多项式因式分解的几种方法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
多项式因式分解的几种方法
在给定的数域上,把一个多项式分解成若干个不可约多项式的积的形式,叫做多项式的分解因式。
多项式的分解因式是一种重要的恒等变形,在初等数学中有着广泛的应用。
在初中代数中,已经学习过提取公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法等基本方法。
这些方法要根据多项式的结构特征灵活地加以应用。
这里,讨论几种分解因式的其他方法,这里的因式分解都是在有理数域上进行的。
1 用待定系数法分解因式
用待定系数法分解因式,就是按已知条件把原式假设为若干个因式的乘积,使这些因式的乘积与原式组成恒等式,求出各待定系数的值。
例1,分解因式x4-x3-5x2-6x-4
解:设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ɑx+b)(x2+cx+d)
=x4+(ɑ+c)x3+(b+ɑc+d)x2+(ɑd+bc)x+bd
比较对应的系数,得ɑ+c=-1b+ɑc+d=-5ɑd+bc=-6bd=-4 ?圳ɑ=1b=1c=-2d=-4 ∴x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)
例2,分解因式2x2-7xy+3y2+5xz-5yz+2z2
解:这是一个关于x, y, z的二次齐次式,注意到2x2-7xy+3y2=(2x-y)(x-3y),可设
2x2-7xy+3y2+5xz-5yz+2z2 =(2x-y+ɑz)(x-3y+bz)
=2x2-7xy+3y2+(ɑ+2b)xz-(3ɑ+b)yz+ɑbz2
比较对应的系数,得ɑ+2b=53ɑ+b=5ɑb=2 ?圳ɑ=1b=2
∴2x2-7xy+3y2+5xz-5yz+2z2=(2x-y+z)(x-3y+2z)
2 用余数定理和综合除法分解因式
多项式f(x)有因式x-ɑ的充要条件是f(ɑ)=0,ɑ就是f(x)的一个有理根。
求出f(x)的有理根,就能得到f(x)的一次因式。
这一方法的关键是如何寻找有理根。
【定理】设f(x)=ɑ0xn+ɑ1xn-1+…ɑn是一个整系数多项式。
若有理数■是f(x)的一个根(这里u和v是互素的整数),那么v整除f(x)的最高次项系数ɑ0,而u整除f(x)的常数项ɑn 。
例3,分解因式f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+6
解:因为f(x)的最高次项系数2的因数是±1,±2,常数项6的因数是±1,±2,±3,±6,所以可能的有理数根是±1,±2,±3,±6,±■,±■。
∵f(1)=0,f(-1)=12 ∴1是f(x)的根,
-1不是。
用综合除法,经过逐次试除,-2,-3,■也是f(x)的根,其余不是。
以2与-2为例:
∴f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+6=(x-1)(x+2)(x+3)(2x-1)
3 利用行列式分解因式
被分解的多项式有时可表示成适当的行列式,根据行列式的性质,对行列式进行推演,逐步化成因式乘积的形式。
例4,分解因式x4+6x3+x2-24x-20
解:原式=(x2+6x+1)-4(6x+5)
=x2 6x+54 x2+6x+1=x2-4 4-x2 4 x2+6X+1
=(x2-4)1-14 x2+6x+1
=(x2-4)(x2+6x+5)
=(x+2)(x-2)(x+1)(x+5)
例5,分解因式x2z+z2y+y2x-xz2-zy2-yx2
解:原式=1 1 1x2 z2 y2x z y=1 0 0x2 z2-x2 y2-x2x z-x y-x
=(z-x)(y-x)z+x y+x 11
=(z-x)(y-x)(z-y)
因式分解的问题形式多种多样,解题时要多做试探,灵活地运用各种方法,才能顺利地解决问题。
参考文献:
[1]赵振威主编.中学数学教材教法[M].上海:华东师范大学出版社,1999.
[2]张禾瑞,郝鈵新编.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1999.。