三角代换公式

三角代换公式

常用的三角代换可以总结为以下几种： 1. 代数问题中的三角代换

（1）对于1≤x ，可做代换ϕsin =x ，或ϕcos =x ；对于1≥x ，可做代换ϕsec =x ，或ϕcsc =x ；对于R x ∈，可做代换ϕtan =x ，或ϕcot =x .

（2）形如()()∞+∈=+,0,,a y x a y x ，可作代换ϕϕ2

2

c o s ,s i n a y a x ==；形如

()()0,,0,≠∞+∈=-a y x a y x ，可作代换ϕϕ22tan ,sec a y a x ==.

（3）形如2

2

2

a

y x =+，可作代换ϕϕcos ,sin a y a x ==；形如2

22a

y x =-，可作代

换ϕϕtan ,sec a y a x ==. （4）形如()()∞+∈=+,0,,3

3

3

a y x a

y x ，可作代换ϕϕ3

232cos ,sin a y a x ==.

（5）形如()()∞+∈≤+,0,1y x y x ，可作代换()

1cos ,sin 2

222≤==r r y r x ϕϕ；形如

()()∞+∈≥+,0,1y x y x ，可作代换()1cos ,sin 2222≥==r r y r x ϕϕ.

（6）形如12

2

≤+y x ，可作代换()

1cos ,sin ≤==r r y r x ϕϕ；形如12

2≥+y x ，可作代换()

1cos ,sin ≥==r r y r x ϕϕ.

（7）形如x -1可作代换ϕ2s in =x ，或ϕ2

c o s =x ；形如

22a x +，可作代换

ϕtan a x =；形如22a x -，可作代换ϕsec a x =，或ϕcsc a x =；形如22x a -，可

作代换ϕsin a x =，或ϕcos a x =.

（8）形如2

22211,12,12x x x x x x +-+-，可作代换ϕtan =x ，或ϕ

cot =x ；形如xy y

x xy y x -++-1,1，可作代换βαtan ,tan ==y x .

（9）形如x y z z y x =++，可作代换γβα

t a n ,t a n ,t a n ===z y x （其中Z ∈=++n n ,πγβα）.

（10）形如1=++zx yz xy ，可作代换2

tan

,2

tan

,2

tan

γ

β

α

===z y x （其中

()Z ∈+=++n n ,12πγβα）.

上述各种代换 ，是三角代换中带有规律性的东西，恰当地运用这些规律，有助于熟悉三角代换的技能，减少代换的盲目性，提高解题的成功率.

2. 直角三角形中的三角代换

设在RT ∆ABC 中，

90=∠C ，则a

b

A b a A c b A c a A ====

cot ,tan ,cos ,si n ，通过构造直角三角形可实施边角转换. 从而把有关角（或边）的问题转化为边（或角）的问题来

处理.

3. 长方体内的三角代换

设c b a ,

,为长方体的三边长，过同一顶点的三条棱和过该点的对角线的夹角为

γβα,,（γβα,,均为锐角）

，则称下列代换为长方体内的三角代换. c b a c

c b a b c b a a ++=

++=++=

γβαcos ,cos ,cos ， c

b a b

a c

b a a

c c b a c b +++=

+++=+++=

γβαsin ,sin ,sin . 显然，2sin sin sin ,1cos cos cos 2

2

2

2

2

2

=++=++γβαγβα.

4. 球面上的三角代换

球心为原点()0,0O ，半径为R 的球的方程为2

2

2

2

R z y x =++. 可作代换：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛≤≤≤≤⎪⎩

⎪

⎨⎧===πϕπθϕθϕθϕ020cos sin sin cos sin R z R y R x . 若z y x ,,满足2

2

2

2

R z y x ≤++，则可作代换：

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛≤≤≤≤≤≤⎪⎩⎪

⎨⎧===πϕπθϕθϕθ

ϕ0200cos sin sin cos sin R r r z r y r x .