第4讲 图像增强之直方图修改

64×64大小的图像灰度分布表 n rk nk P (r )
k r k
n
r0 =0
790
0.19
r1=1/7
r2=2/7 r3=3/7 r4=4/7 r5=5/7
1023
850 656 329 245
0.25
0.21 0.16 0.08 0.06
0.25 0.21 0.19 0.2 0.16
0.3
0.06
0.03 0.02
0 1 2 3 4 5 6 7
(a) 原始图像直方图 1 0.8 0.6 0.4 0.19 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7
( b)均衡化变换函数（即累积直方图）
0.98 1 0.95 0.89 0.81 0.65 0.44
0.25 0.21 0.19 0.2 0.16
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4.4 直方图规定化（直方图匹配）
－算法实现：
1）求出灰度级变换T
2）求出灰度级变换G，同时求出逆变换G-1
3）通过T和G-1求出复合变换H
4）用H对图象做灰度级变换
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4.4 直方图规定化（直方图匹配）
4.2 直方图修改技术的基础
4.2.2 直方图的定义直方图 (Histogram)：
为了有利于数字图像处理，必须引入离散形式。在离散形
式下，用 rk 代表离散灰度级，用 Pr rk 代表 Pr r ，并且有下式
( )
()
成立，即
nk Pr (rk ) 0 rk 1 n k 0, 1, 2, , l 1
s T ( r ) pr ( )d
0
r
式中：ω是积分变量，
d 是r的累积分布 数。
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4.3 直方图均衡化
当灰度级是离散值时，
nk pr ( rk ) n
0 rk 1 k 0,1,, l 1
式中：l是灰度级的总数目，pr(rk)是取第k级灰度值的概率，nk
－算法来源背景： • 直方图均衡化的缺陷：不能用于交互方式
的图象增强应用，因为直方图均衡化只能
产生唯一结果。
• 希望通过一个指定的函数（如高斯函数）
或用交互图形产生一个特定的直方图。
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4.4 直方图规定化（直方图匹配）
－算法思想：
设：
{rk}是原图象的灰度级,
{zk}是符合指定直方图结果图象的灰度级
我们的目标是：找到一个灰度级变换H，有：
z = H(r)
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4.4 直方图规定化（直方图匹配）
－算法步骤：
1) 对{rk}、{zk}分别做直方图均衡化
s T (r ) pr ( )d
0
r
pr ( ) 为原始图像灰度分布的PDF， pZ ( )为希望得到的PDF。
0.1
0
0.08
0.06
0.03 0.02
r6=6/7
r7=1
122
81
0.03
0.02
0 1 2 3 4 5 6 7
(a) 直方图
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序号 1
运算 列出原始图像灰度级rk 0 1 2
步骤和结果 3 4 5 6 7
2
3
统计各灰度级像素个数nk
计算原始直方图Pr(rk)
790
（1） 在0≤r≤1区间内，T(r)值单调增加；
（2） 对于0≤r≤1， 有 0≤T(r)≤1。
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1
s
sk
T( r
k
)
O
rk
1
r
单调递增的灰度级变换函数
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4.3 直方图均衡化
直方图均衡化处理是以累积分布函数变换法为基础的 直方图修正法。假定变换函数为
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4.2 直方图修改技术的基础
4.2.4 直方图修改技术的基础
一幅给定图像的灰度级分布在 0≤r≤1范围内，可以对［0, 1］
区间内的任一个r值进行如下变换：
s=T(r)

通过上述变换，每个原始图像的像素灰度值 r都对应产生一个 s
值。变换函数T(r)应满足下列条件：
0.19 0.19 1 0->1
1023
0.25 0.44 3 1->3 790 0.19
850
0.21 0.65 5 2->5
656
0.16 0.81 6
329
0.08 0.89 6
245
0.06 0.95 7
122
0.03 0.98 7 5,6,7->7
81
0.02 1.00 7
4
5 6 7 8
v G( z) pz ( )d
0
z
2) 求G变换的逆变换 z = G-1 (v)
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4.4 直方图规定化（直方图匹配）
3) 根据均衡化的概念，s，v都是常量
用 s替代v有
z = G-1 (s)
2) 求G-1和T的复合变换，有： z = G-1 (T(r)) = G-1T(r) H = G-1T
任课教师 吴媛媛 E_mail: yuanyuanwu29@
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第4讲 图像增强——直方图修改 4.1 图像增强前言 4.2 直方图修改技术的基础（本章重点） 4.3 直方图均衡化（本章重点） 4.4 直方图规定化（本章难点） 4.5 图像对比度处理
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经直方图均衡化后的Lena图像及直方图
(a) 经直方图均衡化后的Lena图像； （b） 均衡化后的Lena图像的直方图
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4.4 直方图规定化（直方图匹配）
4.4 直方图规定化（直方图匹配） Histogram Specification (Matching)
直方图均衡化处理的特征：
自动化处理； 图像动态范围增加； 灰度简并现象。
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心脏医学图像及直方图
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经直方图均衡化后的图像及直方图
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Lena图像及直方图
（a） Lena图像；（b） Lena图像的直方图
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4.2 直方图修改技术的基础
概率密度曲线：用直角坐标系的横轴代表灰度级r，纵轴代表 灰度级的概率密度函数pr(r)，可作出一条曲线。这条曲线在
概率论中就是概率密度曲线。
Pr (r) Pr (r)
0 (a)
1
r
0
1
r
图像灰度分布的概率密度函数 (b)
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是图像中出现第k级灰度的次数，n是图像中像素总数。则：
sk T (rk )
j 0
k
nj n
pr (rj )
j 0
k
0 rj 1
k 0,1,, l 1
其反变换式为
rk T ( sk )
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1
4.3 直方图均衡化
直方图均衡化计算示例：
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(a)
(b)
图像与直方图间的多对一关系
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(a)
(b)
(c)
直方图的分解
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Lena图像及直方图
（a） Lena图像；（b） Lena图像的直方图
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钟楼图像及直方图 （a）钟楼图像；（b）钟楼图像的直方图
2
5 36
3
6 36
14 36
2 36
5 6
4
图像灰度直方图
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4.2 直方图修改技术的基础
4.2.3 直方图的性质 （1）直方图只包含了图像中某一灰度值的像素出现的概率信息， 而丢失了其所在位置的信息。
（2）图像与直方图之间是多对一的映射关系。
（3）由于直方图是对具有相同灰度值的像素统计得到的， 因 此，一幅图像各子区的直方图之和就等于该图像全图的直方
4.1 图像增强前言
图像增强：是指按特定的需要突出一幅图像中的某些信息，同时， 削弱或去除某些不需要的信息的处理方法。 图像增强的目的：是使处理后的图像对某种特定的应用来说，比原 始图像更适用。处理的结果使图像更适合于人的视觉特性或机器的 识别系统，而这种处理有可能损失一些其他信息。
可能的处理：去除噪声、边缘增强、提高对比度、增加亮度、改善颜色效果、 改善细微层次等——通常与改善视觉效果相一致。
j 0 k
3、用新灰度代替旧灰度，求出 Ps(sk) ，这一步 是近似的，力求合理，同时把灰度相等的或 相近的合在一起。
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4.3 直方图均衡化
由上面的例子可见，利用累积分布函数作为灰度变换函数，经变 换后得到的新灰度的直方图虽然不很平坦，但毕竟比原始图像的直 方图平坦得多，而且其动态范围也大大地扩展了。另外，从上例中 可以看出变换后的灰度级减少了，这种现象叫做“简并”现象。
式中，式中 nk 为图像中出现 rk 这种灰度的像素数， n 是图
nk 像中像素总数，而 n
就是概率论中所说的频数。在直角坐标
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系中作出 rk 与 Pr(rk)的关系图形，这个图形称为直方图。