1-3布拉菲空间点阵+原胞+晶胞

1 1 1 ， 2 2 2
Cs+的坐标为 (000)。 )
典型的晶体结构 结构型 单晶胞中 原子在单晶 最近邻 原子个数 胞中的位置 距离 配位数
(Cu) )
fcc
4 2
Cs+ 1 Cl- 1
bcc
11 ( 0) (000) 22 1 1 ( 0 ) (0 1 1) 2 2 22
2a 2 3a 2 3a 2
每个格点包含2个原子，属于复式晶格。 每个格点包含2个原子，属于复式晶格。
1 2 3 4
1 4
1 2
1 4 3 4 1 2
1 2
A类碳原子的 共价键方向
B类碳原子的 共价键方向
金刚石结构每个固体物理学原胞 包含1个格点 基元由两个碳原子组成, 个格点, 包含 个格点,基元由两个碳原子组成, 位于（ ） 位于（000）和 (b)氯化钠结构 b)氯化钠结构
a a1 = − i + j + k 2 a a2 = i − j + k 2 a a3 = i + j − k 2
( ( (
)
) )
平均每个布拉维原胞包含2个格点。 平均每个布拉维原胞包含 个格点。 固体物理学原胞的体积
1 3 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a 2
(
)
立方晶系中几种实际晶体结构
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞 1.3
一. 布喇菲空间点阵
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同 ) ) )为二维晶体结构示意图，它们有何异同?
(a)Leabharlann (b)(c)一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重 复排列而成的。 复排列而成的。 所有晶体的结构可以用布喇菲格子 又称晶格）来描述， 布喇菲格子（ 所有晶体的结构可以用布喇菲格子（又称晶格）来描述， 这种晶格的每个格点上附有一群原子， 这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为 基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 晶体结构 晶格+基元= 晶格+基元=晶体结构
1 1 1 ， 2 2 2
Na+的坐标为 (000) 。 )
(c)氯化铯结构 c)氯化铯结构
Cl −
Cs +
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的 氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移 的 长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布拉维晶 分别组成简立方格子， 长度套构而成。 格为简立方， 格为简立方，氯化铯结构属简立方。 简立方 每个固体物理学原胞包含1个格点 每个晶胞包含1个 个格点， 每个固体物理学原胞包含 个格点，每个晶胞包含 个格点 。基元由一个Cl-和一个 +组成。 基元由一个 和一个Cs 组成。 Cl-的坐标为
1.1基元、结点（格点）和晶格
(a) )
(b) )
(1)基元 (1)基元 某些原子作为一个 在晶体中适当选取某些原子 在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个 基本结构单元称为基元， 的重复单元， 基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元， 基元 基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 特点：任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的， 特点：任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的， 而每一个基元中不同原子周围情况则不相同。 而每一个基元中不同原子周围情况则不相同。
12
(W) )
(000)
11 1 ( ) 22 2
8
CsCl
(000)
11 1 ( ) 22 2
8
典型的晶体结构 结构型 单晶胞中 原子个数 原子在单晶 胞中的位置 最近邻 配位数 距离
金刚石
8
(000) ( )
11 11 0) (0 ) ( 10 1) 22 2 2 22
11 1 3 3 1 31 3 1 3 3 ( )( )( ) ( ) 44 4 4 4 4 4 4 4 44 4
(a)简立方（sc） a)简立方（sc） 简立方
a1 = a i a2 = a j a3 = ak
每个晶胞包含1个格点。 固体物理学原胞的体积
c
b
=a
3
a
既是晶胞也是原胞
(b)面心立方（fcc） b)面心立方（fcc） 面心立方
a a
ak
1
2
a1
aj
a
a2 a3
ai
3
a = 2 a = 2 a = 2
(a)金刚石结构 a)金刚石结构 实际原子排布结 构（包括基元） c c 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4 的长度套构而成,其晶胞即布拉维晶格为面心立方。 的长度套构而成,其晶胞即布拉维晶格为面心立方。 面心立方
金刚石结构属面心立方，每个晶胞包含 个格点。 每个晶胞包含4个格点。
2.2 2.2 几种晶格的实例 (1)一维原子链 (1)一维原子链 一维单原子链
a
一维双原子链
b a
(2)二维 (2)二维
(a) )
(b) )
a2 a1
a4
a3 a6
a8 a5 a7
固体物理学原胞
维格纳--塞茨单胞 维格纳--塞茨单胞 --
(3)三维 (3)三维 立方晶系 a⊥b b⊥c c⊥a
原胞的基本平移矢量，简称基矢。 简称基矢 基矢。
2.1 原胞的分类 (1)固体物理学原胞(简称原胞) (1)固体物理学原胞(简称原胞) 固体物理学原胞 原胞 构造：取一格点为顶点， 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共
面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。 面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。 固体物理学原胞
特点：格点只在平行六面体的顶角上， 特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点， 只在平行六面体的顶角上 最小的重复单元， 平均每个固体物理学原胞包含1个格点。是最小的重复单元，它反 映了晶体结构的周期性。 映了晶体结构的周期性。 基矢： 表示。 基矢：固体物理学原胞基矢通常用 a1 , a2 , a3 表示。 体积为： 体积为：
v = a ⋅ b×c = n
( )
表示。 表示。
(3)维格纳--塞茨原胞 (3)维格纳--塞茨原胞 维格纳-构造：以一个格点为原点， 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面 (或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面 或中垂线) 由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积( --S原胞 积)即为W-- 原胞。 即为 -- 原胞。 特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含 个 特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个 最小重复单元 格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。 格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。
简单晶格
复式晶格
二
原胞
在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周
期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿 作为重复单元，
三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格， 三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成 晶体，这个平行六面体即为原胞， 晶体，这个平行六面体即为原胞，代表原胞三个边的矢量称为 原胞
a=b=c
c
b
为坐标轴的单位矢量, 取 i , j , k 为坐标轴的单位矢量, 设晶格常量(晶胞棱边的长度)为a, 晶格常量( , 即立方体边长为a, 即立方体边长为 ,
a = ai ,b = a j ,c = ak
a
晶胞（即布喇菲原胞）的体积: 晶胞（即布喇菲原胞）的体积: V = a3
属于立方晶系的晶胞有简立方、体心立方、面心立方
3a 4
4
NaCl
Na+ 4 Cl4
11 11 (0 ) ( 10 1) (000) ( 2 2 0) 2 2 2 2 )
1 11 1 1 ( 00) (0 0) (00 1) ( ) 2 2 22 2 2
a 2
6
1 1 1 4 4 4
处。
c
c
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 面心立方子晶格沿体对角线位移1/2 长度套构而成。 长度套构而成。
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 分别组成面心立方子晶格。 其布喇菲晶格为面心立方 面心立方。 其布喇菲晶格为面心立方。
( b)
(c)
晶格是晶体结构周期性的数学 晶格是晶体结构周期性的数学 抽象，它忽略了晶体结构的具体内 抽象，它忽略了晶体结构的具体内 容，保留了晶体结构的周期性。 保留了晶体结构的周期性。
1.2 简单晶格和复式晶格
若格点上的基元只包含一个原子，那么晶格为简单晶格。 若格点上的基元只包含一个原子，那么晶格为简单晶格。 简单晶格 简单晶格中所有原子在化学 所有原子在化学、 简单晶格中所有原子在化学、物理和几何环境上都是 完全等同的。 完全等同的。 若格点上的基元包含两个或两个以上的原子（或离子）， 若格点上的基元包含两个或两个以上的原子（或离子）， 复式晶格。 那么晶格为复式晶格 那么晶格为复式晶格。 简单晶格必须由同种原子组成；反之， 简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组 成的晶格却不一定是简单晶格。 金刚石和hcp晶格都是 成的晶格却不一定是简单晶格。如金刚石和hcp晶格都是 复式晶格。 复式晶格。
= a1 ⋅ a2 ×a3
(
)
(2)晶胞、 (2)晶胞、惯用晶胞或布喇菲原胞 晶胞 构造： 构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方 对称性和周期性 向，它具有明显的对称性和周期性。 它具有明显的对称性和周期性。 特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点， 特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上 及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。 及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。 基矢：晶胞的基矢一般用 a, b, c 基矢： 体积为： 体积为：
(j + k ) (i + k ) (i + j )
原胞
平均每个晶胞（布喇菲原胞）包含 个格点。 平均每个晶胞（布喇菲原胞）包含4个格点。 晶胞 固体物理学原胞的体积
1 3 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a 4
(
)
(c)体心立方（bcc） c)体心立方（bcc） 体心立方
ak
a1
a2
aj
ai
a3
(c) )
(2)结点（格点） 2)结点（格点） 结点
一个基元用一个格点（或结点、点子）表示，它可以代
表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的位置。 表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的位置。
(a)
(b)
(3)晶格 3)晶格
(a)
晶体的内部结构可以概括 为是由一些相同的结点在空间 分布， 有规则地做周期性无限分布， 通过这些点做三组不共面的平 行直线族，形成一些网格， 行直线族，形成一些网格，称 晶格( 为晶格(或者说这些点在空间周 期性排列形成的骨架称为晶格, 期性排列形成的骨架称为晶格, 晶格 又称为布喇菲格子) 又称为布喇菲格子)。
氯化钠结构属面心立方。
氯化钠的固体物理学原胞选取方法 与面心立方简单格子的选取方法相同。 与面心立方简单格子的选取方法相同。 每个固体物理学原胞包含1个格点，每个晶胞包含 个格点。 每个固体物理学原胞包含 个格点，每个晶胞包含4个格点。 个格点 基元由一个Cl 和一个Na 组成。 基元由一个 -和一个 +组成。 Cl-的坐标为
维格纳--塞茨单胞 维格纳--塞茨单胞 --
引入Wigner-Seitz原胞的原因 引入Wigner-Seitz原胞的原因 Wigner
优点： （1）Wigner-Seitz原胞本身保持了布拉伐格子的 对称性； （2）该取法今后要用到。 缺点： （1）Wigner-Seitz原胞的体积等计算不方便； （2）平移对称性反而不直观。