中来犯的一架敌机。
解 设需要n 门高射炮同时射击才能以99%的把握击中来犯的一架敌机，令=i A 第i 门炮击中敌机， =A 敌机被击中,则∑==+++=ni i n A A A A A 121Λ,)(1)()(11∑∑==-==ni i n i i A P A P A P )(121n A A A P Λ-= )()()(121n A P A P A P Λ-=99.0)5.0(1≥-=n , 于是得 n 5.001.0≥,n ⋅≥5.0lg 01.0lg ,644.65.0lg 01.0lg ≈≥n ,取7=n .故至少需要7门高射炮同时射击. 例7 甲乙丙三人向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只一人击中,则飞机被击落的概率是0.2;若有二人击中,则飞机被击落的概率是0.6; 若有三人击中,则飞机一定被击落.求飞机被击落的概率.解 设=A 飞机被击落,=i B 飞机被i 个人击中,=i A 第i 个人射击击中飞机,3,2,1=i ,由题设条件知,4.0)(1=A P ,5.0)(2=A P ,7.0)(3=A P , 321,,A A A 相互独立,2.0)|(1=B A P ,6.0)|(2=B A P ,1)|(3=B A P , 3213213211A A A A A A A A A B ++=, 3213213212A A A A A A A A A B ++=, 3213A A A B =,由概率的可加性和事件的独立性得)()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P ++= )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++= 36.0=,)()()()(3213213212A A A P A A A P A A A P B P ++= )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++= 41.0=,)()(3213A A A P B P =)()()(321A P A P A P = 14.07.05.04.0=⨯⨯=,由全概率公式)|()()(31i i i B A P B P A P ∑==114.06.041.02.036.0⨯+⨯+⨯= 458.0= .例8 将4只有区别的球随机放入编号为5~1的五个盒中(每盒容纳球的数量不限).求(1)至多两个盒子有球的概率;(2)空盒不多于2个的概率.解 方法一设=A 至多两个盒子有球, =B 空盒不多于2个, =i A 恰有i 个空盒,4,3,2,1=i , 则21A A B +=,且21,A A 互不相容,41515!4)(⋅=C A P ,4242525!3)(C C A P ⋅=, 768.012596)()()(21==+=A P A P B P , =B 空盒多于2个= 至少有三个空盒= 至多两个盒子有球A =,232.0)(1)()(=-==B P B P A P .方法二设=A 至多两个盒子有球, =B 空盒不多于2个,=i B 恰有i 个盒子有球,4,3,2,1=i ,则21B B A +=,且21,B B 互不相容,A B = ,41515)(C B P =,425242533142521)(A C A C C B P +=,(把4个球分成两组,一种是1个和3个,另一种是从4个球中取出2个球在一起和余下2个球自然在一起,(考虑到对称性,不分组顺序),例如设四个球分别为d c b a ,,,,两只球在一起,分组为)},(),,{(d c b a ,)},(,),,{(d b c a ,)},{(),,{(c b d a ;)},(),,{(.d a c b ,)},(),,{(c a d b ,)},).(,{(b a d c ,但是后三个与前三个是实为一样的). 232.012529)()()(21==+=B P B P A P , 768.0)(1)()(=-==A P A P B P . 例9 在除去大小王的一副54张扑克牌中,随机抽取2张,求恰取到2张不同花且最大点数为7的概率.解 设=A 恰取到2张不同花且最大点数为7,方法一:17125152136)()(25222161224=⨯⨯=+=C C C C C A P ,(先取两色,只一个7或两个7)方法二:17125152672)(2522411814=⨯+=+=C C C C A P(取出一张花色的7,然后从其它三种花色的6~1中任取一张,或直接取出两个花色的7).方法三:17125152136)162()67()(252242522224=⨯⨯=+⨯=-=C C C C A P ,(先取两色,从每色的7~1取出一张,去掉不含7的)(如果171262825152214)(25212114⋅=⨯⨯==C C C A P , 则错了,错在何处,这种想法是从4色中取出一个7,其它三色的7~1中取出一个.这样算有重复的,如先取出红桃7,再取出方砖7与先取出方砖7,再取出红桃7,是一样的)方法四:17151267825152684)(2522412114=⨯=⨯-=-=C C C C A P . 例10 从5双不同的鞋子中任取 4只,求下列事件的概率,(1) 没有成对的鞋子;(2) 至少2只配成一双.解 设=A 没有成对的鞋子, =B 至少2只配成一双, A B = ,方法一 218)()(41041245==C C C A P , (从5双中任取4双,再从每双中任取一只),21132181)(1)()(=-=-==A P A P B P .方法二218)(410141618110==A C C C C A P , (第一次从10只中任取一只, 第二次从其它4双中任取一只, 第三次从其它3双中任取一只, 第四次从其它2双中任取一只.) 方法三2113)()(410252122415=+=C C C C C B P , (恰两只成一双另两只来自不同双,或恰成两双)方法四2113)21()(41025161815=+⋅=C C C C C B P , 方法五2113)(410252815=-=C C C C B P , (从5双中任取一双,然后从其它4双鞋中任取两只,其中成两双鞋的次数计了两次,去掉).先下手为强例11甲、乙两人的射击水平相当,于是约定比赛规则:双方对同一目标轮流射击,若一方失利,另一方可以继续射击,直到有人命中目标为止.命中一方为该轮比赛的优胜者.你认为先射击者是否一定沾光？为什么？解 设甲、乙两人每次命中的概率均为p ,失利的概率为q )1,10(=+<<q p p ,令}{次射击命中目标第i A i =,(Λ,2,1=i ).假设甲先发第一枪,则=)(甲胜P)(543213211Λ+++A A A A A A A A A P Λ+++=)()()(543213211A A A A A P A A A P A P Λ+++=p q p q p 42)1(42Λ+++=q q p211q p -=q +=11 ,又可得)(1)(甲胜乙胜P P -=q +-=111q q +=1,因为10<<q ,所以)()(乙胜甲胜P P >. 注： 之所以在比赛时经常要用抽签来决定谁“先下手”,原因在于“先下手”就是沾便宜.(当然是在实力相当的条件下),“狭路相逢勇者胜”.今天的学习评比,求职,工作等竞争事项,也是要抢先一步,采取积极主动,才能取的预期目标.被动就会挨打,失去战机,导致失败.机会光顾那些有时刻准备,并抢先一步的人.例12 甲袋中装有4只红球,2只白球,乙袋中装有2只红球,3只白球.从甲袋中任取2只球放入乙袋中,然后再从乙袋中任意取出一只是红球.试求甲袋中取出的2只全是红球的概率. 解 设=A 从乙袋中任意取出一只是红球,=i B 从甲袋取出的2只球中有i 只红球,2,1,0=i ,根据题设条件知 26224)(C C C B P i i i -=, 1712)|(C C B A P i i +=,2,1,0=i ,利用贝叶斯公式得所求概率为 2512)|()()|()()|(20222==∑=i ii B A P B P B A P B P A B P .例13 已知100只集成电路中不合格品数从3~0是等可能的.从中任意取出4只,经检测均为合格品,求此100只集成电路没有不合格品的概率.解 设=A 取出4只均为合格品,=i B 100只集成电路中有i 只不合格品,3,2,1,0=i ,根据题设条件知41)(=i B P ,41004100)|(C C B A P i i -= ,3,2,1,0=i ,利用贝叶斯公式得所求概率为2656.0)|()()|()()|(30000==∑=i ii B A P B P B A P B P A B P .例14 工厂生产的产品合格率 是0.96.为确保出厂产品质量,需要进行检查,由于直接检查带有破坏性,因此使用一种非破坏性的但不完全准确的简化检查法.经试验知一个合格品用简化检查而获准出厂的概率是0.98, 而一个废品用简化检查而获准出厂的概率是0.05.求使用这种简化检查法时,获得出厂许可的产品是合格品的概率及未获得出厂许可的产品是废品的概率.解 设=A 产品获准出厂, =A 产品未获准出厂,=B 产品是合格品,=B 产品是不合格品 ,根据题设条件知96.0)(=B P , 04.0)(=B P , 98.0)|(=B A P , 05.0)|(=B A P , 利用贝叶斯公式得所求概率为)|()()|()()|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P += 9979.005.004.098.096.098.096.0=⨯+⨯⨯=;)|()()|()()|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P += 6643.002.096.095.004.095.004.0=⨯+⨯⨯= . 例15 设B A ,为任意事件, 证明|)()()(|B P A P AB P -2121))](1)(([))](1)(([B P B P A P A P --≤ .证明 若0)()()(≥-B P A P AB P , 由于)()()()()()(B P A P A P B P A P AB P -≤- ))(1)((B P A P -=,)()()()()()(B P A P B P B P A P AB P -≤-))(1)((A P B P -=，综合这两个不等式,得2)]()()([B P A P AB P -))(1)((B P A P -≤))(1)((A P B P -⋅,即得|)()()(|B P A P AB P -2121))](1)(([))](1)(([B P B P A P A P --≤ ;若0)()()(≤-B P A P AB P , 由1)()()()(≤+=-+B A P AB P B P A P ,得)()(1)(B P A P AB P --≤-, 由此得)()()(0AB P B P A P -≤)()(1)()(B P A P B P A P --+≤ ))(1))((1(B P A P --=, 显然)()()(0AB P B P A P -≤)()(B P A P ≤, 综合这两个不等式,得 2)]()()([AB P B P A P -))(1))((1(B P A P --≤)()(B P A P ⋅, 即得|)()()(|B P A P AB P -2121))](1)(([))](1)(([B P B P A P A P --≤, 证毕.。