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高三数学期末考试理科(含答案)

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高三数学试卷期末理

高三数学试卷期末理

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2ax + b，若f(x)在区间[1, 3]上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A. a ≤ 1B. a ≥ 3C. a ≤ 3D. a ≥ 12. 下列命题中正确的是（）A. 函数y = log2(x - 1)的图像在y轴上对称B. 函数y = e^x的图像过点(0, 1)C. 函数y = sin(x)的周期为πD. 函数y = -x^2的图像开口向下，顶点坐标为(0, 0)3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 35，S10 = 85，则数列{an}的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知圆O的方程为x^2 + y^2 = 4，直线l的方程为y = kx + 2。

若直线l与圆O相交于两点，则k的取值范围是（）A. -√3 < k < √3B. -2 < k < 2C. k ≠ 0D. k ≠ ±25. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/56. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[-1, 2]上的最大值为3，则f'(x) = 0的根的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - n + 1，则数列{an}的前n项和Sn为（）A. n^3 - n^2 + nB. n^3 - n^2 + 1C. n^3 - n^2 - nD. n^3 - n^2 - 18. 已知复数z = 2 + 3i，若|z - 2i| = |2i - z|，则复数z的实部为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则数列{an}的前n项和Sn为（）A. 2^n - 1B. 2^n - 2C. 2^n + 1D. 2^n + 210. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 3，f'(2) = 6，则a + b + c的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每题5分，共50分）1. 函数y = 2x^3 - 6x^2 + 9x + 1的图像的对称轴方程为______。

2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2023届四川省泸县第四中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=（ ）．A ．()2,3-B ．()2,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A【分析】解绝对值不等式、一元二次不等式分别求集合A 、B ，再由集合并运算求A B ⋃. 【详解】由题设{|22}A x x =-<<，{|03}B x x =<<， 所以(2,3)A B =-. 故选：A2．若复数()()211i z x x =-++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数x 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-1或1【答案】C【分析】根据纯虚数的定义列出方程(组)求解.【详解】由已知得21010x x ⎧-=⎨+≠⎩，解得1x =,故选：C3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5 【答案】C【分析】利用各组的频率之和为1，求得a 的值，判定A ；根据众数和中位数的概念判定BC ；根据频率估计概率值，从而判定D.【详解】()0.0350.0300.0200.010101a ++++⨯=，解得0.005a =，故A 正确； 频率最大的一组为第二组，中间值为4050452+=，所以众数为45，故B 正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为()0.0200.010100.30.5+⨯=<，所以60不是中位数，故C 错误；由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为()0.030.02100.5+⨯=，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.5，故D 正确. 故选:C4．若实数x ，y 满足约束条件2301030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）．A ．1-B ．4C ．5D ．14【答案】B【分析】由题设作出不等式组表示的区域，结合2z x y =+的几何意义即可求出答案. 【详解】作出不等式组表示的区域如下图中阴影部分，直线2z x y =+化为：1122y x+z =-表示斜率为12-的一组平行线，当1122y x+z =-经过点B 有最小值，由302101x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以()2,1B ，则2z x y =+的最小值为：224z =+=.故选：B.5．执行下面的程序框图，如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为（ ）A ．14B ．18C ．116D ．132【答案】C【分析】由已知的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运算过程，即可得解.【详解】解：执行下面的程序框图，已知S ＝1，n ＝0，m ＝12； 执行循环体S ＝12，m ＝14，n ＝1；S ＝14，m ＝18，n ＝2；S ＝18，m ＝116，n ＝3；S ＝116，m ＝132，n ＝4； 如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为116． 故选：C ．6．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bty ae-=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（ ）. A ．24min B ．26min C ．8min D ．16min【答案】D【分析】依题意有8b ae -= 12a ，解得ln28b =，得到ln 28t y ae -=，再令8a y =,求解得到t 的值，减去最初的8min 即得所求． 【详解】依题意有8b ae -=12a ，即8b e -= 12，两边取对数得ln281ln28ln ln2,,28t b b y ae --==-∴=∴= ， 当容器中只有开始时的八分之一，则有ln2ln2881188t t ae a e --=∴=， 两边取对数得ln21ln 3ln2,2488t t -==-∴=， 所以再经过的时间为()24816min -=． 故选:D ．7．已知α满足sin()4πα+，则2tan tan 1αα=+（ ）A ．3B ．﹣3C ．49D ．49-【答案】D【分析】首先化简sin()4πα+得到8sin 29α=-，接着化切为弦将2tan tan 1αα+表示成1sin 22α，代入求解即可.【详解】解：∵sin()cos )4a παα+=+，即1sin cos 3αα+=，平方可得112sin cos 9αα+=，∴8sin 29α=-， 故222tan 12sin cos 14sin 2tan 12sin cos 29ααααααα=⨯==-++；故选：D ．【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．8．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-=相切，则实数=a （ ） A ．2或3- B ．2-或3 C ．2 D ．3【答案】A【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：因为322y x x x =-++，当1x =时3y =，又2321y x x '=-+，所以1|2x y ='=，所以曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为()321y x -=-，即210x y -+=，又222:250C x y ax a +-+-=，即()22:5C x a y -+=，即圆心(),0C a ，半径r =因为直线l 与C 相切，所以圆心到直线的距离d ==2a =或3a =-；故选：A9．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是（ ） A ．25B ．12C ．35D ．310【答案】D【分析】根据题意，设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，进而()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.【详解】设A 事件为第一次抽到理科试题，B 事件为第二次抽到理科试题，所以第一次和第二次都抽到理科题的概率是()()()3135210P AB P A P B ==⨯=.故选：D.10．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（ ） A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =， 利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【详解】构造函数2()()f x g x x=,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增， 又()f x 为偶函数，21y x = 为偶函数， 所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减. (3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）; ()19f x x x <， 当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ； 当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃. 故选：A【点睛】需对题中的信息联想到构造函数利用单调性解不等式，特别是分为当0x > 时， 当0x < 时两种情况，因为两边同时除以x ，要考虑其正负.11．已知曲线1C ：e x y =上一点11(,)A x y ，曲线2C ：1ln ()y x x m =+-(0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．e 1-BC ．1D ．e 1+【答案】A【分析】根据题中条件，得到()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，推出()2e 201ln e x x m -<+-≤；证明ln 1x x ≤-，分离参数得2e2ex m x -≥-，构造函数求出2e2ex x --的最大值，即可得出结果.【详解】因为当12y y =时，对于任意12,x x 都有e AB ≥恒成立，所以有：()12e 1ln xx m =+-，21e x x -≥，()2e 201ln e x x m -∴<+-≤，21ex m ∴>+，令()ln 1g x x x =-+，则()111x g x x x-'=-=， 所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减； 因此()()10g x g ≤=，即ln 1x x ≤-显然恒成立；因为21x m e->，所以()22ln 1x m x m -≤--，即()221ln x m x m +-≤-；为使()2e21ln e x x m -+-≤恒成立，只需2e2ex x m --≤恒成立；即2e2ex m x -≥-恒成立；令()e e x f x x -=-，则()e1e x f x -=-'，由0f x解得e x <；由()0f x '<解得e x >；所以()f x 在(),e -∞上单调递增；在()e,+∞上单调递减； 所以()()max e e 1f x f ==-；e 1m ∴≥-，因此m 的最小值为e 1-.故选：A12．在三棱锥-P ABC 中，已知2PA AB AC ===，2PAB π∠=，23BAC π∠=，D 是线段BC 上的点，2BD DC =，AD PB ⊥．若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为（ ）A ．1 BC D 【答案】D【分析】在ABC 中，由余弦定理，求得BC =得到BD =证得AB AD ⊥，进而证得AB ⊥平面PAB ，得到PA AD ⊥，证得PA ⊥平面ABC ，结合球的截面圆的性质，即可求得球O 的半径.【详解】如图所示，在ABC 中，因为2AB AC ==，23BAC π∠=， 可得222212cos 22222()232BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，又因为2BD DC =，所以433BD =， 由6ABC π∠=，2AB =，可得233AD =，可得22BD AB AD =+，所以AB AD ⊥， 又由AD PB ⊥，PB AB B ⋂=且,PB AB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ， 又由PA ⊂平面PAB ，所以PA AD ⊥， 又由2PAB π∠=，即PA AB ⊥，且AB AD A ⋂=，可得PA ⊥平面ABC ，设ABC 外接圆的半径为r ，则24sin BDr A==，可得2r =，即12AO =， 设三棱锥-P ABC 的外接球的半径为R ，可得22222221111()2152PA R AO OO AO =+=+=+=，即5R =. 球O 的半径为5. 故选：D.【点睛】解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.二、填空题13．已知椭圆22x y 12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．【答案】()3,0-，()3,0【分析】通过标准方程确定2a 和2b ，根据,,a b c 的关系，得到焦点(),0c ±． 【详解】由题意得：225a =，216b = 由222a b c =+得：25163c =-= ∴焦点坐标为()3,0±本题正确结果：()3,0-，()3,0【点睛】本题考查了椭圆标准方程的定义和简单几何性质，属于基础题． 14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．【答案】63【分析】本题首先可根据正三棱锥正视图绘出原图，然后通过原图得出正三棱锥的侧视图，即可求出结果.【详解】如图，根据正三棱锥正视图可绘出原图，正三棱锥高为22534-=，底面边长为6，结合原图易知，ABC 即正三棱锥的侧视图，BC 为底面三角形的高， 则侧视图的面积1334632S ， 故答案为：6315．已知AB ，CD 是过抛物线28y x =焦点F 且互相垂直的两弦，则11AF BF CF DF+⋅⋅的值为__________. 【答案】116【分析】设直线AB 、CD 的方程联立抛物线，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，应用韦达定理求12x x +、12x x 、34x x +、34x x ，根据抛物线的定义易得12(2)(2)AF BF x x ⋅=++、34(2)(2)CF DF x x ⋅=++，进而求目标式的值. 【详解】由题设，直线AB 、CD 的斜率一定存在，设AB 为(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立抛物线方程，可得2222(48)40k x k x k -++=且264(1)0k ∆=+>，∴21224(2)k x x k ++=，124x x =，而1||2AF x =+，2||2BF x =+，∴2121212216(1)(2)(2)2()4k AF BF x x x x x x k +⋅=++=+++=，由CD AB ⊥，设CD 为2xy k-=，33(,)C x y ，44(,)D x y ，联立抛物线，可得22(84)40x k x -++=，同理有23484x x k +=+，344x x =，∴216(1)CF DF k ⋅=+，综上，222111116(1)16(1)16k AF BF CF DF k k +=+=⋅⋅++. 故答案为：116. 【点睛】关键点点睛：设直线方程联立抛物线，结合韦达定理及抛物线的定义求AF BF ⋅、CF DF ⋅，进而求目标式的值.16．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论：①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解；④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦． 其中所有正确结论的编号为________． 【答案】①②④．【分析】①利用函数()()f a f b =-⇔()f x 关于点(,0)2a b+对称.即可得出答案. ②利用函数()()f a x f x -=⇔()f x 关于2ax =轴对称，再结合①即可得出答案. ③利用函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，即可求出周期的取值范围，当T 取最小值时，实数解最多.求出其实数解即可判断.④利用函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点结合①可得出81033w <≤，再结合()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调时3w ≤，即可得出ω的取值范围. 【详解】①因为73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且73212423πππ+=，所以203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.①正确. ②因为5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以()f x 的对称轴为255162x ππ==, 125=3244TT ππππ-==⇒.②正确. ③在一个周期内()1f x =只有一个实数解，函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥.当23T π=时，()sin3f x x =，()1f x =在区间[)0,2π上实数解最多为53,,662πππ共3个.③错误 ④函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，213251325632632222T T w w ππππππ-≤⇒-≤⋅<⋅<，解得81033w <≤；又因为函数()f x 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调且203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，522)6334(T πππ-=≥，即2233w w ππ⇒≤≥， 所以8,33w ⎛⎤∈⎥⎝⎦.④正确 故填：①②④.【点睛】本题考查三角函数曲线.属于难题.熟练掌握三角函数曲线的性质是解本题的关键.三、解答题17．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=． （1）求cos B ； （2）若6a c +=，ABC 面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2． 【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B ，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =； （2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABCSac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．18．体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1:3，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在[]0,60范围内，且规定分数在40分以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．（1）将下面的22⨯列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别 非城镇学生城镇学生合计 优良不优良 115合计200（2）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取3名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这3名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？ 附参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0k2.0722.7063.841【答案】（1）填表见解析，没有；（2）34．【分析】（1）根据题中信息完善22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，由条件可知1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】（1）根据题意以及频率分布直方图，因为非城镇与城镇学生人数之比为1:3，且样本容量为200， 所以非城镇学生人数为50，城镇学生人数为150， 故城镇学生优良人数为15011535-=，又因为优良学生的人数为()0.0050.021020050+⨯⨯=，所以非城镇优良学生共为503515-=，则非城镇不优良学生人数为501535-=，代入数据计算()222001511535350.889 2.7065015050150K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关； （2）由题意及频率分布直方图可知，成绩“优良”的概率为5012004p ==， 记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X ，则1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()13344E X =⨯=，故成绩为“优良”人数的期望值为34．【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下： （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.19．如图，在三棱锥-P ABC 中，ABC 为直角三角形，90ACB ∠=，PAC △是边长为4的等边三角形，BC =P AC B --的大小为60，点M 为P A 的中点．（1）请你判断平面P AB 垂直于平面ABC 吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由； （2）求CM 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）垂直，证明见解析；（2）3913． 【分析】（1）平面PAB ⊥平面ABC ；分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，即60PDE ∠=，进而根据勾股定理得PE ED ⊥，根据AC ⊥平面PED 得AC PE ⊥，进而可得答案；（2）根据题意，以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）平面PAB ⊥平面ABC 理由如下：如图，分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则//DE BC ．因为90ACB ∠=，3BC = 所以DE AC ⊥，3DE因为PAC △是边长为4的等边三角形， 所以PD AC ⊥，23PD =于是，PDE ∠为二面角P AC B --的平面角，则60PDE ∠=，在PDE △中，由余弦定理，得222cos603PE PD DE PD DE =+-⋅=， 所以222=PD PE ED +， 所以PE ED ⊥．因为ED AC ⊥，PD AC ⊥，ED PD D =， 所以AC ⊥平面PED ， 所以AC PE ⊥． 又ACED D =，所以PE ⊥平面ABC因为PE ⊂平面ABC ． 所以平面PAB ⊥平面ABC ．（2）以点C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,23,0)B ，(4,0,0)A ，3,0)E ，3,3)P ，33)2M 332CM →⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,23,0CB →=，()3,3CP →=．设平面PBC 的一个法向量为()111,,n x y z →=， 则00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111230,2330x y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 取13x =，则()3,0,2n →=-．所以CM 与平面PBC 所成角的正弦值sin cos,CM nθ→→===【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面所成角的求解，考查空间想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力，是中档题.本题第一问在探究过程中，先假设平面PAB⊥平面ABC，再根据逻辑关系推理论证，关键在于分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，DE，PE，构造辅助线.20．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>F，上顶点为A，左顶点为B，且||||10FA FB⋅=+（1）求椭圆的方程；（2）已知()4,0C-，()4,0D，点P在椭圆上，直线PC，PD分别与椭圆交于另一点M，N，若CP CMλ=，DP DNμ=，求证：λμ+为定值.【答案】（1）221105x y+=；（2）证明见解析.【分析】（1）先表示出,FA FB，然后计算出FA FB⋅，结合离心率公式cea=和222a b c=+求解出22,a b的值，则椭圆方程可求；（2）设出,,P M N的坐标，通过将向量共线表示为坐标关系可得到,λμ的关系式①，再通过点差法分别求得,λμ满足的关系式②和关系式③，通过将关系式②和③作差可得,λμ的关系式④，再结合关系式①可证明λμ+为定值.【详解】解：()1设(),0F c.由题意得||FA a=，||FB a c=+，ca=，222a b c=+，()||||10FA FB a a c∴⋅=+=+解得210a=，25b=.∴椭圆的方程为221105x y+=.()2设()00,P x y，()11,M x y，()22,N x y.由CP CMλ=，DP DNμ=，得()()00114,4,x y x yλ+=+，()()00224,4,x y x yμ-=-，()010141,,x xy yλλλ⎧-=-∴⎨=⎩，()020241,,x xy yμμμ⎧-=-⎨=⎩()1284x xλμλμ∴-=-+，①又点P ，M ，N 均在椭圆上，由220022222111,105,105x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且01,y y λ=得()()01012110x x x x λλλ-+=-， ()01512x x λλ∴+=-+.②同理，由220022222221,105,105x y x y μμμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且02,y y μ=得()()22002110x x x x μμμ-+=-()02512x x μμ∴+=+.③ 联立②③得()12552x x λμλμ-=-+-.④ 联立①④得263λμ+=， λμ∴+为定值263. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对于向量共线的坐标表示以及点差法求解参数与坐标之间的关系，每一步都是通过构建关于,λμ的方程，结合联立方程的思想完成证明. 21．已知函数()ln a xf x bx x=+在1x =处的切线方程为1y x =-. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x kx ≤在区间()0,∞+上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【答案】（1）()ln x f x x =；（2）1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）证明见解析. 【分析】（1）求得函数()y f x =的导数，由题意得出()()1110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()y f x =的解析式； （2）利用参变量法得出2ln xk x ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()2ln x g x x=，利用导数求得函数()y g x =在区间()0,∞+上的最大值，即可得出实数k 的取值范围； （3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，变形得出42ln 112x x e x≤⋅，利用放缩法得出()42ln 111112221n n n e n e n n ⎛⎫≤⋅<-≥ ⎪-⎝⎭，依次得到4ln 2111222e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，()4ln 111221n n n e n n ⎛⎫<-≥ ⎪-⎝⎭，利用不等式的可加性即可证得所证不等式成立. 【详解】（1）()ln a xf x bx x =+，该函数的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x b x -'=+， 由题意可知，点()()1,1f 在直线1y x =-上，()10f ∴=， 由题意得()()1011f b f a b ⎧==⎪⎨=+'=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()ln x f x x ∴=；（2）对任意的()0,x ∈+∞，由()f x kx ≤，得ln x kx x≥，即2ln xk x ≥，令()2ln xg x x =，其中0x >，则()max k g x ≥， ()312ln xg x x -'=，令()0g x '=，可得x =所以，函数()y g x =在x ()max 12g x g e==. 12k e ∴≥，因此，实数k 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）由（2）可知，当x >()ln 2x x f x x e =≤，则42ln 112x x e x≤⋅， 当2n ≥时，42ln 11111221n n e n e n n ⎛⎫<⋅=- ⎪-⎝⎭， 4ln 2111222e ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，4ln 11121n n e n n ⎛⎫<- ⎪-⎝⎭， 上述不等式全部相加得444ln 2ln 3ln 11112322n n e n e⎛⎫+++<-<⎪⎝⎭. 因此，对任意的2n ≥，444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求函数解析式、利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查运算求解能力与推理能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【分析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；（2）由题意，先设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，将3πθ=代入直线l 的极坐标方程，得到2ρ；将3πθ=代入圆的极坐标方程，得到1ρ，再由12ρρ=-PQ ，即可得出结果.【详解】（1）因为，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数可得：()2211x y -+=；把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入()2211x y -+=，化简得：2cos ρθ=，即为此圆的极坐标方程； （2）设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，因为直线l的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=，将3πθ=代入()sin ρθθ=12ρ⎫=⎪⎪⎝⎭23ρ=； 将3πθ=代入2cos ρθ=得12cos13πρ==，所以122PQ ρρ=-=．【点睛】本题主要考查圆的参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标下的两点间距离，熟记公式即可，属于常考题型. 23．设()|1||3|f x x x =+--．（1）对一切x R ∈，不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）已知0,0,()a b f x >>最大值为M ，(2)2a b M ab +=，且224128a b +≤，求证：216a b +=． 【答案】（1）(,4]-∞-；（2）证明见解析.【分析】（1）由零点分段法可得4,1()22,134,3x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩，求得()f x 的最小值后，即可得实数m 的取值范围；第 21 页 共 21 页 （2）由题意转化条件得2(2)1a b ab+=，利用基本不等式可得216a b +≤、216a b +≥，即可得证. 【详解】（1）由题意4,1()1322,134,3x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪≥⎩, 所以[]min ()4f x =-，所以，实数m 的取值范围是(,4]-∞-；（2）证明：由（1）知，4M =，由(2)2a b M ab +=得2(2)1a b ab+=，224128a b +≤，所以216a b +≤≤=，当且仅当2b a =，且224128a b +=，即4a =，8b =时，等号成立；2(2)42(2)242416a b a b a b a b ab b a ⎛⎫+⎛⎫+=+⋅=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4a b b a =，且2(2)1a b ab+=，即4a =，8b =时，等号成立； 综上所述，216a b +=．【点睛】本题考查了绝对值不等式恒成立问题的解决，考查了利用基本不等式证明不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.。

四川省泸县第四中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学(理)试题含答案

四川省泸县第四中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学(理)试题含答案

四川省泸县四中高2023届高三上期末考试理科数学本试卷共4页。

考试结束后，只将答题卡交回注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=A ．()2,3-B ．()2,0-C ．()0,2D ．()2,32．若复数()()211i z x x =-++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数x 的值为A ．-1B ．0C ．1D ．-1或13．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.54．若实数x ，y 满足约束条件2301030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．1-B ．4C ．5D ．145．执行下面的程序框图，如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为A ．14B ．18C ．116D ．1326．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bt y ae -=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为A ．24min B ．26min C ．8min D ．16min7．已知α满足sin()4πα+2tan tan 1αα=+A ．3B ．﹣3C ．49D ．49-8．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-= 相切，则实数=a A ．2或3-B ．2-或3C ．2D ．39．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是A ．25B ．12C ．35D ．31010．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞11．已知双曲线1C ：x y e =上一点11(,)A x y ，曲线2C ：1ln ()y x x m =+-(0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意1x ，2x 都有AB e ≥恒成立，则m 的最小值为A ．1e -B C ．1D ．1e +12．在三棱锥-P ABC 中，已知2PA AB AC ===，2PAB π∠=，23BAC π∠=，D 是线段BC 上的点，2BD DC =，AD PB ⊥．若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为A ．1B CD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆22x y 12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．15．已知AB ，CD 是过抛物线28y x =焦点F 且互相垂直的两弦，则11AF BF CF DF+⋅⋅的值为__________.16．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论：①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π；③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解；④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦．其中所有正确结论的编号为________．三、解答题：共70分。

内蒙古阿拉善盟2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学试题及答案解析

内蒙古阿拉善盟2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学试题及答案解析

内蒙古阿拉善盟第一中学2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学试题及答案解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.记集合{|||2}M x x =>，(){}2|ln 3N x y x x==-，则M N = （）A.{}32≤<x x B.{|3x x >或2}x <-C.{}20<≤x x D.{}32≤<-x x 2.已知复数1i z =+（i 是虚数单位），则izzz =+（）A.31i 55+ B.11i 55+ C.31i55-+ D.11i 55-+3.命题“2≥∀a ，()2f x x ax =-是奇函数”的否定是（）A.2≥∀a ，()2f x x ax =-是偶函数B.2≥∃a ，()2f x x ax =-不是奇函数C.2a ∀<，()2f x x ax =-是偶函数D.2a ∃<，()2f x x ax =-不是奇函数4.若()4sin 5πα+=-，则()cos 2πα-=（）A.35B.35-C.725D.725-5.若双曲线2221x y m-=（0m >）的渐近线与圆22610x y y +-+=相切，则m =（）A.4C.2D.6.端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等.端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀.小华的妈妈为小华煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，小华随机取出两个，事件A “取到的两个为同一种馅”，事件B “取到的两个都是艾香粽”，则()|P B A =（）A.35B.313C.58 D.13287.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则异面直线1B E 与1C D 所成角的余弦值为（）A.1010B.1010-C.104D.104-8.某地锰矿石原有储量为a 万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的m （01m <<，且m 为常数）倍，第n （*n ∈N ）年开采后剩余储量为(1)na m -，按该计划使用10年时间开采到剩余储量为原有储量的一半.若开采到剩余储量为原有储量的70%，则需开采约（参考数107≈）（）A.3年B.4年C.5年D.6年9.在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，13AE EB = ，2DF FC = ，且6BF CE ⋅=-，则平行四边形ABCD 的面积为（）A.5B.5C.245D.12510.更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之”，如图是该算法的程序框图，如果输入99a =，231b =，则输出的a 是（）A.23 B.33C.37D.4211.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π0ϕ-<<）的部分图象如图所示，下列说法中错误的是（）A.函数()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B.函数()f x 的图象关于直线11π12x =-对称C.函数()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()f x 的图象向右平移π3个单位可得函数2sin2y x =-的图象12.若e 是自然对数的底数，()e ln x x m >+，则整数m 的最大值为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学第一学期期末考试理科试题

高三数学第一学期期末考试理科试题

石景山区2021—2021学年高三第一学期期末考试数学〔理科〕一、选择题：本大题一一共8个小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．集合}2,1,0{=P ，},2|{P a a x x Q ∈==，那么Q P =〔 〕A ．}0{B ．}1,0{C ．}2,1{D ．}2,0{2．“b a +是偶数〞是“a 与b 都是偶数〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数x x f ln 21)(=的反函数是〔 〕 A ．21)(x e x f=- B ．2110)(x x f=- C ．x e x f21)(=-D ．x x f2110)(=-4．在ABC ∆中，︒=∠90C ，)1,(x BC =，)3,2(=AC ，那么x 的值是〔 〕A ．5B ．5-C ．23 D ．23-5．不等式212>++x x 的解集是〔 〕 A ．),1()0,1(+∞- B ．)1,0()1,( --∞ C ．)1,0()0,1( - D ．),1()1,(+∞--∞6．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，那么543a a a ++=( )A ．33B ．72C ．84D ．1897．设函数⎩⎨⎧>≤++=)0(2)0()(2x x c bx x x f ，假设)0()4(f f =-，2)2(-=-f ，那么关于x的方程x x f =)(的解的个数为〔 〕 A ．1B ．2C ．3D ．48．计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字-09和字母F A -一共16个记数符号．这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：B D E 1=+，那么=⨯B A 〔 〕 A ．E 6 B ．72C ．F 5D ．0B二、填空题：本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分．把答案填在题中横线上． 9．复数ii4321-+的实部是 ． 10．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，假设这4人中必须既有男生又有女生，那么不同的选法种数一共有 ．〔用数字答题〕11．nx x )(1-+的展开式中各项系数的和是128，那么=n ；展开式中3x 的系数是 ．〔用数字答题〕12．函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤+>--)1()1(112x a x x x x 在1=x 处连续，那么实数a 的值是 ．13．在半径为35的球面上有A 、B 、C 三点，6=AB ，8=BC ，10=CA ，那么球心到平面ABC 的间隔 为 ．14．设函数)(x f 的图象与直线a x =，b x =及x 轴所围成图形的面积称为函数)(x f 在],[b a 上的面积，函数nx y sin =在[0，nπ]上的面积为n 2〔*∈N n 〕，那么〔1〕函数x y 3sin =在[0,3π]上的面积为 ；〔2〕函数1)3sin(+-=πx y 在[3π，34π]上的面积为 . 三、解答题：本大题一一共6个小题，一共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 15．〔此题满分是12分〕在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，73tan =C ．〔Ⅰ〕求C cos 的值； 〔Ⅱ〕假设25=⋅CA CB ，且9=+b a ，求c 的长．16．〔此题满分是12分〕函数b ax ax x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P .〔Ⅰ〕假设函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式； 〔Ⅱ〕假设3>a ，求函数)(x f y =的单调区间.17．〔此题满分是14分〕如图，在三棱锥BCD A -中，面⊥ABC 面BCD ，ABC ∆是正三角形，︒=∠90BCD ，︒=∠30CBD ．〔Ⅰ〕求证：CD AB ⊥；〔Ⅱ〕求二面角C AB D --的大小； 〔Ⅲ〕求异面直线AC 与BD 所成角的大小．ACBD18．〔此题满分是14分〕袋中装有4个黑球和3个白球一共7个球，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的时机是等可能的，用ξ表示取球终止时所需的取球次数．〔Ⅰ〕求恰好取球3次的概率；〔Ⅱ〕求随机变量ξ的概率分布；〔Ⅲ〕求恰好甲取到白球的概率．19．〔此题满分是14分〕等差数列}{n a 中，公差0>d ，其前n 项和为n S ，且满足：4532=⋅a a ，1441=+a a ．〔Ⅰ〕求数列}{n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕通过公式cn S b nn +=构造一个新的数列}{n b ．假设}{n b 也是等差数列， 求非零常数c ； 〔Ⅲ〕求1)25()(+⋅+=n n b n b n f 〔*N n ∈〕的最大值．20．〔此题满分是14分〕设)(2)(x f xppx x g --=，其中x x f ln )(=． 〔Ⅰ〕假设)(x g 在其定义域内为增函数，务实数p 的取值范围； 〔Ⅱ〕证明： ()1≤-f x x ；〔Ⅲ〕证明：2*222ln 2ln 3ln 21(,2)234(1)n n n n N n n n --+++<∈≥+．石景山区2021—2021学年第一学期期末考试试卷高三数学〔理科〕参考答案一、选择题：本大题一一共8个小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．二、填空题：本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分．把答案填在题中横线上．注：第11、14题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题一一共6个小题，一共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 15．〔此题满分是12分〕 解：〔Ⅰ〕∵ 73tan =C , ∴ 73cos sin =CC. 又∵ 1cos sin 22=+C C , 解得 1cos 8C =±． ……………………3分 ∵ 0tan >C ，∴ C 是锐角．∴ 81cos =C ． ………………………6分 〔Ⅱ〕∵ 25=⋅CA CB ，∴ 25cos =C ab . 解得 20=ab ． …………………8分又∵ 9=+b a ， ∴ 4122=+b a ． ∴ 36cos 2222=-+=C ab b a c ．∴ 6=c ． ………………………12分16．〔此题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕a ax x x f ++='23)(2． ………………………2分由题意知⎩⎨⎧=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得⎩⎨⎧=-=23b a ． …………………5分 ∴ 233)(23+--=x x x x f ． ……………………6分〔Ⅱ〕023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=∆a a ．由0)(>'x f 解得332a a a x ---<或者332aa a x -+->，由0)(<'x f 解得333322aa a x a a a -+-<<---． ……………10分∴ )(x f 的单调增区间为：)33,(2a a a ----∞和),33(2+∞-+-aa a ； )(x f 的单调减区间为： )33,33(22aa a a a a -+----．……12分17．〔此题满分是14分〕 解法一：〔Ⅰ〕证明：∵ 面ABC ⊥面BCD ，︒=∠90BCD ，且面ABC 面BCD BC =，∴ ⊥CD 面ABC ． ……………2分 又∵ ⊂AB 面ABC ，∴ AB DC ⊥． ………………4分〔Ⅱ〕解：如图，过点C 作CM ⊥AB 于M ，连结DM ．由〔Ⅰ〕知⊥CD 面ABC ．∴ CM 是斜线DM 在平面ABC 内的射影， ∴ AB DM ⊥．〔三垂线定理〕∴ CMD ∠是二面角C AB D --的平面角． …………………6分 设1=CD ，由︒=∠90BCD ，︒=∠30CBD 得3=BC ，2=BD ．∵ ABC ∆是正三角形，∴ 2323=⋅=BC CM ． ∴ 32tan ==∠CM CD CMD ． ∴ 32arctan =∠CMD ．∴ 二面角C AB D --的大小为32arctan． …………………9分 〔Ⅲ〕解：如图，取三边AB 、AD 、BC 的中点M 、N 、O ，连结AO 、MO 、NO 、MN 、OD ， 那么AC OM //，AC OM 21=；BD MN //，BD MN 21=． ∴ OMN ∠是异面直线AC 与BD 所成的角或者其补角． ………………11分 ∵ ABC ∆是正三角形，且平面⊥ABC 平面BCD ， ∴ ⊥AO 面BCD ，AOD ∆是直角三角形，AD ON 21=． 又∵ ⊥CD 面ABC ，故2222==+=ON AC DC AD ．在OMN ∆中，23=OM ，1=MN ，1=ON ． ∴ 4321cos ==∠MN MOOMN ． ∴ 异面直线AC 和BD 所成角为43arccos． ……………14分 解法二：〔Ⅰ〕分别取BC 、BD 的中点O 、M ，连结AO 、OM ． ∵ ABC ∆是正三角形，ACBD∴ BC AO ⊥．∵ 面ABC ⊥面BCD ，且面ABC 面BCD BC =， ∴ ⊥AO 平面BCD ．∵ OM 是BCD ∆的中位线，且⊥CD 平面ABC ， ∴ ⊥OM 平面ABC ．以点O 为原点，OM 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系． ……………2分设1=CD ， 那么)0,0,0(O ，)23,0,0(A ，)0,23,0(-B ， )0,23,0(C ，)0,23,1(D ． ∴ )23,23,0(--=AB ，)0,0,1(=CD ． ……………………4分 ∴ 00)23(0)23(10=⨯-+⨯-+⨯=⋅CD AB ． ∴ CD AB ⊥，即 CD AB ⊥． …………………6分 〔Ⅱ〕∵ ⊥CD 平面ABC ，∴ 平面ABC 的法向量为)0,0,1(=CD ． ……………………7分 设平面ABD 的法向量为),,(z y x n =，∴ )23,23,0(--=AB ，)23,23,1(-=AD ． ∴ 0)23()23(0=⨯-+⨯-+⨯=⋅z y x AB n ，即 033=+z y ．0)23(231=⨯-+⨯+⨯=⋅z y x AD n ，即 0332=-+z y x ． y∴ 令3=y ，那么3-=x ，1-=z ．∴ )1,3,3(--=n ． ……………………9分∴ n CD n CD <,cos 13133-=． ∵ 二面角C AB D --是锐角，∴ 二面角C AB D --的大小为13133arccos． ………………11分〔Ⅲ〕∵ )0,3,1(=BD ，)23,23,0(-=AC ， ∴ AC BD <,cos 43)23()23(00)3(1)23(023301222222=-++⋅++-⨯+⨯+⨯=． ∴ 异面直线AC 和BD 所成角为43arccos ． ……………14分18．〔此题满分是14分〕解：〔Ⅰ〕恰好取球3次的概率3565673341=⨯⨯⨯⨯=P ； ……………………3分〔Ⅱ〕由题意知，ξ的可能取值为1、2、3、4、5，()317P ξ==， ()4322767P ξ⨯===⨯，()4336376535P ξ⨯⨯===⨯⨯，()432334765435P ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯， ()43213157654335P ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯． 所以，取球次数ξ的分布列为：…………………10分〔Ⅲ〕 因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．记“甲取到白球〞的事件为A ．那么()()“1”“3”“5”P A P ξξξ====或或．因为事件“1=ξ〞、“3=ξ〞、“5=ξ〞两两互斥， 所以)5()3()1()(=+=+==ξξξP P P A P 352235135673=++=． 所以恰好甲取到白球的概率为3522． ……………14分19．〔此题满分是14分〕解：〔Ⅰ〕∵ 数列{}n a 是等差数列，∴ 144132=+=+a a a a ．又4532=a a ， ∴ ⎩⎨⎧==9532a a ，或者⎩⎨⎧==5932a a ． ……………2分∵ 公差0>d ，∴ 52=a ，93=a ． ∴ 423=-=a a d ，121=-=d a a ．∴ 34)1(1-=-+=n d n a a n ． …………4分 〔Ⅱ〕∵ n n n n n d n n na S n -=-+=-+=212)1(2)1(21，∴ cn nn c n S b n n +-=+=22． ………………6分 ∵ 数列{}n b 是等差数列， ∴ 212+++=n n n b b b ．∴ cn n n c n n n c n n n +++-+++-=+++-+⋅)2()2()2(22)1()1()1(22222． 去分母，比拟系数，得 21-=c ． ……………9分 ∴ n n nn b n 22122=--=． ………………10分〔Ⅲ〕)1(2)25(2)(+⋅+=n n nn f2625125262++=++=nn n n n≤361． ……………12分当且仅当n n 25=，即5=n 时，)(n f 获得最大值361． ……………14分20．〔此题满分是14分〕 解：〔Ⅰ〕∵ x xppx x g ln 2)(--=〔0>x 〕， ∴ 22222)(x px px x x p p x g +-=-+=' ． ……………1分 令p x px x h +-=2)(2，要使)(x g 在),0(+∞为增函数， 只需)(x h 在),0(+∞上满足：0)(≥x h 恒成立， 即022≥+-p x px ．22(0,)1xp x ≥+∞+在上恒成立． 又∵ )0(1122121202>=⋅≤+=+<x xx xx x x， ………4分∴ 1p ≥． …………5分〔Ⅱ〕证明：要证 1ln -≤x x ，即证 01ln ≤+-x x )0(>x ， 设1ln )(+-=x x x k ，xxx x k -=-='111)(则． ………………6分 当]1,0(∈x 时，0)(>'x k ，∴ )(x k 为单调递增函数； 当),1(+∞∈x 时，0)(<'x k ，∴ )(x k 为单调递减函数；∴ 0)1()(max ==k x k ． …………………9分 即 01ln ≤+-x x ，∴ 1ln -≤x x ． …………10分〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知1ln -≤x x ，又0>x ，∴xx x x x 111ln -=-≤． ∵ *∈N n ,2≥n ，可令2n x =，得 22211ln nn n -≤． …………12分∴ )11(21ln 22n n n -≤． ∴ )11311211(21ln 33ln 22ln 222222nn n -++-+-≤+++)]13121()1[(21222nn +++--=)])1(1431321()1[(21+++⨯+⨯--<n n n )]11141313121()1[(21+-++-+---=n n n )]1121(1[21+---=n n )1(4122+--=n n n ． ……………14分注：假设有其它解法，请酌情给分．。

高三数学下学期期末考试试题 理含解析 试题

高三数学下学期期末考试试题 理含解析 试题

安平中学2021-2021学年下学期期末考试高三数学试题〔理〕本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共150分。

考试时间是是120分钟第一卷〔选择题〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，满分是60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1.在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 A. (1,)2π B. (1,)2π-C. (1,0)D. (1，π)【答案】B 【解析】【详解】由题圆2sin ρθ=-，那么可化为直角坐标系下的方程,22sin ρρθ=-，222x y y +=-，2220x y y ++=，圆心坐标为〔0，-1〕，那么极坐标为1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭，应选B.考点：直角坐标与极坐标的互化. 【此处有视频，请去附件查看】2.假设一直线的参数方程为0012x x t y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕，那么此直线的倾斜角为〔〕A. 60︒B. 120︒C. 30D. 150︒【答案】B 【解析】 【分析】消去参数t 转为普通方程，求得直线的斜率，进而求得倾斜角.【详解】消去参数t 00y y ++，故斜率为120，应选B. 【点睛】本小题主要考察直线的参数方程转化为普通方程，考察直线的斜率和倾斜角，属于根底题.3.函数|1||2|y x x =++-的最小值及获得最小值时x 的值分别是〔〕 A. 1，[1,2]x ∈-B. 3，0C. 3，[1,2]x ∈-D. 2，[]1,2x ∈【答案】C 【解析】【分析】利用绝对值不等式，求得函数的最小值，并求得对应x 的值.【详解】依题意12123y x x x x =++-≥++-=，当且仅当()()120x x +-≥，即12x -≤≤时等号成立，应选C.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式，以及绝对值不等式等号成立的条件，属于根底题.4.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取一样的长度单位，直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩〔t 为参数〕，圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，那么直线l 被圆C 截得的弦长为〔 〕B.D.【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 圆心到直线l 的间隔 d=直线l 被圆C 截得的弦长为=【点睛】(1)此题主要考察参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理计算才能.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式||AB =.5.假设不等式24ax +<的解集为()1,3-，那么实数a 等于〔〕 A. 8 B. 2C. -4D. -2【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法化简24ax +<，结合其解集的情况求得a 的值.【详解】由24ax +<得424,62ax ax -<+<-<<.当0a >时6123aa ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，无解.当0a <时，2163aa⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2a =-，应选D.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式的解法，考察分类讨论的数学思想方法，属于根底题.1cos {2sin x y θθ=-+=+，〔θ为参数〕的对称中心〔 〕A. 在直线2y x =上B. 在直线2y x =-上C. 在直线1y x =-上D. 在直线1y x =+上【答案】B 【解析】试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，应选B.考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题. 【此处有视频，请去附件查看】7.“2a =〞是“关于x 的不等式1+2x x a ++<的解集非空〞的〔 〕 A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：解：因为()1+2121x x x x ++≥+-+=， 所以由不等式1+2x x a ++<的解集非空得：1a >所以，“2a =〞是“关于x 的不等式1+2x x a ++<的解集非空〞的充分不必要条件， 应选C.考点：1、绝对值不等式的性质；2、充要条件.8.过椭圆C ：2cos 3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩〔θ为参数〕的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，那么11m n +的值是〔〕 A. 23B. 43C. 83D. 不能确定 【答案】B【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩〔α为参数〕，代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++〔12,t t 异号〕.故11m n m n mn ++=1212t t t t -===⋅43.应选B. 【点睛】本小题主要考察椭圆的参数方程化为普通方程，考察直线和椭圆的位置关系，考察利用直线参数的几何意义解题，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9.假设2a >，那么关于x 的不等式12x a -+>的解集为〔〕 A. {}3|x x a >- B. {}1|x x a >-C. ΦD. R【答案】D 【解析】 【分析】根据2a >求得2a -的取值范围，由此求得不等式的解集.【详解】原不等式可化为12x a ->-，由于2a >，故20a -<，根据绝对值的定义可知12x a ->-恒成立，故原不等式的解集为R .应选D.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式的解法，考察不等式的运算，属于根底题.10.a ，b ，0c >，且1ab c ++=A. 3B.C. 18D. 9【答案】B【分析】先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得.【详解】由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c=⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c===时，等号成立，应选B.【点睛】本小题主要考察利用柯西不等式求最大值，属于根底题.11.点〔x,y〕满足曲线方程4{6xyθθ==〔θ为参数〕，那么yx的最小值是〔〕B.32D. 1【答案】D【解析】消去参数可得曲线的方程为：()()22462x y-+-=，其轨迹为圆，目的函数y yx x-=-表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，如下图，数形结合可得：yx的最小值是1.此题选择D选项.点睛：(1)此题是线性规划的综合应用，考察的是非线性目的函数的最值的求法． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目的函数赋于一定的几何意义．12.x 为实数，且|5||3|x x m -+-<有解，那么m 的取值范围是〔 〕 A. 1m B. m 1≥C. 2m >D. 2m ≥【答案】C 【解析】 【分析】求出|x ﹣5|+|x ﹣3|的最小值，只需m 大于最小值即可满足题意．【详解】53x x m -+-<有解，只需m 大于53x x -+-的最小值，532x x -+-≥，所以2m >，53x x m -+-<有解． 应选：C ．【点睛】此题考察绝对值不等式的解法，考察计算才能，是根底题．第二卷〔非选择题〕二、填空题〔一共4题每一小题5分满分是20分〕 13.|a ＋b|＜－c(a ，b ，c∈R )，给出以下不等式：①a＜－b －c ；②a＞－b ＋c ；③a＜b －c ；④|a|＜|b|－c ； ⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(填序号)． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先根据绝对值不等式的性质可得到c ＜a+b ＜﹣c ，进而可得到﹣b+c ＜a ＜﹣b ﹣c ，即可验证①②成立，③不成立，再结合|a+b|＜﹣c ，与|a+b|≥|a|﹣|b|，可得到|a|﹣|b|＜﹣c 即|a|＜|b|﹣c 成立，进而可验证④成立，⑤不成立，从而可确定答案． 【详解】∵|a＋b|＜－c ，∴c＜a ＋b ＜－c. ∴a＜－b －c ，a ＞－b ＋c ，①②成立且③不成立． ∵|a|－|b|≤|a＋b|＜－c ， ∴|a|＜|b|－c ，④成立且⑤不成立．【点睛】此题主要考察不等式的根本性质．考察根底知识的综合运用．14.在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=与sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线1C 和2C 交点的直角坐标为________． 【答案】()1,1 【解析】 【分析】联立两条曲线的极坐标方程，求得交点的极坐标，然后转化为直角坐标.【详解】由2sin cos sin 1ρθθρθ⎧=⎨=⎩，解得π4ρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故ππcos 1,sin 144x y ρρ====，故交点的直角坐标为()1,1. 故答案为()1,1【点睛】本小题主要考察极坐标下两条曲线的交点坐标的求法，考察极坐标和直角坐标互化，属于根底题.15.不等式32x x +>-的解集是_____. 【答案】1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】利用两边平方的方法，求出不等式的解集.【详解】由32x x +>-两边平方并化简得105x >-，解得12x >-，故原不等式的解集为1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭.故答案为1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【点睛】本小题主要考察含有绝对值的不等式的解法，属于根底题.16.238x y z ++=，那么222x y z ++获得最小值时，x ，y ，z 形成的点(,,)x y z =________.【答案】8124,,777⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】利用柯西不等式求得222x y z ++的最小值，并求得此时,,x y z 的值.【详解】由于()()()22222222312364x y z x y z ++++≥++=，故222x y z ++6432147≥=.当且仅当8124,,777x y z ===时等号成立，故(,,)x y z =8124,,777⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为8124,,777⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考察利用柯西不等式求最值，并求等号成立的条件，属于根底题.三.解答题：〔解答题应写出必要的文字说明和演算步骤，17题10分，18-22每一小题12分〕17.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩〔α为参数〕．〔1〕以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； 〔2〕()2,0A -，()0,2B ，圆C 上任意一点(),M x y ，求ABM 面积的最大值．【答案】〔1〕26cos 8sin 210ρρθρθ-++=〔2〕9+【解析】 【分析】〔1〕消去参数α，将圆C 的参数方程，转化为普通方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==求得圆C 的极坐标方程.〔2〕利用圆的参数方程以及点到直线的间隔 公式，求得M 到直线AB 的间隔 ，由此求得三角形ABM 的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值.【详解】解：〔1〕圆C 的参数方程为32cos 42sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩〔α为参数〕，所以其普通方程为()()22344x y -++=，所以圆C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=. 〔2〕点(),M x y 到直线AB ：20x y -+=的间隔d =故ABM 的面积1|||2cos 2sin 9|924S AB d πααα⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以ABM 面积的最大值为9+【点睛】本小题主要考察参数方程转化为普通方程，考察直角坐标方程转化为转化为极坐标方程，考察利用参数的方法求三角形面积的最值，考察点到直线间隔 公式，属于中档题.18.设函数()31f x x x =+--.〔1〕解不等式()0f x ≥； 〔2〕假设()21f x x m +-≥对任意的实数x 均成立，求m 的取值范围.【答案】〔1〕{|1}x x ≥-〔2〕4m ≤【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法去绝对值，分类讨论求得不等式()0f x ≥的解集.或者者用两边平方的方法求得不等式的解集.〔2〕利用绝对值不等，求得()21f x x +-的最小值，由此求得m 的取值范围.【详解】〔1〕解：()0f x ≥等价于31x x +≥-，当1x >时，31x x +≥-等价于31x x +≥-，即31≥-，不等式恒成立，故1x >； 当31x -≤≤时，31x x +≥-等价于31x x +≥-，解得1x ≥-，故11x -≤≤； 当3x <-时，31x x +≥-等价于31x x --≥-，即31-≥，无解.综上，原不等式的解集为{|1}x x ≥-.又解：()0f x ≥等价于31x x +≥-，即()()2231x x +≥-，化简得88x ≥-，解得1x ≥-，即原不等式的解集为{|1}x x ≥-.〔2〕()()21312131314f x x x x x x x x x +-=+--+-=++-≥+--=， 当且仅当()()310x x +-≤等号成立要使()21f x x m +-≥对任意的实数x 均成立，那么()min |21|f x x m ⎡⎤⎣⎦+-≥，所以4m ≤.【点睛】本小题主要考察分类讨论法解绝对值不等式，考察含有绝对值函数的最值的求法，考察恒成立问题的求解策略，属于中档题.19.在极坐标系中，曲线1C ：2cos ρθ=和曲线2C ：cos 3ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.〔1〕求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程； 〔2〕假设点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.【答案】(1)1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，2C 的直角坐标方程为3x =.(2)【解析】【分析】〔1〕极坐标方程化为直角坐标方程可得1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，2C 的直角坐标方程为3x =.〔2〕由几何关系可得直线PQ 的参数方程为2x tcos y tsin θθ=+⎧⎨=⎩〔t 为参数〕，据此可得2AP cos θ=，1AQ cos θ=，结合均值不等式的结论可得当且仅当12cos cos θθ=时，线段PQ 长度获得最小值为【详解】〔1〕1C 的极坐标方程即22cos ρρθ=，那么其直角坐标方程为222x y x +=， 整理可得直角坐标方程为()2211x y -+=， 2C 的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为3x =.〔2〕设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A ，∵PQ OP ⊥，∴PQ 过点()2,0A ，设直线PQ 的参数方程为2x tcos y tsin θθ=+⎧⎨=⎩〔t 为参数〕， 代入1C 可得220t tcos θ+=，解得10t =或者22t cos θ=-， 可知22AP t cos θ==，代入2C 可得23tcos θ+=，解得1't cos θ=，可知1'AQ t cos θ==， 所以1222PQ AP AQ cos cos θθ=+=+≥， 当且仅当12cos cos θθ=时取等号， 所以线段PQ 长度的最小值为22.【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生2ρ，cos ρθ,sin ρθ以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数θ来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.20.函数()1f x x x =+-.(1)假设()1f x m ≥-恒成立，务实数m 的最大值；(2)记(1)中的m 最大值为M ，正实数a ，满足22a b M +=，证明: 2a b ab +≥.【答案】(1)2；(2)详见解析.【解析】【分析】〔1〕根据绝对值三解不等式求出f 〔x 〕的最小值为1，从而得出|m ﹣1|≤1，得出m 的范围； 〔2〕两边平方，使用作差法证明．【详解】(1)由()210101211x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩ 得()1min f x =，要使()1f x m ≥-恒成立，只要11m ≥-，即02x ≤≤，实数m 的最大值为2；(2)由(1)知222a b +=，又222a b ab +≥故1ab ≤， ()2222222424a b a b a b ab a b +-=++-()()222242121ab a b ab ab =+-=--+，01ab <≤，()()()222421210a b a b ab ab ∴+-=--+≥2a b ab ∴+≥.【点睛】此题考察了绝对值不等式的解法，不等式的证明，属于中档题．21.曲线C ：2cos ρθ=，直线l ：23324x t y t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩〔t 是参数〕． 〔1〕写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；〔2〕过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为45︒的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值．【答案】〔1〕1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数);34120x y +-=〔2〕最大值为5，最小值为5【解析】【分析】〔1〕将2cos ρθ=两边乘以ρ，转化为直角坐标方程，配成圆的HY 方程后写出圆C 的参数方程.消去直线参数方程的参数t ，求得直线l 的普通方程.〔2〕利用圆的参数方程，设出曲线上任意一点P 的坐标，并求得P 到直线l 的间隔 d .将PA 转为sin 45d PA ==︒，根据三角函数最值的求法，求得PA 的最大值与最小值. 【详解】解：曲线C ：2cos ρθ=，可得22cos ρρθ=，所以222x y x +=，即：22(1)1x y -+=，曲线C 的参数方程，1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，θ为参数． 直线l ：23324x t y t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩〔t 是参数〕． 消去参数t ，可得：34120x y +-=．〔2〕曲线C 上任意一点1co ()s ,sin P θθ+到l 的间隔 为1|3cos 4sin 9|5d θθ=+-．那么()9sin 45d PA θϕ===+-︒，其中ϕ为锐角，且3tan 4ϕ=． 当sin()1θφ+=-时，PA． 当sin()1θφ+=时，PA获得最小值，最小值为5． 【点睛】本小题主要考察极坐标方程转为直角坐标方程，考察参数方程和普通方程互化，考察点到直线的间隔 公式，考察三角函数最值的求法，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22.函数()1||2f x x x a -=-+，0a >〔1〕假设1a =时，求不等式()1f x >的解集；〔2〕假设()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积小于6，求a 的取值范围．【答案】〔1〕2|23x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭〔2〕()0,2【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法分类讨论的数学思想，求得不等式()1f x >的解集.〔2〕先用零点分段法去绝对值，将()f x 转化为分段函数的形式，求得()f x 的图象与x 轴三个交点的坐标，由此求得所围成三角形面积的表达式，根据面积小于6列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】解：〔1〕当1a =时，()1f x >，化为：|1|2|1|10x x --+->，①， 当1x ≤-时，①式化为：20x +>，解得：21x -≤＜-，当11x -<<时，①式化为：320x -->，解得213x -<<-， 当1x ≥时，①式化为：40x -->，无解，∴()1f x >的解集是2|23x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭； 〔2〕由题设可得：21,()312,112,1x a x a f x x a a x x a x ++<-⎧⎪=-+--≤≤⎨⎪--->⎩∴函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为：,(20)1A a --，,()1B a a +-，12,03a C -⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴21442(1)(1)233ABC a S a a +=⨯⨯+=+△， 由题设可得：22(1)63a +<，解得：02a <<， 故a 的范围是()0,2．【点睛】本小题主要考察零点分段法解绝对值不等式，考察三角形的面积公式和一元二次不等式的的解法，属于中档题.。

2023-2024学年四川省成都外国语学校高三(上)期末数学试卷(理科)(含答案)

2023-2024学年四川省成都外国语学校高三(上)期末数学试卷(理科)(含答案)

2023-2024学年四川省成都外国语学校高三（上）期末数学试卷（理科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x ∈N ∗|x 2−5x ≤0}，B ={x ∈Z||x−1|<2}，则A ∩B =( )A. {0,1,2,3,4,5}B. {0,1,2}C. {1,2}D. {1,2,3,4,5}2.命题：“∀x ∈R ，x 2−x +2≥0”的否定是( )A. ∃x ∈R ，x 2−x +2≥0B. ∀x ∈R ，x 2−x +2≥0C. ∃x ∈R ，x 2−x +2<0D. ∀x ∈R ，x 2−x +2<03.已知i 为虚数单位，复数z 满足zi−i =z +1，则|z +1|=( )A. 2 B. 1 C. 5 D. 24.已知向量a =(−1,2),b =(1,−2λ)，若a //(a−b )，则实数λ的值为( )A. 1B. 0C. 43D. −235.设函数f(x)满足对∀x ∈R ，都有f(−x)=f(x)，且在(0,+∞)上单调递增，f(2)=0，g(x)=x 2，则函数y =f(x)g(x)的大致图象是( )A. B.C. D.6.已知x 和y 满足约束条件{y ≥0x +2y +1<0x +y +2>0，则y−2x−1的取值范围为( )A. (0,14) B. (14,12) C. (14,1) D. (12,1)7.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是( )A. 1237B. 1537C. 35D. 478.等腰直角三角形ABC 中，A =90°，该三角形分别绕AB ，BC 所在直线旋转，则2个几何体的体积之比为( )A. 1： 2B. 2：1C. 1：2D. 2：19.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若a−c =bcosC−bcosA ，则△ABC 的形状为( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形10.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，其导函数为f′(x)，若xf′(x)−1<0.f(e)=2，则关于x 的不等式f(e x )<x +1的解集为( )A. (0,1)B. (1,e)C. (1,+∞)D. (e,+∞)11.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⋅F 1B =0，F 2B =−F 2A ，则双曲线C 的离心率为( )A. 3+12B. 3+1C. 5+12D. 5+112.已知log 6a =14，log 4b =13，c =(1+e )1e ，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. b <a <cD. a <c <b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学下学期期末考试试题理含解析试题

高三数学下学期期末考试试题理含解析试题

2021届高三数学下学期期末考试试题 理〔含解析〕第一卷〔选择题 一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共计60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.〕{A x y ==，{}|1B x a x a =+≤≤， 假设A B=A ，那么实数a 的取值范围为〔 〕 A. (][),32,-∞-+∞ B. []1,2- C. []2,1-D.[)2,+∞【答案】C 【解析】试题分析：{}{||22A x y x x ===-≤≤，又因为A B A ⋃=即B A ⊆，所以12{2a a +≤≥-，解之得21a -≤≤，应选C. 考点：1.集合的表示；2.集合的运算.2.以下有关命题的说法正确的选项是〔 〕A. 命题“假设21x =，那么1x =〞的否命题为：“假设21x =，那么1x ≠〞B. “1x =-〞是“2560x x --=〞的必要不充分条件C. 命题“x R ∃∈，使210x x +-<〞的否认是：“x R ∀∈均有210x x +->〞D. 命题“假设x y =，那么sin sin x y =〞的逆否命题为真命题【答案】D 【解析】 【分析】分别根据四种命题之间的关系以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：A ．命题“假设21x =，那么1x =〞的否命题为：“假设21x ≠，那么1x ≠〞，那么A 错误．B ．由2560x x --=，解得6x =或者1x =-，那么“1x =-〞是“2560x x --=〞的充分不必要条件，故B 错误．C ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<〞的否认是：“x R ∀∈均有210x x ++〞，故C 错误．D ．命题“假设x y =，那么sin sin x y =〞为真命题，那么根据逆否命题的等价性可知命题“假设x y =，那么sin sin x y =〞的逆否命题为真命题，故D 正确．应选：D ．【点睛】此题主要考察命题的真假判断，要求纯熟掌握四种命题，充分条件和必要条件，含有一个量词的命题的否认．a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，那么以下说法正确的选项是〔 〕A. a b ∥，b α⊂，那么a αB. a α⊂，b β⊂，αβ∥，那么a b ∥C. a α⊂，b α⊂，a β∥，b β∥，那么αβ∥D. αβ∥，a α⊂，那么a β∥ 【答案】D 【解析】分析：在A 中，a∥α或者a⊂α；在B中，a与b平行或者异面；在C中，α与β相交或者平行；在D中，由面面平行的性质定理得a∥β．详解：由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A 中，a∥b，b⊂α，那么a∥α或者a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，那么a与b平行或者异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，α∥β，b∥β，那么α与β相交或者平行，故C错误；在D中，α∥β，a⊂α，那么由面面平行的性质定理得a∥β，故D正确．应选：D．点睛：此题考察线面位置关系的判断，考察空间想象才能，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4.程大位?算法统宗?里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要清楚依次弟，孝和休惹外人传.〞意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开场，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级清楚，使孝顺子女的美德外传，那么第八个孩子分得斤数为〔〕A. 65B. 184C. 183D. 176【答案】B【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996，设首项为1a，结合等差数列前n项和公式有：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=， 解得：165a =，那么81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 此题选择B 选项.点睛：此题主要考察等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.,x y 满足不等式组1,1{0,0,x y y W xx y ≥-≥=-≥则的取值范围是〔 〕A. [一1，1〕B. [一1，2〕C. 〔-1，2〕D. [一1，1] 【答案】A 【解析】试题分析：这是一道线性规划题，先画出可行域，如下：1=y W x-表示的是到阴影局部上的点的斜率，故由图可知斜率的范围是[一1，1〕，那么1=y W x -的取值范围是[一1，1〕.考点：线性规划问题.6.一个几何体的三视图如下图，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，那么这个几何体的体积是〔 〕A. 8πB. 12πC. 14πD. 16π【答案】A 【解析】【详解】由几何体的三视图可知，此几何体为半径为2的球体的34，所以3342843V ππ=⨯⨯=.考点：几何体的三视图及球的体积公式.1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔 〕 A.13B. 13-C.79D. 79-【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简所求表达式，代入条件求得表达式的值. 【详解】依题意222πππcos 22cos 12cos 13326πααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π272sin 11699α⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，应选D.【点睛】本小题主要考察三角恒等变换，考察二倍角公式和诱导公式，属于根底题. 8.22cos a xdx ππ-=⎰，()f x 是以a 为周期的奇函数，且定义域为R ，那么()()20172018f f +的值是〔 〕A. 0B. 1C. 2D. 2018【答案】A 【解析】222sin 22a cosxdx ππππ-===-⎰ 可知()f x 的周期为2a =x R ∈，()00f =()()()()()20172018101f f f f f ∴+=+= ()()()()11211f f f f =-=-=- ()10f ∴=应选A2()1f x mx mx =--，假设对于任意[1,3]x ∈，()4f x m <-+恒成立，那么实数m 的取值范围为〔 〕A. (,0]-∞B. 5[0,)7C. 5(,)7-∞D.5(,0)(0,)7-∞⋃【答案】C 【解析】 【分析】恒成立问题，利用别离参数法得到m ＜251x x -+，转为求函数251y x x =-+在[]1,3的最小值，从而可求得m 的取值范围．【详解】由题意，f 〔x 〕＜﹣m +4，可得m 〔x 2﹣x +1〕＜5．∵当x ∈[1，3]时，x 2﹣x +1∈[1，7]，∴不等式f 〔x 〕＜﹣m +4等价于m ＜251x x -+．∵当x ＝3时，251x x -+的最小值为57，∴假设要不等式m ＜251x x -+恒成立，那么必须m ＜57，因此，实数m 的取值范围为〔﹣∞，57〕，应选：C ．【点睛】此题考察恒成立问题的解法，经常利用别离参数法，转为求函数最值问题，属于中档题．ABC △中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，假设(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，那么31m n+的最小值是 A. 9 B. 10 C. 11D. 12【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合向量一共线的充分必要条件首先确定,m n 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，,,A B E 三点一共线，那么：31m n +=，据此有：()3131936612n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当11,26m n ==时等号成立. 综上可得：31m n+的最小值是12.此题选择D 选项.【点睛】此题主要考察三点一共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，得到()g x 的图像，假设()()129g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，那么122x x -的最大值为〔 〕 A.5512πB.5312πC.256πD.174π【答案】A 【解析】函数()226f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位，可得223y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向下平移1个单位，得到()2213g x sin x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，假设()()129g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，那么()()123g x g x ==-，那么22,32x k k Z πππ+=-+∈，即5,12x k k Z ππ=-+∈，[]12,2,2x x ππ∈-，得12175719,,,,12121212x x ππππ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭，当121917,1212x x ππ==-时，122x x -取最大值5512π，应选A.21(0)()21(0)x xx f x e x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪++<⎩，假设函数(())1y f f x a =--有三个零点，那么实数a 的取值范围是〔 〕A. 1(11)(23]e，，+⋃ B. 11(11)(23]3ee ⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩⎭，， C. 11(11)[23)3e e ⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩⎭，，D. 2(11)(23]e+⋃，， 【答案】B 【解析】分析：该题属于函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图像的走向，找出函数的极值，从而结合图像完成任务.详解：(())10f f x a --=，即(())1f f x a -=，结合函数解析式，可以求得方程()1f x =的根为2x =-或者0x =，从而得到()2f x a -=-和()0f x a -=一一共有三个根，即(),()2f x a f x a ==-一共有三个根，当0x ≥时，()1x xf x e=+，21'()x x xx e xe xf x e e--==，从而可以确定函数()f x 在(,1)-∞-上是减函数，在(1,1)-上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，且1(1)0,(1)1f f e-==+，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于20111a a e -<⎧⎪⎨<<+⎪⎩或者2011a a e -=⎧⎪⎨=+⎪⎩或者2001a a -=⎧⎨<≤⎩或者02111a a e <-≤⎧⎪⎨>+⎪⎩或者12111a ea e ⎧-=+⎪⎪⎨⎪>+⎪⎩，解得111a e <<+或者23a <≤或者13a e =+，所以所求a 的范围是11(1,1)(2,3]3ee ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭，应选B.点睛：解决该题的关键是明确函数图像的走向，利用数形结合，对参数进展分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要.第II 卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.〕=(2,),(1,1)a x b =-，假设a b ⊥，那么a b +=__________.【解析】 【分析】利用a b ⊥求出x ，然后求.【详解】向量()=(2,),1,1a x b =-，假设a b ⊥，那么0202,a b x x ⋅=⇒-+=⇒=()1,3a b ∴+=-==【点睛】此题考察了向量垂直与数量积的关系，考察了向量的模的求法，考察推理才能与计算才能，属于根底题．()(0)af x x b x x=++≠在点(1(1))f ，处的切线方程为25y x =-+，那么a b -=__________．【答案】4 【解析】【详解】()af x x b x=++ ()21a f x x∴=-' ()112f a =-=-'，3a ∴=()114f a b b =++=+()1253f =-+=，43b ∴+=，1b =-那么()314a b -=--=15.观察以下的数表： 2 4 68 10 12 1416 18 20 22 24 26 28 30 …… ……设2021是该数表第m 行第n 列的数，那么m n ⋅=__________． 【答案】4980 【解析】 【分析】表中第n 行一共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．根据等差数列求和公式及通项公式确定求解.【详解】解：表中第n 行一共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．排完第k 行，一共用去1124221k k -+++⋯+=-个数字， 2021是该表的第1009个数字， 由19021100921-<<-，所以2021应排在第10行，此时前9行用去了921511-=个数字， 由1009511498-=可知排在第10行的第498个位置， 即104984980m n =⨯=， 故答案为：4980【点睛】此题考察了等比数列求和公式，考察学生分析数据，总结、归纳数据规律的才能，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆，使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．【答案】327π【解析】如图，连结OE 交AB 于点I ，设,,,E F G H 重合于点P ，正方形的边长为()0x x >，那么,6,22x x OI IE ==-该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，246222x x x ⎛⎫∴⋅-= ⎪⎝⎭，解得4x =，设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，那么22OC =224223OP -=()(2222322R R =+，解得3R =，外接球的体积34500333V ππ==5003π.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，假设cos c A ，cos b B ，cos a C 成等差数列. 〔1〕求B ；〔2〕假设33a c +=3b =ABC ∆的面积. 【答案】(1)3B π=；(2)5316. 【解析】 【分析】〔1〕由题意可知2bcosB ccosA acosC =+，由正弦定理边化角整理可得()2sinBcosB sin A C =+，据此可知12cosB =，3B π=.〔2〕由题意结合余弦定理整理计算可得54ac =，结合三角形的面积公式可得ABC S ∆=. 【详解】〔1〕∵ccosA ，bcosB ，acosC 成等差数列, ∴2bcosB ccosA acosC =+，由正弦定理2a RsinA =，2c RsinC =，2b RsinB =，R 为ABC ∆外接圆的半径， 代入上式得：2sinBcosB sinCcosA sinAcosC =+， 即()2sinBcosB sin A C =+.又A C B π+=-，∴()2sinBcosB sin B π=-， 即2sinBcosB sinB =. 而0sinB ≠，∴12cosB =，由0B π<<，得3B π=. 〔2〕∵222122a cb cosB ac +-==，∴()222122a c acb ac+--=，又a c +=b = ∴27234ac ac --=，即54ac =，∴115224ABC S acsinB ∆==⨯=. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或者全部化为边的关系．题中假设出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．cos 2,cos 4a x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3,24b sin x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎭，函数()1f x a b =⋅+〔1〕求()f x 的最小正周期和单调增区间；〔2〕求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求出相应x 的值.【答案】〔1〕π,5[,],1212k k k Z ππππ-++∈；〔2〕=2x π时，()f x 最小，min ()f x ==12x π时，()f x 最大，max ()2f x =.【解析】 【分析】〔1〕利用数量积的坐标运算与辅助角公式可求得()2sin 2+3f x x π=（），从而可求()f x 的最小正周期和单调增区间； 〔2〕根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得42+[,]333x πππ∈结合正弦函数的图象可求()2sin 2+3f x x π=（）的最大值和最小值。

2022-2023学年内蒙古自治区包头市高三年级上册学期期末数学理试题【含答案】

2022-2023学年内蒙古自治区包头市高三年级上册学期期末数学理试题【含答案】

2022-2023学年度第一学期高三年级期末教学质量检测试卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场、座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）{}2560A x x x =-->{}10B x x =->A B = A.B.C.D.()6,+∞()1,1-(),1-∞-()1,62. 设，则在复平面内对应的点位于（）32i z =-1z A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知，，，则（）31log 4a =322b -=2312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭A B. C. D.a b c>>a c b>>b c a>>c b a>>4. 已知A ，B ，C 三人都去同一场所锻炼，其中A 每隔1天去一次，B 每隔2天去一次，C 每隔3天去一次.若3月11日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（）A. 3月22日 B. 3月23日C. 3月24日D. 3月25日5. 某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为a ,b ,c ,则（）A. B. C. D. a b c <<b a c <<a c b<<b<c<a6. 若函数与都在区间上单调递增，则的最大值()2sin f x x =()cos2g x x=(),m n n m -为（）A. B. C. D. π4π3π2π7. 已知，（）()4,2AB =()()1,0AC t t =>AB BC ⋅=A B. C. 8 D. 168-16-8. 设为直线，为平面，则的必要不充分条件是（）a βa β⊥A. 直线与平面内的两条相交直线垂直a βB. 直线与平面内任意直线都垂直a βC. 直线在与平面垂直的一个平面内a βD. 直线与平面都垂直于同一平面a β9. 记为等差数列的前项和.已知，，则（）n S {}n a n 55S =610a =AB.312n a n =+520n a n =-C.D.2314n S n n=-231322n S n n=-10. 已知，，则（）π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22sin2cos21cos ααα=++tan2α=A. B. C. 2 D. 3131211. 已知抛物线，斜率为的直线与的交点为E ，F ，与轴的交点为.2:3C y x =32l C x H 若，（）()1EH k HF k =>EF =k =A. 5B. 4C. 3D. 212. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，E ，F 分-P ABC O 4PA =2PB PC ==别是PA ，AB 的中点，，，，则球的体积为（）90CEF ∠=︒PB AC ⊥PC PA ⊥OA. B. C. D. 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13. 曲线在点处的切线方程为______.()()224e xf x x x =++()()0,0f 14. 已知数列和满足，，，.{}n a {}n b 11a =12b =134n n n a a b +=-+134n n n b b a +=--则数列的通项______.{}n n a b +n n a b +=15. 甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是3:1______.16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为()2222:10x y C b a a b -=>>1F 2F 1F 的直线与的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若，则的离心率为______.4πC 2//BF OA C 三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC .()22sin sin sin 3sin sin A C B A C+=+（1）求；B （2）若，求.623a b c =+sin A 18. 9年来，某地区第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图如下图所示.根据x y 该图提供的信息解决下列问题.（1）在所统计的9个生产总值中任选2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分X X 布列和数学期望；()E X （2）由统计图可看出，从第6年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值.（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和()11,x y ()22,x y (),n nx y ˆˆˆy bx a =+截距的最小二乘法估计分别为：，.()()()1122211ˆn niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑ ˆa y bx =-19. 如图，直四棱柱的底面是平行四边形，，，1111ABCD A B C D -14AA =2AB BC ==，，，分别是，，的中点.60BAD ∠=︒E FH 1A D 1BB BC （1）证明：平面；EF ⊥11BCC B （2）求平面与平面所成二面角的正弦值.1DC H DEF 20. 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，()0,3M -()0,3N (),P x y PM PN 3-记的轨迹为曲线.P C （1）求的方程，并说明是什么曲线；C C （2）过坐标原点的直线交C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，轴，垂足为，连AD y ⊥D接并延长交于点.BD C H （i ）证明：直线与的斜率之积为定值；AB AH （ii ）求面积的最大值.ABD △21. 已知函数.()()ln 11f x x a x =--+（1）若存在极值，求的取值范围；()f x a （2）当时，讨论函数的零点情况.2a =()()sin g x f x x=+（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（s 为参数），直线的参数xOyC 2222,1s x s y ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩l 方程为（为参数）.1cos 2sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩t （1）求和的直角坐标方程；C l （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的面积.C l AB ()1,2-OAB [选修4-5：不等式选讲]23. 已知()()4f x x m x x x m =-+--（1）当时，求不等式的解集；2m =()0f x ≥（2）若时，，求的取值范围.(),2x ∈-∞()0f x <m2022-2023学年度第一学期高三年级期末教学质量检测试卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场、座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）{}2560A x x x =-->{}10B x x =->A B = A.B.C.D.()6,+∞()1,1-(),1-∞-()1,6【答案】A 【解析】【分析】求出集合中元素范围，再求即可.,A B A B ⋂【详解】或，{}{2560|1A x x x x x =-->=<-}6x >，{}{}101B x x x x =->=>()6,A B ∴=+∞ 故选：A.2. 设，则在复平面内对应的点位于（）32i z =-1z A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】求出的代数形式，进而可得其对应的点所在象限.1z 【详解】，()()32i 32i 32i 1i 321321313i z ==--++-=其对应的点为，位于第四象限.32,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：D.3. 已知，，，则（）31log 4a =322b -=2312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B. C. D.a b c>>a c b>>b c a>>c b a>>【答案】D 【解析】【分析】先确定与中间量0的大小关系，再利用指数函数的单调性来比较大小.【详解】,331log log 104a =<=，332232211220c b -⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎭=⎝<⎭⎝故c b a >>故选：D.4. 已知A ，B ，C 三人都去同一场所锻炼，其中A 每隔1天去一次，B 每隔2天去一次，C 每隔3天去一次.若3月11日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（）A. 3月22日 B. 3月23日C. 3月24日D. 3月25日【答案】B【解析】【分析】三人各自去锻炼的日期实际上是等差数列，利用等差数列知识进行求解.【详解】由题意，三人各自去锻炼的日期分别是等差数列，公差分别为2,3,4，最小公倍数为12，所以下一次三人都去锻炼的日期是3月23日.故选：B.5. 某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为a ,b ,c ,则（）A. B. C. D. a b c <<b a c<<a c b<<b<c<a【答案】B 【解析】【分析】根据众数,平均数,中位数的概念和公式,带入数字,求出后比较大小即可.【详解】解:由频率分布直方图可知众数为65,即,65b =由表可知,组距为10,所以平均数为:,450.15550.2650.25750.2850.1950.167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故,记中位数为,67c =x 则有:,()100.015100.02600.0250.5x ⨯+⨯+-⨯=解得:,即,66x =66a =所以.b a c <<故选：B.6. 若函数与都在区间上单调递增，则的最大值()2sin f x x=()cos2g x x=(),m n n m -为（）A. B. C. D. π4π3π2π【答案】C 【解析】【分析】分析在一个较大区间内的单调性，找出它们的公共增区间，分(),()f xg x (),m n 析出的最大值.n m -【详解】的周期为，的周期为，分析在内两个()2sin f x x=2π()cos2g x x=π5π[0,2函数的单调性，函数在上单调递增，()2sin f x x =π3π5π0,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数在上单调递增，()cos2g x x =π3π,π,,2π22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数与都在区间上单调递增，()2sin f x x =()cos2g x x =3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭且为的最大公共增区间3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭(),()f x g x 所以则，，所以的最大值为.max 2πn =min 3π2m =n m -3ππ2π22-=故选：C.7. 已知，（）()4,2AB =()()1,0AC t t =>AB BC ⋅=A. B. C. 8D. 168-16-【答案】A 【解析】，再利用数量积的坐标运算求即可.t AB BC ⋅【详解】由已知()()()1,4,23,2BC AC AB t t =-=-=--=或（舍去，）4t ∴=0=t 0t >()()84,3,21242AB BC ∴=⋅=⋅--+=-故选：A.8. 设为直线，为平面，则的必要不充分条件是（）a βa β⊥A. 直线与平面内的两条相交直线垂直a βB. 直线与平面内任意直线都垂直a βC. 直线在与平面垂直的一个平面内a βD. 直线与平面都垂直于同一平面a β【答案】C 【解析】【分析】根据题意知找一个由能推出的但反之不成立的一个结论.a β⊥【详解】根据题意知找一个由能推出的但反之不成立的一个结论.a β⊥对A ：根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则；a βa β⊥若，则直线与平面内的两条相交直线垂直，故A 错误；a β⊥a β对B ：根据线面垂直的定义，直线与平面内任意直线都垂直是的充要条件，故a βa β⊥B 错误；对C ：若，设，由面面垂直的判定知，故直线在与平面垂直的一a β⊥a α⊂αβ⊥a β个平面内；若直线在与平面垂直的一个平面内，不妨设平面，若取，则a βγβ⊥a γβ=⋂不成立，故C 正确；a β⊥对D ：若，又，则，不可能有平面与平面垂直，故D 错误.a β⊥a α⊥//βαβα故选：C 9. 记为等差数列的前项和.已知，，则（）n S {}n a n 55S =610a =A.B.312n a n =+520n a n =-C.D.2314n S n n=-231322n S n n=-【答案】D 【解析】【分析】先利用等差数列的通项公式和求和公式列方程求出，进而可得等差数列的通1,a d 项公式及求和公式，对照选项可得答案.【详解】设等差数列的公差为，{}n a d，解得51615105510S a d a a d =+=⎧∴⎨=+=⎩135d a =⎧⎨=-⎩，()()1153138n a a n d n n ∴=+-=-+-=-，()()2153132221132n S n n n n n n na d n -+=-=+=-⨯-故选：D.10. 已知，，则（）π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22sin2cos21cos ααα=++tan2α=A. B. C. 2 D. 31312【答案】A 【解析】【分析】先利用倍角变形求得，再利用二倍角的正切公式求即可.tan αtan2α【详解】22sin2cos21cosααα=++ 222224sin cos cos sin cos sin cos ααααααα∴=-+++即，24sin cos 3cosααα=，，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ cos 0α∴≠，即4sin 3cos αα∴=3tan 4α=，又22tan3241tan 2αα∴=-tan 0α>解得1tan 23α=故选：A.11. 已知抛物线，斜率为的直线与的交点为E ，F ，与轴的交点为.2:3C y x =32l C x H 若，（）()1EH k HF k =>EF =k =A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】C 【解析】【分析】直线方程，由值，求得E ，F 的纵坐标，再由l 32y x b=+EF =b 求得值.EH k HF =k 【详解】设直线方程，，l 3:(0)2l y x b b =+<()()1122,,,E x y F x y ，，2,03H b ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭112222,,,33EH b x y HF x b y ⎛⎫⎛⎫=---=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，112222,,,33EH k HF b x y k x b y ⎛⎫⎛⎫=∴---=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，12y ky ∴-=由得，，2323y x b y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩2220y y b -+=2(2)420b ∆=--⨯>，12122,2y y yy b ∴+==，||EF ∴===，=，123,32b y y ∴=-∴=-由解得或，12122,3y y y y +==-1213y y =-⎧⎨=⎩1231y y =⎧⎨=-⎩或(舍)，3k ∴=13k =故选:C12. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，E ，F 分-P ABC O 4PA =2PB PC ==别是PA ，AB 的中点，，，，则球的体积为（）90CEF ∠=︒PBAC ⊥PC PA ⊥O A.B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】先利用线面垂直的判定定理证得面，再推到两两垂直，PB ⊥PAC ,,PB PA PC 进而将三棱锥补形成长方体，从而求得球的半径，由此得解.-P ABC O 【详解】因为E ，F 分别是PA ，AB 的中点，所以，//EF PB 又，即，所以，90CEF ∠=︒EF EC ⊥PB EC ⊥因为，面，所以面，PB AC ⊥,,AC EC C AC EC =⊂ PAC PB ⊥PAC 因为面，所以，,PA PC ⊂PAC ,PB PA PB PC ⊥⊥又，所以两两垂直，PC PA ⊥,,PB PA PC 故将三棱锥补形成长方体，如图，-P ABC -ADHG PCTB 则长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，-ADHG PCTB -P ABC O设球的半径为，则，即，O R 2R ===R =所以球的体积为.O 34π3V R ==故选：B..【点睛】方法点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13. 曲线在点处的切线方程为______.()()224e xf x x x =++()()0,0f 【答案】540x y -+=【解析】【分析】先求导，然后求出和，再利用点斜式求直线方程即可.()0f '()0f 【详解】由已知，()()()()2241e 24e 255e x x xf x x x x x x '+=+++++=，又，()05f '∴=()04f =所以曲线在点处的切线方程为，()()224e xf x x x =++()()0,0f 45y x -=即540x y -+=故答案为：540x y -+=14. 已知数列和满足，，，.{}n a {}n b 11a =12b =134n n n a a b +=-+134n n n b b a +=--则数列的通项______.{}n n a b +n n a b +=【答案】132n -⨯【解析】【分析】将条件中两式相加可得数列为等比数列，利用等比数列的通项公式求解{}n n a b +即可.【详解】，，134n n n a a b +=-+ 134n n n b b a +=--()1134342n n n n n n n n a b a b b a a b ++∴=-++-=++-又，113a b +=所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列{}n n a b +132n n n a b -∴+=⨯故答案为：132n -⨯15. 甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是3:1______.【答案】0.21【解析】【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．【详解】甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是：3:1．0.60.50.40.50.60.50.60.50.40.50.60.50.21P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=故答案为：0.21．【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为()2222:10x y C b a a b -=>>1F 2F 1F的直线与的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若，则的离心率为______.4πC 2//BF OA C【解析】【分析】首先根据题意，设出直线的方程，之后与双曲线的渐近线联立，分别求出A ，B 两点的坐标，之后根据题中条件，得出A 是的中点，根据中点坐标公式，得2//BF OA 1F B 出其坐标间的关系，借助双曲线中的关系，求得该双曲线的离心率.,,a b c 【详解】设直线的方程为，两条渐近线的方程分别为和，l y x c =+b y x a =-by x a =分别联立方程组，求得，(,),(,ac bc ac bcA B a b a b b a b a -++--由，为的中点得A 是的中点，2//BF OA O 12F F 1F B 所以有，整理得，2ac acc b a a b -+=--+3b a =结合双曲线中的关系，可以的到，,,a bc c e a ===.三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC .()22sin sin sin 3sin sin A C B A C+=+（1）求；B （2）若，求.623a b c =+sin A 【答案】（1）π3（2【解析】【分析】（1）将条件展开后利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理求角；（2）利用正弦定理边化角，然后转化为关于角B 等式，整理得到，再求π1sin 63A ⎛⎫-=⎪⎝⎭出，利用展开求解即可.πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ππsin sin 66A A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【小问1详解】()22sin sin sin 3sin sin A C B A C+=+ 222sin 2sin sin sin sin 3sin sin A A C C B A C∴++=+即222sin sin sin sin sin A C B A C +-=由正弦定理得，222a cb ac +-=，又2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴===()0,πB ∈；π3B ∴=【小问2详解】623a b c=+ 所以由正弦定理边化角得，6sin 2sin 3sin A B C =+，有，ππ6sin 2sin3sin 33A A ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭9sin A A -=化简得，又，π1sin 63A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ,333A ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，πcos 6A ⎛⎫∴-==⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin666666A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1132==18. 9年来，某地区第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图如下图所示.根据x y 该图提供的信息解决下列问题.（1）在所统计的9个生产总值中任选2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分X X 布列和数学期望；()E X （2）由统计图可看出，从第6年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值.（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和()11,x y ()22,x y (),n nx y ˆˆˆy bx a =+截距的最小二乘法估计分别为：，.()()()1122211ˆn niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑ ˆa y bx =-【答案】（1）分布列见解析，数学期望()34E X =（2）该地区第11年的第三产业生产总值约为134.6【解析】【分析】（1）求出平均值，得出不低于平均值的有3个，因此服从超几何分布，由此可X 计算出各概率得分布列，由期望公式可计算出期望；（2）由后面的四个数据求出线性回归直线方程，将代入回归方程即可得出预测值.11x =【小问1详解】依题知，9个生产总值的平均数为：，141620263342607898439++++++++=由此可知，不低于平均值的有3个，所以服从超几何分布，X ，()()23629C C ,0,1,2C k kP X k k -===所以，()0203629C C 11550C 3612P X -⨯====，()1213629C C 3611C 362P X -⨯====，()2223629C C 3112C 3612P X -⨯====分布列为：X 012P51212112所以；()5113013122124E X =⨯+⨯+⨯=【小问2详解】由后面四个数据得：，，67897.54x +++==4260789869.54y +++==，416427608789982178i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42222216789230ii x==+++=∑所以，，217847.569.518.623047.57.5b -⨯⨯==-⨯⨯ 69.518.67.570a =-⨯=-所以线性回归方程为，18.670=-y x 当时，，11x =18.61170134.6=⨯-=y 所以该地区第11年的第三产业生产总值约为134.619. 如图，直四棱柱的底面是平行四边形，，，1111ABCD A B C D -14AA =2AB BC ==，，，分别是，，的中点.60BAD ∠=︒E F H 1A D 1BB BC （1）证明：平面；EF ⊥11BCC B （2）求平面与平面所成二面角的正弦值.1DC H DEF 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取的中点，连接、、，即可得到，再证明AD G BG EG BD //EF BG ，由直棱柱的性质证明，即可得到平面，从而得证；BG BC ⊥1BB BG ⊥BG ⊥11BCC B （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】取的中点，连接、、，AD G BG EG BD 又因为，分别是，的中点，E F 1A D 1BB 所以且，且，1//EG AA 112EG AA =1//BF AA 112BF AA =所以且，//EG BF EG BF =所以四边形为平行四边形，所以，BGEF //EF BG 又在直四棱柱的底面是平行四边形，，，1111ABCD A B C D -2AB BC ==60BAD ∠=︒所以为等边三角形，所以，又，所以，ABD △BG AD ⊥//AD BC BG BC ⊥又平面，平面，所以，1BB ⊥ABCD BG ⊂ABCD 1BB BG ⊥，平面，1BC BB B = 1,BC BB ⊂11BCC B 所以平面，BG ⊥11BCC B 所以平面.EF ⊥11BCC B 【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，()D ()1,0,0H ()12,0,4C ()0,0,2F，()2E所以，，，，()11,4DC =()0,DH =()1,0,2DE =-()1,2DF =-设平面的法向量为，则，令，则1DC H (),,n x y z =1400n DC x z n DH ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩1z =，，所以，4x =-0y =()4,0,1n =-设平面的法向量为，则，令，则DEF (),,m a b c =2020n DE a c n DF a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1c =，，所以，2a =0b =()2,0,1m =设平面与平面所成二面角为，则，1DC H DEFθcos m n m nθ⋅===⋅ 所以，即平面与平面所成二面角的正弦值为sin θ==1DC H DEF.20. 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，()0,3M -()0,3N (),P x y PM PN 3-记的轨迹为曲线.P C （1）求的方程，并说明是什么曲线；C C （2）过坐标原点的直线交C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，轴，垂足为，连AD y ⊥D 接并延长交于点.BD C H（i ）证明：直线与的斜率之积为定值；AB AH （ii ）求面积的最大值.ABD △【答案】（1）的方程为：，是一个长轴长为6，短轴长为C 22193y x +=()0x ≠C 的椭圆0x ≠（2）（i ）证明见解析（ii 【解析】【分析】（1）直接利用斜率公式即可求解；（2）（i ）设，根据坐标之间的联系，设直线的方程为()11,A x y ()110,0x y >>BD ，与联立消，运用韦达定理求出的坐标，再利用斜率1y kx y =+22193y x +=y ()22,H x y 公式求出，，然后代入化简即可证明；AH k ABk AB AH k k ⋅（ii ）将点代入，利用基本不等式即可求解.()11,A x y ()110,0x y >>22193y x +=()0x ≠【小问1详解】依题知，，，，()0,3M -()0,3N (),P x y 所以，33,PM PN y y k k x x +-==又直线与的斜率之积为，PM PN 3-即，整理得：，333y y x x +-⨯=-22193y x +=()0x ≠因此是一个长轴长为6，短轴长为且的椭圆.C 0x ≠【小问2详解】（i ）如图所示：设，，()11,A x y ()110,0x y >>()22,H x y 因为两点关于原点中心对称，所以，,A B ()11,B x y --因为轴，垂足为，所以，AD y ⊥D ()10,D y 所以直线的斜率，AB 11AB k y x =设直线的斜率为，则直线的方程为：，BD k BD 1y kx y =+由消整理得：，122193y kx y y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222113290k x ky x y +++-=因为点，是直线与的交点，()11,B x y --()22,H x y BD 22193y x +=所以，整理得：，2211193y x +=221193y x -=-由韦达定理得：，221111212222293,333ky y x x x x x k k k ---+=--==+++解得：，代入，12233x x k =+1y kx y =+解得：，即，221y kx y =+121233kx y y k -=+所以直线的斜率AH 1221112112333223AHkx y y x k k ky x x y k-+===---+所以，11113322AB AHy x k k x y ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭所以直线与的斜率之积为定值，其值为：.AB AH 32-（ii ）由（i ）知，1111122ABD S x y x y =⨯⨯=△因为在上，()11,A x y ()110,0x y >>22193y x +=()0x ≠所以，整理得：22111193x y y =+≥11x y ≤=当且仅当时，等号成立，11y =所以.ABD △【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．（3）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知函数.()()ln 11f x x a x =--+（1）若存在极值，求的取值范围；()f x a （2）当时，讨论函数的零点情况.2a =()()sin g x f x x=+【答案】（1）()1,+∞（2）共有两个零点.()g x 【解析】【分析】（1）先对求导，再分别讨论和两种情况，判断的正负，()f x 1a ≤1a >()f x '可得的单调性，从而得解.()f x （2）构造函数，利用导数判断得的单调性，再结合零()()11cos 0h x x x x =-+>()g x '点存在定理得到在和上各有一个零点；再构造函数，利用导数讨论()g x 21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,π在和的零点情况，从而得解.()g x (]π,2π()2π,+∞【小问1详解】因为，所以，()()ln 11f x x a x =--+()()11(0)f x a x x '=-->当，即时，，则为单调递增函数，不可能有极值，舍去；10a -≤1a ≤()0f x ¢>()f x 当，即时，令，解得，10a ->1a >()0f x '=11x a =-当时，；当时，；101x a <<-()0f x ¢>11x a >-()0f x '<所以在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1,1a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭所以在取得极大值，符合题意；()f x 11x a =-综上：，故实数的取值范围为.1a >a ()1,+∞【小问2详解】当时，，则，2a =()ln 1sin (0)g x x x x x =-++>()11cos g x x x '=-+令，则，()()11cos 0h x x x x =-+>()21sin h x x x '=--（i ）当时，，则单调递减，即单调递减，(]0,πx ∈()0h x '<()h x ()g x '注意到，，()cos101g '=>()120ππg '=-<所以存在唯一的使，()01,πx ∈()00g x '=且当时，，单调递增，00x x <<()0g x '>()g x 当时，，单调递减，0πx x <≤()0g x '<()g x 注意到，，，则22211121sin 0e e e g ⎛⎫=--++< ⎪⎝⎭()1sin10g =>2ln πln e 2π1<=<-，()πln ππ10g =-+<所以在和上各有一个零点；()g x 21,1e⎛⎫⎪⎝⎭()1,π（ii ）当时，，故，(]π,2πx ∈sin 0x ≤()ln 1g x x x ≤-+令，则，()()ln 1π2πx x x x ϕ=-+<≤()110x x ϕ'=-<所以在上单调递减，故，()x ϕ(]π,2π()()πln ππ10x ϕϕ<=-+<所以，故在上无零点；()()0g x x ϕ≤<()g x (]π,2π（iii ）当时，，则，()2π,x ∈+∞sin 1x ≤()ln 2g x x x ≤-+令，则，所以在上单调递()()ln 22πm x x x x =-+>()110m x x =-<'()m x ()2π,+∞减，又，故，3ln 2πln e 32π2<=<-()()2πln 2π2π20m x m <=-+<所以，故在上无零点；()()0g x m x ≤<()g x ()2π,+∞综上：在和上各有一个零点，共有两个零点.()g x 21,1e⎛⎫⎪⎝⎭()1,π【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（s 为参数），直线的参数xOyC 2222,1s x s y ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩l 方程为（为参数）.1cos 2sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩t （1）求和的直角坐标方程；C l （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的面积.C l AB ()1,2-OAB 【答案】（1）;22148x y +=()2x ≠-当时，直线的直角坐标方程为，cos 0α≠l tan 2tan y x αα=++当时，直线的参数方程为.cos 0α=l =1x -（2【解析】【分析】(1)将中的参数s 消去得曲线的直角坐标方程;2222,1s x s y ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩C 根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与l cos 0α≠两种情况.cos 0α=(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关l C sin ,cos αα系，得的方程，设与轴的交点为，以为底为高求的面积.l l x M OMA By y -OAB 【小问1详解】由得，而，2222,1s x s y ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩()()()()2222222221214811s s x ys s -+=+=++24221x s =->-+即曲线的直角坐标方程为，C ()221248x y x +=≠-由为参数），1cos (2sin x t t y t αα=-+⎧⎨=+⎩当时，消去参数，可得直线的直角坐标方程为，cos 0α≠t l tan 2tan y x αα=++当时，可得直线的参数方程为.cos 0α=l =1x -【小问2详解】将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，l C 整理可得：．①22(1cos )4(sin cos )20t t ααα++--=曲线截直线所得线段的中点在椭圆内，则方程①有两解，设为，，C l (1,2)-1t 2t 则，故，解得．的倾斜角1224cos 4sin 01cos t t ααα-+==+cos sin 0αα-=tan 1α=l ∴为．45所以直线方程，直线与轴的交点为，，3y x =+x ()3,0M -12221cos t t α-=+，21AB t t ==-==，13sin 4522AOB S OM AB =⋅== 故.OAB [选修4-5：不等式选讲]23. 已知()()4f x x m x x x m =-+--（1）当时，求不等式的解集；2m =()0f x ≥（2）若时，，求的取值范围.(),2x ∈-∞()0f x <m 【答案】（1）[)2,+∞（2）[)2,+∞【解析】【分析】（1）根据，将原不等式化为，分别讨论2m =()|2||4|20x x x x -+--≥，，三种情况，即可求出结果；2x <24x ≤<4x ≥（2）分别讨论和两种情况，即可得出结果.2m ≥2m <【小问1详解】解：当时，，2m =()()242f x x x x x =-+--原不等式可化为；()|2||4|20x x x x -+--≥当时，原不等式可化为，即，解得，2x <(2)(4)(2)0x x x x -+--≥22(2)0x -≤2x =此时解集为；∅当时，原不等式可化为，解得，此时解集为24x ≤<(2)(4)(2)0x x x x -+--≥2x ≥；[)2,4当时，原不等式可化为，即，显然成立；此4x ≥(2)(4)(2)0x x x x -+--≥22(2)0x -≥时解集为；[)4,+∞综上，原不等式的解集为；[)2,+∞【小问2详解】解：当时，因为，所以由可得，2m ≥(,2)x ∞∈-()0f x <()(4)()0m x x x x m -+--<即，显然恒成立，所以满足题意；2()(2)0x m x -->2m ≥当时，，2m <4(),2()2()(2),x m m x f x x m x x m -≤<⎧=⎨--<⎩因为时，显然不能成立，所以不满足题意；2m x ≤<()0f x <2m <综上，的取值范围是.m [)2,+∞。

北京高三期末考试题 高三数学(理科)答案

北京高三期末考试题 高三数学(理科)答案

高三期末考试数学（理）答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：每小题5分，共30分．（第一空3分，第二空2分）9. 1(,0)210. 1,3- 11.12. 4π,-13. 1(0,]214. {}2,11三、解答题：本大题共6小题,共80分． 15（共13分）解：2sin b A =，2sin sin A B A =， ………………4分因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin 2B =， ………………5分 因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =． ………………7分（Ⅱ）因为2a =，b =，所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=， ………………11分解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3． ………………13分16（共13分）解：（Ⅰ）由数列{}n a 满足12n n a a +=(1,2,3,)n =知 数列{}n a 是公比2q =的等比数列 ………………2分 又123,1,a a a +成等差数列 所以 2132(1)a a a +=+………………4分 即 1112(21)4a a a +=+解得12a = ………………5分 所以 2n n a = ………………6分 223log 73log 2737n n n b a n =-=-=- ………………8分（Ⅱ）解： (2)(3)n n nb n b b n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩112124415T b T b b ===+=+=3n ≥时，121234123412222(437)1023111022n n nn T b b b b b b b b b b b b b b b n nn n =+++=--++++=+++++---+-=+=-+易知 2n =时也满足上式所以 24(1)31110(2)22n n T n n n =⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩………………………………13分17（共13分）（Ⅰ）两年级满意度评分的茎叶图如下………………………………3分可以看出，高一年级满意度评分的平均值高；高一年级满意度评分的离散程度小．………………………………7分（Ⅱ）从已知可得到相应事件的概率421()202050P A………………………………10分高一满意度等级为“非常满意”且高二为“不满意”的概率为4101 202010高一满意度等级为“非常满意”且高二为“满意”的概率为482 202025高一满意度等级为“满意”且高二为“不满意”的概率为12103 202010所以12312()10251025P B………………………………13分18（共14分）（Ⅰ）方法1：如图，取1AE 的中点T ，连接TM ，TD ，又M 是1BE 的中点，12TMAB TMAB 所以，且， 又N 是DC 的中点，12DN =CD 所以，由四边形ABCD 是矩形，所以 AB CD AB=CD ，，所以TMDN TM=DN ，且．从而四边形TMND 是平行四边形，所以MNTD ，………………………3分TD ⊂平面1ADE , MN ⊄平面1ADE所以 MN ∥平面1ADE ；……………………5分 （Ⅰ）方法2：取AB 的中点H ，连接HM ，HN（Ⅱ） 因为 AB BC ⊥， 1AB BE ⊥ 所以 AB ⊥平面1BCE……………………………6分因为 1E C ⊂平面1BCE 所以 1AB E C⊥……………………………7分又 190BE C ∠=︒ 所以 11BE E C ⊥ 所以 1E C ⊥平面1ABE……………………………8分又 AM ⊂平面1ABE 所以1AM E C ⊥………………………………9分MN A BCD E 1TMN ABCD E 1H（Ⅲ）方法1：如图，过点1E 做平面1BCE 的垂线1E F , 则E 1FBE 1，E 1FE 1C ，已知BE 1E 1C.以1E 为原点，分别以111,,E C E B E F 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，易知11E C ……10分 则A (0,1,1)，1E (0,0,0)， N (1,0,12)． 111(0,1,1)(1,0,)2E A E N=，易知，=(m 0,0,1)为平面1BCE 的一个法向量，…………………………11分 设()nx,y,z 为平面AE 1N 的法向量.由1100n E A n E N得102y z x z 取2z 得=(1,2,-2)n .……………12分从而22cos ,=,313||||n m n m n m……………13分所以平面AE 1N 与平面1BCE 所成锐二面角的余弦值为23． ………………………………14分（Ⅲ）方法2：如图，在平面1BCE 内，过点B 作1BQ E C因为11BE E C ⊥,所以 1BQ BE ⊥． 又因为AB ⊥平面1BCE ，所以ABBE 1，ABBQ以B 为原点，分别以1,,BE BQ BA 的方向为x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，易知11E CE 1则A (0,0,1)，B (0,0,0)，E 1(1,0,0)，N (1,1,12)． 因为AB ⊥平面1BCE ，所以=(m 0,0,1)为平面1BCE 的一个法向量，=(2,-1,2)n 为平面AE 1N 的法向量.从而22cos ,=,313||||n m n m n m 所以平面AE 1N 与平面1BCE 所成锐二面角的余弦值为23． （Ⅲ）方法3：CQN 为所求二面角的平面角，可求1,,2525CN CQ QN19（共14分）（Ⅰ）解：当1=a 时，()(1)1x f x x e =-+()x f 'x xe =()1f e '=,()11f =切线方程为1(1)y e x -=- 即10ex y e -+-=…………………………3分（Ⅱ）证明：()'()(1)x g x f x e x a ==-+(1)a +- ……………………4分'()(2)x g x e x a =-+解 '()(2)0x g x e x a =-+= 得 2x a =-a ，则函数)(x g 在)2,0(-a 上递减；在),2(+∞-a 上递增……………6分0)2(,0)0(<-∴=a g g ，又01)(>-+=a e a g a …………7分所以函数)(x g 在)2,0(-a 上无零点，在),2(+∞-a 上有唯一零点 因此 函数()g x 在),0(+∞上仅有—个零点；…………………………9分 （Ⅲ）当2≤a 时，解 '()(2)0x g x e x a =-+= 得 20x a =-≤[0,2],'()(2)0x x g x e x a ∈=-+≥，所以 函数)(x g 在]2,0[上是增函数， 0)0()(=≥∴g x g ，所以 函数)(x f 在]2,0[上单调递增，0)0()(=≥∴f x f ，不符题意 ……………………11分当2a >时，设0x 是函数()g x 在),0(+∞上的唯一零点 由（Ⅱ）知在),0(0x 上()0g x <，在),(0+∞x 上()0g x > 所以)(x f 在),0(0x 递减，),(0+∞x 递增，设)(x f 在[0，2]上最大值为M ，则)}2(),0(max{f f M =， 故对任意的]2,0[∈x ，恒有0)(≤x f 成立等价于⎩⎨⎧≤≤0)2(0)0(f f ，由0)2(≤f 得：022)2(2≤+-+-a a e a ，2342322222>-+=--≥∴e e e a 又0)0(=f ，22223e a e -∴≥- …………………………14分20（共13分）解：2= 得2c = 所以 28844n c =-=-= …………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2,0)F ，设直线l 方程为(2)y k x =-(0k)将(2)y k x =-代入22184x y +=得：2222(12)8880k x k x k +-+-=， 设1122(,)(,)A x y B x y 、 则22121222888,1212k k x x x x k k -+=⋅=++.121224()412k y y k x x k k -+=+-=+则线段AB 的中点坐标为(224,12k k +2212kk -+)线段AB 的垂直平分线的方程为 222214()1212k ky x k k k --=--++由 0x 得 2212ky k=+ 令 222123k k =+得 11,2k k…………………………8分（Ⅲ）显然直线AP BP 、的斜率存在，设直线AP BP 、的斜率分别为12,k k ， 则 121212,y yk k x t x t==-- “PF 为APB ∠的平分线”，等价于“120k k +=” 即12120y y x t x t +=--， 1212(2)(2)0k x k x x t x t --+=--1221(2)()(2)()0k x x t k x x t --+--=12122(2)()40.x x t x x t -+++=将22121222888,1212k k x x x x k k -+=⋅=++代入上式， 化简得4t =所以存在点(4,0)P ，使得PF 为APB ∠的平分线，此时 4.t =…………13分。

高三数学理科期末统测试卷及答案

高三数学理科期末统测试卷及答案

第一学期徐汇区高三年级数学学科 学习能力诊断卷 （理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） .1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、方程4220x x +-=的解是 。

2、设集合{}|0,|12x A x B x x x ⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋃= 。

3、已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是 。

4、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= 。

5、已知向量(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在向量a 的方向上的投影为 。

6、已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是 。

7、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析式()f x = 。

8、一颗骰子投两次, 记第一次得到的数值为a , 第二次得到的数值为b , 将它们作为关于x y 、的二元一次方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，的系数, 则方程组有唯一解的概率为 。

（用数字作答）9、已知函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(3,1)，则函数1()y f x -=的图象必经过点 。

10、若函数)1lg()(2--=ax x x f 在区间),1(+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。

11、若2010220100122010(13)()x a a x a x a x x R -=++++∈，则20101222010333a a a +++= 。

12、已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2,x y -这四个数据的平均数为1，则1y x-的最小值为 。

高三期末考试(数学理)有答案 (2)

高三期末考试(数学理)有答案 (2)

第一学期期末考试试卷高三数学（理科）考生须知1. 本试卷为闭卷考试：满分为150分：考试时间为120分钟．2. 本试卷共6页．各题答案均答在答题卡上．题号 一 二 三总分 15 16 17 18 19 20 分数第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题：每小题5分：共40分．在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}21M x x =∈≤Z ：{}12N x x =∈-<<R ：则MN =（ ）A ． {}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,0-D ．{}12．已知复数1iz i=＋：则复数z 的模为（ ） A ．22B 2C ．12D ．12+12i 3．一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm ）： 则此几何体的体积是（ ） A ．1123cm B ．32243cm C ．963cmD ．2243cm4．从4名男同学和3名女同学中：任选3名同学参加体能测试： 则选出的3名同学中：既有男同学又有女同学的概率为（ ） A ．3512 B ．3518 C ．76 D ．875．下列说法中：正确的是（ ） A ．命题“若22am bm <：则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“x R ∃∈：02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈：02≤-x x ”O 2x1x yx12 m1NM MM A A (B )B A xyO图1图2图3C ．命题“p 或q ”为真命题：则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．已知R x ∈：则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件6．已知函数32()f x x bx cx =++的图象如图所示：则2221x x +等于（ ）A ．32B ．34 C ．38D ．3167．已知O 为坐标原点：点A ),(y x 与点B 关于x 轴对称：(0,1)j =：则满足不等式20OA j AB +⋅≤的点A 的集合用阴影表示为（ ）8．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间(0,1)中的实数m 对应数轴上的点M （如图1）：将线段AB 围成一个圆：使两端点A 、B 恰好重合（从A 到B 是逆时针：如图2）：再将这个圆放在平面直角坐标系中：使其圆心在y 轴上：点A 的坐标为(0,1)（如图3）：图3中直线AM 与x 轴交于点,0N n ：则m 的象就是n ：记作f m n ．则下列命题中正确的是（ ） A ．114f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在其定义域上单调递增D ．()f x 的图象关于y 轴对称第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题：每小题5分：共30分． 9．已知(,0)2πα∈-：3sin 5α=-：则cos()πα-＝ ．10．阅读如图所示的程序框图：运行相应的程序：如果 输入100：则输出的结果为 ： 如果输入2-：则输出的结果为 ．11．已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点：那么这个椭圆的方程为 ：离心率为_______．12．已知△ABC 的三边长分别为7AB =：5BC =： 6CA =：则AB BC ⋅的值为________． 13．120()x x dx -=⎰．14．已知函数399)(+=x x x f ：则(0)(1)f f += ：若112()()k S f f k k-=+31()()(2,k f f k k kk-+++≥∈Z)：则1k S -= （用含有k 的代数式表示）．三、解答题：本大题共6个小题：共80分．解答题应写出文字说明：证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数23cos sin sin 3)(2-+=x x x x f ()R x ∈． （Ⅰ）求)4(πf 的值：（Ⅱ）若)2,0(π∈x ：求)(x f 的最大值：（Ⅲ）在ABC ∆中：若B A <：21)()(==B f A f ：求ABBC 的值．16．（本小题满分13分）某地区举办科技创新大赛：有50件科技作品参赛：大赛组委会对这50件作品分别 从“创新性”和“实用性”两项进行评分：每项评分均按等级采用5分制：若设“创新性”得分为x ：“实用性”得分为y ：统计结果如下表：作品数量 yx实用性 1分2分 3分 4分 5分 创 新 性1分 1 3 1 0 1 2分 1 0 7 5 1 3分 2 10 9 34分 1 b6 0 a5分113（Ⅰ）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率： （Ⅱ）若“实用性”得分的数学期望为16750：求a 、b 的值． 17．（本小题满分14分）已知直四棱柱ABCD A B C D ''''-：四边形ABCD 为正方形：'AA 22==AB ：E 为棱C C '的中点．（Ⅰ）求证：A E '⊥平面BDE ：（Ⅱ）设F 为AD 中点：G 为棱'BB 上一点：且14BG BB '=：求证：FG ∥平面BDE ： （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角G DE B --的余弦值．18．（本小题满分13分）已知椭圆C 中心在原点：焦点在x 轴上：焦距为2：短轴长为23 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程：（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点）：且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ． 求证：直线l 过定点：并求出定点的坐标．19．（本小题满分13分） 已知函数ln ()()a xf x a R x+=∈． （Ⅰ）若4=a ：求曲线)(x f 在点))(,(e f e 处的切线方程： （Ⅱ）求)(x f 的极值：（Ⅲ）若函数)(x f 的图象与函数1)(=x g 的图象在区间],0(2e 上有公共点：求实数a 的取值范围．20．（本小题满分14分）如图111(,)P x y ：222(,)P x y ：：(,)n n n P x y ：12(0,)n y y y n N *<<<<∈是曲线2:3(0)C y x y =≥上的n 个点：点(,0)(1,2,3,,)i i A a i n =在x 轴的正半轴上：1i i i A A P -∆是正三角形(0A 是坐标原点) .（Ⅰ）求123,,a a a ：（Ⅱ）求出点n A (,0)(*)n a n N ∈的横坐标n a 关于n 的表达式： （Ⅲ）设12321111n n n n nb a a a a +++=++++：若对任意正整数n ：当[]1,1m ∈-时：不等式2126n t mt b -+>恒成立：求实数t 的取值范围.一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题：每小题5分：共40分．题号 12345678答案B A BC B C C C二、填空题：本大题共6个小题：每小题5分：共30分．注：两空的题第1个空3分：第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题：共80分．解答题应写出文字说明：证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）234cos4sin4sin 3)4(2-+=ππππf 21=． ……………4分 （Ⅱ）2)2cos 1(3)(x x f -=+232sin 21-x x x 2cos 232sin 21-= )32sin(π-=x ． ……………6分20π<<x ： 32323πππ<-<-∴x ． ∴当232x ππ-=时：即125π=x 时：)(x f 的最大值为1． …………8分 （Ⅲ） )32sin()(π-=x x f ： 若x 是三角形的内角：则π<<x 0：∴35323π<π-<π-x ．令21)(=x f ：得21)32sin(=π-x ：∴632π=π-x 或6532π=π-x ：题号91011121314答案 45- 2：32215x y +=：25519-13 1：12k -解得4π=x 或127π=x ． ……………10分由已知：B A ,是△ABC 的内角：B A <且21)()(==B f A f ：∴4π=A ：127π=B ：∴6π=--π=B A C ． ……………11分又由正弦定理：得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． ……………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从表中可以看出：“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件：∴“创新性为4分且实用性为3分”的概率为60.1250=． …………4分 （Ⅱ）由表可知“实用性”得分y 有1分、2分、3分、4分、5分五个等级：且每个等级分别有5件：4b +件：15件：15件：8a +件． …………5分 ∴“实用性”得分y 的分布列为：y12345p550450b + 15501550850a + 又∵“实用性”得分的数学期望为16750： ∴541515816712345505050505050b a ++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………10分 ∵作品数量共有50件：∴3a b +=解得1a =：2b =． ……………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵四棱柱''''D C B A ABCD -为直四棱柱：∴ AC BD ⊥：A A BD '⊥：A A A AC =' ：∴ A ACE '⊥面BD . ∵ A ACE '⊂'面E A ： ∴ E A BD '⊥.∵ 51222=+='B A ：21122=+=BE ：3111222=++='E A ：∴ 222E A BE B A '+='. ∴ BE E A ⊥'.又∵ B BE BD = ：∴ BDE 面⊥'E A . ……………………4分（Ⅱ）以D 为原点：DA 为x 轴：DC 为y 轴：D D '为z 轴：建立空间直角坐标系.∴ )2,0,1(A '：)1,1,0(E ：)0,0,21(F ：)21,1,1(G . ∵ 由（Ⅰ）知：)11,1(--='E A 为面BDE 的法向量：)21,1,21(=FG ： ……………………6分 ∵ 021)1(11211=⨯-+⨯+⨯-='⋅E A FG . ∴ E A FG '⊥. 又∵FG ⊄面BDE ：∴ FG ∥面BDE . ……………………8分（Ⅲ） 设平面DEG 的法向量为),,(z y x n =：则 )1,1,0(=DE ：)21,1,1(=DG .∵ 0110=⨯+⨯+⨯=⋅z y x DE n ：即0=+z y . 02111=⨯+⨯+⨯=⋅z y x DG n ：即02=++zy x .令1=x ：解得：2-=y ：2=z ：∴ )2,2,1(-=n . ……………………12分 ∴ 935332)1()2(11)1(,cos -=⋅⨯-+-⨯+⨯-='⋅'>='<EA n E A n E A n . ∴ 二面角B DE G --的余弦值为935. ……………………14分 18．（本小题满分13分）解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ：短半轴长为b ：半焦距为c ：则22222,223,,c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得 2,3,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ：得()2223484120k x kmx m +++-=． ………………… 6分 由题意△()()()22284344120km km=-+->：整理得：22340k m +-> ① ………………7分 设()()1122,,M x y N x y 、：则122834kmx x k+=-+： 212241234m x x k -=+ ． ………………… 8分 由已知：AM AN ⊥： 且椭圆的右顶点为A (2,0)： ∴()()1212220x x y y --+=．………………… 10分即 ()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=：也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++： 整理得2271640m mk k ++=． 解得2m k =- 或 27km =-：均满足① ……………………… 11分 当2m k =-时：直线l 的方程为 2y kx k =-：过定点(2,0)：不符合题意舍去：当27k m =-时：直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭：过定点2(,0)7：故直线l 过定点：且定点的坐标为2(,0)7． ……………………… 13分19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） ∵4=a ： ∴x x x f 4ln )(+=且ee f 5)(=． ……………………… 1分 又∵22ln 3)4(ln )4(ln )(x xx x x x x x f --='+-'+='：∴223ln 4()e f e e e--'==-． ……………………… 3分∴)(x f 在点))(,(e f e 处的切线方程为：)(452e x ee y --=-： 即0942=-+e y e x ． ……………………… 4分（Ⅱ）)(x f 的定义域为),0(+∞：2)(ln 1)(xa x x f +-='：……………………… 5分 令0)(='x f 得ae x -=1．当),0(1ae x -∈时：0)(>'xf ：)(x f 是增函数：当),(1+∞∈-aex 时：0)(<'x f ：)(x f 是减函数： …………………… 7分∴)(x f 在ae x -=1处取得极大值：即11)()(--==a ae ef x f 极大值．……… 8分（Ⅲ）（i ）当21e ea<-：即1->a 时：由（Ⅱ）知)(x f 在),0(1ae -上是增函数：在],(21e e a -上是减函数：∴当ae x -=1时：)(xf 取得最大值：即1max )(-=a e x f ．又当ae x -=时：0)(=xf ：当],0(aex -∈时：0)(<x f ：当],(2e ex a-∈时：],0()(1-∈a e x f ：所以：)(x f 的图像与1)(=x g 的图像在],0(2e 上有公共点： 等价于11≥-a e：解得1≥a ：又因为1->a ：所以1≥a ． ……………… 11分 （ii ）当21e ea≥-：即1-≤a 时：)(x f 在],0(2e 上是增函数：∴)(x f 在],0(2e 上的最大值为222)(e ae f +=： ∴原问题等价于122≥+ea：解得22-≥e a ： 又∵1-≤a ∴无解综上：a 的取值范围是1≥a ． ……………… 13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）1232,6,12a a a ===. …………………………… 3分（Ⅱ）依题意11(,0),(,0)n n n n A a A a --：则12n n n a a x -+=：n y =在正三角形1n n n P A A -中：有11||)n n n n n y A A a a --==-. 1)n n a a -=-. ………………………… 5分1n n a a -∴-=2211122()(2,*)n n n n n n a a a a a a n n N ---∴-+=+≥∈ ①：同理可得2211122()(*)n n n n n n a a a a a a n N +++-+=+∈ ②.②-①并变形得1111()(22)0(2,*)n n n n n a a a a a n n N +-+--+--=≥∈11n n a a +->：11220n n n a a a +-∴+--=11()()2(2,*)n n n n a a a a n n N +-∴---=≥∈ .∴数列{}1n n a a +-是以214a a -=为首项：公差为2的等差数列.12(1),(*)n n a a n n N +∴-=+∈ ：n a ∴12132431()()()()n n a a a a a a a a a -=+-+-+-++-： 2(123)n =++++2n n =+.(1)(*)n a n n n N ∴=+∈ …………… 8分 （Ⅲ）∵12321111(*)n n n n n b n N a a a a +++=++++∈： ∴1234221111(*)n n n n n b n N a a a a +++++=++++∈. 121221111n n n n n b b a a a ++++∴-=+-111(21)(22)(22)(23)(1)(2)n n n n n n =+-++++++ 22(221)(21)(22)(23)(2)n n n n n n -+-=++++. ∴当*n N ∈时：上式恒为负值：∴当*n N ∈时：1n n b b +<：∴数列{}n b 是递减数列.n b ∴的最大值为12116b a ==. ……………… 12分 若对任意正整数n ：当[]1,1m ∈-时：不等式2126n t mt b -+>恒成立： 则不等式211266t mt -+>在[]1,1m ∈-时恒成立： 即不等式220t mt ->在[]1,1m ∈-时恒成立.设2()2f m t mt =-：则(1)0f >且(1)0f ->：∴222020t t t t ⎧->⎪⎨+>⎪⎩ 解之：得 2t <-或2t >：即t 的取值范围是(,2)(2,)-∞-⋃+∞. …………………… 14分注：若有其它解法：请酌情给分．。

高三期末(数学理)有答案

高三期末(数学理)有答案

正视图俯视图22高三数学第一学期期末试卷（理科）一、本大题共8小题；每小题5分；共40分。

在每小题列出的四个选项中；选出符合题目要求的一项。

1．集合2{90}P x x =-<；{13}Q x x =∈-≤≤Z ；则P ∩Q =A ．{33}x x -<≤B ．{13}x x -≤<C ．{10123}-，，，，D ．{1012}-，，，2．若一个螺栓的底面是正六边形；它的正视图和俯视图如图所示；则它的体积是A ．3332225+π B ．323325+π C ．329325+π D ．1289325+π 3．已知命题p ：1x ∃>；210x ->；那么p ⌝是A ．1x ∀>；210x -> B ．1x ∀>；210x -≤ C ．1x ∃>；210x -≤D ．1x ∃≤；210x -≤4．如果向量(,1)a k =与(61)b k =+，共线且方向相反；那么k 的值为 A ．-3B ．2C ．17-D ．175．有5名同学被安排在周一至周五值日；已知同学甲只能值周一或周二；那么5名同学值日顺序的编排方案共有 A ．24种B ．48种C ．96种D ．120种6．设偶函数()f x 在[0)+∞，上为增函数；且(2)(4)0f f ⋅<；那么下列四个命题中一定正确的是A ．(3)(5)0f f ⋅≥B ．(3)(5)f f ->-C ．函数在点(4(4))f --，处的切线斜率10k < D ．函数在点(4(4))f ，处的切线斜率20k ≥开始2a =；1n =输出a结束3a a =1n n =+2010n >是 否7．程序框图如图所示；将输出的a 的值依次记为a 1；a 2；…；a n ；其中*n ∈N 且2010n ≤．那么数列{}n a 的通项公式为A ．123n n a -=⋅B ．31nn a =-C ．31n a n =-D ．21(3)2n a n n =+8．用max{}a b ，表示a ；b 两个数中的最大数；设2()max{}f x x x =，1()4x ≥；那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是A ．3512B ．5924 C ．578D ．9112二、填空题：本大题共6小题；每小题5分；共30分 9．复数21ii+= ． 10．在△ABC 中；如果::3:2:4a b c =；那么cos C = ．11．某年级举行校园歌曲演唱比赛；七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如右图所示；去掉一个最高分和一个最低分后；所剩数据的平均数和方差分别为 ； ．12．过点(34)-，且与圆22(1)(1)25x y -+-=相切的直线方程为 ．13．已知x ；y 满足约束条件1260y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，，， 那么3z x y =+的最小值为 ．14．定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”；如果函数()g x x =；()ln(1)h x x =+；()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α；β；γ；那么α；β；γ的大小关系是 ．三、解答题：本大题共6小题；共80分 15.（本小题共13分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，）；相邻两条对称轴之间的距离等于2π． （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时；求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．16.（本小题共14分）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中；AB =5；AC =4；BC =3；AA 1=4；点D 在AB 上． （Ⅰ）求证：AC ⊥B 1C ；（Ⅱ）若D 是AB 中点；求证：AC 1∥平面B 1CD ；（Ⅲ）当13BD AB =时；求二面角1B CD B --的余弦值．17.（本小题共13分）某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是；答对第二题的AA 1BC DB 1C 1概率是；并且他们回答问题相互之间没有影响． （I ） 求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率；（Ⅱ）记ξ为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数；求ξ的分布列及数学期望E ξ．18.（本小题共13分）已知O 为平面直角坐标系的原点；过点(20)M -，的直线l 与圆221x y +=交于P ；Q 两点．（I ）若12OP OQ ⋅=-；求直线l 的方程； （Ⅱ）若OMP ∆与OPQ ∆的面积相等；求直线l 的斜率．19.（本小题共14分）设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+． （I ）求()f x 的单调区间；（II ）当0<a <2时；求函数2()()1g x f x x ax =---在区间[03]，上的最小值．20.（本小题共13分）已知函数2()1f x x=+；数列{}n a 中；1a a =；1()n n a f a +=*()n ∈N ．当a 取不同的值时；得到不同的数列{}n a ；如当1a =时；得到无穷数列1；3；53；115；…；当2a =时；得到常数列2；2；2；…；当2a =-时；得到有穷数列2-；0．（Ⅰ）若30a =；求a 的值；（Ⅱ）设数列{}n b 满足12b =-；1()n n b f b +=*()n ∈N ．求证：不论a 取{}n b 中的任何数；都可以得到一个有穷数列{}n a ； （Ⅲ）若当2n ≥时；都有533n a <<；求a 的取值范围．（考生务必将答案答在答题卡上；在试卷上作答无效）高三数学第一学期期末理科参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题；每小题5分；共40分。

内蒙古自治区呼和浩特市2023-2024学年高三上学期期末学业质量监测试题 数学(理)含答案

内蒙古自治区呼和浩特市2023-2024学年高三上学期期末学业质量监测试题 数学(理)含答案

呼和浩特市2023—2024学年第一学期高三年级学业质量监测理科数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时长120分钟.2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数z 的共轭复数是z ，满足()1i i z +=-，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，(){}2lg 2B x y x x ==-，则A B = （）A.()1,2B.()0,3C.()(),12,-∞+∞ D.()(),03,-∞+∞ 3.已知向量()4,m a = ，()2,4n = ，若()()m n m n +⊥-，则a =（）A.2B.4C.2±D.4±4.已知一个正三棱柱的三视图如下图所示，则该三棱柱的体积为（）A. B.12C. D.165.俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为1331，下雨的概率为1131，既刮风又下雨的概率为731.记事件A 为“8月份某天刮风”，事件B 为“8月份某天下雨”，则()P B A =（）A.711 B.713C.731D.11316.在斜三角形ABC 中，若45C ∠=︒，则()()1tan 1tan A B --=（）A.1B.1- D.27.直线310kx y k --+=（k ∈R ）截圆22280x y x +--=所得弦长的最小值是（）A.2C.4D.68.已知函数()332x xf x --=，若()()210f a f a -+<，则实数a 的取值范围为（）A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,32⎛⎫⎪⎝⎭C.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9.在ABC △中，AD 为A ∠的角平分线，D 在线段BC 上，若2AB =，1AD AC ==，则BD =（）A.2C.2D.210.小明将Rt ABD △与等边BCD △摆成如图所示的四面体，其中4AB =，2BC =，若AB ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为（）A.163B.163π C.643π D.2711.过抛物线24y x =的焦点F 作一条直线l 交抛物线于A 、B 两点，且4AF BF=，若抛物线的准线与x 轴交于点P ，则P 点到直线l 的距离为（）A.65B.85 C.125D.16512.若向量()11,a x y = ，()22,b x y =，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积S 可以用a 、b 的外积a b ⨯ 表示出来，即1221S a b x y x y =⨯=-.已知在平面直角坐标系中，(cos A α、()sin 2,2cos B αα，0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则OAB △面积的最大值为（）A.1C.2D.3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.521x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______.14.将函数()()sin 2f x x ϕ=+（02πϕ<<）的图象向右平移3π个单位后，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ=______.15.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左右焦点分別为1F 、2F ，过2F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点（A 在第一象限，B 在第四象限），若221::3:1:3AF BF BF =，则该双曲线的离心率为______.16.已知函数()()3221xf x e x x a x =+-+-，当()0,x ∈+∞时，()0f x >恒成立.则实数a 的取值范围是______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个学生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）2023年秋末冬初，某市发生了一次流感聅病，某医疗团队为研究本地的流感疾病与当地居民生活习惯（良好、不够良好）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100人（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：良好不够良好病例组2575对照组4555（1）分别估计病例组和对照组中生活习惯为良好的概率；（2）能否有99%的把握认为感染此次流感疾病与生活习惯有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.（12分）已知正方体ABCD A B C D '-'''的棱长为2，M 为BB '的中点，N 为DC 的中点.（1）求证：//BN 平面DMC '；（2）求平面DMC '与平面A B C D ''''夹角的余弦值.19.（12分）已知正项数列{}n a 满足：22333122n n n a a a ⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .20.（12分）已知椭圆C 的方程为22221x y a b +=（0a b >>），离心率为32，点31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上.其左右顶点分别为1A 、2A ，左右焦点分别为1F 、2F .（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过x 轴上的定点E （E 点不与1A 、2A 重合），且交椭圆C 于P 、Q 两点（0p y >，0Q y <），当满足1257A P A Qk k =时，求E 点的坐标.21.（12分）已知函数()2ln 1f x x x x=++.（1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()()g x xf x =，且()()()12124g x g x x x +=<，求证：122x x +>.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（02θπ≤<），曲线2C 的参数方程为cos306sin 30x t y t =-︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的普通方程；（2）若()0,1A ，)B，在曲线2C 上任取一点C ，求ABC △的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()22f x x x =+-.（1）求不等式()3f x x ≤的解集；（2）将函数()f x 的图象与直线4y =围成图形的面积记为t ，若正数a 、b 、c 满足2a b c t ++=，求证：4≥.2024高三理科数学参考答案一、选择题123456789101112BDCABDCCBCBA二、填空题13.8014.6π15.216.(),e -∞三、解答题17.（1）由调查数据，病例组为生活习惯为良好的频率250.25100=，因此病例组为生活习惯为良好的概率的估计值为0.25；对照组为生活习惯为良好的频率450.45100=因此对照组为生活习惯为良好的概率的估计值为0.45.（2）()22200255575458008.7911001007013091K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯由于8.791 6.635>，故有99%的把我说患有该疾病与生活习惯有关.18.（1）证明：取DC '中点E ，连接NE 、ME 、BN ∵E 、N 为中点，∴////EN CC BM'又∵1EN BM ==，∴四边形NEMB 为平行四边形∴//BN EM又∵BN ⊄平面DMC '，EM ⊂平面DMC '∴//BN 平面DMC '（2）解：以D 点为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD '为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,2C '，()2,2,1M 设m ⊥ 平面A B C D ''''，则()0,0,1m =设n ⊥ 平面DMC '，(),,n x y z =()1,2,2n DC n n DM⎧⊥⎪⇒=-⎨⊥⎪⎩'，2cos ,3m n m n m n ⋅==⋅∴平面DMC '与平面A B C D ''''夹角的余弦值为2319.解：（1）当1n =时，2311112a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴11a =当1n >时，()()2222331122n n n n n a n ⎡⎤-+-⎛⎫+=-=⎢ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴n a n =1n =时，符合上式，∴n a n=（2）133nn n n b n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭()123111111123133333n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()23111111111221333333n nn n S n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1231121111113333333n nn n S n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3134342n n n S ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭20.解：（1）由题知222::4:1:3a b c =，又223141a b +=，所以24a =，21b =，故椭圆的标准方程为2214x y +=（2）设直线l 的方程为x ty m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，()12,0A -，()22,0A ，(),0E m 联立2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2224240t y tmy m +++-=，0∆≥由韦达定理，得12224tmy y t +=-+，212244m y y t -=+由题得，12122572y x x y -=⋅+（*）∵221114x y +=，∴()()2211114422x y x x -==-+，2222242x y y x --=+∴()()()1212121244*2222y y y y x x ty m ty m --=⋅=++⎤⎡⎤++++⎣⎦⎦()()()1222121242222y y mmt y y t m y y m --==++++++，解得13m =故直线l 的方程为13x ty =+，经过x 轴上的定点1,03E ⎛⎫⎪⎝⎭.21.（1）解：()0,x ∈+∞，()2222ln 1f x x x x-=++'，()13f '=，()12f =故()f x 在1x =处的切线方程为31y x =-（2）证明：()22ln g x x x x =++（0x >）()12g =，()2210g x x x=++>'∵()()()12124g x g x x x +=<∴1201x x <<<，121x ->()()122121222x x x x g x g x +>⇔>>-⇔-()()()()111142240g x g x g x g x ->-⇔+--<()()240g x g x +--<⇔（01x <<）下证：()()240g x g x +--<（01x <<）令()()()24h x g x g x =+--()()()()()()()322412ln 2ln 2222x h x x x x x x x x x '-'⎡⎤=+++-+-+-=⎣⎦-∵01x <<，∴()0h x '>又()()()11140h g g =+-=，∴()0h x <，即()()()12240012g x g x x x x +--<<<⇔+>.22.解：（1）1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（02a π≤<），可得1C 的普通方程为2213x y +=（2）2C的普通方程为0x -=，直线AB的斜率为3=-，直线AB的方程为：13y x =-+，即0x +=.则2C 上任意一点C 到直线AB 的距离2d =，易得2AB =，所以，11535322222ABC S AB d =⋅=⨯⨯=△.23.解：（1）由223x x x +-≤可得2x x -≤，即()222x x -≤，解得1x ≥.所以不等式的解集为[)1,+∞.（2）()32,02,0232,2x x f x x x x x -+≤⎧⎪=+<<⎨⎪-≥⎩，由图可知：12822233t ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，则()()823a b c a b b c ++==+++≥+23a bc ===时，等号成立）即43≥+4≥.。

贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学(理)试题含答案

贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学(理)试题含答案

铜仁市2022~2023学年度第一学期期末质量监测试卷高三数学（理科）本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2,},{9,6}P x x y Q =+=，且P Q =，则整数x ，y 分别为（）A.6，3B.6，3或93,22C.3，6D.3，6或93,222.若复数(512i)(cos isin )()z θθθ=-+∈R （其中i 是虚数单位），则||z =（）A.5B.12C.13D.173.在三维空间中，三个非零向量,,OA OB OC 满足,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥，则ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角或锐角三角形4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤5.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A B ，是抛物线C 上不同两点，且A B ，中点的横坐标为3，则||||+=AF BF （）A .4B.5C.6D.86.已知实数x ，y 满足|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=，则2x y +的取值范围是（）A.[3,3]- B.[3,4]- C.[4,4]- D.[6,6]-7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（）A.111A CB D ⊥B.若E 是棱BC 的中点，则//BD 平面11EB D C.正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为3π D.1ACD △的面积是348.已知等比数列{}n a 的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为n T ，且354a a a =，则使得1n T >的n 的最小值为（）A.5B.6C.7D.89.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面CBD ，6AB BC CD AD BD =====，点M 在AC 上，2AM MC =，过点M 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（）A.12πB.10πC.8πD.10.已知p ，q 是方程()()2254560t t t t -+-+=的根，则函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数的概率是（）A.34B.712 C.716D.91611.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若12AF a =，则（）A .2||AB AF > B.2||AB AF = C.2||AB AF < D.22||AB AF =12.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A.(,1)(0,1)-∞-⋃B.(1,0)(1,)-⋃+∞C.(,1)(1,0)-∞-⋃- D.(0,1)(1,)⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为42的样本，那么应抽取女运动员人数是____________．14.过点(1,1)P 的直线l 将圆22:(2)4M x y -+=分成两段弧，当劣弧所对圆心角最小时，直线l 的斜率k =__________．15.已知函数cos (02π)y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积是ω，则函数cos sin y x x ωω=-的一个单调递减区间是_____________．16.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()[]f x x x =-（符号[]x 表示不超过x 的最大整数），若方程()log ||(0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，则a 的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ．且有关系式：2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+．（1）求C ；（2）求证：2c ≥．18.如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠= ，30BAC ∠= ，114A A AC AC ===，E ，F 分别是11,AC A B 的中点．（1）证明：EF BC ⊥；（2）求二面角11C A C B --的正弦值．19.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.A 市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：消费金额（单位：百元）[]0,5(]5,10(]10,15(]15,20(]20,25(]25,30频数2035251055()1由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z （单位：元）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μx （每组数据取区间的中点值，660σ=）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X ，求X 的数学期望；()2A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格.棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是12，其中01P =），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k 到2k +）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第n 格的概率为n P ，求证：当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<+= ，()330.9973P μσξμσ-<+= .20.已知点()0,1F ，直线l ：y =4，P 为曲线C 上的任意一点，且PF 是P 到l 的距离的12.（1）求曲线C 的方程；（2）若经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线交曲线C 于点M ､N ，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点H ，求证：FH MN为定值.21.已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R ．（1）讨论函数的单调性及极值，并判断方程e 2ln 0x x x ---=的实根个数；（2）证明：454e 4ln x x x x x +≥+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是11,2112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）．（1）求直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）求直线l 被曲线C 截得弦AB 的长．[选修4—5：不等式选讲]23.设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．（1）求证：115236a b -<；（2）试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．铜仁市2022~2023学年度第一学期期末质量监测试卷高三数学（理科）本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2,},{9,6}P x x y Q =+=，且P Q =，则整数x ，y 分别为（）A.6，3B.6，3或93,22C.3，6D.3，6或93,22【答案】C 【解析】【分析】由集合相等元素对应相同解方程组.【详解】由集合相等的定义，有296x x y =⎧⎨+=⎩，解得9232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不合题意舍去，或269x x y =⎧⎨+=⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩，满足题意．故选：C ．2.若复数(512i)(cos isin )()z θθθ=-+∈R （其中i 是虚数单位），则||z =（）A.5B.12C.13D.17【答案】C 【解析】【分析】根据复数的模的性质、模长公式和共轭复数的模的性质可求出结果.【详解】因为|||(512i)(cos isin )||512i ||cos isin |z θθθθ=-+=-⋅+=13=，所以||||13z z ==．故选：C ．3.在三维空间中，三个非零向量,,OA OB OC满足,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥ ，则ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角或锐角三角形【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件推出0AC AB ⋅>，得CAB ∠为锐角．同理可得,ABC BCA ∠∠也为锐角．由此可得答案.【详解】因为,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥，所以0,0,0OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅==，()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅- 22||0OB OC OA OB OC OA OA OA =⋅-⋅-⋅+=> ，所以cos 0||||AB ACCAB AB AC ⋅∠=>⋅，即知CAB ∠为锐角．同理可知,ABC BCA ∠∠也为锐角．故ABC 是锐角三角形．故选：A ．4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤【答案】A 【解析】【详解】由题意得，金箠的每一尺的重量依次成等差数列，从细的一端开始，第一段重2斤，第五段重4斤，由等差中项性质可知，第三段重3斤，第二段加第四段重326⨯=斤.5.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A B ，是抛物线C 上不同两点，且A B ，中点的横坐标为3，则||||+=AF BF （）A .4B.5C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线焦半径公式求解即可.【详解】解：由题知24p =，即2p =，设()()1122,,,A x y B x y ，因为A B ，中点的横坐标为3，所以126x x +=，所以，由抛物线焦半径公式得12||||628AF BF x x p +=++=+=故选：D ．6.已知实数x ，y 满足|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=，则2x y +的取值范围是（）A.[3,3]-B.[3,4]- C.[4,4]- D.[6,6]-【答案】C 【解析】【分析】根据绝对值三角不等式取等号的条件，将|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-≥转化为11x -≤≤且22y -≤≤，再根据不等式的性质可求出结果.【详解】因为|1||1||(1)(1)|2x x x x ++-≥+--=，当且仅当(1)(1)0x x +-≤，即11x -≤≤时，等号成立，|2||2||(2)(2)|4y y y y ++-≥+--=，当且仅当(2)(2)0y y +-≤，即22y -≤≤时，等号成立，所以|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-≥，当且仅当11x -≤≤且22y -≤≤时，等号成立，所以|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=等价于11x -≤≤且22y -≤≤，所以222x -≤≤，所以424x y -≤+≤.故选：C7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（）A.111A CB D ⊥B.若E 是棱BC 的中点，则//BD 平面11EB D C.正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为3π D.1ACD △的面积是34【答案】D 【解析】【分析】对于A,连接11A C ，利用线面垂直的判定定理可得11B D ⊥平面11A CC ，即可判断；对于B ，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C ，利用正方体外接球的直径长度为体对角线长度即可判断；对于D ，1ACD △为等边三角形，利用面积公式即可【详解】对于A ，连接11A C ，由正方体可得1CC ⊥平面111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111CC B D ⊥，在正方形1111B A 中，1111AC B D ⊥，因为1111CC A C C ⋂=，111,A C C C ⊂平面11A CC ，所以11B D ⊥平面11A CC ，因为1AC ⊂平面11A CC ，所以111A C B D ⊥，故A 正确；对于B ，因为11//BB DD ，11=BB DD ，所以四边形11BDD B 是平行四边形，所以11//BD B D ，因为BD ⊄平面11EB D ，11B D ⊂平面11EB D ，所以//BD 平面11EB D ，故B 正确；对于C,正方体1111ABCD A B C D -，所以外接球的表面积为234π3π2⎛⨯= ⎝⎭，故正确，对于D ，因为1ACD △是正三角形，其边长为，所以它的面积为213sin 6022⨯⨯︒=，即D 错误．故选：D ．8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为n T ，且354a a a =，则使得1n T >的n 的最小值为（）A.5 B.6C.7D.8【答案】D 【解析】【分析】设公比为q ，则1q >，由23544a a a a ==，得41a =，根据{}n a 为递增数列，推出1234567801a a a a a a a a <<<<=<<<<< ，再推出11T <，21T <，31T <，41T <，51T <，61T <，71T =，81T >可得结果.【详解】设公比为q ，则1q >，由23544a a a a ==，得41a =，因为1n n n a a q a +=>，所以{}n a 为递增数列，所以1234567801a a a a a a a a <<<<=<<<<< ，所以111T a =<，2121T a a =<，31231T a a a =<，412343431T a a a a T a T ==⋅=<，512345T a a a a a =121a a =<，6123456T a a a a a a =21261411a a a a a a ===<，71234567T a a a a a a a =717263544()()()1a a a a a a a a ===，8123456787881T a a a a a a a a T a a ==⋅=>，所以n 的最小为8.故选：D ．9.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面CBD ，6AB BC CD AD BD =====，点M 在AC 上，2AM MC =，过点M 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（）A.12πB.10πC.8πD.【答案】D 【解析】【分析】根据特设求出外接球的半径，再根据圆心到平面距离最大时，截面面积最小即可求解.【详解】由题意知，ABD △和BCD 为等边三角形，如图所示，取BD 中点为E ，连接,AE CE ，则AE BD ⊥，由平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，故⊥AE 平面CBD ，AE ===，球心O 在平面BCD 的投影为BCD △的外心1O ，过O 作OH AE ⊥于H ，易得11,OH O E OO HE ∥∥，则在Rt OHA △中，OH AH ==，所以外接球半径R ==OM ，因为2,,2AH HE OH CE AM MC ==∥，所以H ，O ，M 三点共线，所以23MH CE OM MH OH ===-=，当M 为截面圆圆心时，截面圆的周长最小，此时，截面圆半径r ==，所以截面圆周长的最小值为2C r π==，故选:D ．10.已知p ，q 是方程()()2254560t t t t -+-+=的根，则函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数的概率是（）A.34B.712 C.716D.916【答案】D 【解析】【分析】求出方程的解集，得出p ，q 的所有取值，再得到所求事件所需条件的p ，q 取值，即可得到所求事件的概率.【详解】因为方程()()2254560t t t t -+-+=的根的集合为{1,2,3,4}，所以有{1,2,3,4},{1,2,3,4}p q ∈∈．记事件A 为“函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数”．对函数32()1g x px qx x =++-求导，得2()321g x px qx +'=+．由题意，知2()3210g x px qx '=++≥在(,)-∞+∞上恒成立，有0p >，且()2221(2)434303q p q p p q ∆=-⨯=-≤⇒≥．当1q =时，有13p ≥，所以p 可以取到1，2，3，4这4个值；当2q =时，有43p ≥，所以p 可以取到2，3，4这3个值；当3q =时，有3p ≥，所以p 可以取到3，4这2个值；当4q =时，有163p ≥，所以p 的值不存在．综合以上，事件A 包含的基本事件共有4329++=种．因为{1,2,3,4},{1,2,3,4}p q ∈∈，所以所有的基本事件共有4416⨯=种．则所求事件的概率为9()16P A =．故选：D ．11.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若12AF a =，则（）A.2||AB AF > B.2||AB AF = C.2||AB AF < D.22||AB AF =【答案】B 【解析】【分析】由已知条件和双曲线的定义可得12AF a =，24AF a =，12F F =，2BF AB =，由122cos cos 0F AF BAF ∠+∠=，应用余弦定理，化简可得2AB AF =【详解】由双曲线定义和题设条件，得212AF AF a -=，c =，12F F =．如图所示，因为12AF a =，所以24AF a =．又由双曲线定义，得122BF BF a -=,因为112BF AF AB a AB =+=+，所以212BF BF a AB =-=．在12AF F △和2ABF △中，122πF AF BAF ∠+∠=，有122cos cos 0F AF BAF ∠+∠=，应用余弦定理，得222222121222122022AF AF F F AB AF BF AF AF AB AF +-+-+=，得222222224162802242AB AF AB a a a a a AB AF +-+-+=⋅⋅，化简得2122AF AB =，所以2AB AF =．故选：B ．12.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A.(,1)(0,1)-∞-⋃B.(1,0)(1,)-⋃+∞C.(,1)(1,0)-∞-⋃-D.(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】构函数函数()()f x F x x=，根据()f x 为奇函数，得()F x 为偶函数.求导并利用已知得到()F x 在(0,)+∞上单调递增，再根据()F x 为偶函数得到()F x 在(,0)-∞上单调递减，利用()F x 的单调性可求出结果.【详解】设()()f x F x x=，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()f x f x F x F x x x---===--，所以()F x 为偶函数，对()F x 求导得2()()()xf x f x F x x''-=，因为当0x >时，()()0xf x f x '->，所以()0F x '>，则()F x 在(0,)+∞上单调递增，又因为()F x 为偶函数，则()F x 在(,0)-∞上单调递减，因为(1)(1)(1)(1)011f f F F ---====，所以当0x >时，()()00()0(1)1f x f x F x F x x>⇒>⇒>=⇒>，当0x <时，()()00f x f x x>⇒<()0(1)F x F ⇒<=-10⇒-<<x ，所以使得()0f x >成立的x 的取值范围是(1,0)(1,)-⋃+∞.故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为42的样本，那么应抽取女运动员人数是____________．【答案】18【解析】【分析】求出男女运动员的比例，从而求出答案.【详解】女运动员的人数为985642-=，故男女运动员的人数比例为56:424:3=，所以女生应抽取3421843⨯=+人．故答案为：1814.过点(1,1)P 的直线l 将圆22:(2)4M x y -+=分成两段弧，当劣弧所对圆心角最小时，直线l 的斜率k =__________．【答案】1【解析】【分析】转化为PM l ⊥可求出结果.【详解】劣弧所对的圆心角最小时，劣弧所对的弦长最短，此时，PM l ⊥，因为(2,0)M ，所以1111012PMk k =-=-=--．故答案为：1.15.已知函数cos (02π)y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积是ω，则函数cos sin y x x ωω=-的一个单调递减区间是_____________．【答案】711,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）【解析】【分析】由割补法求出所围区域的面积得到ω，函数解析式化简后利用整体代入法求单调递减区间.【详解】如图所示，区域1S 与2S ，区域3S 与4S 组成的图形是中心对称图形，面积分别对应相等，故函数cos (0y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积等于矩形OABC 的面积，由2πOA =，1OC =，矩形OABC 的面积为2π，所以2πω=．于是πcos sin cos 2πsin 2π2π4y x x x x x ωω⎛⎫=-=-=+ ⎪⎝⎭．由()π2π2π2ππZ 4k x k k ≤+≤+∈，解得()13Z 88k x k k -≤≤+∈．函数cos sin y x x ωω=-的单调递减区间是()13,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦令1k =，其中一个单调递减区间是711,88⎡⎤⎢⎣⎦.故答案为：711,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()[]f x x x =-（符号[]x 表示不超过x 的最大整数），若方程()log ||(0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，则a 的取值范围是__________．【答案】(2,3]【解析】【分析】当01a <<时，不符合题意；当1a >时，根据方程()log (0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，结合图象可知函数[]y x x =-与log (0,1)a y x a a =>≠图象有6个交点，即可求解.【详解】由题意知，()log (0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，即为函数[]y x x =-与log (0,1)a y x a a =>≠图象有6个交点.当01a <<时，显然不成立；当1a >时，如图所示，只需log 21log 31a a<⎧⎨≥⎩，解得23a <≤.故答案为：(]2,3.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ．且有关系式：2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+．（1）求C ；（2）求证：2c ≥．【答案】（1）2π3C =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及正弦定理和余弦定理得到1cos 2C =，再根据C 的范围可求出结果；（2）利用三角形的面积公式可得3ab =，再根据余弦定理以及不等式知识可证不等式成立.【小问1详解】因为2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+，所以()22212sin 12sin 21sin 2sin sin A B C A B -+-=-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +=-，由正弦定理得222a b c ab +-=-，所以2221cos 22a b c C ab +-==-，又因为0πC <<，所以2π3C =．【小问2详解】因为12πsin 323ab ab ==，由余弦定理，得2222π2cos3c a b ab =+-22a b ab =++23ab ab ab ≥+=，当且仅当a b =时等号成立，所以2c ≥．18.如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠= ，30BAC ∠= ，114A A AC AC ===，E ，F 分别是11,AC A B 的中点．（1）证明：EF BC ⊥；（2）求二面角11C A C B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接1A E ，根据题意得1A E AC ⊥，根据面面垂直的性质定理得1A E ⊥平面ABC ，1A E BC ⊥，根据线面垂直的判定定理得到BC ⊥平面1A EF ，再得到EF BC ⊥；（2）以E 为原点，在平面ABC 中，过点E 作AC 的垂线为x 轴，1,EC EA 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求出结果.【小问1详解】连接1A E ，∵E 是AC 的中点，11A A A C AC ==，∴1A E AC ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，1A E ⊂平面11A ACC ，∴1A E ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，∴1A E BC ⊥，又1,A F AB AB BC ⊥//，∴1BC A F ⊥，因为1A E ⊂平面1A EF ，1A F ⊂平面1A EF ，111A E A F A ⋂=，∴BC ⊥平面1A EF ，因为EF ⊂平面1A EF ，∴EF BC ⊥．【小问2详解】以E 为原点，在平面ABC 中，过点E 作AC 的垂线为x 轴，1,EC EA 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，1(0,2,0),(0,2,0)A B A C -，∴1((BA BC =-=，易知平面11ACC A 的法向量为(1,0,0)m =，设平面1A CB 的法向量为(,,)n x y z =，则100n BA y n BC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,令x =，∴3,y z ==，∴n =，5cos ,5||m n m n m n ⋅<>==⋅∣，所以25sin ,5m n <>== .∴二面角11C A C B --的正弦值为255.19.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.A 市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：消费金额（单位：百元）[]0,5(]5,10(]10,15(]15,20(]20,25(]25,30频数2035251055()1由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z （单位：元）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值，660σ=）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X ，求X 的数学期望；()2A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格.棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是12，其中01P =），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k 到2k +）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第n 格的概率为n P ，求证：当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<+= ，()330.9973P μσξμσ-<+= .【答案】()116.372；()2①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.【解析】【分析】()1根据数据算出1050x =，由Z服从正态分布()21050,660N ，算出概率，即()20,0.8186X B ，进而算出X 的数学期望；()2①棋子开始在第0格为必然事件，01P =.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即112P =.棋子移到第()259n n ≤≤格的情况是下列两种，即棋子先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -；棋子先到第n 1-格，又掷出正面，其概率为112n P -.所以211122n n n P P P --=+.即112(1)2n n n n P P P P ----=--，进而求证当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②由①知1112P -=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，L ，112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得21111222n nP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21111222nn P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()12110,1,2,,5932n n +⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，算出相应概率判断出闯关成功的概率大于闯关失败的概率.【详解】解：()12500.27500.3512500.2517500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯22500.05+⨯+27500.051050⨯=，因为Z 服从正态分布()21050,660N ，所以()()0.95450.6827390237020.95450.81862P Z P Z μσμσ-<≤=-<≤+=-.所以()20,0.8186X B ，所以X 的数学期望为()200.818616.372E X =⨯=.()2①棋子开始在第0格为必然事件，01P =.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即112P =.棋子移到第()259n n ≤≤格的情况是下列两种，而且也只有两种：棋子先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -；棋子先到第n 1-格，又掷出正面，其概率为112n P -，所以211122n n n P P P --=+，即112(1)2n n n n P P P P ----=--，且1012P P -=-，所以当159n ≤≤时，数列{}1n n P P --是首项1012P P -=-，公比为12-的等比数列.②由①知1112P -=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，L ，112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，以上各式相加，得21111222n nP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21111222nn P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()12110,1,2,,5932n n +⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.所以闯关成功的概率为6060592121113232P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，闯关失败的概率为5959605811211111223232P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.60595859602111111110323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.【点睛】本题考查了根据已知数据求平均数，正态分布求概率，等比数列的证明以及数学期望的求法，题目较为综合，属于难题.20.已知点()0,1F ，直线l ：y =4，P 为曲线C 上的任意一点，且PF 是P 到l 的距离的12.（1）求曲线C 的方程；（2）若经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线交曲线C 于点M ､N ，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点H ，求证：FH MN为定值.【答案】（1）22134x y +=（2）见解析【解析】【分析】（1）设(),P x y ,根据题意列出方程整理即得；（2）直线的方程为1y kx =+,与曲线C 方程联立消去y 整理得：()2243690k xkx ++-=,检验判别式并利用弦长公式求得()2212143k MN k+=+，利用韦达定理和中点坐标公式及直线垂直时的斜率关系得到中垂线的方程，进而求得H 的坐标，得到()223143k FH k +=+,从而证得结论.【小问1详解】设(),P x y142y =-,整理得：22134x y +=,此即为曲线C 的方程；【小问2详解】经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线的方程为1y kx =+,与曲线C 方程联立得：221134y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得：()2243690k x kx ++-=,()()22236494314410k k k ∆=+⨯⨯+=+>恒成立,设()()1122,,,M x y N x y,则()212221214343k MN x k k+=-==++,122643kx x k +=-+，设线段MN 的中点为()00,T x y ,则12023243x x k x k +==-+，0024143y kx k =+=+，线段MN 的中垂线的斜率为1k-，方程为224134343ky x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭,令0x =,解得2143y k =+，即为点H 的纵坐标，∴()22231114343k FH k k+=-=++,∴()()222231143412143k FHk MN k k ++==++（为定值）21.已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R ．（1）讨论函数的单调性及极值，并判断方程e 2ln 0x x x ---=的实根个数；（2）证明：454e 4ln x x x x x +≥+．【答案】（1）单调性及极值见解析，原方程有唯一实根（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数分类讨论函数的单调性，求解极值，结合单调性的结论判断方程的实根个数；（2）不等式变形为4ln 4e ln 1(0)x x x x x -≥-+>，换元后即证e 1≥+t t ，构造函数利用导数求解函数最值即可得证.【小问1详解】()ln (R)f x x a x a =-∈，函数定义域为(0,)+∞，()1a x af x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；当0a >时，(0,)x a ∈时，()0f x '<，(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，有极小值()(1ln )f a a a =-．方程e 2ln 0x x x ---=可变形为e ln x x x x --=+，即e ln e ln x x x x --+=+，当1a =-时，()ln f x x x =+，有()e()xf f x -=，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则有e xx -=，函数e x y -=和y x =的图像只有一个交点，且交点位于第一象限，所以e x x -=在()0,∞+上有唯一实根，故原方程有唯一实根．【小问2详解】证明：由0x >知，所要证的不等式等价于44e ln 1(0)xx x x x+≥+>，等价于4ln 4e ln 1(0)x x x x x -≥-+>．（*）令4ln t x x =-，则不等式（*）等价于e 1≥+t t （**）．构造函数()e 1()t f t t t =--∈R ，求导，得()e 1t f t =-'．当0t <时，()0f t '<，函数()f t 是减函数；当0t >时，()0f t '>，函数()f t 是增函数．所以min ()()(0)0f t f t f ≥==．即（**）成立．故原不等式成立．【点睛】1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是11,2112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）．（1）求直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）求直线l 被曲线C 截得弦AB 的长．【答案】（1）230x y --=，221x y -=；（2.【解析】【分析】（1）根据给定方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式和消去参数方程中参数求解作答.（2）联立直线l 与曲线C 的直角坐标方程，利用弦长公式求解作答.【小问1详解】因为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则22cos sin cos 322θθρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即2cos sin 3ρθρθ-=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入得，230x y --=，所以直线l 的直角坐标方程是230x y --=；由112112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩变形得，22222211241124x t t y t t ⎧⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，则有221x y -=，所以曲线C 的直角坐标方程是221x y -=．【小问2详解】把直线l 的方程23y x =-，代入曲线C 的方程：221x y -=，得22(23)1x x --=，即2312100x x -+=，2Δ12120240=-=>，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212104,3x x x x +==，于是AB ===所以直线l 被曲线C 截得弦AB.[选修4—5：不等式选讲]23.设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．（1）求证：115236a b -<；（2）试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）|2||2|a b ab -<-，理由见解析【解析】【分析】（1）分11112222、、≤--<<≥x x x 讨论去绝对值求出集合M ，再利用绝对值三。

高三数学期末复习试题(理科,含详细答案)

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高三数学期末复习试题（理科） 第Ⅰ卷 选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合2{1,3,},{1,},{1,3,},A x B x A B x ==⋃=则满足条件的实数x 的个数有（ ）A. 1个B. 2个C.3个D. 4个2．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖3．已知复数12z i =+，21z i =-，则12z z z =⋅在复平面上对应的点位于（ ）．Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限4．在边长为1的等边ABC ∆中，设,,BC a CA b AB c a b b c c a ===⋅+⋅+⋅=u u u r r u u u r r u u u r r r r r r r r ，则（ ）．A ．32-B ．0C ．32D ．3 5．已知等比数列{}n a 的前三项依次为2a -，2a +，8a +，则n a =（ ）．A ．382n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．283n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C ．1382n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D ．1283n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭6．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）． A ．2- B ．2 C ．4- D ．47. 为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2，已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，那么下列说法正确的是（ ）．A ．l 1和l 2必定平行B ．l 1与l 2必定重合C ．l 1和l 2有交点（s ，t ）D ．l 1与l 2相交，但交点不一定是（s ，t ）8．已知点(3,A ，O 是坐标原点，点(,)P x y的坐标满足0200y x y -≤-+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z 为OA u u u r在OP uuu r上的投影，则z 的取值范围是（ ）．A.[B.[3,3]-C.[3]D.[3,-BCDO AP第Ⅱ卷 非选择题（共110分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只需选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．） 9. 按下列程序框图来计算：10. 已知函数32y ax bx =+，当1x =时，有极大值3；则2a b +=______________.11. 若经过点P （－1，0）的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则此直线在y 轴上的截距是 ___ __.12. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()1f x f x +⋅=对于x R ∈恒成立，且()0f x >，则(119)f = ________ ；★（请考生在以下三个小题中任选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．） 13. 在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心, 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ． 14．函数11--+=x x y 的最大值是 . 15．如图，PA 切O e 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 ．三、解答题（本部分共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．） 16．（本小题满分12分）已知02cos 22sin =-xx ． （1）求x tan 的值；（2）求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．17．（本小题满分12分）计算机考试分理论考试与上机操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为35，34，23；在上机操作考试中合格的概率分别为910，56，78．所有考试是否合格相互之间没有影响． （1）甲、乙、丙三人在同一次计算机考试中谁获得“合格证书”可能性最大？ （2）求这三人计算机考试都获得“合格证书”的概率；（3）用ξ表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 18．（本小题满分14分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面C C BB 11所成的角为︒45． （1）求此正三棱柱的侧棱长； （2）求二面角C BD A --的正切值； （3）求点C 到平面ABD 的距离． 19．（本小题满分14分）已知点(x, y) 在曲线C 上，将此点的纵坐标变为原来的2倍,对应的横坐标不变,得到的点满足方程228x y +=；定点M(2,1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0),直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点. (1)求曲线C 的方程； (2)求m 的取值范围.20． (本小题满分14分) 已知数列{n a }、{n b }满足：111,1,4(1)(1)n n n n n n b a a b b a a +=+==-+． (1)求1,234,,b b b b ；(2)求数列{}n b 的通项公式；(3)设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．21．（本小题满分14分）已知二次函数2()f x ax bx c =++, 满足(0)(1)0,f f ==且()f x 的最小值是14-．(1)求()f x 的解析式；(2)设直线21:(0,)2l y t t t t =-<<其中为常数,若直线l 与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是1()S t , 直线l 与()f x 的图象所围成封闭图形的面积是2()S t ,设121()()()2g t S t S t =+,当()g t 取最小值时,求t 的值．(3)已知0,0m n ≥≥, 求证: 211()()24m n m n +++≥．高三数学期末复习试题（理科）评分标准一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1、解析：{1,3,},A B x ⋃=所以223,1()0x x x x x =====解得舍去即满足条件的有3个；答案：C2、解：,m n 均为直线，其中,m n 平行α，,m n 可以相交也可以异面，故A 不正确；m ⊥α，n ⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；选D 。

高三数学理科期末试题及答案

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高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） ．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题；每小题5分；共40分．在每小题给出的四个选项中；选出符合题目要求的一项．1．设i 为虚数单位；则复数1i iz +=在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6；则线段AB 的长为A ．6B ．9C ．12D ．无法确定 3．设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ；下面结论中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示；则该三棱锥的全面积是A ． 426+B ．8C ． 423+D ．35．αβ，表示不重合的两个平面；m ；l 表示不重合的两条直线．若m αβ=；l α⊄；l β⊄；则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中；π4B =；则sin sin AC ⋅的最大值是 A．14+ B ．34C．2 D．24+ 7．点O 在ABC ∆的内部；且满足24OA OB OC ++=0；则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是A ． 72B ． 3C ．52D ．2 8.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =；若T 是I 的子集且满足条件：当x T ∈时；7x T ∉；则集合T 中元素的个数最多是（ ）A.204B. 207C. 208D.209第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题；每小题5分；共30分．把答案填在答题卡上．9．角α的顶点在坐标原点；始边与x 轴的非负半轴重合；终边经过点(1,2)P ；则sin(π)α-的值是 ．10．双曲线22:C x y λ-=（0λ>）的离心率是 ；渐近线方程是 ． 11．设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ；在区域D 内随机取一点P ；则点P 落在圆221x y +=内的概率为 ．12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时；1点响1声；2点响2声；3点响3声；……；12点响12声（12时制）；且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时；某人从第一声铃响开始计时；如果此次是12点的报时；则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时；则此人至少需等待 秒才能确定时间．13．在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点；边OB 上有异于顶点O 的4个点；加上点O ；以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）．14．已知函数1sin π()()ππx xx f x x -=∈+R ．下列命题： ①函数()f x 既有最大值又有最小值；②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点；④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题；共80分．解答应写出文字说明；演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成；从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查；并按年龄层次[20；30)；[30；40)；[40；50)；[50；60)；[60；70)；[70；80]绘制频率分布直方图；如图所示.若规定年龄分布在[20；40)岁的人为“青年人”；[40；60)为“中年人”； [60；80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替；试估算所调查的600人的平均年龄； （Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人；记抽到“老年人”的人数为X ；求随机变量X 的分布列和数学期望．如图；在四棱锥P ABCD -中；底面ABCD 是正方形；侧面PAB ⊥底面ABCD ； PA AB =；点E 是PB 的中点；点F 在边BC 上移动．（Ⅰ）若F 为BC 中点；求证：EF //平面PAC ；（Ⅱ）求证：AE PF ⊥；（Ⅲ）若PB =；二面角E AF B --的余弦值等于11；试判断点F 在边BC 上的位置；并说明理由.17．（本小题满分13分）若有穷数列1a ；2a ；3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==；则称其为“对称数列”．例如；1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”．（Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”；且,13b ,14b 15,b ；25b 是首项为1；公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项和S ；（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”；且,26c ,27c 28,c ；50c 是首项为1；公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ；150,n n *≤≤∈N .D PC B F AE设函数2e (),1axf x a x =∈+R ． （Ⅰ）当35a =时；求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设()g x 为()f x 的导函数；当1[,2e]e x ∈时；函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方；求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ；求出点D 的坐标；若不过；请说明理由．20．（本小题满分13分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---；1x ；2x ；3x ∈R ；且123x x x <<． （Ⅰ）当10x =；21x =；32x =时；若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根；求实数m 的值；（Ⅱ）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程()0f x '=的两个实数根是,αβ()αβ<；试比较122x x +与,αβ的大小并说明理由．。

高三数学期末考试理科(含)

高三数学期末考试理科(含)

全省联考卷理科数学（一）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150 分，考试时间120 分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50 分）一、选择题：本大题共10 个小题，每题 5 分，共50 分，在每题给出的四个选项中，只有一个是切合题目要求的。

1. A { x N / 2 x 4} , B { x Z / x22x 3 0} 则A B（）A．{ x / 2x3}B．{ x / 2 x3}C．{2}D．{ 2,3}2.已知23i z23i （i是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 设n, m是不一样的直线，, 是不一样的平面，以下命题正确的选项是()A.若n, n // m, 则mB.若n, n m, 则m //C.若n m, m //，则 nD.若, m，则 m//4. ax y 3 0与曲线 y ln x 在x 1 处的切线平行，则 a 的值为（）xA． a=1B． a=-1C．a=2D． a=15.运转以下图的程序框图，则输出的结果S 为（）A． 2014B．2013C．1008D．10076.函数yx ln x的图象可能是（）xA．B．C．D．7.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学比赛，要求每位同学仅报一科，每科起码有一位同学参加，且甲、乙不可以参加同一学科，则不一样的安排方法有（）(A) 36种(B) 30(C)24种(D)6种8. 设F1, F2x2y21(a 0, b 0) 的两个焦点,P是C上一点,若是双曲线C:2b2aPF1PF2 6a, 且PF1F2的最小内角为30o,则C的离心率为()A.2B. 22C.343D.3uuur uuur uuur uuur9. AD , BE分别是三角形ABC的中线，若AD BE 2，且AD, EB的夹角为2，则 AB AC =8 ； B.4； C.8； D.4。

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全省联考卷理科数学（一）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.}42/{≤≤∈=x N x A ,}032/{2<--∈=x x Z x B 则=B A （ ）A ．}32/{<≤x xB ．}32/{≤≤x xC ．}2{D ．}3,2{2.已知()2323i z i +⋅=-（i 是虚数单位），那么复数z 对应的点位于复平面内的（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 设m n ,是不同的直线，βα,是不同的平面，下列命题正确的是 ( )A.若,//,m n n α⊥则α⊥mB.若,,m n n ⊥⊥α则α//mC.若α//,m m n ⊥，则α⊥nD.若ββα⊥⊥m ,，则α//m 4.1ln 03===-+x xxy y ax 在与曲线处的切线平行，则a 的值为（ ） A ． a=1 B ．a=-1 C ．a=2 D ．a=1 5.运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ）A ．2014B ．2013C ．1008D ．10076.函数xx x y ln =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科， 每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（ ） (A)36种 (B)30 (C)24种 (D)6种8. 设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点, P 是C 上一点,若126,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为( )2 B.223439.，的中线，若分别是三角形2,==BE AD ABC BE AD 且,AD EB 的夹角为32π，则AB AC ⋅= A.89； B.49； C.38； D.34。

10.已知抛物线B A x y ,,42=是抛物线上的两点（分别在x 轴的两侧），6=AB ,过B A ,分别作抛 物线的切线121,,l l l 与2l 交于点Q ,求三角形ABQ 面积的最大值（ ） A227B 8C 312D 18 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。

11.102)1)(1(x x x -++展开式中4x 的系数是12.双曲线116922=-x y 的焦点到其渐近线的距离是 13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为 ．14.设2022040x y x y x y ⎧-≤⎪-+≥⎨⎪-≤⎩围成的区域为D ，),(y x P 为D 内的一个动点，则2x y +的取值范围为15.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，Q P ,分别是线段11,D B AC 上的动点，现有如下命题：① AQ Q P 使得,,∃∥;1P C ② AQ Q P 使得,,∃⊥;1P C ③ AQ Q P 使得,,∃∥BP④ AQ Q P 使得,,∃⊥BP 其中真命题有 (写出所有真命题的序号) 二、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ， 丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果 相互独立。

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率； （Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.17.（本小题满分12分）已知二次函数x x y +-=2在n S x =处的切线斜率为n a ，并且21,121==b b ，21112+++=n n n b b b（1）求n n b a 和的通项公式； （2）求数列}{nnb a 的前n 项和。

18..（本小题满分12分）如图，在四棱锥中ABCD S -，地面ABCD 是直角梯形，AB 垂直于 ,BC AD 和3212,=====⊥BC AB AD SB SA ABCD SAD ，，，且底面平面（1）求证：SBC SAD 平面平面⊥（2）求平面.所成二面角的余弦值与底面ABCD SCD19.（本小题满分12分）已知x x x x x x f 2cos 3sin )2sin()3cos(sin 2)(-⋅++-⋅=ππ.(Ⅰ)求()f x 的最小正周期及最大值；(Ⅱ)设锐角ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且ca cb ac b c a --+=-+2222222，求)12(π+A f 的取值范围.20.（本小题满分13分）如图，椭圆)0(1:2222 b a b y a x C =+经过点)3,2(P ，离心率21=e ，直线l 的方程为4=y . （1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过)3,0(的任一弦（不经过点P ）.设直线AB 与直线l 相交于点M ,记 321,,,,k k k PM PB PA 的斜率分别为，问：是否存在常数λ，使得32111k k k λ=+？ 若存在，求λ的值.21.（本小题满分14分）已知函数2()ln f x x x =+.（I ）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）在（1）的条件下，若1a >，3()3xx h x eae =-，[0,ln 2]x ∈，求()h x 的极小值；(Ⅲ)设2()2()3()F x f x x kx k R =--∈，若函数()F x 存在两个零点,(0)m n m n <<，且满足02x m n =+，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.全省联考卷理科数学（答案）一、选择题：CCABD BBDCB 二、填空题：11. 135 12. 4 13. 344+ 14. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,21 15. 三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

解16.设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则：()0.6,()0.5,()0.5,P D P E P F === 因此红队至少两人获胜的概率为()()()()0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………5分（II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3。

(0)()0.40.50.50.1,P P DEF ξ===⨯⨯= (1)()()()P P DEF P DEF P DEF ξ==++0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(3)()0.60.50.50.15.P P DEF ξ===⨯⨯=由对立事件的概率公式得：(2)1(0)(1)(3)0.4,P P P P ξξξξ==-=-=--= 所以ξ的分布列为：因此00.110.3520.430.15 1.6.E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (12)分解17.（1）依题意得),1......(12+-=n n S a 则当2≥n 时，),2.....(1211+-=--n n S a （1）-（2）得n n n n n a S S a a 2)(211-=--=---即311=-n n a a ，又当1=n 时可知311=a 故}{n a 是依311=a 为首项，以31为公比的等比数列，则nn a )31(=………………3分 因为21112+++=n n n b b b 21,121==b b ，所以}1{n b 是以111=b 为首项，以11112=-b b 为公 差的等差数列，则n b n=1，故n b n 1=……………………………………………6分（2）记nn n n n b a c ⎪⎭⎫⎝⎛⋅==31，记数列}{n n b a 的前n 项和为n T ，则n n n T ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=31.....3123112，13231.....31231131+⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n n n T由错位相消得：nn n T 3143243+-=…………………………………………12分解19.（1）()x x x x x x f 2cos 3sin cos sin 23cos 21sin 2-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+= x x x x 22cos 3sin 3cos sin 2 -+=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=322sin 2cos 3sin2πx x x 所以：2,2max ===f T πϖπ……………………………………………………6分（2） c a c b a c b c a --+=-+2222222，由余弦定理得：ca Cab c B ac -=2cos 2cos 2 ()C b B c a cos cos 2=-∴,由正弦定理得：C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2=- 即：()A C B B A sin sin cos sin 2=+=, 又,0sin ≠A 故21cos =B , 232,3πππA CB -==∴,则6π A ,因为△ABC 为锐角三角形，26ππ A ∴∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∴-62sin 2)12(,65626πππππA A f A的取值范围为(]2,1………12分解21.（Ⅰ）21()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x'=-=+-=+- 由题意，知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1(2)a x x≤+.…… 2分又10,2x x x >+≥2x =时等号成立.故min 1(2)x x+=a ≤分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1a <≤令xe t =，则[1,2]t ∈，则3()()3.h x H t t at ==-2()333(H t t a t t '=-=+……5分由()0H t '=，得t =t =，34(1,2[1,2]a ∈，①若1t <≤()0,()H t H t '<单调递减；()h x在也单调递减；2t <≤，则()0,()H t H t '>单调递增. ()h x 在2]也单调递增；故()h x的极小值为2h =-……8分（Ⅲ）设()F x 在00(,())x F x 的切线平行于x 轴，其中2()2ln .F x x x kx =--结合题意，有220002ln 0,2ln 0,2,220,m m km n n kn m n x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩ ……10分①—②得2ln ()()().m m n m n k m n n -+-=-，所以02ln2.mn k x m n =--由④得0022.k x x =-所以2(1)2()ln .1m m m n n m n m n n --==++⑤ ……11分设(0,1)m u n =∈，⑤式变为2(1)ln 0((0,1)).1u u u u --=∈+（转化为这个方程是否有解问题）设2(1)ln ((0,1))1u y u u u -=-∈+，2222212(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++ 所以函数2(1)ln 1u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，因此，1|0u y y =<=，① ② ③④即2(1)ln 0.1u u u --<+也就是，2(1)ln 1m m n m n n -<+，此式与⑤矛盾.所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴. 14分。

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