§1-5多项式的因式分解定理

§1-5多项式的因式分解定理
多项式在有理数域、实数域、复数域上的因式分解

在不同的系数域上，具有不同形式的分解式
什么叫不能再分？
平凡因式：
零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积
Definition8：（不可约多项式）令的一个次数大于零的多项式，如果中只有平凡因式，就称f(x)为数域P上（或在P[x]中）的不可约多项式。（p(x)在数域P上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x)就说是在数域P上（或在P[x]中）是可约的。
　如果，
　都小于的次数。
　反之，若能写成两个这样多项式的乘积，那么有非平凡因式；如果P[x]的一个n次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n的多项式
　即 那么在P上可约。
由不可约多项式的定义可知：
任何一次多项式都是不可约多项式的。
不可约多项式的重要性质：
一个多项式是否不可约是依赖于系数域；
1.如果多项式不可约，那么P中任意不为零的元素c与的乘积c都不可约。
2.设是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者与P(x)互素，或者整除P(x).
3.如果多项式与的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除。
Theorem5.如果是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式的乘积,那么一定整除这些多项式之中的一个.
证明:对被除多项式的个数s用数学归纳法
当s=1时,显然成立;
假设s=n-1 时,结论成立;
当s=n时,令,
如果命题成立,
如果,从而,即 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证.
因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个次多项式都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；

所谓唯一性是说，如果有两个分解式

那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有

标准分解式（典型分解式）：
其中c是f(x)的首项系数，是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而正整数。
例1：在有理数域上分解多项式， 。

例2：求 。

例3.求
分解式.
例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式
和 为不可约多项式的乘积。
解: Q[x]

在Q[x]上
;
在R[x]上
;
在C[x]上

??

??

??

??